Sistema de Equacoes

Em aulas anteriores trabalhamos com equações do 1º grau com uma incógnita, e estes

conhecimentos serão muito importantes na resolução de sistemas. A Matemática utiliza o símbolo { para indicar que duas (ou mais) equações formam um sistema.

Veja os exemplos: 2x + 3y = -11 A) 5x – 4y = 30

x + 4y = -39 B) 3x - 3y = + 33

Resolução de sistemas Resolver um sistema é encontrar um par de valores (x e y ) que tornem verdadeiras as equações que o formam. x + y = 5 ( 1ª equação) I) x – y = 3 (2ª equação) Na 1ª equação temos: Na 2ª equação temos:

x = 5 – y x = 3 + y

Vamos atribuir valores quaisquer a “y” e calcular “x”

x y x y 0 5 3 0 1 4 4 1 2 3 5 2 3 2 2 -1 4 1 1 -2 5 0 0 -3

Observando as tabelas de soluções das duas equações, verificamos que o par (4; 1), isto é, x = 4 e y = 1, é solução para as duas equações. Dessa forma, podemos dizer que as equações x + y = 5 e x - y = 3 formam um sistema de equações do 1º grau que admitem uma solução comum.

1) O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO Esse método de resolução de um sistema consiste em “tirar” o valor de uma incógnita e substituir esse valor na outra equação. Veja um exemplo: x - y = 1 (1ª equação) x + y = 5 (2ª equação) Escolhemos uma das equações ( 1ª) e “tiramos” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecemos seu valor em função da outra incógnita, assim: x - y = 1 x = 1 + y Agora, temos o valor de x em função de y e podemos substituir esse valor na outra equação(2ª): x + y = 5 1 + y + y = 5 1 + 2y = 5 2y = 5 - 1 2y = 4 y = 2 Como x = 1 + y x = 1 + 2 x = 3.

Temos então que o par (3; 2) é solução do sistema. Para fazer verificação, devemos substituir os valores x = 3 e y = 2 em ambas as equações: x - y = 1 3 - 2 = 1 1 = 1 (verdadeiro) x + y = 5 3 + 2 = 5 5 = 5 (verdadeiro) Sim, o par (3; 2) é solução do sistema, pois torna as equações verdadeiras.

2) MÉTODO DA ADIÇÃO

Esse outro método de resolução de um sistema consiste em somar os termos das equações. A - OS COEFICIENTES DE UMA DAS INCÓGNITAS SÃO SIMÉTRICOS 1. A soma de dois números é igual a 10 e a diferença entre eles é 4. Quais são esses números?

Vamos chamar um dos números de “X”.

Vamos chamar o outro número de “Y”.

Montando o sistema:

X + Y = 10 X - Y = 4

A melhor maneira para resolução é pelo método da ADIÇÃO (soma), pois ocorrerá o cancelamento de uma das incógnitas.

X + Y = 10 X - Y = 4 _____________ 2X / = 14

Resolvendo, vamos achar o valor de “X”

2X = 14 > X = 14 > X= 7

2

Para achar o valor de “Y” usamos a primeira equação do sistema.

X + Y = 10

Isolamos o “Y” no primeiro membro da equação e passamos o “X”, com a operação inversa, para o segundo membro.

Y = 10 – X

Substituímos “X pelo valor já achado, que foi 7 , e calculamos o valor de “Y”

Y = 10 – 7 Y = 3

Tiramos a prova substituindo o “X” e o “Y” pelos valores encontrados

X + Y = 10 7 + 3 = 10 X - Y = 4 7 - 3 = 4

Concluímos que o par ( 7 ; 3 ) satisfaz o sistema dado.

B- OS COEFICIENTES DAS INCÓGNITAS SÃO DIFERENTES E NÃO SIMÉTRICOS

Como podemos observar, ao somarmos as duas equações não haverá o cancelamento de nenhuma das variáveis

2x + 3y = 43 x - 5 y = -37 3x - 2y = 6

Então há necessidade de uma estratégia de cálculo para que o sistema possa ser resolvido pelo método da Adição.

Os números dentro dos parênteses correspondem aos coeficientes das variáveis, ou seja ( 1 e 2 do “x” ) e (3 e 5 do “y”), que serão fatores multiplicadores para que tenhamos novas equações.

2x + 3y = 43 ( 1 ) ( 5 ) ou x - 5 y = -37 (-2) ( 3 )

Observe que os coeficientes estão colocados em equações contrárias.

ATENÇÃO: Quando os coeficientes das incógnitas tiverem sinais iguais, na hora da multiplicação deverão ter sinais diferentes; quando tiverem sinais diferentes, na hora da multiplicação deverão ter sinais iguais.

Agora é optar por um dos coeficientes e efetuar a multiplicação. Não esqueça da regra de sinais.

Optamos pelos coeficientes do “x” para ser o fator multiplicador; tivemos que colocar um com sinal negativo, pois na equação original ambos tinham o mesmo sinal.

2x + 3y = 43 ( 1 ) x - 5 y = -37 (-2)

2 x + 3y = 43 - 2x + 10y = 74

Podemos observar agora que ao realizarmos a soma teremos o cancelamento de uma das incógnitas. Assim faremos a resolução, achando primeiramente o valor de “y”.

2 x + 3y = 43 - 2x + 10y = 74 / + 13y = 117 y = 117 y = 9 13

Vamos utilizar a primeira equação do sistema para achar o valor de “x”

2x + 3y = 43

2x + 3y = 43

x - 5 y = -37

Isolamos o “x” no primeiro membro da equação e passamos o “y”, com a operação inversa, para o segundo membro. Nessa operação os coeficientes acompanham as incógnitas.

2x = 43 - 3y

Substituímos o “y” por 9, que foi o valor encontrado e calculamos o valor de “x”

2x = 43 – 3. (9) 2x = 43 – 27 2x = 16 X = 16 x = 8 2

Retomando o sistema original. Tirando a prova concluímos que o par ( 8 ; 9 ) satisfaz o sistema

2 . ( 8 ) + 3 .( 9 ) = 43 ( 8 ) - 5 . ( 9 ) = - 37

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DE SISTEMA DE EQUAÇÕES

A primeira preocupação na resolução de problemas será a identificação do que será o nosso “X” e o nosso “Y”.

Com certeza está identificação será feita ao realizarmos a leitura da pergunta do problema, e é ai que estabeleceremos nossas incógnitas.

Não esquecer que um sistema é composto de duas equações, assim temos que buscar dados no problema para formação do sistema.

Vamos ver um exemplo:

“Em um estacionamento temos 33 veículos entre carros e motos,

num total de 96 rodas. Quantos carros e quantas motos estão no

estacionamento?”

Analisando a pergunta podemos concluir que uma das nossas incógnitas será os carros e a

outra as motos.

Estabelecemos para fins de resolução do problema o seguinte :

x = carros y = motos

Concluímos que os carros mais as moto são iguais a 33. Montamos assim a primeira equação:

x + y = 33

O outro dado disponível no enunciado diz respeito ao número de rodas. Sabemos que os

carros possuem 4 rodas e as motos 2 rodas, formamos a segunda equação:

4x + 2y = 96

Com estas duas equações organizamos o sistema que será resolvido conforme orientações anteriores.

x + y = 33

4x + 2y = 96

Resolvendo o sistema teremos como solução para o problema:

x = 15 ou seja 15 carros

y = 18 ou seja 18 motos.

SISTEMA DE EQUAÇÕES

1) x + y = 16 x - y = 6

2) x + y = 14 x - y = 4

3) x + y = 11 x - y = 1

4) x + y = 12 x - y = 2

5) x + y = -5 x - y = 15

6) x + y = -4 x - y = -6

7) x + y = -7 x - y = -3

8) x + y = - 6 x - y = -12

9) x + y = -4 x - y = 10

10) x + y = 9 x - y = 11

11) x + y = -10 12) 3x + y = 21 2x - y = -5 x - y = -5 13) x + y = -12 14) 2x + y = 14 2x - y = 0 5x - y = 0 15) 2x + y = 17 16) 4x + y = 19 3x - y = 8 5x - y = 8 17) x + y = -6 18) 3x + y = 0 2x - y = 24 x - y = 12 19) x + y = 30 20) 2x + y = 5 2x - y = 3 5x - y = -26 21) 3x + 2y =-8 22) 4x + y = -38 5x - 2y = 24 5x - y = 21

x + y = 3 23) x – 4y= - 27

x + y = 11 24) x - 3y = - 21

x - y = 0 25) 5x + 2y = -28

3x + 4y = 4 26) 5x – 2y = 24

3x + 4y = 18 27) 5x – 2y = 4

3x + 4y = -14 28) 5x - 2y = 46

3x + 4y = -11 29) 5x – 2y = -27

3x + 4y = 19 30) 5x – 2y= - 29

3 x + 2y = 20 31) 5x - 3y = -11

4x – 3y = 27 32) 2x - 2y = 14

3x + y = -3 33) 2x - 2y= -10

34) 3x + y = 15 2x - 2y= 18

5x + 2y = -20 35) x - 3y = 13

36) 5x + 2y = 12 x - 3y = 33

x + 6y = -37 37) 4x - 2y = 8

x + 6y = 27 38) 4x - 2y = -22

3x + 3y = 30 39) 4x - 2y = 28

3x – 5y = 28 40) 3x – 2y = 4

2x + 3y = -11 41) 5x – 4y = 30

x + 4y = -39 42) 3x - 3y = + 33

3x + 4y = 11 43) 5x – 2y = -25

3x + y = 14 44) 5x +3y = 18

x + 6y = -40 45) 4x + 2y = -6

x + y = 6 46) 6x - 3y = -45

0,2x + 0,3y = 4 47) x + y = 15

3x + 3y = 54 48) 5x - 4y = -9

x + y = 11 49) 9x – 9y = -63

4x - 6y = 92 50) 3x - 5y = 74

x + y = 9 51) 9x – 9y = -27

4x - 6y = -32 52) 3x - 5y = -25

x + y = -4 53) 9x – 9y = 126

4x - 6y = 26 54) 3x - 5y = 23

x + y = -11 55) 9x – 9y = 27

4x - 6y = -24 56) 3x - 5y = -21

x + y = -10 57) 9x – 9y = 54

4x - 6y = 40 58) 3x - 5y = 34

3x + 4y = 23 59) 5x – 2y = -57

60) 5x + 3y = -47 2x + 6y = -62

61) 4x - 4y = 8 2x – 7y = 29

62 ) 7x - 2y = 26 14x + 3y = 10

63)

64)

65)

66)

67) 68)

69) 70)

71)

72)

73) 74)

75)

76)

77) 78)

79)

80)

PROBLEMAS

1) A soma de dois números é igual a 79 e a diferença entre eles é 21. Quais são esses números? 2) A soma de dois números é igual a 40. Sabendo que um número é igual ao triplo do outro, calcule os números. 3) A soma de dois números é igual a 150. Sabendo que um número é igual ao quíntuplo do outro, calcule os números. 4) A média aritmética de dois números é 75. Um dos números é o dobro do outro. Quais são esses números? 5) Uma loja pratica os seguintes preços: 7 CDs e 8 fitas de vídeo por 415 reais. 11 CDs e 4 fitas de vídeo por 395 reais. Qual o preço de cada CD e de cada fita? 6) Fernanda comprou na cantina 2 salgados e um picolé e pagou R$ 3,00. Nei comprou 4 salgados e 4 picolé, e pagou R$ 7,20. Qual o preço do salgado e do picolé?1 7) Paulo depositou R$ 300,00 no banco em notas de R$ 10,00 e R$ 50,00, num total de 14 notas. Quantas notas de R$ 50,00 Paulo usou para fazer o depósito? 8) Uma classe é formada por 30 alunos. Numa certa avaliação, a média da classe foi 6,1. A nota de cada aluno foi 5,5 e de cada aluna 6,5. Quantos são os alunos e alunas dessa classe? 9) Num espetáculo de música, foram vendidos 627 ingressos e arrecadados R$ 10398,00. O ingresso comum custou R$22,00 e o para estudante R$ 10,00. Quantos estudantes compareceram ao espetáculo? 10)Num restaurante há mesas de seis lugares e mesas de 10 lugares. Ao todo são 20 mesas e 148 lugares. Calcule o número de mesas de cada tipo ? 11) Pedro quer dividir uma tábua de 6 m de comprimento em duas partes de tal modo que uma delas seja a sétima parte da outra. Calcule o comprimento de cada parte. 12) Um retângulo tem 40 cm de perímetro. Sabendo que um dos lados mede o triplo do outro, calcule as medidas dos lados desse retângulo. 13) Em um estacionamento temos 33 veículos entre carros e motos, num total de 96 rodas. Quantos carros e motos estão no estacionamento? 14).Em um terreiro existem 42 animais entre porcos e galinhas. Num total de 138 pernas. Quantos porcos e quantas galinhas existem no terreiro? 15)A soma das idades de dois irmãos é 24 anos.Quais são suas idades sabendo que o maior é 4 anos mais velho?

16)Um estacionamento cobra R$2,00 por moto e R$ 3,00 por carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para um total de 100 veículos. Quantos carros e quantas motos usaram o estacionamento nesse dia? 17)Uma fábrica de refrigerantes produz refresco de guaraná nas versões “tradicional” e “daiti”, e evasa em garrafas de 300 ml. Os bares vendem os “tradicionais” por R$ 2,00 e os “daiti” por R$2,50. Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes, com um faturamento de R$ 4200,00. Descubra quantas garrafas de cada tipo foram vendidas. 18)Depois de ter plantado milho e feijão, um agricultor colheu 6600 sacas de grãos. Estas sacas foram vendidas por R$ 190000,00, com o preço da saca de milho a R$ 25,00 e a de feijão por R$30,00. Quantas sacas de milho de feijão foram vendidas? 19)Um ônibus com 60 lugares vai de Cuiabá a Campo Grande passando por Coxim.A passagem para Campo Grande Custa R$ 90,00 e para Coxim R$75,00. Certo domingo o cobrador arrecadou R$ 4860,00 com todos os assentos ocupados. Quantas pessoas fizeram a viagem até Campo Grande? 20)No último Encontro Nacional de Estudantes a inscrição de alunos do Ensino Fundamental e Médio custava R$ 10,00. Os alunos do 3° Grau pagavam R$ 15,00. A arrecadação total obtida com as inscrições foi de R$ 40 250,00 de um total de 3100 alunos inscritos. Quantos eram os alunos do Ensino Fundamental e Médio? 21)O perímetro de um retângulo é 72 cm. Sabendo que o lado maior é o dobro do menor, encontre a medida dos lados do retângulo. 22) O professor Zezão tem um sistema muito curioso para dar notas nas provas. O aluno ganha 5 pontos por cada questão certa e perde 3 a cada resposta errada. Pedro obteve 52 pontos numa prova de 20 questões. Quantas ele acertou? 23). Encontre uma fração sabendo que: se adicionarmos 8 ao seu numerador e se retirarmos 9 do seu denominador, o resultado é 3. Se retirarmos 1 de seu numerador e juntarmos 17 ao seu denominador, encontramos 0,1. 24) Dois números são tais que o maior é o triplo do menor. Se adicionarmos 6 a cada um deles obtemos dois números tais que o maior é o dobro do menor. Que números são esses? 25) Roberto e Márcia têm juntos 26 anos. Se Roberto tem 2 anos a mais que Márcia qual a idade dela? 26) Num pacote há 51 balas e pirulitos. O número de balas é igual ao número de pirulitos, aumentado de 7 unidades. Determine o número da balas. 27) Cruzeiro e Atlético marcaram 54 gols num campeonato. Se o Cruzeiro marcou 8 gols a mais que o Atlético, quantos gols marcou o Cruzeiro? 28)Dois números somados valem 42. Sendo o número maior igual ao número menor aumentado de 8 unidades, calcule o número maior.

29) Numa sacola há tomates e batatas, num total de 34 unidades. O número de tomates é igual ao número de batatas, diminuído de 6 unidades. Qual é o número de tomates? 30) Paulo tem o triplo da idade de Júlia. Encontre a idade de Paulo, sendo de 26 anos a diferença de idade entre Paulo e Júlia. 31) Pedro propõe 16 problemas a um de seus amigos, informando que lhe dará 5 pontos por problema resolvido e lhe tirará 3 pontos por problema não resolvido. No final, seu amigo tinha nota zero. Quantos problemas seu amigo resolveu corretamente? 32) Há 4 anos um pai tinha 6 vezes a idade do filho . Daqui a 5 anos a idade do filho será 1/3 da do pai.Qual a idade atual de cada um? 33) A soma das idades de um casal é de 65 anos. Há 13 anos a idade do marido era o dobro da idade da mulher. Qual a idade de cada um? 34)Dois números são tais que o maior é o triplo do menor. Se adicionarmos 8 a cada um deles obtemos dois números tais que o maior é o dobro do menor. Qual é o maior desses números? 35) A distância entre as cidades A e C é de 1430 km. Sabendo que a distância entre A e B é 130 km maior do que a distância entre as cidades B e C , calcule a distância entre as cidades B e C. 36) Em uma loja há dois tipos de lustres; um com 3 lâmpadas e outro com 5 lâmpadas. Se na loja há um total de 50 lustres e 206 lâmpadas, quantos lustres de 5 lâmpadas há? 37)Pedro propõe 24 problemas a um de seus amigos, informando que lhe dará 5 pontos por problema resolvido e lhe tirará 3 por problema não resolvido. No final , seu amigo, tinha nota zero. Quantos problemas seu amigo resolveu corretamente?