Mn Aula07 Equacoes

Resoluo de equaes no lineares

Raiz de uma equaoRaiz exataUm nmero xr raiz exata de uma equao f(x)=0 se f(xr)=0Raiz aproximadaUm nmero x raiz aproximada de uma equao f(x)=0 se |x-xr| e |f(x)| forem ambos prximos de 0Comparar o mdulo da subtrao da raiz basicamente uma operao terica, pois no se pode obter a raiz exata

Calculando as razesPara calcular as razes reais de uma equao f(x)=0 necessrio:1) delimitar, enumerar e separar as razes2) utilizar um mtodo numrico para calculo de cada raiz

Equaes algbricas polinomiaisA) toda equao do tipo anxn+an-1xn-1 +...a1x1+a0 algbrica e polinomialn um nmero natural denominado grau da equaoOs coeficientes ai, i=0...n so nmeros reais

Equaes algbricas polinomiaisToda equao polinomial de grau n tem exatamente n razes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade

Multiplicidade de raizesUma raiz tem grau de multiplicidade m se: anula a funo que origina a equao

Anula as derivadas at a ordem m-1

No anula a derivada de ordem m

ExemploA equao f(x)=x3-5x2+8x-4 tem razes x1=1 x2=2 e x3=2 f(2)=0f(2) = 3x2-10x+8 -> f(2)=0f(2)=6x-10 ->f(2)=2

Equaes algbricas polinomiaisAs razes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi)Toda equao polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real

Delimitao de razes reaisLimite superior positivo-teorema de LagrangeSeja f(x)=0 uma equao polinomial de grau n, na qual an>0 e a0 0 Para limite superior de suas razes positivas, caso existam pode ser tomado o nmero

K= grau do 1 termo negativoM= mdulo do menor coeficiente negativo

ExemploCalcule o limite superior para as razes positivas da equao

f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

ExemploCalcule o limite superior para as razes positivas da equao

f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 n=5,k=3,a5=1 e M=16

Delimitao das razes reaisLimite inferior negativoObter a equao auxiliar f1(x)=f(-x)=0usar o teorema de Lagrange em f1(x), obtendo o limite superior de suas razes positivas L1O limite inferior das razes negativas dado por L1

ExemploCalcule o limite inferior para as razes negativas da equao

f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

Enumerao das razesRegra dos sinais de Descartes O nmero de razes positivas de equaes polinomiais igual ao nmero de variao de sinais apresentado pelo conjunto de coeficientes ou menor em um nmero par

Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0

Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0

Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0x5+x4-8x3-16x2+7x+14=02 variaes -> 2 razes ou nenhuma raiz

Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0Quantas razes?

Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0Quantas razes?5 variaes -> 5 razes ou 3 ou 1 raiz

Exemplo5x5-16x2+7x-14=0Quantas razes?

Exemplo5x5-16x2+7x-14=0Quantas razes?3 variaes -> 3 razes ou 1 raiz positiva

Enumerao de razesPara determinar o nmero de raizes negativas basta trocar x por (-x) na equao e aplicar a regra dos sinais

Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=03 razes ou 1 raiz negativa

Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0f(-x)=-x5-x4-8x3-16x2-7x-14=0

Sem variao -> nenhuma raiz negativa

Sucesso de SturmDada a equao polinomial f(x)=0 a sucesso de Sturm a ela associada o seguinte conjunto de polinmios:

f(x)f1(x)f2(x)... fm(x)f(x) o polinmio que origina a equaof1(x) a primeira derivada de f(x)

Sucesso de SturmA partir de f2(x) cada termo o resto, com o sinal trocado, da diviso dos 2 termos anterioresf(x)/f1(x) = Q1x+R1x -> f2(x)=-R1xf1(x)/f2(x) = Q2x+R2x -> f3(x)=-R2x

A sucesso procede at que seja obtido um resto constante

PropriedadesSe a equao tiver razes mltiplas ento o ltimo termo da sucesso nuloPara nenhum valor de x, 2 termos consecutivos da sucesso no se anulamSe, para algum x, um termo mdio da sucesso se anula, ento os termos vizinhos tero valores numricos de sinais opostos

Teorema de SturmSeja N(alpha) o nmero de variaes de sinal apresentado pela sucesso de sturm. Para x = alphaO nmero de razes reais de uma equao polinomial, sem razes mltiplas, situadas em um intervalo [a,b] igual a N(a)-N(b)

ExemploDetermine o nmero de razes reais da equao no intervalo (-15,5)

f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x+7f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22f4(x)=-68,42x-49,69f5(x)=-2,88

Razes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1Razes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2As outras duas razes so complexas

-1505f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 -++f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x +7+++f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 --+f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 -+-f4(x)=-68,42x-49,69 +--f5(x)=-2,88---N(x)431

Exemplo

Exemplo

Separao de Razes reaisSe f(a).f(b) >0 ento f(x)=0 tem um nmero par de razes ou nenhuma raiz no intervalo [a,b]

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Exemplo

ExemploSepare as razes positivas da equao f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0Sabendo-se que esto situadas no intervalo (0,5) e que o nmero de razes positivas 2

f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5

Equaes no polinomiaisDuas possibilidades1) Construir um esboo do grfico da funo com o objetivo de detectar os pontos2) Transformar a equao f(x)=0 em uma equao equivalente da forma g(x)-h(x)=0g(x)=h(x)

Equaes no polinomiaisEsboar os grficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos cartesianosAs abscissas de cada ponto onde g(x) e h(x) se interceptam uma raiz de f(x)

ExemploSeja a equao f(x)=x+ -5=0 Pode ser escrita = 5-x (g(x)=h(x))

Graficamente

ab-+

Graficamente

ab-++

Graficamente

ab-+b+

Graficamente

ab-+b+-

Graficamente

ab-+b+a-

Critrio de paradaO processo para quando o intervalo [a,b] suficientemente pequenoAssim qualquer ponto no intervalo tomado como raizNmero mximo de passos pr-estabelecido

ExemploUtilizando o mtodo da bisseo calcule a maior raiz positiva da equaof(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0Preciso 0,025, mximo de 10 iteraes, intervalo = [2,5;5]f(2,5)=-56,781 e f(5)=2399

kxkf(xk)b-a2,5-56,781-523992,513,75332,7061,2523,12528,8750,62532,813-32,2390,31242,969-7,2240,15653,0479,3070,07863,0080,6790,03972,989-3,260,019

Qualquer nmero no intervalo [2,989;3,008] pode ser tomado como raiz

Mtodo da Falsa PosioSeja f(x) uma funo contnua em um intervalo [a,b] que contm um e s uma raiz da equao f(x)=0Este mtodo consiste em dividir o intervalo [a,b] no ponto onde a reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) intercepta o eixo das abscissas

Graficamente

Graficamente

Critrio de paradaO processo iterativo interrompido quando for obtido |f(xk)|, k=1,2,... Menor ou igual preciso estabelecida e ento xk tomado como raiz

Calculando xkNo mtodo da bisseo x dado pela mdia aritmtica do intervalo x= (a+b)/2

No mtodo da FP o x dado pela mdia aritmtica ponderada x=(a|f(b)|+b|f(a)|)/(|f(b)|+|f(a)|)x=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

O clculo de xkSeja a matriz

bf(a) +x1f(b)-af(b)-x1f(a)x1=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))

Generalizandoxk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))Desde que a cada passo seja atualizado a ou bO critrio utilizado por este mtodo para a diviso do intervalo [a,b] o da mdia ponderada

ExemploUtilizando o mtodo da falsa posio com preciso 0.006 e um mximo de 5 iteraes encontrar a maior raiz positivaf(x)=x4-14x2+24x-10=0

A) delimitao das razes reaisLSP = = 4,7 = 5

LIN equao auxiliarf(x) = x4 -14x2-24x-10L1=6Logo L1=-6

Enumerao das razes reaisRazes positivas:+1-14+24-103 variaes -> 3 ou 1 raiz positivaRazes negativas:+1-14-24-101 variao -> 1 raiz negativa

Nmero de razes positivasTeorema de Sturm

Sucesso de Sturm05f(x)=x4-14x2+24x-10-+f1(x)=4x3-28x+24++f2(x)=7x2-18x+10++f3(x)=7,24x-9,3-+f4(x)=1,5++N(x)30

Nmero de razes positivasO nmero de razes dado por:

N(0)-N(5)=3-0=3

Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo

05-+

Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo

05-+2,5+

Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo

05-+2,5+1,25+3,75+

Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo

05-+2,5+1,25+3,75+0,625-1,875-

Para a preciso estabelecida, 2,388 a maior raiz positiva da equao

kabf(a)f(b)xkf(xk)12,1882,5-1,5921,5632,345-0,46722,3452,5-0,4671,5632,381-0,08532,3812,5-0,0851,5632,387-0,01642,3872,5-0,0161,5632,388-0,005

Mtodo de Newton-RaphsonTambm conhecido como mtodo das tangentesSeja f(x) uma funo contnua em um intervalo [a,b] que contm uma e s uma raiz da equao f(x)=0

Mtodo de Newton-RaphsonDada uma estimativa xk-1, k=1,2,..., para uma raiz de f(x)=0 a estimativa xk a abscissa do ponto onde a reta tangente f(x) em [xk-1,f(xk-1)] intercepta o eixo das abscissas

Mtodo de Newton-RaphsonCritrio de parada: O processo interrompido quando for obtido um |xk-xk-1| ou |f(xk)| menor ou igual a uma preciso pr-estabelecida

Graficamente

x0x1x0

Graficamente

x0x1

Graficamente

x0x1

Mtodo de Newton-RaphsonConvergncia: se f(a)f(b)0 possvel construir, pelo mtodo de Newton-Raphson uma sequncia {xk}, k=1,2,..., que converge para a raiz de f(x)=0

Mtodo de Newton-RaphsonSeja o clculo de x1

Para x2

Mtodo de Newton-RaphsonGeneralizando

ExemploCalcule a raiz negativa de f(x)=x4-14x2+24x-10=0 utilizando o mtodo de newton-Raphson com preciso 0,001 e um mximo de 5 iteraes. Sabe-se que esta raiz est situada no intervalo (-6,0)

ExemploAplicando o mtodo da Bisseo para diminuir o intervalo

-60+-f(-6)=638f(0)=-10

ExemploAplicando o mtodo da Bisseo para diminuir o intervalo

-60+--3-f(-6)=638f(0)=-10f(-3)=-127

ExemploAplicando o mtodo da Bisseo para diminuir o intervalo

-60+--3--4,5+f(-6)=638f(-3)=-127f(-4,5)=8,562

ExemploAplicando o mtodo da Bisseo para diminuir o intervalo

-60+--3--4,5+-3, 75-f(-3)=-127f(-4,5)=8,562f(-3,75)=-99.125

ExemploAplicando o mtodo da Bisseo para diminuir o intervalo

-60+--3--4,5+-3, 75-

Exemplof(x)=4x3-28x+24 0 no intervalo [-4,5;-3,75]

Como f(-4,5)f(-4,5)>0 ento x0=-4,5

Exemplo

kxkf(xk)f'(xk)|xk-xk-1|0-4,58,562-214,5-1-4,4600,153-205,9860,0402-4,4590,0180,001

NotasCom relao convergncia o que se faz na prtica :1) toma-se uma estimativa inicial prxima da raiz; para isto basta diminuir suficientemente o intervalo que a contm2) toma-se x0 [a,b] de forma que seja obtido x1 [a,b]

Comparao - BisseoApesar de sempre convergir, tem baixa velocidade de convergnciaUtilizado de forma isolada quando se deseja um intervalo, tal que qualquer dos pontos pode ser tomado como raizNormalmente utilizado para reduzir o tamanho do intervalo que contm a raiz

Comparao F.P. e N.R.Quando se deseja um intervalo que contm a raiz o mtodo da Falsa Posio no adequado porqu no convergeQuando no houver problemas para trabalhar com a primeira derivada de f(x) deve-se usar o mtodo de Newton-Raphson; caso contrrio deve-se usar o mtodo da Falsa Posio

ExerccioDetermine os limites das razes reais da equao f(x)=x3+4x2-10=0