Sistema binario de nmerosUn nmero binario slo tiene ceros y unos.
Este nmero es 18 + 14 + 02 + 1 + 1(1/2) + 0(1/4) + 1(1/8)(=13,625 en decimal)
De la misma manera que en el sistema decimal, se pueden poner nmeros a la izquierda o a la derecha del punto decimal, para indicar valores mayores o menores que uno. En el sistema binario:El nmero justo a la izquierda del punto es un nmero entero, lo llamamos unidades.
Cuando vamos a la izquierda, cada posicin vale 2 veces ms.
La primera cifra a la derecha del punto significa mitades (1/2).
Cuando vamos a la derecha, cada posicin vale 2 veces menos (la mitad de la anterior).
Dos valores diferentesComo slo puedes tener ceros y unos, en binario se cuenta as:Decimal:0123456789101112131415
Binario:01101110010111011110001001101010111100110111101111
"El binario es tan fcil como 1, 10, 11."Aqu tienes ms equivalencias:Decimal:2025304050100200500
Binario:101001100111110101000110010110010011001000111110100
Definicin de binarioLa palabra binario viene de "bi-" que significa dos. Tenemos "bi-" en otras palabras como "bicicleta" (dos ruedas) o "binoculares" (dos ojos).
Cuando leas un nmero binario, pronuncia cada dgito (por ejemplo, el nmero binario "101" se lee "uno cero uno"). De esta manera la gente no los confunde con nmeros decimales.
BitsUn dgito binario por s solo (como "0" o "1") se llama un "bit". Por ejemplo 11010 tiene cinco bits de longitud.La palabra bit viene de las palabras inglesas "binary digit"Cmo indicar que un nmero est en binarioPara mostrar que un nmero es binario, ponemos un pequeo 2 detrs: 1012De esta manera nadie pensar que es el nmero decimal "101" (ciento uno).EjemplosEjemplo 1: Cunto es 11112 en decimal? El "1" de la izquierda est en la posicin "222", esto es 1222 (=8) El siguiente "1" est en la posicin "22", esto es 122 (=4) El siguiente "1" est en la posicin "2", esto es 12 (=2) El ltimo "1" son las unidades, es decir 1 Respuesta: 1111 = 8+4+2+1 = 15 en decimalEjemplo 2: Cunto es 10012 en decimal? El "1" de la izquierda est en la posicin "222", as que vale 1222 (=8) El "0" siguiente est en la posicin "22", as que vale 022 (=0) El "0" est en la posicin "2", as que vale 02 (=0) El ltimo "1" son las unidades, as que vale 1 Respuesta: 1001 = 8+0+0+1 = 9 en decimalEjemplo 3: Cunto es 1,12 en decimal? El "1" de la izquierda est en la posicin de las unidades, as que vale 1. El "1" de la derecha est en la posicin de las "mitades", as que vale 1(1/2) Por tanto, 1,1 es igual a "1 y 1 medio" = 1,5 en decimalEjemplo 4: Cunto es 10,112 en decimal? El primer "1" est en la posicin "2", as que vale 12 (=2) El "0" est en la posicin de las unidades, vale 0 El "1" a la derecha del punto est en la posicin de las "mitades", as que vale 1(1/2) El ltimo "1" est en la posicin de los "cuartos", as que vale 1(1/4) Entonces, 10,11 es 2+0+1/2+1/4 = 2,75 en decimal"Hay 10 tipos de personas en el mundo, los que saben binario y los que no."
Dgitos binariosNmeros binariosUn nmero binario est hecho slo de 0s y 1s. As que cada cifra slo tiene dos posibilidades: 0 o 1
BitsEn el mundo de los ordenadores "dgito binario" se suele abreviar con la palabra "bit" Ms de un dgitoAs que si un dgito slo tiene dos valores posibles (como "0" y "1", o "On" y "Off"), cuntas combinaciones hay con 2 o ms dgitos binarios?Por ejemplo, de cuntas maneras se pueden poner 4 dgitos (como en el ejemplo de 4 tambores diferentes)?Vamos a escribirlas todas, empezando por 1 dgito (puedes probar t mismo pulsando los interruptores):Un interruptor tiene 2 posiciones...
0
1
... dos interruptores tienen 4 posiciones...
0000
101
1010
111
... tres interruptores tienen 8 posiciones...
000000
1001
10010
1011
100100
1101
10110
1111
... y cuatro interruptores tienen 16 posiciones.
00000000
10001
100010
10011
1000100
10101
100110
10111
10001000
11001
101010
11011
1001100
11101
101110
11111
Y de hecho hemos creado los primeros 16 nmeros binarios:Decimal:0123456789101112131415
Binario:01101110010111011110001001101010111100110111101111
Esto es algo que viene bien aprenderse. Si olvidas cmo va la secuencia de nmeros binarios, slo piensa en esto: "0" y "1", despus "0" y "1" otra vez pero con un "1" delante ("10" y "11"), despus toma esos cuatro y pon "1"s delante ("100","101","110","111") y as sigue!Doblar cifras binariasFjate tambin en que cada vez que pones una cifra binaria ms, se doblan las posibilidades. Por qu el doble? Porque tienes que tomar todas las posiciones anteriores y hacerlas corresponder con un "0" y un "1" como hicimos antes.As que si tienes 5 cosas el total sera 32, con 6 cosas sera 64, etc.Usando exponentes, esto lo podemos escribir as:Nmero de dgitosFrmulaPosiciones
1212
2224
3238
42416
52532
62664
etc...etc...etc...
Ejemplo: si tienes 50 dgitos binarios (o 50 cosas que pueden tener cada una dos posiciones), de cuntas maneras diferentes puedes hacerlo?Respuesta: 250 = 2 2 2 2 ... (cincuenta factores) = 1,125,899,906,842,624As que un nmero binario con 50 dgitos puede tener 1,125,899,906,842,624 valores diferentes.O por decirlo de otra manera, podra indicar un nmero hasta 1,125,899,906,842,623 (fjate en que es uno menos que el nmero total de valores, porque uno de los valores es 0).Tablero de ajedrezHay una antigua leyenda india sobre un rey al que un sabio que visitaba su reino ret a jugar al ajedrez. El rey pregunt: "cul es el premio si ganas?".El sabio dijo que slo quera un poco de arroz: 1 grano en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera y as sucesivamente, cada vez el doble. El rey se sorprendi por la humilde solicitud.
Pues el sabio gan, as que cuntos granos de arroz debera recibir?En la primera casilla: 1 grano. En la segunda: 2 granos (3 en total) y as sucesivamente:CasillaGranosTotal
111
223
347
4815
105121,023
20524,2881,048,575
3053,6870,9121,073,741,823
64??????
Cuando andes por la casilla 30 ya habrs visto que es muchsimo arroz! Mil millones de granos pesaran unas 25 toneladas (1,000 granos pesan unos 25 gramos, los he pesado).Fjate en que el Total por cada casilla es 1 menos que los Granos de la siguiente (ejemplo: en la casilla 3 el total acumulado es 7, y la casilla 4 tiene 8 granos). As que el total en todas las casillas sigue la frmula 2n-1, donde n es el nmero de la casilla. Por ejemplo, para la casilla 3, el total es 23-1 = 8-1 = 7As que para rellenar las 64 casillas del tablero de ajedrez necesitaramos 264-1 = 18,446,744,073,709,551,615 granos (460 mil millones de toneladas de arroz), muchas veces ms arroz del que hay en todo el reino.As que el poder de doblar en binario no hay que tomarlo a la ligera (460 mil millones de toneladas no es nada ligero!)(Por cierto, en la leyenda el sabio se descubre para mostrar que es Krishna y le dice al rey que no tiene que pagar inmediatamente: puede pagar la deuda poco a poco, dando arroz a los peregrinos hasta que est pagada.)HexadecimalPara terminar, me gustara hablarte de la relacin especial entre binario y hexadecimal.Hay 16 dgitos hexadecimales, y ya sabemos que 4 cifras binarias dan 16 valores posibles. Bien, la relacin exacta entre ellos es:Binario:01101110010111011110001001101010111100110111101111
Hexadecimal:0123456789ABCDEF
As que cuando la gente usa ordenadores (que prefieren los nmeros binarios), es mucho ms fcil usar un solo dgito hexadecimal en lugar de 4 dgitos binarios.Por ejemplo, el nmero binario "100110110100" es "9B4" en hexadecimal. Yo s cul prefiero escribir!
Nmeros binarios, decimales y hexadecimalesDecimalesPara entender los nmeros binarios y hexadecimales, lo mejor es entender bien cmo funcionan los nmeros decimales.Cada dgito de un nmero decimal va en una "posicin", y el punto decimal nos dice qu posicin es cada una. La posicin justo a la izquierda del punto son las "unidades". Cada vez que nos movemos a la izquierda vale 10 veces ms, y a la derecha vale 10 veces menos:
Pero esto slo es una manera de escribir nmeros. Hay otras maneras como los nmeros romanos, binarios, hexadecimales, y ms. Incluso podras marcar puntos en una hoja de papel!Contar en diferentes sistemas de numeracinEl sistema decimal de numeracin tambin se llama "base 10", porque se basa en el nmero 10. En decimal hay diez smbolos (0 a 9), pero fjate en esto: no hay un smbolo para el "diez". "10" son en realidad dos smbolos juntos, un "1" y un "0":En decimal contamos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, entonces decimos "me he quedado sin smbolos, as que empiezo otra vez con 0, pero primero voy a aadir 1 a la izquierda".En decimal contamos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, entonces decimos "me he quedado sin smbolos, as que empiezo otra vez con 0, pero primero voy a aadir 1 a la izquierda".Pero no es obligatorio usar 10 como "base". Podras usar 2 ("binario"), 16 ("hexadecimal"), o cualquier nmero que quieras! Slo sigue la misma regla:Cuenta hasta justo antes de la "base", despus vuelve al 0, pero aadiendo 1 a la izquierda.Por qu no pruebas t? Intenta contar puntos con bases 2 a 16 en esta pequea demostracin: & lt;/object>
Prueba esto: despus de elegir una base y dejar que trabaje un rato, usa el botn de "Pausa" y mira si ha acertado el nmero de puntos, como en este ejemplo en base 2:
Ejemplo: 116 + 18 + 11 = 16+8+1 = 25
Nmeros binariosLos nmeros binarios son en "base 2" en lugar de "base 10". Empiezas contando 0, despus 1, ya se te acabaron los dgitos! As que vuelves al 0, pero aumentas en 1 el nmero de la izquierda.Funciona as:000
001
010no hay "2" en binario, as que volvemos al 0...... y sumamos 1 a la cifra de la izquierda
011
100volvemos otra vez al 0, y sumamos 1 a la izquierda...... pero ese nmero ya es 1 as que vuelve a ser 0...... y el 1 se suma al siguiente nmero a la izquierda
101
110etc...
Nmeros hexadecimalesLos nmeros hexadecimales son interesantes. Hay 16 dgitos diferentes! Son como los decimales hasta el 9, pero despus hay letras ("A',"B","C","D","E","F") para los valores de 10 a 15. As que con una sola cifra hexadecimal se pueden dar 16 valores diferentes en lugar de los 10 de siempre:Decimal:0123456789101112131415
Hexadecimal:0123456789ABCDEF
HexadecimalesUn nmero hexadecimal es en base 16
Este es 21616 + 1416 + 6 + 10/16 + 3/(1616)Lee ms abajo para averiguar por qu
Cada cifra se pone a la izquierda o derecha del punto, para indicar valores ms grandes o ms pequeos que uno:La que est justo a la izquierda del punto es un nmero entero, y a esa posicin la llamamos unidades.
Cuando nos movemos a la izquierda, cada posicin vale 16 veces ms.
La primera cifra a la izquierda del punto vale un dieciseisavo (1/16).
Cuando nos movemos a la derecha, cada posicin vale 16 veces menos (un dieciseisavo de la anterior).
16 valores diferentesLos nmeros hexadecimales son como los nmeros decimales hasta el 9, pero tambin se usan letras ("A',"B","C","D","E","F") para los valores 10 a 15:Decimal:0123456789101112131415
Hexadecimal:0123456789ABCDEF
As que un dgito hexadecimal puede tomar 16 valores diferentes en lugar de 10. Definicin de hexadecimalLa palabra "hexadecimal" quiere decir "en base 16" (Del griego hexa: "seis" y del latn decima: "la dcima parte").
EjemplosEjemplo 1: Cunto es 2E6 (hexadecimal)? El "2" est en la posicin de "1616", as que vale 21616 La "E" est en la posicin de "16", as que vale 1416 El "6" est en la posicin de las "unidades" as que vale 6. Respuesta: 2E6 = 21616 + 1416 + 6 (=742 en decimal)Ejemplo 2: Cunto es 2,3 (hexadecimal)? A la izquierda del punto hay "2", esa es la parte entera. El 3 est en la posicin de los "dieciseisavo", as que vale "3 dieciseisavos", que son 3/16 As, 2,3 es "2 y 3 dieciseisavos" (=2,1875 en decimal)
Mtodo para cambio de baseEn esta pgina veremos un mtodo para convertir nmeros enteros y decimales a otra base. Te damos dos ejemplos sobre convertir a base 26. Cambio de base de nmeros enterosEl cambio de base de nmeros enteros es bastante fcil si usas divisiones con resto.Empecemos con un ejemplo:Convertir 1208 a base 26 (la base 26 es divertida porque usamos como cifras el alfabeto)Para hacerlo ms simple usar A=1, B=2, etc. (como en las hojas de clculo) y Z para el cero, pero tambin se usa a veces A=0, B=1, hasta Z=25 en base 26.Mira estas divisiones (R significa resto, que dejamos de lado en la siguiente divisin):1208 / 26 = 46 R 12
46 / 26 = 1 R 20
Ahora nos fijamos en la ltima respuesta (1 R 20), significa que 1208/26/26 = 1 (ms algo pequeo), as que tenemos que poner un "1" en la posicin que vale "262"!Despus tenemos que poner 20 en la posicin que vale "261", y para terminar ponemos 12 en las unidades.Por qu?Porque lo que las divisiones nos dicen es que:
1208 = 46 26 + 12
As que 12 va en la posicin de las unidades, y a partir de ah seguimos con la primera potencia de 26:
46 = 1 26 + 20 (as que el 20 va en la posicin 26, y ponemos el 1 en la posicin 2626 column)Entonces, la respuesta es: 2622611s
12012
Y si sustituimos los nmeros por letras, tenemos: ATLVeamos si es correcto:1 26 = 676+20 26 = 520+12 1 = 12==> Total: 1208As que para cambiar de base un nmero entero haces divisiones sucesivas y escribes los resultados de derecha a izquierdaNota: si usas el sistema con A=0, entonces el cdigo ATL se convierte en B__ (compltalo t!)Qu pasa despus del punto decimal?Si has entendido cmo hacerlo con nmeros enteros, pasamos ahora a los "decimales" (hmmm... no es exacto llamarlos as porque eso es para base 10, pero nos entendemos).Cuando hay "decimales", hacemos multiplicaciones sucesivas y escribimos los resultados de izquierda a derecha. Probemos con el nmero pi (3.1416...), vamos a convertirlo a base 26. La parte entera es fcil, en base 26 es 3, ahora pasamos a la parte "decimal":.1416 26 = 3.6816.6816 26 = 17.7216.7216 26 = 18.7616etc...La primera multiplicacin nos dice que pongamos 3 en la primera posicin "decimal", la segunda dice que pongamos 17 en la segunda, etc...Entonces, la respuesta es: 3.31718...
Y si ponemos letras en lugar de nmeros tenemos: C.CQRPara comprobar he calculado 3 + 3/26 + 17/26 + 18/26 = 3.141556..., y es bastante aproximado!Bases mayores que 10En decimal (base 10) se usan 10 dgitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), qu pasa cuando necesitas ms de 10?Undecimal (base 11)El undecimal (base 11) necesita un dgito ms que el decimal, as que se usa "A":Decimal:0123456789101112...
Undecimal:0123456789A1011...
Duodecimal (base 12)El duodecimal (base 12) necesita dos dgitos ms que el decimal, as que se usan "A" y "B":Decimal:012345678910111213...
Duodecimal:0123456789AB1011...
Hexadecimal (base 16)Tambin en esta base se usan letras, as:Decimal:01234567891011121314151617...
Hexadecimal:0123456789ABCDEF1011...
Vigesimal (Base 20)En vigesimal, la costumbre es no usar la letra I porque se parece al nmero 1, as que J=18 y K=19, como en esta tabla:Decimal:01234567891011121314151617181920...
Vigesimal:0123456789ABCDEFGHJK10...
Alfabtico (base 26)En "base 26", usamos slo las letras del alfabeto (no de 0 a 9). Alguna gente empieza con A=0, B=1, etc. Pero es ms natural usar A=1, B=2, etc., porque para mucha gente la A es la primera letra, la B es la segunda, etc.As que aqu usamos A=1, B=2, y para el cero la "Z"!Decimal:0123456789101112131415161718192021222324252627...
Base 26:ZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYAZAA...
Es divertido usar base 26, escribir tu nombre y ver qu nmero te corresponde!Tambin puedes poner cifras decimales despus del ".", por ejemplo si pones 0.1 sale "BOOO..."
SISTEMA BINARIO
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Blog de Tecnologia Vamos a estudiar el sistema binario de forma sencilla y fcil de entender para todo el mundo.
Actualmente la mayora de las personas utilizamos el sistema decimal (de 10 dgitos) para realizar operaciones matemticas. Este sistema se basa en la combinacin de 10 dgitos (del 0 al 9). Construimos nmeros con 10 dgitos y por eso decimos que su base es 10.
El sistema binario es un sistema de numeracin en el que los nmeros se representan utilizando las cifras 0 y 1, es decir solo 2 dgitos, esto en informtica tiene mucha importancia ya que las computadoras trabajan internamente con 2 niveles de Tensin lo que hace que su sistema de numeracin natural sea binario, por ejemplo 1 para encendido y 0 para apagado. Tambin se utiliza en electrnica y en electricidad (encendido o apagado, activado o desactivado).
Se basa en la representacin de cantidades utilizando los dgitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (nmero de dgitos del sistema). Cada dgito de un nmero en este sistema se denomina bit (contraccin de binary digit).
Por ejemplo el nmero en binario 1001 es de 4 bits. Recuerda cualquier nmero binario solo puede tener ceros y unos.
Pasar un nmero Decimal a su equivalente en Binario
Segn el orden ascendente de los nmeros en decimal tendramos un nmero equivalente en binario:
El 0 en decimal sera el 0 en binario El 1 en decimal sera el 1 en binario El 2 en decimal sera el 10 en binario (recuerda solo combinaciones de 1 y 0) El 3 en decimal sera el 11 en binario El 4 en decimal sera el 100 en binario Y as sucesivamente obtendramos todos los nmeros en orden ascendente de su valor, es decir obtendramos el Sistema de Numeracin Binario y su equivalente en decimal. Pero que pasara si quisiera saber el nmero equivalente en binario al 23456 en decimal. Tranquilo, hay un mtodo para convertir un nmero decimal en binario sin hacerlo uno a uno.
Para hacer la conversin de decimal a binario, hay que ir dividiendo el nmero decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la divisin es par y un 1 si es impar). Para sacar la cifra en binario cogeremos el ltimo cociente (siempre ser 1) y todos los restos de las divisiones de abajo arriba, orden ascendente.
Ejemplo queremos convertir el nmero 28 a binario
28 dividimos entre 2 : Resto 0 14 dividimos entre 2 : Resto 0 7 dividimos entre 2 : Resto 1 3 dividimos entre 2 : Resto 1 y cociente final 1
Entonces el primer nmero del nmero equivalente en binario sera el cociente ltimo que es 1, el segundo nmero del equivalente el resto ultimo, que tambin es 1, la tercera cifra del equivalente sera el resto anterior que es 1, el anterior que es 0 y el ltimo nmero de equivalente en binario sera el primer resto que es 0 quedara el 11100
Conclusin el nmero 28 es equivalente en binario al 11.100.
Aqu lo vemos con las operaciones de forma ms sencilla de entender:
Vemos como para sacar el equivalente se coge el ltimo cociente de las operaciones y los restos que han salido en orden ascendente (de abajo arriba) 11100. el Nmero 2 del final en subndice es para indicar que es un nmero en base 2, pero no es necesario ponerlo.
Veamos otro ejemplo el nmero 65 pasarlo a binario.
Pasar un Nmero Binario a su Equivalente en Decimal
Pues ahora al revs. Que pasara si quisiera saber cual es el nmero equivalente en decimal del nmero binario por ejemplo 1001? Pues tambin hay mtodo.
PASO 1 Numeramos los bits de derecha a izquierda comenzando desde el 0 (muy importante desde 0 no desde 1). PASO 2 Ese nmero asignado a cada bit o cifra binaria ser el exponente que le corresponde. PASO 3 Cada nmero se multiplica por 2 elevado al exponente que le corresponde asignado anteriormente. PASO 4 - Se suman todos los productos y el resultado ser el nmero equivalente en decimal
Vamos a verlo grficamente que ser ms sencillo de entender. Ejemplo el nmero 1001 queremos saber su equivalente en decimal. Primero asignamos exponentes:
Empezamos por el primer producto que ser el primer nmero binario por 2 elevado a su exponente, es decir 1 x 23 . El segundo y el tercer productos sern 0 por que 0 x 22 y 0 x 21 su resultado es 0 y el ltimo producto ser 1 x 20 que ser 1, OJO cualquier nmero elevado a cero es 1, luego 1 x 20 es 1 (no confundir y poner 0).
Ya estamos en el ltimo paso que es sumar el resultado de todos estos productos
1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9
El equivalente en decimal del nmero binario 1001 es el 9.
Veamos otro ejemplo solo grficamente para que lo entiendas definitivamente. En este caso la asignacin del exponente a cada nmero ya lo hacemos directamente en los productos, que es como se suele hacer normalmente.
Otro ejemplo con todos los datos:
Operaciones Binarias
Las operaciones binarias que se pueden realizar con nmero binarios son las mismas que en cualquier otro sistema, suma, resta, multiplicacin y divisin.
Suma de nmeros Binarios
Las posibles combinaciones al sumar dos bits son 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10
Un ejemplo con ms cifras:
100110101 + 11010101 1000001010
Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama arrastre). A continuacin se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).
Resta de Nmeros Binarios
Las restas bsicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes: 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = Es una resta imposible en binario por que no hay nmeros negativos.
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posicin siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumndola, a la posicin siguiente. Veamos algunos ejemplos:
Dos ejemplos:
10001 11011001 -01010 -10101011 01111 00101110
Multiplicacin de Nmeros Binarios
0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1
Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001: 10110 x 1001 10110 00000 00000 10110 11000110
Divisin de nmeros binarios
Igual que en el producto, la divisin es muy fcil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.
Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo nmero de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la divisin tomando un dgito ms (1001 entre 100).
Si la divisin es posible, entonces, el divisor slo podr estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.
El procedimiento de divisin contina del mismo modo que en el sistema decimal.
