Apresenta¸ c˜ ao Introdu¸ c˜ ao Hist´oria Matrizes EVD SVD Aplica¸ c˜oes Referˆ encias Singular Value Decomposition (SVD) and Application in MatLab: Resolving the sign ambiguity in the SVD. Autor: Walner Mendon¸ ca dos Santos [email protected]13 de Janeiro de 2012 Fortaleza-CE, Brasil –– Universidade Federal do Cear´ a WalnerMendon¸ca Singular Value Decomposition (SVD)
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Singular Value Decomposition (SVD) and Application in MatLab.
Muitos métodos de análise de dados modernos envolvem computar uma decomposição de uma matriz em valores singulares (SVD - singular value decomposition) ou decomposição em autovalores (EVD - eigenvalue decomposition). Existem inúmeras aplicações de tais métodos. Durante este seminário, toda a teoria da SVD será discutida. Primeiro definiremos alguns conceitos e apresentaremos alguns resultados fundamentais da álgebra linear voltados para a teoria da SVD, como a diagonalização de uma matriz e o problema de achar os autovalores. Em seguida, iremos construir a SVD, criar um método para encontrar os valores singulares de uma matriz e extrair alguns resultados importantes tanto para a teoria quanto para a prática. Por último, apresentaremos algumas aplicações, culminando na solução de um problema existente no método: a ambiguidade no sinal da SVD.
Palavras-chave: matrizes; similaridade; diagonalização; EVD; SVD; compressão de imagens; eigenfaces; indeterminação do sinal.
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Transcript
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Singular Value Decomposition (SVD) and Application inMatLab:
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Sumario
1 Apresentacao
2 Introducao
3 Historia
4 Matrizes
5 EVD
6 SVD
7 Aplicacoes
8 Referencias
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Tudo comeca com um pouco de
ideia e bastante disposicao...
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Metodos de analise
Metodos modernos de analise de dados;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Decomposicao em Autovalores (EVD);
Aplicacoes de tais metodos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Metodos de analise
Metodos modernos de analise de dados;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Decomposicao em Autovalores (EVD);
Aplicacoes de tais metodos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Metodos de analise
Metodos modernos de analise de dados;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Decomposicao em Autovalores (EVD);
Aplicacoes de tais metodos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Metodos de analise
Metodos modernos de analise de dados;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Decomposicao em Autovalores (EVD);
Aplicacoes de tais metodos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Nessa jornada...
Passearemos um pouco pela a algebra linear;
Contemplaremos a pureza dos autovalores;
Discutiremos a teoria da SVD;
Nos deliciaremos com algumas aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Nessa jornada...
Passearemos um pouco pela a algebra linear;
Contemplaremos a pureza dos autovalores;
Discutiremos a teoria da SVD;
Nos deliciaremos com algumas aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Nessa jornada...
Passearemos um pouco pela a algebra linear;
Contemplaremos a pureza dos autovalores;
Discutiremos a teoria da SVD;
Nos deliciaremos com algumas aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Apresentacao
Nessa jornada...
Passearemos um pouco pela a algebra linear;
Contemplaremos a pureza dos autovalores;
Discutiremos a teoria da SVD;
Nos deliciaremos com algumas aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Motivacoes
Implicacoes teoricas;
A importancia pratica;
Aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Motivacoes
Implicacoes teoricas;
A importancia pratica;
Aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Motivacoes
Implicacoes teoricas;
A importancia pratica;
Aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Objetivos
Desenvolver uma teoria razoavel;
Apresentar os principais resultados;
Construir a SVD;
Mostrar aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Objetivos
Desenvolver uma teoria razoavel;
Apresentar os principais resultados;
Construir a SVD;
Mostrar aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Objetivos
Desenvolver uma teoria razoavel;
Apresentar os principais resultados;
Construir a SVD;
Mostrar aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Objetivos
Desenvolver uma teoria razoavel;
Apresentar os principais resultados;
Construir a SVD;
Mostrar aplicacoes.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
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Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Introducao
Topicos
Topicos Matriciais;
Autovalores e Autovetores;
Decomposicao em Valores Singulares (SVD);
Compressao de Imagens;
Sinalizacao Ambıgua;
Eigenfaces.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Introducao
Abordagem
Apresentar;
Idealizar;
Construir;
Reforcar;
Aplicar.
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Introducao
Abordagem
Apresentar;
Idealizar;
Construir;
Reforcar;
Aplicar.
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Introducao
Abordagem
Apresentar;
Idealizar;
Construir;
Reforcar;
Aplicar.
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Introducao
Abordagem
Apresentar;
Idealizar;
Construir;
Reforcar;
Aplicar.
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Introducao
Abordagem
Apresentar;
Idealizar;
Construir;
Reforcar;
Aplicar.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Eugenio Beltrami (italiano)(1873)
Foi o desenvolvedor da SVD;
Criou um algoritmo proprio para o calculo da SVD;
Seu metodo tinha limitacoes: matrizes reais, quadradas,nao-singular e com autovalores distintos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Historia
Eugenio Beltrami (italiano)(1873)
Foi o desenvolvedor da SVD;
Criou um algoritmo proprio para o calculo da SVD;
Seu metodo tinha limitacoes: matrizes reais, quadradas,nao-singular e com autovalores distintos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Historia
Eugenio Beltrami (italiano)(1873)
Foi o desenvolvedor da SVD;
Criou um algoritmo proprio para o calculo da SVD;
Seu metodo tinha limitacoes: matrizes reais, quadradas,nao-singular e com autovalores distintos.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Camille Jordan (frances)(1874)
Descobriu a SVD um ano depois de Beltrami;
Sua tatica: reduzir uma forma bilinear a uma forma diagonalpor substituicoes ortogonais;
Solucao mais elegante do que a de Beltrami;
Tecnica sem o devido reconhecimento.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Historia
Camille Jordan (frances)(1874)
Descobriu a SVD um ano depois de Beltrami;
Sua tatica: reduzir uma forma bilinear a uma forma diagonalpor substituicoes ortogonais;
Solucao mais elegante do que a de Beltrami;
Tecnica sem o devido reconhecimento.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Historia
Camille Jordan (frances)(1874)
Descobriu a SVD um ano depois de Beltrami;
Sua tatica: reduzir uma forma bilinear a uma forma diagonalpor substituicoes ortogonais;
Solucao mais elegante do que a de Beltrami;
Tecnica sem o devido reconhecimento.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Historia
Camille Jordan (frances)(1874)
Descobriu a SVD um ano depois de Beltrami;
Sua tatica: reduzir uma forma bilinear a uma forma diagonalpor substituicoes ortogonais;
Solucao mais elegante do que a de Beltrami;
Tecnica sem o devido reconhecimento.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
James Sylvester (ingles)(1889)
Obteve resultados similares ao de Jordan;
Seu metodo envolvia ignorar termos de segunda ordem.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Historia
James Sylvester (ingles)(1889)
Obteve resultados similares ao de Jordan;
Seu metodo envolvia ignorar termos de segunda ordem.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Erhard Schmidt (alemao)(1907)
Foi o primeiro a introduzir a SVD em equacoes integrais;
Usou a SVD para obter uma melhor aproximacao de umoperador.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Historia
Erhard Schmidt (alemao)(1907)
Foi o primeiro a introduzir a SVD em equacoes integrais;
Usou a SVD para obter uma melhor aproximacao de umoperador.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Herman Weyl (alemao)(1912)
Desenvolveu uma teoria de perturbacao geral;
Deu uma elegante prova do teorema da aproximacao.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Historia
Herman Weyl (alemao)(1912)
Desenvolveu uma teoria de perturbacao geral;
Deu uma elegante prova do teorema da aproximacao.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Gene Golub (norte-americano)(1970)
Um dos principais contribuintes para algoritmos paradecomposicao de matrizes;
Criou um algoritmo estavel e eficiente que ate hoje e usado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Gene Golub (norte-americano)(1970)
Um dos principais contribuintes para algoritmos paradecomposicao de matrizes;
Criou um algoritmo estavel e eficiente que ate hoje e usado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Historia
Curiosidades Historicos
A expressao ”valores singulares”partiu provavelmente da teoriadas equacoes diferenciais;
Nao usado de forma consistente ate meados do seculo XX.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Historia
Curiosidades Historicos
A expressao ”valores singulares”partiu provavelmente da teoriadas equacoes diferenciais;
Nao usado de forma consistente ate meados do seculo XX.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Parte I
– MATRIZES –
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao
Uma matriz Am×n e um agrupamento retangular de m × nnumeros. Os numeros deste agrupamento sao chamdos entradasda matriz e sao representados por indexacoes do tipo aij .
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Representacao
Quando se interessa em mostrar a matriz, costuma-se representa-lada seguinte forma:
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Nomenclatura
Quando for desejado uma notacao mais compacta para representaruma matriz Am×n, podemos escrever da seguinte forma:
Am×n = [aij ]m×n ou A = [aij ]
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Matriz quadrada
Dizemos que uma matriz e quadrada quando o numero de linhasdela coincidir com o numero de colunas.
Diagonal de uma matriz
Chamamos o conjuto de elementos a11, a22, a33, ..., aij , onde i = jde diagonal da matriz A (nao necessariamente quadrada).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Matriz quadrada
Dizemos que uma matriz e quadrada quando o numero de linhasdela coincidir com o numero de colunas.
Diagonal de uma matriz
Chamamos o conjuto de elementos a11, a22, a33, ..., aij , onde i = jde diagonal da matriz A (nao necessariamente quadrada).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Exemplos de matrizes
A =
9 16 13 22 08 10 0
B =
9 6 0 155 2 15 707 1 20 0, 9
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Definicao (Igualdade entre matrizes)
Duas matrizes A e B sao iguais se, e somente se, tiverem o mesmotamanho m × n e se as entradas aij e bij forem iguais para todoi ≤ m e j ≤ n.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Definicao (Soma de matrizes)
Se A e B sao matrizes do mesmo tamanho, entao a soma A + B ea matriz obtida somando as entrada de A as entradascorrespondetes de B. Matrizes de tamanho distintos nao podemser somadas ou subtraıdas.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades da Soma
1 A + B = B + A
2 A + (B + C) = (A + B) + C
3 A + 0 = A
4 A + (−A) = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades da Soma
1 A + B = B + A
2 A + (B + C) = (A + B) + C
3 A + 0 = A
4 A + (−A) = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades da Soma
1 A + B = B + A
2 A + (B + C) = (A + B) + C
3 A + 0 = A
4 A + (−A) = 0
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Matrizes
Proriedades da Soma
1 A + B = B + A
2 A + (B + C) = (A + B) + C
3 A + 0 = A
4 A + (−A) = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades da Soma
1 A + B = B + A
2 A + (B + C) = (A + B) + C
3 A + 0 = A
4 A + (−A) = 0
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Definicao (Produto de matrizes por escalares)
Se A e uma matriz e c e um escalar, entao o produto cA e amatriz obtida pela multiplicacao de cada entrada da matriz A porc . A matriz cA e chamada de multiplo escalar de A.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Proriedades do produto de matrizes por escalares
1 a(bA) = (ab)A
2 1A = A
3 (a + b)A = aA + bA
4 a(A + B) = aA + aB
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades do produto de matrizes por escalares
1 a(bA) = (ab)A
2 1A = A
3 (a + b)A = aA + bA
4 a(A + B) = aA + aB
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Matrizes
Proriedades do produto de matrizes por escalares
1 a(bA) = (ab)A
2 1A = A
3 (a + b)A = aA + bA
4 a(A + B) = aA + aB
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Matrizes
Proriedades do produto de matrizes por escalares
1 a(bA) = (ab)A
2 1A = A
3 (a + b)A = aA + bA
4 a(A + B) = aA + aB
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Matrizes
Proriedades do produto de matrizes por escalares
1 a(bA) = (ab)A
2 1A = A
3 (a + b)A = aA + bA
4 a(A + B) = aA + aB
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Definicao (Produto entre duas matrizes)
Sejam Am×n e Bn×p duas matrizes com o numero de colunas de Aigual ao numero de linhas de B. Definimos o produto entre elascomo a matriz m × p, C = AB, com as entradas cij calculadas daseguinte forma:
cij =n∑
k=1
aikbkj ,
para i = 1, ...,m e j = 1, ..., p.
Observacao
Nao se defini o produto entre matrizes quando o numero decolunas de A nao for igual ao numero de linhas de B.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Definicao (Produto entre duas matrizes)
Sejam Am×n e Bn×p duas matrizes com o numero de colunas de Aigual ao numero de linhas de B. Definimos o produto entre elascomo a matriz m × p, C = AB, com as entradas cij calculadas daseguinte forma:
cij =n∑
k=1
aikbkj ,
para i = 1, ...,m e j = 1, ..., p.
Observacao
Nao se defini o produto entre matrizes quando o numero decolunas de A nao for igual ao numero de linhas de B.
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Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
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Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
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Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
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Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
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Matrizes
Proriedades do produto entre matrizes
1 A(BC) = (AB)C
2 A(B + C) = AB + AC
3 (A + B)C = AC + BC
4 a(AB) = (aA)B = A(aB)
Observacao
Nao vale necessariamente a comutatividade em relacao ao produtode matrizes. Ou seja, AB = BA nem sempre e verdade.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
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Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Mais proriedades da aritmetica matricial
1 A− A = 0
2 0− A = −A
3 0A = 0
4 0A = 0; A0 = 0
5 ImA = A; AIn = A
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Matrizes
Definicao (Transposta)
Se A e uma matriz m × n qualquer, entao a transposta de A,denota-se por AT , e definida como a matriz n ×m que resulta dapermutacao das linhas com as colunas de A; ou seja, a i-esimacoluna de AT e i-esima linha de A.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Exemplos de matrizes transpotas
A =
5 6 13 2 00 4 2
⇒ AT =
5 3 06 2 41 0 2
B =
201
⇒ BT =[
2 0 1]
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Matrizes
Propriedades da trasnposta
1 (AT )T = A
2 (A + B)T = AT + BT
3 (αA)T = αAT
4 (CD)T = DTCT (note a ordem dos fatores)
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Matrizes
Propriedades da trasnposta
1 (AT )T = A
2 (A + B)T = AT + BT
3 (αA)T = αAT
4 (CD)T = DTCT (note a ordem dos fatores)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Propriedades da trasnposta
1 (AT )T = A
2 (A + B)T = AT + BT
3 (αA)T = αAT
4 (CD)T = DTCT (note a ordem dos fatores)
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Propriedades da trasnposta
1 (AT )T = A
2 (A + B)T = AT + BT
3 (αA)T = αAT
4 (CD)T = DTCT (note a ordem dos fatores)
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Matrizes
Propriedades da trasnposta
1 (AT )T = A
2 (A + B)T = AT + BT
3 (αA)T = αAT
4 (CD)T = DTCT (note a ordem dos fatores)
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Matrizes
Definicao (Matriz Simetrica)
Se uma matriz satisfaz AT = A, dizemos que ela e uma matrizsimetrica.
Teorema
1 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
2 A matriz ATA e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
3 A matriz AAT e simetrica, qualquer que seja a matriz A.
4 Se A e simetrica, entao A pode ser escrita comoA = BBT = CTC, para alguma matriz B ou C.
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Matrizes
Exemplos de matrizes simetricas
A =
0 1 01 2 40 4 8
, B =
5 3 0 13 2 4 30 4 2 71 3 7 9
C =
[0 12 3
]⇒ CCT =
[0 12 3
] [0 21 3
]=
[1 33 13
]
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Definicao (Inversa)
Se A e B sao duas matrizes tais que AB = BA = I, dizemos queB e a matriz inversa de A e a denotamos por A−1.
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Matrizes
Exemplo de matriz inversa[2 14 3
] [32
−12
−2 1
]=
[1 00 1
]
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Usando o MatLab (Inversa de uma Matriz)
Sintaxe:
B = inv(A)
Retorna a inversa (quando existir) de uma matriz quadrada.
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Propriedades da inversa
1 Se B e invesersa de A e C tambem e, entao B = C
2 (A−1)−1 = A
3 (AB)−1 = B−1A−1 (note a ordem dos fatores)
4 (A−1)T = (AT )−1
5 (αA)−1 = 1αA−1
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Matrizes
Definicao (Menor)
Seja A uma matriz de ordem m × n. Denota-se por Aij a matrizmenor de A sobre a entrada ij . Esta matriz e a matriz A sem alinha i e a coluna j . Em outras palavras, Aij = [akl ], para1 ≤ k ≤ m; k 6= i e 1 ≤ l ≤ n; l 6= j .
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Matrizes
Exemplos de matrizes menores
A =
9 16 13 22 08 10 0
⇒ A11 =
[22 010 0
]; A22 =
[9 18 0
]; A33 =
[9 163 22
]
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Matrizes
Usando o MatLab (Matriz Menor)
Sintaxe:
B = menor(A,i,j)
Retorna a menor (i,j) da matriz A.
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Matrizes
Definicao (Determinante)
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se determinanteda matriz A o valor da funcao definida recursivamente da seguinteforma
det (A) =n∑
k=1
(−1)1+ka1k det (A1k)
onde det ([a11]) = a11 (determinate de uma matriz 1× 1 e igual aovalor da sua unica entrada).
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Matrizes
Propriedades do determinante
1 O determinante de uma matriz n × n que possui pelo menosuma linha ou coluna nula e zero.
2 O determinante da matriz identidade e um.
3 Se uma matriz n × n possui pelo menos uma linha(coluna)multipla de outra linha(coluna), seu determinante e nulo.
4 Se uma matriz n × n possui uma linha(coluna) que pode serescrita como combinacao linear das demais linhas(colunas),seu determinante e nulo.
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Matrizes
Propriedades do determinante
1 O determinante de uma matriz n × n que possui pelo menosuma linha ou coluna nula e zero.
2 O determinante da matriz identidade e um.
3 Se uma matriz n × n possui pelo menos uma linha(coluna)multipla de outra linha(coluna), seu determinante e nulo.
4 Se uma matriz n × n possui uma linha(coluna) que pode serescrita como combinacao linear das demais linhas(colunas),seu determinante e nulo.
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Matrizes
Propriedades do determinante
1 O determinante de uma matriz n × n que possui pelo menosuma linha ou coluna nula e zero.
2 O determinante da matriz identidade e um.
3 Se uma matriz n × n possui pelo menos uma linha(coluna)multipla de outra linha(coluna), seu determinante e nulo.
4 Se uma matriz n × n possui uma linha(coluna) que pode serescrita como combinacao linear das demais linhas(colunas),seu determinante e nulo.
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Matrizes
Propriedades do determinante
1 O determinante de uma matriz n × n que possui pelo menosuma linha ou coluna nula e zero.
2 O determinante da matriz identidade e um.
3 Se uma matriz n × n possui pelo menos uma linha(coluna)multipla de outra linha(coluna), seu determinante e nulo.
4 Se uma matriz n × n possui uma linha(coluna) que pode serescrita como combinacao linear das demais linhas(colunas),seu determinante e nulo.
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Matrizes
Propriedades do determinante
1 O determinante de uma matriz n × n que possui pelo menosuma linha ou coluna nula e zero.
2 O determinante da matriz identidade e um.
3 Se uma matriz n × n possui pelo menos uma linha(coluna)multipla de outra linha(coluna), seu determinante e nulo.
4 Se uma matriz n × n possui uma linha(coluna) que pode serescrita como combinacao linear das demais linhas(colunas),seu determinante e nulo.
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Matrizes
Exemplo de determinante de uma matriz
det(A) =
∣∣∣∣∣∣3 0 11 0 00 1 3
∣∣∣∣∣∣= (−1)1+1 ·3 ·
∣∣∣∣ 0 01 3
∣∣∣∣+(−1)1+2 ·0 ·∣∣∣∣ 1 0
0 3
∣∣∣∣+(−1)1+3 ·1 ·∣∣∣∣ 1 0
0 1
∣∣∣∣⇒ det(A) = 0− 0 + 1 = 1
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Matrizes
Usando o MatLab (Determinante)
Sintaxe:
d = det(A)
Retorna o determinante da matriz A quadrada pelo metodo deLagrange.
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Matrizes
Mais propriedades do determinante
1 Se o determinante de uma matriz e nulo, entao seus vetorescolunas (ou vetores linhas) sao linearmente dependentes.
2 det(AB) = det(A) det(B)
3 det(A−1) = (det(A))−1
4 det(A) = det(AT )
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Matrizes
Mais propriedades do determinante
1 Se o determinante de uma matriz e nulo, entao seus vetorescolunas (ou vetores linhas) sao linearmente dependentes.
2 det(AB) = det(A) det(B)
3 det(A−1) = (det(A))−1
4 det(A) = det(AT )
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Matrizes
Mais propriedades do determinante
1 Se o determinante de uma matriz e nulo, entao seus vetorescolunas (ou vetores linhas) sao linearmente dependentes.
2 det(AB) = det(A) det(B)
3 det(A−1) = (det(A))−1
4 det(A) = det(AT )
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Matrizes
Mais propriedades do determinante
1 Se o determinante de uma matriz e nulo, entao seus vetorescolunas (ou vetores linhas) sao linearmente dependentes.
2 det(AB) = det(A) det(B)
3 det(A−1) = (det(A))−1
4 det(A) = det(AT )
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Matrizes
Mais propriedades do determinante
1 Se o determinante de uma matriz e nulo, entao seus vetorescolunas (ou vetores linhas) sao linearmente dependentes.
2 det(AB) = det(A) det(B)
3 det(A−1) = (det(A))−1
4 det(A) = det(AT )
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Matrizes
Definicao (Matriz Diagonal)
Uma matriz m × n e dita matriz diagonal se todo elemento naopertencente a diagonal dela for nulo. Escrevemos
A = diag(a1, a2, a3, . . . , ap)m×n
Teorema
O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual ao produtodos n elementos de sua diagonal.
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Matrizes
Definicao (Matriz Diagonal)
Uma matriz m × n e dita matriz diagonal se todo elemento naopertencente a diagonal dela for nulo. Escrevemos
A = diag(a1, a2, a3, . . . , ap)m×n
Teorema
O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual ao produtodos n elementos de sua diagonal.
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Matrizes
Exemplos de matrizes diagonais
A = diag(5, 7, 11)5×3 =
5 0 00 7 00 0 110 0 00 0 0
B = diag(9, 1,−1, 0)4×4 =
9 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 0
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Matrizes
Definicao (Matriz Ortogonal)
Uma matriz A e dita ortogonal se AAT = I. Portanto, A tera queser uma matriz quadrada.
Teorema
Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
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Matrizes
Definicao (Matriz Ortogonal)
Uma matriz A e dita ortogonal se AAT = I. Portanto, A tera queser uma matriz quadrada.
Teorema
Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
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Matrizes
Exemplos de matrizes ortogonais
Rθ =
[cos(θ) sen(θ)−sen(θ) cos(θ)
]
B =
0 0 1 01 0 0 00 0 0 10 1 0 0
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Matrizes
Definicao (Similaridade)
Sejam A e B matrizes quadradas n× n. Dizemos que A e similar aB (escrevemos A ≈ B) se existir uma matriz X n × n invertıvel talque
A = XBX−1
Teorema
Matrizes similares possuem o mesmo determinante.
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Matrizes
Definicao (Similaridade)
Sejam A e B matrizes quadradas n× n. Dizemos que A e similar aB (escrevemos A ≈ B) se existir uma matriz X n × n invertıvel talque
A = XBX−1
Teorema
Matrizes similares possuem o mesmo determinante.
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Matrizes
Exemplo de matrizes similares[−1 −26 6
]≈[
2 10 3
][−1 −26 6
]=
[2 −3−3 5
] [2 10 3
] [5 33 2
]
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Matrizes
Definicao (Produto Interno Vetorial)
O produto interno de dois vetores e uma funcao Rn × Rn → Rdefinida por
〈x, y〉 =n∑
i=1
xiyi
Equivalentemente, e mais conveniente, temos
〈x, y〉 = xTy
Nessa segunda forma, os vetores sao tratados como matrizes n × 1e os escalares como matrizes 1× 1.
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Matrizes
Definicao (Produto Interno Matricial)
O produto interno de duas matrizes e uma funcaoRm×n × Rm×n → R definida por
〈A,B〉 =m∑i=1
n∑j=1
aijbij
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Matrizes
Usando o MatLab (Produto Interno)
Sintaxe:
x = interno(u,v)
x = interno(A,B)
Retorna o porduto interno vetorial (matricial) de dois vetores(matrizes) u e v (A e B).
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Todas essas propriedades do produto interno vetorial tambemsao validas para o produto interno matricial.
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Matrizes
Definicao (Norma Eclidiana de Vetores)
A norma padrao (Euclidiana) de vetores e uma funcaoRn → R[0,∞] definida por
‖x‖ =√〈x, x〉
de modo equivalente, temos
‖x‖ =√
xTx =
√√√√ n∑i=1
x2i
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Matrizes
Definicao (Norma de Matrizes)
A norma (2) de matrizes e uma funcao Rm×n → R[0,∞] definidapor
‖A‖ = max (svd(A))
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Matrizes
Definicao (Norma Frobenius)
A norma de Frobenius de uma matriz e uma funcaoRm×n → R[0,∞] definida por
‖A‖F =√〈A,A〉
de modo equivalente, temos
‖A‖F =
√√√√ m∑i=1
n∑j=1
a2ij
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Matrizes
Usando o MatLab (Norma)
Sintaxe:
n = norm(v)
n = norm(A,p)
Retorna a norma padrao do vetor v.
Retorna a norma como o maior valor singular da matriz A.[p=2]
Retorna a norma de Frobenius da matriz A. [p=’fro’]
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖
4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Propriedades da norma
1 ‖v‖ = 0⇔ v = 0
2 ‖v‖ > 0, se v 6= 0
3 ‖αv‖ = |α|‖v‖4 ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖
Todas essa propriedades sao validas para qualquer norma aquidefinida.
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Matrizes
Definicao (Cosseno do Angulo Entre Vetores)
O cosseno do angulo entre dois vetores e uma funcaoRn × Rn → R[−1, 1] definida por
cos(θ) =〈u, v〉‖u‖‖v‖
onde θ = ang(u, v) e o angulo entre os vetores u e v.
Observacao
Apesar do angulo entre vetores nao estar bem definido, a definicaoacima nos e satisfatoria para o que pretendemos aplica-la. A ideiade angulo deve ser sugerida como um valor real para θ tal que ocos(θ) seja como esta acima.
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Matrizes
Definicao (Cosseno do Angulo Entre Vetores)
O cosseno do angulo entre dois vetores e uma funcaoRn × Rn → R[−1, 1] definida por
cos(θ) =〈u, v〉‖u‖‖v‖
onde θ = ang(u, v) e o angulo entre os vetores u e v.
Observacao
Apesar do angulo entre vetores nao estar bem definido, a definicaoacima nos e satisfatoria para o que pretendemos aplica-la. A ideiade angulo deve ser sugerida como um valor real para θ tal que ocos(θ) seja como esta acima.
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Matrizes
Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do angulo
entre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
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Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R
2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do anguloentre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
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Matrizes
Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do angulo
entre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Matrizes
Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do angulo
entre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do angulo
entre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Matrizes
Propriedades do cosseno do angulo entre vetores
1 cos(θ) ∈ [−1, 1] ∈ R2 Quanto mais proximo de 1 for o modulo do cosseno do angulo
entre dois vetores, mais proximos de serem ”paralelos”elesestarao.
3 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for 1, entao elesestao na mesma direcao e no mesmo sentido.
4 Se o cosseno do angulo entre dois vetores for -1, entao elesestao na mesma direcao, mas em sentidos opostos.
5 Se o cosseno do angulo dois vetores for 0, entao eles saoperpendiculares (a projecao de um sobre o outro e nula).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Parte II
– AUTOVALORES & AUTOVETORES –
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Definicao (Autovalores e Autovetores)
Seja A ∈ Rn×n uma matriz quadrada. Um vetor nao-nulo x ∈ Rn eum autovetor ou um vetor caracterıstico de A, e λ ∈ R e oautovalor ou um valor caracterıstico correspondente, se
Ax = λx.
Consequencias da definicao
1 A cada autovetor, corresponde um unico autovalor.
2 A cada autovalor, uma infinidade de autovetores ocorresponde.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Definicao (Autovalores e Autovetores)
Seja A ∈ Rn×n uma matriz quadrada. Um vetor nao-nulo x ∈ Rn eum autovetor ou um vetor caracterıstico de A, e λ ∈ R e oautovalor ou um valor caracterıstico correspondente, se
Ax = λx.
Consequencias da definicao
1 A cada autovetor, corresponde um unico autovalor.
2 A cada autovalor, uma infinidade de autovetores ocorresponde.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Eigen Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos autovalores para matrizes 2× 2.
Observacao
Quando x for paralelo a Ax, teremos x sendo um autovetor damatriz. A norma de Ax e o correspondente autovalor.
Questoes
1 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao ortogonais?
2 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao singulares?
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Eigen Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos autovalores para matrizes 2× 2.
Observacao
Quando x for paralelo a Ax, teremos x sendo um autovetor damatriz. A norma de Ax e o correspondente autovalor.
Questoes
1 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao ortogonais?
2 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao singulares?
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Eigen Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos autovalores para matrizes 2× 2.
Observacao
Quando x for paralelo a Ax, teremos x sendo um autovetor damatriz. A norma de Ax e o correspondente autovalor.
Questoes
1 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao ortogonais?
2 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao singulares?
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Eigen Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos autovalores para matrizes 2× 2.
Observacao
Quando x for paralelo a Ax, teremos x sendo um autovetor damatriz. A norma de Ax e o correspondente autovalor.
Questoes
1 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao ortogonais?
2 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao singulares?
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Eigen Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos autovalores para matrizes 2× 2.
Observacao
Quando x for paralelo a Ax, teremos x sendo um autovetor damatriz. A norma de Ax e o correspondente autovalor.
Questoes
1 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao ortogonais?
2 Quais matrizes dos ’eigshow’ sao singulares?
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Autovalores e Autovetores)
Sintaxe:
[V, E] = eig(A)
[V, E] = eigs(A)
V e a matriz dos autovetores.
E e a matriz diagonal dos autovalores.
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Autovalores e Autovetores
Teorema
Seja A uma matriz n × n e λ um escalar em R. Os seguintesenunciados sao equivalentes:
1 λ e um autovalor de A.
2 (A− λI)x = 0 tem uma solucao nao trivial.
3 det(A− λI) = 0
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Autovalores e Autovetores
Definicao (Polinomio Caracterıstico)
Seja A uma matriz n × n e λ um escalar em R. O polinomiocaracterıstico da matriz A e o polinomio
PA(λ) = det(A− λI).
Teorema
λ e uma autovalor de A se, e somente se, λ e raiz do polinomiocaracterıstico PA(λ). Em outras palavas, para algum x, λ satisfaz
Ax = λx⇔ PA(λ) = det(A− λI) = 0.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Autovalores e Autovetores
Definicao (Polinomio Caracterıstico)
Seja A uma matriz n × n e λ um escalar em R. O polinomiocaracterıstico da matriz A e o polinomio
PA(λ) = det(A− λI).
Teorema
λ e uma autovalor de A se, e somente se, λ e raiz do polinomiocaracterıstico PA(λ). Em outras palavas, para algum x, λ satisfaz
Ax = λx⇔ PA(λ) = det(A− λI) = 0.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Matematica Simbolica)
Sintaxe:
S = sym(A)
Transforma a estrura de dados A em um objeto simbolico S.
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Polinomio Caracterıstico)
Sintaxe:
p = poly(A)
Exibe os coeficientes do polinomio caracterıstico da matriz A.
Quando A for uma estrutura simbolica, poly(A) retornara opolinomio caracterıstico na forma simbolica.
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Fatoracao)
Sintaxe:
p = factor(poly(A))
Exibe o polinomio caracterıstico fatorado na forma simbolica.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Procedimento para o calculo de autovalores
1 Encontrar o polinomio caracterıstico da matriz.
PA(λ) = det(A− λI)
2 Achar as raızes do polinomio caracterıstico. Estas serao osautovalores.
PA(λ) = 0
3 Resolver o sistema (A− λi I)x = 0, para cada autovalor λi .Cada vetor solucao sera um autovetor da matriz A.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Autovalores e Autovetores
Procedimento para o calculo de autovalores
1 Encontrar o polinomio caracterıstico da matriz.
PA(λ) = det(A− λI)
2 Achar as raızes do polinomio caracterıstico. Estas serao osautovalores.
PA(λ) = 0
3 Resolver o sistema (A− λi I)x = 0, para cada autovalor λi .Cada vetor solucao sera um autovetor da matriz A.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Procedimento para o calculo de autovalores
1 Encontrar o polinomio caracterıstico da matriz.
PA(λ) = det(A− λI)
2 Achar as raızes do polinomio caracterıstico. Estas serao osautovalores.
PA(λ) = 0
3 Resolver o sistema (A− λi I)x = 0, para cada autovalor λi .Cada vetor solucao sera um autovetor da matriz A.
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Autovalores e Autovetores
Procedimento para o calculo de autovalores
1 Encontrar o polinomio caracterıstico da matriz.
PA(λ) = det(A− λI)
2 Achar as raızes do polinomio caracterıstico. Estas serao osautovalores.
PA(λ) = 0
3 Resolver o sistema (A− λi I)x = 0, para cada autovalor λi .Cada vetor solucao sera um autovetor da matriz A.
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Autovalores e Autovetores
Exemplo
A =
2 −3 11 −2 11 −3 2
⇒ PA(λ) =
∣∣∣∣∣∣2− λ −3 1
1 −2− λ 11 −3 2− λ
∣∣∣∣∣∣⇒ PA(λ) = −λ(λ− 1)2 ⇒ λ1 = 0, λ2 = λ3 = 1
(A− λi I)x =
2− λi −3 11 −2− λi 11 −3 2− λi
xiyizi
=
000
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Exemplo (continuacao)
Conclusao:
Autovalor 0 1
Multiplicidade 1 2
Autovetor associado (1,1,1) (1,1,2)
Espaco gerado α(1, 1, 1) α(1, 0,−1) + β(0, 1, 3)
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades dos autovalores
1 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
2 Os autovalores da transposta de A sao os mesmos autovaloresde A.
3 Os autovalores de uma matriz simetrica sao todos reais.
4 Matrizes similares possuem os mesmos autovalores.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades dos autovalores
1 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
2 Os autovalores da transposta de A sao os mesmos autovaloresde A.
3 Os autovalores de uma matriz simetrica sao todos reais.
4 Matrizes similares possuem os mesmos autovalores.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades dos autovalores
1 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
2 Os autovalores da transposta de A sao os mesmos autovaloresde A.
3 Os autovalores de uma matriz simetrica sao todos reais.
4 Matrizes similares possuem os mesmos autovalores.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades dos autovalores
1 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
2 Os autovalores da transposta de A sao os mesmos autovaloresde A.
3 Os autovalores de uma matriz simetrica sao todos reais.
4 Matrizes similares possuem os mesmos autovalores.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades dos autovalores
1 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
2 Os autovalores da transposta de A sao os mesmos autovaloresde A.
3 Os autovalores de uma matriz simetrica sao todos reais.
4 Matrizes similares possuem os mesmos autovalores.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
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Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonal
1 A = diag(a1, a2, ..., an), B = diag(b1,b2, ...,bn)⇒ AB = diag(a1b1, a2b2, ..., anbn)
2 Toda matriz diagonal quadrada e simetrica.
3 A−1 = diag(a−11 , a−12 , ..., a−1n )
4 O determinante de uma matriz diagonal n × n e igual aoproduto dos n elementos de sua diagonal.
5 Os autovalores de uma matriz diagonal sao os elementos desua diagonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Definicao (Matriz Diagonalizavel)
Uma matriz n × n, A, e dita diagonalizavel se existe uma matriznao singular X e uma matriz diagonal Λ tais que
A = XΛX−1
Dizemos que X diagonaliza A.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonalizavel
1 Os vetores colunas da matriz diagonalizante X saoautovetores de A.
2 Os elementos da diagonal de Λ sao os autovalores de A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonalizavel
1 Os vetores colunas da matriz diagonalizante X saoautovetores de A.
2 Os elementos da diagonal de Λ sao os autovalores de A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz diagonalizavel
1 Os vetores colunas da matriz diagonalizante X saoautovetores de A.
2 Os elementos da diagonal de Λ sao os autovalores de A
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Teorema
Uma k-esima potencia de A e similar a uma k-esima potencia de Λsendo X a matriz diagonalizante.
Ak = XΛkX−1
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Teorema
Uma matriz A e diagonalizavel se, e somente se, o determinanteda matriz, cuja as colunas sao formadas por autovetores de A, fornao-nulo.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉
4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖
6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
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Autovalores e Autovetores
Propriedades de uma matriz ortogonal
Seja A uma matriz ortogonal.
1 A−1 = AT
2 Se A e uma matriz ortogonal, entao det(A) = ±1
3 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉4 ‖A‖ = 1
5 ‖Ax‖ = ‖x‖6 Os autovalores reais de uma matriz ortogonal e igual a 1 ou−1.
7 Se B e uma matriz ortogonal, entao AB tambem e ortogonal.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Autovalores e Autovetores
Decomposicao de Schur
Se A e uma matriz n × n com entradas reais e autovalores reais,entao existe uma matriz ortogonal Q tal que
A = QΩQ−1
onde Ω e uma matriz triangular superior da forma
Ω =
λ1 × × · · · ×0 λ2 × · · · ×0 0 λ3 · · · ×...
......
. . ....
0 0 0 · · · λn
com λi sendo autovalores de A repetidos de acordo com amultiplicidade.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Autovalores e Autovetores
Usando o MatLab (Decomposicao de Schur)
Sintaxe:
[U,T] = schur(A)
U e a matriz ortogonal da decomposicao.
T e a matriz de Schur.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Autovalores e Autovetores
Decomposicao de Hessenberg
Uma decomposicao de Hessenberg de qualquer matriz A, n × n euma fatoracao do seguinte tipo, onde Q e uma matriz ortogonal eΘ e uma matriz Hessenberg superior.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Comando ’svds’
No entanto, ’svds’ troca os sinais dos primeiros tres pares devetores singulares. Abaixo os vetores singulares esquerdos saomostrados (os vetores singulares direitos tem um sinalcorrespondente).
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Usando o MatLab (Eigen & Singular Value Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos valores singulares para matrizes2× 2.
Observacao
Quando Ax for perpendicular a Ay, teremos:
1 Os vetores x e y sao os vetores singulares direitos da matriz;
2 Os vetores Ax e Ay, normalizados, sao os vetores singularesesquerdos da matriz;
3 A norma de Ax e Ay sao os valores singulares.
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Usando o MatLab (Eigen & Singular Value Show)
Sintaxe:
eigshow(A)
Demonstracao grafica dos valores singulares para matrizes2× 2.
Observacao
Quando Ax for perpendicular a Ay, teremos:
1 Os vetores x e y sao os vetores singulares direitos da matriz;
2 Os vetores Ax e Ay, normalizados, sao os vetores singularesesquerdos da matriz;
3 A norma de Ax e Ay sao os valores singulares.
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 A = UΣVT ⇒ AT = VΣTUT
2 ⇒ ATA = VΣTUTUΣVT = V(ΣTΣ)VT
3 ⇒ AAT = UΣVTVΣTUT = U(ΣΣT )UT
4 ⇒ ΣΣT ≈ AAT ⇒ eig(ΣΣT ) = eig(AAT )
5 ⇒ σ2i = λi ⇒ σi =√λi
onde λi e i-esimo autovalor de AAT . O outro caso ( quesegue (2) )e analogo e se chega ao mesmo resultado.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 Segue de (2) que V diagonaliza ATA, portanto os vi , vetoressingulares esquerdos de A, sao autovetores de ATA.
2 Segue de (3) que U diagonaliza AAT , portanto os ui , vetoressingulares direitos de A, sao autovetores de AAT .
3 Segue de (5) um meio de calcular os autovalores de A:
σi =√λi
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 Segue de (2) que V diagonaliza ATA, portanto os vi , vetoressingulares esquerdos de A, sao autovetores de ATA.
2 Segue de (3) que U diagonaliza AAT , portanto os ui , vetoressingulares direitos de A, sao autovetores de AAT .
3 Segue de (5) um meio de calcular os autovalores de A:
σi =√λi
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 Segue de (2) que V diagonaliza ATA, portanto os vi , vetoressingulares esquerdos de A, sao autovetores de ATA.
2 Segue de (3) que U diagonaliza AAT , portanto os ui , vetoressingulares direitos de A, sao autovetores de AAT .
3 Segue de (5) um meio de calcular os autovalores de A:
σi =√λi
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Propriedades da SVD
1 Segue de (2) que V diagonaliza ATA, portanto os vi , vetoressingulares esquerdos de A, sao autovetores de ATA.
2 Segue de (3) que U diagonaliza AAT , portanto os ui , vetoressingulares direitos de A, sao autovetores de AAT .
3 Segue de (5) um meio de calcular os autovalores de A:
σi =√λi
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Teorema
Se A e uma matriz simetrica, entao a SVD de A se resumo a EVDde A.
Observacao
Se A e uma matriz simetrica, entao as matrizes ortogonais da SVDde A serao as mesmas. Consequentemente, os autovalores de Aserao iguais aos seus valores singulares.
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Teorema
Se A e uma matriz simetrica, entao a SVD de A se resumo a EVDde A.
Observacao
Se A e uma matriz simetrica, entao as matrizes ortogonais da SVDde A serao as mesmas. Consequentemente, os autovalores de Aserao iguais aos seus valores singulares.
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo
A =
1 11 10 0
⇒ ATA =
[1 1 01 1 0
] 1 11 10 0
=
[2 22 2
]
⇒ AAT =
1 11 10 0
[ 1 1 01 1 0
]=
2 2 02 2 00 0 0
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
Polinomio caracterıstico:
⇒ PAT A(λ) =
∣∣∣∣ 2− λ 22 2− λ
∣∣∣∣ = λ(λ− 4)
Autovalores e valores singulare:
⇒ λ1 = 4, λ2 = 0⇒ σ1 = 2, σ2 = 0
Autovetores:[2− λi 2
2 2− λi
] [xiyi
]=
[00
]⇒
(2− λi )xi + 2yi = 02xi + (2− λi )yi = 0
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
⇒
(2− 4)x1 + 2y1 = 02x1 + (2− 4)y1 = 0
⇒−2x1 + 2y1 = 02x1 − 2y1 = 0
⇒ x1 = y1 ⇒ (x1, y1) = α(1, 1)
Exemplo (continuacao)
⇒
(2− 0)x2 + 2y2 = 02x2 + (2− 0)y2 = 0
⇒
2x2 + 2y2 = 02x2 + 2y2 = 0
⇒ x2 = −y2 ⇒ (x2, y2) = α(1,−1)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
⇒
(2− 4)x1 + 2y1 = 02x1 + (2− 4)y1 = 0
⇒−2x1 + 2y1 = 02x1 − 2y1 = 0
⇒ x1 = y1 ⇒ (x1, y1) = α(1, 1)
Exemplo (continuacao)
⇒
(2− 0)x2 + 2y2 = 02x2 + (2− 0)y2 = 0
⇒
2x2 + 2y2 = 02x2 + 2y2 = 0
⇒ x2 = −y2 ⇒ (x2, y2) = α(1,−1)
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Decomposicao em Valores Singulares (SVD)
Exemplo (continuacao)
Matriz dos vetores singulares direitos:
vi =(xi , yi )
‖(xi , yi )‖⇒ v1 =
(1, 1)√2
; v2 =(1,−1)√
2
V =
1√2
1√2
1√2− 1√
2
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Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
Analise de Componentes Principais (PCA)
Componentes Principais
Evitar a correlacao entre os dados.
Tornar os fatores hipoteticos nao correlacionados. [yi ]
Portanto, queremos introduzir vetores mutuamenteortogonais, yi , correspondentes aos fatores hipoteticos.
Alem disso, queremos numerar esse vetores em ordemdecrescente de variancia.
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Componentes Principais
Evitar a correlacao entre os dados.
Tornar os fatores hipoteticos nao correlacionados. [yi ]
Portanto, queremos introduzir vetores mutuamenteortogonais, yi , correspondentes aos fatores hipoteticos.
Alem disso, queremos numerar esse vetores em ordemdecrescente de variancia.
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Componentes Principais
Evitar a correlacao entre os dados.
Tornar os fatores hipoteticos nao correlacionados. [yi ]
Portanto, queremos introduzir vetores mutuamenteortogonais, yi , correspondentes aos fatores hipoteticos.
Alem disso, queremos numerar esse vetores em ordemdecrescente de variancia.
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Componentes Principais
Evitar a correlacao entre os dados.
Tornar os fatores hipoteticos nao correlacionados. [yi ]
Portanto, queremos introduzir vetores mutuamenteortogonais, yi , correspondentes aos fatores hipoteticos.
Alem disso, queremos numerar esse vetores em ordemdecrescente de variancia.
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Componentes Principais
Evitar a correlacao entre os dados.
Tornar os fatores hipoteticos nao correlacionados. [yi ]
Portanto, queremos introduzir vetores mutuamenteortogonais, yi , correspondentes aos fatores hipoteticos.
Alem disso, queremos numerar esse vetores em ordemdecrescente de variancia.
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Problema das componentes principais
Queremos, portanto, fatorar a matriz de dados X (m× n, onde n eo numero de fatores hipoteticos - testes) da seguinte forma
X = UW
onde U e a matriz das componentes principais normalizadas e W ea matriz que mede em que extensao cada teste depende dosfatores hipoteticos.
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Analise de Componentes Principais (PCA)
Problema das componentes principais
Em geral, a SVD resolve a PCA. Se X tem posto r e sua SVD,X = UΣV (truncada), entao os vetores componente principais saodados por
y1 = σ1u1, ..., yr = σrur
Os vetore a esquerda u1, ...,un sao os vetores componentesprincipais normalizados. Se fizermos W = ΣVT , entao
X = UW
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Parte IV– APLICACOES –
Aplicacao 6Eigenfaces
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Eigenfaces
Eigenfaces
Um exemplo para a ilustracao da ambiguidade no sinal da SVD eda PCA e uma tecnica bem conhecida chamada Eigenfaces, muitasvezes usado no reconhecimento de faces.
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Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (1ª Parte - Preparar o banco de faces)
1 Carregar base de n faces. Cada face e uma matriz NL × NC .
2 Vetorizar as matrizes correspondente a cada face: ei ,M × 1,onde M = NLNC .
3 Computar o vetor face media: µ.
4 Subtrair de cada vetor-face a face media (Matriz dos Desvios):
∆i = ei − µ
5 Computar a matriz de covariancia:
C = ∆∆T
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Rotina: (1ª Parte - Preparar o banco de faces)
1 Carregar base de n faces. Cada face e uma matriz NL × NC .
2 Vetorizar as matrizes correspondente a cada face: ei ,M × 1,onde M = NLNC .
3 Computar o vetor face media: µ.
4 Subtrair de cada vetor-face a face media (Matriz dos Desvios):
∆i = ei − µ
5 Computar a matriz de covariancia:
C = ∆∆T
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Rotina: (1ª Parte - Preparar o banco de faces)
1 Carregar base de n faces. Cada face e uma matriz NL × NC .
2 Vetorizar as matrizes correspondente a cada face: ei ,M × 1,onde M = NLNC .
3 Computar o vetor face media: µ.
4 Subtrair de cada vetor-face a face media (Matriz dos Desvios):
∆i = ei − µ
5 Computar a matriz de covariancia:
C = ∆∆T
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Rotina: (1ª Parte - Preparar o banco de faces)
1 Carregar base de n faces. Cada face e uma matriz NL × NC .
2 Vetorizar as matrizes correspondente a cada face: ei ,M × 1,onde M = NLNC .
3 Computar o vetor face media: µ.
4 Subtrair de cada vetor-face a face media (Matriz dos Desvios):
∆i = ei − µ
5 Computar a matriz de covariancia:
C = ∆∆T
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Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (1ª Parte - Preparar o banco de faces)
1 Carregar base de n faces. Cada face e uma matriz NL × NC .
2 Vetorizar as matrizes correspondente a cada face: ei ,M × 1,onde M = NLNC .
3 Computar o vetor face media: µ.
4 Subtrair de cada vetor-face a face media (Matriz dos Desvios):
∆i = ei − µ
5 Computar a matriz de covariancia:
C = ∆∆T
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Eigenfaces
Usando o MatLab (Eigenfaces)
Rotina: (2ª Parte - Computar o Eigenspace)
1 Calcular os autovetores da matriz de covariancia C = ∆∆T ,(M ×M): (INVIAVEL!)
2 Calcular os autovetores da matriz L = ∆T∆, (n × n).
eig(∆T∆) = svd(∆T∆) = VΣTΣVT
Portanto, V e a matriz dos autovetores de L.
3 Computar o Eigenspace: U = EV, onde E = [e1, ..., en].
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Rotina: (2ª Parte - Computar o Eigenspace)
1 Calcular os autovetores da matriz de covariancia C = ∆∆T ,(M ×M): (INVIAVEL!)
2 Calcular os autovetores da matriz L = ∆T∆, (n × n).
eig(∆T∆) = svd(∆T∆) = VΣTΣVT
Portanto, V e a matriz dos autovetores de L.
3 Computar o Eigenspace: U = EV, onde E = [e1, ..., en].
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Rotina: (2ª Parte - Computar o Eigenspace)
1 Calcular os autovetores da matriz de covariancia C = ∆∆T ,(M ×M): (INVIAVEL!)
2 Calcular os autovetores da matriz L = ∆T∆, (n × n).
eig(∆T∆) = svd(∆T∆) = VΣTΣVT
Portanto, V e a matriz dos autovetores de L.
3 Computar o Eigenspace: U = EV, onde E = [e1, ..., en].
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Rotina: (3ª Parte - Comparando as Projecoes)
1 Projetar a face-teste (z) no Eigenspace: w = UT (z− µ)
2 Projetar os vetores-faces (ei ) no Eigenspace: yi = UT (ei − µ)
Y = UT∆
3 Calcular a distancia entre a face-teste projetada (w) e osvetores-faces proetados (yi ):
disti = ‖yi −w‖
4 Pegar o vetor-face projetado menos distante da face-testeprojetada e a sua numeracao (distmin, k).
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Rotina: (3ª Parte - Comparando as Projecoes)
1 Projetar a face-teste (z) no Eigenspace: w = UT (z− µ)
2 Projetar os vetores-faces (ei ) no Eigenspace: yi = UT (ei − µ)
Y = UT∆
3 Calcular a distancia entre a face-teste projetada (w) e osvetores-faces proetados (yi ):
disti = ‖yi −w‖
4 Pegar o vetor-face projetado menos distante da face-testeprojetada e a sua numeracao (distmin, k).
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Rotina: (3ª Parte - Comparando as Projecoes)
1 Projetar a face-teste (z) no Eigenspace: w = UT (z− µ)
2 Projetar os vetores-faces (ei ) no Eigenspace: yi = UT (ei − µ)
Y = UT∆
3 Calcular a distancia entre a face-teste projetada (w) e osvetores-faces proetados (yi ):
disti = ‖yi −w‖
4 Pegar o vetor-face projetado menos distante da face-testeprojetada e a sua numeracao (distmin, k).
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Rotina: (3ª Parte - Comparando as Projecoes)
1 Projetar a face-teste (z) no Eigenspace: w = UT (z− µ)
2 Projetar os vetores-faces (ei ) no Eigenspace: yi = UT (ei − µ)
Y = UT∆
3 Calcular a distancia entre a face-teste projetada (w) e osvetores-faces proetados (yi ):
disti = ‖yi −w‖
4 Pegar o vetor-face projetado menos distante da face-testeprojetada e a sua numeracao (distmin, k).
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Rotina: (4ª Parte - Classificando a Imagem)
1 Assuma um limite tolerancia:
Limite =σi
rank(L)
2 Se distmin > Limite, entao a face-teste nao pertence ao bancode faces e nem ao menos possui uma similar.
3 Se distmin < Limite e distmin 6= 0, entao a face-teste possuiuma similar no banco de faces (a face k).
4 Se distmin < Limite e distmin = 0, entao a face-teste pertenceao banco de faces, sendo k a sua numeracao.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Rotina: (4ª Parte - Classificando a Imagem)
1 Assuma um limite tolerancia:
Limite =σi
rank(L)
2 Se distmin > Limite, entao a face-teste nao pertence ao bancode faces e nem ao menos possui uma similar.
3 Se distmin < Limite e distmin 6= 0, entao a face-teste possuiuma similar no banco de faces (a face k).
4 Se distmin < Limite e distmin = 0, entao a face-teste pertenceao banco de faces, sendo k a sua numeracao.
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Rotina: (4ª Parte - Classificando a Imagem)
1 Assuma um limite tolerancia:
Limite =σi
rank(L)
2 Se distmin > Limite, entao a face-teste nao pertence ao bancode faces e nem ao menos possui uma similar.
3 Se distmin < Limite e distmin 6= 0, entao a face-teste possuiuma similar no banco de faces (a face k).
4 Se distmin < Limite e distmin = 0, entao a face-teste pertenceao banco de faces, sendo k a sua numeracao.
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Rotina: (4ª Parte - Classificando a Imagem)
1 Assuma um limite tolerancia:
Limite =σi
rank(L)
2 Se distmin > Limite, entao a face-teste nao pertence ao bancode faces e nem ao menos possui uma similar.
3 Se distmin < Limite e distmin 6= 0, entao a face-teste possuiuma similar no banco de faces (a face k).
4 Se distmin < Limite e distmin = 0, entao a face-teste pertenceao banco de faces, sendo k a sua numeracao.
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Apresentacao Introducao Historia Matrizes EVD SVD Aplicacoes Referencias
O efeito da sinalizacao ambıgua em Eigenfaces
Eigenfaces
Figura: Eigenfaces correspondentes aos tres primeiros vetores singularesobtidos em execucoes diferentes do metodo ’svd’ em MATLAB, quando200 de 265 imagens sao aleatoriamente amostradas em cada execucao.
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O efeito da sinalizacao ambıgua em Eigenfaces
Eigenfaces
Figura: Eigenfaces correspondentes aos tres primeiros vetores singularesobtidos de forma consistente em execucoes diferentes com a funcaoSignFlip quando 200 de 265 imagens sao aleatoriamente amostradas emcada execucao.
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E tudo termina com muitas ideias.
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Lista de funcoes usadas no MatLab
inv (inversa)
menor (menor de uma matriz)
det (determinante)
interno (porduto interno matricial e vetorial canonico)
norm (norma)
cos (cosseno)
eigshow (eigen-singular show)
eig (autovalores e autovetores)
sym (manipulacao simbolica)
poly (polinomio caracterıstico)
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Lista de funcoes usadas no MatLab
factor (fatorizacao)
schur (decomposicao de Schur)
hess (decomposicao de Hessenberg)
svd (decomposicao em valores singulares completa)
svds (decomposicao em valores singulares parcial)
rank (rank de uma matriz)
truncada (truncada de uma matriz)
pinv (pseudo-inversa de uma matriz)
signflip (funcao signflip)
svdimagens (rotina de compressoes de imagens)
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Referencias
Banco de faces
Pode-se encontrar o banco de faces usado a aplicacao Eigenface noseguinte site:http://www.cl.cam.ac.uk/research/dtg/attarchive/facedatabase.html
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)
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Referencias
1 Linear Algebra; Kenneth Hoffman & Ray Kunze; editoraPrentice Hall, 2ªed.
2 Algebra Linear com aplicacoes; Steven J. Leon; editora LTC,8ªed.
3 Singular value decomposition, eigenfaces, and 3Dreconstructions; Muller, N., Magaia, L. and Herbst B. M;SIAM Review, Vol. 46 Issue 3, pp. 518–545. Dec. 2004.
4 On the early history of the singular value decomposition; G.W. Stewart; IMA Preprint Series nº952, abril de 1992.
5 Singular Value Decomposition Tutorial; Kirk Baker; March 29,2005; http://www.cs.wits.ac.za/ michael/SVDTut.pdf
6 Resolvign the sign ambiguity in the singular valuedecomposition; R. Broa, E. Acar e Tamara G. Kolda; J.Chemometrics 2008, 22, 135-140.
Walner Mendonca Singular Value Decomposition (SVD)