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1
SIMULACION DE YACIMIENTOS DE PETROLEO
KHALID AZIZ
Profesor de Ingeniera Qumica
Universidad de Calgary, Alberta, Canad
Y
Director del grupo de modelamiento computacional
Calgary, Alberta, Canad
&
ANTONIN SETTARI
Director de desarrollos tcnicos
Intercomp desarrollo de los recursos & ingeniera Ltd.
Calgary, Alberta, Canad
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2
AGRADECIMIENTOS
Los autores estn en deuda con muchas personas e instituciones
que han contribuido con este trabajo,
particularmente:
B. Agbi, A. Spivak y J.W. Watts por la revision del
manuscrito.
S.C.M.Ko (quien tambin proporciono los resultados de algunos de
sus trabajos inditos), J. Abou-Kassem, J.W.
Grabowski, R. Mehra, B. Rubin y muchos otros estudiantes y
colegas por los comentarios en varias partes y
versiones del manuscrito a travs de los aos).
Pat Hitchner, Brenda Oberhammer, y Betty Lewis por la escritura
de varias versioens del manuscrito con
considerable interes y gran paciencia, y por su ayuda en muchas
otras formas.
Al consejo nacional de investigacin (Canada),Energia, Minas y
Recursos (Canada), al departamento de Ingenieria
Quimica de la universidad de Calgary, y al grupo de modelamiento
computacional por su apoyo directo o indirecto en
este proyecto.
A la universidad de Calgary por el premio a K. Aziz de beca de
residencia para de esa manera permitir que este
trabajo se completara.
A Intercomp desarrollo de recursos e ingeniera (S.A) por darle a
A. Settari permiso para trabajar en este proyecto y
por crear condiciones propicias para este trabajo.
K.H Coats y otros investigadores en este campo, incluyendo
personal de Intercomp de cuya experiencia nos hemos
beneficiado.
A la sociedad de ingenieros de petrleos, a la prensa y a la
sociedad de la matematica industrial y aplicada por el
permiso de reproducir el material procedente de sus
publicaciones.
Marilyn Croot de la universidad de Calgary por la redaccin.
Imraan Aziz y Natasha Aziz por la ayuda con los
archivos de literatura y el fotocopiado.
A los editores de la institucin editores de la ciencia aplicada
por su gran inters en este manuscrito.
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3
PREFACIO
Este libro est destinado tericamente a los ingenieros, y
prcticamente orientado a los matemticos y cientficos
quienes quieren entender cmo desarrollar y utilizar modelos
computacionales en yacimientos de petrleo.
Este no es un libro de anlisis numrico, aunque la mayor parte
del libro trata acerca del uso de tcnicas numricas
para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Hay varios
libros sobre solucin numrica de ecuaciones
diferenciales parciales, pero no tratan con ecuaciones que no
tienen todas las caractersticas importantes de las
ecuaciones que describen el flujo multifasico en yacimientos de
petrleo. Las ecuaciones a resolver en la simulacin
de yacimientos de petrleo tienen algunas caractersticas muy
especiales que deben ser consideradas por el
ingeniero de simulacin o cientfico. La ingeniera, la fsica y la
matemtica del problema estn tan entrelazadas que
una buena comprensin de todos los tres aspectos es esencial
antes de que uno pueda aspirar a desarrollar buenos
modelos.
El libro debe ser adecuado para pequeos cursos diseados para la
prctica de ingenieros y para su propio estudio.
Tambin se espera que este sirva como referencia para cientficos
e ingenieros ligados al desarrollo y aplicaciones
de tecnologas de simulacin. Muchas de las ideas desarrolladas ac
aplican directamente a la simulacin del
movimiento de aguas subterrneas.
En nuestra propia experiencia no hemos encontrado ningn
sustituto para obtener el tipo de comprensin de la
teora que es obtenida por parte de la escritura y de las pruebas
de programas de computador. Por lo tanto se
recomienda que en cualquier curso que trate de simulacin de
yacimientos a los lectores se les pida desarrollar
algunos programas de simulacin como un simple modelo monofsico
unidimensional (capitulo 3), un modelo
unidimensional de dos fases (capitulo 5), y un modelo
bidimensional monofsico (capitulo 7). Algunas de las sub-
rutinas bsicas requeridas para estos modelos se encuentran en el
apndice B.
En la presentacin del material, hemos tratado de introducir
todos los conceptos en el contexto ms simple posible y
manteniendo un nivel de tratamiento lo mas rigoroso posible sin
ser innecesariamente abstracto. Una breve
discusin de algunos de los conceptos bsicos del anlisis numrico
se ha previsto en el texto segn sea necesario y
se remite al lector a las referencias apropiadas para ms
detalle.
En la presentacin del material relativo a la simulacin de
yacimientos, hemos tratado de desarrollar una notacin
coherente y terminologa usada a lo largo de una minuciosa
discusin de varios aspectos tericos y prcticos del
tema.
No ha sido nuestra intensin establecer la precedencia histrica,
ya que las ideas han sido desarrolladas
simultneamente por varias personas y algunos resultados no han
sido publicados por razones de competencia.
Este libro contiene un tratamiento relativamente completo de
modelos de diferencias finitas para yacimientos de tipo
aceite negro (Black oil), pero no incluye temas como la
simulacin de procesos de recuperacin trmica, adicin de
qumicos, desplazamiento miscible (excepto para un breve
tratamiento presente en el captulo 12) y el uso de
mtodos variacionales en simulacin. Esto se ha hecho para
mantener el tamao del libro razonable y tambin
porque estas reas estn experimentando un rpido desarrollo en
estos tiempos.
KHALID AZIZ
ANTONIN SETTARI
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4
CONTENIDO
Pag.
Prefacio
Nomenclatura
1. INTRODUCCION 19
1.1 Que es un modelo computacional? 19
1.2 Otros modelos 19
1.3 Que preguntas puede responder el modelo computacional?
20
1.4 Conclusiones 20
2. ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS 21
2.1 Introduccin 21
2.2 Ley de la conservacin de la masa 21
2.2.1 Flujo monofsico 21
2.2.2 Flujo multifsico 23
2.3 Ley de Darcy 25
2.3.1 Flujo en una fase 25
2.3.2 Flujo multifsico 25
2.4 Ecuaciones bsicas de flujo 26
2.4.1 Flujo en una fase 26
2.4.2 Flujo multifsico 28
2.4.3 Uso del Pseudopotencial 29
2.4.4 Condiciones lmites 29
2.5 Formas alternativas de ecuaciones de flujo para mltiples
fases 29
2.5.1 Formulacin en forma Parablica 30
2.5.2 Formulacin en forma Hiperblica 31
2.6 Ecuaciones de flujo que incluyen efectos No-Darcy 33
2.6.1 Altas tasas de flujo (Efectos inerciales y de turbulencia)
33
2.6.2 Efecto de deslizamiento y umbral 34
2.6.3 Flujo No Newtoniano 35
2.6.4 Otros efectos 35
2.7 Propiedades de la roca y del fluido 35
-
5
2.7.1 Propiedades del fluido 36
2.7.2 Propiedades de la roca 36
2.8 Conclusiones 44
3. FLUJO DE UN FLUIDO EN UNA DIMENSION 48
3.1 Introduccin 48
3.2 Aproximacin de diferencias finitas 48
3.2.1 Discretizacin en el espacio 49
3.2.2 Discretizacin en el tiempo 53
3.2.3 Discretizacin de errores 54
3.3 Otros mtodos seleccionados 60
3.3.1 Otros mtodos explcitos 60
3.3.2 Otros mtodos implcitos 61
3.3.3 Mtodos ODE 62
3.3.4 Comparacin de los mtodos 64
3.4 Sistema de malla y condiciones limite 65
3.4.1 Dos mtodos para construir una malla 65
3.4.2 Condiciones limite 66
3.5 Discretizacin de ecuaciones en una dimensin con coordenadas
cartesianas 69
3.5.1 Ecuaciones diferenciales para una malla irregular 70
3.5.2 Ecuaciones diferenciales en forma de Matriz 73
3.5.3 Tratamiento de coeficientes variables 74
3.6 Discretizacin de ecuaciones de flujo 1D en coordenadas
radiales cilndricas 76
3.6.1 Ecuaciones diferenciales para mallas irregulares 77
3.6.2 Ecuaciones diferenciales en forma de Matriz 80
3.6.3 Tratamiento de coeficientes variables 80
3.7 Algunas propiedades de ecuaciones de diferencias finitas
81
3.7.1 Existencia de solucin y balance de materia 81
3.7.2 Tratamiento de No-Linealidades 84
3.8 Conclusiones 90
4. SOLUCION DE ECUACIONES DE MATRIZ TRIDIAGONAL 106
4.1 Introduccin 106
-
6
4.2 Mtodos de solucin 107
4.2.1 Algoritmo de Thomas 107
4.2.2 Algoritmo de Tang 109
4.2.3 Solucin de ecuaciones de Matriz tridiagonal simtrica
111
4.2.4 Casos especiales de No nica solucin 112
4.2.5 Otros casos especiales 113
5. FLUJO MULTIFASICO EN UNA DIMENSION 116
5.1 Introduccin 116
5.2 Mtodo de solucin simultanea (SS) 116
5.2.1 Mtodo SS para flujo bifsico 116
5.2.2 Extensin del mtodo SS a flujo trifsico 120
5.2.3 Otras formulaciones del mtodo SS 121
5.3 Mtodo implcito presiones - explicito saturaciones (IMPES)
123
5.3.1 Mtodo IMPES para flujo trifsico 123
5.3.2 Otras derivaciones del mtodo IMPES 125
5.4 Anlisis de los mtodos IMPES y SS 126
5.4.1 Estabilidad 126
5.4.2 Existencia y unicidad de solucin 131
5.4.3 Convergencia 134
5.5 Tratamiento de no linealidades 135
5.5.1 Ponderacin de las transmisibilidades 136
5.5.2 Aproximacin de las transmisibilidades en el tiempo 138
5.5.3 No linealidad debido a la funcin PC 146
5.5.4 Filtracin de Gas 147
5.6 Mtodo de solucin secuencial (SEQ) 148
5.6.1 Mtodo SEQ para flujo bifsico 148
5.6.2 Otras formas y derivaciones 151
5.6.3 Resultados numricos 152
5.6.4 Mtodo SEQ para flujo trifsico 154
5.6.5 Discusin 156
-
7
5.7 Tratamiento de trminos de produccin 156
5.7.1 Forma diferencial y condiciones de frontera 157
5.7.2 Discretizacin de condiciones de frontera 159
6. SOLUCION DE ECUACIONES DE BLOQUE TRIDIAGONAL 180
6.1 Introduccin 180
6.2 Mtodos de solucin 181
6.2.1 Extensin del algoritmo de Thomas 181
6.2.2 Uso de los mtodos para matrices banda 183
7. FLUJO DE UN FLUIDO EN DOS DIMENSIONES 184
7.1 Introduccin 184
7.2 Clasificacin de los problemas 2D 184
7.2.1 Problemas Areales (x,y) 184
7.2.2 Problemas de la seccin de la Cruz (x-z) 185
7.2.3 Problemas de un solo pozo (r-z) 186
7.2.4 Comentarios sobre modelos bidimensionales 187
7.3 Discretizacin de las ecuaciones de flujo 187
7.3.1 Aproximaciones por diferencias 187
7.3.2 Estabilidad de los esquemas de diferencias 190
7.4 Condiciones limite 190
7.4.1 Fronteras cerradas o sin flujo 190
7.4.2 Limites de flujo 191
7.4.3 Discretizacin de las condiciones limite 192
7.5 Condiciones iniciales 194
7.6 Tratamiento no lineal 194
7.7 Tratamiento de los pozos individuales 194
7.8 Ecuaciones en forma de matriz 198
7.9 Mtodos especiales de problemas 2D 200
7.9.1 Alternando explcitamente la direccin (ADE) 200
7.9.2 Alternando implcititamente la direccin (IDA) 201
7.9.3 Mtodos de comparacin 203
7.10 Construccin del Grid 204
-
8
7.10.1 Grid irregular en 2D 204
7.10.2 El uso de una cuadricula curvilneo 205
7.11 Conclusiones 209
8. SOLUCION DE ECUACIONES DE MATRIZ PENTADIAGONAL 216
8.1 Introduccin 216
8.2 Mtodos directos de solucin 220
8.2.1 Factorizacin LU 220
8.2.2 Ordenamiento de ecuaciones 222
8.2.3 Tcnicas para matrices dispersas 222
8.3 Mtodos iterativos 228
8.3.1 Mtodo de Jacobi 230
8.3.2 Mtodo Gauss-Seidel 231
8.3.3 Mtodo de relajacin (SOR) 231
8.3.4 Mtodo SOR lnea y bloque 233
8.3.5 Mtodos de correccin aditiva 234
8.3.6 Mtodos iterativos implcitos de direccin alternativa (ADI)
236
8.3.7 Mtodos fuertemente implcitos 241
8.3.8 Otros mtodos 243
8.3.9 Comparacin de mtodos iterativos 244
8.3.10 Consideraciones practicas en el uso de mtodos iterativos
250
8.4 Comparacin de mtodos iterativos y directos 252
8.5 Conclusiones 254
9. FLUJO MULTIFASICO EN DOS DIMENSIONES 263
9.1 Introduccin 263
9.2 Clasificacin de los problemas 2D 263
9.2.1 Problemas de rea (x, y) 263
9.2.2 Problemas seccin-cruz (x-z) 264
9.2.3 Problemas de pozo sencillo (r-z) 264
9.2.4 Comentarios generales 265
9.3 Mtodos de solucin y su comparacin 265
9.3.1 Discretizacin en 2D 265
-
9
9.3.2 Estabilidad de los mtodos IMPES y SS en dos dimensiones
267
9.3.3 Comparacin de mtodos de solucin y requerimientos
computacionales 270
9.4 Condiciones Frontera 272
9.4.1 Formulacin diferencial 272
9.4.2 Condiciones de compatibilidad y sus limitaciones 273
9.4.3 Formulacin en diferencias finitas 274
9.5 Condiciones iniciales 276
9.6 Simulacin de acuferos 277
9.7 Simulacin de areas y problemas de la seccin transversal
279
9.7.1 Uso del Grid curvilneo 279
9.7.2 Tratamiento de pozos individuales 280
9.7.3 Fenmeno de orientacin de la malla 281
9.8 Simulacin de problemas de single-well 284
9.8.1 Tratamiento de los trminos de produccin (modelo de pozo)
284
9.8.2 Comparacin de estabilidad y eficiencia de tratamientos de
transmisibilidad 288
9.8.3 Consideraciones prcticas 290
9.9 Conclusiones 291
10. SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE BLOQUE PENTADIAGONAL 293
10.1 Introduccin 293
10.2 Mtodos directos 294
10.3 Mtodos iterativos 294
10.3.1 Mtodo BSOR 295
10.3.2 Mtodo iterativo ADI 295
10.3.3 Mtodo SIP 295
10.3.4 Comparacin de los mtodos iterativos 296
10.4 Comparacin de los mtodos directos e iterativos 296
10.5 Conclusiones 296
11. PROBLEMAS TRIDIMENSIONALES Y TECNICAS DE SOLUCION 298
11.1 Introduccin 298
11.2 Flujo de una sola fase 298
11.2.1 Ecuacin bsica y Discretizacin 298
-
10
11.2.2 Mtodos especiales para problemas 3D 299
11.2.3 Mtodos directos de solucin 300
11.2.4 Mtodos iterativos 302
11.2.5 Comparacin de los mtodos 307
11.3 Flujo multifsico 308
11.3.1 Mtodos de solucin bsicos y sus exigencias de trabajo
308
11.3.2 Mtodos para resolver las ecuaciones de la matriz 309
11.4 Conclusiones 310
12. TOPICOS ESPECIALES 313
12.1 Introduccin 313
12.2 Pseudo funciones 313
12.2.1 Modelo de equilibrio vertical 313
12.2.2 Otras Pseudofunciones 316
12.3 Tubos de corriente y modelos relacionados 317
12.4 Simulacin de problemas de punto de burbuja no constante
317
12.5 Simulacin de sistemas no descritos por el modelo de aceite
negro 321
12.5.1 Simulacin de desplazamiento miscible 322
12.5.2 Simulacin de efectos composicionales 324
12.6 Dependencia de la historia de las funciones de saturacin
325
12.6.1 Modelo fsico de histresis 325
12.6.2 Tratamiento numrico de histresis 327
12.7 Simulacin de yacimientos naturalmente fracturados 329
12.8 Control automtico con el intervalo del tiempo 330
12.9 Conclusiones 331
13. CONSIDERACIONES PRCTICAS 333
13.1 Desarrollo del programa 333
13.1.1 Desarrollo del modelo matemtico 333
13.1.2 Desarrollo del modelo numrico 334
13.1.3 Desarrollo del modelo de computadora 334
13.2 Uso del programa 337
13.2.1 Pasos involucrados en un estudio de simulacin 337
-
11
13.2.2 Seleccin y diseo del modelo 338
13.2.3 Ajuste histrico 340
13.3 Conclusiones 341
APENDICE A 342
APENDICE B 350
BIBLIOGRAFIA 361
-
12
NOMENCLATURA
A rea de seccin transversal de un bloque
B1 Factores volumtricos de formacin definidos por las Ec.
(2.8-2.10)
b1 = 1/B1 Reciproco del factor volumtrico de formacin
C Una constante arbitraria
C Concentracin, Capitulo 12
c Coeficiente de acumulacin
Cf Compresibilidad del fluido, Ec. (2.37)
CR Compresibilidad de la roca, Ec. (2.41)
En = max Norma de error
ei = Ui ui Error en la solucin aproximada en el punto i, funcin
inversa de Pc(Sw)
Fw Funcin inversa de PC (Sw)
f Una funcin arbitraria
fn = /( + ) Coeficiente de flujo fraccional de la fase no
mojada
fw = /( + ) Coeficiente de flujo fraccional de la fase
mojada
g Aceleracin de la gravedad
g Vector de la gravedad
gc Constante de conversin, =32,2 lbm / lbf . ft/sec2
h Espaciamiento del grid, Capitulo 3
h Espesor del yacimiento, Capitulo 12
h Elevacin (positiva hacia abajo)
Ki Relacin de equilibrio vapor-liquido (valor K) para el
componente i
k.kx,y,z Permeabilidad, o los componentes del tensor de
permeabilidad
Krl Permeabilidad relativa de la fase l
Krog Permeabilidad relativa del aceite en el sistema
aceite-gas
Krow Permeabilidad relativa del aceite en el sistema
aceite-agua
L Longitud
M Peso molecular, Capitulo 2
M Numero de puntos en un sistema grid, Capitulo 3
-
13
M = / Relacin de movilidad
M = o / s Relacin de movilidad para un flujo miscible, Capitulo
12
m = Masa por unidad de volumen
Flujo de masa, flujo de masa por unidad de rea por unidad de
tiempo
N Nmero de incgnitas en un esquema de diferencias finitas despus
de que las
. incgnitas han sido eliminadas debido a las condiciones de
frontera
Pc Presin Capilar
Pco Valor de la presin capilar afuera del medio poroso
Pcog Presin capilar aceite-gas
Pcow Presin capilar aceite-agua
PI Funcin de influencia, Ec. (9.52)
P Presin (U, u tambin representan presin)
Pb Presin en el punto de burbuja
Pl Presin de la fase l
Ps Presin de saturacin
Pw Presin en el wellbore
Pwf Presin de fondo fluyendo
QI Funcin de influencia, Ec.(9.51)
Qlp =
Derivada de la tasa con respecto la presin
Qlm =
Derivada de la tasa con respecto a la saturacin
QTL Tasa total de flujo de lquido
QTo Tasa total de flujo de aceite
QTT Tasa total de flujo de fluidos
q Sumidero (produccin por unidad de tiempo),q es negativo para
inyeccin
Agotamiento de masa por unidad de volumen por unidad de tiempo,
positivo para
. produccin, negativo para inyeccin
qi Valor promedio aproximado de q en un bloque i
ql = l / ISTC Volumen de un componente l producido en un tanque
de almacenamiento por
. unidad de volumen de yacimiento por unidad de tiempo
R Constante universal de los gases
R(Av) Tasa promedio de convergencia para v iteraciones
Ri Error local de discretizacion en el punto i
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14
Rs Solubilidad del gas en el petrleo
r Espacio coordenado (distancia en la direccin radial)
re Radio externo
rw Radio del pozo
Sl Saturacin de la fase l
Sgc Saturacin del gas residual dependiendo de la direccin del
desplazamiento
Sgc Saturacin de gas residual en el desplazamiento de lquidos,
Capitulo 12
Sgcr Saturacin critica de gas, Capitulo 12
Sgmax Mxima saturacin de la fase gaseosa
Snc Saturacin critica de la fase no mojada en un ciclo de
drenaje o saturacin .
. residual en un ciclo de imbibicin
Swc Saturacin critica de la fase mojada en un ciclo de imbibicin
o saturacin residual
. en un ciclo de drenaje
Swmax Saturacin mxima de la fase agua
Swo Valor de Sw correspondiente a Pco
T Temperatura, Capitulo 2
T =
Transmisibilidad, diferencias finitas
Tl = ()
Transmisibilidad para la fase l, diferencias finitas
t Tiempo
t Incremento de tiempo
U Variable dependiente (solucin exacta de una ecuacin
diferencial parcial)
u Velocidad superficial de Darcy
ui Aproximacin de U en un punto i del grid
uT Velocidad total uw + un de un flujo bifsico en un volumen
V Volumen
WI Coeficiente de productividad (proporcional al ndice de
productividad)
x Distancia
xi Valor de x en un punto i del grid.
y Distancia
Z Factor de compresibilidad
z Distancia
-
15
=
Coeficiente
Factor de turbulencia, Ec. (2.96)
Lmite del yacimiento
=
Densidad en trminos de presin/distancia
= yw - yn Diferencia de densidades
= k/(B) Transmisibilidad
=
+ Mobilidad promedio
i Valores propios
l = KKrl / (l Bl) Transmisibilidad de la fase l
l = KKrl / l Mobilidad de la fase l
max Modulo mximo de valores propios
R = Kr / ( B) Transmisibilidad radial
T = K
+
+
Mobilidad total
X = Kx / (B) Transmisibilidad en la direccin x
Y = KY / (B) Transmisibilidad en la direccin y
Z = KZ / (B) Transmisibilidad en la direccin z
Viscosidad
v Nivel de iteracin
m Factor de amplificacin, Ec. (3.51)
Densidad del fluido
= In r Transformado en coordenadas radiales, Capitulo 3
(B) Radio espectral de la matriz B
l Densidad de la fase l
O Orden de aproximacin
Angulo
Porosidad
=
z Pseudo-potencial
Pseudo- presin, Ec. (2.52)
Lmite del yacimiento
-
16
Parmetro de mezcla, Capitulo 12
Factor de relajacin en el mtodo SOR
b Valor optimo de en el mtodo SOR
li Fraccin de masa del componente i en la fase l
i Fraccin de masa del componente i en la mezcla
OPERADORES
A Coeficiente de la matriz de un sistema de ecuaciones
algebraicas
A Operador diferencial para coordenadas cartesianas
B Coeficiente de la matriz un
, Ec.(3.54)
C Coeficiente de la matriz para problemas de valor de los lmites
de la cuarta clase
C Operador diferencial para coordenadas cilndricas
D Matriz de acumulacin
E Matriz tridiagonal simtrica con 2s en la diagonal principal y
1s en las diagonales inferiores y superiores
G Vector de los trminos de gravedad
I Matriz identidad
J Jacobiano
L Matriz triangular inferior para la factorizacin LU
L Operador de diferencias finitas para coordenadas
cartesianas
M Operador de diferencias finitas para coordenadas
cilndricas
Q Vector fuente
S Matriz tridiagonal simtrica, Capitulo 4
T Matriz de transmisibilidad
U Matriz triangular superior para la factorizacin LU
Operador diferencial
2 Operador diferencial para la segunda derivada
S Espaciamiento del grid en coordenadas s (s = x, y, z, r,
etc.)
t Operador diferencial para la derivada del tiempo
-
17
SUBINDICES
dg Gas disuelto
f fluido
fg Gas libre
i Inicial, Capitulo 12
i
Limites del bloque que contiene el punto i
i Punto i del grid
J Matriz Jacobiana
l Componente o fase, l = o, g, w (oil, gas, water)
N ndice del espacio del punto del grid correspondiente a la
ultima incgnita
n Fase no mojante
RC Condiciones de reservorio
R Roca
r, , z Direcciones en el sistema de coordenadas cilndricas
s Solvente, Capitulo 12
sf Fase arena
STC Condiciones estndar o stock tank
T Total
w Fase agua o mojante
x, y, z Direcciones en el sistema de coordenadas cartesianas
SUPERINDICES
b Diferencia hacia atrs
f Diferencia delantera
L Logartmico
n Nivel de tiempo, n = o, 1, 2, 3,
o Condiciones iniciales (t=0) o condiciones de referencia
p Orden de la aproximacin d la diferencia finita
r Referencia
T Matriz o vector transpuesto
2 Centrado
-
18
Solucin intermedia o perturbada
o
o
.
- Pseudo valor de profundidad promedio para clculos de VE,
Capitulo 12
ABREVIACIONES
GOR Relacin Gas-Aceite
LSOR Lnea SOR
SOR Relajacin superior sucesiva
WOR Relacin Agua-Aceite
SIP Procedimiento fuertemente implcito
1DC Correccin en una dimensin
2DC Correccin en dos dimensiones
PI ndice de Productividad
1-D Unidimensional
2-D Bidimensional
3-D Tridimensional
ODE Ecuacin (es) diferencial ordinaria
PDE Ecuacin (es) diferencial parcial
IMPES Presin implcita Saturacin explicita
SS Solucin simultanea
SEQ Solucin secuencial
VE Equilibrio vertical
w-n Mojante No mojante
C-N Crank - Nicolson
D2 Rgimen de ordenacin
D4 Rgimen de ordenacin
WI Coeficiente de productividad
-
19
CAPITULO 1
INTRODUCCION
1.1 QUE ES UN MODELO COMPUTACIONAL?
El objetivo principal del estudio de un reservorio es predecir
el comportamiento futuro del reservorio y encontrar caminos o
medios que permitan incrementar el recobro final. La Ingeniera de
yacimientos clsica ofrece en un modelo bsico (modelo de tanque) y
no puede explicar adecuadamente las variaciones en el reservorio y
los parmetros de los fluidos en el espacio y en el tiempo. La
simulacin de Yacimientos por computadores permite estudiar de
manera ms detallada el reservorio dividindolo en un nmero de
bloques (algunas veces varios miles) y aplicar la ecuacin
fundamental de flujo en medios porosos a cada bloque. Los programas
de ordenadores digitales que realizan los clculos necesarios para
realizar estudios de este modelo son llamados modelos de
computadora. Debido a los avances realizados desde la dcada de 1950
en hardware y software tecnolgicamente, ahora es posible escribir
modelos ms sofisticados que simulan algunos de los procesos ms
complejos que tienen lugar en los reservorios durante la ejecucin
de los planes de recuperacin. La tecnologa de la simulacin de
yacimientos est siendo constantemente mejorada y ampliada, Nuevos
modelos para simular ms y ms complejos planes de recuperacin se
proponen todo el tiempo. En este libro nosotros tratamos con el ms
bsico de todos los modelos de yacimientos, conocido como el modelo
de aceite negro o modelo beta. Un profundo conocimiento de las
tcnicas usada para el modelo de aceite negro es esencial para
desarrollar una cierta apreciacin de los modelos ms complejos. En
la descripcin de un modelo de computadora trminos como modelos
matemticos, modelos numricos, simulador numrico, modelos grid,
modelos en diferencias finitas y simulador de yacimientos son
usados casi indistintamente. En realidad, hay tres clases de
modelos envueltos en el desarrollo de un programa para simulacin un
yacimiento. 1.1.1 Modelo Matemtico
El modelo fsico a ser modelado debe ser expresado en trminos de
las ecuaciones matemticas apropiadas. Este proceso casi siempre
implica suposiciones. Las suposiciones son necesarias desde el
punto de vista prctico, a fin de hacer manejable el problema
tratado. Por ejemplo, cada ingeniero de yacimientos conoce que el
concepto de permeabilidad relativa tiene limitaciones, pero en
esencia, no tenemos ms remedio que usarlo. La formulacin de un
modelo matemtico es considerada en el captulo 2; resulta en un
conjunto de ecuaciones no lineales parcialmente diferenciales con
las correspondientes condiciones inciales y de frontera. 1.1.2
Modelo Numrico
Las ecuaciones que constituyen un modelo matemtico de un
yacimiento son casi siempre tambin complejas y son solucionadas por
mtodos analticos. Las aproximaciones deben ser hechas al poner las
ecuaciones en una forma que es susceptible a ser solucionadas por
las computadoras digitales. Como un conjunto de ecuaciones forma un
modelo numrico. Esto es discutido en los captulos del 3 al 12.
1.1.3 Modelo computacional
Un programa de computadora o un conjunto de programas escritos
para solucionar las ecuaciones del modelo numrico constituyen un
modelo computacional del yacimiento. Algunos aspectos prcticos del
modelo computacional son discutidos en el captulo 13. El uso de un
modelo computacional para solucionar problemas prcticos sern
referenciados como simulacin de yacimientos en este libro.
1.2 OTROS MODELOS
Muchas clases de modelos han sido usados por los Ingenieros de
Petrleos. Ellos deben ser divididos en dos categoras, (a) modelos
anlogos, y (b) modelos fsicos. Los ms comunes modelos anlogos son
los modelos elctricos, donde el potencial elctrico y la corriente
sirven como las variables anlogas. Modelo elctrico discreto (R-C y
R-R redes) las cuales son anlogas de las ecuaciones por diferencias
finitas, han sido aplicados a problemas de yacimiento por Bruce
(1943) y Karplus (1956). Los modelos continuos de tipo Electroltico
son discutidos por Botset (1946). Anlisis exhaustivo de estos y
otros mtodos de computadora anloga se pueden encontrar en un texto
de Karplus (1958).
-
20
Sin embargo, los mtodos anlogos ahora han sido completamente
reemplazados por modelos computacionales. La literatura de los
modelos fsicos es extensa (Rapoport, 1955; Geertsma et al., 1956;
Perkins and Collins, 1960; Redford et al., 1976), y ellos juegan un
papel importante en la comprensin del comportamiento de un
reservorio. Los modelos fsicos pueden ser clasificados en dos
categoras (cf Redford et al., 1976), (a) Modelos a escala, y (b)
modelos elementales. En el modelo a escala, las dimensiones del
reservorio, las propiedades de la roca y fluidos son escalados por
el modelo de laboratorio de modo que la relacin entre las distintas
fuerzas en el reservorio y las de los modelos fsico son las mismas.
Un modelo a escala proporcionara resultados que pueden aplicarse
directamente en el campo. Infortunadamente, todos los modelos a
escala son difciles o imposibles de construir (Geertsma et al.,
1956; Pozzi and Blackwell, 1963). En un modelo elemental, los
experimentos son llevados a cabo con actuales (o simulados) rocas y
fluidos del yacimiento. Obviamente los resultados de cada modelo no
son directamente aplicables al campo, pero pueden ayudar a
responder algunas preguntas bsicas acerca de la mecnica del
yacimiento. Las ecuaciones de flujo de fluido bsicas que describen
el flujo en el reservorio (modelo matemtico) son tambin validas
para los modelos a escala y elemental. Esto significa que un modelo
computacional puede ser verificado e incluso ajustado, incluso
mediante el uso de los resultados de los modelos fsicos y luego
usarlos para predecir el comportamiento del campo. Por lo tanto un
mximo entendimiento de los fenmenos complejos en el reservorio debe
exigir el uso adecuado de los modelos fsicos y los modelos
computacionales. Debe quedar claro que los modelos computacionales
no pueden eliminar la necesidad de los modelos fsicos, ya que no se
puede utilizar para determinas la fsica del problema. Por otro
lado, el uso optimo de los datos de los modelos fsicos es en muchos
casos posible solamente a travs de los modelos computacionales. En
conclusin, sera correcto decir que los modelos computacionales de
los reservorios de petrleo no pueden reemplazar todos los modelos
fsicos. Los modelos computacionales pueden, sin embargo, mejorar la
comprensin de los datos obtenidos por modelizacin fsica, y ayuda en
el diseo de experimentos realizados en los modelos fsicos.
1.3 QUE PREGUNTAS PUEDE RESPONDER EL MODELO COMPUTACIONAL?
Los modelos computacionales pueden ser herramientas valiosas
para el ingeniero de petrleo intentando responder preguntas del
siguiente tipo: 1. Cmo debe ser desarrollado y producido un campo
con el fin de maximizar en orden para maximizar la
recuperacin econmica de hidrocarburos? 2. Cul es el mejor
esquema de recobro mejorado para el yacimiento? Cmo y cundo debe
ser
implementado? 3. Porque el yacimiento no se comporta de acuerdo
a las predicciones hechas por los estudios previos de
simulacin o la ingeniera de yacimientos? 4. Cul es la
recuperacin econmica definitiva para el campo? 5. Qu tipo de datos
de laboratorio es requerido? Cul es la sensibilidad de las
predicciones de los modelos a
diferentes datos? 6. Es necesario hacer el estudio de los
modelos fsicos del reservorio? Cmo pueden los resultados ser
escalados para las aplicaciones del campo? 7. Cules son los
parmetros crticos que deberan ser medidos en el campo cuando es
aplicado un esquema de
recuperacin? 8. Cul es el mejor esquema de completamiento para
los pozos en un reservorio? 9. De qu porcin del reservorio proviene
la produccin? Esas son algunas preguntas generales; muchas ms
preguntas especficas deben ser resueltas cuando estamos
considerando un estudio particular de simulacin. La Definicin de
los objetivos del estudio debe realizarse con cuidado e indicando
las preguntas a ser resueltas es un paso extremadamente importante
en la realizacin de cualquier estudio de simulacin
1.4 CONCLUSIONES
La simulacin de yacimientos es una herramienta que permite al
Ingeniero de petrleos obtener un mayor conocimiento sobre el
mecanismo de recuperacin que sera posible. Puede, si se utiliza
adecuadamente, ser una herramienta muy valiosa. No, sin embargo,
sustituir la buena prctica que es esencial para la realizacin de
todos los estudios de yacimiento (cf. Coats, 1969; Staggs y
Herbeck, 1971). Adems, no todos los reservorios requieren un modelo
de estudio sofisticado y en muchos casos estudios de yacimientos
convencionales o estudios de modelos computacionales extremadamente
simples pueden responder a las preguntas que se plantean. Es fcil
generar nmeros por un modelo computacional; en la mayora de los
casos la interpretacin correcta de los nmeros requiere un anlisis
cuidadoso por alguien quien entienda el modelo matemtico, numrico y
computacional. El objetivo de este libro es presentar el material
bsico para la comprensin de este tipo.
-
21
CAPITULO 2
ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS
2.1 INTRODUCCION
Antes de simular un yacimiento de petrleo en un computador, es
necesario un modelo matemtico del sistema. El desarrollo de cada
uno de los modelos es el objetivo de este captulo. Los movimientos
de los fluidos en medios porosos son gobernados por las mismas
leyes fundamentales que rigen su movimiento, por ejemplo, la
atmosfera, los oleoductos y ros. Esas leyes estn basadas en el
principio de conservacin de la masa, el momento y la energa y son
discutidas en detalle en numerosos libros incluyendo Bird et al.
(1960), Schlichting (1968), y Monin y Yaglom (1971). Desde un punto
de vista prctico es imposible en este momento tratar de aplicar
estas leyes bsicas directamente a los problemas de flujo en medios
porosos. En cambio, un enfoque semi-empirico se utiliza cuando se
emplea la ley de Darcy en lugar de la ecuacin de movimiento. Las
bases tericas de la ley emprica de Darcy son analizadas por
Whitaker (1966, 1969); dichos estudios proporcionan una comprensin
de las limitaciones de las relaciones empricas. Adems de las
relaciones discutidas anteriormente, las propiedades fsicas de los
fluidos implicados en el sistema tambin deben ser conocidas en
funcin de las variables dependientes. Este libro trata solamente
con algunos de los modelos matemticos los cuales deben ser
conocidos por su importancia prctica. Los mtodos numricos para la
solucin de ecuaciones resultan de esos modelos que sern discutidos
en el captulo 3. Un breve desarrollo de las ecuaciones a resolver
ms adelante se presentara en la seccin 2.2. La discusin quedara
limitada a flujo isotrmico monofsico, o flujo multifsico de hasta 3
fluidos inmiscibles. En este contexto, los siguientes sistemas
monofsicos y multifsicos son de importancia prctica: gas; aceite;
gas-aceite; aceite-agua; aceite-agua-gas. Los primeros dos libros
tratan con el mecanismo de flujo de fluidos en medios porosos que
fueron publicados por Muskat (1937, 1949). Esos libros son de gran
importancia histrica y contienen muchas contribuciones propias de
Muskat. Un libro sobre la teora del movimiento de las aguas
subterrneas se publico en la URSS por Polubarinova-Kochina (1962).
Este libro trata con esos problemas de fluidos monofsicos donde las
soluciones analticas son posibles. Un libro de estudio de la fsica
de los fluidos fue publicado por Scheidegger (1974). Este libro
trata brevemente con una seleccin de temas relacionados con la
recuperacin de petrleo en yacimientos subterrneos; est diseado como
una referencia para los investigadores. El libro de Collins (1961)
trata con los aspectos tericos y prcticos de la ingeniera de
yacimientos de petrleo. La sociedad de ingenieros de petrleos of
AIME ha publicado 3 monografas; dos tratan de la aplicacin de los
principios de flujo de fluido a las pruebas de ascenso de presin
(Matthews and Rusell, 1967; Earlougher, 1977); la tercera monografa
de Craig (1971) proporciona tratamientos prcticos de el problema de
inyeccin de agua en yacimientos de petrleo. Bear (1972) proporcin
un tratamiento completo de la dinmica y esttica de los fluidos en
medios porosos. Sin embargo, la mayora de los problemas
considerados en el libro por Bear estn orientados hacia la
hidrologa de aguas subterrneas. La aplicacin de la teora de flujo
de fluidos a las pruebas de pozos de gas es mejorada en una
publicacin de la Energy Resources Conservation Board de Alberta
(ERCB, 1975).
2.2 LEY DE LA CONSERVACION DE LA MASA 2.2.1 Flujo monofsico
Considera el flujo de un fluido monofsico (un solo componente o
una mezcla homognea) en la direccin axial en un ncleo cilndrico
como el mostrado en la figura 2.1. El volumen de control debe ser
representativo del medio poroso (ver Bear, 1972; p.19), i.e., debe
ser grande comparado con el tamao del poro pero pequeo comparado
con el tamao del ncleo. Las propiedades fsicas bsicas del medio
poroso, como la porosidad, deben asociarse con el volumen de
control. Si la porosidad est definida como una fraccin del volumen
de control no ocupado por la matriz solida, luego nosotros podemos
ver que si el volumen de control tiene el tamao de un poro, la
seria uno o cero. Como nosotros incrementamos el tamao del volumen
de control, los valores de porosidad fluctuaran antes de llegar a
un valor representativo.
-
22
L Flujo de Flujo de Entrada Salida Volumen de control
Fig.2.1 Flujo lineal en una roca porosa cilndrica de longitud
x
El valor de la porosidad asociada con un punto P es el valor
representativo para un volumen de control que contiene el punto P.
Otras propiedades fsicas son definidas en un punto en el medio
poroso de igual manera. Este es el enfoque continuo, donde el medio
poroso actual es reemplazado por uno continuo ficticio a cualquier
punto al cual podemos asignar variables y parmetros que son
funciones continuas del espacio y el tiempo en coordenadas. Mx ser
el componente x del vector de flujo de masa (flujo de masa por
unidad de superficie por unidad de tiempo)
de un fluido de densidad (una fase, nico componente) Se refiere
a las figura 2.1 nosotros vemos el flujo de entrada
de masa a travs del volumen de control en x sobre un intervalo
de tiempo t es:
m x x At
y el flujo de salida de masa a travs del volumen de control en
x+x sobre un intervalo de tiempo t es:
m x x+xAt
La diferencia entre el flujo de entrada y el de salida debe ser
igual a la suma de la acumulacin de masa dentro del
volumen de control. La acumulacin de masa trata la
compresibilidad sobre un intervalo de tiempo t es:
()
Y la eliminacin de masa del volumen de control, i.e. agotamiento
de masa (acumulacin) debido a un sumidero de la
fuerza q (masa por unidad de volumen por unidad de tiempo) sobre
un intervalo de tiempo t es:
q Vt Ahora tenemos
(m x x m x x+x ) At =
() + q Vt (2.1)
Dividiendo por Vt y tomando V= Ax, obtenemos:
(m x x m x x+x )
=
+ q
Tomando el lmite como x0 tenemos la ecuacin de la conservacin de
la masa para este sistema:
=
+ q (2.2)
Note que q es negativa para una fuente ya que nosotros asumimos
que sea positivo para un sumidero. Es posible expresar el flujo de
masa en trminos de una velocidad superficial (o Darcy).
= (2.3) Donde Ux es una velocidad en la direccin x definida por
la ecuacin (2.3). Substituyendo la ecuacin (2.3) en la ecuacin
(2.2) obtenemos:
x
-
23
=
+ q (2.4)
La ecuacin correspondiente para el flujo en 3 dimensiones en un
medio poroso de forma arbitraria debe ser
derivada en una manera similar por considerar un volumen de
control x y z. Esto conduce a:
+
+
=
+ q
Para el sistema en coordenadas cartesianas. Ms generalizada, la
ecuacin debe ser escrita como:
. =
+ q (2.5)
El operador de divergencia sobre el lado izquierdo de la ecuacin
(2.5) debe ser expandido en cualquier sistema de
coordenadas. Por ejemplo, en coordenadas cilndricas (r, , z) la
ecuacin de conservacin es:
1
+
1
+
1
=
+ q (2.6)
2.2.2 Flujo multifsico La conservacin para el flujo en una sola
fase (ecu. 2.5) puede ser generalizada de la siguiente manera:
. =
+ (2.7)
Donde es la masa del componente en una unidad de volumen medido,
es el flujo de masa de un componente y . o dividido en es la tasa
de flujo de salida de masa por unidad de volumen. Hay dos
importantes modelos matemticos en la ingeniera de yacimientos de
petrleo: (1) flujo multifsico o de una sola fase donde ms de dos
componentes hidrocarburos son considerados y (2) flujo multifsico
donde el sistema de hidrocarburos puede ser aproximado por 2
componentes, un componente no voltil (aceite negro) y un componente
voltil (gas) soluble en la fase aceite. Nosotros consideraremos el
segundo caso exclusivamente este es conocido como el modelo o el
modelo de aceite negro. El sistema de composicin variable ser
considerado brevemente solo en el Capitulo 12. 2.2.2.1 Modelo En
este modelo el problema del flujo de fluidos supone que hay 3
distintas fases: Aceite, Agua y Gas. Usualmente el agua es la fase
mojante, el aceite tiene una capacidad de mojabilidad intermedia y
el gas es la fase humectante. El agua y el aceite son asumidos
inmiscibles y no experimentan cambios de masa o cambios de fase. El
gas es asumido soluble en aceite pero usualmente no en agua. Si
asumimos que la solubilidad del gas es cero a condiciones de tanque
entonces el yacimiento debe ser considerado como una solucin de dos
componentes: aceite a condiciones de tanque y gas a condiciones
estndar. Adems, en este tipo de tratamiento se asume que los
fluidos estn a temperatura constante y en equilibrio termodinmico
en todo el yacimiento. En estas condiciones el comportamiento de la
presin- el volumen- la temperatura (PVT) del sistema puede ser
expresado por los factores volumtricos de formacin definidos:
= +
= (2.8)
=
[ ]= (2.9)
=
= (2.10)
En las ecuaciones anteriores [] representa el volumen ocupado
por un componente de masa fija (o, w, g) a condiciones de
yacimiento y [] es el volumen ocupado por el mismo componente a
condiciones de tanque o
condiciones estndar. Notamos que algunos autores prefieren
trabajar con los factores invertidos, i.e. =1
. La
transferencia de masa entre las fases aceite y gas son descritas
por la relacin de aceite y gas en solucin:
=
= (2.11)
-
24
La cual da la cantidad de gas disuelto en el aceite como funcin
de la presin de la fase aceite. Las densidades de las tres fases a
condiciones de yacimiento estn relacionadas con las densidades a
condiciones de tanque:
=1
+ (2.12)
=1
(2.13)
=1
(2.14)
La densidad de la fase aceite puede ser expresada tambin
como
= + (2.15)
Donde y son las densidades de los dos componentes
=1
(2.16)
=
(2.17)
Antes de considerar el flujo multifsico el concepto de saturacin
debe ser introducido. La saturacin, de la fase es la fraccin del
volumen de poroso ocupado por la fase . Obviamente, = 1. La ecuacin
de la conservacin de la masa para cada componente puede ser escrita
considerando la ecuacin 2.7. Para el componente aceite en la fase
aceite
= (2.18)
= (2.19) Sustituyendo la ecuacin 2.18 y 2.19 en la 2.7 y
dividiendo por se obtiene
. 1
=
1
+ (2.20)
Donde
=
Todos los trminos en la ecuacin 2.20 tiene la dimensin
.
1
La ecuacin para la fase agua es obtenida de manera similar:
. 1
=
1
+ (2.21)
El componente gas existe tanto en la fase gas como en solucin en
la fase aceite
= + (2.22)
= + (2.23)
= +
= + (2.24)
-
25
La ecuacin final para el gas:
.
+
1
=
+
1
+ + (2.25)
Los trminos de produccin , , representan el volumen producido a
condiciones de tanque(o estndar), por unidad de tiempo por unidad
de volumen de yacimiento.
2.3 LEY DE DARCY
2.3.1 Flujo en una Fase Adems de la ecuacin de continuidad o
conservacin de la masa desarrollada en la anterior seccin,
requerimos una relacin entre la tasa de flujo y el gradiente de
presin en cada fase. Tal relacin fue descubierta por Darcy (1856)
para flujo en una fase. La forma diferencial de esta relacin es
=
+
(2.26)
Donde es el tensor de permeabilidad absoluta del medio poroso,
es la viscosidad del fluido, es el vector
aceleracin gravitacional y es una constante de conversin con
unidades de
2 en el sistema de unidades de
ingeniera. Si la coordenada en la vertical con direccin hacia
abajo es z entonces podemos escribir
=
= (2.27)
Con la definicin anterior de podemos escribir la Ley de Darcy
como
=
(2.28)
Cuando u=o, la relacin de la ecuacin anterior en coordenadas
cartesianas con el eje vertical z y orientado hacia abajo son:
= (2.29)
=
= 0 (2.30)
El tensor de permeabilidad usado en la ecuacin 2.26 se define
por la ecuacin y debe ser determinado experimentalmente. En la
mayora de los problemas prcticos es posible (o necesario) asumir
que es un tensor diagonal dado por,
=
Si = = , el medio es llamado isotrpico, de lo contrario es
anisotropico. Las limitaciones de la Ley de Darcy
son completamente discutidas en la literatura (e.g. Hubbert,
1956; Scheidegger, 1974; Collins, 1961; Whitaker, 1966, 1969) y no
sern considerados aqu. 2.3.2 Flujo Multifsico La ley puede ser
extendida para describir el flujo simultneo de ms de una fase:
=
+
(2.31)
Donde = , , (fase aceite, agua y gas respectivamente) y es la
permeabilidad relativa de la fase . La ecuacin 2.31 tambin puede
ser escrita en trminos de .
=
(2.32)
-
26
Donde
=
(2.33)
Y est en la direccin positiva vertical hacia abajo. Si la
velocidad esta en cm/seg, la viscosidad en centipoises y el
gradiente de presin en atm/cm entonces las unidades de es el Darcy.
Puede ser mostrado como,
1 Darcy= 9.869 x 10-9
cm2
= 1.062 x 10-11
ft2
Con frecuencia la unidad de milidarcy o mD (1 Darcy= 1000
milidarcys) es usado.
2.4 ECUACIONES BASICAS DE FLUJO
Las ecuaciones de flujo para flujo en una fase y flujo
multifasico son obtenidas por la combinacin apropiada de la Ley de
Darcy y la ecuacin de conservacin de la masa. La densidad del
fluido es expresada explcitamente o implcitamente como una funcin
de la presin a travs de una ecuacin de estado. Diferentes
situaciones prcticas sern consideradas aqu. 2.4.1 Flujo en una Fase
2.4.1.1 Ecuacin general para Fluidos Compresibles Cuando todo el
espacio poroso es ocupado por una sola fase, ecuacin 2.28 puede ser
sustituido en la ecuacin 2.5 para obtener,
.
=
+ (2.34)
Dividiendo por y usando la definicin de =
tendremos
. =
+ (2.35)
Donde
= 1
(2.36)
2.4.1.2 Ecuacin para fluidos ligeramente compresibles.
Para el flujo del liquido es posible asumir que la
compresibilidad del fluido definida por,
= 1
) =
1
) (2.37)
Es constante en el rango de presin de inters. Esta ecuacin puede
ser integrada para obtener
= 0 exp 0 (2.38)
Donde 0 es la densidad a la presin de referencia 0. De la
definicin del factor volumtrico de formacin vemos que:
0=
0
= exp
= 1 + 0 +
1
2!
2 0 2 + .. (2.39)
Donde 0 es el factor volumtrico de formacin a 0. Considerando
solo los primeros dos trminos de la expansin tenemos,
=0
1+ 0
(2.40)
Esto es justificado por que es pequeo (10
-5 a 10
-6).
-
27
Si la variacin del volumen de poro con la presin es
insignificante, esto debe ser representado por (ver ecuacin
2.121).
= 0[1 + ( 0) (2.41)
Donde es la compresibilidad de la roca.
El termino de la derivada con respecto al tiempo de la ecuacin
2.35 puede ser expresada en trminos de
usando la expresin para 1 dada por la ecuacin 2.40 y para por la
ecuacin 2.41.
Cuando esto se hace, la ecuacin 2.35 se convierte,
. =
+
+ (2.42)
Otra til forma de la ecuacin de flujo es obtenida sustituyendo
la ecuacin 2.38 en la 2.34 y despreciando trminos
del cuadrado del gradiente de presin multiplicado por en
comparacin con otros trminos en la ecuacin. El resultado de la
ecuacin es:
2 =
+
(2.43)
En la escritura de la ecuacin anterior, la cual es conocida como
la ecuacin de difusividad (Carslaw and Jaeger, 1959), tenemos
tambin que asumir que las propiedades de los fluidos son
constantes, = 0, y que los trminos de gravedad son despreciables.
2.4.1.3 Ecuaciones para flujo de gas Para el flujo de gas no es
usualmente apropiado asumir que la compresibilidad es constante
para estas ocasiones la ecuacin de flujo puede ser escrita
como:
. =
+ (2.44)
Donde
=
1
+
(2.45)
Otra forma de la ecuacin es obtenida si utilizamos la ley de las
gases
=
(2.46)
Sustituyendo la ecuacin (2.46) en la ecuacin (2.34) y
despreciando trminos gravitacionales, los cuales son normalmente
pequeos para flujo de gas, tenemos que:
.
=
+
2.47
En la ecuacin de arriba nosotros asumimos que son constantes,
teniendo que 2. = 2 , entonces podemos escribirla en la ecuacin
(2.47).
22
2 ln( (2)2 =
2
+ 2
(2.48)
La derivada a la derecha se pude escribir como:
=
(2.49)
-
28
Donde
=1
=
1
1
2.50
Sustituyendo en la ecuacin (2.49) y despreciando el segundo
trmino de la izquierda de la ecuacin (2.48) tenemos:
22 =
2
+
2
2.51
Esto es tambin posible arriba en la ecuacin para el otro
procedimiento. Una ecuacin ms rigurosa de la compresibilidad del
fluido es obtenida definiendo pseudo presin , como:
= 2
2.52
0
Desde
=
=
2
Y tambin
=
=
2
La ecuacin original (2.47) se transformo en:
2=
+
2
(2.53)
Note que esta ecuacin es la misma forma de la ecuacin (2.51), y
no involucra asumir simplificaciones. Una completa discusin de
ecuacin de flujo de gas en una sola fase est disponible en el
manual publicado por ENERGY RESOUCES CONSERVATION BOARD de Alberta
(ERCB, 1975). 2.4.2 Flujo Multifsico
La ley de Darcy ecuacin (2.32) puede ser sustituida en la
ecuacin de conservacin de la energa para cada fase (ecua 2.20, 2.
21, y 2.25) para obtener la ecuacin de flujo de fluidos:
. 0 0 0 =
00
+ 0 2.54
. =
+ 2.55
. 00 0 0 + =
0
0 +
+ 0 + 2.56
Donde la movilidad esta definida por
=
Mientras la ecuacin de conservacin es suficiente para describir
flujo en una sola fase (solo depende de la variacin de la Presin)
este no es el caso para flujo en mltiples fases. De las Ecuaciones
(2.54) a (2.56) cuentan con seis variables dependientes. Tres
correlaciones adicionales se requieren para completar esta
descripcin.
0 + + = 1 2.57
= 0 + = , (2.58)
= + = , (2.59)
-
29
La relacin entre la presin capilar y la saturacin es usualmente
emprica. 2.4.3 Uso del Pseudopotencial
Esta es a menudo conveniente para la ecuacin de conservacin y en
forma no explicita involucra trminos de gravedad. Esta es necesaria
para la definicin de potencial introducida por Hubbert (1940,
1956). Define que
=
0
2.60
La ley de Darcy pude ser escrita como:
=
=
2.61
Y la ecuacin de flujo es formalmente simplificada. Por ejemplo
la ecuacin para una sola fase (ecuacin (2.44)) seria:
. =
+
Y la ecuacin (2.54) seria:
. 000 =
00
+ 0
Solo para flujo incompresible puede ser usado el verdadero
potencial
= El cual es luego relacionado para ser
= 2.4.4 Condiciones lmites El modelo matemtico discute que tan
lejos se encuentra de las condiciones inciales necesarias, sin
embargo, esto es instructivo para presentar una discusin para
prximos trabajos con representacin de diferencias finitas (modelo
numrico). Las condiciones de lmite para flujo en una sola fase estn
dadas en la seccin 3.4 del captulo 3 y ms detallada en la seccin
7.4 y 7.7 del captulo 7. Las condiciones de lmite para mltiples
fases est dada en el captulo 5 seccin 5.7 y ms profundamente en el
captulo 9, seccin 9.4 y 9.8
2.5 FORMAS ALTERNATIVAS DE ECUACIONES DE FLUJO PARA MULTIPLES
FASES
Varias alternativas para la formulacin de ecuaciones de flujo en
secciones previas pueden ser derivadas aqu. Para mayor claridad, el
desarrollo es restringido para flujo de mltiples fases, los
subndices w y n denotan la fase hmeda o no humedad,
respectivamente. La formulacin en cuatro variables esta en esta
notacin.
. =
+ 2.62
. =
+ 2.63
= = (2.64)
+ = 1 (2.65)
-
30
2.5.1 Formulacin en forma parablica
Suponga que la funcin inversa existe para ()
= = (2.66) La funcin Fw existe si Pc es monoatmicamente
creciente o monoatmicamente decreciente, entonces la ecuacin (2.62)
y (2.63) puede ser expresado como:
. =
+ 2.67
. =
(1 )
+ 2.68
La ecuacin (2.67) y (2.68) son las bsicas para el mtodo llamado
mtodo de solucin simultanea en la literatura del petrleo
introducida por (Douglas et 1959; Coats 1968; Sheffield 1969). La
ecuacin queda acoplada al libre tratamiento de linealidades Pc la
funcin debe ser empleada para la simulacin de cero capilaridad.
Formulacin en Pn y Pc Esta formulacin es similar a las anteriores y
puede ser escrita como:
. =
+ 2.69
. =
(1 )
+ 2.70
Una formulacin equivalente tambin puede ser escrita como:
Formulacin en Pn y Sw
Donde Pw es expresada como Pn Pc La ecuacin (2.64) es usada
obteniendo
. =
+ 2.71
. =
(1 )
+ 2.72
La forma en diferencias finitas de esas ecuaciones puede ser
derivada bajo la siguiente suposicin. Esto es mejor visto si la
ecuacin (2.71) y (2.72) son expresadas en diferentes formas. Donde
la ecuacin (2.71) es multiplicada por Bw, la ecuacin (2.72) por Bn
y a a ecuacin se le aade lo obtenido.
Bn. + . Bw. Sw +
= 1
+ +
+ 2.73
Donde
= (2.74) La ecuacin (2.73) es una forma alternativa de la
ecuacin (2.71).note que en la p, s la formulacin esta expresada en
funcin de la presin capilar que puede ser arbitraria siempre y
cuando Pc exista. En forma de diferencias finitas,
si la saturacin en la ecuacin (2.73)a tomado la forma explcita,
entonces , , y son conocidos y
puede ser como una funcin de Pn. Ecuacin (2.72)es para
solucionar la Sw. Esto es conocido como presin implcita saturacin
explicita, O mtodo IMPES (Stones y Gader 1961; Breitenbach 1969)y
es ampliamente usada en la simulacin de yacimientos. Cuando el
tratamiento explicito para la saturacin es no ajustable, como en el
caso de la conocida simulacin, la ecuacin derivada queda. Cuando =
0( = = ) La ecuacin (2.73) y (2.72) simplificada para
Bn. 0 + .
-
31
= 1
+ +
+ (2.75)
=
1
+ (2.76)
Una diferencia de simplificacin de resultados para flujo
incompresible en un medio incompresible cuando Bw, Bn y son
constantes (Bw, Bn no necesariamente igual a uno), entonces la
siguiente ecuacin queda como:
. (Bn + Bw)( ) . Bw pc
= Bn + Bw 2.77
. Bn( ) =
+ Bn (2.78)
Finalmente para flujo de fluidos incompresible de igual densidad
con Bw=Bn=1 y Fuerzas externas de presin capilar, la clsica ecuacin
propuesta por (Muskat 1937; Collins 1961) estn dadas:
. ( + )( ) = + 2.79
. =
+ ( 2.80)
Obviamente la ecuacin tambin puede ser presentada en funcin de ,
; , , . 2.5.2 Formulacin en forma hiperblica
Esta formulacin es posible en una simple forma solo para fluido
incompresible. Esta fue la primera utilizada para calcular la
inyeccin de agua (Fayers y Sheldon, 1959) y redirigida ms
recientemente por HIATT (1968). La formula general nos puede dar
aqu vista, tambin puede ser encontrada en Bear (1972) y spivak
(1974). La ecuacin de la conservacin de la masa para dos fases con
una compresibilidad despreciable de la roca.
. =
+ (2.81)
. =
(1 ) + (2.82)
En el termino antes de la expansin, la ecuacin es dividida por
la densidad y se adhiere conjuntamente el termino de la velocidad =
+ es obtenido.
. = . +
= + ( 1)
1
.
1
. (2.83)
Donde = / en el caso de la compresibilidad, todos los trminos
son ceros y la ecuacin (2.83) simplificada:
. = ( + ) = (2.84) La ley de Darcy la podemos escribir como:
= , = Donde
=
= , (2.85)
Esta fase movible (L) en la ecuacin anterior puede ser combinada
para obtener la ecuacin de flujo fraccional.
= + (2.86)
Donde = / es el radio de movilidad y = la velocidad puede ser
remplazad por en la ecuacin (2.86) para obtener:
=1
1 + (2.87)
-
32
Finalmente la ecua (2.87) se puede sustituir en la ecuacin
(2.86) con la suposicin le la incompresibilidad. Con la definicin
de flujo fraccional y la movilidad como:
=
+ =
+
(2.88)
=
+ (2.89)
El resultado de la ecuacin es:
. =
(2.90)
Varios trminos en esta ecuacin pueden ser en funcin de la
saturacin:
=
. = . + . = .
. = . = .
En las anteriores ecuaciones se asumi que no es funcin de la
posicin. Esto puede satisface el sistema ordinario. De la ecua
(2.88).
=
Y desde + = 1 se puede escribir como:
+ = Despus sustituimos la expresin anterior en la ecuacin (2.90)
y la ecuacin resultante es.
.
+
=
(2.91)
La ecuacin (2.91) es la formula general que incluye la ecuacin
derivada de Fayers y Sheldon, (1959) y HIATT (1968) como caso
especial. En otra solucin de esta ecuacin, esto es necesario para
resolver la primera ecuacin (2.84) para el cual es necesario para
un caso dimensional. (el ejercicio 2.2 que se encuentra al final de
este capitulo ). La ecuacin generalizada para tipo parablico por
que / < 0 y cambiadas para tipo hiperblico si Pc=0 entonces se
reduce a:
+
=
(2.92)
Esta es la ecuacin para el caso hiperblico, por que
> 0. finalmente si se tiene igual densidad de fluido o
( = 0) la ecuacin fraccional de flujo de fluidos se simplifica
a:
= = Y la ecuacin (2.92) para este caso puede llegar a escribirse
de esta manera, y de forma similar para la ecuacin de inyeccin de
agua.
. = =
(2.93)
-
33
La ecuacin (2.84) y (2.93) son equivalente para el sistema de
ecuacin (2.79) y (2.80), el termino fuente seria cero para
produccin cuando = por ley de Darcy, sin embargo al inicio de la
inyeccin puede llegar a ser cero. Por ejemplo cuando la fase
humedad es inyectada = y
= (1 ) 0.
Un anlisis ms detallado del trmino de esta discusin est en el
captulo 5 y 7. La derivacin de flujo de fluido compresible son de
la misma linealidad. Pero el resultado de esta ecuacin es
considerablemente ms complejo. Escribiendo el trmino de estos son
los resultados,
. + .
=
+ (1 )
+
+ (2.94)
+
. + .
.
=
. . (2.95)
Donde = 1/
= /
+
, =
Y para esta nueva definicin: =
En el ejercicio (2.2) y (2.3) en nuestro entorno la derivacin de
la ecuacin de flujo de dos fases dada arriba y la correspondiente
ecuacin para tres fases.
2.6 ECUACIONES DE FLUJO QUE INCLUYEN EFECTOS NO-DARCY
Estrictamente hablando, la Ley de Darcy es vlida slo para
fluidos Newtonianos en un rango limitado de tasas de flujo donde la
turbulencia, la inercia y otros efectos de alta velocidad son
insignificantes. Adems, a presiones muy bajas esta ley no aplica
debido al fenmeno de deslizamiento. En esta seccin son dadas
algunas de las relaciones usadas en la prctica cuando las formas
tradicionales de la Ley de Darcy no funcionan. 2.6.1 Altas Tasas de
Flujo (Efectos Inerciales y de Turbulencia) Cuando la velocidad de
flujo incrementa, las desviaciones de la Ley de Darcy pueden ser
observadas. Investigadores han atribuido diversamente esto al flujo
turbulento (Fancher y Lewis, 1993; Elenbaas y Katz, 1947; Cornell
and Katz, 1953) o a los efectos inerciales (Hubbert, 1956;
Houpeurt, 1959). La explicacin general aceptada (Wright, 1968) es
que, como la velocidad incrementa, la desviacin es debida a los
efectos inciales de inercia, seguida ms tarde por efectos de
turbulencia. En 1956, Hubbert seal la desviacin de la Ley de Darcy
al nmero de flujo de Reynolds como aproximadamente 1 (Basado en la
media del dimetro de grano no-consolidado), mientras que la
turbulencia no fue observada hasta que el nmero de Reynolds se
aproxim a 600. La transicin desde el flujo laminar hasta el flujo
turbulento es largo. Este rango de tasas de flujo es adecuadamente
representado por una ecuacin cuadrtica (Forschheimer, 1901) dada
para flujo en estado-estable unidimensional sin efectos
gravitacionales significativos mediante,
d
d=
+ (2.96)
Donde es el factor de turbulencia (Katz et al, 1959). Para flujo
multidimensional la ecuacin puede ser escrita como (Geertsma,
1974):
p =
+
-
34
La ecuacin (2.96) la cual incluye efectos laminar, inercial y de
turbulencia es una ecuacin general de balance de cantidad de
movimiento. Esta puede ser reorganizada a la forma,
= k
d
d (2.97)
Donde
=1
1 +
Es el factor de correccin de la turbulencia (Wattenbarger y
Ramey, 1968; Govier, 1961). Cuando =1.0, la ecuacin anterior (2.97)
es equivalente a la Ley de Darcy. En un medio anisotrpico, es
distinta en diferentes direcciones. El flujo a travs de este medio
se da entonces, en forma generalizada, por
= 1
(2.98)
Donde en general k y son tensores. Es evidente que la ecuacin
(2.98) representara tanto el flujo laminar como el flujo donde los
efectos inercia-turbulencia (IT) estn presentes. Esta ha sido
referenciada como la ecuacin generalizada
laminar-inercial-turbulento (LIT) en el manual ERCB (1975). Sus
efectos son importantes slo con flujo de gas cerca al pozo. La
ecuacin de flujo de gas obtenida combinando la ecuacin (2.98) con
la ley de conservacin de la masa es
.
=
+
Ecuaciones de este tipo deben ser resueltas iterativamente.
2.6.2 Fenmeno de Deslizamiento y Umbral
Experimentalmente se ha observado que cierto gradiente de presin
diferente de cero es necesario para iniciar el flujo. La relacin
entre q y / para tasas bajas es mostrada en la Fig. 2.2. El fenmeno
de deslizamiento (o Klinkenberg) se presenta en flujo de gas a
bajas presiones y resulta en un aumento de la permeabilidad
efectiva en comparacin con la medida para lquidos. Aunque ambos
fenmenos son en lo relativo, poco importantes, la Ley de Darcy
puede ser fcilmente modificada por ellos. Para una discusin
detallada de estos efectos, ver los trabajos de Collins (1961) y
Bear (1972).
Fig. 2.2. Fenmeno de Umbral.
Actual
Ley de Darcy
Umbral
q
p/x
-
35
2.6.3 Flujo No Newtoniano
Algunos fluidos (por ejemplo, soluciones de polmeros) muestran
un comportamiento no Newtoniano, caracterizado por una dependencia
no-lineal del esfuerzo de corte en la tasa de corte. La teora de
tal comportamiento, la cual est ms all del alcance de este libro,
es discutida en la literatura sobre reologa. Para fines prcticos,
la resistencia al flujo en medios porosos puede ser descrita por la
Ley de Darcy, la cual incluye la viscosidad aparente app
dependiente de la velocidad de flujo. Un ejemplo de la funcin
para una solucin polimrica se encuentra en la Fig. 2.3. La
velocidad de Darcy puede por lo tanto ser escrita como
=
() z (2.99)
La regin de flujo pseudoplstica puede ser aproximada en un
amplio rango de velocidades mediante el modelo de la Ley de
Potencia (ecuacin de Blake-Kozen, ver Bird et al., 1960):
app = H1 (2.100)
Las constantes H y n deben ser determinadas empricamente.
Fig. 2.3 Viscosidad Aparente para fluidos no-Newtonianos (Despus
Bondor et al., 1972).
2.6.4 Otros Efectos
Aqu son presentados otros efectos que causan linealidades
adicionales en las ecuaciones bsicas de flujo. Estas estn
normalmente asociadas a tcnicas secundarias y terciarias de
recobro. Por ejemplo, un polmero en una solucin es absorbido por la
roca reservorio y la solucin cambia en el agua. Por lo tanto, el
contacto con el polmero reduce la permeabilidad relativa del
anterior flujo de agua. Las propiedades que dependen de la
concentracin deben ser consideradas cuando las ecuaciones de
inmiscibilidad son aplicadas a sistemas miscibles, CO2 y caudales
micellar, etc. En tcnicas trmicas de recobro, todos los
coeficientes de la Ley de Darcy se convierten en funciones de la
temperatura. Como un ltimo ejemplo, Finol y Farouq Ali (1975)
tambin consideraron la compactacin de la roca reservorio bajo
cambios de presin (grado de subsidencia).
2.7 PROPIEDADES DE LA ROCA Y FLUIDO
El carcter de las ecuaciones y la clase de mtodos que deben ser
empleados para simularlas dependen en gran medida de las
propiedades de la roca y el fluido. Una breve discusin de estas
propiedades es presentada en esta seccin, debido al rol que estas
desempean en la simulacin de yacimientos, el cual es completamente
apreciable. El tratamiento completo de las propiedades fsicas y la
recopilacin de correlaciones se encuentran en Frick y Taylor (1962)
y Katz et al. (1959).
max
min
Pseudoplstico Flujo Dilatante
log u
log
a
pp
-
36
2.7.1 Propiedades del Fluido
Para fluidos que pueden aproximarse mediante el modelo-
isotrmico, los factores volumtricos de formacin y las viscosidades
son slo funciones de la presin, y deben ser determinados a la
temperatura del yacimiento. Se debe tener en cuenta que Bg est
relacionado con la compresibilidad del gas Z, y debido a que la
compresibilidad del agua
Cw es pequea, este puede ser expresado mediante la ecuacin
(2.40).
=
1+ (2.101)
Donde y son las condiciones en algn punto de referencia
(normalmente el punto de burbuja). Las viscosidades del aceite y el
gas generalmente son funciones bastante dependientes de la
temperatura y esto debe tenerse en cuenta si los cambios de esta
propiedad no pueden ser ignorados, como en el caso de flujo en pozo
o el caso de procesos de recuperacin trmica. La dependencia de la
temperatura a una presin dada normalmente puede ser asumida como
lineal en coordenadas logartmicas, esto es,
=
(2.102)
Donde y son los valores en un punto de referencia y la constante
C debe ser determinada del valor de a una . Obviamente, esta
aproximacin no ser precisa para aceite, si el punto de burbuja es
atravesado dentro del rango de temperatura considerado. Cuando el
modelo- no es adecuado, deben ser especificados ms datos de la
caracterizacin composicional de los fluidos. En la Fig. 2.4 se
muestra un ejemplo de las propiedades dependientes de la presin
para aceite y gas. 2.7.2. Propiedades de la Roca
2.7.2.1 Presin Capilar En la primera aproximacin, la presin
capilar y las permeabilidades relativas deben ser consideradas como
funciones slo de la roca reservorio. En caso de dos fases, la curva
tpica de presin capilar es representada mediante la Fig. 2.5. La
capilaridad depende de la saturacin del fluido mojante y de la
direccin del cambio de saturacin (Curva de drenaje o imbibicin). El
valor , el cual es necesario para iniciar el desplazamiento recibe
el nombre de presin de Umbral (Bear, 1972) y es important