Unidad 1: Introduccin a la simulacin. 1.1 Definiciones e
importancia de la simulacin en la Ingeniera. La simulacin consiste
bsicamente en construir modelos informticos que describen la parte
esencial del comportamiento de un sistema de inters, as como en
disear y realizar experimentos con el modelo y extraer conclusiones
de sus resultados apoyar la toma de decisiones. La Simulacin de
Sistemas se puede definir como la tcnica mediante la cual se
reproducen los efectos estticos dinmicos de un proceso a partir de
un modelo alterno. Thomas Naylor define: Simulacin, es una tcnica
numrica para conducir experimentos en una computadora digital, las
cuales requieren ciertos tipos de modelos lgicos y matemticos, que
describen el comportamiento de un negocio o un sistema econmico (o
algn componente de ellos) en periodos extensos de tiempo real.
Jerry Banks: Simulacin es el desarrollo de un modelo lgico
matemtico de un sistema, de tal forma que se tiene una imitacin de
la operacin de un proceso de la vida real o de un sistema a travs
del tiempo. La simulacin involucra la generacin de una historia
artificial de un sistema, la observacin de esta historia mediante
la manipulacin experimental, nos ayuda a inferir las caractersticas
operacionales de tal sistema. H. Maisel y G. Gnugnoli: Simulacin es
una tcnica numrica para realizar experimentos en una computadora
digital, estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos
matemticos y lgicos que describen el comportamiento de sistemas de
negocios, econmicos, sociales, biolgicos, fsicos o qumicos a travs
de largos periodos de tiempo. Robert. Shannon: Simulacin es el
proceso de disear y desarrollar un modelo de un sistema o proceso
real y conducir experimentos con el propsito de entender el
comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias (dentro de
lmites impuestos por un criterio o conjunto de criterios) para la
operacin del sistema.
Ventajas: La simulacin hace posible estudiar y experimentar con
las interacciones complejas de un sistema dado (sin importar cual).
A travs de la simulacin podemos estudiar el efecto de cambios
ambientales, organizacionales de cierta informacin, en la operacin
del sistema. La observacin detallada del sistema simulado nos
permite tener una mejor comprensin del mismo. La experiencia al
disear un modelo de simulacin para computadora es ms valiosa que la
simulacin en s. La simulacin es una tcnica muy poderosa y
ampliamente usada en las ciencias para analizar y estudiar sistemas
complejos. En investigaciones se formularon modelos que se resolvan
en forma analtica. En casi todos estos modelos la meta era
determinar soluciones ptimas. Sin embargo, debido a la complejidad,
las relaciones estocsticas,
etc., no todos los problemas del mundo real se pueden
representar adecuadamente en forma de modelo. Cuando se intenta
utilizar modelos analticos para sistemas como stos, en general
necesitan de tantas hiptesis de simplificacin que es probable que
las soluciones no sean buenas, o bien, sean inadecuadas para su
realizacin. En eso caso, con frecuencia la nica opcin de modelado y
anlisis de que dispone quien toma decisiones es la simulacin.
Simular, es reproducir artificialmente un fenmeno o las relaciones
entradasalida de un sistema. Esto ocurre siempre cuando la operacin
de un sistema o la experimentacin en l son imposibles, costosas,
peligrosas o poco prcticas, como en el entrenamiento de personal de
operacin, pilotos de operacin, pilotos de aviones, etc. COMO SE
DEFINE UN SISTEMA EN SIMULACIN? Coleccin de entradas que pasan a
travs de las fases de cierto proceso, produciendo respuestas. Por
ejemplo:
Simulacin predictiva: En la simulacin predictiva nos interesamos
por los resultados absolutos finales, no por las comparaciones.
Determinamos promedios e intervalos de confianza de una corrida de
simulacin con valores especficos en las variables de decisin
(varias corridas, mejores resultados). Este tipo de simulacin se
puede utilizar para realizar pronsticos, por lo que es necesario
contar con datos histricos de entrada confiables, se utiliza en
procesos de decisiones que se repiten, por lo tanto debiera estar
integrada en un DSS. Ejemplo: predecir el nmero de pacientes que
necesitan trasplante de rin). Simulacin comparativa: En la
simulacin comparativa determinamos cuando una opcin es mejor que
otra. (1 cola vs 4 colas). Se debe especificar detalladamente que
significado tiene la palabra "mejor", para definir cuales sern los
datos de salida a comparar. Mejor significa mantener las colas lo
mas cortas posibles o es un compromiso entre tiempo de servicio,
largo de cola y costo por servidor? Se puede usar para tomar
decisiones casuales o repetitivas, utilizar datos de entrada y
salidas confiables. Si los objetivos no son claros, (*) se proveer
de un rango variado de resultados, que le permitan al usuario
definir a posteriori la importancia relativa de cada uno de ellos.
Si los resultados o los datos de salida son claros se puede usar
tcnicas de hiptesis estadstica de los resultados Simulacin
Investigativa: La simulacin investigativa indica factores que
afectan el flujo de entidades en el sistema pero no requiere de
respuestas precisas, por lo que la calidad de los datos de entrada
no son crticos.
Simulacin visual interactiva: La tcnica de simulacin visual
interactiva es adecuada para apoyar la toma de decisiones.
Simulacin de caja negra: Pensando al modelo como parte de un
proceso de toma de decisiones, es conveniente, a veces, considerar
el modelo como como una caja negra, de donde salen flechas con
datos, derivados directamente de los objetivos (y que difieren de
un problema a otro) y a donde ingresan flechas con datos
relacionados estrechamente con las hiptesis de trabajo del
modelo.
1.2 Conceptos bsicos de modelacin. Se entiende que el proceso de
simulacin incluye tanto la construccin del modelo como su uso
analtico para estudiar un problema. Un modelo de simulacin
comnmente toma la forma de un conjunto de hiptesis acerca del
funcionamiento del sistema, expresado con relaciones matemticas o
lgicas entre los objetos de inters del sistema. En contraste con
las soluciones matemticas exactas disponibles en la mayora de los
modelos analticos, el proceso de proceso de simulacin incluye la
ejecucin del modelo a travs del tiempo, en general en una
computadora, para generar nuestras representativas de las
mediciones del desempeo o funcionamiento.El primer paso a dar para
estudiar un sistema es elaborar un modelo, el cual puede ser una
representacin formal de la teora o una explicacin formal de la
observacin emprica. Sin embargo, a menudo es una combinacin de
ambas. Los propsitos de usar un modelo son los siguientes: Hace
posible que un investigador organice sus conocimientos tericos y
sus observaciones empricas sobre un sistema y deduzca las
consecuencias lgicas de esta organizacin. Favorece una mejor
comprensin del sistema. Acelera anlisis. Constituye un sistema de
referencia para probar la aceptacin de las modificaciones del
sistema. Hace posible controlar ms fuentes de variacin que lo que
permitira el estudio directo de un sistema. Suele ser menos
costoso. Al analizar un sistema podemos observar, que al cambiar un
aspecto del mismo, se producen cambios o alteraciones en otros. Es
en estos casos en los que la simulacin, representa una buena
alternativa para analizar el diseo y operacin de complejos procesos
o sistemas. La modelacin de sistemas es una metodologa aplicada y
experimental que pretende: Describir el comportamiento de sistemas.
Hiptesis que expliquen el comportamiento de situaciones
problemtica. Predecir un comportamiento futuro, es decir, los
efectos que se producirn mediante cambios en el sistema o en su
mtodo de operacin.
Definicin de modelo Un modelo es una representacin de un objeto,
sistema o idea, de forma diferente al de la entidad misma. El
propsito de los modelos es ayudarnos a explicar, entender o mejorar
un sistema. Un modelo de un objeto puede ser una rplica exacta de
ste o una abstraccin de las propiedades dominantes del objeto. El
uso de modelos no es algo nuevo. El hombre siempre ha tratado de
representar y expresare ideas y objetos para tratar de entender y
manipular su medio. Un requerimiento bsico para cualquier modelo,
es que debe describir al sistema con suficiente detalle para hacer
predicciones vlidas sobre el comportamiento del sistema. Ms
generalmente, las caractersticas del modelo deben corresponder a
algunas caractersticas del sistema modelado. La figura siguiente
muestra el concepto de un modelo de simulacin.
Un modelo se utiliza como ayuda para el pensamiento al organizar
y clasificar conceptos confusos e inconsistentes. Al realizar un
anlisis de sistemas, se crea un modelo del sistema que muestre las
entidades, las interrelaciones, etc. La adecuada construccin de un
modelo ayuda a organizar, evaluar y examinar la validez de
pensamientos. Estructura de los modelos de simulacin. Los
componentes son las partes constituyentes del sistema. Tambin se
les denomina elementos o subsistemas. Las variables son aquellos
valores que cambian dentro de la simulacin y forman parte de
funciones del modelo o de una funcin objetivo. Los parmetros son
cantidades a las cuales se les asigna valores, una vez establecidos
los parmetros, son constantes y no varan dentro de la simulacin.
"Las relaciones funcionales muestran el comportamiento de las
variables y parmetros dentro de un componente o entre componentes
de un sistema. Estas caractersticas operativas pueden ser de
naturaleza determinstica o estocstica. Las relaciones
determinsticas son identidades o definiciones que relacionan
ciertas variables o parmetros, donde una salida de proceso es
singularmente determinada por una entrada dada. Las relaciones
estocsticas son aquellas en las que el proceso tiene de manera
caracterstica una salida indefinida para una entrada
determinada.
Las restricciones son limitaciones impuestas a los valores de
las variables o la manera en la cual los recursos pueden asignarse
o consumirse. En las funciones de objetivos se definen
explcitamente los objetivos del sistema y cmo se evaluarn, es una
medida de la eficiencia del sistema. El porqu de los modelos se
debe a las siguientes condiciones: Complejidad de la interrelacin
entre factores que definen un sistema. Preparacin del tomador de
decisiones. Incapacidad de clasificar los hechos relevantes e
irrelevantes y cmo pueden afectarse al implementar decisiones.
Diseo o modificacin de sistemas evaluando diferentes alternativas.
Menor costo que en sistemas reales la toma de decisiones. La
inexistencia del sistema real. Implementar sistemas para tomar
decisiones genera grandes atrasos y se incurre en la posibilidad
que el sistema implementado sea insatisfactorio. Caractersticas
deseables de un modelo de simulacin Que sea completo Adaptabilidad
Credibilidad Simplicidad (menor nmero de parmetros) Factible tanto
en Informacin como en recursos Econmico (EL COSTO MXIMO DEL MODELO
DEBE SER EL MNIMO BENEFICIO QUE SE OBTIENE)
Clasificacin de los modelos Los modelos pueden clasificarse de
diversas maneras. Existen muchos modelos fsicos tales como el
modelo de un avin o, ms generalmente, una rplica a escala de un
sistema. Existen modelos esquemticos que abarcan dibujos, mapas y
diagramas, existen modelos simblicos, de los cuales los que estn
basados en las matemticas o en un cdigo de computadora son
simblicos desempean funciones importantes en el diseo de los
estudios de simulacin de sistemas por medio de computadora. Algunos
modelos son estticos; otros, dinmicos. Un modelo esttico omite ya
sea un reconocimiento del tiempo o describe un instante del estado
de un sistema en
determinado momento. En contraste, un modelo dinmico reconoce
explcitamente el transcurso del tiempo. Adems de proporcionar una
secuencia de instantes del sistema en el transcurso del tiempo,
algunos modelos dinmicos especifican relaciones entre los estados
de un sistema en diferentes momentos. Otra distincin es la
referente a los modelos deterministas contra modelos estocsticos.
En los primeros, todas las entidades establecen relaciones
matemticas o lgicas constantes. Como consecuencia, estas relaciones
determinan soluciones. En un modelo estocstico, por lo menos una
parte de la variacin tiene una naturaleza casual. Por tanto, un
investigador puede, a lo sumo, obtener soluciones promedio mediante
modelos estocsticos para para resolver los problemas. Modelacin Es
aquello que sirve para representar o describir otra cosa es decir
crea prototipos(1 diseo), el modelo puede tener una forma semejante
o ser totalmente distinto del objeto real.
1.3 Metodologa de la simulacin.La experiencia sugiere que la
planeacin de experimentos de simulacin requiera de un procedimiento
que consta de las etapas siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Formulacin del problema. Recoleccin y procedimiento de datos
tomados en realidad Formulacin de un de un modelo matemtico.
Estimacin de los parmetros de las caractersticas operacionales a
partir de los datos reales. Evaluacin del modelo y de los parmetros
estimados. Formulacin de un programa para la computadora.
Validacin. Diseo de los experimentos de simulacin. Anlisis de los
datos de simulacin.
Aunque el orden en que se implantan esos nueve pasos permanece
abierto a discusin, la figura 3.1 los muestra bajo una ordenacin
basada en los resultados de experiencias [Naylor, 1977]. Con toda
seguridad, cualquier procedimiento de este este tipo resulta
sumamente arbitrario en su naturaleza y la posibilidad de juzgarlo
slo existe en un plano puramente pragmtico.
Fig 3.1. Diagrama de flujo para la planeacin de experimentos de
simulacin FORMULACIN DEL PFORMULACIN DEL PROBLEMA Es necesario en
primer lugar definir claramente los objetivos de nuestra
investigacin, antes de hacer cualquier intento encaminado a planear
la realizacin de un experimento en simulacin. Encontraremos que la
exposicin original del problema vara considerablemente de su versin
final, ya que la formulacin del problema es un proceso secuencial
que generalmente requiere de una formulacin continua y progresiva
de refinamiento de los objetivos de experimento durante su
realizacin. Los objetivos de la investigacin, tanto en la empresa y
la economa, como tambin en la mayora de las ciencias sociales, toma
generalmente la forma ya sea de: (1) preguntas que deben
contestarse, (2) hiptesis que se deben probarse y (3) efectos por
estimarse.
RECOLECCIN Y PRRECOLECCIN Y PROCESAMIENTO DE DATOS TOMADOS DE LA
REALIDAD. Necesitaramos colectar y procesar una cierta cantidad de
datos antes de que exista la posibilidad de definir algn problema.
Para nuestros propsitos, resulta completamente irrelevante que los
requerimientos para el procesamiento de datos procedan la
formulacin del problema o viceversa; si hemos de dirigir
experimentos de simulacin, es importante que ambas funciones se
lleven a cabo. Existen, por lo menos, cinco razones por las cuales
es necesario de disponer de un sistema eficiente para el
procesamiento de datos, que permita alcanzar el xito al realizar
los experimentos de simulacin. En primer instancia la informacin
descriptiva y cuantitativa. En segundo, los datos puedan sugerir
hiptesis de cierta validez. Como tercer punto, los datos tambin
pueden sugerir y mejoras o refinamientos en los modelos matemticos.
Cuarto; es necesario que los datos, reducidos a una forma final, se
utilicen para estimar los parmetros de las caractersticas
disponibles de operacin relativas a las variables endgenas, exgenas
y de estado del sistema. Finalmente, cabe considerar que sin tales
datos, seran imposibles probar la validez de un modelo para la
simulacin. La recoleccin de datos es el proceso de capacitacin de
los hechos disponibles, con los cuales pueden ser procesados
posteriormente, cuando sean necesarios. El proceso de recoleccin y
el almacenamiento de datos ocurren simultneamente. FORMULACIN DE
LOS MODELOS MATEMTICOS Para la formulacin de un modelo matemtico,
se requiere establecer la estructura del modelo, decidiendo
aquellos aspectos del comportamiento del sistema significativos
para el problema, adems de reunir los datos para proporcionar
parmetros correctos al modelo. La formulacin de los modelos
matemticos consiste en tres pasos: Especificacin de los
componentes. Especificacin de las variables y los parmetros.
Especificacin de las relaciones funcionales. Una de las primeras
consideraciones que se toman en cuanta en la formulacin de un
modelo matemtico reside en saber cuntas variables se deben incluir
en el modelo. La segunda consideracin importante en la formulacin
del modelo matemtico se refiere a la complejidad de los mismos. Por
lo general, estamos interesados en la formulacin de modelos
matemticos que produzcan descripciones o predicciones,
razonablemente ente exactas, referentes al comportamiento de un
sistema dado y reduzca a la vez, el tiempo de computacin y
programacin. Sin embargo, no es posible establecer con exactitud,
la interdependencia de las caractersticas en los modelos
matemticos, ya que tanto l numero de variables en un modelo, como
su complejidad, se encuentran directamente relacionadas con los
tiempos de programacin, cmputo y validez. Si alteramos cualquiera
de las citadas caractersticas, alteramos a su vez el resto de
ellas. Una tercera consideracin en la formulacin de modelos
matemticos para simulacin en computadora estriba en el rea de la
eficiencia de computacin, es decir, la complejidad del algoritmo.
Entendemos por ello, la cantidad de tiempo de cmputo requerida
para
lograr algn objetivo experimental especfico. El tiempo consumido
para la programacin de la computadora, constituye una cuarta
consideracin al formular modelos para simulacin. ESTIMACIN DE LOS
PARMETROS DE LAS CARACTERISTICAS OPERACIONALES A PARTIR DE LOS
DATOS REALES. Una vez que hemos recolectado los datos apropiados
del sistema y formulando varios modelos matemticos que describen su
comportamiento es necesario estimar sus valores de los parmetros de
dichos modelos y probar su significacin estadstica. Ejemplo. La
estimacin de parmetros de los modelos econmicos cae dentro del
dominio de la econometra. Entre los mtodos importantes de estimacin
economtrica descritos por Goldber y Johnston Johnston [Naylor,
1977], y que se comparan sobre la base de sus propiedades
estadsticas y de computacin, se encuentran: 1.-Mtodos de una sola
ecuacin. Mnimos cuadrados ordinarios. Mnimos cuadrados indirectos
(Generalizados). Ecuacin nica con informacin limitada. Mnimos
cuadrados de dos etapas. 2.-Mtodos de ecuaciones simultneas. Mxima
con informacin completa. Mnimos cuadrados de tres etapas. EVALUACIN
DEL MODELO Y DE LOS PARAMETROS ESTIMADOS Es necesario hacer un
juicio del valor inicial de la suficiencia de nuestro modelo, para
probarlo. Esto se logra haciendo una comparacin de las mediciones
iniciales obtenidas por nuestro modelo de simulacin con las
obtenidas de la realidad. Este paso representa slo la primera etapa
en la prueba de un modelo de simulacin previa a las corridas reales
en la computadora, por lo que en este punto nuestro inters reside
en probar las suposiciones o entradas que se programarn en la
computadora. En caso de que las caractersticas operacionales tomen
la forma de distribuciones de probabilidad, ser necesario aplicar
pruebas de bondad de ajuste que determinen qu tambin se ajusta una
distribucin hipottica de probabilidad a los datos del mundo real.
Deseamos tambin probar la importancia estadstica de nuestras
estimaciones de los valores esperados, variancias y otros parmetros
de estas distribuciones de probabilidad. Estas pruebas podran
comprender: 1.-Prueba referente a las medidas. Prueba de una
muestra relativa a las medidas Diferencias entre medias 2.- Prueba
referente ji cuadrada Prueba F 3.- Pruebas basadas sobre el conteo
de datos. Prueba referente a las proporciones Diferencias entre K
proporciones Tablas de contingencia Pruebas de bondad de ajuste
4.- Pruebas no paramtricas Las pruebas de signo Pruebas basadas
en suma de rangos Pruebas de la mediana La prueba U (Tchebychev)
Pruebas de corridas Prueba de correlacin en serie De entre las
preguntas que nos interesa formular durante esta etapa del
procedimiento, se encuentran las siguientes: 1. Incluimos algunas
variables que no sean pertinentes, en el sentido de que contribuyen
muy poco a nuestra capacidad para predecir el comportamiento de las
variables endgenas de nuestro sistema? 2. Omitimos la inclusin de
una o ms variables exgenas que pudieran afectar el comportamiento
de las variables endgenas en nuestro sistema? 3. Formulamos
incorrectamente una o ms relaciones funcionales entre las variables
endgenas y exgenas de nuestro sistema? 4. Apreciamos debidamente
las estimaciones de los parmetros de las caractersticas
operacionales de nuestro sistema? 5. Cmo se comportan los valores
tericos de las variables endgenas de nuestro sistema con los
valores histricos o reales basados en clculos manuales? (ya que an
no formulamos un programa para computadora). Slo si es posible
contestar satisfactoriamente las cinco preguntas, procederemos al
paso 6: la formulacin de un programa para computadora. De otro,
repetiremos los pasos del 1 al 5 hasta que sea posible responder
satisfactoriamente las preguntas. FORMULACIN DE UN PROGRAMA PARA LA
COMPUTADORA. La formulacin de un programa para computadoras, cuyo
propsito sea dirigir los experimentos de simulacin con nuestros
modelos del sistema bajo estudio, requiere que se considere
especialmente las siguientes actividades: Diagrama de flujo
Lenguaje de computadora Compiladores de propsito general Lenguajes
de simulacin de propsitos especiales Bsqueda de errores Datos de
entrada y condiciones iniciales Generacin de datos Reportes de
salida Al escribir un programa de simulacin para computadora la
primera etapa requiere la formulacin de un diagrama de flujo que
bosqueje la secuencia lgica de los eventos que realizar la
computadora, al generar los tiempos planificados para las variables
endgenas de nuestro modelo. Podemos escribir nuestro programa en un
lenguaje de propsitos generales como FORTRAN, BASIC, PASCAL, C++ o
sus visuales o bien emplear un lenguaje de simulacin como. SIMPAC,
DINAMO, PROGRAM SIMULATE, GPSS, o nuevos como GPSSH, SLAM,
PROMODEL, SINFACTORY, MICLROMANAGER, e
MICLROMANAGER, entre otros. Depender de la aplicacin, el uso del
lenguaje adecuado. VALIDACIN Ciertamente, el problema de validar
modelos de simulacin es difcil ya que implica un sinnmero de
complejidades de tipo prctico, terico, estadstico e inclusive
filosfico. La validacin de experimentos de simulacin forma parte de
un problema mucho ms general, eses decir, el de la validacin de
cualquier clase de modelo o hiptesis. Las preguntas bsicas son: Qu
significa validar una hiptesis? y Cules criterios debern utilizarse
para establecer la validez de una hiptesis?. Aun as parece que por
lo general slo dos pruebas se consideran apropiadas para validar
los modelos simulacin. Primeramente, Qu tan bien coinciden los
valores simulados de las variables endgenas con los datos histricos
conocidos, si es que estos estn disponibles?. En segundo lugar, Qu
tan exactas son las predicciones del comportamiento del sistema
real hechas por el modelo de simulacin, para perodos futuros (de
tiempo)?. Asociada con cada una de estas pruebas, existe una gran
variedad de pruebas estadsticas, tanto como clsicas como recientes.
DISEO DE LOS EXPERIMENTOS DE SIMULACIN Una vez que estemos
satisfechos con la validez de nuestro modelo para la computadora,
estaremos en posibilidad de considerar su uso para dirigir
efectivamente, los experimentos de simulacin. De hecho, como ya
hemos definido nuestro problema experimental, las variables
endgenas y lo factores (variables exgenas y parmetros), deberemos
interesarnos ahora por los detalles de diseo experimental. En esta
fase, es posible identificar dos metas importantes: en primer
lugar, seleccionaremos los niveles de los factores y las
combinaciones de niveles, as como el orden de experimentos; en
seguida y una vez que seleccionaremos nuestras combinaciones de
factores, deberemos esforzarnos por asegura que los resultados
queden libres de errores fortuitos. ANALISIS DE LOS DATOS SIMULADOS
La etapa final en el procesamiento requiere un anlisis de los datos
generados por la computadora, a partir del modelo que simular. Tal
anlisis consiste de tres pasos: 1.-Recoleccin y procesamiento de
los datos simulados. 2.-Clculo de la estadstica de las pruebas.
3.-Interpretacin de los resultados. Aunque el anlisis de los datos
simulados es de hecho semejante al anlisis de los datos del mundo
real (Vanse los pasos 2, 3 y 4 de la figura 3.1) existen algunas
diferencias importantes. El anlisis de los datos de simulacin en
computadora es, segn los expertos, considerablemente ms difcil que
el anlisis de los datos del mundo real.
1.4 Sistemas, modelos y control. En el mundo actual, tanto en el
rea de los negocios, como en la industria y el gobierno, los
proyectos en gran escala y de gran complejidad son la regla y no la
excepcin. Estos proyectos complejos requieren estudios previos a su
construccin o modificacin, denominados estudios pilotos. Tales
estudios pilotos se realizan utilizando la tcnica llamada
modelizacin, es decir, construccin de modelos donde se realiza el
estudio con el fin de obtener conclusiones aplicables al sistema
real. Construido el modelo, el proceso de ensayar en l una
alternativa se llama simular. El conjunto de alternativas que se
definen para su ensayo constituye la estrategia de la simulacin.
Los objetivos del proyecto definen cul es el sistema y cul el medio
ambiente que lo rodea. El sistema procura satisfacer las
necesidades cambiantes de ese medio ambiente en el que est
insertado. Cada nuevo sistema lo modifica y crea en l nuevas
necesidades. El sistema para poder subsistir debe adaptarse a los
cambios. Uno de los objetivos de la simulacin es realizar ensayos
de cambios en el sistema probndolos en el modelo, con el fin de
elegir la mejor alternativa, y as enfrentar mejor a una realidad
que vara da a da. Sistema Pueden darse varias definiciones de
sistema: "Conjunto de elementos cuya interaccin interesa estudiar"
"Conjunto de elementos que interactan entre s, con un fin comn, que
se asla del universo para su estudio." "Conjunto de partes
organizado funcionalmente de manera tal de constituir una unidad
interconectada Conjunto de elementos que interactan entre ellos
Pierre Delattre 1971." La palabra sistema se refiere a una coleccin
de procesos o eventos interrelacionados, abarcados por una frontera
reconocible (F. K. BERRIEN). SADOWSKIJ nombra tres tipos bsicos de
sistema: de cosas de objetos de conocimientos como componentes
especficos del concepto de sistema enumera: al conjunto de
elementos a la existencia de relaciones entre ellos al carcter de
totalidad del conjunto dado Nota: En todas estas definiciones se
observa que para que constituyan un sistema los elementos deben ser
varios y deben estar relacionados. SUBSISTEMA: Es un conjunto que
se asla dentro del sistema. El sistema puede verse como un
subsistema del Universo. Cada subsistema puede ser tratado dentro
del sistema o estudiado en forma aislada.
El comportamiento del sistema total depende de: 1) El
comportamiento de cada subsistema. 2) Las relaciones entre los
subsistemas. 3) Las relaciones con el mundo exterior, o sea con el
medio ambiente que lo circunda. El sistema en estudio, puede
subdividirse en subsistemas interconectados, cada uno de los cuales
est compuesto por elementos interconectados entre s.
ModeloLa simulacin de sistemas implica la construccin de
modelos. El objetivo es averiguar que pasara en el sistema si
acontecieran determinadas hiptesis. Desde muy antiguo la humanidad
ha intentado adivinar el futuro. Ha querido conocer qu va a pasar
cuando suceda un determinado hecho histrico. La simulacin ofrece,
sobre bases ciertas, esa prediccin del futuro, condicionada a
supuestos previos. Para ello se construyen los modelos, normalmente
una simplificacin de la realidad. Surgen de un anlisis de todas las
variables intervinientes en el sistema y de las relaciones que se
descubren existen entre ellas. A medida que avanza el estudio del
sistema se incrementa el entendimiento que el analista tiene del
modelo y ayuda a crear modelos ms cercanos a la realidad. En el
modelo se estudian los hechos salientes del sistema o proyecto. Se
hace una abstraccin de la realidad, representndose el
sistema/proyecto, en un modelo. El modelo que se construye debe
tener en cuenta todos los detalles que interesan en el estudio para
que realmente represente al sistema real (Modelo vlido). Por
razones de simplicidad deben eliminarse aquellos detalles que no
interesan y que lo complicaran innecesariamente. Se requiere pues,
que el modelo sea una fiel representacin del sistema real. No
obstante, el modelo no tiene porqu ser una rplica de aqul. Consiste
en una descripcin del sistema, junto con un conjunto de reglas que
lo gobiernan. La descripcin del sistema puede ser abstracta, fsica
o simplemente verbal. Las reglas definen el aspecto dinmico del
modelo. Se utilizan para estudiar el comportamiento del sistema
real. Como ejemplo de modelo fsico se pueden citar los tneles de
viento donde se ensayan los aviones, los simuladores de vuelo, los
canales de experiencia donde se ensayan los barcos, etc. Como
ejemplo de modelo abstracto, se pueden citar los modelos
economtricos donde, entre otras cosas, se pueden ensayar las
consecuencias de medidas econmicas antes de aplicarlas. Dado un
sistema, son muchas las representaciones que se pueden hacer de l.
Depende de las facetas del sistema que interesan en el estudio, de
la herramienta que se utiliza en el mismo e incluso de la modalidad
personal del que lo construye.
En los modelos deben estar identificadas perfectamente las
entidades intervinientes y sus atributos. Las mismas pueden ser
permanentes (Ej.: empleados atendiendo) o transitorias (Ej.:
clientes).
CLASIFICACION DE LOS MODELOS Existen mltiples tipos de modelos
para representar la realidad. Algunos de ellos son: Dinmicos:
Utilizados para representar sistemas cuyo estado vara con el
tiempo. Estticos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado
es invariable a travs del tiempo. Matemticos: Representan la
realidad en forma abstracta de muy diversas maneras. Fsicos: Son
aquellos en que la realidad es representada por algo tangible,
construido en escala o que por lo menos se comporta en forma anloga
a esa realidad (maquetas, prototipos, modelos analgicos, etc.).
Analticos: La realidad se representa por frmulas matemticas.
Estudiar el sistema consiste en operar con esas frmulas matemticas
(resolucin de ecuaciones). Numricos: Se tiene el comportamiento
numrico de las variables intervinientes. No se obtiene ninguna
solucin analtica. Continuos: Representan sistemas cuyos cambios de
estado son graduales. Las variables intervinientes son continuas.
Discretos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a
saltos. Las variables varan en forma discontinua. Determinsticos:
Son modelos cuya solucin para determinadas condiciones es nica y
siempre la misma. Estocsticos: Representan sistemas donde los
hechos suceden al azar, lo cual no es repetitivo. No se puede
asegurar cules acciones ocurren en un determinado instante. Se
conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribucin
probabilstica. (Por ejemplo, llega una persona cada 20 10 segundos,
con una distribucin equiprobable dentro del intervalo).
SimulacinConstruido el modelo, se ensaya una alternativa en l
con el fin de aplicar las conclusiones al sistema. Los resultados
obtenidos no tienen valor si no son aplicables al sistema. La
simulacin tiene como principal objetivo la prediccin, es decir,
puede mostrar lo que suceder en un sistema real cuando se realicen
determinados cambios bajo determinadas condiciones. La simulacin se
emplea slo cuando no existe otra tcnica que permita encarar la
resolucin de un problema. Siempre es preferible emplear una
alternativa analtica antes que simular. Lo anterior no implica que
una opcin sea superior a otra, sino que los campos de accin no son
los mismos. Mediante la simulacin se han podido estudiar problemas
y alcanzar soluciones que de otra manera hubieran resultado
inaccesibles. La simulacin involucra dos facetas: 1) Construir el
modelo 2) Ensayar diversas alternativas con el fin de elegir y
adoptar la mejor en el sistema real, procurando que sea la ptima o
que por lo menos sea lo suficientemente aproximada.
1.5 Estructura y etapas de un estudio de simulacin. DEFINICIN
DEL SISTEMA. Cada estudio debe de comenzar con una descripcin del
problema o del sistema. Debe determinarse los lmites o fronteras,
restricciones, y medidas de efectividad que se usarn. FORMULACIN
DEL MODELO. Reduccin o abstraccin del sistema real a un diagrama de
flujo lgico. PREPARACIN DE DATOS. Identificacin de los datos que el
modelo requiere y reduccin de estos a una forma adecuada. SELECCIN
DEL LENGUAJE: De la seleccin del lenguaje depender el tiempo de
desarrollo del modelo de simulacin, es importante utilizar el
lenguaje que mejor se adecu a las necesidades de simulacin que se
requieran. La seleccin puede ser desde usar un lenguaje general
como lo es BASIC, PASCAL o FORTRAN hasta hacer uso de un paquete
especficamente para simular sistemas de manufactura como el
SIMFACTORY o el PROMODEL, o lenguajes de Simulacin como: GPSS,
SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, etc. RIPT, etc. TRANSLACIN DEL
MODELOTRANSLACIN DEL MODELO. Consiste en generar las instrucciones
o cdigo computacional necesario para lograr que el modelo pueda ser
ejecutado en la computadora. VALIDACIN DEL MODELO. Es el proceso
que tiene como objetivo determinar la habilidad que tiene un modelo
para representar la realidad. La validacin se lleva a cabo mediante
la comparacin estadstica de los resultados del modelo y los
resultados reales. PLANEACION ESTRATGICA. Diseo de un experimento
que producir la informacin deseada. PLANEACIN TCTICA. Determinacin
de cmo se realizar cada una de las corridas de prueba de prueba
EXPERIMENTACIN. Corrida de la simulacin para generar los deseados y
efectuar anlisis de sensibilidad. INTERPRETACIN. Obtencin de
inferencias con base en datos generados por la simulacin.
IMPLANTACIN. Una vez seleccionada la mejor alternativa es
importante llevarla a la prctica, en muchas ocasiones este ltimo
caso es el ms difcil ya que se tiene que convencer a la alta
direccin y al personal de las ventajas de esta puesta en marcha. Al
implantar hay que tener cuidado con las diferencias que pueda haber
con respecto a los resultados simulados, ya que estos ltimos se
obtienen, si bien de un modelo representativo, a partir de una
suposiciones. MONITOREO Y CONTROL: No hay que olvidar que los
sistemas son dinmicos y con el transcurso del tiempo es necesario
modificar el modelo de simulacin, ante los nuevos cambios del
sistema real, con el fin de llevar a cabo actualizaciones
peridicas que permitan que el modelo siga siendo una
representacin del sistema del sistema. 1.6 Etapas de un proyecto de
simulacin.
Unidad 2: Nmeros pseudoaleatorios 2.1 Mtodos de generacin de
nmeros pseudoaleatorios. Se llama nmeros pseudoaleatorios a una
sucesin determinstica de nmeros en el intervalo [0,1] que tiene las
mismas propiedades estadsticas que una sucesin de nmeros
aleatorios. Una forma general de obtener nmeros pseudoaleatorios es
partir de una semilla de p nmeros y aplicar una funcin d. Los
nmeros pseudoaleatorios son necesarios cuando se pone en prctica un
modelo de simulacin, para obtener observaciones aleatorias a partir
de distribuciones de probabilidad. Los nmeros aleatorios generados
en un inicio por una computadora casi siempre son nmeros aleatorios
enteros. En sentido estricto, los nmeros generados por una
computadora no se deben llamar nmeros aleatorios por que son
predecibles y se pueden reproducir, dado el nmero aleatorio
generador que se use. Por ello en ocasiones se les llama nmeros
pseudoaleatorios.
El procedimiento usado por una computadora para generar nmeros
aleatorios se llama generador de nmeros aleatorios. Un generador de
nmeros aleatorios es un algoritmo que produce secuencias de nmeros
que siguen una distribucin de probabilidad especfica y tienen la
apariencia de aleatoriedad. La referencia a secuencias de nmeros
aleatorios significa que el algoritmo produce muchos nmeros
aleatorios en serie. La secuencia de nmeros generados debe cumplir
con las 2 hiptesis siguientes: 1) Distribucin Uniforme 2)
Independencia (no correlacionados) Los nmeros aleatorios se pueden
dividir en dos categoras principales: Nmeros aleatorios enteros. Es
una observacin aleatoria de una distribucin uniforme discretizada
en el intervalo n, n+1Por lo general, n =0 o 1 donde estos son
valores convenientes para la mayora de las aplicaciones. Nmeros
aleatorios uniformes. Es una observacin aleatoria a partir de una
distribucin uniforme (continua) en un intervalo [a,b] Por ejemplo,
si el tiempo que se tarda una mquina en procesar una pieza se
distribuye entre 2.2 minutos y 4.5 minutos, esto se definir como
una distribucin de probabilidad en el modelo de simulacin. Durante
la simulacin, cada vez que una pieza entre a esta mquina y sea
procesada, el simulador generar un nmero al azar entre 2.2 y 4.5
minutos para simular el tiempo de procesamiento de esa pieza. Cada
vez que generamos un valor a partir de una distribucin, a ese valor
se le llama variable aleatoria. Para generar variables aleatorias,
es necesario utilizar nmeros aleatorios. Es deseable que los nmeros
pseudoaleatorios uniformes posean las siguientes caractersticas: 1.
Uniformemente distribuidos. 2. Estadsticamente independientes. 3.
Reproducibles. 4. Periodo largo. 5. Generados mediante un mtodo
rpido. 6. Generados mediante un mtodo que no requiera mucha
capacidad de almacenamiento de la computadora. METODOS DE
GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS Algunos mtodos para la generacin
de nmeros aleatorios son: Mtodos congruenciales, desarrollados por
Lehmer: o Mixto o Multiplicativo El mtodo de los cuadrados del
medio, debido a Von Newmann y Metrpolis El mtodo congruencial mixto
genera una sucesin de nmeros aleatorios enteros en un intervalo de
0 a m-1. Este mtodo siempre calcula el siguiente nmero a partir del
ltimo que obtuvo, dado un nmero aleatorio inicial Xo, llamado
semilla. En particular, calcula el (n + 1)-esimo numero aleatorio
Xn+1 a partir del n-esimo numero aleatorio Xn con la relacin de
recurrencia.
Xn+1= (axn + c) (mdulo m)a= es la constante multiplicativa c= es
la constante aditiva m= es la magnitud del mdulo X0= es la semilla
Mod representa a la operacin aritmtica modulo entre los enteros a y
b tal que el resultado de (a mod b) es el residuo entero de la
divisin a entre b. por ejemplo 16 mod 3 es igual a 1 ya que 3/16= 5
enteros 1 residuo entero en la divisin. Donde a, c y m son enteros
positivos (a < m, c < m). Esta notacin matemtica significa
que Xn+1 son 0, 1, , M-1, de manera que m representa el numero
deseado de valores diferentes que se puede generar como nmeros
aleatorios. A manera de ilustracin, suponga que m=8, a=5, c=7 y
Xo=4. En la siguiente tabla se calcul la sucesin de nmeros
aleatorios que se tuvo (Esta sucesin no puede continuar, puesto que
solo se repetiran los nmeros en el mismo orden). Obsrvese que esta
sucesin incluye los ocho nmeros posibles una sola vez. Esta
propiedad es necesaria para una sucesin de nmeros aleatorios
enteros, pero no ocurre con algunos valores de a y c.
Xn+1= (axn + c) (mdulo m)n0 1 2 3 4 5 6 7
xn4 3 6 5 0 7 2 1
5xn+727 22 37 32 7 42 17 12
(5xn+7)/83 + 3/8 2 + 6/8 4 + 5/8 4 + 0/8 0 + 7/8 5 + 2/8 2 + 1/8
1 + 4/8
Xn+13 6 5 0 7 2 1 4
La cantidad de nmeros consecutivos en una sucesin antes de que
se repita se conoce como longitud de ciclo. En consecuencia, la
longitud de ciclo en el ejemplo es 8. La longitud de ciclo mxima es
m, de manera que solo los valores de a y c considerados son los que
conducen a una longitud de ciclo mxima. En la siguiente tabla, se
ilustra la conversin de nmeros aleatorios en nmeros aleatorios
uniformes. La columna de la izquierda proporciona los nmeros
aleatorios enteros que se obtuvo en la ltima columna de la tabla
anterior. La ltima columna proporciona los nmeros aleatorios
uniformes correspondientes a partir de la formula Numero aleatorio
uniforme = Numero aleatorio entero + 1/2. m
Numero aleatorio entero 3 6 5 0 7 2 1 4
Numero aleatorio uniforme 0.4375 0.8125 0.6875 0.0625 0.9375
0.3125 0.1875 0.5625
El mtodo congruencial multiplicativo corresponde al caso
especial del mtodo congruencial mixto en el que c =0. El mtodo
congruencial aditivo tambin es parecido, pero establece a =1 y
sustituye a c por algn numero aleatorio anterior a Xn en la
sucesin, por ejemplo, Xn-1 (as requiere mas de una semilla para
iniciar el calculo de la sucesin).
Xn+1= (axn) (mdulo m)a= es la constante multiplicativa m= es la
magnitud del modulo X0= es la semilla Ejemplo: Desarrolle cinco
iteraciones del generador Xn+1 = 3Xn mod 100, con X0=51 n Xn 3Xn 0
51 153 1 2 3 1 3 9 3 9 27 81 (3Xn)/100 1+ 1/2 0 + 3/100 0 + 9/100 0
+ 27/100 0 + 81/100 Xn+1 1 3 9 27 81
4 27
El mtodo congruencial mixto proporciona una gran flexibilidad
para elegir un generador de nmeros aleatorios en particular (una
combinacin especfica de a, c y m). Sin embargo, se requiere tener
mucho cuidado al seleccionar el generador de nmeros aleatorios
porque la mayora de las combinaciones de valores a, c y m conducen
a propiedades indeseables (por ejemplo, una longitud de ciclo menor
a m). Mtodos de los Cuadrados del Medio. Mtodo de los cuadrados del
medio. Este mtodo consiste en generar aleatoriamente un nmero de
cuatro dgitos, denominado la semilla, elevarlo al cuadrado y
establecer una forma de tomar los cuatro nmeros centrales del
resultado de la exponenciacin, ya sea quitando dos o un solo dgito
de cada extremo del resultado.
Ejemplo: Sea la semilla RND0 = 4380 (obtenida aleatoriamente con
el procedimiento de papelitos o tarjetas numeradas del 0 al 9 cada
una y extrada con remplazo de una tmbola). A continuacin elevamos
la semilla al cuadrado. (4380)2=19184400, por lo que al eliminar
las cifras exteriores 19 y 00, tenemos que nuestro primer numero
aleatorio generado es: RND1=1844. Aplicamos iterativamente este
procedimiento y tendremos: (1844)2=3400336, como esta es una cifra
con un numero impar de dgitos, establecemos el criterio de aumentar
por la izquierda un cero (puede ser a la derecha), es decir, ahora
tendremos 03400336. Entonces al eliminar a la izquierda la cifra 03
y a la derecha la cifra 36 tendremos: RND2= 4003. Repetimos una vez
ms el procedimiento: (4003)2=16024009, eliminando a la izquierda la
cifra 16 y a la derecha la cifra 09, tenemos: RND3=0240. (0240)2=
57600, entonces tenemos 057600. Aqu se elimina un solo dgito tanto
a la izquierda como a la derecha, por lo que RND4=5760
(5760)2=33177600, RND5=1760; y as sucesivamente hasta obtener el
tamao de muestra deseada, o bien hasta que el procedimiento se
degenere repitiendo una serie de nmeros previamente generados. A la
cantidad de nmeros diferentes obtenida se le llama periodo del
generador.
4380 (4380)=19184400 (1844)=03400336 (4003)=16024009
(0240)=057600
4380 1844 4003 0240 5760
Semilla
Las cifras que se eliminan son las que estn subrayadas
2.2 Pruebas estadsticas de aleatoriedad. Puesto que en el
muestreo Monte Carlo cualquier variable aleatoria no uniforme
(normal, exponencial, Poisson, etc), es obtenida a partir de numero
aleatorios uniformes [0,1], el principal nfasis en las pruebas
estadsticas deber ser con respecto al generador de los nmeros
aleatorios, ya que cualquier deficiencia estadstica en la
distribucin de la variable aleatoria no uniforme, se deber
exclusivamente a la utilizacin de un deficiente generador de nmeros
aleatorios. Por ello se aplicarn algunas de las muchas pruebas
estadsticas que han sido desarrolladas para probar la uniformidad y
aleatoriedad o independencia de los mismos, lo cual significa que
la ocurrencia de un nmero aleatorio no determina la ocurrencia del
siguiente, y as sucesivamente.
Bondad de ajuste para la uniformidad Prueba, Ji-cuadrada X2
Prueba Kolmogorov-Smirnov Pruebas para la aleatoriedad o
independencia. Corridas por arriba y por abajo del promedio
Corridas ascendentes y descendentes Prueba, Ji-cuadrada X2 La
distribucin (de Pearson), llamada Chi cuadrado o Ji cuadrado, es
una distribucin de probabilidad continua con un parmetro k que
representa los grados de libertad de la variable aleatoria.
Procedimiento: 1. Generar la muestra de nmero aleatorios de
tamao N. 2. Subdividir el intervalo [0,1] en n subintervalos. 3.
Para cada subintervalo contar la frecuencia observada F0 y calcular
la frecuencia esperada FE de nmeros aleatorios, la cual se obtiene
dividiendo N/n. Donde: X2 = valor estadstico de ji cuadrada. fo =
frecuencia observada. fe = frecuencia esperada. 4. Calcular el
estadstico de prueba 5. Comprobar el valor calculando contra el
valor tabulado de la distribucin X2,con (n-1) grados de libertad y
una significancia estadstica aLa conclusin es que si es menor que
X2 (n-1),, entonces no se puede rechazar la hiptesis nula de
uniformidad de los numero aleatorios. En caso contrario la hiptesis
nula es rechazada. ( )
Ejemplo: Un investigador quiere comparar si hay diferencias en
la cantidad de cigarros fumados por causa del estrs en personas que
trabajan. Planteamiento de la hiptesis. Hiptesis alterna (Ha). Habr
diferencia significativa entre la cantidad de cigarros fumados por
causa del estrs en personas que trabajan. Hiptesis nula (Ho). No
Habr diferencia significativa entre la cantidad de cigarros fumados
por causa del estrs en personas que trabajan. Nivel de
significacin. Para todo valor de probabilidad igual o menor que
0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.
Zona de rechazo. Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05,
se acepta Ho y se rechaza Ha. Fuma causa estrs 9 por No del sabe 2
No fuma por Total causa del estrs 7 18
Aplicacin de la prueba estadstica. El clculo de la frecuencia
esperada se efecta en virtud de que para una hiptesis nula, a todas
las casillas corresponde un valor igual, por lo tanto: Fe= numero
total /categoras Fe= 18/3=6 Fo= 18 Fe=6 ( )
X2= ((9-6)2/6 + (2-6)2/6+ (7-6)2/6) X2= (9/6 + 16/6+ 1/6) = 4.3
Gl = 3 - 1 = 2 = 0.05 Nota: Los grados de libertad (Gl) se obtienen
restndole 1 al nmero de categoras.El valor calculado de X2 se
compara con los valores crticos de la tabla de valores crticos de
X2. Se puede observar que para una probabilidad de 0.05 corresponde
la cifra de 5.99; por lo tanto, el estadstico ji cuadrada de 4.3
tiene una probabilidad mayor que 0.05. Decisin. En virtud de que la
probabilidad obtenida al calcular el valor de X2 est dentro de la
regin de rechazo, se acepta Ho y se rechaza Ha. X2c X2t se rechaza
Ho Entonces tenemos que: 4.3 < 5.99 se acepta Ho .:. No hay
diferencias significativas entre el consumo de cigarros por causa
del estrs. Interpretacin. El consumo de cigarros por causa del
estrs se puede considerar como efecto del azar.
2.3 Mtodo de Monte Carlo. La simulacin de Monte Carlo es una
tcnica que combina conceptos estadsticos (muestreo aleatorio) con
la capacidad que tienen los ordenadores para generar nmeros
pseudo-aleatorios y automatizar clculos. Los orgenes de esta tcnica
estn ligados al trabajo desarrollado por Stan Ulam y John Von
Neumann a finales de los 40 en el laboratorio de Los Alamos, cuando
investigaban el movimiento aleatorio de los neutrones. En aos
posteriores, la simulacin de Monte Carlo se ha venido aplicando a
una infinidad de mbitos como alternativa a los modelos matemticos
exactos o incluso como nico medio de estimar soluciones para
problemas complejos. As, en la actualidad es posible encontrar
modelos que hacen uso de simulacin MC en las reas informtica,
empresarial, econmica, industrial e incluso social. En otras
palabras, la simulacin de Monte Carlo est presente en todos
aquellos mbitos en los que el comportamiento aleatorio o
probabilstico desempea un papel fundamental -precisamente, el
nombre de Monte Carlo proviene de la famosa ciudad de Mnaco, donde
abundan los casinos de juego y donde el azar, la probabilidad y el
comportamiento aleatorio conforman todo un estilo de vida. El mtodo
de Montecarlo proporciona soluciones aproximadas a una gran
variedad de problemas matemticos posibilitando la realizacin de
experimentos con muestreos de nmeros pseudoaleatorios en una
computadora. El mtodo es aplicable a cualquier tipo de problema, ya
sea estocstico o determinista. Ejemplo Si deseamos reproducir,
mediante nmeros aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda,
debemos previamente asignarle un intervalo de nmeros aleatorios a
CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de
la simulacin. Tales intervalos se asignan en funcin de las
probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos as:
CARA Probabilidad: 0.50 Nmeros aleatorios: 0.000 al 0.499 CRUZ
Probabilidad: 0.50 Nmeros aleatorios: 0.500 al 0.999 Despus, al
generar un nmero aleatorio a partir de la funcin RAN de la
calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. As, si
obtenemos el nmero aleatorio 0.385, observamos que est incluido en
el intervalo asignado a CARA. En otras aplicaciones, se asocian
intervalos de nmeros aleatorios segn las probabilidades de
ocurrencia de los eventos a simular.
Unidad 3: Generacin de variables aleatorias. 3.1 Introduccin. La
generacin de cualquier variable aleatoria se va a basar en la
generacin previa de una distribucin uniforme (0,1), visto en el
tema anterior. En este captulo vamos a estudiar ciertas
transformaciones o algoritmos que nos van a transformar dichos
nmeros generados en valores de otras distribuciones. Buscamos
mtodos que nos permitan obtener valores de variables aleatorias que
sigan determinadas distribuciones de probabilidad a partir de los
nmeros aleatorios generados, que siguen la distribucin Uniforme en
el intervalo (0,1). Hay cuatro mtodos generales de generacin de
variables aleatorias y una serie de mtodos particulares de las
distintas distribuciones. La facilidad de aplicacin de dichos
mtodos, as como el costo computacional asociado a los mismos, varia
mucho segn la familia de variables aleatorias a las que se
apliquen. Normalmente existen varios algoritmos que se pueden
utilizar para generar valores de una determinada distribucin, y
diferentes factores que se pueden considerar para determinar qu
algoritmo utilizar en un caso particular. Desafortunadamente dichos
factores suelen entrar en conflicto unos con otros y a veces sea de
llegar a una solucin de compromiso. Algunos de estos factores son
los siguientes: Exactitud: se han de obtener valores de una
variable con una precisin dada. A veces se tiene suficiente con
obtener una aproximacin y otras no. Eficiencia: el algoritmo que
implementa el mtodo de generacin tiene asociado un tiempo de
ejecucin y un gasto de memoria. Elegiremos un mtodo que sea
eficiente en cuando al tiempo y a la cantidad de memoria
requeridos. Complejidad: Buscamos mtodos que tengan complejidad
mnima, siempre y cuando se garantice cierta exactitud. Robustez: el
mtodo tiene que ser eficiente para cualquier valor que tomen los
parmetros de la distribucin que siga la variable aleatoria.
Facilidad de implementacin. Esquema general de generacin de
variables aleatorias y muestras de procesos estocsticos:
{Ui}: Conjunto de nmeros generados en el computador, que siguen
una distribucin uniforme entre 0 y 1, independientes. {Xi}:
Conjunto de nmeros que pueden verse como:
Muestras de una determinada variable aleatoria. Muestras de un
proceso estocstico en distintos instantes de tiempo. Una variable
aleatoria es una variable que toma valores numricos determinados
por el resultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir
la variable aleatoria con sus posibles valores. Ejemplos: n de
caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2) n de llamadas
que recibe un telfono en una hora tiempo que esperan los clientes
para pagar en un supermercado Las variables aleatorias pueden ser
discretas o continuas: Discretas. Continuas. Ejemplo: Clasificar
como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias: a)
n de pginas de un libro discreta b) tiempo que tarda en fundirse
una bombilla continua c) n de preguntas en una clase de una hora
discreta d) cantidad de agua consumida en un mes continua 3.2
Variables aleatorias discretas. Discretas: el conjunto de posibles
valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que
se mide el nmero de veces que sucede algo, por ejemplo el nmero de
aos de estudio. Sea x una variable aleatoria discreta. Su
distribucin viene dada por los valores que puede tomar, x1, x2, x3,
, xk, y las probabilidades de que aparezcan p1, p2, p3, , pk. Estas
cantidades Pi = P {x = xi} reciben el nombre de funcin de
probabilidad o funcin de masa. Ejemplo: Variable aleatoria x=n de
caras al lanzar tres veces una moneda Posibles valores de x: 0, 1,
2 y 3 Lanzar 3 veces moneda: E= {CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}
La variable aleatoria x: Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {XXX}
Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {XXC,XCX,CXX} Toma valor 2
cuando {CCX,CXC,XCC} Toma valor 3 cuando {CCC} La funcin de
probabilidad es: P0= P {x=0}= 1/8=0.125 P1= P {x=1}= 3/8=0.375 P2=
P {x=2}= 3/8=0.375 P3= P {x=3}= 1/8=0.125
Funcin de probabilidad de x:0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0
1 2 3
Cul ser la probabilidad de que salgan al menos dos caras? P { x
< 2 } = P { x = 0 } + P { x = 2 } + P { x = 2 } = 0.125 + 0.375
+ 0.375 = 0.875 Y la probabilidad de que el nmero de caras est
entre 1 y 2? P { 1 < x < 2 } = P { x = 1 } + P { x = 2 } =
0.375 + 0.375 = 0.75 La probabilidad de que una variable aleatoria
x tome un valor entre dos cantidades a y b ser: P { a < x < b
} = P { x = a } + P { x = a + 1 } + + P { x = b - 1 } + P { x = b }
= * +
pi P{x xi } 0
La funcin de probabilidad verifica que:k
k
i 1
pi P{x xi } 1i 1
Sabemos que una variable aleatoria discreta o discontinua es
aquella en la que existe una distancia bien definida entre dos de
los valores consecutivos que asume; y dichos valores son
numerables. Existen varios modelos matemticos que representan
diversos fenmenos discretos de la vida real. Las ms tiles son: 1.-
La distribucin uniforme discreta. 2.- La distribucin de
probabilidad Binomial o de Bernoulli. 3.- La distribucin de
probabilidad Hipergeomtrica. 4.- La distribucin de probabilidad de
Poisson. UNIFORME DISCRETA Si la variable aleatoria X asume valores
de X1, X2, ..., Xk con iguales probabilidades, entonces la
distribucin uniforme es: F(x,k) = 1/k
La distribucin de probabilidad del lanzamiento de un dado es: S
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(x =1,2,..., )6 = 1/6
LA DISTRIBUCION BINOMIAL Esta distribucin fue elaborada por
Jacobo Bernoulli y es aplicable a un gran nmero de problemas de
carcter econmico y en numerosas aplicaciones como: - Juegos de
azar. - Control de calidad de un producto. - En educacin. - En las
finanzas. La distribucin binomial posee las siguientes propiedades
esenciales: 1.- El espacio muestral contiene n ensayos idnticos.
2.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos
diferentes mtodos de muestreo. Se puede considerar que cada
observacin se ha seleccionado de una poblacin infinita sin
reposicin o de una poblacin finita con reposicin. 3.- Cada
observacin se puede clasificar en una de dos categoras conocidas
como xito E o fracaso E', las cuales son mutuamente excluyentes es
decir E E' = 0. 4.- Las probabilidades de xito p y de fracaso q = 1
- p en un ensayo se mantienen constantes, durante los n ensayos.
5.- El resultado de cualquier observacin es independiente del
resultado de cualquier otra observacin. La probabilidad de que el
evento E ocurra x veces y el evento E' ocurra (n - x) veces en n
ensayos independientes est dado por la frmula binomial:
Donde: p = Probabilidad caracterstica o probabilidad de xito. q
= Probabilidad de fracaso x = Nmero de xitos deseados n = Nmero de
ensayos efectuados Si se lanza 4 veces una moneda, calcular el
evento "Nmero de guilas que caen." Datos: n = 4 ensayos. p = 1/2
probabilidad de xito en un ensayo. q=1-p=1= x = 0, 1, 2, 3, 4 S =
{lanzar 4 veces la moneda} A = {nmero de guilas que caen}
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIN El clculo de estas
magnitudes puede realizarse con las siguientes frmulas: = np, 2 =
npq = = Media 2 = Varianza = Desviacin estndar
LA DISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA Se emplea para calcular la
probabilidad de obtener determinado nmero de xitos en un espacio
muestral de n ensayos; pero a diferencia de la distribucin binomial
es que los datos de la muestra se extraen sin remplazo en una
poblacin finita. Por esto es que el resultado de una observacin
depende o es afectado por el resultado de cualquier otra u otras
observaciones anteriores. Es decir la distribucin hipergeomtrica se
emplea para muestreos sin remplazo de una poblacin finita cuya
probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo. La funcin
de probabilidad de una variable aleatoria con distribucin
hipergeomtrica puede deducirse a travs de razonamientos
combinatorios y es igual a
Donde N= es el tamao de poblacin, n= es el tamao de la muestra
extrada, d= es el nmero de elementos en la poblacin original que
pertenecen a la categora deseada x= es el nmero de elementos en la
muestra que pertenecen a dicha categora.
La notacin hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el
nmero de combinaciones posibles al seleccionar b elementos de un
total a. DISTRIBUCIN DE POISSON Esta funcin de distribucin de
variable discreta se emplea para calcular las probabilidades
asociadas a la variable aleatoria dentro de un intervalo continuo
de tiempo o espacio; este intervalo es generalmente una unidad de
medida conocida: cm2, km, gramos, litros, pulgadas, etc. Algunos de
los problemas que presentan como un fenmeno con distribucin de
Poisson son: - Los embotellamientos que se producen por da. - Nmero
de llamadas por hora. - Defectos por m2 de tela. - Nmero de
defectos por lote de un proceso de produccin. - Nmero de negocios
cerrados por semana A este tipo de problemas se les conoce el nmero
de xitos x obtenidos por unidad de medida en n ensayos; pero es
totalmente imposible conocer el nmero de fracasos (n - x). Se dice
que se da un proceso de Poisson si se pueden observar eventos
discretos en un intervalo continuo en forma tal que si se acorta el
intervalo lo suficiente: 1.- La probabilidad de observar
exactamente un xito en el intervalo es estable. 2.- La probabilidad
de observar dos o ms xitos en el intervalo es cero. 3.- La
ocurrencia de un xito en cualquier intervalo es estadsticamente
independiente de que suceda en cualquier otro intervalo.
La distribucin de Poisson se expresa mediante la siguiente
frmula.
Donde: n = Nmero de ensayos x = Nmero de xitos esperados en n
ensayos e = 2.71828... = n p = Constante igual al nmero de xitos
promedio por unidad de medida p = Probabilidad constante durante el
proceso igual al nmero de xitos promedio por unidad de medida.
EJEMPLO: Un conmutador recibe en promedio 5 llamadas sobre autos
extraviados por hora. Cul es la probabilidad de que en una hora
tomada al azar reciba? a) Ninguna llamada. b) Exactamente 3
llamadas. c) No ms de 3 llamadas.
3.3 Variables aleatorias continuas. Continuas: Son aquellas
donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro
de determinados lmites; por ejemplo, la estatura de un
estudiante.
El inters de estas probabilidades est en conocer la probabilidad
correspondiente a un intervalo. Dicha probabilidad se conoce
mediante una curva llamada funcin de densidad y suponiendo que bajo
dicha curva hay un rea de una unidad. Conociendo esta curva, basta
calcular el rea correspondiente para conocer la probabilidad de un
intervalo cualquiera. Hay muchas variables continuas cuya funcin de
densidad tiene forma de campana. Caracteres morfolgicos de
individuos (personas, animales y plantas) de una misma raza, por
ejemplo, tallas, pesos, etc. Caracteres fisiolgicos. Por ejemplo,
efecto de una misma dosis de un frmaco, o de una misma cantidad de
abono. Caracteres sociolgicos. Por ejemplo, consumo de ciertos
productos por individuos de un mismo grupo humano. Y en general,
cualquier caracterstica que se obtenga como suma de muchos
factores. Se dice que estas variables tienen una distribucin normal
y la funcin de densidad recibe el nombre de curva normal o campana
de Gauss. Distribucin Uniforme La distribucin uniforme continua es
una familia de distribuciones de probabilidad para variables
aleatorias continuas, tales que cada miembro de la familia, todos
los intervalos de igual longitud en la distribucin en su rango son
igualmente probables. El dominio est definido por dos parmetros, a
y b, que son sus valores mnimo y mximo. La distribucin es a menudo
escrita en forma abreviada como U(a,b). La funcin de densidad de
probabilidad de la distribucin uniforme continua es:
Los valores en los dos extremos a y b no son por lo general
importantes porque no afectan el valor de las integrales de f(x) dx
sobre el intervalo, ni de x f(x) dx o expresiones similares. A
veces se elige que sean cero, y a veces se los elige con el valor
1/(b a). Este ltimo resulta apropiado en el contexto de estimacin
por el mtodo de mxima verosimilitud. En el contexto del anlisis de
Fourier, se puede elegir que el valor de f(a) f(b) sean 1/(2(b a)),
para que entonces la transformada inversa de muchas transformadas
integrales de esta funcin uniforme resulten en la funcin inicial,
de otra forma la funcin que se obtiene sera igual "en casi todo
punto", o sea excepto en un conjunto de puntos con medida nula.
Tambin, de esta forma resulta consistente con la funcin signo que
no posee dicha ambigedad. Distribucin normal o de Gauss La
distribucin normal fue definida por De Moivre en 1733 y es la
distribucin de mayor importancia en el campo de la estadstica. Una
variable es normal cuando se ajusta a la ley de los grandes nmeros,
es decir, cuando sus valores son el resultado de medir
reiteradamente una magnitud sobre la que influyen infinitas causas
de efecto infinitesimal. Las variables normales tienen una funcin
de densidad con forma de campana a la que se llama campana de
Gauss. Su funcin de densidad es la siguiente:
Los parmetros de la distribucin son la media y la desviacin
tpica, y , respectivamente. Como consecuencia, en una variable
normal, media y desviacin tpica no deben estar correlacionadas en
ningn caso (como desgraciadamente ocurre en la inmensa mayora de
las variables aleatorias reales que se asemejan a la normal. La
curva normal cumple las siguientes propiedades: 1) El mximo de la
curva coincide con la media. 2) Es perfectamente simtrica respecto
a la media (g1 = 0). 3) La curva tiene dos puntos de inflexin
situados a una desviacin tpica de la media. Es convexa entre ambos
puntos de inflexin y cncava en ambas colas.
4)
Sus colas son asintticas al eje X.
Para calcular probabilidades en intervalos de valores de la
variable, habra que integrar la funcin de densidad entre los
extremos del intervalo. Por desgracia (o por suerte), la funcin de
densidad normal no tiene primitiva, es decir, no se puede integrar.
Por ello la nica solucin es referirse a tablas de la funcin de
distribucin de la variable (calculadas por integracin numrica)
Estas tablas tendran que ser de triple entrada (, , valor) y el
asunto tendra una complejidad enorme. Afortunadamente, cualquier
que sea la variable normal, X, se puede establecer una
correspondencia de sus valores con los de otra variable con
distribucin normal, media 0 y varianza 1, a la que se llama
variable normal tipificada o Z. La equivalencia entre ambas
variables se obtiene mediante la ecuacin:
La funcin de distribucin de la variable normal tipificada est
tabulada y, simplemente, consultando en las tablas se pueden
calcular probabilidades en cualquier intervalo que nos interese. De
forma anloga a lo pasaba con las variables Poisson, la suma de
variables normales independientes es otra normal.
Histograma de una normal idealizada
Histograma de una muestra de una variable normal
Distribucin exponencial Es un caso particular de la distribucin
gamma cuando = 1. Su funcin de densidad es:
Su parmetro es . La media y la varianza de la distribucin
exponencial son:
3.4 Mtodos para generar variables aleatorias. Existen varios
mtodos que nos permiten generar variables aleatorias. Lo normal es
que existan varias opciones para generar una misma variable
aleatoria. La eleccin del mtodo adecuado se puede basar en una
serie de factores como: Exactitud.se prefiere un mtodo exacto
frente a mtodos aproximados, como soluciones numricas. Velocidad.
Uno de los datos que se toma en consideracin es el tiempo de
generacin de la variable. Espacio. Necesidades de memoria del mtodo
utilizado. En general, los mtodos no consumen mucha memoria.
Los mtodos generales para la generacin de variables aleatorias
son: Mtodo de Inversin, de Aceptacin-Rechazo, de Composicin y de
Convolucin. 3.5 Procedimientos especiales. La Distribucin Erlang:
es una distribucin de probabilidad continua con una amplia
aplicabilidad debido principalmente a su relacin con la exponencial
y la distribucin gamma dada por la suma de un nmero de variables
aleatorias independientes que poseen la misma distribucin
exponencial. La distribucin Erlang se aplica en modelos de sistemas
de servicio masivo, ejemplo: En situaciones donde el servicio tiene
que realizar dos operaciones c/u con tiempo de servicio
exponencial. Unidad 4: Lenguajes de simulacin 4.1 Lenguajes de
simulacin y simuladores. Muchas propiedades en programacin de
modelos de simulacin discreta, tales como: Generadores de nmeros
aleatorios. Generadores de variables aleatorias. Rutinas del
siguiente evento. Avance de tiempo. Recopilacin de estadsticas.
Reportes, etc. Han sido desarrolladas en lenguajes especiales
orientados a simulacin, dejando la ardua labor de programacin en
FORTRAN, C o PASCAL a lenguajes de simulacin, los que incluyen
facilidades de animacin. Actualmente, existen cerca de 100 software
de simulacin disponibles en una variedad de computadores.
LENGUAJES DE SIMULACIN Y LENGUAJES DE PROPSITOS GENERALES La
importancia de escribir modelos de simulacin en lenguajes de
propsitos generales como FORTRAN radica en: Permite conocer los
detalles ntimos de la simulacin. Es imprescindible, cuando no se
dispone de software de simulacin. Algunos modelos en lenguajes de
simulacin permiten interfaces con lenguajes generales,
especficamente FORTRAN (ocurre con SLAM ll, SIMAN, GPSS). Por otra
parte, los lenguajes de simulacin ofrecen mayores ventajas, porque:
Automticamente proveen muchas de las facilidades necesarias en la
simulacin del modelo. Proveen un natural ambiente para modelamiento
de la simulacin. Son fciles de usar. Proveen una gran interaccin
entre edicin, depuracin y ejecucin. Alcanzando algunos de ellos
implantacin de la ingeniera de software. CLASIFICACIN DE LOS
SOFTWARE PARA SIMULACIN. Existen en el mercado dos grandes clases
de software para simulacin: los lenguajes y los simuladores. Un
lenguaje de simulacin es un software de simulacin de naturaleza
general y posee algunas caractersticas especiales para ciertas
aplicaciones, tal como ocurre con SLAM 11 y SIMAN con sus mdulos de
manufactura. El modelo es desarrollado usando las instrucciones
adecuadas del lenguaje y permitiendo al analista un gran control
para cualquier clase de sistema. Un simulador (o de propsitos
especiales) es un paquete de computadoras que permite realizar la
simulacin para un ambiente especfico, no requiriendo esfuerzo en
programacin. Hoy en da existen simuladores para ambientes de
manufactura y sistemas de comunicacin permitiendo un menor tiempo
en el desarrollo del modelo, as como tambin contar con el personal
sin experiencia en simulacin. Los simuladores son actualmente muy
utilizados para anlisis en alto nivel, requirindose nicamente
agregar detalles en un cierto nivel, puesto que lo dems es estndar.
CACI Products Company autor de SIMSCRIPT 11.5 es tambin autor de
los simuladores SIMFACTORY 11.5, NETWORK 11.5 y COMNET11.5, muy
utilizados en estos ltimos tiempos para simulaciones de sistemas de
manufacturas, redes de computadoras y redes de telecomunicaciones.
Para procesar transacciones en espera de un ordenamiento, un
lenguaje de simulacin debe proporcionar un medio automtico de
almacenamiento y recuperacin de estas entidades. Atendiendo a la
modelacin de una simulacin discreta, existen tres formas:
Programacin de eventos Procesos Examinacin de actividades Una
programacin al evento es modelada, identificando las caractersticas
del evento y luego se escriben un juego de rutinas para los eventos
con la finalidad de describir detalladamente los cambios que
ocurren en el tiempo en cada evento. Lenguajes como SIMSCRIPT 11.5
y SLAM 11 estn orientados al evento.
Una interaccin al proceso es una secuencia de tiempos
interrelacionados, describiendo la experiencia de una entidad a
travs del sistema. Por ejemplo, en un modelo de colas esta
"historia" se traduce en el paso del tiempo del ingreso a la cola,
ingreso al servidor, paso del tiempo en el servicio y fin del
servicio. GPSS, SIMAN Y SIMNET son orientados al proceso. En el
examen de actividades, el modelador define las condiciones
necesarias al empezar y finalizar cada actividad en el sistema. El
tiempo es avanzado en iguales incrementos de tiempo y en cada
incremento de tiempo, las condiciones son evaluadas para determinar
si alguna actividad puede estar empezando o terminando. El ESCL, es
un lenguaje de simulacin muy popular en Europa y fue desarrollado
en FORTRAN. GASP IV Es una coleccin de subrutinas FORTRAN, diseadas
para facilitar la simulacin de secuencia de eventos. Cerca de 30
subrutinas y funciones que proveen numerosas facilidades,
incluyendo: Rutinas de avance del tiempo, Gestin de listas de
eventos futuros, Adicin y remocin de entidades. Coleccin de
estadsticas. Generadores de variables aleatorias. Reporte estndar.
El programador nicamente provee un programa main, una rutina de
actualizacin, rutinas de eventos, generadores de reportes
personalizados y una subrutina denominada EVNTS. El programa main
debe incluir la sentencia CALL GASP; siendo GASP una subrutina que
determina el eminente evento, invocando a EVNTS escrita por el
usuario y obtiene el ndice NEXT. GASP IV es un lenguaje de
simulacin desarrollado por Alan B. Pristker y N. Hurst en 1973. Es
un lenguaje hbrido porque puede ser usado para programadores de
simulacin discretos, continuos y combinados; siendo el primero en
integrar completamente estos dos ambientes de funcin del tiempo.
GASP IV es un derivado del GASP II, y se diferencia por la
definicin del evento espacio-estado (state space event). SIMSCRIPT
II.5 Desarrollado en la RAND Corporation por H. Markowtz en los
inicios de los sesenta. SIMSCRIPT 11.5. Es un lenguaje de simulacin
con orientacin al evento y al proceso, es hbrido porque posee
facilidades para simulacin de sistemas discretos y continuos. Un
programador SIMSCRIPT 11.5 consiste de las siguientes partes:
Preamble Main program Rutinas de eventos Rutinas ordinarias.
SIMSCRIPT 11.5, producido por CACI Products Company (La Jolla,
California), fue utilizado en el pasado en grandes y complejas
simulaciones, como es el caso de los modelos no orientados a colas;
por ejemplo modelos de combates militares. Se encuentra disponible
en versin PC destacando su ambiente de S11VIGRAPHICS.
SIMSCRIPT 11.5 est basado en entidades, atributos y conjuntos.
Visualiza el mundo a ser simulado como un conjunto de entidades que
pueden ser descritas a travs de sus atributos y los eventos que
aparecen en el tiempo. SIMAN/Cinema La versin original del SIMAN
(Simulation and Analysis) fue desarrollada por Dennis Pegden, en la
Universidad de Alabama, cuando era lder del grupo de desarrollo de
la versin original de SLAM (basada en los software de GASP y
Q~GER-r de Pristerk and Associates). Mas tarde, Pegden inicia su
trabajo en el Pennisylvania State University donde lo disea como un
lenguaje de modelamiento para propsitos generales, incluyendo
facilidades de manufactura muy tiles en modelamiento de sistemas
complejos de manufactura. Desde su implementacin inicial en 1984,
ha sido continuamente refinado por System Modeling Corporation, y
en 1998 y 1989 el lenguaje fue completamente rediseado dando origen
a SIMAN/Cinema. El ambiente de modelamiento en SIMAN se desarrolla
entre el Modeling y el Experiment; en el primero se describe las
componentes del sistema y sus interacciones y en el segundo se
definen las condiciones del experimento (longitud de la corrida,
condiciones iniciales). SIMAN modela un sistema discreto usando la
orientacin al proceso; es decir, en un modelo de sistema
particular, se estudian las entidades que se mueven a travs del
sistema. Una entidad para SIMAN es un cliente, un objeto que se
mueve en la simulacin y que posee caractersticas nicas conocidas
como atributos. Los procesos denotan la secuencia de operaciones o
actividades a travs del que se mueven las entidades, siendo
modeladas por el diagrama de bloques. Usted construye un diagrama
de bloque en un flowchart grfico, seleccionando y combinando
bloques. Despus, interactivamente, usando un editor especial se
activa el generador automtico de las sentencias del modelo desde el
ambiente grfico. Los bloques de SIMAN se clasifican en 10 tipos
bsicos. SLAM II El SIMPSCRIPT y el GASP IV son los lenguajes de
programacin de eventos ms destacados. SLAM es un descendiente de
GASP IV que ofrece tambin recursos de simulacin de redes y
continuos, estando ambos codificados en FORTRAN. Desde los
lenguajes orientados a los procesos, existe representacin de
modelos en bloques como GPSS y SIMAN y los basados en redes como
QGERT y SLAM. Con la llegada del PERT, se plantearon situaciones de
redes complejas, en tanto a ramificacin por efecto de una decisin y
loop para conseguir que varias actividades se realicen de modo
repetitivo, trayendo consigo el desarrollo del GERT (Graphical
Evaluation and Review Technique), por Pritoker y Elaghraby; quienes
lo aplicaron para el programa Apolo. El lenguaje Q-GERT signific la
respuesta al clculo de estimacin de probabilidades de terminacin en
cada nodo y la distribucin de tiempos y costos para la realizacin
de cualquier nodo, la estructura bsica de un modelo de simulacin
Q-GERT es una red compuesta de nodos y actividades (bifurcaciones).
SLAM es una variante de QGERT que ofrece recursos de eventos de
redes y discretos (y tambin simulacin continua).
SLAM II (Simulation Languaje for Alternative Modeling) es un
lenguaje de simulacin por el cual se pueden construir modelos con
orientacin al proceso o al evento. SLAM fue desarrollado en 1979
por Dennis Pedge y Alan Pritsker y es distribuido por Pritsker
Corporation (indianapolis, Indiana). La parte de SLAM que se
orienta a los procesos emplea una estructura reticular compuesta
por smbolos de nodos y ramas tales como colas, servidores y puntos
de decisin. Modelamiento significa incorporar esos smbolos a un
modelo de red que representa el sistema y en donde las entidades
(tems) pasan a travs de la red. SLAM contiene un procesador que
convierte la representacin visual del sistema a un conjunto de
sentencias. 4.2 Aprendizaje y uso de un simulador. Actualmente
existen ms de 100 software de simulacin.Programacin de eventos
Continuos Software de simulacin Discretos Propsitos especiales
Interaccin al proceso Basado en redes Instrucciones del usuario
Propsitos generales Examinacin de actividades Bloques
Simulador AutoMod El AutoMod de AutoSimulations Inc. Combina las
caractersticas de los lenguajes de propsito especial (lenguajes de
simulacin) y un simulador de propsito especial de manejo de
materiales. Tiene caractersticas generales de programacin
incluyendo la especificacin del proceso y procedimientos del
proceso, recursos, cargas, colas, y variables. Los procesos son
especificados en trminos de lmites de trfico, conexiones de
entradas y salidas de sistemas de manejo de materiales, y lgica del
proceso. Los recursos son especificados en trminos de su capacidad,
tiempo de procesamiento, tiempo entre falla y tiempo de reparacin.
Las cargas son definidas por su forma y tamao, sus atributos, tasas
de generacin, tiempos de inicio, y todas las prioridades. Como una
alternativa para los sistemas del proceso y del lenguaje de
propsito general, AutoMod tiene un simulador opcional de trabajos
de taller con una interface similar a una hoja electrnica, en la
cual todos los datos y la lgica del modelo pueden suministrarse en
un medio ambiente de no programacin que es muy similar a una hoja
electrnica. Simulador ProModel ProModel es una herramienta de
simulacin que funciona en computadoras personales en un ambiente
Windows. Mediante una combinacin ideal de facilidad de uso,
flexibilidad y potencia, permite disear y analizar sistemas de
produccin y servicios de todo tipo y tamao y modelar prcticamente
toda situacin, en forma casi real, mediante sus capacidades grficas
y de animacin.
ProModel fue concebido como una herramienta para ingenieros y
gerentes que desean lograr reducciones de costos, mejoras en la
productividad e incrementar las ventajas estratgicas en la
produccin de bienes y servicios. En resumen, con la simulacin se
tiene la habilidad para determinar el uso de los recursos
disponibles personal, equipo e instalaciones mas eficiente y
productivamente. No se necesita que el ingeniero o modelador tenga
una gran habilidad para programar. Mediante su interface grfica y
el uso de pequeos modelos preconstruidos, permite modelar sistemas
complejos de produccin y servicios en forma fcil y rpida. ProModel
por otra parte, se puede utilizar como un medio muy efectivo para
probar y generar nuevas ideas de diseo y mejoramiento, antes de
realizar las inversiones y/o modificaciones necesarias para
construir o mejorar estos sistemas. En la misma forma sirve para
identificar cuellos de botella, seleccionar la alternativa que
ofrezcan la mejor relacin beneficio-costo y hacer Anlisis de
Sensibilidad (Qu pasara s?). Algunas aplicaciones tpicas de
ProModel son las siguientes: Lneas de ensamble Sistemas de
manufactura flexible Produccin por lotes Justo a tiempo (JAT) y
Sistemas de produccin KANBAN. Sistemas de colas. (Para servicios o
manufactura tales como lneas de empaque). Optimizacin de la
distribucin en planta y el manejo de materiales. Servicio
Financieros Logstica Reingeniera de Negocios Evaluacin, planeacin y
re-diseo de sistemas de servicios Simulador Extend Extend es un
software orientado a apoyar el proceso de toma de decisiones, que
permite visualizar el comportamiento y los resultados de un proceso
en diversos escenarios definidos por el usuario, a un bajo costo y
minimizando el riesgo de la implantacin. La simulacin de procesos
permite evaluar comportamientos tanto en funcionamiento como en su
etapa de diseo, sin incurrir en los costos de una implantacin real.
El realizar pruebas y modificaciones durante las etapas de diseo y
planificacin, permite ahorrar tiempo y dinero en las etapas
posteriores de implantacin y mantenimiento de los nuevos procesos.
Por la gran potencialidad que posee para la representacin de
sistemas complejos, la flexibilidad de su manejo y lo amigable de
su interfaz, es una muy buena solucin para empresas, u
organizaciones en general, que deseen desarrollar modelos de
simulacin de sus procesos (de servicios, manufactura, negocios,
administrativos, etc.) como parte de la evaluacin y proyeccin de
resultados de sus proyectos de transformacin. Transformando sus
flujos de proceso en modelos Extend y para efectuar un anlisis a
travs de simulacin, donde experimentar nuevas posibilidades,
estudiar la respuesta a condiciones dinmicas y evaluar beneficios.
Esto le permitir alcanzar decisiones en forma ms fcil y segura que
mtodos basados en intuicin, permitindole instaurar cambios
positivos para su operacin. En particular, permite evaluar los
supuestos que hay detrs de los modelos operacionales actuales, al
analizar en forma sistmica el conjunto de variables que inciden en
el proceso.
Con Extend se pueden modelar cambios organizacionales, probar
escenarios, disear prototipos, analizar opciones de equipamiento,
aplicar gestiones de mejoramiento continuo, incrementar
productividad y calidad, y evaluar ideas antes de llevarlas a cabo.
Simulador ARENA El ARENA de la Systems Modeling Corporatiion, es un
paquete de simulacin y animacin extendible. Se intenta proveer el
poder del SIMAN para aquellos quienes aprender un lenguaje es una
incomodidad, tambin como resaltar el uso de las herramientas usadas
por los modeladores del SIMAN. Considere que una persona, diferente
al analista de la simulacin, desea usar el SIMAN. Actualmente, el o
ella deben entender los bloques usados en el modelo y los elementos
usados en el experimento para proceder. Usando las plantillas de
solucin para la aplicacin del ARENA, el usuario puede extraer el
modulo, colocarlo es su lugar apropiado, parametrizarlo sin
aprender el lenguaje SIMAN. El lenguaje SIMAN para los modeladores,
el ARENA intenta incrementar su funcionalidad, eliminando la
necesidad de escribir cdigos similares en diferentes modelos. El
SIMAN es la mquina del lenguaje y Cinema el sistema de animacin
sobre el cual se construye el ARENA. Otros productos incluidos en
ARENA son un analizador de entradas y un analizador de resultados.
Con el ARENA, un modelo de simulacin se construye seleccionando un
mdulo que contiene las caractersticas completas del proceso. Por
ejemplo, un mdulo de inspeccin puede modelar un proceso de
inspeccin. El modulo se coloca en una ventana y una caja de dilogo
aparece en la cual el usuario entra sus datos y elige opciones. Una
vez que los mdulos son colocados y las preguntas contestadas, el
ARENA se ejecuta un modelo totalmente animado del proceso actual o
del propuesto. Los mdulos pueden se organizados en plantillas
especializadas para diferentes dominios de aplicacin. Una vez que
los modelos son creados, se transforman en paquetes de auto
contenido lgicos que pueden re-usarse en otros modelos. Con esta
habilidad para adecuarse, el ARENA puede ser usado para crear
plantillas para una compaa, departamento o persona especfica usando
un lenguaje y grficos significativos que son apropiados para
usuarios poco frecuentes de la simulacin. Las caractersticas ms
relevantes de la aplicacin ROCKWELL ARENA son: ARENA es un
simulador de sistemas de eventos discretos. Utiliza el lenguaje de
simulacin SIMAN El cdigo interno en SIMAN puede evaluarse,
modificarse o adicionarse de subrutinas en lenguaje C, Fortran,
etc. Permite programar visualmente mediante asociacin de bloques
)Crea modelos de simulacin sin la necesidad de codificar programas)
Admite simulacin continua y discreta Gran flexibilidad de uso
Permite la programacin a bajo nivel Proporciona un entorno grfico
para visualizar la evolucin de los sistemas simulados (Permite
mostrar la animacin del modelo construido)
Simulacin en GPSS El GPSS es un lenguaje altamente estructurado,
un lenguaje de simulacin de propsito especial que usa en el enfoque
basado en procesos y se orienta hacia los sistemas de colas. Un
diagrama de bloques provee una forma conveniente para describir el
sistema que se esta simulando. (Existen ms de 40 bloques estndar en
el GPSS). Las entidades llamadas transacciones pueden ser vistas
como que fluyen a travs de un diagrama de bloques. Por lo anterior,
GPSS puede ser usado para modelar una situacin donde las
transacciones (entidades, clientes, unidades de trfico) estn
fluyendo a travs del sistema (ejem; una red de lneas de espera, con
las colas precediendo a recursos escasos). El diagrama de bloques
es preparado en una forma que reconozca la computadora junto con
los estatutos de control para que simulacin sea desarrollada por el
procesador. El GPSS fue liberado por IBM en 1961. La implementacin
original ha sido nuevamente implementada y mejorada en muchas
partes desde 1961, dos de esas implementaciones son GPSS/H y
GPSS/World. 4.3 Casos prcticos de simulacin. A partir de la
problemtica propia del aprendizaje a distancia, se exponen las
Ventajas del uso de herramientas de simulacin por una parte, y de
las herramientas multimedia como elemento de transmisin en el
proceso enseanza-aprendizaje. En este trabajo se propone la
integracin de las herramientas de simulacin y multimedia para la
enseanza a distancia de la Ingeniera de Sistemas y Automtica. Para
que esta integracin sea efectiva, es conveniente seguir una
determinada metodologa de diseo y desarrollo tanto de la parte
multimedia como de los contenidos que se apoyan en la simulacin.
Como caso prctico se propone el desarrollo de una aplicacin
multimedia para su distribucin en Internet de un ejercicio guiado
apoyado en herramientas de simulacin y diseo de sistemas asistido
por ordenador cuyo objetivo principal es que el alumno aprenda las
tcnicas basadas en la respuesta en frecuencia para el anlisis de la
estabilidad de sistemas realimentados. Las herramientas de
simulacin En el mbito de la enseanza de la Ingeniera de Sistemas y
Automtica, las herramientas de simulacin pueden ser aplicadas desde
el enfoque constructivista del aprendizaje por descubrimiento
guiado para conseguir un aprendizaje significativo. 4.3.1 Modelos
de inventarios. Modelos de inventario. Comnmente los inventarios
estn relacionados con la mantencin de cantidades suficientes de
bienes (insumos, repuestos, etc.), que garanticen una operacin
fluida en un sistema o actividad comercial. La forma efectiva de
manejar los inventarios es minimizando su impacto adverso,
encontrando un punto medio entre la poca reserva y el exceso de
reserva. Est actitud prevaleci en los pases industrializados de
Occidente, incluso despus de la segunda guerra mundial, cuando Japn
instaur con gran xito el sistema (famoso ahora) "Just in time",
ambiente que requiere un sistema de produccin (casi) sin
inventario. En la mayora de las situaciones del mundo real, el
manejo de inventario involucra un nmero apreciable de productos
varan en precio, desde aquellos relativamente econmicos hasta los
muy costosos. El inventario representa realmente el capital
ocioso,
es natural que se ejerza un control en aquellos artculos que
sean responsables en el incremento en el costo de capital.
Empricamente se ha comprobado que un pequeo nmero de productos del
inventario son los que suelen incurrir en parte importante del
costo del capital, por ende, son los que deben estar sujetos a
control ms estricto. 4.3.2 Modelos de lneas de espera. Las colas
(lneas de espera) son parte de la vida diaria. Todos esperamos en
colas para comprar un boleto para el cine, hacer un depsito en el
banco, pagar en el supermercado, enviar un paquete por correo,
subir a un juego en la feria, etc. Nos hemos acostumbrado a esperas
largas, pero todava nos molesta cuando lo son demasiado. Sin
embargo, tener que esperar no slo es una molestia personal. El
tiempo que la poblacin de un pas pierde en colas es un factor
importante tanto en la calidad de vida como en la eficiencia de su
economa. Por ejemplo, antes de su disolucin, la Unin Sovitica era
notoria por las excesivas colas que sus ciudadanos solan tener que
soportar solo para comprar artculos bsicos. Hoy en Estados Unidos
se estima que las personas pasan 37 mil millones de horas al ao en
lneas de espera. Si este tiempo se usara de manera productiva
significara cerca de 20 millones de personas-aos de trabajo til
cada ao. Incluso estas asombrosas cifras no cuentan toda la
historia del impacto que causa la espera excesiva. Tambin ocurren
grandes ineficiencias debido a otros tipos de espera que no son
personas en una Cola. La Teora de Colas es el estudio de la espera
en las distintas modalidades. Usa los modelos de colas para
representar los tipos de sistemas de lneas de espera (sistemas que
involucran colas de algn tipo) que surgen en la prctica. Las
frmulas para cada modelo indican cul debe ser el desempeo del
sistema correspondiente y sealan la cantidad promedio de espera que
ocurrir, en una gama de circunstancias. Por lo tanto, estos modelos
de lneas de espera son muy tiles para determinar cmo operar un
sistema de colas de la manera ms efectiva. Proporcionar demasiada
capacidad de servicios para operar el sistema implica costos
excesivos; pero al no contar con suficiente capacidad de servicio
la espera aumenta con todas sus desafortunadas consecuencias. Los
modelos permiten encontrar un balance adecuado entre el costo de
servicio y la cantidad de espera.
Unidad 5: Unidad Integradora. 5.1 Caso de estudio: anlisis,
modelado y simulacin de un sistema o subsistema de servicios o
productivo de una empresa para detectar las mejoras posibles a
realizar. La experiencia sugiere que el proyecto de Simulacin
consta de las siguientes etapas: Debe comprenderse que el orden en
que se realizan estas 9 etapas permanece abierto a discusin. La
estructura de la secuencia de etapas que se presenta obedece a los
resultados de la experiencia. Con toda seguridad, cualquier
procedimiento de este tipo resulta sumamente arbitrario e