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P u b l i c a c i o n e s d e I n g e n i e r a d e S i s t e m
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Ingeniera de Sistemas
c/ Edison, 428006 MadridTelfono (34-1) 411 50 11Fax (34-1) 411
47 03E-mail: [email protected] P.V.P.: 1.000 Ptas.
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SIMULACIN DE SISTEMASDISCRETOS
porJaime Barcel
Otros ttulos publicados:
1. Ingeniera de Sistemas. Benjamin S. Blanchard.2. La Teora
General de Sistemas. ngel A. Sarabia.3. Dinmica de Sistemas. Javier
Aracil.4. Dinmica de Sistemas Aplicada. Donald R. Drew.5. Ingeniera
de Sistemas Aplicada. Isdefe.6. CALS (Adquisicin y apoyo continuado
durante el ciclo de
vida). Rowland G. Freeman III.7. Ingeniera Logstica. Benjamin S.
Blanchard.8. Fiabilidad. Joel A. Nachlas.9. Mantenibilidad.
Jezdimir Knezevic.
10. Mantenimiento. Jezdimir Knezevic.11. Ingeniera de Sistemas
de Software. Gonzalo Len Serrano.
12COMIT DE REDACCINPresidente Sr. D. Martn Alear Ginard Teniente
General (R) del Ejrcito de Tierra
Vocales Sr. D. Eduardo Avanzini Blanco General de Brigada
Ingeniero del Ejrcito del Aire
Sr. D. Carlos Casajs Daz Vicealmirante Ingeniero de la
Armada
Sr. D. Luis Garca Pascual Vice-Rector de Investigacin y
Postgrado de la UPCO
Sr. D. Ricardo Torrn Durn General de Divisin Ingeniero del
Ejrcito de Tierra
Sr. D. Alberto Sols Rodrguez-Candela Ingeniero de Sistemas.
Isdefe
Sra. Da. M Fernanda Ruiz de Azcrate Varela Imagen Corporativa.
Isdefe
ILUSTRACIN DE PORTADARuedas dentadas de la mquina de sumas y
restaspara contabilidad de Pascal de 1645.
Jaime Barcel
Es catedrtico del Departa-mento de Estadstica e Investi-gacin
Operativa de la Universi-dad Politcnica de Catalua. Hasido profesor
visitante de lasUniversidades de Minnesota,Montral y Linkping,
donde ha
impartido cursos y seminarios sobre estas materias.
Su actividad investigadora ha estado orientadadurante algunos
aos a la optimizacin combina-toria y la simulacin, y sus
aplicaciones a losproblemas de produccin y transporte. Desde el
ao1988 dirige un grupo de trabajo en el Departamentode Estadstica e
Investigacin Operativa que haparticipado, y participa activamente,
en proyectosde I+D de la Unin Europea (DRIVE, ATT, ESPRIT,4
Programa Marco, etc.), especializado en eldesarrollo de
aplicaciones de mtodos deoptimizacin y de simulacin a los problemas
detrfico y transporte, que han conducido, entre otrosresultados, al
desarrollo y puesta a punto deprogramas informticos para la
construccin yanlisis de modelos de simulacin de trfico que seestn
utilizando en algunos proyectosinternacionales.
Es autor de numerosos artculos publicados en re-vistas
cientficas internacionales y en actas decongresos, as como de
captulos de libros colec-tivos sobre Gestin de Trfico, Modelos
Dinmicosde Trfico, Simulacin y Modelizacin, etc...
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS2
No est permitida la reproduccin total oparcial de este libro, ni
su tratamientoinformtico, ni la transmisin de ningunaforma o por
cualquier medio, ya seaelectrnico, por fotocopia, por registro o
porotros mtodos, sin el previo consentimientopor escrito de los
titulares del Copyright.
Primera Edicin: Septiembre - 19961.250 ejemplares
' Isdefec/ Edison, 428006 Madrid.
Diseo y fotomecnica:HB&h Direccin de Arte y Edicin
Infografa de portada:Salvador Vivas
Impresin:Closas Orcoyen S.L.
ISBN: 84-89338-12-4Depsito legal: M- -1996Printed in Spain -
Impreso en Espaa.
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3- Qu gigantes?, dijo Sancho Panza.-Aquellos que all ves,
respondi su amo, de los brazoslargos, que los suelen tener algunos
de casi dos leguas.
-Mire vuestra merced, respondi Sancho, que aquellos queall se
aparecen, no son gigantes sino molinos de viento, y
lo que en ellos parecen brazos son las aspas, que, volteadasdel
viento, hacen andar la piedra del molino.
-Bien parece, respondi Don Quijote, que no estas cursadoen esto
de las aventuras; ellos son gigantes, y si tienes
miedo, qutate de ah y ponte en oracin en el espacio queyo voy a
entrar con ellos en fiera y desigual batalla.
(Cervantes, El Quijote, Captulo VIII -Del buen suceso queel
valeroso Don Quijote tuvo en la espantable y jams
imaginada aventura de los molinos de viento, con otrossucesos
dignos de felice recordacin).
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS4
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5AGRADECIMIENTOS
Esta monografa tiene su origen en una peticin del GeneralRicardo
Torrn Durn, a la que se sumaron los convincentesargumentos de
Alberto Sols Rodrguez-Candela. He de confesar quemi primer impulso
fue negarme, escudndome en la excusa, no porexcusa menos cierta, de
mi sobresaturado grado de ocupacin.Afortunadamente cont mentalmente
hasta cien antes de negarme, ypara entonces me encontr atrado por
la proposicin, tanto por lo quesignificaba en el sentido de
rellenar huecos en la bibliografa tcnicaen lengua castellana, y
contribuir de paso de forma significativa a lacelebracin del dcimo
aniversario de ISDEFE, como por el ineludiblecomponente de reto
personal que comportaba.
Plasmar por escrito unos conceptos, aunque no sean originales,de
una forma coherente e inteligible para los dems, comporta unatarea
de reflexin y maduracin personal, una pequea aventuraintelectual
que siempre resulta gratificante, sobre todo si su resultadopuede
prestar un servicio a otros.
El resultado es esta modesta monografa que el lector tiene
entresus manos. No es, ni mucho menos, una obra original, no era mi
(diranuestro) objetivo. Se trata de exponer de una manera concisa y
legibleunas ideas bsicas en torno a la simulacin de sistemas
discretos, sus
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS6
implicaciones en trminos de anlisis de sistemas y de
implantacininformtica, para concluir con una sucinta panormica de
las tendenciasy perspectivas de evolucin en el futuro
inmediato.
Si el lector la encuentra til y le reporta algo habr
conseguidomi propsito, con la ayuda de las crticas y sugerencias
del Comit deRedaccin, aunque, como siempre, los errores y posibles
desenfoquesson responsabilidad exclusiva del autor.
Jaime Barcel
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7
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS8
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9PRLOGOLa monografa est concebida para ser una introduccin
panormica, descriptiva y didctica, y una reflexin, sobre el
papel dela simulacin en el ciclo de vida del sistema, teniendo en
cuenta comosus posibles planteamientos, bien como herramienta para
una mejorcomprensin del funcionamiento del sistema, bien como
tcnica pararesolver problemas o para responder a preguntas sobre el
sistema,pueden intervenir en cualquiera de las fases del ciclo de
vida delsistema, tanto en la concepcin del mismo, como en su
diseopreliminar y consiguiente estudio de factibilidad, en el diseo
detalladoy en la fase de produccin para proceder a evaluaciones
yasesoramientos, o en la fase de utilizacin y mantenimiento para
poderevaluar escenarios alternativos y encontrar repuestas a
preguntas deltipo "que pasara si".
Dado que las relaciones entre sistemas y simulacin han
sidoabordadas en otras monografas, en especial en las de dinmica
desistemas en lo que se refiere a los mtodos de simulacin
continua,esta monografa se centrar en la simulacin de los sistemas
discretos,es decir sistemas cuyo estado cambia en instantes
discretos en eltiempo. El tratamiento propuesto abordar la
simulacin de sistemasdiscretos desde una perspectiva doble: la del
reto metodolgico, queplantea la comprensin de un fenmeno o de un
problema a travs delproceso de construccin de un modelo de
simulacin por ordenador,que representa el grado de conocimiento que
se tiene del sistema en
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS10
el momento de la construccin del modelo que lo representa, y la
de latcnica que puede permitir la correspondencia entre el sistema
real yel modelo de simulacin que lo representa, tcnica que permite
que elmodelo est construido a la medida del sistema simulado.
En la monografa se pretende que el modelo se entienda comoun
instrumento de investigacin sometido a revisin continua, quepermite
al que lo ha construido un refinamiento progresivo en sucomprensin
del sistema, que le conduzca a una posicin adecuadapara tomar
decisiones sobre la solucin de los problemas que el sistemaplantea.
Entender que la simulacin de sistemas por ordenador estbasada en
una generalizacin del concepto de experimentacin propiodel mtodo
cientfico, segn el cual en lugar de realizar los experimentossobre
el sistema real, se realizan sobre un modelo dinmico que
lorepresenta, de manera que si el modelo es una representacin
vlidadel sistema entonces los resultados de la experimentacin con
elmodelo pueden transferirse al propio sistema.
En consecuencia, uno de los objetivos de la monografa esayudar a
entender como se puede utilizar la construccin de modelosde
simulacin para analizar fenmenos y problemas, y tomar
decisionessobre ellos, es decir evidenciar el papel de la simulacin
en los procesosde toma de decisiones, y en especial en los sistemas
informticos deayuda a la toma de decisiones.
Poner de manifiesto como la simulacin permite aproximarseal
anlisis y evaluacin del rendimiento de sistemas antes de quesean
construidos, convirtindose as en una herramienta clave dediseo, en
cualquiera de sus fases, o para estimar a priori el impactode los
cambios propuestos en sistema ya existentes. Como en amboscasos el
estudio de simulacin se realiza antes de la construccindel nuevo
sistema o de la modificacin del antiguo, ayudando as aeliminar o
reducir el riesgo de cuellos de botella no previstos, infra oextra
utilizacin de recursos, no satisfaccin de especificaciones dediseo,
etc..
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11
Dentro de los lmites de extensin la monografa pretende
ilustrarcomo la simulacin puede aplicarse a una amplia variedad
desituaciones: procesos de produccin (especialmente en entornos
demanufactura flexible o asistida por ordenador), sistemas de
transporte,logsticos, de gestin de recursos, etc. Ayudar al lector
no slo a lacomprensin de la metodologa de la construccin de modelos
desimulacin de sistemas discretos, sino tambin ayudarle a
entendercomo trabajan, cundo se debe utilizar la simulacin y cundo
no, quse puede esperar de la simulacin, qu errores hay que evitar
en laconstruccin y uso de modelos de simulacin, y como la
simulacinpuede ayudar a mejorar el rendimiento de un sistema. La
monografatermina con una breve panormica del software existente
para lasimulacin de sistemas discretos, sus caractersticas,
posibilidades ylimitaciones, y un anlisis de las tendencias
futuras, una perspectivams detallada puede encontrarse en [1].
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS12
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13
NDICE GENERAL1. LA SIMULACIN DE SISTEMAS 17
1.1 Sistemas y modelos 181.2 El proceso de construccin de
modelos: modelos matemticos 221.3 Simulacin de sistemas continuos
y
simulacin de sistemas discretos 511.4 La simulacin como proceso
experimental:
experimentos y ordenadores 531.5 Modelos de simulacin frente a
soluciones analticas 591.6 La simulacin de sistemas discretos
67
2. MODELIZACIN DE LA ALETORIEDAD EN SISTEMAS DISCRETOS 722.1
Identificacin de patrones de comportamiento aleatorio 732.2
Generacin de muestras de distribuciones aleatorias: introduccin
a
los mtodos de Montecarlo 922.2.1. Generacin de nmeros
pseudo-aleatorios uniformemente
distribuidos en (0,1) 1052.2.2. Generacin de dgitos aleatorios
1062.2.3. Cun aleatoria es la secuencia generada? 1072.2.4.
Procedimientos generales 110
3. LA SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS: LENGUAJES DESIMULACIN DE
SISTEMAS DISCRETOS 1133.1 Metodologa de la construccin de modelos
de simulacin de
sistemas discretos 1143.2 Caractersticas generales de los
lenguajes de simulacin
de sistemas discretos: la visin del mundode un lenguaje de
simulacin 119
3.3 Anlisis algortmico de las estrategias de simulacin
desistemas discretos 131
3.4 Un ejemplo de lenguaje: GPSS 1364. LOS ESTUDIOS DE SIMULACIN
155
4.1 Diseo de experimentos de simulacin 1564.2 Anlisis de
resultados 165
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS14
5. LA CONSTRUCCIN DE MODELOS DE SIMULACINVLIDOS Y CREBLES 1795.1
Validacin, verificacin y credibilidad (I) 1805.2 Validacin de
modelos de simulacin 1835.3 Verificacin de modelos de simulacin
1865.4 Validacin, verificacin y credibilidad (II) 188
6. TENDENCIAS ACTUALES DE LA SIMULACIN 1976.1 Generadores de
simuladores, entornos de simulacin y
animacin grfica 1986.2 Simulacin visual interactiva 2076.3
Simulacin e inteligencia artificial 214
REFERENCIAS 229
BIBLIOGRAFA 239GLOSARIO 243
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15
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS16
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17
La simulacin desistemas
1
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS18
1.1. Sistemas y modelos
El trmino sistema se utiliza habitualmente con mltiples
sentidos,tantos que resulta difcil dar una definicin nica que los
abarque todosy al mismo tiempo sea lo suficientemente precisa para
servir a propsitosespecficos. Podemos partir de la definicin de
sistema como conjuntode cosas que ordenadamente relacionadas entre
si contribuyen adeterminado objeto. Se trata de una definicin
sencilla pero que ponede manifiesto los caracteres relevantes de lo
que constituye eldenominado enfoque sistmico: contemplacin del todo
y no de las partesaisladamente, acento en las relaciones entre las
partes y consideracinteleolgica al tener en cuenta los propsitos u
objetivos del sistema,especialmente vlida para los sistemas creados
por el hombre.
Como se ha puesto de manifiesto en la introduccin a estacoleccin
de monografas [2], la visin o enfoque sistmico es unaconsecuencia
del paso de una filosofa reduccionista a una filosofaholstica, segn
la cual los factores determinantes en la naturalezason totalidades,
como los organismos, que son irreducibles a la sumade sus partes, y
la evolucin del universo es el resultado de lasactividades de estas
totalidades. En otras palabras, considera que untodo no puede
reducirse a elementos discretos y enfatiza las
relacionesfuncionales u orgnicas entre las partes y el todo. En la
referenciamencionada se seala el papel del bilogo Ludwig von
Bertalanffy enla generalizacin de las aplicaciones de estas ideas a
conjuntosorganizados de cualquier naturaleza, lo que denominamos
sistemas.
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19La simulacin de sistemas
La orientacin sistmica a la resolucin de problemas reconoceque
el comportamiento de cualquier parte tiene algn efecto sobre
elcomportamiento del sistema como un todo, en su desarrollo a
partir delos aos veinte ha ido solapando e interaccionando mltiples
disciplinasdando lugar a lo que hoy en da se conoce como Ingeniera
de Sistemas,tcnica para utilizar conocimientos procedentes de
diferentes ramas dela ciencia y la ingeniera para introducir
innovaciones tecnolgicas enlas etapas de concepcin, planificacin,
desarrollo y operacin de unsistema, o lo que es lo mismo, el ciclo
de vida de un sistema. Una de lascaractersticas principales de las
tcnicas de la Ingeniera de Sistemases su aplicacin en situaciones
en las que los sistemas son:
Grandes y complejos. En ellos interviene el hombre. El cambio en
una parte puede afectar a muchas otras y al todo.
Un ejemplo, conceptualmente sencillo, de lo que vamos
aconsiderar de ahora en adelante como sistemas, tomado del texto
casiinicitico de Gordon [3], y prximo a la vida real, es el
siguiente.Consideremos el caso de una factora que produce y
ensambla diferentespiezas para fabricar un producto final (Figura
1). En una primeraaproximacin a una descripcin del sistema podemos
considerar quesus dos componentes principales son el departamento
de fabricacinque fabrica las piezas y el de ensamblaje que produce
los productosfinales. Hay adems un departamento de compras mantiene
el suministrode materias primas y uno de expedicin distribuye los
productosacabados. El departamento de control de produccin recibe
los pedidosy asigna las rdenes de trabajo a los otros
departamentos.
Analizando el ejemplo de sistema propuesto vemos que
estconstituido por varios objetos, cada uno de los cuales posee
algunaspropiedades interesantes. Detectamos tambin la existencia
deinteracciones entre los objetos que constituyen el sistema que
provocancambios en el mismo. Denominaremos entidades a los objetos
de intersque constituyen el sistema, atributos a las propiedades
que caracterizan
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS20
a las entidades componentes del sistema, y estado del sistema a
lacaracterizacin de las entidades del sistema y sus atributos en un
instantedado. Nos va a interesar el carcter dinmico de los
sistemas, es decirsus cambios de estado a lo largo del tiempo
dentro de un horizontedado, y en consecuencia nos va a interesar
identificar qu es lo queproduce cambios en el estado del sistema.
Estudiaremos la evolucindel sistema a partir del seguimiento de sus
cambios de estado.
En la factora las entidades son los departamentos, los
pedidos,las piezas y los productos, cuyos atributos son las
cantidades de cadapedido, el tipo de pieza, el nmero de mquinas de
un tipo dado en undepartamento, etc.. Los procesos de manufactura
en cadadepartamento son, en este caso, la causa de los cambios de
estado.
Acabamos de declarar que nuestro inters se va a centrar
enestudiar la evolucin del sistema a partir del seguimiento de sus
cambiosde estado. La forma primaria de realizar este estudio
seria,
-
21La simulacin de sistemas
evidentemente, la experimentacin con el propio sistema. Esto
nosiempre es posible. En unos casos por imposibilidad fsica o
econmicamanifiesta, basta pensar en lo que implicara el
experimentar con unafbrica. En otros, si nos atenemos a lo que
hemos denominado ciclode vida del sistema, porque el sistema existe
nicamente en formahipottica y precisamente lo que nos interesa es
saber como secomportar antes de que sea construido.
Como consecuencia lo que haremos ser estudiar elcomportamiento
del sistema a travs de una representacin o modelodel mismo [1].
Llegados a este punto me gustara subrayar el alto grado
decoincidencia entre las concepciones de la Ingeniera de Sistemas y
laInvestigacin Operativa, tanto en sus orgenes, como en
sumetodologa, o su desarrollo histrico, coincidencia que queda
demanifiesto en algunas de las definiciones ms comnmente
aceptadasde la Investigacin Operativa. As, por ejemplo, la
definicin que apareceen el Journal of the Operations Research
Society, revista de laSociedad Inglesa de Investigacin Operativa,
dice textualmente1 LaInvestigacin Operativa es la aplicacin de los
mtodos de la ciencia ala resolucin de los problemas complejos que
aparecen en la direccinde grandes sistemas en los que intervienen
hombres, mquinas,materiales y dinero, en la industria, los
negocios, el gobierno o ladefensa. El planteamiento distintivo es
la construccin de un modelodel sistema que incorpore medidas de
factores tales como el azar y elriesgo, con los que predecir y
comparar los resultados de decisionesalternativas, estrategias o
controles. El propsito es ayudar a ladireccin a determinar
cientficamente su poltica y acciones, y ladefinicin ms ampliamente
difundida, debida a Ackoff y Sasieni, La
(1) Operational Research is the application of the methods of
science to complex problems arising inthe direction of large
systems of men, machines, materials and money in industry,
business,government and defense. The distinctive approach is to
build a model of the system incorporatingmeasurement of factors
such as chance and risk, with to predict and compare the outcomes
ofalternative decisions, strategies or controls. The purpose is to
help management determine itspolicy and actions scientifically.
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS22
Investigacin Operativa es la aplicacin del mtodo cientfico
medianteequipos interprofesionales a los problemas de gobierno de
sistemasorganizados (hombre-mquina) para proporcionar soluciones
quesirvan lo mejor posible a la organizacin considerada como un
todo.
El anlisis de estas definiciones nos permite destacar
comocaractersticas que identifican lo que denominamos
InvestigacinOperativa las siguientes:
1. Aplicacin del mtodo cientfico a los problemas que sepresentan
en el gobierno de sistemas complejos en los queintervienen hombres
y mquinas.
2. Enfoque global (coincidente con lo que hemos
denominadoplanteamiento sistmico).
3. Construccin de modelos de los sistemas (representacinde los
sistemas por medio de modelos).
4. Optimizacin: bsqueda de las mejores soluciones.5. Ayuda a los
responsables de la gestin del sistema a la
toma de decisiones.
Es decir, enfoque global, metodologa cientfica, representacinde
los sistemas por medio de modelos, etc., precisamente lo que
hemosutilizado para caracterizar el enfoque sistmico. Realmente en
muchoscasos las fronteras entre lo que podemos considerar
propiamenteIngeniera de Sistemas, y lo que consideramos
Investigacin Operativason solo ideolgicas.
1.2. El proceso de construccin de modelos: modelos
matemticos
El anlisis del sistema a travs de un modelo implica que la
represen-tacin del sistema que constituye el modelo ha de ser una
representacinmanipulable numricamente. El ejercicio de construccin
del modelo delsistema comienza por la construccin de un modelo
conceptual del siste-ma, representacin equivalente lgica aproximada
del sistema real que,
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23La simulacin de sistemas
como tal, constituye una abstraccin simplificada del mismo, que
acontinuacin se traduce en un modelo apto para su ejecucin en
unordenador. El proceso de modelizacin o construccin del modelo
implica:
Identificacin de las entidades principales del sistema y desus
atributos caractersticos.
Identificacin y representacin de las reglas que gobiernan
elsistema que se quiere simular.
Captacin de la naturaleza de las interacciones lgicas delsistema
que se modeliza.
Verificacin de que las reglas incorporadas al modelo son
unarepresentacin vlida de las del sistema que se modeliza.
Representacin del comportamiento aleatorio.
Una precaucin importante a tener en cuenta cuando seconstruye un
modelo es que ningn modelo es mejor que las hiptesisque encierra.
Traducir el modelo a un modelo especfico para ordenadorconsiste en
representar el modelo conceptual mediante un lenguajeapto para su
ejecucin en un ordenador. Este proceso se simplificacuando la
representacin se hace utilizando un lenguaje especializadoorientado
a problemas especficos. Las etapas del proceso deconstruccin del
modelo se sintetizan en la Figura 2 [4] .
Siguiendo el ejemplo introductorio de la factora, ilustraremos
elproceso de modelizacin con un ejemplo que intenta reproducir,
dentrode su simplicidad, los procesos productivos del departamento
defabricacin, componente de suficiente entidad como para ser
consideradaun sistema en s misma. Supondremos que el departamento
defabricacin consta de un taller en el que hay diferentes conjuntos
demquinas del mismo tipo, que realizan distintas operaciones sobre
laspiezas que se fabrican, de manera que las mismas materias
primas
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS24
sometidas a diferentes procesos en dichas mquinas pueden dar
lugara diferentes productos. Lo que caracteriza entonces al proceso
deproduccin de cada uno de los productos es una secuencia
deoperaciones, segn un orden definido por el programa de
produccin,en cada una de las mquinas, con una duracin determinada
de cadaoperacin a la que es sometida cada pieza en cada tipo de
mquina.
En nuestro ejemplo vamos a suponer que el taller de
produccintiene 6 grupos de mquinas diferentes, cada uno de los
cuales estconstituido por un cierto nmero de mquinas de una clase
quesuponemos idnticas entre s. As, por ejemplo el grupo nmero
unoconsiste en 14 unidades de fundicin y moldeo, el grupo 2, en 5
tornos,etc. La Tabla 1 resume la informacin sobre los grupos de
mquinas ysu constitucin.
Al considerar idnticas las mquinas de cada grupo nonecesitamos
distinguirlas entre s, y al describir el proceso a que es
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25La simulacin de sistemas
sometida cada pieza lo nico que necesitamos es saber si hay
unamquina disponible en el grupo que le corresponde segn la
secuenciaparticular de operaciones para ese tipo de pieza, o si
tiene que esperara que alguna quede libre porque en ese momento
estn todasocupadas. La descripcin de cada uno de los grupos de
mquinas,sus caractersticas y el tipo de operaciones que pueden
realizarconstituye, en este caso el ejercicio de identificacin de
las entidadescomponentes del sistema (cada uno de los grupos), y de
los atributosque las caracterizan (tipos de mquinas, nmero de
mquinas en cadagrupo, operaciones que pueden realizar).
Vamos a suponer adems que el plan de produccin del tallerde
nuestro ejemplo contempla la fabricacin de tres tipos de
productos,que denominaremos tipo-1, tipo-2 y tipo-3
respectivamente. Lafabricacin de cada unidad de un tipo de producto
requiere que lasoperaciones se realicen en diferentes clases de
mquinas segnsecuencias especificadas que difieren de un tipo de
producto a otro.
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS26
El nmero total y clase de mquinas que debe utilizar lafabricacin
de cada tipo de producto, las correspondientes secuenciasy los
tiempos de trabajo previstos, se muestran en la Tabla 2,
queproporciona datos adicionales en nuestro ejercicio de anlisis
delsistema, identificando las otras entidades (los tipos de
productofabricado), y las relaciones entre entidades especificadas
a partir delas operaciones que requiere la fabricacin de cada tipo
de producto,el orden en que se han de ejecutar y los tiempos medios
que requierecada operacin en cada tipo de mquina.
Los tiempos de operacin indicados en la tabla son tiemposmedios,
y por simplicidad vamos a considerar que estn
distribuidosexponencialmente. Supondremos que los trabajos llegan
al taller segnun flujo descriptible por medio de una distribucin de
Poisson cuyatasa media es de 50 trabajos por da de 8 horas. Un 24%
de los trabajosque llegan corresponden a la fabricacin de productos
tipo-1, un 44%son de tipo-2 y el resto de tipo-3. Cuando un trabajo
que llega es de un
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27La simulacin de sistemas
tipo dado, este es independiente, en trminos probabilsticos, del
tipode producto del trabajo que le precedi. Supondremos adems que
ladisciplina de servicio dentro de cada grupo de mquinas es FIFO,
esdecir primer trabajo llegado es el primero en ser
servidoindependientemente de su tipo. Esta coleccin de
suposicionesconstituyen en este caso las hiptesis adicionales sobre
elcomportamiento del sistema que sern el instrumento del proceso
demodelizacin.
Como objetivos del estudio del sistema supondremos que
nosinteresa estudiar el comportamiento del taller, en estas
condiciones deoperacin para la clase de demanda descrita, durante
un perodo de 5semanas, de 5 das laborables cada una, con jornadas
de 8 horas porda. Nos interesa en particular analizar la
distribucin de los trabajosque quedan incompletos al final de cada
semana, el nmero medio detrabajos de cada tipo que se producen por
semana, la capacidad mediatotal de produccin del taller para este
programa de produccin, y porlo tanto la capacidad para cumplir
determinados planes de produccin.El nivel medio de ocupacin de las
mquinas de cada grupo paraidentificar cuellos de botella en el
proceso productivo, etc.
De acuerdo con la metodologa propuesta, el primer paso es
laconstruccin de un modelo conceptual. En este caso, a partir de
lainformacin recogida, un modelo conceptual de este sistema
puedeser un modelo descriptivo del proceso productivo como el que
reproducela Figura 3. En ella el proceso se modeliza como una red
de colas. Esdecir un grafo o red cuyos nodos corresponden a cada
uno de losgrupos de mquinas, y cuyos arcos unen los nodos entre si
de acuerdocon los itinerarios entre los grupos de mquinas, que
corresponden alas etapas u operaciones de cada tipo de producto en
cada grupo demquinas.
Considerado individualmente cada grupo de mquinascorresponde en
esta modelizacin a un sistema de colas, es decir eltipo de sistema
para las situaciones que se producen cuando llegan
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS28
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29La simulacin de sistemas
personas, equipos o materiales a algn tipo de unidad o
dispositivo deservicio demandando la recepcin del servicio que
dicha unidad puedeprestar: ejecucin de una operacin, una reparacin
etc., y tienen queesperar a ser atendidos cuando el dispositivo que
dispensa el servicio,o sirviente, est ocupado.
Los sistemas de colas se encuentran muy generalizados enuna
amplia variedad de contextos. As, por ejemplo, en el anlisis
deprocesos de produccin, como el que nos ocupa en ejemplo,
interesanespecialmente los sistemas de colas que se originan
comoconsecuencia de los procesos industriales, como por ejemplo,
lossistemas de manejo de materiales, en los que
unidadesmanipuladoras de materiales (carretillas elevadoras,
puentes gra,cintas transportadoras, transervadores, etc.) mueven
cargas de unpunto a otro de la factora; sistemas de produccin en
los que lasmquinas (mquinas herramienta, robots, etc.) realizan
trabajos sobremateriales o piezas; sistemas de mantenimiento, en
los que lasbrigadas de mantenimiento reparan mquinas o proceden a
lasoperaciones de mantenimiento preventivo; puntos de control
decalidad o inspeccin, donde los inspectores de control
inspeccionanlos artculos, etc.
La Figura 4 describe grficamente los elementos principales dela
estructura de los sistemas de colas, es decir las entidades que
losconstituyen y sus atributos correspondientes.
I. Poblacin fuente
Es el origen de las entidades que requieren el servicio,
mquinasque han de ser mantenidas o reparadas, piezas sobre las que
se hande ejecutar operaciones, cargas que han de ser transportadas,
etc..La caracterstica bsica de la poblacin fuente es su dimensin,
finitao infinita. En la prctica el nmero de mquinas que han de
seratendidas por un servicio de mantenimiento seria un ejemplo
de
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SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS30
poblacin finita, mientras que las piezas que llegan a una
mquinapara ser sometidas a una operacin, aunque en si es un nmero
finito,su tamao puede ser tan grande en relacin con la capacidad
deservicio, que sin introducir un error apreciable puede
considerarse aefectos de modelizacin como una poblacin
infinita.
II. El proceso de llegadas
Se refiere a la formalizacin de la descripcin de cmo tienen
lugarlas llegadas al sistema de colas de las unidades que requieren
servicio,es decir la formalizacin de las reglas que rigen la
generacin de lanecesidad de recibir un servicio. Los procesos de
llegadas pueden serdeterministas o aleatorios. Un proceso de
llegadas determinista es el queest sometido a unas reglas
prefijadas, como por ejemplo un calendariode mantenimiento
preventivo, que especifican en que momento precisose producir el
acontecimiento de requerimiento del servicio.
-
31La simulacin de sistemas
En general los procesos de llegadas sern aleatorios, es decir
quenuestro conocimiento del proceso nos permite, como mximo,
establecercul es la probabilidad de que el suceso se produzca en un
momentodado. As, por ejemplo la avera de una mquina no se puede
predecircon exactitud, lo nico que se puede estimar es la vida
media de la mquinay la ley de distribucin de probabilidad de los
perodos de tiempo entreaveras de tal media.
Para la descripcin formal de los procesos de llegada se
puedenadoptar dos puntos de vista. Podemos observar los intervalos
de tiempoentre llegadas consecutivas y ajustar una distribucin de
probabilidadque los describa, de manera que el intervalo de tiempo,
aleatorio, entreuna llegada al sistema y la inmediatamente
posterior, pueda estimarsepor muestreo de la distribucin de
probabilidad que los describe. Otraposibilidad es especificar un
intervalo de tiempo de longitud dada T, ydeterminar la distribucin
de probabilidad del nmero de llegadas quepueden ocurrir durante
dicho intervalo de tiempo. La Figura 5 ilustragrficamente los dos
procedimientos
Un ejemplo tpico de modelizacin de llegadas aleatorias es elde
los procesos de Poisson. Las llegadas de los clientes a la unidadde
servicio pueden modelizarse mediante una distribucin de
Poissoncuando:
1) El nmero de llegadas que ocurren en un intervalo de tiempoT
es independiente de las que ocurren en cualquier otrointervalo de
tiempo disjunto.
2) La probabilidad de que se produzca una sola llegada en
unintervalo de tiempo muy corto, es proporcional a la duracindel
intervalo de tiempo, y no depende del nmero de llegadasfuera de
este intervalo de tiempo.
3) La probabilidad de que ocurra ms de una llegada en
dichointervalo de tiempo corto es insignificante.
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS32
La distribucin de Poisson es una distribucin discreta que
puedeutilizarse en la modelizacin de procesos de llegadas en las
que cadallegada es independiente de las restantes y tiene la misma
probabilidadde producirse en cada instante. Se puede utilizar en la
segunda clase deaproximacin que mencionbamos anteriormente, cuando
estamosinteresados en el nmero de llegadas que se producen durante
un intervalode tiempo T.
La probabilidad de que se produzcan n llegadas durante
elintervalo de tiempo T segn un proceso Poissoniano viene dada
por:
( ) ( )P nT e
nT
n T
=-l l
!(1.1)
siendo l la tasa media de llegadas por unidad de tiempo. La
experienciaindica que muchos procesos de llegadas son
razonablementerepresentados por procesos Poissonianos.
-
33La simulacin de sistemas
Hay una importante relacin entre la distribucin de Poisson y
laexponencial, descrita por la funcin de probabilidad:
( )f t e t= -l l (1.2)
Si las llegadas de los usuarios a un sistema ocurren de acuerdo
conuna distribucin de Poisson, entonces la distribucin de
probabilidad de losintervalos de tiempo entre llegadas consecutivas
es exponencial, lo queproporciona una representacin del proceso
aleatorio de llegadas de acuerdocon el primer punto de vista
expuesto anteriormente. En este caso el tiempomedio entre dos
llegadas consecutivas es de 1/l unidades de tiempo.
III. Caractersticas fsicas de las colas
Cuando la unidad que requiere el servicio llega al sistema puede
ocu-rrir que la unidad de servicio se encuentre ocupada atendiendo
a un reque-rimiento anterior, en cuyo caso la unidad recin llegada
tendr que esperara que la unidad de servicio quede libre para pasar
a ocuparla. La esperase realizar fsicamente en lo que denominamos
cola o fila de espera.
En la descripcin de la cola para proceder a su modelizacin
unaprimera caracterstica a tener en cuenta es la longitud de la
cola. Las dossituaciones relevantes que hay que distinguir son las
que corresponden alas de colas de longitud infinita y finita
respectivamente. En el primer casose supone que no hay ninguna
restriccin prctica o terica que limite lalongitud de la cola, es
decir el nmero de unidades a la espera de recibirservicio. Un
ejemplo de tal situacin es la representacin como modelode colas del
puesto de peaje de una autopista, en el que la poblacinfuente,
constituida por todos los vehculos que circulan por la
autopista,puede considerarse prcticamente infinita, y las
longitudes de las colastambin, por no tener ninguna limitacin a
priori.
Sin embargo en otras situaciones las caractersticas fsicas
delsistema limitan el nmero de unidades que pueden permanecer a la
espera
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS34
de recibir servicio, es, por ejemplo, el caso de los almacenes
intermediosentre mquinas que realizan operaciones sobre piezas. En
el caso decolas de longitud finita, cuando estas han alcanzado su
lmite ha dedecidirse el tratamiento a dar a las unidades que por
ello no pueden entraren el sistema.
Otra caracterstica descriptiva del sistema de colas es si la
cola esnica o mltiple, y las relaciones entre las colas y las
unidades de serviciopuesto que caben varias posibilidades: cola y
unidad de servicio nicos,varia colas y una sola unidad de servicio,
una cola y varias unidades deservicio, etc.
IV. Procedimiento de seleccin (poltica de gestin)
La cuarta componente estructural de un sistema de colas, segn
ladescripcin presentada en la Figura 4, es el sistema de seleccin,
o polticade gestin del sistema de colas. Por tal entendemos el
criterio seguidopara elegir la siguiente unidad que va a recibir
servicio cuando la unidadde servicio queda libre al terminar el
servicio de la unidad que estabasiendo atendida.
La poltica de gestin queda definida mediante la especificacin
dela disciplina de la cola, es decir, de la regla o reglas que
determinan elorden por el que sor servidas las unidades que
requieren servicio. Ejemplosde disciplinas de servicio son: el
primero que llega es el primero que esservido, (FIFO:
first-in-first-out), el ltimo que llega es el primero en
serservido, (LIFO: last-in-first-out), por prioridades
predefinidas, por tiemposde servicio mayores, por mayor tiempo de
espera, etc.
V. Unidades de servicio (servidores)
Es una de las componentes estructurales ms importantes,
suespecificacin requiere la definicin de la estructura fsica de la
unidad
-
35La simulacin de sistemas
de servicio: estacin de servicio nica (servicio nico
monofase),estaciones de servicio en tandem (servicio multifase, el
servicio constade una secuencia de operaciones), mltiples
estaciones monofsicasen paralelo, mltiples estaciones de servicio
multifase en paralelo,sistemas mixtos, etc..
La especificacin de la estructura fsica debe completarse
mediantela descripcin de la ley de distribucin de probabilidad que
rige la duracinde los procesos de servicio. Un caso tpico de
distribucin de probabilidadde tiempos de servicio es la
exponencial, segn la cual la probabilidad deque la duracin de un
servicio sea de t unidades de tiempo es:
( )f et m mt= - (1.3)
A partir de la especificacin de las componentes del sistema
decolas los parmetros que describen su comportamiento y
prestacionesson:
l = tasa media de llegadas por unidad de tiempo.m = tasa media
de servicio (nmero medio de servicios
completados por unidad de tiempo).r = factor de utilizacin de la
unidad de servicio.N = nmero de unidades en el sistema.P
n= probabilidad de que cuando una unidad llega al sistema
para
recibir servicio haya exactamente n unidades en el sistema.L =
nmero medio de unidades en el sistema.Lq = nmero medio de unidades
en la cola a la espera de recibir
servicio.W = tiempo medio de estancia en el sistema para cada
unidad
(tiempo de espera + tiempo de servicio).Wq = tiempo medio de
espera en la cola (desde que llega hasta
que empieza a ser servido).
Parmetros cuyos valores fundamentarn los posibles procesosde
decisin de sistemas modelizados mediante colas, como por
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS36
ejemplo, evaluar los costes o las prdidas causados por tiempos
dedesocupacin de mquinas, como medida de la ineficiencia del
proceso,tiempos totales de produccin, identificacin y cuantificacin
de cuellosde botella, etc.
VI. Nomenclatura de los sistemas de colas
La notacin que se utiliza para designar los diferentes tipos
desistemas de colas, de acuerdo con las componentes que
hemosdescrito, consisten en una serie de campos A/B/C/D/..., cada
uno delos cuales especifica una de las componentes de acuerdo con
lanotacin siguiente: los campos A y B describen las distribuciones
deprobabilidad de los tiempos entre llegadas consecutivas y de
serviciorespectivamente, el valor de C representa el nmero de
servidoresmonofase idnticos, en paralelo, en el subsistema de
servicio, el valorde D la longitud de la cola, cuando es finita,
(si se omite, se asume quees infinita por defecto), etc.
La notacin para identificar a las diferentes distribuciones
deprobabilidad es la siguiente:
M: Distribucin exponencial.D: Determinista (tiempos entre
llegadas, o de servicio,
constantes).Ek: Distribucin de Erlang de k etapas.Hk:
Distribucin hiperexponencial de k etapas.G: Distribucin general
(Normal, Weibull, etc.).GI: Distribucin general de llegadas.
De acuerdo con esta notacin M/M/1 representa una colacon un nico
sirviente, llegadas segn una distribucin de Poisson(y por lo tanto
tiempos entre llegadas distribuidos exponen-cialmente), y tiempos
de servicio distribuidos exponencialmente.M/M/m representa una cola
de llegadas poissonianas, servicios
-
37La simulacin de sistemas
exponenciales idnticamente distribuidos, y m sirvientes
enparalelo. M/G/1, seria una cola de llegadas poissonianas,
serviciosegn una distribucin de probabilidad de carcter general, y
unnico sirviente.
Volviendo a nuestro ejemplo, el taller es modelizado como
unsistema de colas al que los clientes llegan segn una
corrientepoissoniana, pero no son homogneos sino de tres tipos
distintoscuyas proporciones corresponden a los tipos de producto.
El cliente(tipo de producto) es identificado y segn la clase a la
que pertenecese le asigna una ruta dentro de la red, ruta que
corresponde a lasecuencia de operaciones del proceso productivo del
tipo deproducto en cuestin. Cada nodo de la red corresponde a un
grupode mquinas, modelizado como una cola con tantos
sirvientesidnticos como mquinas tiene el grupo. Con las
hiptesispropuestas (t iempos de operacin en las
mquinasexponencialmente distribuidos) cada nodo de la red
corresponde auna cola M/M/n.
La traduccin del modelo conceptual al modelo de ordenadorsuele
comportar dos pasos, en el primero se formaliza el modelo yen el
segundo se programa el modelo en un lenguaje apto para suejecucin
en el ordenador.
En lo que respecta a la formalizacin del modelo,tradicionalmente
se han utilizado muchos tipos de modelos en elanlisis de sistemas,
clasificados de diferentes modos. Para lospropsitos que nos
interesan en esta descripcin vamos a considerarnicamente los
modelos matemticos de los sistemas, es decirmodelos en los que la
representacin formal del sistema queentendemos por modelo se hace
en trminos del formalismo de lasmatemticas, los modelos matemticos
pueden ser a su vezestticos o dinmicos. En el caso de los modelos
matemticoshemos de hacer referencia a la tcnica utilizada para
resolver elmodelo, segn la cual distinguiremos entre mtodos
analticos y
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS38
numricos. La simulacin de sistemas es una tcnica numrica
queutiliza modelos matemticos dinmicos.
En un modelo matemtico las entidades de un sistema y
susatributos se representan mediante variables
matemticas,clasificadas en variables de control y variables no
controlables,segn que los valores que puedan tomar puedan ser el
resultadode una decisin o vengan determinados por las
caractersticas delpropio sistema. Las actividades que cambian el
estado del sistemase describen por medio de funciones matemticas
queinterrelacionan las variables. Los objetivos del sistema
serepresentan mediante una funcin de utilidad, o funcin
objetivo,que evala el rendimiento del sistema como una funcin de
los dostipos de variables controlables y no controlables.
La forma general de un modelo matemtico propuesta por Ackoff[5]
es:
U = f(X, Y) (1.4)sometida a:
X W(Y) (1.5)
donde U es la funcin de utilidad, dependiente de las variables
decontrol X = (X1, X2, ...., Xn), y de la no controlables Y = (Y1,
Y2, .....,Y
m), donde las variables de control pueden tomar valores en
el
dominio de definicin W(Y), que depende de las variables
nocontrolables.
Puesto que en la mayor parte de los casos el objetivo que
sepersigue es el de determinar cules son las mejores decisiones, o
enotras palabras, que valores de las variables de decisin optimizan
lafuncin de utilidad, y dado que como hemos dicho en los
modelosmatemticos las relaciones entre las variables son
funcionesmatemticas, la forma genrica que adoptaremos para los
modelos
-
39
matemticos es:
[OPT]U = f (X, Y) (1.6)sometida a:
Rk (X, Y) (, =, ) bK (1.7)k = 1, 2, ..... K
donde Rk(X, Y) es la k-sima ecuacin o inecuacin de condicinque
traduce las relaciones funcionales entre las variables.
Un modelo matemtico de tipo dinmico permite que loscambios en
los atributos del sistema sean expresados como unafuncin del
tiempo, bien mediante una solucin analtica o por mediode una
computacin numrica, segn sea la complejidad del modelo.Supongamos,
por ejemplo, el sistema correspondiente a la suspensinde una rueda
de automvil cuando se supone que la carrocerapermanece inmvil en la
direccin vertical. El sistema puede serrepresentado como el caso de
una masa M, sometida a una fuerzaF(t), que varia con el tiempo, y
ligada a un muelle cuya fuerza esproporcional a su extensin o
contraccin, y al efecto de un absorbentede los impactos que ejerce
una fuerza de amortiguacin proporcionala la velocidad de la masa.
El movimiento del sistema puede describirsepor medio de la
siguiente ecuacin diferencial:
( )Mx Dx Kx KF t&& &+ + = (1.8)
donde x es la distancia que se ha desplazado, M es la masa, K es
laconstante elstica del muelle, y D es el factor de amortiguacin de
losimpactos. Las componentes del sistema son en este caso la rueda,
elmuelle y el sistema amortiguador, y las hiptesis de modelizacin
sonlas de la dinmica de un cuerpo sometido a la accin de
fuerzaselsticas, que son las que conducen a la ecuacin diferencial
queconfigura el modelo. Esta ecuacin es un ejemplo de
modelomatemtico dinmico; una ecuacin que en este caso puede
serresuelta analticamente.
La simulacin de sistemas
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS40
En otros casos la naturaleza de las ecuaciones queconstituyen el
modelo continuo hace aconsejable recurrir aprocedimientos numricos
para su integracin. Un ejemplointeresante de esta situacin lo
constituyen los modelos utilizadospara estudiar la dinmica de
poblaciones. Un caso tpico es el de ladinmica de la competicin
entre dos poblaciones una pasiva, quesirve de presa, y otra activa,
depredadora de la anterior. Modelosde este tipo fueron introducidos
por Volterra [6] en 1926 como modelobiolgico para estudiar la
evolucin de la poblacin pisccola en elAdritico. Supongamos un
escenario que consiste en dospoblaciones que interaccionan la de
los depredadores y la de laspresas. Denotemos por x(t) e y(t),
respectivamente, el numero deindividuos de cada poblacin, presas y
depredadores, en el instantet. Supongamos que, en ausencia de los
depredadores lascondiciones de vida del escenario permiten que la
poblacin de laspresas se incremente segn la tasa rx(t), para algn r
positivo, donder puede interpretarse, por ejemplo, como la tasa
natural denacimientos menos la de muertes naturales. Debido a la
interaccinentre presas y depredadores es razonable suponer que la
tasa demuertes de la poblacin de presas es proporcional al producto
delas dimensiones de ambas poblaciones, x(t) y(t). Por lo cual la
tasatotal de cambio del nmero de individuos de la poblacin de
presas,dx/dt, viene dada por:
( ) ( ) ( )dxdt
rx t ax t y t= - (1.9)
donde a es una constante de proporcionalidad positiva. Puesto
quelos depredadores dependen a su vez de las presas para
perpetuarsu existencia, la tasa de variacin del nmero de individuos
de lapoblacin de depredadores es -sy(t), para s positiva, en un
escenarioen el que no haya presas, mientras que en el caso
contrario lainteraccin entre ambas poblaciones har que la poblacin
dedepredadores se incremente segn una tasa que tambin
serproporcional a x(t)y(t). En consecuencia la variacin de la
poblacinde depredadores se podr modelizar como:
-
41
( ) ( ) ( )dydt
sy t bx t y t= - + (1.10)
donde b es una constante de proporcionalidad positiva. Este
sistemade ecuaciones diferenciales modeliza el comportamiento de
lapoblacin. Dadas unas condiciones iniciales x(0) > 0 e y(0)
> 0, lassoluciones del modelo tienen la interesante propiedad de
que x(t) > 0e y(t) > 0 para todo t 0.
Modelos similares haban sido utilizados ya en 1920 por Lotka
[7],para modelizar ciertos tipos de reacciones qumicas, por esta
razn estetipo de modelos se conocen con el nombre de modelos de
Lotka-Volterra.
La Figura 6 presenta el resultado de la integracin del sistemade
ecuaciones diferenciales de Lotka-Volterra para los valores delos
parmetros r = 0,001, a = 2 x 10-6, b = 10-6, y s = 0,01. La
curvasuperior representa la evolucin de la poblacin de presas en
elintervalo de tiempo (0,4000), y la inferior la evolucin de la
poblacin
La simulacin de sistemas
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS42
de depredadores en el mismo intervalo de tiempo. La Figura
7presenta la evolucin conjunta en el intervalo de tiempo
(0,6000).
Los resultados de la integracin del modelo dinmico
presa-depredador de Lotka-Volterra, representados en las
figurasanteriores, han sido obtenido mediante el software
numricoMATLAB [8] .
Modelos dinmicos del tipo de los anteriores constituyen enestos
momentos una de las reas de investigacin de ms inters,no slo por la
proliferacin de modelos de sistemas dinmicos quehan propiciado los
avances tecnolgicos, sino tambin por que sesitan en el corazn de la
teora del caos [9, 10] .
En el caso del taller de manufactura modelizado como una redde
colas podemos construir modelos analticos para los modelos decolas
que representan cada uno de los grupos de mquinas. Para una
-
43
cola M/M/s, si el tiempo medio entre llegadas consecutivas es
1/l, y eltiempo medio de servicio es 1/m, y el factor de
utilizacin, cuando hays unidades de servicio operando en idnticas
condiciones es:
rlm
=s (1.11)
una relacin fundamental es la que liga la longitud media de la
cola, nmeromedio de unidades en la cola, con el tiempo medio de
espera en ella:
L Wq = l (1.12)
anlogamente:
L W y W Wq= = +l m1 (1.13)
Son las relaciones entre el nmero total de clientes en elsistema
(los que esperan ms los que estn siendo atendidos), L, yel tiempo
total de permanencia en el sistema (espera ms servicio),W; y entre
la permanencia en el sistema W, y la espera en la colaWq. Estas
relaciones, correspondientes al Teorema de Little, sepuede
comprobar que se verifican para todo sistema de colas, porlo que
nicamente necesitamos determinar dos de los parmetros,L y Lq, por
ejemplo, para poder determinar los restantes.
El clculo de cualquiera de dichos parmetros puede
realizarsemediante las ecuaciones del modelo terico
correspondiente. Por ejemplopara una cola M/M/1 el modelo terico
proporciona los valores:
(1.14)
( )
( )
( )
P
W
L
nn
q
q
= -
=-
=-
1
1
1
2
r r
rr m
rr
La simulacin de sistemas
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS44
y para una cola M/M/s:
( ) ( )
( )
( )( )
Ps
k
s
s
Ps
kP s
P P k s
LP s
sW
L
k
k
s s
k
k
kk s
s
q
s
qq
01
11
0
02
11
1
1 2
1
= + +-
= =
= >
=-
=
=
--
-
r r
r
r
r
r r
r l
! !
!, , ,
!,
k K(1.15)
Estas son las soluciones analticas para un modelo terico
quepuede ser resuelto exactamente [11,12], y corresponden a la
situacinpara el estado estacionario, es decir cuando la evolucin
del sistema haalcanzado el equilibrio.
Las hiptesis simplificadoras que hemos introducido
(llegadaspoissonianas, servicios exponenciales) permiten adems
construirun modelo analtico para esta red de colas [11,12] . Este
tipo demodelizacin analtica se puede conservar en este caso
inclusocomplicando algunas de las hiptesis probabilsticas, como por
ejemplolas de los tiempos de servicio, sustituyendo las
distribucionesexponenciales por otras, cuyo requisito, de acuerdo
con el Teorema deJackson, es que tengan Transformada de Laplace
racional, aun cuando,como en el caso de las colas simples, la
obtencin de la solucin analticase va haciendo cada vez ms compleja,
llegamos pues, a una situacinque, aunque modelizable analticamente,
llega rpidamente a los lmitesde lo que los modelos analticos nos
permiten, bastara simplementecon suponer que los diferentes tipos
de trabajo tienen distintas prioridadespara tener que sustituir la
poltica de gestin FIFO en cada nodo por unapoltica segn prioridades
y llegar a un modelo casi intratable.
Cerraremos esta exposicin sobre modelos dinmicos con elejemplo
de los Modelos Macroscpicos de Simulacin de Trfico. La
-
45
perspectiva de la modelizacin macroscpica de los flujos de
trficoes la de adoptar un smil hidrulico, es decir visualizar el
flujo devehculos como flujo o corriente de un fluido continuo, es
unaasociacin natural bastante intuitiva, que de hecho ya se
adoptacuando se tiende a describir el trfico en trminos de volmenes
(oflujos), concentraciones (o densidades) y velocidades. En la
analogacomo flujo de un fluido, el trfico es tratado como un
fluidounidimensional comprensible, lo que conduce a dos hiptesis
bsicasde modelizacin:
a. El flujo de trfico se conserva.
b. Hay una relacin en trminos de una funcin univaluadaentre la
velocidad y la densidad, o entre el flujo y la densidad.
En el modelo matemtico la primera hiptesis se traduce en
ladenominada ecuacin de conservacin o de continuidad, que
implicaque si el flujo disminuye con la distancia la densidad se
incrementacon el tiempo. En trminos prcticos de ingeniera de trfico
la ecuacinde conservacin implica que en cualquier sistema de trfico
el flujo deentrada es igual al de salida ms el almacenado en el
sistema. Esthiptesis se acepta, en general, sin mayor controversia,
como unsupuesto obvio.
No ocurre lo mismo, sin embargo, con la segunda hiptesis,que ha
levantado y sigue levantando una gran controversia, en parteporque
no siempre se entiende y porque las medidas soncontradictorias.
Concretamente si la velocidad (u) es una funcin de ladensidad como
consecuencia los conductores ajustan su velocidad deacuerdo con la
densidad, es decir cuando la densidad aumenta lavelocidad
disminuye. Esto es intuitivamente correcto pero tericamentepuede
conducir a velocidades o densidades negativas. Por otra parte,se ha
observado que para el mismo valor de la densidad puedenmedirse
muchos valores de la velocidad. Todo ello conduce a lanecesidad de
matizar esta hiptesis. La matizacin consiste en
La simulacin de sistemas
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS46
considerar que la velocidad (o el flujo) es una funcin de la
densidadnicamente en el equilibrio, y puesto que es muy raro poder
observarel equilibrio es difcil obtener una relacin
velocidad-densidadsatisfactoria, lo que lleva en la prctica a
proponer una relacin terica.Esta dificultad ha llevado a algunos
investigadores a relativizar laimportancia de los modelos continuos
o a tratar de simplificarlos. Sinembargo, como demuestran recientes
aplicaciones al control y aestudios de simulacin los modelos
continuos tienen todava un granpotencial de aplicaciones que an no
ha sido explotado en todas susposibilidades.
La exposicin del modelo continuo simple es un resumen
demateriales procedentes de las referencias [13,14,15] .
Admitiendo estas dos hiptesis de modelizacin la ecuacin
decontinuidad puede derivarse fcilmente considerando una seccin
decarretera continua unidireccional con dos estaciones de contaje 1
y 2aguas arriba y aguas abajo respectivamente, con un espaciado
Dxentre ellas; suponemos adems que no hay fuentes ni sumideros en
elespacio Dx, es decir que no hay generacin ni disipacin de flujo
en laseccin considerada.
Sea Ni el nmero de vehculos (volumen) que pasa por laestacin i
durante el perodo de tiempo Dt, y qi el flujo que pasa porla
estacin i; Dt es la duracin del contaje simultneo en lasestaciones
1 y 2. Sin prdida de generalidad podemos suponer queN1 > N2;
puesto que no hay desaparicin de vehculos en Dx estahiptesis
implica que hay un incremento del nmero de vehculosentre la estacin
1 y la 2. Sea DN = (N2 - N1), negativo. A partir deestas
definiciones tenemos:
N t q
N t q
N t qN N
tN q t
1 1
2 2
2 1
/
/
/
DD
D D DD
D D D
==
= =-
fi =(1.16)
-
47La simulacin de sistemas
Entonces el incremento del nmero de vehculos entre lasestaciones
durante Dt ser de (-Dq) Dt. Si Dx es lo suficientementecorto como
para que la densidad (concentracin) k en l seauniforme entonces el
incremento de densidad Dk entre las estaciones1 y 2 durante el
perodo Dt es
( )D
DDD
kN N
xN
x=
- -=
-2 1 (1.17)
Esto significa que el incremento del nmero de vehculos es-DN =
DkDx, y cmo el nmero de vehculos se conserva, entonces-(Dq Dt) =
DkDx, de donde:
DD
DD
qx
kt
+ = 0 (1.18)
Si ahora consideramos el medio continuo y permitimos que
lospequeos incrementos se hagan infinitesimales, en el lmite:
lx
kt
+ = 0 (1.19)La ecuacin (1.19) expresa la ley de conservacin de
una
corriente de trfico y se conoce con el nombre de ecuacin
deconservacin o de continuidad, es una ecuacin similar a
lacorrespondiente para el flujo de un fluido. Si dentro de la
seccin decarretera existen fuentes o sumideros, como por ejemplo
rampas deentrada o salida, entonces la ecuacin de conservacin
adopta laforma general:
( )
lx
kt
g x t+ = , (1.20)
donde g(x,t) es la tasa de generacin (o disipacin) expresada
envehculos por unidad de tiempo y unidad de longitud.
Los primeros que propusieron la resolucin de la ecuacin
deconservacin y su aplicacin al trfico fueron Lighthill y Whitham
[16]Michalopoulos et al. [8,17,18] han desarrollado una de las
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS48
implantaciones ms recientes para el anlisis por simulacin de
losflujos de trfico en autopistas, y sus aplicaciones al control de
trfico,que ha dado lugar al software KRONOS [19] para simulacin de
trfico.
La ecuacin (1.20) es una ecuacin de estado que puede
utilizarsepara determinar analtica o numricamente el flujo en
cualquier seccinde la autopista. El atractivo de esta ecuacin
reside en que relaciona dosvariables fundamentales dependientes, la
densidad y el flujo, con dosindependientes, el tiempo t y el
espacio x. La solucin de la ecuacin(1.20) es imposible sin una
ecuacin, o hiptesis adicional. La primeraalternativa suele conducir
a los denominados modelos de orden superiora travs de la
consideracin de la denominada ecuacin de momento. Lasegunda opcin,
la que se adopta habitualmente en los modelos continuossimples,
establece que el flujo es una funcin de la densidad, es decirq =
f(k). Esta hiptesis, o su equivalente u = f(k), es muy razonable,
comohemos discutido un poco ms arriba, pero slo se verifica en el
equilibrio.Esta hiptesis, combinada con la ecuacin fundamental q =
ku, permitereescribir la ecuacin de conservacin de la forma:
( )f k k dfdk
kx
kt
+
+ =dd
dd
0 (1.21)
Debe observarse que f(k) puede ser una funcin cualquiera yno es
necesario formular hiptesis adicionales para mantener lageneralidad
de los resultados. Habitualmente se suele utilizar unarelacin
lineal, como la propuesta por Greenshields:
u ukkf j
= -
1 (1.22)
donde uf es la velocidad en condiciones de flujo libre, y kj es
ladensidad de congestin, aunque parece dar mejores resultadosuna
relacin ms general como:
u ukkf j
= -
1
a b
(1.23)
-
49
donde a y b son parmetros que se pueden calibrar.
La ecuacin (1.21) es una ecuacin diferencial en
derivadasparciales de primer orden, casi-lineal, que se puede
resolver por elmtodo de las caractersticas. Los detalles de la
solucin puedenencontrarse en la referencia citada de Lighthill y
Whitham [16]. Lasolucin de la ecuacin sugiere que:
1. La densidad k es una constante a lo largo de una familia
decurvas denominadas caractersticas u ondas; una ondarepresenta la
propagacin de un cambio de flujo y densidada lo largo de la
autopista.
2. La caractersticas son lneas rectas que parten de lasfronteras
del dominio espacio-temporal.
3. La pendiente de las caractersticas es ( )[ ]dxdt
f k k f kdqdk
= + =( ) ,
lo que implica que las caractersticas tienen una pendienteigual
a la de la tangente a la curva flujo-densidad en el puntoque
representa las condiciones de flujo en la frontera dedonde parte la
caracterstica.
4. La densidad en cualquier punto (x, t) del dominio
espaciotiempo puede obtenerse dibujando la caracterstica que
pasapor dicho punto.
5. Las caractersticas transportan el valor de la densidad (y
elflujo) de la frontera de la que proceden.
6. Cuando dos caractersticas se cortan entonces la densidad enel
punto de interseccin debera tener dos valores, lo que noes factible
fsicamente; esta discrepancia se puede explicarpor la generacin de
ondas de choque. En otras palabras,cuando dos caractersticas
intersectan se genera una onda de
La simulacin de sistemas
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS50
choque y se terminan las caractersticas. Una onda de
choquerepresenta una discontinuidad matemtica (cambio abrupto)en k,
q u.
7. La velocidad de la onda de choque es u q qk kw
d u
d u
=--
, donde kd,
qd representan las condiciones del flujo aguas abajo, y ku,
quaguas arriba. En la curva flujo concentracin la velocidad dela
onda de choque est representada por la pendiente de larecta que
conecta ambos puntos, aguas arriba y aguas abajo.
Hay que resaltar que cuando uw es positiva la onda de choque
se desplaza aguas abajo con respecto a la autopista, mientras
quecuando es negativa lo hace aguas arriba. El mero hecho de que
existauna diferencia en las condiciones de flujo aguas arriba y
aguas abajono implica que se genere una onda de choque a menos que
suscaractersticas intersecten. Generalmente esto slo ocurre
cuandola densidad aguas abajo es mayor que aguas arriba. Cuando
ladensidad aguas abajo es menor que aguas arriba tenemos unfenmeno
de difusin de flujo similar al que se observa en el procesode
descarga de una cola. Cuando la densidad aguas abajo es mayorque
aguas arriba, entonces se generan ondas de choque y en
generalaparecen colas aunque vayan desplazndose aguas abajo.
La aplicacin de la teora del modelo continuo simple asituaciones
ms complejas, como cuando hay interrupciones delflujo (confluencias
de flujos por carriles de acceso, derivaciones deflujo por rampas
de salida, reducciones de capacidad por prdida decarriles, etc.)
requiere la resolucin numrica de la ecuacin deconservacin [8], base
del simulador KRONOS [19].
Los procedimientos numricos para calcular k, u y q parten de
ladiscretizacin de la autopista que se considera, en pequeos
incrementosDx (del orden de entre 10 y 50 metros) y la actualizacin
de los valoresde dichas variables de trfico a intervalos de tiempo
consecutivos Dt
-
51
(del orden de un segundo ms o menos). Obviamente la
discretizacinse realiza nicamente desde el punto de vista
computacional. La densidaden cualquier segmento j, excepto en los
segmentos frontera, en elintervalo de tiempo n+1 se calcula a
partir de la densidad en lossegmentos inmediatamente adyacentes,
aguas arriba y aguas abajo, j-1 y j+1 respectivamente, en el
intervalo n, de acuerdo con la expresin:
( ) ( ) ( )k k k tx
q qt
g gjn
jn
jn
jn
jn
jn
jn+
+ - + - + -= + - - - +1
1 1 1 1 1 112 2 2
DD
D (1.24)
donde el subndice identifica el segmento y el superndice el
intervalode tiempo, g representa la tasa de generacin o disipacin
en elsegmento en el intervalo de tiempo considerado, si no hay
fuentesni sumideros en el segmento, entonces g=0.
Una vez que se ha determinado la densidad la velocidad
puedecalcularse a partir de la relacin velocidad densidad en el
equilibriou
e(k): ( )u u kjn e jn+ +=1 1 en el caso de la resolucin numrica
pueden
utilizarse relaciones empricas que admitan
discontinuidades.Finalmente, el flujo en el intervalo de tiempo n
se obtiene a partir de larelacin fundamental: q k ujn jn jn+ + +=1
1 1 .
Las ecuaciones (1.24) discretizacin de la ecuacin
(1.21),convierten la ecuacin diferencial en derivadas parciales en
unecuacin en diferencias finitas a la que se pueden aplicar
diversosprocedimientos numricos [17] incluyendo posibilidades
deparalelizacin del clculo [20] .
1.3. Simulacin de sistemas continuos y simulacin de
sistemasdiscretos
En general los modelos matemticos de tipo dinmico
representansistemas continuos, es decir sistemas en los que las
actividades
La simulacin de sistemas
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS52
predominantes del sistema causan pequeos cambios en los
atributosde sus entidades, cuando las relaciones entre ellas
describen las tasaso ratios de cambio de los atributos, por lo que,
en general, tales modelosestn definidos formalmente por ecuaciones
diferenciales.
En muchos casos a partir del modelo matemtico del sistemaes
posible obtener informacin sobre el mismo por medios analticos,como
en el caso del sistema de amortiguacin de un automvil,que acabamos
de presentar como ejemplo de modelo dinmico.Cuando esto no es
posible se recurre a procedimientos numricospara resolver las
ecuaciones del modelo, especialmente en el casode los modelos
dinmicos representados por ecuaciones o sistemasde ecuaciones
diferenciales, como en los ejemplos de la dinmicade poblaciones y
de trfico. Con el tiempo se ha ido desarrollandouna amplia variedad
de mtodos numricos de clculo para resolverlas ecuaciones de los
modelos, una tcnica numrica particular esla que denominamos
Simulacin de Sistemas, que como veremosconsiste en un seguimiento a
lo largo del tiempo de los cambiosque tienen lugar en el modelo
dinmico del sistema. En losmodelos dinmicos, bien por la naturaleza
del sistema modelizado,bien por las caractersticas del proceso
numrico utilizado, laintroduccin de la aleatoriedad nos llevar a
hablar de SimulacinEstocstica, que es la que va a ser objeto de
estudio en estamonografa.
La manera de efectuar el seguimiento temporal de los cambiosen
el modelo, que supondremos en correspondencia con los cambiosen el
sistema representado por el modelo, nos lleva a la aparicin dedos
grandes categoras dentro de la Simulacin de Sistemas segnque los
cambios sean continuos o discretos. En el primer caso sesupone que
la naturaleza del sistema permite cambios de estadocontinuos,
determinados por cambios continuos en los valores de lasvariables
que representan el estado del sistema, mientras que en elsegundo
los cambios solo pueden tener lugar en instantes discretosen el
tiempo.
-
53
Para los sistemas con cambios continuos, dado que
nuestroprincipal inters a la hora de simular su comportamiento
serreproducirlos, los sistemas de ecuaciones diferenciales sern la
formamas adecuada de representarlos. Denominaremos
SimulacinContinua a la simulacin basada en este tipo de modelos.
Lossimuladores analgicos han sido ampliamente utilizados en este
tipode simulacin, aunque el desarrollo de las tcnicas numricas para
laresolucin de sistemas de ecuaciones diferenciales, el
avancetecnolgico en los ordenadores digitales, y la evolucin de los
lenguajesde programacin les han hecho perder protagonismo.
SIMULINK,software para la simulacin de sistemas dinmicos integrado
en elentorno de computacin numrica MATLAB [21] es un buen ejemplode
esta tendencia.
Para los sistemas discretos, el seguimiento de los cambios
deestado requiere la identificacin de qu es lo que causa el cambio
ycuando lo causa, lo que denominaremos un suceso, las ecuacionesdel
modelo se convierten entonces en las ecuaciones y relacioneslgicas
que determinan las condiciones en que tiene lugar la ocurrenciade
un suceso. El modelo de red de colas del taller de manufactura,
enel que los cambios de estado son producidos por sucesos
discretoscomo las llegadas de las piezas o los finales de las
operaciones,corresponde a esta clase de sistemas. Este tipo de
simulacin, conocidacon el nombre de Simulacin Discreta, consiste en
el seguimiento delos cambios de estado del sistema que tienen lugar
como consecuenciade la ocurrencia de una secuencia de sucesos.
La simulacin de sistemas estticos y dinmicos, especialmentelos
continuos, y los lenguajes de simulacin para tales
simulaciones,como por ejemplo el DYNAMO, han sido tratados con
detalle en otrasmonografas de esta coleccin, vanse, por ejemplo,
las nmeros 2(A. Sarabia, La Teora General de Sistemas), 3 (J.
Aracil, Dinmica deSistemas), y 4 (D. R. Drew, Dinmica de Sistemas
Aplicada), en lasque aparecen numerosos y bien ilustrados ejemplos
de modelosdeterministas, y de modelos dinmicos de tipo continuo en
los que se
La simulacin de sistemas
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS54
ha utilizado el DYNAMO (la monografa de Aracil es un buen
ejemplode ello). Con objeto de proporcionar una visin
complementaria vamosa centrar nuestra monografa en el tema de la
Simulacin de SistemasDiscretos.
1.4. La Simulacin como proceso experimental: experimentos
yordenadores
La prctica de la simulacin es una tcnica que no realiza
ningnintento especifico para aislar las relaciones entre variables
particulares,antes bien adopta un punto de vista global desde el
que se intentaobservar como cambian conjuntamente todas las
variables del modelocon el tiempo. En todo caso, las relaciones
entre las variables debenobtenerse a partir de tales observaciones.
Esta concepcin caracterizala simulacin como una tcnica experimental
de resolucin de problemas,lo que comporta la necesidad de repetir
mltiples ejecuciones de lasimulacin para poder entender las
relaciones implicadas por el sistema,en consecuencia el uso de la
simulacin en un estudio debe planificarsecomo una serie de
experimentos cuyo diseo debe seguir las normasdel diseo de
experimentos para que los resultados obtenidos puedanconducir a
interpretaciones significativas de las relaciones de inters.
La simulacin con computador es por lo tanto una tcnica
querealiza experimentos en un computador con un modelo de un
sistemadado. El modelo es el vehculo utilizado para la
experimentacin ensustitucin del sistema real. Los experimentos
pueden llegar a tenerun alto grado de sofisticacin que requiera la
utilizacin de tcnicasestadsticas de diseo de experimentos. En la
mayor parte de los casoslos experimentos de simulacin son la manera
de obtener repuestas apreguntas del tipo "qu pasara s?", preguntas
cuyo objetivo sueleser evaluar el impacto de una posible
alternativa que sirva de soportea un proceso de toma de decisiones
sobre un sistema, proceso quepuede representarse esquemticamente
mediante el diagrama de laFigura 8 [22].
-
55
Volvemos a encontrar aqu, en la utilizacin de la simulacin,
lascaractersticas de lo que hemos denominado ingeniera de sistemas,
esdecir una visin globalizadora que utiliza un modelo para
combinandoelementos de anlisis y diseo entender, por medio de
experimentos,cmo un sistema existente funciona, o cmo puede
funcionar un sistemaplaneado, y prever cmo las modificaciones del
sistema pueden cambiarsu comportamiento.
La simulacin, y los experimentos de simulacin, se conviertenas
en una herramienta de anlisis de sistemas, para entender cmoopera
un sistema existente, o cmo puede operar uno propuesto. Lasituacin
ideal, en la cual el investigador realizara los experimentossobre
el sistema real es sustituida por una en la que el
investigadorconstruye un modelo del sistema y experimenta sobre l
mediante lasimulacin, utilizando un ordenador, para investigar el
comportamientodel modelo e interpretar los resultados en trminos
del comportamientodel sistema objeto del estudio.
La simulacin de sistemas
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS56
La simulacin, y el procedimiento experimental asociado,
seconvierten tambin en una herramienta de diseo de sistemas,
cuyoobjetivo es la produccin de un sistema que satisfaga
ciertasespecificaciones. El diseador puede seleccionar o planear
como debenser las componentes del sistema y concebir cual debe ser
lacombinacin de componentes y relaciones entre ellas que
determinanel sistema propuesto. El diseo se traduce en un modelo
cuyocomportamiento permite inducir el del sistema previsto. El
diseo seacepta cuando las previsiones se ajustan adecuadamente a
loscomportamientos deseados, en caso contrario se introducen
lasmodificaciones pertinentes en el modelo y se repite el
proceso.
Otra posibilidad es la que se da en estudios econmicos,polticos,
mdicos, etc. en los que se conoce el comportamiento delsistema pero
no los procesos que producen tal comportamiento. Eneste caso se
formulan hiptesis sobre las entidades y actividades quepueden
explicar la conducta. El estudio de simulacin por medio delmodelo
correspondiente permite comparar las respuestas de un modelobasado
en tales hiptesis con el comportamiento conocido, de maneraque una
concordancia adecuada lleva a suponer que la estructura delmodelo
se corresponde con la del sistema real.
La aplicacin de la simulacin a diferentes tipos de
sistemascombinada con las diferentes clases de estudio que se
pueden realizarconduce a una gran cantidad de variantes de la
manera en que sepuede realizar un estudio de simulacin. Sin embargo
hay determinadospasos bsicos del proceso que pueden identificarse
como losconstituyentes de lo que denominaremos la metodologa de un
estudiode simulacin, y son los siguientes:
1. Definicin del problema y planificacin del estudio.2. Recogida
de datos.3. Formulacin del modelo matemtico.4. Construccin y
verificacin del programa para computador
del modelo.
-
57La simulacin de sistemas
5. Ejecuciones de prueba del modelo.6. Validacin del modelo.7.
Diseo de los experimentos de simulacin.8. Ejecucin de los
experimentos.9. Anlisis de los resultados.
El proceso no es, en general, secuencial, sino iterativo, en
elque algunos de los pasos pueden tener que repetirse en funcin
delos resultados intermedios tal como muestra la Figura 9.
Ningn estudio de simulacin puede llevarse a cabo sin
establecerclaramente una definicin precisa del problema que se
pretende resolvery los objetivos del estudio. Los diseos
alternativos del sistema que sehan de estudiar han de quedar
claramente especificados, as como loscriterios para evaluar dichos
diseos. Criterios que servirn de base alproceso de toma de
decisiones para elegir uno de los diseos. Para laformulacin del
modelo debe establecerse su estructura definiendocuales son los
aspectos del funcionamiento del sistema que sonsignificativos para
la resolucin del problema que tenemos entre manos,y que datos es
necesario recoger para proporcionar al modelo lainformacin
adecuada.
La construccin del modelo de simulacin es en muchos casosms un
arte que una ciencia, que combina aspectos matemticos ylgicos. En
general la experiencia recomienda empezar con modelosmoderadamente
detallados que paulatinamente se van haciendo mssofisticados. El
modelo nicamente debe contener el nivel de detallerequerido por los
objetivos del estudio. Dado un modelo matemtico laconstruccin del
programa para computador es el requisito imprescindiblepara poder
manipular numricamente el modelo para obtener lassoluciones que
respondan a las preguntas que el analista se formulasobre el
sistema.
La validacin del modelo es uno de los pasos cruciales del
proceso,suele ser uno de los ms difciles, pero es un requisito
indispensable
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS58
-
59
para establecer si el modelo representa o no adecuadamente el
sistemaobjeto del estudio, de manera que se puedan garantizar las
induccionesy extrapolaciones sobre el comportamiento del sistema a
partir de loobservado sobre el modelo.
Disear los experimentos comporta, como hemos
comentadoanteriormente, aplicar rigurosamente las tcnicas
observacionales de laestadstica, propias del mtodo cientfico, que
permitan garantizar lasignificacin de las respuestas producidas por
la ejecucin del programaque implanta el modelo en el
computador.
1.5. Modelos de simulacin frente a soluciones analticas
Aparentemente todos los modelos que hemos presentado hastaahora
han podido ser resueltos exactamente, como en el caso de laecuacin
diferencial que modeliza el sistema de amortiguacin de unautomvil
o, en el peor de los casos, mediante mtodos numricos comoen las
ecuaciones de Lotka-Volterra del modelo presa-depredador parala
dinmica de poblaciones, o por mtodos numricos aproximados,como en
el caso de los modelos de trfico.
Estos procedimientos constituyen el primer atisbo de lo que
hemosdenominado procedimientos de simulacin como alternativa a
losmtodos analticos. La pregunta es en qu van a consistir y cuando
hayque aplicar lo que propiamente vamos a denominar simulacin en
elcaso de los sistemas discretos.
Regresemos a nuestro modelo de taller de manufactura, el
ltimocomentario apuntaba a que la modelizacin analtica como sistema
deredes de colas poda presentar algunas dificultades. Para hacernos
cargode que tipo de dificultades puede tratarse, consideremos el
caso de unade las componentes, uno de los grupos de mquinas, lo que
hemos llamadomodelo de colas M/M/s, y simplifiqumoslo al caso
M/M/1, para el quehemos visto que la solucin analtica de equilibrio
es bastante simple.
La simulacin de sistemas
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS60
Sin embargo bastara que para este caso, relativamente
sencillo,nos preguntsemos por el comportamiento durante el perodo
transitoriopara que la situacin, an siendo tratable analticamente,
se compliquebastante. Pensemos, simplemente, que las preguntas que
nos formu-lamos relativas al estado estacionario o de equilibrio,
son aquellas quesuponen el funcionamiento del sistema a largo
plazo, mientras que enotras ocasiones lo que nos interesa analizar
es el proceso de arranquedel sistema, es decir lo que se denomina
el estado transitorio antes deentrar en la supuesta condicin de
equilibrio a largo plazo.
Para responder a tal pregunta sobre el sistema tendramos
queencontrar la solucin al sistema siguiente de ecuaciones
diferencialesen diferencias (no olvidemos que se trata de un
sistema dinmico perocuyos cambios de estado son discretos):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dP t
dtP t P t P t k
dP t
dtP t P t k
kk k k= - + + +
= - + =
- +l m l m
l m
1 1
00 1
1
0
,
,(1.25)
donde Pk(t) es la probabilidad de que el sistema se encuentre en
elestado k en el instante t. Para obtener la distribucin de
probabilidadde estados funcin del tiempo, que vendra dada por
Kleinrock [11].
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P t e at at atkt k
kk i
k ik j
j kj= + + -
- + --
- -+ +
-
= + +
l m r r r r r1 2 1 1 2 1 21 2
1/ / /I I I
(1.26)donde a=2mr1/2, y ( ) ( )
( )x
x
k m mkk
k m
m
=+
-+
=
2
0
21
/
! !, ,I (1.27)
es la funcin de Bessel modificada de primera clase de orden
k.
Complicaciones analticas similares, o de orden superior,
aparecencuando las hiptesis sobre las distribuciones de
probabilidad de las llegadaso las duraciones de los servicios dejan
de ser poissonianas o exponencialespara ser simplemente Normales o
de Erlang, como corresponde a
-
61
bastantes situaciones reales. En este caso se puede comprobar,
Kleinrock[11] que si A(t) y B(x) son las distribuciones de
probabilidad de las llegadasal sistema de colas y duracin de los
servicios respectivamente, y
( ) ( ) ( )C s A s B s* * *= - (1.28)
es la transformada de Laplace de la distribucin de probabilidad
de lavariable aleatoria
u x tn n n= - + 1 (1.29)
(tiempo de descarga del sistema entre el que le exige la duracin
delservicio de n-simo cliente, x
n, y la llegada del n+1-simo, en el instante
tn+1), entonces la distribucin de probabilidad del tiempo de
espera en
la cola, en el estado estacionario, viene dada por:
( ) ( ) ( )W y W y u dC u yy= - - , 0 (1.30)
que es una ecuacin integral de Lindley. Recordemos que la
obtencinde esta distribucin es necesaria para calcular el tiempo
medio deespera en la cola, que como hemos visto es uno de los
parmetrosclave a la hora de estudiar el rendimiento del
sistema.
Estas dificultades inherentes a las soluciones analticaspueden
ser solventadas, como veremos, con relativa facilidad, pormedio de
la simulacin, para obtener soluciones numricas apro-ximadas.
A pesar de su utilidad la simulacin no puede considerarse
comouna panacea capaz de resolver todo tipo de situaciones, an
contandocon la ayuda de los lenguajes especializados para la
simulacin, o delos avances que han representado los entornos
software parasimulacin, Henrikssen [23] el desarrollo de los
generadores desimuladores, Mathewson [24] o de los simuladores
visuales,SIMFACTORY [25], WITNESS [26], etc., la realizacin de un
estudio
La simulacin de sistemas
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS62
de simulacin puede comportar un esfuerzo y un consumo de
recursosno despreciable en cualquiera de las fases: definicin del
problema,recogida de informacin, construccin del modelo y
programacin delmismo, realizacin de los experimentos de simulacin
en computador.Especialmente en este ltimo caso sistemas complejos
pueden conducira programas largos y complejos que requieran
cantidades importantesde recursos computacionales. Estas han sido
algunas de las razonespor las que en ciertos dominios de aplicacin
la simulacin ha sidoconsiderada como un ltimo recurso al que acudir
cuando todo lodems falla.
Sin embargo la simulacin, por sus caractersticas, y por
losdesarrollos computacionales que se han conseguido en los
ltimosaos, sigue presentando una serie de ventajas que no solo la
conviertenen el procedimiento mas adecuado en muchos casos, sino
que hacenque sea la nica alternativa tecnolgica en muchos
otros.
Esto resulta especialmente obvio en aquellos casos en los quelas
caractersticas del sistema que se pretende estudiar hacen
inviable,por razones fsicas o de coste, la experimentacin directa
sobre elsistema. El mundo de la produccin industrial, del trfico,
la aeronutica,la industria del automvil, etc. son claros ejemplos
de esta situacin,en la que, si bien es cierto que en algunos casos
se puede recurrir amodelos analticos, tambin lo es que tales
modelos no siempre soncapaces de recoger todos los aspectos de
inters del sistema, queconduciran a modelos inviables, o para los
que no se dispone deherramientas adecuadas, obligando a introducir
una serie de hiptesissimplificadoras que pueden resultar
inadecuadas en funcin de losobjetivos del estudio. El ejemplo
relativamente sencillo, de los modelosde colas que estamos
discutiendo, puede ilustrar esta afirmacin. Losmodelos de colas son
analticamente tratables bajo hiptesis demodelizacin relativamente
simples: llegadas segn distribuciones dePoisson, tiempos de
servicio exponenciales, disciplinas FIFO, etc.. Anen este caso las
soluciones para los perodos transitorios pueden sercomplicadas de
obtener analticamente, en contraste con la simplicidad
-
63
de los procedimientos para obtener las soluciones estacionarias,
sinembargo, basta introducir hiptesis adicionales
aparentementesencillas, que aproximan el modelo a otras situaciones
reales, paraentrar rpidamente en el terreno de las dificultades
analticas crecientes,los modelos con distribuciones de probabilidad
de llegadas y serviciosde tipo general, inclusin de impaciencias o
polticas basadas enprioridades, etc., son un buen ejemplo de
ello.
Incluso en aquellos casos en los que es posible laexperimentacin
directa la simulacin puede ofrecer ventajas talescomo un coste
inferior, tiempo, repeticiones y seguridad. An siendoviables los
experimentos directos con el sistema fsico pueden confrecuencia
tener un coste muy superior al de la simulacin a pesar delos
esfuerzos para construir el modelo y el tiempo y
recursoscomputacionales requeridos para la ejecucin de los
experimentos.
Aunque el desarrollo de un modelo adecuado y suprogramacin para
ser ejecutado en un ordenador puede requeriruna cantidad de tiempo
significativa, una vez construido y depuradoel modelo de simulacin
representa una atractiva posibilidad paratrabajar con las ms
variadas escalas de tiempo, minutos, horas,semanas, meses, aos,
etc., en unos pocos segundos de tiempo decomputador, lo que permite
comparar colecciones variadas dealternativas, a travs de
experimentos de simulacin que siemprepueden repetirse en las ms
diversas condiciones, lo que no siemprees posible en los
experimentos con el sistema real, basta pensar ensistemas de
manufactura, gestin de empresas, o militares (es difcilpensar en
una situacin en la que el enemigo permite repetir unabatalla).
Finalmente, es frecuente que los experimentos persigan el
objetivode determinar la respuesta del sistema en condiciones
extremas, lo quepuede resultar peligroso o incluso ilegal en la
vida real. Las aplicacionesde la simulacin en aeronutica, o en la
gestin de aeropuertosconstituyen buenos ejemplos de lo que queremos
significar.
La simulacin de sistemas
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS64
El dilema modelos analticos frente a modelos de simulacin
deberesolverse en cada caso atenindose al tiempo de sistema, los
objetivosdel estudio, las caractersticas del modelo, los costes,
etc. La cuestinclave es nuestra habilidad y capacidad para
construir el modelo del sistema,si este es analtico y las hiptesis
de modelizacin no obligan asimplificaciones que invaliden la
capacidad del modelo para responder alas cuestiones de inters que
nos planteamos sobre el sistema, entonceslas soluciones analticas
del modelo matemtico pueden ser suficientes.
Si nuestro conocimiento del sistema no nos permite
formularhiptesis que conduzcan a una completa formalizacin del
modelo entrminos analticos, o el requisito de no realizar hiptesis
simplificadorasconduce a modelos matemticos de difcil, o imposible,
tratamientomatemtico, entonces posiblemente la simulacin ser la
alternativavlida, si no es la nica posible.
El analista del sistema no debe olvidar que un mismo
sistemapuede representarse formalmente mediante diversos modelos en
fun-cin de los problemas que el analista se plantea sobre el
sistema. Deacuerdo con Minsky, un objeto matemtico M es un modelo
vlido de unsistema S para un observador O, si M es capaz de
proporcionar res-puestas vlidas a las preguntas que O formula sobre
S (Figura 10).
Law y Kelton [27] formalizan el proceso de decisin
modelomatemtico-modelo de simulacin, experimentacin sobre el
sistemareal o sobre un modelo del sistema, como formas de estudiar
unsistema, por medio del diagrama de la Figura 11.
El desarrollo experimentado por el software de simulacin enestos
ltimos aos ha hecho ms fcil el uso de la simulacin, lo queha
incrementado notablemente su uso frente al de otros mtodos
paraestudiar sistemas. De lo expuesto hasta aqu se desprende
claramenteque si bien la simulacin tiene muchas ventajas, no deja
de presentaralgunos problemas, especialmente cuando se usa
indebidamente, quecabe tener en cuenta para paliarlos o, si es
posible, evitarlos, pues de
-
65La simulacin de sistemas
lo contrario pueden invalidar los resultados de un proyecto
desimulacin. Law y Kelton [27] resumen en su texto la situacin de
lamanera siguiente.
La simulacin es recomendable, o incluso puede ser la
nicaalternativa posible, para investigar sistemas complejos en los
que estnpresentes elementos estocsticos que difcilmente pueden ser
tratadoscon la precisin adecuada en un modelo matemtico. La
simulacinpermite con relativa facilidad estimar el funcionamiento
del sistemabajo condiciones de operacin alternativas, o es la
herramienta paracomparar diseos alternativos de un sistema que
tengan que satisfacerrequerimientos especficos. La simulacin
permite mantener un mayorcontrol sobre las condiciones
experimentales que el que se puedemantener en la experimentacin con
el sistema fsico. Por otra parte lasimulacin permite estudiar el
comportamiento del sistema en perodosde tiempo de cualquier
longitud, comprimidos a la duracin de laejecucin del simulador en
un computador.
-
SIMULACIN DE SISTEMAS DISCRETOS66
Sin