Significado de Simbolos Matematicos Frecuentemente Usados

7/25/2019 Significado de Simbolos Matematicos Frecuentemente Usados

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ealizado por: COLINA W. BATISTA O. NOGUERA I. GUIA DE MATEMATICA 3ER AONivelai!"

GUIA

TEORICO/PRACTICO

MATEMATICABASICA

3ER

AO

1


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SIGNIFICADO DE SIMBOLOS MATEMATICOSFRECUENTEMENTE USADOS

Smbolo Signifcado= Igual a Distinto de Equivalente a< Meno que! Ma"o que# Meno o igual que

$ Ma"o o igual que% Im&lica' Si " solo si( )o lo tanto* )aa todo+ )etenece ,)etenece a-. /o &etenece a0 al que2 Infnito

3 E4iste5 /o e4iste6 7ngulo8 Disciminante9 :ni;n de conuntos Intesecci;n de conuntos> ?onunto vaco@ ?onunto de los nAmeos natuales B@ = C1 F G H JK@L ?onunto am&liado de los nAmeos natuales B@ = C 1 F G H

J = @ 9 CJKN ?onunto de los nAmeos enteos BN = C H G F 1 1 F G H JK

NP ?onunto de los nAmeos enteos &ositivos BNP = C1 F G HJK

NQ ?onunto de los nAmeos enteos negativos BNQ = C H G F 1JK


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R?onunto de los nAmeos acionales BR = C

a

b 0a b + N b a

b &imos ente siJ Dos nAmeos enteos se dice que son &imos entes cuando su Anico diviso comAn es la unidadT Eem&los de nAmeos

acionalesU

14

3 ;58

6

27

2

1 ;8 etcTK

V

?onunto de los nAmeos iacionales BSon nAmeos no acionales

es deci que no se &ueden e4&esa como Ca

b 0a b + N b

a b &imos ente siJ Dos nAmeos enteos se dice que son &imosente s cuando su Anico diviso comAn es la unidadT Eem&los de

nAmeos iacionalesU W X WH X etcTK

Y El conunto de los nAmeos eales ,&imea dimensi;n BZ1K-TEs elconunto [omado &o los nAmeos acionales e iacionales es

deci Y = R 9 VY\ El &lano ,segunda dimensi;n Z-] Ee de las coodenadas B4K o ee de las abscisas^ Ee de las coodenadas B"K o ee de las odenadas]P Semiee B4K &ositivo]Q Semiee B4K negativo^P Semiee B"K &ositivo^Q Semiee B"K negativo_a_ M;dulo de a

Sen,4- Seno de 4

?os,4- ?oseno de 4g,4- angente de 4

7,a4 a"- )unto 7 de coodenadas a4" a"B)unto de Y\ en coodenadascatesianasK

F


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Criterio de divisibilidad

1T :n nAmeo natual es divisible &o cuando temina en ceo o en ci[a&aT

T :n nAmeo natual es divisible &o F si la suma de sus ci[as esmAlti&lo de FT

FT :n numeo natual es divisible &o G cuando temina en dos ceos ocuando el numeo [omado &o las dos Altimas ci[as de la deecà,unidad " decena- es divisible &o GT

GT :n nAmeo natual es divisible &o H cuando temina en ceo o cincoTHT :n nAmeo natual es divisible &o si es divisible &o " F a la veTT :n nAmeo natual es divisible &o cuando se&aando la &imea ci[a

de la deecà multi&licndola &o estando este &oducto de lo quequede a la iquieda es o mAlti&lo de

T :n nAmeo natual es divisible &o cuando sus tes Altimas ci[as sonceos o es mAlti&lo de T

T :n nAmeo natual es divisible &o si la suma de sus ci[as esmAlti&lo de T

T :n nAmeo natual es divisible &o 1 si la ci[a de las unidades es T1T :n nAmeo natual es divisible &o 11 si la di[eencia ente las

ci[as que ocu&an los lugaes &aes " la de los im&aes de deecà aiquieda son o mAlti&lo de 11T

11T :n nAmeo natual es divisible &o 1 si es divisible &o F " &o Ga la veT

1T :n nAmeo natual es divisible &o 1F cuando se&aando la&imea ci[a de la deecà multi&licndola &o estando este&oducto de lo que quede a la iquieda es o mAlti&lo de 1F

1FT :n nAmeo natual es divisible &o 1G si es &a " divisible &o T1GT :n nAmeo natual es divisible &o 1H si es divisible &o F " &o H

a la veT

G


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1HT :n nAmeo natual es divisible &o 1 cuando se&aando la&imea ci[a de la deecà multi&licndola &o H estando este&oducto de lo que quede a la iquieda es o mAlti&lo de 1T

1T :n nAmeo natual es divisible &o 1 si es divisible &o F " &o a la veT

1T :n nAmeo natual es divisible &o 1 cuando se&aando la&imea ci[a de la deecà multi&licndola &o 1 estando este&oducto de lo que quede a la iquieda es o mAlti&lo de 1T

1T :n numeo natual es divisible &o 1 cuando se&aando la&imea ci[a de la deecà multi&licndola &o estando este&oducto de lo que quede a la iquieda es o mAlti&lo de 1

1T :n numeo natual es divisible &o F cuando se&aando la&imea ci[a de la deecà multi&licndola &o 1 estando este&oducto de lo que quede a la iquieda es o mAlti&lo de F

T :n numeo natual es divisible &o H cuando temina en dosceos o cuando el numeo [omado &o las dos Altimas ci[as de ladeecà ,unidad " decena- es divisible &o HT

ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES

1T a (b+c )=ab+ac

T ,a b-= ,a- ab bFT ,a h b- = ,a- h ab b

GT ,a b c- = ,a- ,b- ,c- ab ac bcHT ,a b-,a h b- = ,a-h ,b-

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS EPONENTES

1T am an= am n

T ,ab-m

= am

bm

FT ,am-n= amLn

GT am=1

am

HT a

m

an = am h n

H)aa todo a 1


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T ( ab )m

=a

m

bm

T am

n =nam

T a1

= aT a

0

= 1

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS RADICALES

En las siguientes &o&iedades se es&ecifca que el ndice de las acestiene que se di[eente de ceo " si el mismo es &a la cantidad subadical tiene que se ma"o o igual a ceo al menos que se es&ecifque locontaioT 7dems todo denominado debe se di[eente de ceoT

1T n

an

= aT

na

m

= am

n

FT n

an

b =n

ab

GT (na )

m

=nab

HT m

n

a =mn

a

T bn

a=n

bna

T n

a

b=

n

anb

ALGUNAS PROPIEDADES DEL !ALOR ABSOLUTO OMODULO

1T a2

= lal

T _a_ = _a_FT _ab_ = _a_ T_b_

GT |ab| = |a||b|HT j_a_ = _ja_T _a_= a

b

Solo si j 0


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T _a_ = a

T Si _a_ = j % a = jT Si _a_ = _b_ % a = b

1T Si

a


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FT x1,2 = ca

EL DISCRIMINANTE

a e4&esi;n b24 ac que a&aece como cantidad sub adical ,en

la [oma com&leta- se denomina disciminante " detemina elcacte de las solucionesT 7siU

=b24ac

Ti"os de ra#$es %sa&do el dis$ri'i&a&te(

Si 8 ! % as aces son eales " di[eentesT Si 8 = % as aces son eales e igualesT Si 8 < % /o tiene aces ealesT

PROCEDIMIENTO PARA COMPLETAR ELCUADRADO

En tminos geneales el &oceso im&lica `alla el nAmeo

que debe agegase a la suma x2+bx &aa obtene un

cuadado &e[ectoT 7qu se obseva queU

(x+b2 )2

=x2+bx+( b2 )2


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)o lo tanto en geneal se debe agega a 4 b4 el

cuadado de la mitad del coefciente de ] es deci ( b2 )2

&aa obtene el cuadado &e[ecto (x+

b

2

)2

.

CONCLUSION(

Si tenemos un &olinomio de la [oma x2+bx o x2bx "

queemos com&leta el cuadado lo que debemos `acees&ectivamente es lo siguienteU

4 b4 = (x+b2 )2

( b2 )2

4 b4 = (xb2 )2

( b2 )2

ALGUNOS METODOS DE RESOLUCION DE UN

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOSINCOGNITAS

METODO DE RESOLUCION

Obseve que antes de com&leta elcuadado el coefciente del tmino

cuadtico es 1 &o lo tanto si se tieneun &olinomio de la [oma a4 b4

&imeo se debe saca [acto comAn a "luego se a&lica el &ocedimiento


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E)EMPLO(esolve el siguiente sistema de ecuaciones

{x+2y=4 (i )2xy=3(ii)

1T 7naliamos el sistema " decidimos cual es la inc;gnita ms[cil de elimina mediante la suma de ecuacionesT Estainc;gnita debe tene el mismo coefciente &eo con signocontaio en ambas ecuacionesTEn este eem&lo eliminaemos la inc;gnita y , &aa lo cual

deaemos igual ecuaci;n (i) " multi&licaemos a (ii) &o

T 7s se obtiene el sistemaU

{ x+2y=44x2y=6

T Se suman miembo a miembo ambas ecuacionesesultandoU

{ x+2y=44x2y=65x=10

x=10

5=2

kinalmente la soluci;n del sistema es [xy]=[21]

METODO DE IGUALACION

1


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E)EMPLO(Zesolve el siguiente sistema de ecuaciones

{x+2y=4 (i )2xy=3(ii)

1T Se des&ea la misma inc;gnita de cada una de lasecuaciones del sistemaT En este caso des&eando la

inc;gnita x obtenemosU

x=42y (iii)

2x=3+y

x=3+y2

(iv)

T Igualamos las ecuaciones (iii) " (iv) " des&eamos la

inc;gnita estanteT

42y=3+y

2

84y=3+y

5=5yy=1

FT Se sustitu"e el valo de la inc;gnita des&eada en (iii) o(iv). )o eem&lo sustitu"endo en (iii) esultaU

x=42 (1 )x=2

11


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kinalmente la soluci;n del sistema esU [xy]=[21]

RESOLUCION DE UNA ECUACION LINEAL CON DOSINCOGNITAS

GRADO DE LIBERTAD

Grado de libertad(Es el que nos indica a cuantas inc;gnitas&uedo asignale valoes abitaios en un sistema que tenga ms

inc;gnitas que ecuacionesT

TT = ,/umeo de inc;gnitas- h ,/umeo de ecuaciones-

Si TT = n n 1 entonces no &uedo asigna a n inc;gnitas

valoes abitaiosT ,Si es &osible esolve un sistema deecuaciones de este ti&o entonces el mismo tend infnitassoluciones-

E)EMPLO(Zesolve la siguiente ecuaci;n 2=0

2=0(i)

a ecuaci;n tiene infnitas soluciones vamos a detemina una deellasT

)aa =1en( i ) resulta:

2 (1 )=0=2

1


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kinalmente una de las infnitas soluciones esU []=[12]OBSER!ACION(El valo abitaio que se le da a una de lasinc;gnitas &uede se cualquie nAmeo eal &eo lo ideal es quesea a conveniencia como en este caso que se le dio a la inc;gnita el valo 1 "a que as al des&ea la inc;gnita nos dio como

esultado un numeo enteo " no [accionaio "0o adicalT Se àcee[eencia a esto "a que en deteminados &oblemas el ècò deque &odamos obtene una soluci;n con el nAmeo meno de[acciones "0o adicales nos aòaa &ate del clculoT

RACIONALI*ACION DE DENOMINADORES

Si una [acci;n contiene adicales en el denominado se dice quela misma no est sim&lifcada en este caso se debe tans[omaen ota equivalente que no contenga adicales en el denominado

Si el denominado de una [acci;n es una a cuadada &aaeliminala debemos multi&lica " dividi dicà [acci;n &o lamisma a as el adical desa&aece del denominado " &asaaal numeadoT

E)EMPLO(Zacionalia la siguiente [acci;n

3

25

De acuedo a lo dicò anteiomente se tieneU

3

25=

3

255

5

35

2(5)2

35

25

3

25=

35

10

1F


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FACTORI*ACION DE POLINOMIOS

FACTOR COMUN(

?uando obsevamos que una e4&esi;n algebaica de ms de un

tmino tiene en comAn uno o vaios [actoes decimos que&odemos saca el [acto o [actoes comunes &aa de esta maneaa&lica la &o&iedad distibutivaT

E)EMPLO(

Descom&one en [actoes sacando [acto comAnU

3x+2x=2x (x+1)

DIFERENCIA DE CUADRADOS

:na di[eencia de cuadados es la manea de [actoia&olinomios con e4&esiones cuadticas que se estan ente s "es igual a suma &o di[eenciaT

E)EMPLO(

x24=x222=(x+2) (x2)

TRINOMIO DE CUADRADO PERFECTO

:n tinomio cuadado &e[ecto es igual a un binomio al cuadadoT

E)EMPLO(x

2+6x+9=(3+x )2

1G


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FACTORI*ACION DE UN POLINOMIO DE GRADO

SUPERIOR A DOS

:tiliamos el teoema del esto " la egla de Zuni &aa encontalas aces enteasT

E)EMPLO(kactoia el siguiente &olinomioU P (x )=2x4+x38x2x+6

1T omamos los divisoes del tmino inde&endienteU 1 FT

T 7&licando el teoema del esto sabemos &aa que valoes ladivisi;n es e4actaT

P(1)=214+138121+6=2+181+6=0

FT Dividimos &o ZuniT

GT Zeescibimos el &olinomio

(x1)(2x3+3x25x6)

:na a es x=1.

1H


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?ontinuamos ealiando las mismas o&eaciones al segundo[actoT

polvemos a &oba &o 1 &oque el &ime [acto &oda estaelevado al cuadadoT

P(1)=213+3125160

P (1)=2!(1)3+3!(1)25!(1)6=2+3+56=0

(x1)(x+1)(2x2+x6)

Ota a es x=1.

El tece [acto lo &odemos enconta a&licando la ecuaci;n de gado o tal como venimos `acindolo aunque tiene elinconveniente de que s;lo &odemos enconta aces enteasT

El 1 lo descatamos " seguimos &obando &o r1T

P(1)=2!(1)2+(1)60

1


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P(2)=2!22+260

P(2)=2!(2)2+(2)6=2!426=0

(x1)!(x+1)!(x+2)!(2x3)

Sacamos [acto comAn en el Altimo binomio " encontamos unaa acionalT

2x3=2(x32 )

a [actoiaci;n del &olinomio quedaU

P (x )=2x4+x38x2x+6=2(x1)!(x+1)!(x+2)!(x32 )

1


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as aces sonU x=1 ; x=1 ; x=2; x=3

2

MODULO DE UN !ECTOR

El m;dulo de un vecto es la longitud del segmento oientado quelo defne es un nAmeo siem&e &ositivo " solamente el vectonulo tiene m;dulo ceoT

1T ?lculo del m;dulo conociendo sus com&onentes

EEM)OU

T ?lculo del m;dulo conociendo las coodenadas de los&untos

1


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EEM)OU

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

a distancia ente dos &untos es igual al m;dulo del vecto que

tiene de e4temos dic`os &untosT

E)EMPLO(

1


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EEZ?I?IOS)ZO):ESOS

1 Ra$io&ali+a$i,& del ti"o

Se '%lti"li$a el &%'erador - el de&o'i&ador "or .


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E.e'"los:

1

2

Ra$io&ali+a$i,& del ti"o

Se '%lti"li$a &%'erador - de&o'i&ador "or .

E.e'"los(

1


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3 Ra$io&ali+a$i,& del ti"o

^ en geneal cuando el denominado sea un bi&o'io $o& al'e&os %& radi$al

Se '%lti"li$a el &%'erador - de&o'i&ador "or el$o&.%0ado del de&o'i&ador

El conugado de un binomio es igual al binomio con el signo

cental cambiadoU

Ta'bi1& te&e'os 2%e te&er e& $%e&ta 2%e( s%'a "ordi4ere&$ia es i0%al a di4ere&$ia de $%adrados


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E.er$i$ios "ro"%estos de ra$io&ali+a$i,&(

52

23=2223

6 2

422=

4+224

3 32=32

2

7 1

35

=3

52

5

81

32=32

9 23

2+3=11627

: 1

235=

23+57

;

2

2=2


24/25


5= 2

354

=5

23

3

55 1

33=

3

32

3

56 2

3+3=

333

532

23=2223

E.er$i$ios "ro"%estos de i&e$%a$io&es(

5 2 (x+1 )3 (x2 )1

>5? @

6 2x+1 x+3=x 2

>@?6

3 {3 (25x ) 1812x

x22x+10

G


25/25


56? 7

7 x+3>5 s"l :x>2

8 9x+2

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