SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

© Institut biostatistiky a analýzINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.prof. Ing. Jiří Holčík, [email protected], Kamenice 3, 4. patro, dv.č.424, Kamenice 3, 4. patro, dv.č.424

© Institut biostatistiky a analýz

VIII. SPOJITÉ SYSTÉMY

VIII. SPOJITÉ SYSTÉMY

FORMY ABSTRAKTNÍHO POPISU SPOJITÝCH FORMY ABSTRAKTNÍHO POPISU SPOJITÝCH SYSTÉMŮSYSTÉMŮ

VNĚJŠÍ A VNITŘNÍ POPISVNĚJŠÍ A VNITŘNÍ POPIS


PROČ ABSTRAKTNÍ SYSTÉMY?PROČ ABSTRAKTNÍ SYSTÉMY?

modely zkoumaných reálných (biologických) objektů (procesů) -;

popis algoritmů pro zpracování dat (technické, resp. matematické systémy);


FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ) FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ) POPIS SYSTÉMUPOPIS SYSTÉMU

Matematické prostředky se různí podle: typu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé

na časovém měřítku); charakteru proměnných (spojité, diskrétní,

logické); determinovanosti proměnných a parametrů

(deterministické, nedeterministické - pravděpodobnostní, fuzzy,…);

vztahu k okolí (autonomní, neautonomní); proměnnosti parametrů (lineární, nelineární,

časově proměnné); vztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí);


TECHNICKÝ TECHNICKÝ && BIOLOGICKÝ BIOLOGICKÝ SYSTÉMSYSTÉM

základními vlastnostmi biologických systémů jsou: přirozenost (zpravidla nejsou vytvořeny člověkem); veliký rozměr (velký počet stavových proměnných a

ne vždy je přesně znám); složitá hierarchická struktura; významná interakce na všech úrovních jejich

struktury (často časově proměnná); velké rozdíly mezi jednotlivými realizacemi (jedinci)

– rozptyl uvnitř populace – interindividuální variabilita;

velké rozdíly v chování jednotlivých realizací (jedinců) v čase – intraindividuální variabilita;


TECHNICKÝ TECHNICKÝ && BIOLOGICKÝ BIOLOGICKÝ SYSTÉMSYSTÉM

základními vlastnostmi biologických systémů jsou i: nestacionarita a neergodicita nedeterministického

chování; předpoklady o linearitě představují velice hrubou a

omezenou aproximaci; významné omezení počtu experimentů

opakovatelných za dostatečně srovnatelných podmínek;

významné omezení experimentů z hlediska prevence škod;

experimenty na jedincích různého typu (člověk x zvířata) mohou přinášet různé výsledky jak z hlediska kvality, tak kvantity


t

L

t

LCC duL

1iadi

C

1u

)t(u)t(u)t(u)t(u 1CLR

VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPISVNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS

předpokládejme konstantní parametry prvků R, L, C obvodu



L1

1LL

CLC1

uL

1'itedya

dt

di.L

dt

di.Lua

dt

du.Ciii

Pak lze psát

1C11 uu'i.Li.R



Po záměně pořadí členů na levé straně a po dosazení za proud i1 a jeho derivaci ze vztahu mezi proudem a napětím na kapacitě je

)t(u)t(u)t('u.RC)t(''u.LC 1CCC a protože napětí na kapacitě je současně i výstupním napětím, tj. uC(t) = u2(t) lze psát matematický vztah mezi

výstupním u2 (t) a vstupním u1(t) napětím obvodu

)t(u)t(u)t('u.RC)t(''u.LC 1222

.

Vztah mezi vstupem a výstupem – jedna z forem vnějšího popisu


obecně, spojitý systém n-tého řádu popisuje diferenciální rovnice n-tého řádu

bny(n) + bn-1y(n-1) + … + b0y = amx(m) + am-1x(m-1) + … +

a0x ,

která je, za předpokladu že parametry an, an-1, …, a0, bm, bm-1, …, b0 jsou konstantní, lineární;

prakticky nelze realizovat takové systémy, jejichž výstupní signál by byl přesně úměrný derivacím vstupního signálu, proto musí platit m ≤ n;



LINEARITALINEARITA

Systém je lineární, platí-li pro něj princip superpozice

Je-li y=f(x) převodní funkce systému, pak pro lineární systém musí platit

1) f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2);

2) c.f(x) = f(c.x), c = konst.


A to je jen tehdy, je-li y=k.x, kde k = konst.

1) k.x1 + k.x2 = k.(x1 + x2)

2) c.k.x = k.c.x

LINEARITALINEARITA


A neplatí to ani, když

y=k.x-q, kde k,q = konst.,

protože

1) (k.x1-q)+ (k.x2-q) ≠ k.(x1+x2)-q

2) c.(k.x-q) ≠ (k.c.x-q)

LINEARITALINEARITA


LAPLACEOVA TRANSFORMACELAPLACEOVA TRANSFORMACE

DEFINIČNÍ VZTAH

kde p = σ+jω.

0

ptdte).t(f)p(F



DEFINIČNÍ VZTAH

kde p = σ+jω.

Pamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace?

0

ptdte).t(f)p(F



DEFINIČNÍ VZTAH

kde p = σ+jω.

Pamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace?

0

ptdte).t(f)p(F

dte).t(f)j(F tj


VLASTNOSTI

spousta úžasných vlastností ekvivalentních vlastnostem Fourierovy transformace, navíc i něco co se neuvěřitelně hodí pro řešení diferenciálních rovnic (převádí diferenciální rovnice na mocninné algebraické)

Laplacův obraz derivace:

f’(t) ~ p.F(p) - f(0)

f(n)(t) ~ pn.F(p) - pn-1f(0) – pn-2f’(0) - … - f(n-1)(0)



PŘENOSOVÁ FUNKCEPŘENOSOVÁ FUNKCE

)t(u)t(u)t('u.RC)t(''u.LC 1222

Vyjádřeme nyní tuto rovnici pomocí Laplacových obrazů obou veličin. Za předpokladu nulových počátečních podmínek pro Laplacův obraz n-té derivace funkce y(t) platí

0)p(Yp)t(y n)n(

Do dosazení dostáváme

)p(U)p(U).1p.RCp.LC(

)p(U)p(U)p(pU.RC)p(Up.LC

122

12222



Pro poměr obrazů výstupní a vstupní veličiny můžeme psát

LC1

pLR

p

1.

LC

1

1p.RCp.LC

1

)p(U

)p(U)p(F

22

1

2

Takto definovanou funkci za nulových počátečních podmínek (!!!!) nazýváme obrazovou (operátorovou) přenosovou funkci daného systému.



pro obecnou diferenciální rovnici n-tého řádu

bny(n) + bn-1y(n-1) + … + b0y =

= amx(m) + am-1x(m-1) + … + a0x ,

má přenosová funkce lineárního systému za předpokladu nulových počátečních podmínek tvar

012n

2n1n

1nn

n

012m

2m1m

1mm

m

bpbp.bp.bpb

apap.ap.apa

)p(X

)p(Y)p(F


polynom ve jmenovateli přenosové funkce

nazýváme charakteristickým polynomem systému a rovnici

nazýváme charakteristickou rovnicí systému

012n

2n1n

1nn

n bpbp.bp.bpb

0bpbp.bp.bpb 012n

2n1n

1nn

n



řešením charakteristické rovnice

resp.

dostaneme n jejích kořenů pi, i=1,…,n.

0bpbp.bp.bpb 012n

2n1n

1nn

n

0'bp'bp.'bp.'bp 012n

2n1n

1nn



Podobně můžeme určit i kořeny zj, j=1,…,m rovnice, která vznikne položením polynomu v čitateli přenosové funkce rovno nule, tj.

Kořeny pi i zj mohou být obecně reálné i komplexní; za předpokladu, že koeficienty bi, resp. aj jsou reálné, pak kořeny pi i zj, jsou-li komplexní, jsou komplexně sdružené.

0apap.ap.apa 012m

2m1m

1mm

m




)pp.(...).pp).(pp(

)zp.(...).zp).(zp(.c

)p(X

)p(Y)p(F

n21

m21m

Pomocí hodnot kořenů zj a pi můžeme psát přenosovou funkci ve tvaru

Kořeny zj nazýváme nulové body přenosové funkce a kořeny pi póly přenosové funkce F(p)


proměnná p má obecně komplexní charakter a tedy nabývá tvaru

p = + j ,

kde je koeficient tlumení a = 2f je kruhová frekvence

předpokládejme, že koeficient tlumení = 0,

pak po dosazení za p v operátorové přenosové funkci dostáváme

což nazýváme frekvenční přenosovou funkcí systému

)(je.)j(F)j(X

)j(Y)j(F

FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKAFREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA


frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenční přenosové funkce systému (geometrické místo koncových bodů vektoru přenosu pro frekvence, prakticky pouze v intervalu 0 ≤ < )



frekvenční charakteristiky vyjadřujeme zpravidla dvěma způsoby: frekvenční charakteristika v komplexní rovině

F(j) = Re [F(j)] + j.Im [F(j)]modulová (amplitudová) a fázová frekvenční

charakteristika

F(j) = |F(j)|.ej()



FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA V KOMPLEXNÍ ROVINĚV KOMPLEXNÍ ROVINĚ

v tomto případě kreslíme frekvenční charakteristiku nejčastěji v komplexní rovině s osami, na které vynášíme reálnou a imaginární složku přenosu; frekvenční vlastnosti systému vyjadřuje křivka v komplexní rovině, jejímž parametrem je kruhová frekvence


vlastnosti systému určují dvě funkce – závislost modulu přenosu na frekvenci a závislost fáze na frekvenci;

MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA CHARAKTERISTIKA


v některých případech se využívá pro znázornění těchto charakteristik logaritmické měřítko – amplitudu pak vyjadřujeme v decibelech

|F(j)|dB = 20.log |F(j)|

Tento způsob popisu je výhodný v případech, kdy je přenosová funkce systému určena součinem dílčích přenosových funkcí

F(j) = F1(j). F2(j). … . Fk(j);

pak platí|F(j)|.ej() = |F1(j)|. |F2(j)|… |Fk(j)|.ej(

1+

2+…+

k)





HRÁTKY S POČÁTEČNÍ FÁZÍHRÁTKY S POČÁTEČNÍ FÁZÍ

0 200 400 600 800 1000 1200-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 200 400 600 800 1000 1200-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 200 400 600 800 1000 1200-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

originál

φ01=φ02=π/2

φ01= π/4; φ02=π/20 200 400 600 800 1000 1200

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

φ01=φ02=π


t

L

t

LCC

C duL

1iadi

)u(C

1u


VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMUNELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

nyní předpokládejme, že kapacita C závisí na napětí na kondenzátoru


L11L

L uL

1'itedya

dt

di.L

dt

di.Lu

a tedy i1C11 uu'i.Li.R

Pak se poněkud komplikuje určení i1 = iC ze vztahu

t

CC

C di)u(C

1u



CC

t

C u).u(Cdi

CCCCCCCC 'u).u(Cu.'u).u('C'u).u(Ci

Platí, že

Potom pro iC platí

CC2

CCCCCCCC1 ''u.u.k2'u.k2''u.u'u.'u.k2''u.u.k2'i'i

Pro jednoduchost, nechť je C(u2) = k.u2 a tedy C‘(u2) = k ; pak

CCCCCCC1 'u.u.k2'u.u.ku.'u.kii



1CCC2

CCC uu''u.u.L.k2'u.L.k2'u.u.R.k2

A po dosazení dostáváme

Protože C(uC) = k.uC, můžeme psát

1CCCCCCC

1CCCCCCCC

uu'u.'u).u('C.L2)u(C.R2''u).u(C.L2

uu''u).u(C.L2'u.'u).u('C.L2'u).u(C.R2

A tedy obecně

bn().y(n) + bn-1().y(n-1) + … + b0().y = = am().x(m) + am-1().x(m-1) + … + a0().x



bn().y(n) + bn-1().y(n-1) + … + b0().y = = am().x(m) + am-1().x(m-1) + … + a0().x

() znamená závislost na určité (dané, zvolené) proměnné popisující chování systému – její průběh, ale obecně závisí na vstupním signálu

(1)Vlastnosti nelineárního systému nezávisí jen na

systému samém, nýbrž i na jeho vstupu (buzení)(2) Laplacovu transformaci součinu funkce a derivace

proměnné lze počítat (zda-li) jen pro konkrétní případ a tedy nelze obecně stanovit tvar

operátorové přenosové funkce nelineárního systému



t

L

t

L1CC2 duL

1iiadi

C

1uu


VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPISVNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS

předpokládejme konstantní parametry prvků R, L, C obvodu


t

L

t

L1CC2 duL

1iiadi

C

1uu



1122

12

u.0iC

1u.0'u

iC

1'u

1121

1211

uL

1i.

L

Ru

L

1'i

uu'i.Li.R


t

L

t

L1CC2 duL

1iiadi

C

1uu


u2 a i1 jsou stavové veličiny; z jejich hodnot, resp. jejich derivací a parametrů systému jsme schopni spočítat hodnoty všech dalších veličin popisujících chování daného systému

2C1L1R uu;'i.Lu;i.Ru


1122 u.0iC

1u.0'u 1121 u

L

1i.

L

Ru

L

1'i

11

2

1

2 u.L/1

0

i

u.

L/RL/1

C/10

'i

'u

rovnice dynamiky

xBsAs ..'



11

22

11222

u.0i

u.01u

u.0i.0uuu

výstupní rovnicexDsCy ..



A - matice vnitřních vazeb systému (též systémová matice nebo matice zpětných vazeb); rozměr: n x n

B - matice vazeb systému na vstup (též vstupní matice); rozměr: m x n

C - matice vazeb výstupu na stav (výstupní matice); rozměr: n x r (r je počet výstupů)

D - matice přímých vazeb výstupů na vstupy; rozměr: m x n (z hlediska zkoumání vlastností lineárních dynamických systémů nejsou tyto vazby podstatné a často je tato matice nulová)



VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMUNELINEÁRNÍHO SYSTÉMU

12

1222

2

122222

t

1

t

CCC22

i.)u(

1i.

)u('C.u)u(C

1'u

i'u).u('C.u)u(C.'u

didi)u(C.u)u(C.u

nyní opět předpokládejme, že kapacita C závisí na napětí na kondenzátoru; pak

1121 uL

1i.

L

Ru

L

1'i


12

2 i.)u(

1'u

1121 u

L

1i.

L

Ru

L

1'i

11

22

1

2 u.L/1

0

i

u.

L/RL/1

)u(/10

'i

'u

VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMUNELINEÁRNÍHO SYSTÉMU


VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮVNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ

1. diferenciální rovnice;2. operátorová přenosová funkce (Laplacova

transformace);3. rozložení nul a pólů;4. frekvenční přenosová funkce;5. frekvenční charakteristiky – v komplexní

rovině; amplitudová, fázová;


VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮVNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ

1. diferenciální rovnice;2. operátorová přenosová funkce (Laplacova

transformace);3. rozložení nul a pólů;4. frekvenční přenosová funkce;5. frekvenční charakteristiky – v komplexní

rovině; amplitudová, fázová;6. impulsní charakteristika;7. přechodová charakteristika;


konvoluce

)p(S).p(Sd).t(s.)(s)t(s)t(s 212

t

0

121

operátorová přenosová funkceH(p) = Y(p)/X(p)Y(p) = H(p).X(p)

VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮVNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮIMPULSNÍ CHARAKTERISTIKAIMPULSNÍ CHARAKTERISTIKA


y(t) = h(t) = L-1(H(p).L ((t))) = L-1(H(p).1)

Y(p) = H(p) = L (h(t)*(t)) = L (h(t)*L-1(1))

impulsní charakteristika a přenosová funkce tvoří transformační pár Laplacovy transformace.

impulsní charakteristika a frekvenční přenosová funkce tvoří transformační pár Fourierovy transformace.



je-li přiveden na vstup signálu přiveden Diracův impulz, má systém reagovat na dvě nekonečně velké změny úrovně signálu v nekonečně krátkém intervalu;

čím užší signál, tím širší spektrum – jednotkový impulz má nekonečně široké konstantní spektrum, takže přivedeme-li na vstup systému Diracův impulz, je situace ekvivalentní současnému přivedení úplné rovnoměrné směsi harmonických signálů o frekvencích od 0 do Hz;

takový signál není reálný systém schopen přenést bez deformace;

impulsové charakteristice lze tedy rozumět jako systémem zdeformovaný Diracův impulz. Podle vlastností deformovaného výstupního signálu můžeme usuzovat na vlastnosti systému;



je-li h(t) = 0 pro t > t0,

hovoříme o systému s konečnou impulsní charakteristikou (KIO – FIR);

není-li h(t) = 0 pro t > t0, resp. je-li h(t) 0 pro t < ,

hovoříme o systému s nekonečnou impulsní charakteristikou (NIO – IIR);



přechodová charakteristika = = odezva systému na jednotkový skok

L(σ(t)) = 1/p

Y(p) = G(p) = H(p).L(σ(t)) = H(p).1/p = H(p)/p

VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮVNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮPŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKAPŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA


Příprava nových učebních materiálů pro obor Matematická biologie

je podporována projektem ESF

č. CZ.1.07/2.2.00/07.0318

„VÍCEOBOROVÁ INOVACE STUDIA MATEMATICKÉ BIOLOGIE“

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

Documents