Lineární rovnice TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR Mgr. Martina Fainová POZNÁMKY ve formátu PDF
Jan 09, 2016
Lineární rovnice
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Mgr. Martina Fainová
POZNÁMKY ve formátu PDF
ROVNICE (rce)
Rovnicí o jedné neznámé x je každý zápisl(x) = p(x)
kde l(x) a p(x) jsou výrazy s neznámou x.l(x) – levá strana rce, p(x) – pravá strana rce
Poznámka: Je-li l(x) = 0, mluvíme o anulované rovnici. Obor řešení = množina, ve které řešíme rci
Řešení rovnice= určení takového čísla x, pro které je splněno l(x) = p(x)- množinu všech řešení (kořenů) rovnice značíme K
Příklad 1: V R řešte rovnice:
2
43
5
34)
xxb
Řešení:
2(4x 3) = 5(3x 4)
2
43
5
34)
358)
xxb
xa
8x 6 = 15x 20
-7x = -14
x = 2
10
a) -8 = 5x 3 +3
-8 + 3 = 5x
-5 = 5x
5x = -5 :5
x = -1
K = {-1} K = {2}
+6 15x
?? druh rovnic
Lineární rovnice
Lineární rovnice s neznámou x je každá rce, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar
ax + b = 0; kde a, b R.
záměna stran rovnice přičtení (odečtení) stejného čísla nebo výrazu k oběma
stranám rovnice vynásobení (vydělení) obou stran rovnice stejným
číslem nebo nenulovým výrazem
- úpravy, které změní rovnici, ale zachovají všechna řešení rovnice
Ekvivalentní úpravy
Příklad 2:Vypočtěte délky stran ∆ s obvodem 21 cm, jehož nejkratší strana má délku 5 cm a délka prostřední strany je arit. průměrem zbývajících dvou stran.
Řešení:
·2
Délky stran ∆ jsou 5, 7 a 9 cm.
27 = 3x
?? Zk.
Zk: L(9):
P(9):
L = P
a = 5 cm
c = x cmb = cm 2
5 x
A B
C5 cm
x
25 x
o = 21 cm
o = a + b + c
xx
2
5521
xx 251042 –15
x = 9:3
= 9 cm= 7 cm
21
92
955
= 21
Lin. rce s neznámou ve jmenovateli
23
34
x
x)3(234 xx ale x 3
Poznámka: Při násobení rovnice výrazem s neznámou se změní obor řešení dané rovnice.
Řešení:
Příklad: V R řešte rovnici2
4
2
2
xx
x
2
4
2
2
xx
x(x–2) x 2
2x = 4
x = 2K = 0
Příklad 3: Řešte rovnici v N:
Řešení:
x
x
x
x
x
x
11
37
1
62
·(x–1)·(x+1)
(x–1)· (6–x) – (7x–3) =
K = {3}
6x – x2 – 6 + x – 7x2 + 3 = –x2 – x
x = 3
x
x
xx
x
x
x
111
37
1
6
–x·(x+1)x 1; -1
x
x
x
x
x
x
11
37
1
62 (x – 1) = –(1 – x)
Řešení lineární rovnice
odstranění zlomků při násobení výrazem s neznámou podmínky
roznásobení závorek všechny členy s neznámou x převést na jednu stranu, ostatní členy na druhou stranu výsledek porovnat s oborem řešení, popř. s podmínkami
ax + b = 0; a, b RLin. rovnice:
Řešení: a
bx ?? a = 0, b = 0
Speciální lineární rovnice
a = 0
b = 0, a 0
b = 0
ax = 0 x = 0 K = {0}
b = 0 0 = 0 nekonečně mnoho řešeníK = obor řešení (nejčastěji R)
b 0 číslo = 0
žádné řešeníK = 0
jedno řešení
K = R – {–2}
V R řešte rovnice:Příklad 4:
Řešení:
4x 5 = 2x 2·(1 – x)
xxx
b
x
xa
12
54)
32
63)
2·(x+2)
3x + 6 = 3(x + 2)
–3x – 6 4x
32
63)
x
xa
x –2
3x + 6 = 3x + 6
0 = 0
xxx
b
12
54)
4x 5 = 4x 2
5 = 2
K = 0
1
7107
1
5)
y
y
yk
Cvičení:Příklad: Řešte dané rce v R. Které z nich mají řešení i v Z?
a) 5 7x = 1
b) 0,5 + 7x = 12 2x
c) x + 3 = 4
d) 5x 4 + 2(32x) = 2x 7
e) 2(x1) – 3(x2) + 4(x3) = 2(x+5)
12
12)
x
xf
22
258
5
23)
xxg
42
7)
xh
xx
xi 2
1
1)
2
uuj
32)
1
3
3
1
2
2)
zzzl
každou stranu rovnice převedeme na funkcinarýsujeme grafy daných funkcíurčíme x-ovou souřadnici průsečíku grafů
Grafické řešení lin. rovnic - 1
f1: y = 3x 3
3x 3 = x + 1
K = {2}
Řešení:
x 0 1
y -3 0f1
Příklad: Graficky řešte rci 3x 3 = x + 1.
f2: y = x + 1
x 0 1
y 1 2
f2
rovnici převedeme na anulovaný tvar0 vyměníme za y funkce fnarýsujeme graf funkce furčíme souřadnici průsečíku s osou x
Grafické řešení lin. rovnic - 2
2x 4 = 0 f: y = 2x 43x 3 = x + 1
K = {2}
Řešení:
x 0 3
y -4 2
f
Příklad: Graficky řešte rci 3x 3 = x + 1.
2
3
3
2)
xxb
Cvičení:Příklad 1: Graficky řešte dané rovnice v R:
Příklad 3: Ze školy vyjela ve 14 hodin malá motorka průměr. rychlostí 40 km/h. O hodinu později vyjelo osobní auto prům. rychlostí 70 km/h. Za jakou dobu ji dostihne?
3322) xxa
Příklad 4: Na úpravě terénu pracují 3 skupiny. První skupina by práci vykonala za 12 dní, druhá za 20 dní, třetí za 15 dní. Za jak dlouho ji vykonají společně?
Příklad 2: Při jízdě taxíkem se platí zákl. sazba 10 Kč a dá- le 12 Kč za každý 1 km. Jak daleko dojedete za 310 Kč?