Sherlock Holmes, Rme Øs Joelia meg a gonosz man avagy mire jk a dierenciÆlegyenletek? Besenyei `dÆm Alkalmazott Analzis TanszØk Etvs LorÆnd TudomÆnyegyetem [email protected] 19. ELTE KÆrpÆt-medencei NyÆri Egyetem 2014. joelius 11.
Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó –avagy mire jók a differenciálegyenletek?
Besenyei Ádám
Alkalmazott Analízis TanszékEötvös Loránd Tudományegyetem
19. ELTE Kárpát-medencei Nyári Egyetem2014. július 11.
Sir Isaac Newton (1642–1727)
6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12ux(Newton anagrammája, Epistola posterior, 1676. október 24.)
Sir Isaac Newton (1642–1727)
Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente,fluxiones invenire; et vice versa.
(Newton anagrammája, Epistola posterior, 1676. október 24.)
Vladimir Igorevich Arnold (1937–2010)
Differenciálegyenleteket megoldani hasznos.A természet törvényeit differenciálegyenletek fejezik ki.
(Newton anagrammájának modern jelentése Arnold szerint)
Egy kis ízelítő...
Ízelítő
Sherlock Holmes helyszínelSherlock Holmes egy gyilkosság helyszínére érkezik. Hogyan állapítja meg, hogymikor halt meg az áldozat, ha nincs szemtanú és csak egy hőmérő van nála?
Ízelítő
A hangya és a gonosz manó eseteEljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?
1 cms 1 m
s
Ízelítő
A fura Rómeó és a normális Júlia eseteRómeó és Júlia együtt járnak.Júlia „normális”: minél inkább/kevésbé szereti őt Rómeó, annál inkább/kevésbészereti ő Rómeót.Rómeó kissé „fura”: minél inkább/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/inkábbszereti ő Júliát.Hogyan alakul a kapcsolatuk?
Ízelítő
Homok és hegedűvonóMi látható a képen?És hogyan kapcsolódik mindehhez Napóleon és a férfi álnéven levelező SophieGermain matematikushölgy?
A változás és annak üteme...
Változás
A változás nem csak a matematikában fontos...
A változás üteme
A változás üteme sem csak a matematikában fontos...
A változás üteme
Függvények növekedése
x0
√x
3√x
x
x32
x2x3x10
x23
polinomiális
1x
2x
3x
(1, 5)x
(1, 1)x
4x
exponenciális
A változás üteme
A változás ütemex(t) időtől függő mennyiség (Newton: „fluent”)x(t) a mennyiség változási üteme (Newton: „fluxion”)
Method of fluxions, 1666 („annus mirabilis”)/1671/1736
A változás üteme
Egy konkrét függvény változási üteme
A változás üteme
Autóvezetésx(t) elmozdulás
↓x(t) pillanatnyi sebesség
↓x(t) pillanatnyi gyorsulás
A változás üteme
Autóvezetésx(t) elmozdulás
↓x(t) pillanatnyi sebesség
↓x(t) pillanatnyi gyorsulás
Közönséges differenciálegyenletIsmert x, x, . . . , keresendő x.Newton 2. axiómája: F = ma. (Nyilván kell még: x(0), x(0), . . . .)
A változás üteme
Autóvezetésx(t) elmozdulás
↓x(t) pillanatnyi sebesség
↓x(t) pillanatnyi gyorsulás
Parciális differenciálegyenletA mennyiség több változótól is függ (idő, hely), minden változó szerint vanváltozási ütem.
Newton lehűlési törvénye
Newton lehűlési törvénye – a probléma
A szomjas matematikus problémájaA szomjas matematikus a 30◦-osra felmelegedett italát az 5◦-os hűtőbe teszi.Mennyi idő múlva vegye ki, ha 15◦-osan szeretné meginni?
A megoldásMilyen ütemben hűl le?Isaac Newton (1701): Scala graduum Caloris (A Scale of the Degree of Heat)Joseph Fourier (1822): Théorie analytique de la chaleur
Newton lehűlési törvénye – a probléma
A szomjas matematikus problémájaA szomjas matematikus a 30◦-osra felmelegedett italát az 5◦-os hűtőbe teszi.Mennyi idő múlva vegye ki, ha 15◦-osan szeretné meginni?
A megoldásMilyen ütemben hűl le?Isaac Newton (1701): Scala graduum Caloris (A Scale of the Degree of Heat)Joseph Fourier (1822): Théorie analytique de la chaleur
Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)
Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)
Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)
Newton lehűlési törvénye 1701-ből„...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron.Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in aGeometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms.”
Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)
Newton lehűlési törvénye 1701-ből„...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron.Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in aGeometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms.”
Newton lehűlési törvénye a középiskolábanA test és a közeg hőmérsékletének különbsége egyenlő időközök alattugyanannyiad részére csökken, vagyis az egyenlő időközökben mérthőmérséklet-különbségek mértani sorozatot alkotnak:
Ttest(t)− Tközeg = qt(Ttest(0)− Tközeg).
Newton lehűlési törvénye – egy kis történelem (1701)
Newton lehűlési törvénye 1701-ből„...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron.Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in aGeometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms.”
Newton lehűlési törvénye a középiskolábanA test és a közeg hőmérsékletének különbsége egyenlő időközök alattugyanannyiad részére csökken, vagyis az egyenlő időközökben mérthőmérséklet-különbségek mértani sorozatot alkotnak:
Ttest(t)− Tközeg = qt(Ttest(0)− Tközeg).
Newton lehűlési törvénye differenciálegyenlettelA test közeghez képesti hőmérsékletének változása arányos a test és a közeghőmérsékletének különbségével:
(Ttest(t)− Tközeg)· = −λ(Ttest(t)− Tközeg).
Newton lehűlési törvénye – alkalmazás
Sherlock Holmes és a szomjas matematikus• Ttest − Tközeg kezdetben = ∆T0
• Ttest(t)− Tközeg egységnyi idő múlva = ∆T1
• ∆T1 = q∆T0 Megvan q!• Mikor lesz/volt a hőmérséklet-különbség egy adott érték? Milyen t-re lesz
∆T2 = qt∆T0? (logaritmus...)
További „italos” alkalmazások• Mikor tegyük a tejet a kávéba, hogy minél lassabban hűljön ki?• Mikorra józanodunk ki bizonyos mennyiségű alkohol elfogyasztása után?
Newton lehűlési törvénye – alkalmazás
Sherlock Holmes és a szomjas matematikus• Ttest − Tközeg kezdetben = ∆T0
• Ttest(t)− Tközeg egységnyi idő múlva = ∆T1
• ∆T1 = q∆T0 Megvan q!• Mikor lesz/volt a hőmérséklet-különbség egy adott érték? Milyen t-re lesz
∆T2 = qt∆T0? (logaritmus...)
További „italos” alkalmazások• Mikor tegyük a tejet a kávéba, hogy minél lassabban hűljön ki?• Mikorra józanodunk ki bizonyos mennyiségű alkohol elfogyasztása után?
A hővezetés elmélete – történelem
Joseph Fourier (1768–1830)• fizikus/matematikus/egyiptológus (hővezetés–üvegházhatás–Rosetta-kő...)• Napóleon tudományos tanácsadója• az Egyiptomi Intézet titkára, Alsó-Egyiptom kormányzója (1798)• Isère megye prefektusa (1801)
A hővezetés elmélete – történelem
A hővezetés analitikus elmélete (1822)• 1804-tól Grenoble-ban kutat (miközben megyét irányít, könyvet ír...)• 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corpes solides• 1811 Akadémiai díj• 1822 Akadémia titkára: Théorie analytique de la chaleur
A hővezetés elmélete – történelem
A hővezetés analitikus elmélete (1822)• 1804-tól Grenoble-ban kutat (miközben megyét irányít, könyvet ír...)• 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corpes solides• 1811 Akadémiai díj• 1822 Akadémia titkára: Théorie analytique de la chaleur
Fourier törvénye és a hővezetési egyenlet• Fourier törvénye ∼ Fick törvénye ∼ Ohm törvénye• hővezetési egyenlet
• Fourier-sorok... (zene, jelek)
A hővezetés elmélete – történelem
Szemelvények
A hővezetés elmélete – történelem
Szemelvények
„A természet elmélyült tanulmányozása a matematikai felfedezéseklegtermékenyebb forrása.”
A hővezetés elmélete – történelem
Szemelvények
„A matematika az emberi elme azon képessége, amelynek célja, hogy kárpótoljonaz élet rövidségéért és érzékszerveink tökéletlenségéért.”
A hővezetés elmélete – történelem
Vélemények• William Thomson, Lord Kelvin (1824–1907): 16 évesen olvassa
„Fourier nagyszerű matematikai költeménye”
• Arnold Sommerfeld (1868–1951):„a fizikusok bibliája”
A hangya és a gonosz manó
A hangya és a gonosz manó – a probléma
A kis hangya és a gonosz manó eseteEljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?
1 cms 1 m
s
Egy kis történelem• 1972. december, Science et Vie folyóirat, Denys Wilquin (New Caledonia):
„small creature on an elastic rope”• Martin Gardner, Scientific American („worm”)
A hangya és a gonosz manó – a probléma
A kis hangya és a gonosz manó eseteEljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez?
1 cms 1 m
s
Egy kis történelem• 1972. december, Science et Vie folyóirat, Denys Wilquin (New Caledonia):
„small creature on an elastic rope”• Martin Gardner, Scientific American („worm”)
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásA manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m
sA hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme =hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm
s sebessége+ gumi adott pontjának u távolodási sebessége
x(t)távolodási ütem= u =?
d+ V t
távolodási ütem= V
t idő múlva
u
V= x(t)d+ V t
x(t) = v + V
d+ V tx(t)
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásA manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m
sA hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme =hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm
s sebessége+ gumi adott pontjának u távolodási sebessége
x(t)távolodási ütem= u =?
d+ V t
távolodási ütem= V
t idő múlva
u
V= x(t)d+ V t
x(t) = v + V
d+ V tx(t)
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásA manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m
sA hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme =hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm
s sebessége+ gumi adott pontjának u távolodási sebessége
x(t)távolodási ütem= u =?
d+ V t
távolodási ütem= V
t idő múlva
u
V= x(t)d+ V t
x(t) = v + V
d+ V tx(t)
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásAki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy
a hangya távolsága a faltól x(t) = (d+ V t) · vV
log(
1 + V t
d
),
találkozási időpont T = d
V
(e
Vv − 1
),
találkozási hely x(T ) = d · eVv .
Mit is jelent ez?
Ha d = 1m, v = 1 cms , V = 1 m
s , akkortalálkozási időpont ∼ 2, 68 · 1043s ∼ 8, 5 · 1035 év,találkozási hely ∼ 2, 68 · 1043m ∼ 2, 8 · 1027 fényév.
Összehasonlításképpen:az univerzum életkora = 4 · 1017s ∼ 13 · 109 év,
az univerum átmérője = 8, 8 · 1023km ∼ 9, 3 · 1010 fényév.
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásAki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy
a hangya távolsága a faltól x(t) = (d+ V t) · vV
log(
1 + V t
d
),
találkozási időpont T = d
V
(e
Vv − 1
),
találkozási hely x(T ) = d · eVv .
Mit is jelent ez?Ha d = 1m, v = 1 cm
s , V = 1 ms , akkor
találkozási időpont ∼ 2, 68 · 1043s ∼ 8, 5 · 1035 év,találkozási hely ∼ 2, 68 · 1043m ∼ 2, 8 · 1027 fényév.
Összehasonlításképpen:az univerzum életkora = 4 · 1017s ∼ 13 · 109 év,
az univerum átmérője = 8, 8 · 1023km ∼ 9, 3 · 1010 fényév.
A hangya és a gonosz manó – megoldás
A megoldásAki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy
a hangya távolsága a faltól x(t) = (d+ V t) · vV
log(
1 + V t
d
),
találkozási időpont T = d
V
(e
Vv − 1
),
találkozási hely x(T ) = d · eVv .
Mit is jelent ez?Ha d = 1m, v = 1 cm
s , V = 1 ms , akkor
találkozási időpont ∼ 2, 68 · 1043s ∼ 8, 5 · 1035 év,találkozási hely ∼ 2, 68 · 1043m ∼ 2, 8 · 1027 fényév.
Összehasonlításképpen:az univerzum életkora = 4 · 1017s ∼ 13 · 109 év,
az univerum átmérője = 8, 8 · 1023km ∼ 9, 3 · 1010 fényév.
Üldözési problémák – a három kutya
A három/négy kutya/egér/teknősÉdouard Lucas (1842–1891) és Henri Brocard (1845–1922), 1877.
Üldözési problémák – a három kutya
A három/négy kutya/egér/teknősA pálya logaritmikus spirál.
Üldözési problémák – a három kutya
Logaritmikus spirál
Üldözési problémák – a három kutya
Spira mirabilisJakob Bernoulli (1654–1705)
Eadem mutata resurgo.(Bár megváltozva, mégis én magam kelek fel.)
Üldözési problémák – a három hokotró és egyéb esetek
A három hókotróMurray S. Klamkin, 1951.
Üldözési problémák – a három hokotró és egyéb esetek
A három hókotróMurray S. Klamkin, 1951.
„Alkalmazások” tárháza kimeríthetetlen• róka–nyúl• kutya–gazdi• naszád–tengeralattjáró• differenciáljátékok (Rufus Isaacs, 1951.)
Rómeó és Júlia
Rómeó és Júlia – a probléma
Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:
R(t) = −J(t).
Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:
J(t) = R(t).
KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?
MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.
Rómeó és Júlia – a probléma
Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:
R(t) = −J(t).
Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:
J(t) = R(t).
KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?
MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.
Rómeó és Júlia – a probléma
Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:
R(t) = −J(t).
Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:
J(t) = R(t).
KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?
MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.
Rómeó és Júlia – a probléma
Rómeó kissé „fura” (vagy inkább „nehéz ember”...)Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát:
R(t) = −J(t).
Júlia „normális”Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót:
J(t) = R(t).
KérdésHogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?
MegoldásCélszerű t 7→ (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon.
Rómeó és Júlia – megoldás
Fura Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t).
Rómeó és Júlia – megoldás
Fura Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t).
R
J
centrum
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Normális Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = J(t),J(t) = R(t).
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Normális Rómeó és normális JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = J(t),J(t) = R(t).
R
J
nyereg
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Fura Rómeó és hangulatfüggő JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + J(t).
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Fura Rómeó és hangulatfüggő JúliaMatematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + J(t).
R
J
fókusz
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia 2.Matematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + 2J(t).
Rómeó és Júlia – szerelmi kapcsolatok
Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia 2.Matematikailag (a legegyszerűbben):
R(t) = −J(t),J(t) = R(t) + 2J(t).
R
J
csomó
Rómeó és Júlia – történelem
Rómeó és Júlia szerelmeSteven Strogatz (1959–), Love Affairs and Differential Equations, 1988.
Rómeó és Júlia – Petrarca és Laura
Petrarca és LauraFrancesco Petrarca (1304–1374) Laura de Noves (1310–1348) ??
Rómeó és Júlia – Petrarca és Laura
Petrarca érzései Laura irántSergio Rinaldi, 1998.
Rómeó és Júlia – Lotka–Volterra-modell
LotkaAlfred James Lotka (1880–1949), 1925.
Rómeó és Júlia – Lotka–Volterra-modell
VolterraVito Volterra (1860–1940) (após), Umberto D’Ancona (1896–1964), 1926.
Kérdés: Adriai-tengerben az I. világháború alatt a zsákmányhalak száma csökkent,a ragadozó halak száma nőtt. Miért?
Rómeó és Júlia – Lotka–Volterra-modell
Lotka–Volterra-modellZsákmányhalak száma: x(t).Ragadozó halak száma: y(t).Halászat intenzitása: ε.
x(t) = ax(t)− bx(t)y(t)− εx(t),y(t) = −cy(t) + dx(t)y(t)− εy(t).
Következmény:
átlagos zsákmányszám = c+ ε
d,
átlagos ragadozószám = a− εb
.
A halászat növeli a zsákmányszámot, csökkenti a ragadozószámot.
Rómeó és Júlia – háború
Harci modellekFrederick William Lanchester (1868–1946), 1916.
Harc típusok: hagyományos, gerilla, vegyes harc
Homok és hegedűvonó
Homok és hegedűvonó – történelem
Az akusztika szülőatyjaErnst Chladni (1756–1827)
Homok és hegedűvonó – történelem
Chladni-ábrák1787: Robert Hooke (1635–1703) kísérletét megismétli
Homok és hegedűvonó – történelem
Akusztika1802: Chladni könyve az akusztikáról (Die Akustik)
Homok és hegedűvonó – történelem
Akusztika1802: Chladni könyve az akusztikáról (Die Akustik)
Homok és hegedűvonó – történelem
Akusztika1802: Chladni könyve az akusztikáról (Die Akustik)
Homok és hegedűvonó – történelem
1809• bemutatja a kísérletet Napóleonnak• francia kiadása Chladni könyvének• Akadémiai pályázat (3000 frank)
Homok és hegedűvonó – történelem
Sophie Germain (1776–1831)• 13 éves korában apja könyvtárában felfedezi a matematika könyveket• Gauss-szal levelezik számelméletről (M. Leblanc)• háromszor pályázik, harmadjára „Prix extraordinaire”• rugalmasságtan (biharmonikus egyenlet), számelmélet (Fermat-sejtés)
Irodalomjegyzék
Hatvani László – Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek aközépiskolában, Polygon, Szeged, 1997.
www.archive.org (eredeti művek digitálisan)
www.wikipedia.org (képek)
http://abesenyei.web.elte.hu/mattanar/15o/diffegy15o/diffegy15o.php (további érdekességek)
Vége
Köszönöm a figyelmet!