Séries de Fourier - Matemática da UFSCdaniel/matap/fourier1.pdf · Análise de Fourier SériesSéries IntegralIntegral Transformada discreta Transformada discreta Transformada...

Séries de FourierSéries de Fourier

Análise de Fourier

SériesSéries IntegralIntegral

Transformadadiscreta

Transformadadiscreta

TransformadaTransformadaTransformadarápida

Transformadarápida

Discretos Contínuos

Uma revisão

Funções periódicas

Séries de Fourier de senos e consenos

Funções periódicas com período 2L

Funções pares e ímpares

Séries em senos e cosenos de médio rango

Notação complexa da série de Fourier

Fourier, Joseph

Fourier, Joseph 1768-1830

Fourier, Joseph

Em 1807, Fourier submeteu um trabalho á Academia de Ciências de Paris. Neste trabalho apresentou a modelagem da equação de calor e o método de separação de variáveis. O trabalho, avaliado por Laplace, Lagrange e Lagendre foi rejeitado por falta de rigor matemático. Entretanto, o resultado foi considerado promissório e a academia colocou premio para sua resolução. Em 1822, Fourier finalmente publicou sua clássico Theorie analytique de la chaleur, estabelecendo os fundamentos do método de separação de variáveis e as séries, integral e transformada de Fourier.

Funções Periódicas

Definição: Função Periódica

Uma função f(x) é dita periódica com período T se para todo x

)()( xfTxf =+

T

f(x)

x

Funções Periódicas

f(x+p)=f(x), f(x+np)=f(x)Se f(x) e g(x) têm período p, então a função H(x)=af(x)+bg(x) , também tem período p.O menor período de uma função f(x), p(p >0), é chamado como períodofundamental de f(x)

Funções Periódicas

ExemplosFunções co-senos: cosx, cos2x, cos3x, …

Funções senos: sinx, sin2x, sin3x, …

eix, ei2x, ei3x, …

e-ix, e-i2x, e-i3x, …

Séries de Fourier de senos e co-senos

Lema: Um base de funções Trigonométricas é Ortogonal se

)( ,0coscos nmnxdxmx ≠=∫−π

π

)( ,0sinsin nmnxdxmx ≠=∫−π

π

),( ,0sincos nmanynxdxmx =∫−π

π

Séries de Fourier de senos e co-senos

A representação de uma função f(x) (com período 2π) em senos e co-senos:

[ ][ ]

( )∑∞

=

++=

++++++++=

10

321

3210

sincos

3sin2sinsin 3cos2coscos)(

nnn nxbnxaa

xbxbxbxaxaxaaxf

Fórmulas de Euler

∫ −=π

ππdxxfa )(

21

0

∫−=π

ππnxdxxfa n cos)(1

∫−=π

ππnxdxxfb n sin)(1

Séries de Fourier de senos e co-senos

Prova:

( )

n

n

n

n

nnn

a

a

xdxnnxdxnna

nxdxnxa

nxdxnxbnxaa

nxdxxf

=

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

∫ ∫

∫

∫ ∑

∫

− −

−

−

∞

=

−

ππ

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

221.

)cos(21)cos(

21

coscos1

cossincos1

cos)(1

10

Séries de Fourier de senos e co-senos

Exemplo 1: Achar os coeficientes de Fourier para a função

Solução:

0)(2

10 == ∫ −

π

ππdxxfa

)()2(0 ,

0 ,)(

xfxfxk

xkxf

=+⎩⎨⎧

<<<<−−

=

ππ

π

Solução:

0

sinsin

coscos)(1

cos)(1

0

0

0

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

=

−

−

−

∫∫

∫

π

π

π

π

π

π

π

π

π

nnx

nnxk

nxdxknxdxk

nxdxxfa n

Solução:

[ ]

⎩⎨⎧

==

=−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

=

−

−

−

∫∫

∫

2,4,6,n ,01,3,5,n ,2

cos1

cos12

coscos

sinsin)(1

sin)(1

0

0

0

0

π

ππ

π

π

π

π

π

π

π

π

π

n

nn

k

nnx

nnxk

nxdxknxdxk

nxdxxfbn

Funções periódicas com período 2L

Uma função periódica f(x) com período 2L

2L

f(x)

x

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

10 sincos)(

nnn L

xnbL

xnaaxf ππ

Logo

∫ −=L

Ldxxf

La )(

21

0

∫−=L

Ln dxL

xnxfL

a πcos)(1

∫−=L

Ln dxL

xnxfL

b πsin)(1

Onda quadrada periódica

Onda quadrada

2,221,0

11 ,12 ,0

)(

==

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<<<−

−<<−=

LLpx

xkx

xf

Funções pares e ímpares

Dizemos que uma função f(x) é par se

Dizemos que uma função f(x) é ímpar se

)()( xfxf =−

)()( xfxf −=−

A extensão periódica de f

)()( xfxf =− )()( xfxf −=−

f(x)

x

f(x)

x

Par Ímpar

Propriedades

O produto de uma função para com uma ímpar é ímpar.

evenisxfifdxxfdxxfLL

L )( ,)(2)(

0∫∫− =

oddisxfifdxxfL

L )( ,0)(∫− =

se

se

for par

for ímpar

Série de Fourier de Co-senos

Série de Fourier de Senos

∑∞

=

+=1

0 )( ,cos)(n

n evenisxfifL

xnaaxf π

∑∞

=

=1

)( ,sin)(n

n oddisxfifL

xnbxf π

se é par

se é ímpar

Combinações de funções

Os coeficientes da soma de f1+f2 são a soma dos correspondentes coeficientes de Fourier de f1 e de f2.

Os coeficientes de Fourier de cf são cvezes os correspondentes coeficientes de Fourier de f.

Teorema de convergência de Fourier

Seja f(x) periódica de período 2L com primeiras derivada contínua em [-L,L], exceto possivelmente em um número finito de pontos. Então, para qualquer x em (-L,L) onde f(x) e f’(x) são contínuas temos que

)sincos(lim2

)(1

0 ∑=

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

n

kkkn L

xkbL

xkaa

xf ππ

)sincos(2

)(1

0 ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

kkk L

xkbL

xkaa

xf ππ

ou

Exemplo: obter a SF de:

Como f é ímpar também e então a0 =0 e

Para n≥1

Assim temos que

ímparpar

exemplos

degrau unitário : f(x)=1 sempre que -1<x<1 , senão f(x)=0

6 termos 15 termos

dente de serra:

onda quadrada:

onda triangular:

Forma complexa para a Série de Fourier

inx

nn ecxf ∑

∞

−∞=

=)(

∫−−=

π

ππdxexfc inx

n )(21

( )∑∞

=

++=1

0 sincos)(n

nn nxbnxaaxf

E para uma função periódica f(x) com período 2L

Lxin

nn ecxf

π

∑∞

−∞=

=)(

∫−−

=L

LL

xin

n dxexfL

cπ

)(21