transformada rapida de fourier y transformada discreta de fourier

IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS

Señales determinísticos de tiempo discreto

1

CONTENIDO

Analisis de Fourier de señales deterministicas de tiempo discreto

Densidades espectrales de energía y de potencia de señales discretas

La transformada discreta de Fourier Análisis de sistemas de tiempo discreto Los operadores de adelanto y de retardo Propiedades de las señales tratadas por

sistemas de tiempo discreto resumen

2

Analisis de Fourier de señales deterministicas de tiempo discreto

3

SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO Notacion:

u es la señal de tiempo continuo que, posiblemente, sea la causa de la señal de tiempo discreto

4

ud(k) := u(kTs)

Frecuencia de muestreo 2s sw T.

k =1, 2, ···.

PROPIEDADES DE LAS SEÑALES

Energia

Potencia

5

2u d

k

u k

1

2

0

1 N

u dk

P u kN

SERIES DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO Sea ud(k) una señal de tiempo discreto

periodica. La serie Fourier de tiempo discreto de la señal está dada por

6

0

0

21

0

N i lkN

d ll

u k a e

0

0

21

00

1 N i lkN

l dk

a u k eN

ω0 = 2π/(N0Ts) período N0

Los coeficientes son tambien periodicos

SERIES DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO Y CONTINUO

7

0

0

21

0

N i lkN

d ll

u k a e

0

0

21

00

1 N i lkN

l dk

a u k eN

0ikw tk

k

u t c e

0

00

1 ikw tk

T

c u t e dtT

Caso discreto Caso continuo

SEÑAL PERIÓDICA DE TIEMPO DISCRETO

8

Señal

0

0

21

00

1 N i lkN

l dk

a u k eN

periodicos !

Coeficientes de la serie

POTENCIA DE LAS SEÑALES PERIÓDICAS

9

0 11

22

0 00

1 NN

u d lk l

P u k aN

Cada función exponencial en u tiene una contribución independiente a la potencia de la señal

Solo N0 valores !!

TRANSFORMADA DE FOURIER PARA TIEMPO DISCRETO La Transformada de Fourier para señales

muestreadas (de tiempo discreto) está dada por

10

: siwkTs d

k

U w u k e

22

s

s

iw k Tsd s

T

Tu k U w e dw

La transformada es una funcion continua en w

TRANSFORMADA DE FOURIER PARA TIEMPO DISCRETO

La Transformada de Fourier de la señal de tiempo discreto ud está dada por

11

: siwkTs d

k

U w u k e

22

s

s

iw k Tsd s

T

Tu k U w e dw

Ya que k es un entero, la transformada Us(ω) es una

función periódica de período 2π/Ts = ωs


La Transformada de Fourier de la señal de tiempo discreto ud está dada por

12

: siwkTs d

k

U w u k e

22

s

s

iw k Tsd s

T

Tu k U w e dw

La integral se puede tomar sobre cualquier rango de ω con longitud 2π/Ts,


13

Señal Transformada

las señales en verde son las equivalentes para tiempo continuo

TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SEÑALES DE TIEMPO FINITO

Las señales de tiempo finito que están definidas en el intervalo [0,N], (o, estrictamente, entre [0,NTs])

14

1

0

: s

NiwkT

N dk

U w u k e

Solo N valores !!

: siwkTs d

k

U w u k e

TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS Para una señal periódica con período T0 los coeficientes

de la serie de Fourier pueden estar directamente relacionados con una transformada de Fourier de tiempo finito,

tomada durante un período de la señal periódica

15

0 0

0

1l Na U l w

N

0

0

21

0

N i lkN

d ll

u k a e

0

0

21

00

1 N i lkN

l dk

a u k eN

1

0

: s

NiwkT

N dk

U w u k e

TRANSFORMADA DE FOURIER DE UN TREN DE IMPULSOS

16

Señal Transformada

POTENCIA DE LAS SEÑALES PERIÓDICAS

17

0 11

22

0 00

1 NN

u d lk l

P u k aN

0 0

0

1l Na U l w

N

0 0

0

1 122

020 00

1N N

u k Nk k

P a U kwN

La potencia de la señal se puede calcular a partir de la Transformada de Fourier

Densidades espectrales de energía y de potencia de señales discretas

18

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA

Para una señal de energía ud(k)

19

Donde Ψu(ω) es la Densidad Espectral de Energía

22

s

su u

T

Tw dw

2

u sw U w

DENSIDAD ESPECTRAL POTENCIA

Para una señal de potencia

20

Donde Φu(ω) es la Densidad Espectral de Potencia

22

s

su u

T

TP w dw

21

u Nw U wN

PERIODOGRAMA

Para señales de potencia finita la cantidad

se denomina el periodograma de la señal de tiempo discreto (de tiempo finito).

21

21u Nw U w

N

DENSIDAD ESPECTRAL DE SEÑALES PERIÓDICAS

Para señales periódicas la densidad espectral de potencia puede ser calculada directamente en base a los coeficientes de Fourier de tiempo discreto

22

0 12

0

N

u ll

P a

2

0

2u k c

ks

w a w kwT

La transformada discreta de Fourier

23

TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SEÑALES DE TIEMPO FINITO

Las señales de tiempo finito que están definidas en el intervalo [0,N], (o, estrictamente, entre [0,NTs])

24

1

0

: s

NiwkT

N dk

U w u k e

Solo N valores !!

: siwkTs d

k

U w u k e

TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS DE TIEMPO FINITO Si restringimos la atención a la situación de

señales de tiempo finito, la DTFT de tiempo finito esta dada por el par:

25

1

0

s

NiwkT

N dk

U w u k e

21

0

1 lN i kN

d N sl

lu k U w e

N N

22

s

s

iw k Tsd s

T

Tu k U w e dw

TRANSF. DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS DE TIEMPO FINITO

26

1

0

s

NiwkT

N dk

U w u k e

21

0

1 lN i kN

d N sl

lu k U w e

N N

Observese que mientras UN(ω) toma sus valores en una

región continua de ω, para reconstruir la señal original ud

sólo son necesarios N valores discretos de UN .

LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

Esta secuencia, UN(ω) , = 0, …N – 1}, se denomina la Transformada discreta de Fourier (DFT) de la señal ud(k)

27

21

0

1 lN i kN

d N sl

lu k U w e

N N

N s

lU w

N

LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER La Transformada discreta de Fourier (DFT)

28

1 2 .

0

lkN iN

d N s dk

lU l U w u k e

N

¿Qué se puede observar?


29

1 2 .

0

lkN iN

d N s dk

lU l U w u k e

N

Es periódica con un período de 2π/Ts.

1


30

1 2 .

0

lkN iN

d N s dk

lU l U w u k e

N

Constituye un mapeo uno a uno de una secuencia de longitud N de muestras en el dominio del tiempo a una secuencia de longitud N de

muestras en el dominio de la frecuencia

2


31

1 2 .

0

lkN iN

d N s dk

lU l U w u k e

N

Debido a razones de simetría, la DFT satisface UN(−ω) = UN(ω)∗

3

LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER La Transformada discreta de Fourier inversa

32

4

21

0

1 lN i kN

d N sl

lu k U w e

N N

La DFT inversa, también define una secuencia en el dominio del tiempo fuera del intervalo [0, N − 1].

Induce una extensión periódica de la secuencia original ud(k), ya

que la señal reconstruida es periódica con período N

LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER PARA TS = 1

En muchas situaciones las señales de tiempo discreto son analizadas sin tener en cuenta el hecho que ellas provienen de señales muestreadas en tiempo continuo

33

1

0

Niwk

N dk

U w u k e

21

0

1 2 lN i kN

d Nl

lu k U e

N N

¿Preguntas?

34

COMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

Para el calculo de la transformada discreta de Fourier, un computador digital únicamente trabaja con datos discretos de u(t), k = 0, …, N – 1.

Además debe calcular la transformada sólo en valores discretos de w, es decir,

35

d N s

lU l U w

N

0, , 1l N

COMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER Recalquemos que se debe calcular la

transformada sólo en valores discretos de w,

36

1 2 .

0

lkN iN

N s dk

lU w u k e

N

0, , 1l N

COMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

Es decir, para calcular la transformada es necesario usar solo las primeras N funciones exponenciales complejas periódicas

37

20

1k

iNe

2 k

i lNe 2

1k

i NNe , ,, ,

COMPUTO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER INVERSA Tambien se observa que

La DFT inversa es un polinomio trigonométrico de interpolación de grado ≤ N – 1 para las señales discretas de tiempo finito .

38

21

0

1 lN i kN

d N sl

lu k U w e

N N

FORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE FOURIER

Se puede reformular la serie discreta Fourier en forma vectorial

Definiendo

39

11, , , , ,

Tk k l k N

N N N Nw k w w w

2 2 2cos sin

iN

Nw e iN N

FORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE FOURIER Entonces

40

Td N du k w k U

0 , , 1T

dU U U N

21

0

1 lN i kN

d N sl

lu k U w e

N N

FORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE FOURIER Considerando

se puede escribir

41

0 , , 1T

du u u N

0

1

N

d dN

N

w

u Uw k

w N

LA MATRIZ DE FOURIER Definimos la matriz de Fourier WN dada por

entonces

42

d N du W U

l kN NW w

FORMA VECTORIAL DE LA TRANS. DISCRETA DE FOURIER La transformada discreta de Fourier esta

dada en terminos de las matrices de Fourier se expresa por el par

43

1d N dU W u d N du W U

1 l kN NW w l k

N NW w

MATRIZ DE FOURIER PARA N = 4 Por ejemplo, para N = 4

44

2 34 4 4

4 2 4 64 4 43 6 94 4 4

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

w w w i iW

w w w

w w w i i

ud(k), k = 0, 1, 2, 3

CARGA COMPUTACIONAL DE LA TRANSFORMADA FOURIEREn general, el cálculo de todos los

coeficientes de Fourier discretos de una señal muestreada N veces requiere un total de N2 multiplicaciones complejas y sumas complejas

Similarmente, dados los coeficientes de Fourier, la reconstrucción de la señal muestreada requiere de N2 – N multiplicaciones complejas y N2 – N sumas complejas.

45

TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER

James Cooley y John Tukey descubrieron un algoritmo mucho más eficiente

La Transformada rápida de Fourier (FFT)

46

número de cálculos aproximado: disminuye en orden desde N2

a Nlog (N)

Requerimiento: N = 2n , n entero

Propiedades de las señales tratadas por sistemas de tiempo discreto

47

EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Para un sistema LTI de dimension finita con señal de entrada u(t)

48

Y w G i U w

2

y uw G i w

2

y uw G i w

Transformada de Fourier

Densidad espectral de energía

Densidad espectral de potencia

Resumen

49

ANALISIS DE FOURIER PARA SEÑALES

50

FUENTES Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for

Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004

Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003

Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham. 2003.

Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.

Moler C. and Moler K., Numerical Computing with MATLAB. The MathWorks, Inc. and Stanford University. 2003.

Basile G. and Marro G., Controlled and Conditioned Invariants in Linear Systems Theory. Department of Electronics, Systems and Computer Science. University of Bologna, Italy. October 7, 2002

Tham M.T., Dynamic Models for Controller Design. Department of Chemical and Process Engineering. University of Newcastle upon Tyne. 1999

51

http://www.eas.asu.edu/~tsakalis

ULTIMA DIAPOSITIVA

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transformada rapida de fourier y transformada discreta de fourier

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