-
Sveuulite J.J Strossmayer
Elektrotehniki fakultet Osijek
Razlikovna godina
FRAUNHOFEROV OGIB SVJETLOSTI
NA PUKOTINI I HEISENBERGOVE
RELACIJE NEODREENOSTI
bacc. ing. Antonio Pu bacc. ing. Nemanja Niki
bacc. ing. Tomislav Renduli bacc. ing. Zvonimir Mor
bacc. ing. Mario Juri bacc. ing. Matija Babi
bacc. ing. Tvrtko Cvetani bacc. ing. Davor Gregani bacc. ing.
Vedran Tukera
bacc. ing. Antonio Horvat bacc. ing. Filip Mikuli
bacc. ing. Ivan Ljusavec
Osijek, 2014
-
1. Uvod
Difrakcija ili ogib svjetlosti predstavlja prividno skretanje
svjetlosti sa pravca u kojem se svjetlost prostire prilikom
nailaenja na otvor ili prepreku.
Ogib se zbiva prema Hygens-ovom principu odnosno da svaka toka
obasjane pukotine postaje izvor novog elementarnog vala i iri se u
smjeru napredovanja vala. Kada je irina pukotine vea od valne
duljine, interferencijom elementarnih kuglastih valova u odreenim
dijelovima prostora iza pukotine nastaje valno gibanje, a u drugim
se valno gibanje ponitava. Ako je irina pukotine manja od valne
duljine, tada je rezultat interferencije tih valova kuglasti val u
cijelom prostoru iza pukotine.
Interferencija svjetlosti je preklapanje dvaju ili vie valova
svjetlosti. Interferenciju je mogue uoiti ako su ispunjena dva
uvjeta: izvori moraju biti koherentni (razlika u fazi izmeu valova
iz dva izvora svjetla je konstantna u vremenu (stalna razlika u
fazi)) i drugi uvjet da izvori moraju biti monokromatski, odnosno
iste frekvencije.
Koherentni izvor svjetla moemo dobiti pomou lasera, dok
nekoherentno pomou arulje sa arnom niti ili fluorescentne
arulje.
Trenutno postoje dvije teorije prirode svijetlosti. Prva je
postavio Isaac Newton, te ona kae da je svijetlost snop estica koje
se gibaju velikom brzinom. Drugu teoriju je postavio Christiaan
Huygens, koji je smatrao da je svijetlost impuls koji se kree kroz
neko elastino sredstvo. Potvrdu svoje teorije dobio je
eksperimentima Thomasa Younga demonstrirajui interferenciju valova
na dva bliska otvora. Ovaj pokus mu je pomogao doi do zakljuka da
se svjetlost prostire kao val, nasuprot tvrdnjama mnogih
znanstvenika da svjetlost ima estinu prirodu.
Meutim tek je Albert Einstein pretpostavio dualnu prirodu
svjetlosti. On je smatrao da se svjetlsot sastoji od kvanata
svjetlosti koji mogu imati valna i estina svojstva.
U ovom radu razmatrat emo Fraunhoferov ogib, tj. difrakciju kod
koje se promatraju paralelni snopovi svjetlosti te se smatra da je
izvor svjetlosti u beskonanosti i da su valne fronte ravnine.
Budui da u praksi ne moemo imati izvor beskonano udaljen od
zaslona, moemo aproksimirati fraunhoferov ogib ako vrijedi izraz
(1).
2
1W
L
-
U naem sluaju promatrat emo sustav koji se sastoji od lasera
valne duljine 632,8nm, pukotine 0,1mm, udaljene do zaslona 1140mm.
Kad to uvrstimo u izraz (1) dobijemo da ovako zadan sustav moemo
promatrati kao da imamo Fraunhoferov ogib.
Kad valna fronta doe na pukotinu koju podijelimo u tanke pruge
irine dx, one e se ponaati kao izvori novog elementarnog
cilindrinog vala koji se iri u svim smjerovima. Svaki element pruge
pukotine pridonosi ukupnom intenzitetu u toki P, ali budui da
udaljenost koju mora proi val A (slika 2) nije jednaka udaljenosti
vala B javit e se pomak u fazi izmeu tih valova.
Slika 1. Fraunhoferova difrakcija
Slika 2. Difrakcija na jednoj pukotini
Interferencijom tih valova (A i B) na pojedinima mjestima na
zaslona doi e do konstruktivne ili destruktivne interferencije, tj.
pojaanja ili priguenja intenziteta svijetlosti u toki P na osi x
zaslona. Rezultat toga je vidljiv na slici 3.
Slika 3. Intenzitet svjetlosti difrakcije u odnosu na poloaj od
osi reetke
-
Razlika u fazi izmeu vala iz toke A i onog iz toke s koordinatom
x je:
2sin sinj x kx
= =
(2)
Valovi u krajnjim toaka najvie se razlikuju u fazi i to za
sinmj ka = (3)
Elektrino polje, koje u toki P dolazi valom iz djelia pukotine
dx koje je poloaj odreen koordinatom x, moe se prikazati
funkcijom:
0 cos( )dx
dE E t ja
= +
(4)
gdje je faktor 1/a dodan da bi relacija bila dimenzionalno
ispravna i da bi ukupna amplituda bila E0
kada je = 0. Relaciju moemo prikazati i pomou realnoga dijela
eksponencijalne funkcije s
imaginarnim eksponentom:
( )0
i t dxE E ea
+=
(5)
Rezultantno titranje u toki P dobiva se zbrajanjem svih
elementarnih titranja, uzevi u obzir njihovu razliku u fazi.
( ) sin00
0 0
a ai t i t ikxEdxE E e e e dx
a a += =
(6)
rjeavanjem dobijemo:
sin
0
1
sin
ikxi teE E e
ika
=
(7)
Intenzitet svjetlosti razmjeran je prosjenoj vrijednosti
kvadrata amplitude elektrinog polja:
*1
2I EE
=
(8)
Raspodjela intenziteta po kutu :
2
0 2
sinsin
2
sin2
ka
I Ika
=
(9)
gdje je I0 intenzitet sredinjeg maksimuma, tj. intenzitet za =
0. Zamjenom sa:
sinsin
2
ka ay
= =
(10)
formula poprima jednostavniji oblik:
-
2
0 2
sin yI I
y=
(11)
Za = 0 dobivamo sredinji maksimum: tada je y = 0 i siny = 0, pa
je i I = I0. Minimumi nastaju uvijek kada je siny = 0 (za y 0).
Uvjet za minimum glasi:
sinn
a
= n=1,2,3, (12)
-
2. Eksperimentalni dio
Mjerenje raspodjele intenziteta svjetlosti
pri Fraunhoferovom ogibu svjetlosti na pukotinama
Na sl. 4. prikazan je eksperimentalni postav za mjerenje
raspodjele intenziteta svjetlosti pri
Fraunhoferovom ogibu svjetlosti na pukotinama. Eksperimentalni
postav sastoji se od:
a) lasera He-Ne
b) kliznog okvira
c) fotoelmenta
d) voltmetra
e) univerzalnog mjernog pojaala
f) optike profilne-klupe
g) spojnog kabla
Slika 4. Eksperimentalni postav
Vano: Radi osiguranja konstantne jakosti svjetla lasera, laser
treba ukljuiti pola sata prije
poetka eksperimenta, mjerenje treba obavljati u tamnoj sobi ili
u sobi sa konstantnim
-
svjetlom, ako to nije mogue, ispred fotoelije se moe staviti to
dua cijev (promjera oko
4cm) pocrnjena sa unutranje strane.
Postupak pri mjerenju sastoji se od nekoliko koraka:
1. korak: Pukotine irine d = 0,1mm postavite na udaljenost b
=1140 mm od fotoelementa.
2. korak: Najprije traite poloaj glavnog maksimuma i oitavate
pripadnu vrijednost napona
na voltmetru. Vrijednost koja je postavljena na kotaiu za
pomicanje fotoelementa uzimamo
kao nau referentnu vrijednost, tj. nulu.
3. korak: Okretanjem kotaia za pomicanje fotoelementa u jednu
stranu promatrate kako se
vrijednosti napona na voltmetru mijenjaju.
4. korak: Kada se fotoelement nalazi na mjestu prvog minimuma (
poloaj u kojem voltmetar
pokazuje najmanji napon na U) oitajte udaljenost fotoelementa od
poetnog poloaja i
njemu pripadajui napon. Jedan okret kotaia za 360 pomakne
fotoelement za 0,5mm.
5. korak: Taj postupak nastavite sve dok ne oitate vrijednosti i
za 2. minimum te 1. i 2.
Maksimum
6. korak: Isti postupak ponovite za pukotinu irine d = 0,2mm na
udaljenosti b = 1031mm od
fotoelementa.
a) Valni pristup:
Kada paralelna, monokromatska i koherentna zraka svjetlosti
valne duljine prolazi kroz otvor
irine d na zaslonu se pojavljuje uzorak loma za glavni maksimum
i nekoliko sekundarnih
(sporednih) maksimuma.
Slika. 5. Difrakcija (Franhofer) na velikoj udaljenosti
-
Intenzitet svjetlosti I, kao funkcija kuta otklona , u skladu sa
Kirchoffovom formulom
otklona:
2sin
( ) (0)I I
=
(14 )
Gdje je
sind= (15)
Poloaj minimuma je:
dnn
arcsin= , gdje je n= 1, 2, 3, .... (16)
Kut za pojavljivanje maksimuma je:
o00 =
1 arcsin 1.430d
=
(17)
Relativne visine sekundarnih maksimuma:
)0(0472.0)( 1 II = (18)
)0(0165.0)( 2 II =
Intenzitet svjetlosti (I) je proporcionalan oitanom naponu (U)
na voltmetru pa relacije (18)
moemo provjeriti preko napona:
)0(0472.0)( 1 UU =
)0(0165,0)( 2 UU = (19 )
2 arcsin 2.459d
=
-
Pozicije maksimuma i minimuma se raunaju preko pravokutnog
trokuta:
Slika 6.
b
atg =
(20)
gdje vrijedi:
za minimume:
kut pojavljivanja minimuma
b = 1140 mm (udaljenost pukotine od fotoelementa)
a = udaljenost promatranog minimuma od glavnog maksimuma
za maksimume:
kut pojavljivanja maksimuma
b = 1140 mm (udaljenost pukotine od fotoelementa)
a = udaljenost promatranog maksimuma od glavnog maksimuma
b) Kvantno-mehaniki pristup:
Heisenbergov princip neodreenosti kae da dvije kanoniki
konjugirane veliine kao poloaj
i koliina gibanja ne mogu biti tono odreene u istom trenutku.
Ako uzmemo, za primjer,
ukupan broj fotona ija je gustoa vjerojatnosti opisana funkcijom
fy i ija je koliina gibanja
(impuls) opisana funkcijom fp. Neodreenost poloaja y i koliine
gibanja p je definirana
standardnim devijacijama kao:
4h
py (21)
-
gdje je 34106262.6 =h Js , Planckova konstanta (konstanta
akcije). Za niz fotona koji
prolaze kroz pukotinu irine d, izraz je:
y=d (22)
Meutim, fotoni ispred pukotine se gibaju samo u smjeru okomito
na ravninu pukotine (x-
smjer), no nakon prolaska kroz pukotinu imaju i komponentu u
y-smjeru.
Koristimo prvi minimum da bi definirali neodreenost brzine (sl.
7. a i b).
Slika 7. Geometrija difrakcije na jednoj pukotini:
a) poloaj prvog minimuma, b) komponenta brzine fotona
1sin= cv y (23)
gdje je 1 kut prvog minimuma.
Neodreenost koliine gibanja je dakle:
1sin= cmp y (24)
gdje je m masa fotona i c brzina svjetlosti.
Koliina gibanja i valna duljina estice su povezani de
Broglie-vom relacijom:
cmph ==
(25)
Prema tome,
1sinh
p y =
(26)
Iz (16) kut prvog minimuma je:
-
d
=1sin (27)
Ako uvrstimo (27) u (26) i (22) dobijemo jednadbu
neodreenosti:
hpy y == (28)
Ako je irina stranice y manja, prvi min. difrakcijske slike se
dogaa pod veim kutovima
1. U naem eksperimentu kut 1 je odreen poloajem prvog minimuma
(Slika 7. a):
b
atg =1 (29)
Ako uvrstimo (29) u (26) dobivamo:
sinyh a
p arctgb
=
(30)
Uvrtavanje (22) i (30) u (28), nakon dijeljenja s h, daje:
sin 1d a
arctgb
=
(31)
Rezultati mjerenja potvruju (31) unutar granica pogreaka.
-
3. Rad u laboratoriju
Zadatak 1:
Izmjerene vrijednosti napona i poloaja klizaa s fotoelementom
glavnog i sporednih
minimuma i maksimuma unesite u tablice. Za mjerenja s pukotinom
irine d = 0.1 mm na
udaljenosti b =1140 mm od pukotine.
Tablica 1.
D=0,1 mm a (mm) U (mV) a (mm) U (mV)
Glavni max. 0 2,43 0 2,43
1. min -8,25 -0,1 7,75 0
1. max -11,25 -0,19 10,75 0,1
2. min -17,75 -0,18 14,5 0
2. max -15,5 -0,26 17,5 0,04
Zadatak 2:
Izmjerene vrijednosti napona i poloaja klizaa s fotoelementom
glavnog i sporednih
minimuma i maksimuma unesite u tablice za mjerenja s pukotinom
irine d = 0.2 mm na
udaljenosti b =1031 mm od pukotine.
Tablica 2.
D=0,2 mm a (mm) U (mV) a (mm) U (mV)
Glavni max. 0 16,45 0 16,45
2. min -2,5 0,2 2,25 0,28
3. max -5 0,77 3,5 0,73
4. min -7 0,21 5,5 0,29
2. max -8,5 0,34 7,25 0,51
-
Zadatak 3:
Vrijednosti a i b za prvi minimum uvrstite u izraz (31) i
utvrdite koliki je izmjereni
koeficijent za obje pukotine. Popunite tab. 3 (=632.8 nm)
Tablica 3.
irina pukotine d/mm Prvi minimum a/mm Udaljenost pukotine
od fotoelementa b/mm )sin(
b
aarctg
d
0.101 7.75 1140 1.09
0.202 3.5 1031 1.084
Zadatak 4:
Za dobivenu vrijednost u zadatku 3. odredite tonost mjerenja u
odnosu na oekivanu
vrijednost (za obje pukotine).
Oekivana vrijednost prema izrazu (31) iznosi 1, te iz toga
slijedi:
%0,101
%0,202
1,009 1100% 0,9%
11,084 1
100% 8,4%1
p
p
= =
= =
-
4. Analiza rezultata
Zadatak 1:
a) Koristei relaciju (16) izraunajte kutove pojavljivanja
minimuma.
=632,8 nm arcsin , 1,2,3,...n n nd = =
Tablica 4.
d (mm) 1 2
0,101 0,359 0,718
0,202 0,179 0,359
b) Koristei relaciju (17) izraunajte kutove pojavljivanja
maksimuma. (Kutove izrazite
u stupnjevima.)
=632,8 nm , 1 arcsin 1,430d =
, 2 arcsin 2,459d
=
Tablica 5.
d (mm) 1 2
0,101 0,513 0,883
0,202 0,266 0,441
-
Zadatak 2:
a) Odredite visine sekundarnih maksimuma pomou jednadbi (19) kao
omjere
intenziteta svjetlosti )0(
)(
I
I n ,(oitane kao :)0(
)(
U
U n ) za izraunate i eksperimentalno
odreene kutove , gdje je n broj sekundarnog maksimuma.
( ) ( )( ) ( )
1
2
0,0472 0
0,0165 0
U U
U U
=
=
Za sluaj d=0,101 mm
1
2
( ) 0,11.max 0,0412
(0) 2,43
( ) 0,042.max 0,0165
(0) 2,43
U
U
U
U
= = =
= = =
Za d=0,202 mm
1
2
( ) 0,771.max 0,0468
(0) 16,45
( ) 0,342.max 0,0207
(0) 16,45
U
U
U
U
= = =
= = =
b) Procijenite tonost mjerenja eksperimentalno dobivenih visina
sekundarnih
maksimuma.(Prihvaene vrijednosti visina sekundarnih maksimuma
dane su u izrazu
(19).)
%0,101( 1)
%0,101( 2)
0,0412 0,0472100% 12,7%
0,0472
0,0165 0,0165100% 0%
0,0165
k
k
p
p
=
=
= =
= =
%0,202( 1)
%0,202( 2)
0,0468 0,0472100% 0,8%
0,0472
0,0207 0,0165100% 25,45%
0,0165
k
k
p
p
=
=
= =
= =
-
Zadatak 3:
Nacrtajte graf ovisnosti intenziteta svjetlosti I (oitane preko
napona U) o udaljenosti a (iz tab
l. i tab 2.) kao funkciju I =f (a) - pretpostavite da su
izmjerene vrijednosti jednake
(simetrine) na obje strane grafa.
Graf 1. Ovisnost intenziteta o udaljenosti a za pukotinu
d=0,101mm
Graf 2. Ovisnost intenziteta o udaljenosti a za pukotinu
d=0,202mm
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
U (
mV
)
a (mm)
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-10 -5 0 5 10
U (
mV
)
a (mm)
-
Usporedba simulacije i izmjerenih veliina
Na kraju ovog rada radili smo raunalnu simulaciju ogiba
svjetlosti za pukotinu od 0,101
mm, te smo dobivene rezultate simulacije usporedili sa
izmjerenim vrijednostima.
Graf 3. prikazuje intenzitete dobivene raunski i pomou
simulacije
Graf 3. Intenzitet dobiven raunski i eksperimentalno
Iz navedenog grafa moemo primijetiti da imamo znaajno odstupanje
na kraju mjerenja to
moe biti kako posljedica promjene vanjskog intenziteta
osvjetljenja u laboratoriju, ili
vanjskih meteorolokih uvjeta. Prilikom podeavanja fotoelementa
kalibrirali smo ga samo na
poetku izvoenja mjerenja i u tom dijelu se rezultati poklapaju
sa oekivanima
vrijednostima.
Ova pogreka bi se prilikom mjerenja mogla smanjiti ako tokom
mjerenja na vie mjesta
provjeravamo dali fotoelement pokazuje istu vrijednost kad nije
obasjan laserskom
svjetlou, te po potrebi zapisivati potrebne korekcije vanjskog
intenziteta svijetla.
-0,2000
0,0000
0,2000
0,4000
0,6000
0,8000
1,0000
1,2000
-30 -20 -10 0 10 20 30
I
N
T
E
N
Z
I
T
E
T
UDALJENOST (mm)
=632,8nm, L=1140mm, n=1, 0.1mm
Intenzitet
ekperimentalno
Intenzitet
simulacija
-
Budui da je graf simetrian sa ishoditem, prilikom izrauna
pogreaka koristili smo samo
lijevu (toniju) polovicu grafa u tablici 6.
Tablica 6. prikazuje dobivene vrijednosti minimuma i maksimuma
za simulaciju i
eksperimentalini dio, te odstupanja eksperimentalnog dijela.
Tablica 6.
Udaljenost Intenzitet Udaljenost Intenzitet Razlika Odstupanje
Oekivani Odstupanje Odstupanje
simulacija simulacija eksperiment eksperiment udaljenosti %
intenziteti simulacija eksperiment
Glavni
max 0 1 0 1 0
1 0 0
1.min 7,5 0 8 0,04 0,5 6,67%
1.max 10,5 0,047 9,3 0,078 -1,2 -11,43% 0,0472 0,00020
-0,03080
2.min 15 0 12 0,062 -3 -20,00%
2.max 18,5 0,016 16,75 0,107 -1,75 -9,46% 0,0165 0,00050
-0,09050
Nakon to smo napravili usporedbu za pukotinu od 0,1mm, ostala
nam je usporedba i za drugu pukotinu.
Graf 4. prikazuje usporedbu za eksperimentalno dobivene
rezultate i rezultate simulacije.
Mjerena u ovom sluaju se preciznije poklapaju, nego u prethodnom
sluaju.
U tablici 7. su prikazane vrijednosti minimuma i maksimuma te
njihova odstupanja od izmjerenih i simuliranih vrijednosti.
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
-11 -6 -1 4 9
I
N
T
E
N
Z
I
T
E
T
UDALJENOST (mm)
=632,8nm, L=1031mm, 0.2mm
Intenzitet
ekperimentalno
Intenzitet simulacija
-
Tablica 7.
Udaljenost Intenzitet Udaljenost Intenzitet Razlika Odstupanje
Oekivani Odstupanje Odstupanje
simulacija simulacija eksperiment eksperiment udaljenosti %
intenziteti simulacija eksperiment
Glavni
max 0 1 0 1 0
1 0 0
1.min -3,5 0 -3,75 -0,0043 -0,25 -7,14%
1.max -5 0,046 -5 0,029 0 0,00% 0,0472 0,00120 0,01820
2.min -7 0 -7 0,0019 0 0,00%
2.max -8,5 0,0162 -8,5 0,0111 0 0,00% 0,0165 0,00030 0,00540
-
Zakljuak
U ovom radu je bilo obraeno kako se svijetlost nailaskom na
pukotinu ponaa kao i val iako geometrijska optika kae da zrake
svjetlosti putuju pravocrtno i baca otru sliku pukotine na
zaslonu.
Mjerenja su izvedena pomou dvije pukotine od 0,1 i 0,2mm, te
pomou fraunhoferove metode ogib svjetlosti. Dobivene rezultate smo
obradili pomou valnog i kvantno-mehanikog pristupa, te smo
usporedili dobivene vrijednosti sa reultatima dobivenim
simulacijom.
Izvoenjem vjebe zakljuili smo da se nai dobiveni rezultati
poklapaju sa rezultatima dobivenim simulacijom, odnosno da se
svjetlost ima valna svojstva. Odstupanja u mjerenjima su se veim
dijelom dogodila zbog vanjskih imbenika.