SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS · 2021. 1. 22. · TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Carmen Teresa Kaiber 1 Introdução No que segue, vamos estudar um

UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL

DIRETORIA ACADÊMICA

CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA

TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Carmen Teresa Kaiber 1

Introdução

No que segue, vamos estudar um pouco mais a semelhança de triângulos. O

estudo da semelhança de triângulos se revela interessante e importante sob dois

aspectos: matematicamente, devido a rigidez de um triângulo, é possível garantir a

semelhança de dois triângulos a partir de apenas uma das condições estabelecidas

para a semelhança de polígonos; em termos práticos a semelhança é usada para o

cálculo de distâncias inacessíveis como, historicamente é relatado, o fez Tales de

Mileto (624 – 547 a. C), ao calcular a altura da pirâmide de Quéops, no Egito (BOYER,

1996). Tales, partindo do pressuposto que os raios do Sol são paralelos quando

atingem a Terra, em razão da distância que separa o sol e a Terra, teria comparado o

comprimento da sombra da pirâmide com o comprimento da sombra de uma estaca

vertical (de altura conhecida) fincada na areia, considerando uma mesma posição em

relação ao sol (Figura 1). Assim, partindo da ideia que era possível medir a sombra

da pirâmide e a sombra da estaca, por semelhança de triângulos, teria conseguido

descobrir a altura da pirâmide.

Figura 1 - Esquema da medição da altura da pirâmide por Tales

1 Carmen Teresa Kaiber é doutora em Ciências da Educação pela Universidade Pontifícia de Salamanca/ES e docente do curso de Licenciatura em Matemática e do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da ULBRA.

1 Semelhança de Triângulos

Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando é possível associar os

seus vértices de modo que pares de ângulos correspondentes sejam congruentes e

os lados correspondentes sejam proporcionais.

Notação: ΔABC ~ ΔA’B’C’

Vamos, agora, observar a Figura 2, que apresenta dois triângulos semelhantes.

Figura 2 - Triângulos semelhantes

Considerando os triângulos ABC e A’B’C’, é possível perceber que seus

ângulos têm a mesma medida e que os lados correspondentes são proporcionais, ou

seja:

𝟒, 𝟖

𝟗, 𝟔=𝟑. 𝟕𝟗

𝟕, 𝟓𝟖=𝟐, 𝟓

𝟓=𝟏

𝟐

No exemplo, temos que a razão de semelhança é 1

2.

De modo geral, como já apresentado, podemos representar a razão entre lados

correspondentes por k

A′C′

AC=B′C′

BC=A′B′

AB= k

sendo que esse número k é chamado razão de semelhança dos triângulos.

Particularmente se k=1, os triângulos são congruentes.

2 Casos de Semelhança de Triângulos

Dados dois triângulos ABC e A’B’C’ se os ângulos  e Â’, 'B̂eB̂ são

congruentes, então os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes.

• Se em dois triângulos ABC e A’B’C’ tem-se:

'C'A

AC

'B'A

AB,'ÂÂ =

então os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes.

• Se em dois triângulos ABC e A’B’C’ tem-se:

'''''' CA

AC

CB

BC

BA

AB==

então os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes.

Analisando os casos de semelhança destacados podemos observar que não é

possível ter lados proporcionais e ângulos correspondentes diferentes, como também

não é possível ter ângulos correspondentes congruentes sem que os lados sejam

proporcionais.

No que segue vamos estudar aspectos algébricos da razão de proporção,

estabelecendo, também, aspectos da proporcionalidade e suas propriedades e, em

seguida, enunciar o Teorema de Tales. Vamos, assim, resolver problemas envolvendo

semelhança, proporcionalidade e o Teorema de Tales.

3 Razão e Proporção

Sejam a e b números reais, com b não nulo. O quociente de a por b é chamado

de razão de a por b.

Ex.: ...,1,2

1,

3

2 (lê-se 2 está para 3, 1 está para 2,..)

Sejam a, b, c números reais e p, q, r números reais diferentes de zero, se,

r

c

q

b

p

a==

dizemos que estes números são proporcionais. O valor da divisão chamamos de razão

de proporção.

Ex.: 4, 6, 8, 10 e 2, 3, 4, 5 são proporcionais, pois:

25

10

4

8

3

6

2

4==== (2 é a razão de proporção)

2

1

10

5

8

4

6

3

4

2==== (

2

1 é a razão de proporção)

Na proporção:

𝒂

𝑏=𝑐

𝒅

a e d são denominados extremos, b e c denominados meios.

Propriedades:

• Na proporção 𝒂

𝑏=

𝑐

𝒅 , a.d=b.c.

• Na proporção 𝒂

𝑏=

𝑐

𝒅 podemos trocar os extremos ou os meios ou seja:

𝒂

𝑏=

𝑐

𝒅⟹

𝒅

𝑏=

𝑐

𝒂 e

𝒂

𝑏=

𝑐

𝒅⟹

𝒂

𝑐=

𝑏

𝒅

• Na proporção 𝒂

𝑏=

𝑐

𝒅 podemos inverter as duas razões ou seja:

𝒂

𝑏=𝑐

𝒅⟹

𝒄

𝒂=𝑑

𝑏

• Na proporção 𝒂

𝑏=

𝑐

𝒅 podemos trocar a posição das duas razões ou seja:

𝒂

𝑏=𝑐

𝒅⟹

𝒄

𝒅=𝒂

𝑏

A partir dessas propriedades podemos chegar a duas importantes relações

entre razões:

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑⟹

𝑎+𝑐

𝑑+𝑏=

𝑎

𝑏 ou

𝑎+𝑐

𝑑+𝑏=

𝑐

𝑑

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑⟹

𝑎−𝑐

𝑑−𝑏=

𝑎

𝑏 ou

𝑎−𝑐

𝑑−𝑏=

𝑐

𝑑

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑⟹

𝑎+𝑏

𝑏=

𝑐+𝑑

𝑑

Teorema Fundamental da Proporcionalidade - Se uma reta paralela a um

dos lados de um triângulo corta os outros dois lados, então ela os divide na mesma

razão.

Vamos a alguns exemplos.

Exemplo 1: Dado o triângulo ABC da figura, temos que as retas r e s são

paralelas. Queremos determinar o valor de x.

Solução: Usando o Teorema Fundamental da Proporcionalidade temos que:

30

12=

𝑥

10⟹ 12𝑥 = 300 ⟹ 𝑥 = 25

Teorema de Tales - Se duas retas são transversais a um conjunto de retas

paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos quaisquer de uma

delas é igual à razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes da

outra.

Exemplo 2: Nas figuras os ângulos α e β são congruentes. Determine, em cada

caso, os valores de x e y.

a)

b)

Solução:

a) Como os ângulos 𝛼 e 𝛽 são congruentes e os ângulos BEC e DEA

também são congruentes pois são opostos pelo vértice temos que ∆𝐴𝐷𝐸~∆𝐵𝐶𝐸 pelo

caso ângulo-ângulo. Assim podemos escrever que:

8

𝑦=

6

8=

𝑥

12

Tomando-se:

8

𝑦=

6

8⟹ 6𝑦 = 64 ⟹ 𝑦 =

32

3

Tomando-se:

𝑥

12 =6

8⟹ 8𝑥 = 72 ⟹ 𝑥 = 9

Como os ângulos α e β são congruentes e o ângulo EBD é comum aos dois

triângulos que ∆ACB~∆DEB pelo caso ângulo-ângulo(correspondência entre os

vértices A-D, E-C, B-B). Assim podemos escrever que:

8

2+𝑦=

𝑦

𝑥+8=

4

6

Tomando-se:

8

2+𝑦=

4

6⟹ 8+ 4𝑦 = 48 ⟹ 𝑦 = 10

Tomando-se:

𝑦

𝑥+8=

4

6⟹ 6𝑦 = 4𝑥 + 32 ⟹ 60 = 4𝑥 + 32 ⟹ 𝑥 = 7

Exemplo 3: A sombra de um prédio, em um terreno plano, a uma determinada

hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um

poste de 5 m de altura mede 3 m. Queremos determinar a altura do prédio.

Solução: A situação apresentada pode ser esquematizada na representação

que segue.

Utilizando semelhança de triângulos podemos escrever que a altura x do prédio

é dada por:

x

5=

15

3⟹ 3x = 15.5 ⟹ x = 25

Logo a altura do prédio é de 25 m.

Exemplo 4: Aplicação do Teorema de Tales – Divisão de um segmento em

partes iguais.

Dado um segmento AB, queremos dividi-lo, por exemplo, em cinco partes

iguais. Para tal vamos proceder da seguinte maneira:

• por uma das extremidades do segmento AB, por exemplo, do ponto A, vamos

traçar uma semirreta auxiliar AC (de medida qualquer);

• com o compasso, marcamos sobre a semirreta, a partir de A, cinco

segmentos de um mesmo comprimento qualquer;

• traçamos um segmento ligando a outra extremidade do segmento AB dado,

o ponto B, com a extremidade B’ do último dos cinco segmentos congruentes

marcados sobre a semirreta;

• traçamos paralelas a esse segmento BB’, passando pelos extremos dos

segmentos marcados na semirreta, até o primeiro segmento marcado.

Observe a figura que representa a construção realizada. Nela, o segmento AB

ficou dividido em cinco partes iguais, ou seja, as medidas dos segmentos AP, PQ, RS,

SB são iguais.

4 O Triângulo 3, 4 e 5

Muito provavelmente, os babilônios, mais de dois mil anos antes dos

pitagóricos, já tinham conhecimento que, em um triângulo retângulo, o quadrado da

medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado das medidas dos catetos. Registros

em tábuas de argila apresentavam sequencias de números correspondentes às,

posteriormente, denominadas ternas pitagóricas (Boyer, 1996). A Figura 2 destaca

uma conhecida forma figural de apresentar a relação apontada.

Figura 2 - Representação figural da relação a2=b2+c2

Os antigos egípcios utilizavam uma corda com treze nós, igualmente

espaçados, de modo a determinar um ângulo reto ou uma perpendicular, a partir da

superposição do primeiro e do décimo terceiro nós, o que pode ser visto representado

na Figura 3. A utilização da corda de treze dá indícios que os egípcios também sabiam

que um triângulo de lados 3, 4 e 5 possui um ângulo de 90o. No entanto, de acordo

com Boyer (1996), é possível que a primeira demonstração geral desta relação foi

dada por Pitágoras, ou por um dos seus discípulos, no século VI a.C.

Figura 3 - Corda de treze nós

5 O triângulo Retângulo – Relações Métricas

Dado o triângulo ABC retângulo em A (Figura 4) e conduzindo por A, AD̅̅ ̅̅ ,

perpendicular a BC̅̅̅̅ , com D em BC̅̅̅̅ , vamos identificar elementos pertinentes a esse

triângulo.

Figura 4 - Triângulo retângulo ABC

𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑎 ⟶ ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑏 ⟶ 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑐 ⟶ 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜

𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑚 ⟶ 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑛 ⟶ 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑏 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = ℎ ⟶ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 à ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Importante observar que estamos, aqui, tomando um segmento referindo-se a

sua medida. Assim, quando dizemos que a é a hipotenusa estamos referindo que a é

a medida da hipotenusa.

Ao conduzirmos a altura AD̅̅ ̅̅ relativa a hipotenusa do triângulo retângulo ABC,

obtivemos dois triângulos retângulos DBA e DAC semelhantes ao triângulo ABC, pois

o ângulo B, complementar do ângulo C, é congruente a α e o ângulo C, complementar

do ângulo B, é congruente a β, como ilustrado na Figura 5.

Figura 5 - Triângulos retângulos ABC, DBA e DAC

Assim, temos que:

Como podemos observar todos os três triângulos têm dois ângulos

congruentes, logo:

∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐷𝐵𝐴 ~ ∆𝐷𝐴𝐶

A partir da semelhança verificadas entre os triângulos e com os elementos já

caracterizados, podemos estabelecer as seguintes relações:

∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐵𝐴 ⟹

{

𝑎

𝑐=𝑏

ℎ⟹ 𝑏𝑐 = 𝑎ℎ

𝑎

𝑐=𝑐

𝑚⟹ 𝑐2 = 𝑎𝑚

𝑏

ℎ=𝑐

𝑚⟹ 𝑐ℎ = 𝑏𝑚

∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐴𝐶 ⟹

{

𝑎

𝑏=𝑏

𝑛⟹ 𝑏2 = 𝑎𝑛

𝑎

𝑏=𝑐

ℎ⟹ 𝑏𝑐 = 𝑎ℎ

𝑏

𝑛=𝑐

ℎ⟹ 𝑏ℎ = 𝑐𝑛

∆𝐷𝐵𝐴~∆𝐷𝐴𝐶 ⟹

{

𝑐

𝑏=ℎ

𝑛⟹ 𝑏ℎ = 𝑐𝑛

𝑐

𝑏=𝑚

ℎ⟹ 𝑐ℎ = 𝑏𝑚

ℎ

𝑛=𝑚

ℎ⟹ ℎ2 = 𝑚𝑛

Com base nas relações estabelecidas podemos enunciar que, em qualquer

triângulo retângulo:

• Cada cateto é a média proporcional (ou média geométrica) entre sua

projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa.

𝑏2 = 𝑎. 𝑛 𝑐2 = 𝑎.𝑚

• A altura relativa à hipotenusa é a média proporcional (ou média

geométrica) entre os segmentos que determina sobre a hipotenusa.

ℎ2𝑚. 𝑛

• O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura

relativa a ela.

𝑏. 𝑐 = 𝑎. ℎ

• O produto de um cateto pela altura relativa à hipotenusa é igual ao

produto do outro cateto pela projeção do primeiro sobre a hipotenusa.

𝑏. ℎ = 𝑐. 𝑛 𝑐. ℎ = 𝑏.𝑚

Teorema de Pitágoras - Em um triângulo retângulo o quadrado da medida da

hipotenusa é igual a soma das medidas dos quadrados dos catetos.

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

Para provar esta relação vamos somar membro a membro as seguintes

relações já estabelecidas:

Observações:

• A recíproca do Teorema de Pitágoras também é verdadeira, ou seja, se

em um triângulo o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos

quadrados das medidas dos outros dois, então o triângulo é retângulo.

• As relações métricas 𝑏2 = 𝑎. 𝑛, 𝑐2 = 𝑎.𝑚, ℎ2 = 𝑚.𝑛 são as principais,

uma vez que delas decorrem as demais.

Exemplo 5: Considerando os triângulos da figura, determine o valor de x.

Solução: Considerando o triângulo de catetos de medidas 4 e 8 e considerando

y sua hipotenusa, temos que:

𝑦2 = 82 + 42 ⟹ 𝑦2 = 80 ⟹ 𝑦 = √80 ⟹ 𝑦 = 4√5

Assim, podemos estabelecer que:

𝑥2 = 62 + (4√5)2⟹ 𝑥2 = 36 + 80 ⟹ 𝑥 = √116 ⟹ 𝑥 = 2√29

Exemplo 6: Determinar a altitude do balão, na figura abaixo, para que sua

distância ao topo do prédio seja de 10 km.

Solução: Vamos considerar o triângulo retângulo formado pelos catetos x

(altitude do balão a partir do topo do prédio), 8 km (distância ao prédio da projeção do

balão no solo) e 10 km distância do balão ao topo do prédio.

Usando o Teorema de Pitágoras temos:

102 = 82 + 𝑥2⟹ 100 − 64 = 𝑥2 ⟹ 𝑥 = √36 = 6 𝑘𝑚

Como queremos a altitude do balão até o solo, e considerando que 6 km

correspondem a 6000 m, temos que:

𝐴𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 6000 𝑚 + 200 𝑚 = 6200 𝑚 𝑜𝑢 6,2 𝑘𝑚

Referências Bibliográficas

REZENDE, Eliane Quelho Frota e QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria

Euclidiana Plana e construções geométricas. 2. Ed. São Paulo: Unicamp, 2011.

UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL. Geometria I. Canoas/RS: ULBRA, 2014.