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SEMANA N 3
CURSO: CALCULO III
Tema :
DERIVADA DIRECCIONAL Y VECTOR GRADIENTE
En el mapa del clima de la figura 1, se muestra un mapa de
curvas de nivel de la funcin
temperatura ( , )T x y para los estados de California y Nevada a
las 3 pm de un da de octubre.
Las curvas de nivel unen localidades con la misma temperatura.
La derivada parcial xT en un
lugar como Reno es la razn de cambio de la temperatura con
respecto a la distancia si viaja
hacia el este desde Reno; yT es la razn de cambio de la
temperatura si viaja hacia el norte.
Pero Qu sucede si queremos saber la razn de cambio de la
temperatura cuando viaja al
sureste? En esta seccin se estudia un tipo de derivada, que se
denomina derivada
direccional, que permite calcular la razn de cambio de una
funcin de dos o ms variables en
cualquier direccin.
La derivada direccional de en el punto x D y en la direccin de u
vector
unitario de nR denotada por ( )u
D f x se define por
0
( ) ( )( ) lim
hu
f x hu f xD f x
h
,
Siempre que exista.
: nf D R R
DERIVADA DIRECCIONAL
Figura 1
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A esta definicin la podemos particularizar considerando a 2D R y
deseamos encontrar la
razn de cambio de ( , )z f x y en 0 0( , )x y en la direccin de
un vector unitario ( , )u a b . Para
hacer esto considere la superficie S cuya ecuacin es ( , )z f x
y , y 0 0 0( , )z f x y . Entonces el
punto 0 0 0( , , )P x y z queda en S. El plano vertical que pasa
por P en la direccin de u corta a S
en una curva C (vase figura 2). La pendiente de la recta
tangente T a C en el punto P es la
razn de cambio de z en la direccin de u.
Luego, para este caso, la definicin de derivada direccional de f
en 0 0( , )x y en la direccin
de un vector unitario ( , )u a b es
0 0 0 00 0
0
( , ) ( , )( , ) lim u
h
f x ha y hb f x yD f x y
h
Si existe este lmite. Los teoremas dados a continuacin nos
ayudaran a evitar el uso del
lmite.
Teorema Si : nf D es una funcin diferenciable, entonces la
derivada direccional
se calcula por la frmula:
1 1 21 2
( ,... ) ......n nun
f f fD f x x u u u
x x x
. (1)
Figura 2
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Teorema Si ( , )z f x y es una funcin diferenciable de ,x y , y
cos u = i jsen es un vector
unitario, entonces
( , ) cosu
f fD f x y sen
x y
donde es el ngulo formado por el vector u con el eje OX .
Ejemplo 1 Calcula, la derivada direccional de la funcin 2 2( , )
3f x y x xy en el punto (1,2)P
en la direccin que va desde el origen hacia este punto.
Solucin
2
( 1,2)
( 1,2)
2 3 14f
x yx
; ( 1,2)
(1,2)
6 12f
xyy
; adems
2 2
(1,2) 1 2,
5 51 2
vu
v
.
Por lo tanto 1 2 38
(1,2) 14 125 5 5
uD f
.
Ejemplo 2 Hallar la derivada de la funcin 3 22f ( x, y ) x xy y
en el punto 1 2P( , ) y en la
direccin que va desde este punto al punto 4 6N( , )
Solucin
Sea (4,6) (1,2) (3,4) 5a PN N P a . El vector unitario es 3
4
( , ),5 5
a
a
2
( 1,2)
( 1,2)
3 1f
x yx
; ( 1,2)
(1,2)
4 9f
x yy
. Por lo tanto
3 4 33(1,2) 1 9
5 5 5uD f
.
Ejemplo 3 Suponga que la temperatura (en grados Celsius) en el
punto (x,y) cerca de un
aeropuerto est dado por
1
( , ) 7400 4 9 (0.03)180
f x y x y xy
(con las distancias x y y medidas en kilmetros). Suponga que su
avin despega del
aeropuerto en la ubicacin (200,200)P y se sigue al noreste en la
direccin especificada por el
vector (3,4)v Cul es la tasa de cambio inicial de la temperatura
que se observar?
Solucin
Como v no es un vector unitario, primero debemos reemplazarlo
como uno que s lo sea y que
este en la misma direccin:
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2 2
(3,4) 3 4( , )5 53 4
vu
v
Ahora utilizamos la formula (*) la cual produce
3 1 4 1
( , ) 4 (0.03) 9 (0.03) .5 180 5 180
uD f x y y x
Cuando se sustituye 200x y , se encuentra que
3 1 4 15 18( ) 0.1
5 180 5 180 180uD f P
Esta tasa instantnea de cambio -0.10C/Km significa que se
observar en un inicio una
disminucin de 0.10C en la temperatura por cada kilmetro que se
viaje.
Ejemplo 4 Del ejemplo anterior haciendo
1
( , ) 7400 4 9 (0.03)180
w f x y x y xy ,
(Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia
en kilmetros) observamos
que la derivada direccional de la funcin temperatura es
0
( ) 0.1udw C
D f Pds km
En el punto (200,200)P en direccin del vector (3,4)u . Si un
avin sale del aeropuerto en P
y vuela en direccin de u con velocidad 5v ds dt km/min,
entonces, la ecuacin (1)
proporciona 0 0
. 0.1 5 0.5 .min min
dw dw ds C km C
dt ds dt km
As, se observa una tasa inicial de disminucin de medio grado de
temperatura por minuto.
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GRADIENTE DE UNA FUNCIN
Si : nf D R R es una funcin diferenciable, entonces el gradiente
de f es el vector
definido por
1 2
( ) , ,......,n
f f ff x
x x x
Interpretacin del vector gradiente
El vector gradiente f tiene una interpretacin importante que
involucra el mximo valor
posible de la derivada direccional de la funcin f derivable en
un punto P dado. Si es el
ngulo entre ( )f P y el vector unitario u (como se muestra en la
figura),
entonces la ecuacin (1) da
( ) ( ). ( ) cos ( ) cosuD f P f P u f P u f P
porque 1u . El valor mximo posible de cos es 1, y esto se
consigue cuando 0 . Es
decir, cuando u es el vector unitario particular ( ) ( )m f p f
p , que apunta en direccin
del vector gradiente ( )f p la derivada direccional alcanza su
mximo valor. En este caso la
frmula anterior lleva a
max ( ) ( ) uD f P f p
El cual representa el valor mximo de la derivada
direccional.
Resumen:
1. 1 1 2 1 2( ,... ) ( , ,...., )( , ...... )n n nuD f x x f x x
x u u u
2. El gradiente indica el sentido de crecimiento ms rpido de una
funcin en un punto dado, mientras que el gradiente cambiado el
signo seala la direccin de mxima
disminucin.
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3. La derivada direccional tiene su valor mximo en el sentido
del gradiente y coincide
con su modulo es decir ( ) max ( )u
f x D f x .
4. El valor mnimo de la derivada direccional es ( ) f x y ocurre
cuando u y ( )f x
tienen direcciones opuestas (cuando cos 1 ).
Ejemplo 5 Dada la funcin 2 2
f ( x,y ) x y
a) Calcula ( )u
D f x en el punto P (1,2) en el sentido del vector que forma un
ngulo de 60
con el sentido positivo del eje OX.
b) Calcula mx. ( )u
D f x
Solucin
a) 1 3
(cos60 ,sin60 ) ,2 2
u
; adems ( 1,2)
( 1,2)
2 2f
xx
;
( 1,2)
( 1,2)
2 4f
yy
, luego
1 3
( ) 2,4 , 1 2 32 2u
D f x
.
b) (1,2) (2,4)f 2 2max ( ) ( ) 2 4 2 5u
D f x f x .
Ejemplo 6 Ahora suponga que la funcin de temperatura del ejemplo
4 se reemplaza con
1
( , , ) 7400 4 9 (0.03) 2180
w f x y z x y xy z
El trmino adicional -2z corresponde a una disminucin de 20C en
la temperatura por
kilometro de altitud z. Suponga que un halcn esta inmvil en el
aire, en el punto P (200,
200,5) y sobre el aeropuerto desciende en forma sbita a la
velocidad de 3km/min en la
direccin especificada por el vector (3,4,-12). Cul es la tasa de
cambio instantnea que
experimenta el ave?
Solucin
El vector unitario en la direccin del vector (3, 4,-12) es
2 2 2
(3,4, 12) 3 4 12( , , )13 13 133 4 ( 12)
u
El vector gradiente de temperatura
1 1( ) [4 (0.03) ] [9 (0.03) ] 2
180 180f P y i x j k
Tiene el valor
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10 15( ) 2
180 180f P i j k
En la posicin inicial del halcn, (200,200,5)P . Por lo tanto, la
tasa de cambio de la
temperatura para el ave respecto a la distancia es:
010 3 15 4 12
( ) ( ). ( )( ) ( )( ) ( 2)( ) 1.808 .180 13 180 13 13
u
dw CD f P f P u
ds km
Su velocidad es de 3 / minds
kmdt
, por lo que la tasa de cambio temporal de la temperatura
que experimenta el halcn es
0 0
. 1.808 5 5.424 .min min
dw dw ds C km C
dt ds dt km
As, el ave se calienta inicialmente casi 5.5 grados por minuto
conforme desciende hacia la
tierra.
Ejemplo 7
Del ejemplo anterior, sabemos que la funcin de temperatura
es
1
( , , ) 7400 4 9 (0.03) 2180
w f x y z x y xy z
(Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia
en kilmetros). En qu
direccin debe descender un halcn que comienza en el punto
(200,200,5)P a una altitud de 5
Km, afn de calentarse lo ms rpido? Qu tan rpido subir su
temperatura conforme el ave
baje a una velocidad de 3 km/min? Cul ser la direccin de la
brjula y el ngulo de
descenso conforme vuele en esa direccin particular? (Tarea)
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SEMINARIO DE PROBLEMAS 1. En cada ejercicio calcular la derivada
direccional de f en el punto P para el cual es un vector
unitario en la direccin de PQ .
a) ( , ) cosx yf x y e y e sen x (1,0)P , ( 3,2)Q .
b) 2 3( , ) .f x y x xy y (1,2) , (1,3)P Q .
c) ( , ) .xf x y e arctg y (0,2) , ( 2,5)P Q .
2. Calcula en cada caso, el gradiente y el valor mximo de la
derivada direccional de la funcin en el
punto que se indica:
a) 2 2
( , )y
f x yx y
en el punto (1,1) b) 2
( , )x
f x yx y
en el punto (2,1)
c) ( , , ) cosxf x y z ze y en el punto (0,
4
,1) d)
2 2( , )f x y x y en el punto (2,1)
3. Dada la funcin 2 2 2( , , ) ( 1) 2( 1) 3( 2) 6f x y z x y z ,
encontrar la derivada
direccional de la funcin en el punto (2,0,1) en la direccin del
vector 2i j k .
4. Hallar la derivada de la funcin 1
r , donde 2 2 2 2r x y z , en la direccin del gradiente.
5. Calcular la derivada de la funcin 2 2z x y en el punto (1,1)M
en la direccin del vector que
forma un ngulo de 060 con el sentido positivo del eje x .
6. Encuentre las direcciones en las cuales la derivada
direccional de ( , )xyf x y ye en el punto
(0,2) tiene el valor 1.
7. Encuentra la direccin y sentido en que cada una de las
siguientes funciones disminuye lo ms
rpidamente posible en el punto P indicado en cada caso, y
encuentra la razn de decrecimiento
en esa direccin.
a) 2 2( , ) 20 ; ( 1, 3)f x y x y P b) ( , ) ; (2,3)
xyf x y e P
c) ( , ) cos(3 ); ( , )6 4
f x y x y P
d) ( , ) ; (3,1)x y
f x y Px y
8. En una montaa la elevacin z por sobre el punto x, y en el
plano XY horizontal al nivel del
mar es de 2 22000 2 4z x y pies. El eje positivo de las abscisas
apunta al este y el eje positivo
de las ordenadas apunta al norte. Un alpinista se encuentra en
el punto (20, 5,1100). a) Si el
alpinista utiliza una brjula para avanzar hacia el oeste, subir
o bajara? Con que rapidez? b) Si
el alpinista utiliza una brjula para avanzar hacia el noreste,
subir o bajara? Con que rapidez?
c) Qu direccin ha de marcar la brjula para que el alpinista
avance en el mismo nivel?
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9. La temperatura en un punto x, y de una placa metlica en el
plano XY es 2 2
( , )1
xyT x y
x y
grados Celsius. a) Encuentra la razn de cambio de la temperatura
en el punto (1,1) en la
direccin y sentido del vector (2,-1). b) Una hormiga que est en
el punto (1,1) quiere caminar en
la direccin y sentido en que la temperatura disminuye ms
rpidamente. Encuentra un vector
unitario en esta direccin y sentido.
10. Temperatura La temperatura en el punto ( , )x y de una placa
metlica se modela mediante
2( ) 2( , ) 400 , 0 , 0x yT x y e x y
a) Utilizar un sistema computacional para graficar la funcin de
distribucin de temperatura. b) Hallar las direcciones, sobre la
placa en el punto (3,5) , en las que no hay cambio en el calor.
c) Hallar la direccin de mayor incremento de calor en el punto
(3,5) .
11. En las cercanas de una boya, la profundidad de un lago en el
punto de coordenadas ( , )x y es
2 3200 0.02 0.001z x y , donde , y x y z se miden en metros. Un
pescador en un bote pequeo
parte del punto (80,60) y se dirige hacia la boya, la cual se
ubica en el punto (0,0) . El agua
bajo el bote se hace ms somera o ms profunda cuando el pescador
parte? Explique.
12. La temperatura T en una bola de metal es inversamente
proporcional a la distancia desde el centro
de la bola, el cual se considera como el origen. La temperatura
en el punto (1,2,2) es 0120 .
a) Determine la razn de cambio de T en (1,2,2) en la direccin
hacia el punto (2,1,3) .
b) Demuestre que en cualquier punto en la bola la direccin de
incremento ms grande de temperatura est definido por un vector que
seala hacia el origen.
13. La temperatura es T grados en cualquier punto ( , , )x y z
en el espacio 3R y
2 2 2
60( , , )
3T x y z
x y z
, la distancia se mide en pulgadas.
a) Encontrar la rapidez de cambio de temperatura en el punto (3,
2,2) en la direccin del
vector 2 3 6 i j k .
b) Encontrar la direccin y la magnitud de la mxima rapidez de
cambio de T en (3, 2,2) .
14. La funcin ( , , )f x y z tiene en el punto (2, 3,5)P las
derivadas direccionales 1
3en la direccin
al punto (0,1,9)A , 3
5 en la direccin al punto (5, 3,1)B y
1
4en la direccin al punto
(4, 2,7)C . Calcular la derivada direccional de f en la direccin
al punto (1,3,6)D .
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OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
EXTREMOS ABSOLUTOS Y EXTREMOS RELATIVOS
En cursos anteriores se estudiaron las tcnicas para hallar
valores extremos de una funcin de
una variable. En esta sesin se extienden estas tcnicas a
funciones de dos variables. Por
ejemplo, en el Teorema siguiente se extiende el teorema de valor
extremo para una funcin de
una sola variable a una funcin de dos variables.
Considrese la funcin continua f de dos variables, definida en
una regin acotada cerrada R.
Los valores ),( baf y ),( dcf tales que
),(),(),( dcfyxfbaf
para todo (x, y) en R se conocen como el mnimo y mximo de f en
la regin R, como se
muestra en la figura.
Figura N 4: R contiene algn(os) punto(s) donde f(x, y) es un
mnimo y algn(os) punto(s)
donde f(x, y) es un mximo
Recurdese que una regin en el plano es cerrada si contiene todos
sus puntos frontera. El
teorema del valor extremo se refiere a una regin en el plano que
es cerrada y acotada. A una
regin en el plano se le llama acotada si es una subregin de un
disco cerrado en el plano.
Teorema Teorema del valor extremo
Sea f una funcin continua de dos variables x y y definida en una
regin acotada cerrada R
en el plano xy.
1. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor
mnimo. 2. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un
valor mximo.
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A un mnimo tambin se le llama un mnimo absoluto y a un mximo
tambin se le llama
mximo absoluto. Como en el clculo de una variable, se hace una
distincin entre extremos
absolutos y extremos relativos.
Definicin Extremos relativos
Sea f una funcin definida en una regin R que contiene ),( 00 yx
.
1. La funcin f tiene un mnimo relativo en ),( 00 yx si
),(),( 00 yxfyxf
para todo (x, y) en un disco abierto que contiene ),( 00 yx
.
2. La funcin f tiene un mximo relativo en ),( 00 yx si
),(),( 00 yxfyxf
para todo (x, y) en un disco abierto que contiene ),( 00 yx
.
Decir que f tiene un mximo relativo en ),( 00 yx significa que
el punto ),,( 000 zyx es por lo
menos tan alto como todos los puntos cercanos en la grfica de
),( yxfz . De manera
similar, f tiene un mnimo relativo en ),( 00 yx si ),,( 000 zyx
es por lo menos tan bajo como
todos los puntos cercanos en la grfica.
Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar
los puntos en los que el
gradiente de f es 0 los puntos en los cuales una de las
derivadas parciales no exista. Tales
puntos se llaman puntos crticos de f.
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Definicin Puntos crticos
Sea f definida en una regin abierta R que contiene ),( 00 yx .
El punto ),( 00 yx es un punto
crtico de f si se satisface una de las condiciones
siguientes:
1. 0),( 00 yxf x y 0),( 00 yxf y
2. ),( 00 yxf x o ),( 00 yxf y no existe.
Recurdese de la sesin anterior que si f es diferenciable y
j 0i 0
j ),(i ),(),( 000000
yxfyxfyxf yx
Entonces toda derivada direccional en ),( 00 yx debe ser 0. Esto
implica que la funcin tiene
un plano tangente horizontal al punto ),( 00 yx , como se
muestra en la figura
Al parecer, tal punto es una localizacin probable para un
extremo relativo. Esto es ratificado
por el teorema siguiente
Teorema Los extremos relativos se presentan slo en puntos
crticos
Si f tiene un extremo relativo en ),( 00 yx en una regin abierta
R, entonces ),( 00 yx es un
punto crtico de f.
Ejemplo 1: Hallar los extremos relativos de 20682),( 22
yxyxyxf
Solucin
Para comenzar, encontrar los puntos crticos de f. Como
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84),( xyxf x Derivada parcial con respecto a x.
y
62),( yyxf y Derivada parcial con respecto a y.
estn definidas para todo x y y, los nicos puntos crticos son
aquellos en los cuales las
derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos
puntos, se hacen ),( yxf x y
),( yxf y igual a 0, y se resuelven las ecuaciones
084 x y 062 y
Para obtener el punto crtico ( 2,3 ). Completando cuadrados, se
concluye que para todo )3,2(),( yx
.33)3()2(2),( 22 yxyxf
Por tanto, un mnimo relativo de f se encuentra en ( 2, 3). El
valor del mnimo relativo es
3)3,2( f , como se muestra en la figura.
El ejemplo 1 muestra un mnimo relativo que se presenta en un
tipo de punto crtico; el tipo
en el cual ambos ),( yxf x y ),( yxf y son 0. En el siguiente
ejemplo se presenta un mximo
relativo asociado al otro tipo de punto crtico; el tipo en el
cual ),( yxf x o ),( yxf y no existe.
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Ejemplo 2: Hallar los extremos relativos de 3/1221),( yxyxf
Solucin
Como 3/2223
2),(
yx
xyxf x
y
3/22232
),(yx
yyxf y
se sigue que ambas derivadas parciales existen para todo punto
en el plano xy salvo para (0,0).
Como las derivadas parciales no pueden ser ambas 0 a menos que x
y y sean 0, se concluye
que (0,0) es el nico punto crtico. En la figura siguiente se
observa que )0,0(f es 1. Para
cualquier otro (x, y) es claro que
11),( 3/122 yxyxf
Por tanto, f tiene un mximo relativo en (0,0).
Observacin
En el ejemplo 2, 0),( yxf x para todo punto distinto de (0,0) en
el eje y. Sin embargo, como
),( yxf y no es cero, stos no son puntos crticos. Recurdese que
una de las derivadas
parciales debe no existir o las dos deben ser 0 para tener un
punto crtico.
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EL CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES
El teorema anterior afirma que para encontrar
extremos relativos slo se necesita examinar los
valores de ),( yxf en los puntos crticos. Sin
embargo, como sucede con una funcin de una
variable, los puntos crticos de una funcin de dos
variables no siempre son mximos o mnimos
relativos. Algunos puntos crticos dan puntos silla que
no son ni mximos relativos ni mnimos relativos.
Como ejemplo de un punto crtico que no es un
extremo relativo, considrese la superficie dada por
22),( xyyxf
Paraboloide hiperblico
que se muestra en la figura.
En el punto (0,0), ambas derivadas parciales son 0. Sin embargo,
la funcin f no tiene un
extremo relativo en este punto ya que en todo disco abierto
centrado en (0,0) la funcin asume
valores negativos (a lo largo del eje x) y valores positivos (a
lo largo del eje y). Por tanto, el
punto (0,0,0) es un punto silla de la superficie. (El trmino
punto silla viene del hecho de que la superficie mostrada en la
figura se parece a una silla de montar).
En las funciones de los ejemplos 1 y 2, fue relativamente fcil
determinar los extremos
relativos, porque cada una de las funciones estaba dada, o se
poda expresar, en la forma de
cuadrado perfecto. Con funciones ms complicadas, los argumentos
algebraicos son menos
adecuados y es mejor emplear los medios analticos presentados en
el siguiente criterio de las
segundas derivadas parciales. Es el anlogo, para funciones de
dos variables, del criterio de
las segundas derivadas para las funciones de una variable. La
demostracin de este teorema se
deja para un curso de clculo avanzado.
Teorema Criterio de las segundas derivadas parciales
Sea f una funcin con segundas derivadas parciales continuas en
una regin abierta que
contiene un punto (a, b) para el cual
0),( baf x y 0),( baf y
Para buscar los extremos relativos de f , considrese la
cantidad
2),(),().,( bafbafbafd xyyyxx
1. Si 0d y 0),( baf xx , entonces f tiene un mnimo relativo en
(a, b)
2. Si 0d y 0),( baf xx , entonces f tiene un mximo relativo en
(a, b)
3. Si 0d , entonces )),(,,( bafba es un punto silla
4. Si 0d el criterio no lleva a ninguna conclusin.
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Observacin
Si 0d , entonces ),( baf xx y ),( baf yy deben tener el mismo
signo. Esto significa que
),( baf xx puede sustituirse por ),( baf yy en las dos primeras
partes del criterio.
Un recurso conveniente para recordar la frmula de d en el
criterio de las segundas derivadas
parciales lo da el determinante 22
),(),(
),(),(
bafbaf
bafbafd
yyyx
xyxx
Donde ),(),( bafbaf yxxy bajo ciertas condiciones.
Ejemplo 3: Identificar los extremos relativos de 124),( 23
yxyxyxf
Solucin
Para comenzar, se identifican los puntos crticos de f . Como
yxyxf x 43),(2 y yxyxf y 44),(
Existen para todo x y y, los nicos puntos crticos son
aquellos
en los que ambas derivadas parciales de primer orden son 0.
Para localizar estos puntos, se igualan a 0 ),( yxf x y ),( yxf
y y
se obtiene 043 2 yx y 044 yx . De la segunda
ecuacin se sabe que yx , y por sustitucin en la primera
ecuacin, se obtienen dos soluciones: 0 xy y 3/4 xy .
Como
4),( ,6),( yxfxyxf yyxx y 4),( yxf xy
se sigue que, para el punto crtico (0,0),
0160)0,0()0,0().0,0( 2 xyyyxx fffd
y, por el criterio de las segundas derivadas parciales, se
puede
concluir que (0,0,1) es un punto silla. Para el punto crtico
3/4,3/4 ,
01616)4(8
)3/4,3/4()3/4,3/4().3/4,3/4(2
xyyyxx fffd
y como 08)3/4,3/4( xxf se concluye que f tiene un mximo relativo
en 3/4,3/4 , como se muestra en la figura.
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Con el criterio de las segundas derivadas parciales pueden no
hallarse los extremos relativos
por dos razones. Si alguna de las primeras derivadas parciales
no existe, no se puede aplicar el
criterio. Si
0),(),().,( 2 bafbafbafd xyyyxx
el criterio no es concluyente. En tales casos, se pueden tratar
de hallar los extremos mediante
la grfica o mediante algn otro mtodo, como se muestra en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 4: Hallar los extremos relativos de 22),( yxyxf
Solucin
Como 22),( xyyxf x y yxyxf y22),( , se sabe que ambas derivadas
parciales son igual a
0 si 0x o 0y . Es decir, todo punto del eje x o del eje y es un
punto crtico. Como
22),( yyxf xx ,
22),( xyxf yy y xyyxf xy 4),(
se sabe que si 0x o 0y , entonces
012164
),(),().,(
222222
2
yxyxyx
yxfyxfyxfd xyyyxx
Por tanto, el criterio de las segundas derivadas parciales no es
concluyente, no funciona. Sin
embargo, como 0),( yxf para todo punto en los ejes x o y y 0),(
22 yxyxf en todos
los otros puntos, se puede concluir que cada uno de estos puntos
crticos son un mnimo
absoluto, como se muestra en la figura
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SEMINARIO DE PROBLEMAS
1. Identificar los extremos de la funcin reconociendo su forma
dada o su forma despus de completar cuadrados. Verificar los
resultados empleando derivadas parciales para
localizar los puntos crticos y probar si son extremos
relativos.
a) 2 2
( , ) 1 3f x y x y b) 2 2
( , ) 5 3 2f x y x y
c) 2 2( , ) 1f x y x y d)
2 2( , ) 25 2f x y x y
e) 2 2( , ) 2 6 6f x y x y x y
f) 2 2( , ) 10 12 64f x y x y x y
2. Examinar la funcin para localizar los extremos relativos.
a) 164623),( 22 yxyxyxf b) 54323),( 22 yxyxyxf
c) 2810105),( 22 yxyxyxf d) 3222),( 22 xyxyxyxf
e) yxyxyxyxf 22
1),( 22 f)
22),( yxyxf
g) 2),(3/122 yxyxf
h)
22122
2
1),( yxeyxyxf
3. Examinar la funcin para localizar los extremos relativos y
los puntos silla
a) 228080),( yxyxyxf b) yxyxyxf 22),(
c) 22 3),( yxyxyxf d) yxyxyxyxf 3),( 22
4. Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus
vrtices en el origen. El vrtice opuesto est en el plano 24346 zyx
como se muestra en la figura. Hallar
el volumen mximo de la caja.
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5. Un fabricante de artculos electrnicos determina que la
ganancia o beneficio P (en dlares) obtenido al producir x unidades
de un reproductor de DVD y y unidades de un
grabador de DVD se aproxima mediante el modelo
10000001.0108),( 22 yxyxyxyxP
Hallar el nivel de produccin que proporciona una ganancia o
beneficio mximo. Cul
es la ganancia mxima?
6. Hallar tres nmeros positivos x, y y z que satisfagan las
condiciones dadas a) El producto es 27 y la suma es mnima.
b) La suma es 32 y zxyP 2 es mxima
c) La suma es 30 y la suma de los cuadrados es mnima.
d) El producto es 1 y la suma de los cuadrados es mnima.
7. Costos Un contratista de mejoras caseras est pintando las
paredes y el techo de una habitacin rectangular. El volumen de la
habitacin es de 668.25 pies cbicos. El costo
de pintura de pared es de $0.06 por pie cuadrado y el costo de
pintura de techo es de
$0.11 por pie cuadrado. Encontrar las dimensiones de la
habitacin que den por
resultado un mnimo costo para la pintura. Cul es el mnimo costo
por la pintura?
8. Volumen mximo El material para construir la base de una caja
abierta cuesta 1.5 veces ms por unidad de rea que el material para
construir los lados. Dada una cantidad
fija de dinero C, hallar las dimensiones de la caja de mayor
volumen que puede ser
fabricada.
9. Un comedero de secciones transversales en forma de trapecio
se forma doblando los extremos de una lmina de aluminio de 30
pulgadas de ancho (ver la figura). Hallar la
seccin transversal de rea mxima.
10. Costo mnimo Hay que construir un conducto para agua desde el
punto P al punto S y debe atravesar regiones donde los costos de
construccin difieren (ver figura). El costo
por kilmetro en dlares es 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R a S.
Hallar x y y tales que
el costo total C se minimice.