Semana n 1_mat_bas_2013-ii_victor_calagua_porras

MATEMATICA BASICA

ICONJUNTOS NUMERICOS

2013-I

VÍCTOR CALAGUA PORRAS

SISTEMA NUMERICO

MB

PROGRAMA DE ESTUDIOS BÁSICOS

Números Naturales ( N ) N={0,1;2;3;4;5;....}Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales (Q) Q={...; -2; -1; ;0; ; ; 1; ;2 ; 3; .... }

Números Irracionales ( I ) I={...; ; ....}2; 3;

Números Reales ( R=QI )R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3

1-

2

1

5

Números Complejos ( C )C={...;-2; ;0;1; ; 1+3i; 3; ....}2; 3

1-2

02/05/2023

2

Víctor Calagua Porras

1

2

4

3

MB

Matemática Básica

Sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

Venn(1834-1923)

(1;3) (7;6)

(2;4) (5;8)Euler (1707-1783

b c

f g

he

d =18

Prov.

Ext. a

Hombres mujeres

Charles Lutwidge Dodgson (Lewis Carrol) (1832-1898 )

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3

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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/Venn_diagram_cmyk.png

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4

N

ZQ I

RC

MB

02/05/2023Matemática Básica

5

A está contenido en B, si y sólo sí todo elemento de A está en B

NOTACIÓN : A B

Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA B

A

INCLUSIÓN

Simbólicamente: A B x: x A x B

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6

139

77

9

A B

El conjunto “A unión B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o a B o a ambos conjuntos.

A B

A B x / x A x B

Ejemplo:

15

1113

3

5

4

2

2;3;4;5;7;9;11A B ;13;15

02/05/2023

MB

Matemática Básica

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7

76

55

6

A B

El conjunto “A intersección B” que se representa por A B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.

A B x /x A x B

Ejemplo:

= 1;2;3;4;5;6;7 y B = 5;6A ;7;8;10

10

87

3

1

4

2

B = 5 7A ;6;



8

76

55

6

A B

El conjunto “A menos B” que se representa por es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo: = 1;2;3;4;5;6;7 y B = 5;6A ;7;8;10

10

87

3

1

4

2

- B = 1;A 2;3;4

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Matemática Básica


9

76

55

6

A B

El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa por es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A - B) o (B - A).

A B

A B x /x (A B) x (B A)

Ejemplo: 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;A 7;8;10

10

87

3

1

4

2

B 1;2;3;4A 8;10

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Matemática Básica

También es correcto afirmar que:

A B (A B) (B A)

A B (A B) (A B)

A B

A- B B - A

A B

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10


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11

Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.Notación: A’ ó AC Simbólicamente:

,A x /x U x AA’ = U - A

UAA’

El conjunto diferencia A – B se denomina también complemento de B respecto de A. CA B= {x/ x A x B}Ejemplo: U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9}y A ={1;3; 5; 7; 9}

A’={2;4;6,8}

12 3

45

6

78

9

U AA

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MB

Matemática Básica

EJERCICIOS


12

1. Sean los conjuntos

Determine: a) los elementos de A b) los elementos de B

A x / – 6 x 7 y B x / 0 x 8 Z Z

c) (A B) d) (A B) e) B A f) B Ag) A B h) P(A B) i ) n(A B)

2. Sea ,

, determine

5. Si se cumple que:

¿cuántos subconjuntos propios tiene AB ?

A x 3 x 11 Z B x x 7 y N C 7,8,9,11 (B A) (A B) C

x 1A 1 x 17 y2

Z

x 1B 1 x 9; x2

Z

Conjuntos Numéricos

Matemática Básica

Matemática Básica

II Sistemas de los números Reales

Es un conjunto de números denotado por R con dos operaciones: Adición (+) y Multiplicación (.) y una relación de orden “menor que” (<) verificando los siguientes axiomas:

1) a, b R: a + b R y a.b R2) a y b R :

a + b = b + a y a.b = b.a

Cerradura

Conmutativa

MB

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13

14

3) a, b y c R: a+(b+c) = (a+b)+c y a(b.c) = (a.b)c

4) Elementos neutros.- ! 0 y 1 tales que, a en R: a+0 = a y a.1 = a

5)

6) Distributividad: a, b y c en R a(b+c) = ab+ac

11

a ! a / a ( a) 0 a 0 ! a / a.a 1

RR

RR

Asociativa

MB

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15

O1) Tricotomía: a < b a = b a > bO2) Transitividad: Si a < b y b < c entonces a < cO3) Si a < b entonces a+c < b+c, c RO4)Si a<b y 0 < c entonces ac < bc

Axioma del Supremo: “Todo subconjunto de números reales superiormente acotada posee supremo”.

AXIOMAS DE ORDENOrden.-Los número reales es ordenado, por la relación “menor que” denotada por < ; y definida a continuación: a < b sí y sólo sí b-a>0

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Propiedades1)aR , a.0= 0 = 0.a Demostrar2) aR , -a = (-1).a 3) a+b = a +c b=c Demostrar3) a,bR , a(-b)=(-a)b= -(ab)4) aR , -(-a) = a 5) a,bR , (-a)(-b)= ab

DEFINICIÓN 1.-Sustracción: Sean a y b R a-b=a+(-b)


MB

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17

Definición 2. 1aSean a,b , b 0 abb

RPropiedades

1 1 1a,b ; ab 0 (ab) a1 b. Ra,b,c,d ; b 0 d 0

a c ad bc Demost

2

rarb d bd

.

R

1 Si a,b,x ;a 0

ax b 0 x a b

3.

R


MB

Matemática Básica

18

a,b 4 ab 0 a 0 . b 0 R2 2 a,b a b a b a b5. R

DESIGUALDADESa,b a b b a R

a,b a b a b a b R

a,b a b a b a b R

Definición 1.- Sean



Definición 4.- Sea a a positivo a 0 R


MB


19

Definición 5.- Sea a a negativo a 0 R

Definición 7.- Sean a, b R entonces a y b tienen signos distintos si y sólo si uno es positivo y el otro negativo.

Definición 6.- Sean a, b R entonces a y b tienen el mismo signo si y sólo si ambos son positivos o negativos.


MB


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1. Demuestre a) 0 + x = x; b) 11a a, a 0 R -

EJERCICIOS

3. Si a,b , con ab 1, demuestre que a b 2 R

a c a6. Si a,b,c / 0 c a b, demostrar queb c b

R

a b4. Si 0 a b demuestre que a ab b2

MB


21

I. Abierto a, b = {x/ a < x < b}

[a, b = {x/ a x < b}

a, b] = {x/ a < x b}

I. Cerrado [a, b] = {x/ a x b}

b a

b a

b a

a b

III INTERVALOS Son subconjuntos de números reales que nos permite representar la solución de ecuaciones e inecuaciones


MB

Matemática Básica

Intervalos al infinito:

a, + = {x/ a < x < +} + a

- , b = {x/ - < x < b} - b

[a, + = {x/ a x < +}

+

-, b] = {x/ - < x b }

-

a

b

-, + = {x / x } =R R + +0

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MB

Matemática Básica

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1. En el conjunto de los números reales, exprese los conjuntos dados como intervalos y grafique sobre la recta real.

a) A x / x 7 R b) B x / 6 x 8 R c) x / x 4 x 13 R d) x x 3 x 5 R /

e) x / x 1 13 x / x 12 R R f ) x / x 8 x / x 14 R R

3. Si , determine

xA x / 7,3 y B x / 7x 1,147

R R

cA B, A – B

MB


24

21 6 M x x x R

COTAS1.- Halle el mínimo número M tal que

2 21 6 ( 3) 10 x x x

2 2

2( 3) 0 ( 3) 0

( 3) 10 10

R Rx x x x

x

M 10mínimo

Solución.- Completando cuadrados se tiene,

.

Por propiedad,

Por tanto,

.

MB

Matemática Básica


25

4. Si , encuentre el menor número

b y el mayor número a tal que Adicional . Si , determine el

menor intervalo donde se halle 5 – 2x

x 22 3, xx 5

R

2. Si halle el mayor valor de m y el

menor M /

1 3x , ,2 2

2m x x 3 M

2 23. Sean a,b / a b 1, halle el mayor valor

de M que satisface a b M

R

x 1 9, 5 1 a,b

3x 7

Matemática Básica

IV INECUACIONES

Inecuación.- Es una desigualdad que contiene una o varias variables. En nuestro caso solamente consideraremos inecuaciones con una sola variable.

Inecuación polinomial.- Es toda desigualdad donde el primer miembro es un polinomio y el segundo miembro es el número real cero.

Es decir; toda expresión algebraica de la forma

2 n0 1 2 np(x) a a x a x ... a x

1 2 nCoeficientes : a ,a ,..., a n ; var iable : xa 0

p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0

Conjunto solución de una inecuación. Son todos los números reales que verifican la desigualdad.

MB

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Matemática Básica

INECUACION DE SEGUNDO Y TERCER GRADO

Cuando el grado del polinomio es igual a 2 ó 3,

las desigualdades

se llaman desigualdades de segundo ó tercer grado respectivamente.

p(x)

p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0, , ,

2ax bx c Observación Toda expresión polinomial cuadrática de la forma:

es irreducible si no se puede factorizar en factores lineales en R .

MB



Observación .- Llamaremos puntos críticos de los polinomios 2p(x) ax bx c

3 2p(x) ax bx cx d

a 0 p(x) 0

,

con a las raíces de la ecuación

Método abreviado para resolver inecuaciones.-Para resolver las inecuaciones polinomiales y racionales por éste método se procede en la forma siguiente:1º) Se factoriza el polinomio ( ó polinomios) como producto de factores lineales y/o cuadráticos de la forma x – a . Los factores cuadráticos irreducibles se eliminan.

2º) Cada factor lineal se iguala a cero para hallar los puntos críticos

MB

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3º) Se ubican los puntos críticos sobre la recta real de menor a mayor o viceversa4º) Se determinan tantos intervalos como puntos críticos se obtengan y se etiquetan los intervalos de derecha hacia izquierda con signos en forma alternada hasta terminar. ó

5º) Se escribe el conjunto solución de la inecuación según la regla siguiente :

p(x) 0 x a) Si pertenece a la unión de intervalos abiertos con signos positivos b) Si pertenece a la unión de intervalos cerrados con signos positivos

p(x) 0 x

c) Si pertenece a la unión de intervalos abiertos con signos negativos

p(x) 0 x

d) Si pertenece a la unión de intervalos cerrados con signos negativos

p(x) 0 x

MB

x


x

x

x

29


30

2 5 6 0x x

Ejercicio 1.- Resolver la inecuación,

( 3)( 2) 0x x Solución.-

4)

2,3x

2

+

2) Los puntos críticos (p.c) son 2 y 3 . 3) Ubicamos los p.c. en la recta real y se tiene

3 +

5) Elegimos el intervalo que tiene el signo” – “

1) Factorizando:

2,3CS

MB


31

2 2 15 0x x

Ejercicio 2.- Resolver la inecuación,

( 5)( 3) 0x x Solución.-

4)

.

, 5 3,x

-5

+

2) Los puntos críticos (p.c.) son -5 y 3 . 3) Ubicamos los p.c. en la recta real y se tiene

3 +

5) Elegimos los intervalos con signo” + “

1) Factorizando:

, 5 3,CS

MB


32

Ejercicios:5. Exprese en forma de intervalos los conjuntos:

2 6Adicional. Resolver 2x 1 2x 1

3 2

3 2 2

3 2 3 2

3 2

a) x 2x x 2 0b) 2x 3x 11x 6 0 e) x (x 1) 6xc) x 5x 13x 7 0 f) 12x 4x 3x 1 0d) x 3x 13x 150 0

MB

a) A x / 3x 1 11x 17 R xb) C x / 5(x 1) 117

R3x 2 4 3x 5x 7c) D x /

5 2 3

R

d) E x / 2x 3x 7 8x 6 R7. Resuelva las siguientes inecuaciones en

:


33

3. El costo de producir x tarjetas de video por día está dado por . Si éstas se pueden vender a 140 nuevos soles cada una, ¿cuántas tarjetas deben producirse y venderse para obtener utilidades diarias de al menos 900 nuevos soles?

V APLICACIONES1. Se compra un número par de circuitos. Si se

vende la cuarta parte quedan menos de 118 por vender y si se vende la sexta parte quedarían más de 129 por vender, ¿Cuántos circuitos se compró?

MB


2C 300 70x x


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