Top Banner
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS; METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS
13

SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

Jun 04, 2019

Download

Documents

lykhue
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL EQUATIONS;

METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS

Page 2: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

2ND ORDER LINEAR ODE (NON-HOMOGEN)

𝑦′′ + 𝑝 𝑡 𝑦′ + 𝑞 𝑡 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑔(𝑡) ≠ 0

Bentuk standar dari linear ODE orde dua non-homogen adalah seperti berikut ini:

Setiap persamaan non-homogen berkorelasi dengan persamaan homogen

𝑦′′ + 𝑝 𝑡 𝑦′ + 𝑞 𝑡 𝑦 = 0

Note : Dua persamaan diatas adalah persaman yang sama dimana mempunyai struktur yang sama di sebelah kiri.

Persamaan kedua (bawah) adalah versi homogen dari persamaan pertama (atas)

Page 3: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

SOLUSI

𝑦′′ + 𝑝 𝑡 𝑦′ + 𝑞 𝑡 𝑦 = 𝑔 𝑡

Solusi umum untuk persamaan linear orde dua nonhomogen adalah seperti berikut ini:

𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑌Dimana :

𝑦𝑐 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 adalah solusi pelengkap untuk persamaan homogen

𝑌 adalah fungsi spesifik yang memenuhi persamaan non-homogen

Page 4: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

SOLUSI – SOLUSI UNTUK PERSAMAAAN 2ND LINEAR

ODE NON-HOMOGEN

Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi pelengkap dapat dengan mudah dicari

dengan mencari akar dari persamaan karakteristik polinom. Akan selesau terdapat 3 bentuk solusi yaitu :

Sehingga pekerjaan yang tersissa untuk persamaan non-homogen adalah mencari nilai 𝑌

Page 5: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

METODE PENDEKATAN UNTUK MENCARI SOLUSI Y

• Metode penentuan koefisien (Judicious Guessing)

• Variasi dari parameter

Page 6: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

METODE PENENTUAN KOEFISIEN (JUDICIOUS

GUESSING)

Page 7: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH KASUS 1

𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒−𝑡 + 𝐶2𝑒

3𝑡

Tentukan soslusi dari persamaan non-homogen berikut ini:

Ambil persamaan homogen dari persamaan non-homogen

Faktorkan karakteristik polinom dari persamaan homogen

Solusi dari persamaan homogen nya adalah

Tahap 1 : Selesaikan persamaan homogennya terlebih dahulu !

Page 8: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH KASUS1 (LANJUTAN..)

Tentukan solusi dari persamaan non-homogen berikut ini:

Pada persamaan non-homogen nilai 𝑔 𝑡 = 𝑒2𝑡, dimana pada persamaan eksponensial 𝑒2𝑡 , dimana bentuk

persamaannya tidak akan berubah setelah proses penurunan (𝑌 = 𝐴𝑒𝑥𝑡 ⇒ 𝑌′ = 𝑥𝐴𝑒𝑥𝑡). Sehingga

persmaaan non –homogen dapat diselesaikan dengan 𝐴𝑒2𝑡 dengan koefisien yang belum diketahui.

𝑌 = 𝐴𝑒2𝑡

𝑌′ = 2𝐴𝑒2𝑡

𝑌′′ = 4𝐴𝑒2𝑡Subtitusikan ke persamaan

𝑦′′ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 𝑒2𝑡

4𝐴𝑒2𝑡 − 2 2𝐴𝑒2𝑡 − 3 𝐴𝑒2𝑡 = 𝑒2𝑡

−3 𝐴𝑒2𝑡 = 𝑒2𝑡

𝐴 = −1

3

𝑌 𝑡 = −1

3𝑒2𝑡

Solusi Akhir : Note : jika g(t) adalah persamaan ekponensial maka Y juga

merupakan eksponensial dengan pangkat yang sama

dengan g(t)

Page 9: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH KASUS 2

Tentukan solusi dari persamaan non-homogen berikut ini:

Solusi dari persamaan homogen 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒−𝑡 + 𝐶2𝑒

3𝑡

𝑔 𝑡 = 3𝑡2 + 4𝑡 + 5Persamaan nonhomogen 𝑌 = 𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 + 𝐶

𝑌 = 𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 + 𝐶

𝑌′ = 2𝐴𝑡 + 𝐵

𝑌′′ = 2𝐴

Subtitusikan ke pers.

𝑦′′ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 3𝑡2 + 4𝑡 − 5

Page 10: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH KASUS 2 (LANJUTAN)

Subtitusikan koefisien A,B, C ke persamaan

𝑌 = 𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 + 𝐶

Solusi lengkap

Maka

Page 11: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

CONTOH KASUS 3

Tentukan solusi dari persamaan non-homogen berikut ini:

Solusi dari persamaan homogen 𝑦𝑐 = 𝐶1𝑒−𝑡 + 𝐶2𝑒

3𝑡

Persamaan non-homogen 𝑔 𝑡 = 5cos(2𝑡)

𝑌 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛(2𝑡)Jika diturunkan bentuk akan berubah maka

𝑌′′ = −4𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝑡 − 4𝐵𝑠𝑖𝑛(2𝑡)

Page 12: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

KASUS3 (LANJUTAN..)

Subtitusikan hasil turunannya ke persamaan

Page 13: SECOND ORDER LINEAR NONHOMOGENEOUS DIFFERENTIAL …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/Non_homogen.pdfODE NON-HOMOGEN Pada kasus persamaan non-homogen dengan koefisien konstan, solusi

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO

KASUS3 (LANJUTAN..)

Bandingkan kooefiesiennya

Maka didapatkan solusi Y adalah

Solusi lengkap