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3-1
CAPITOLO 3
STATICA DELLA TRAVE E DEI SISTEMI DI TRAVI
3.1. Travi rigide piane ad asse rettilineo
Si definisce trave l'elemento strutturale corrispondente ad un corpo descritto nella
configurazione di riferimento da un solido cilindrico, generato dal movimento nello spazio
di una superficie piana A, dettasezione trasversale, descritto da una linea continua L, detta
linea d'asse della trave, mutuamente ortogonali (figura 3.1). Il solido che ne risulta ha una
dimensione dominante, la lunghezza della linea d'asse tra gli estremi A e B, rispetto alla
sezione trasversale A.
L
B0
B0
AA
B
Fig. 3.1. Trave, sezione trasversale Ae linea d'asse L.
Lipotesi di piccolezza delle dimensioni della sezione trasversale A rispetto alla
lunghezza || AB = consente di trattare la trave con un modello cinematico e statico pisemplice: il modello di solido cilindrico esteso nelle tre dimensioni (modello solido di
trave tridimensionale) viene ridotto ad un modello monodimensionale, esteso secondo
l'asse della trave, denominato modello strutturale di traveo semplicemente trave.
Mentre travi ad asse curvilineo possono rappresentare diversi elementi strutturali,
quali ad esempio l'arco (L una curva piana), la trave elicoidale (L un'elica), etc., nel
seguito si far riferimento alla geometria pi semplice, ovvero la trave ad asse rettilineo, in
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3-2
cui l'asse L una retta.
f_
L
A
B
Fig. 3.2. Trave piana ad asse rettilineo.
Si consideri inoltre il caso di una trave avente asse rettilineo contenuto in un piano
e sezione trasversale Asimmetrica rispetto allo stesso piano (figura 3.2). Si supponga,inoltre, che i movimenti del corpo cos definito siano piani, ovvero che siano nulle le
componenti di spostamento ortogonali al piano , e che anche le forze applicate sianocontenute in tale piano.
Tali ipotesi consentono di studiare la cinematica e la statica della trave piana ad asse
rettilineo facendo riferimento ad un dominio piano in cui contenuto l'asse della trave, le
forze applicate e i movimenti.
Nel seguito verr considerata l'ulteriore ipotesi di rigidit della trave, che pur
essendo esemplificativa del comportamento della trave, tuttavia consente di effettuare
l'analisi dell'efficacia dei vincoli sia mediante l'analisi cinematica sia mediante l'analisi
statica. Un aspetto metodologico di notevole importanza nel progetto e nella verifica
dell'efficacia dei dispositivi di vincolo per la costruzione.
3.2. Analisi cinematica della trave piana rigida
Si consideri la trave piana descritta mediante il segmento della linea d'asse A0B0su
cui si istituisce un asse s con origine in A0 che consente di individuare i punti sull'asse
stesso. L'ipotesi di rigidit, consente di esprimere lo spostamento di un generico punto Q0,
nella configurazione di riferimento definita nel dominio bidimensionale della trave, in
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3-3
termini dello spostamento del corrispondente punto P0 sull'asse, individuato portando la
perpendicolare passante per Q0 alla linea d'asse stessa (figura 3.3). E' quindi sufficiente
limitare la descrizione cinematica ai soli spostamenti dei punti sull'asse della trave .
u
u
2
1
e1
2
O
e
P0
Q0
Q
P
B
B0
A0
A
s
s
Figura 3.3. Spostamento rigido piano.
Inoltre, l'ipotesi di rigidit consente di esprimere lo spostamento dei punti
appartenenti alla linea d'asse della trave in termini delle tre componenti di spostamento di
un punto LC generico, di posizione { }1 2c= c cT
, e rappresentate dal vettore
{ }T2c1c uud = ,come illustrato in figura 3.4.Restringendo l'analisi ai piccoli spostamenti, che comporta la sovrapponibilit dei punti
della configurazione di riferimento e di quella spostata 0 0 0A A , B B , P P , lo
spostamento { }1 2u u uT
= di un punto generico L0P individuato dal vettore
{ }1 2p= p pT
espresso dalle relazioni di moto rigido in termini dello spostamento d del
punto C (figura 3.5.), secondo la relazione:
=
=2c
1c
11
22
2
1
u
u
100
)cp(10
)cp(01
u
u
)p(u . (3.1)
Introducendo la matrice cinematica:
=
100
)c(p10
)c(p01
)c,p(D 11
22
, (3.2)
che dipende dalla posizione del punto generico p e del punto di riferimento c , l'equazione
dello spostamento si pu porre nella forma:
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3-4
u(p)=D(p,c) d (3.3)
su
u
c2
c1
C
O
1e
2e
B0
A0
c 2
c 1
Fig. 3.4. Componenti di spostamento rigido della trave.
u
u
2
1
e1
2
O
eP
0
B
B0
A0
A
s
s
Cc 2
c 1 p1
p2
P
c2u
uc1
Fig. 3.5. Componenti di spostamento rigido.
La rappresentazione dello stato di spostamento in termini di spostamenti dei punti sulla
linea dasse comporta dispositivi di vincolo pi complessi di quelli considerati per il corposoggetto a moti piani introdotti in 2.X. Infatti, nel corpo esteso nel piano i vincolisemplici impediscono lo spostamento di un punto sulla frontiera nella direzione efficace
del vincolo stesso. Tali condizioni possono essere trattate nel modello strutturale di travemediante ulteriori dispositivi di vincolo. Ad esempio, mentre nel modello di corpo
rettangolare lungo possono essere assegnati vincoli ai punti sulle basi ( == 11 x,0x ),come illustrato in figura 3.6, ci non possibile in modo diretto nel modello a trave. Si
consideri a titolo di esempio il caso illustrato in figura 3.6.
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3-5
4_
_2
_3
1_
s
uc2
uc1C
h
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3-6
Tabella 3.1 - Vincoli semplici, doppi e triplo per la trave.
Incastro semplice
Cerniera
Appoggio semplice
Carrello
Incastro scorrevole
Glifo
Incastro
S
S
D
D
T
_trave
u =0
1_
2_
1_
=_0
1
2_ 1_ =0
Incastro scorrevoleT
_2
1_
Canotto
trave
trave
1112 u =01 u =0
0
=2
_ 22 2
21
_3=, , , , ,
0
10
_2
0
_= ,01 u =0
0=_ 0 ,
1=0
2u =0u =0
0
=1
_ ,12 1
11
0
2_=, 2 ,2 21
u =0
1=_
1,
20
11
,1
=1
2_= ,
00 0
1
u =0_=
11
2 ,0
1 2
_,1 ,0= 1
0
0=
I dispositivi di vincolo riguardano, quindi, non solo i vincoli semplici di traslazione,
denominati appoggi semplici e descritti mediante il versore della direzione efficace delvincolo e la condizione di spostamento nullo:
0u0
2
1
=
= v
, (3.4)
dove 21 , rappresentano le componenti ovvero i coseni direttori del versorev e u
rappresenta lo spostamento proiettato su tale versore. L'ulteriore vincolo semplice quellosulla rotazione della sezione, che viene denominato incastro semplicee descritto mediante
il versore ortogonale al piano dello spostamento () e la condizione di rotazione nulla:
0u
1
0
0
==
= v
, (3.5)
dove la rotazione che viene impedita dal vincolo.Si possono cos ottenere i sei tipi di vincolo rappresentati in Tabella 3.1 mediante i
quali possibile impedire gli spostamenti di moto rigido della trave.
Il problema quindi ricondotto alla determinazione dell'efficacia del sistema di vincolo
agente sulla trave. A tal fine si pu estendere quanto gi trattato nel capitolo precedente eosservare che la condizione di vincolo semplice, sia a traslazione sia a rotazione, pu
essere espressa nella forma:
0)p(u = vvT , (3.6)
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3-7
essendo v l'indicatore di vincolo ( 1,v m= ) e pv il vettore posizione del vincolo
considerato. Sostituendo l'equazione (3.3) che esprime lo spostamento del punto vincolato
in termini della posizione pv e della posizione c del punto C, si ottiene l'equazione di
vincolo semplice:
{ } 0uu
100
)c(p10
)c(p01
2c
1c
11
22
321 =
v
v
vvv . (3.7)
Sviluppando il prodotto tra il vettorevT e la matrice D(p , c)v si ottiene l'equazione di
vincolo semplice nella forma:
{ }0u
u
cpcp2c
1c
311222121 =
++
vvvvvvv )()( . (3.8)
Le equazioni di vincolo semplice sono me definiscono un sistema omogeneo di equazioni
lineari:
=
++
++
++
0
0
0
u
u
)c(p)c(p
)c(p)c(p
)c(p)c(p
2c
1c
311222111
311222121
131
11
122
12
11
12
11
mmmmmmm
vvvvvvv , (3.9)
dove con A si denota la matrice dei coefficienti di ordine (m3) e con d il vettoreincognito degli spostamenti rigidi d . Tali equazioni possono essere poste nella forma
compatta 0dA = . Il giudizio sulla sufficienza dei vincoli assegnati alla trave ad escluderespostamenti rigidi, e quindi sulla idoneit a definire ununica configurazione, viene
stabilito mediante la discussione del sistema di mequazioni in tre incognite. In particolare
si osserva che i coefficienti della matrice A dipendono dalla disposizione dei vincoli (p )v
,
dalla direzione efficace )(v e dal vettore c che definisce la posizione del punto C che
arbitrario (si veda la figura 3.8).
Essendo il problema formalmente analogo a quello discusso nel caso di spostamenti rigidi
piani, ad esclusione del vincolo sulle rotazioni di incastro semplice, la discussione ricalca
quella gi sviluppata nel 2.X . Si procede quindi alla seguente classificazione:
(a) Condizione necessariaper escludere spostamenti rigidi che 3m .
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3-8
m_
_2
1_
uc2
uc1
C _v
c p1
v
1
Fig. 3.8. Esempio di trave vincolata.
(b) Se la condizione necessaria soddisfatta possono verificarsi diverse condizioni di
risolubilit del sistema a seconda del rango ( )A della matrice dei coefficienti A
secondo quanto enunciato dal teorema di Rouch- Capelli:
(b.1) == 3)A(m la soluzione esiste, unica ed quella banale )0d( = epertanto i vincoli sono efficaci ad impedire spostamenti rigidi. la trave
cinematicamente isodeterminata.
(b.2) = 3m3)A( , la soluzione esiste, unica ed quella banale )0d( = epertanto i vincoli sono efficaciad impedire spostamenti rigidi. Poich il numero
di vincoli semplici maggiore dei gradi di libert di corpo rigido, la trave
cinematicamente iperdeterminatacongrado di iperdeterminazione ( )3m .
Di seguito sono riportati alcuni esempi applicativi di tale metodologia.
Esempio (1) Assegnata la trave rigida appoggiata agli estremi, di luce , discutere
l'efficacia dei vincoli applicati e classificare cinematicamente il sistema.
Si assume l'origine O coincidente con l'estremo sinistro della trave ( 1s=x ). Si assume,
inoltre, il punto OC= , pertanto c 0= . I vincoli semplici sono definiti come:
=
==
=
=
=
0
0
1
,0
pp,
0
1
0
,0
0p,
0
1
0332211
.
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3-9
1_ _2
_3
Cc1u
c2u
Il sistema di m=3 equazioni (3.9) risulta:
0dA
0u
0u
0u
0
0
0
u
u
001
10
010
1c
2c
2c
2c
1c
=
=
=+
=
=
e la matrice dei coefficienti ha rango m== 3)A( , pertanto (b.1) la trave risultacinematicamente isodeterminata.
Esempio (2) Assegnata la trave rigida incastrata all'estremo sinistro e libera all'estremo
destro, di luce ,discutere l'efficacia dei vincoli applicati e classificare cinematicamente il
sistema.
Si assume l'origine O coincidente con l'estremo sinistro della trave )x(s 1= . Si assume,inoltre, il punto OC= , pertanto c 0= . I vincoli semplici sono definiti come:
0ppp,
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1321321 ===
=
=
=
Il sistema di m=3 equazioni (3.9) risulta:
0u
u
100010
001
2c
1c
=
1_
_2
_3
Cc1u
c2u
e la matrice dei coefficienti ha rango m== 3)A( , pertanto (b.1) la trave risulta
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cinematicamente isodeterminata.
Esempio (3) Assegnata la trave rigida continua su tre appoggi, discutere l'efficacia dei
vincoli applicati e classificare cinematicamente il sistema.
Si assume l'origine O coincidente con l'estremo sinistro della trave )x(s 1= . Si assume,inoltre, il punto OC= , pertanto c 0= . I vincoli semplici sono definiti come:
=
+
=
=
=
=
=
0
1
0
;0
p;
0
1
0
;0
p;
0
1
0
;0
0p
321321211
_2
c1C u
c2u 1_3_
s 1 s2
Il sistema di m=3 equazioni (3.9) risulta:
0u
u
10
10
010
2c
1c
21
1 =
+
.
e la matrice dei coefficienti ha rango m== 2)A( , pertanto (b.2) la trave risultacinematicamente indeterminata o labile.
Aggiungendo un quarto vincolo, si ottiene il seguente schema:
_2
C
1
_3
_
4_
=
++
=
0
0
1
,0
sp
4214 .
Il sistema di 4=m equazioni (3.9) risulta:
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3-11
0u
u
001
10
10
010
2c
1c
21
1 =
+
,
e la matrice dei coefficienti ha rango 43)A( =
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m(s)
q(s)_
_f
m
A
Q1
Q2
R1 R2
s
O
e 2
1e
Fig. 3.11. Forze e coppie concentrate e distribuite agenti sullatrave.
m(s)
q (s)_
_f
m
A
s
2
_f1
2
1_q (s)
O
e 2
1e
(a)
mf
m
A
s
2
f1
h
h
hA
h
fq
2
q
1f
Aq
O
e 2
1e
(b)
Fig. 3.12. (a)Sistemi di forze e coppie concentrate e distribuite;
(b)sistemi staticamente equivalenti alla distribuzione (a).
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Il sistema di forze attive viene descritto mediante una distribuzione F(Ah, f h; h=1,
n) di forze e coppie applicate ad npunti, il cui generico elemento descritto in termini di
forza generalizzata { 1 2f f f mT
h h h h= di componenti h1f ,h2f e coppia di momento m
h
applicata al punto Ah individuato dal vettore { }Thhh 21 aaa = , come illustrato in figura3.12.
Essendo la trave rigida, le Equazioni cardinali della staticarisultano necessarie e
sufficienti per l'equilibrio e assumono la forma:
0f
f
r
rr
2
1
12
1 =
=
= hhn
h ,
(3.10)
[ ] 0m)i(af)i(af(I)m 1122211
=++= hhhhhn
hr ,
essendo r e m (I)r , rispettivamente, il risultante ed il momento risultante della
distribuzione F rispetto al polo I individuato dal vettore { }1 2i i iT
= . Le equazioni
possono essere poste nella forma:
( ) 0fi,aDm
f
f
1)i(a)i(a
010
001
(I)m
r
r
12
1
1122
12
1
==
=
hTh
n
h
h
h
h
hh
n
h
r
, (3.11)
dove stata inserita la matrice Th
)i,a(D gi introdotta nell'analisi cinematica, ma con una
differente dipendenza dagli argomenti; tale matrice riduce la forza generalizzata hf
applicata in Ahal punto I.
Poich l'analisi riguarda la trave vincolata necessario considerare le forze reattive
associate ai vincoli descritti nel paragrafo precedente. Oltre al vincolo semplice che
impedisce lo spostamento secondo il versore { }Thhv 021 = ed a cui associata laforza reattiva incognita, necessario considerare anche il vincolo semplice alla rotazione
secondo il versore { }Tv 100= a cui associata una coppia reattiva di momento
incognito. In generale, per qualunque tipo di vincolo semplice, la forza reattiva
corrispondente data dalla relazione seguentevvv = zz , con il significato dei simboli
precedentemente illustrato.
Nel caso di vincolo alla traslazione zv rappresenta l'intensit della forza reattiva,
mentre nel caso di vincolo alla rotazione zv rappresenta l'intensit della coppia reattiva (il
verso del vettore { }Tv 100= definisce come positive le rotazioni e le coppie
antiorarie). Ne risulta, pertanto che:
vv
v
v
v
v =
= z
z
z
z
z
3
2
1
. (3.12)
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3-14
Il problema statico viene riferito al la trave nella configurazione di riferimento,
soggetta ad un sistema F(Ah, f
h; h=1, n) di forze e coppie attive, vincolata da un insieme
di mvincoli semplici applicati ai punti p ( 1 , )v
v m= , di direzione efficace descritta dal
versorev
, che esercitano un sistema di forze reattive , 1,v
z v m= incognito.
_2
1_I _v
fh
2
h
1f
mh
(a)
s
fh
2
h
1f
mhz12z
zv (b)
Fig.3.13. (a)Trave vincolata soggetta alle forze attive; (b)travelibera soggetta alle forze attive ed alle forze reattive incognite.
Innanzi tutto necessario applicare il Postulato fondamentale della Meccanica
mediante il quale si sostituiscono ai vincoli (figura 3.13.a) le reazioni vincolari (figura
3.13.a).
Tabella 3.2 - Vincoli semplici, doppi e triplo: reazioni vincolari.
Incastro semplice
Cerniera
Appoggio semplice
Carrello
Incastro scorrevole
Glifo
Incastro
S
S
D
D
T
_trave
u =0
1
_
2_
1_
2_ 1_
Incastro scorrevoleT
1_ Canotto
1_ =
00
2 =_ 00
1
_2=001
_3=1
00
_z
_2
z_
z2
1
z _1
z11
_2z _2
_11
z
22_z
z11 _ z
_22
_z33
Il problema dell'analisi statica della trave rigida (e del sistema di travi rigide) consiste
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nel verificare l'idoneit dei vincoli, ovvero delle forze reattive, ad equilibrare un
generico sistema di forze attive e quindi nel determinare, qualora possibile, i valori
delle reazioni vincolari corrispondenti ad un assegnato sistema di forze.In questo caso le Equazioni cardinali della statica assumono la forma:
.
0
0
0
z
1)i(p)i(p
010
001
m
f
f
1)i(a)i(a
010
001
(I)m
r
r
1122
1
2
1
1122
12
1
=
+
+
=
vv
vv
m
v
h
h
h
hh
n
h
r(3.13)
Definito il vettore risultante e momento risultante delle forze e coppie attive:
=h
h
h
hh
n
he
m
ff
1)i(a)i(a
010001
r 2
1
1122
1
, (3.14)
le equazioni di equilibrio divengono :
0
(I)m
r
r
z
)i(p)i(p
2
1
3112221
2
1
1
=
+
++
er
e
e
v
vvvvv
v
v
m
v . (3.15)
In analogia con le equazioni (2.xx), il sistema di 3 equazioni lineari nelle mequazioni (3.xx) pu essere posto nella forma canonica :
=
+
+
+
+
+
+
)(
e
e
m
v
mmm
mm
vvv
vv
mv
mv
Im
r
r
z
z
z
)i(p
)i(p
)i(p
)i(p
)i(p
)i(pcr
2
1
1
3112
221
3112
221
131
11
12
212
11
2212
1111
. (3.16)
Tale sistema di equazioni viene espresso in forma compatta:B z= r
e , (3.17)
dove si definisce la matrice B dei coefficienti di ordine m)(3
z il vettore delle incognite { }1z z z zT
v m= e re il vettore dei termini noti ovvero
delle componenti del risultante e del momento risultante definito in equazione (3.??).
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3-16
+
+
+
+
+
+
=
mmm
mm
vvv
vv
mv
mv
3112
221
3112
221
131
11
12
212
11
2212
1111
)i(p
)i(p
)i(p
)i(p
)i(p
)i(p
B
, (3.18)
Confrontando la matrice B del problema statico con quella A definita nel problema
cinematico (3.9) si pu osservare che se si assume il polo I coincidente con il centro C
definito nell'analisi cinematica )ic( = , i quali si ricorda che sono punti arbitrari, lamatrice A e B risultano legate dalla relazione di trasposizione:
B=AT ,
aspetto che evidenzia la relazione tra la cinematica e la statica.Le equazioni di equilibrio (3.xx) qui formulate in modo generale, possono essere
ottenute imponendo direttamente lequilibrio tra le forze attive e reattive agenti sulla trave.
Pertanto, quando possibile, verr anche seguita tale tecnica risolutiva, che nei casi pi
usuali e semplici risulta pi diretta.
Si considerino ora le condizioni per l'esistenza della soluzione del problema lineare
per qualunque condizione di carico. Dal teorema di Rouch-Capelli possibile
individuare le seguenti informazioni in relazione alla matrice B.
(a)Se il numero di vincoli semplici 3m < non esiste soluzione. Infatti la matrice B costituita da tre righe ed un numero di colonne minore di tre e quindi ha rango minore
di tre, mentre la matrice completa B r
e , assumendo il vettore r
e
valori arbitrari, ha
rango maggiore. Pertanto )rB()B(e
| e quindi per il teorema di R.C. non esistesoluzione, ovvero non esistono reazioni vincolari in grado di equilibrare sistemi
arbitrari di forze attive.L'equilibrio della trave rigida (o del sistema di travi rigide)
impossibile per generiche condizioni di carico ed il sistema (di vincolo) detto
staticamente impossibile. Data la corrispondenza tra la matrice B e A il sistema
denominato labile. Per equilibrare le forze attive necessario aggiungere vincoli
semplici opportunamente collocati e orientati.
(b)Se il numero di vincoli semplici 3m < si rende necessario discutere la soluzione aseconda del rango della matrice B e del numero di vincoli semplici m:
(b.1) )rB()B(3)B(e
|m === la soluzione esiste ed unica. Le forzereattive sono in grado di equilibrare qualunque sistema di forze attive. Il sistema
staticamente determinato per ogni condizione di carico o isostatico. I vincoli
sono efficaci.
(b.2) )rB()B(3)B(e
|
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3-17
(b.3) )rB()B(3,3)B(e
|m =>= la soluzione esiste ed unica ma indeterminata. Infatti il numero di incognite m maggiore delle tre equazioni. Il
sistema staticamente indeterminato - iperstaticoin quanto possono esistere m-
3 soluzioni possibili che soddisfano le equazioni cardinali. I vincoli sono efficaci
e possono realizzare m-3 combinazioni di valori delle forze reattive per
soddisfare l'equilibrio. Il modello di trave rigida non in grado di fornire una
soluzione determinata allo schema di vincolo considerato. L'eccesso di vincoli
pu essere in generale a favore di sicurezza, tuttavia esistono casi in cui ci viene
contraddetto.
Se si considerano particolari condizioni di carico, pu accadere che sistemi labili
( 3)B( .
Di seguito sono riportati alcuni esempi di analisi statica di travi e sistemi di travi rigide.
Esempio (1) Assegnata la trave rigida appoggiata agli estremi, di luce , discuterel'efficacia dei vincoli a equilibrare una generica condizione di carico e determinare, se
possibile, le reazioni vincolari equilibrate al sistema di forze e coppie applicate.
Si assume l'origine O coincidente con l'estremo sinistro della trave ( 1xs= ). Si assume,inoltre, il punto I=O, pertanto i 0= . La trave vincolata con tre vincoli semplici m=3.
1_
_2
_3
f
Om
1z
m /4
/2f
z2
z3O=I
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3-18
Le equazioni di equilibrio considerato il polo I risultano:
0m43
2fzI)
02fzz)x
0z)x
2
212
31
=
=+
=
/
e in forma matriciale:
rzB
f8
3m
2f
0
z
z
z
00
011
100
23
2
1
=
+
=
/.
La matrice dei coefficienti ha rango m== 3)B( , pertanto (b.1) la trave risulta essereisostatica. Risolvendo il sistema di equazioni si ottengono le reazioni vincolari incognite:
mf
8
1z,f
8
3mz,0z 123 =+== .
E' necessario osservare che la collocazione del polo I sulla retta dazione della
reazione 1z semplifica la soluzione in quanto l'equazione di equilibrio alla rotazione
presenta una sola incognita, che viene cos determinata direttamente. L'assetto statico della
trave risulta illustrato in figura.
mf
mf
8
1
f
8
3m+
Esempio (2) Assegnata la trave rigida incastrata all'estremo sinistro e libera all'altro
estremo, denominata anche trave incastrata, di luce , discutere l'efficacia dei vincoli a
equilibrare una generica condizione di carico e determinare, se possibile, le reazionivincolari equilibrate al sistema di forze e coppie applicate.
Si assume l'origine O coincidente con l'estremo sinistro della trave ( 1xs= ). Si assume,inoltre, il punto I=O, pertanto i 0= . La trave vincolata con tre vincoli semplici m=3.
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3-19
/2m
z2
I=0
z1z3
2 2__f
f2 2__
_1
/4
/2
0
_2
m
f
Le equazioni di equilibrio considerato il polo I risultano:
0f2
2
2mzI)
0f2
2z)x
0f2
2z)x
3
22
11
=++
=+
=+
e in forma matriciale:
=
f2
2
2
m
f2
2
f2
2
z
z
z
100
010
001
3
2
1
.
La matrice dei coefficienti ha rango m== 3)B( , pertanto (b.1) la trave risultaessere isostatica. Risolvendo il sistema di equazioni si ottengono le reazioni vincolari
incognite:
f2
2
2
mz;f
2
2z;f
2
2z 321 === .
Anche in questo caso necessario osservare che la collocazione del polo I nellasezione di incastro semplifica la soluzione. L'assetto statico della trave risulta illustrato in
figura.
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3-20
f2 2__ m
f
f__2 2
m__2
+2 2__f
Esempio (3)Assegnata la traverigida continua su tre appoggi, in cui si indentificano due
campate centrali di luce di luce e due sbalzi di lunghezza s, discutere l'efficacia dei
vincoli a equilibrare una generica condizione di carico e determinare, se possibile, lereazioni vincolari equilibrate al sistema di forze e coppie applicate.
Si assume l'origine O coincidente con il primo appoggi. Si assume, inoltre, il punto I=O,
pertanto i 0= . La trave vincolata con tre vincoli semplici m=3.Le equazioni di equilibrio considerato il polo I risultano:
0)/22s)(f()(zzI)
02s)f(zzz)x
00)x
2121213
12
21321
2
1
=+++++
=++++
=
,
_2
0
f
s s1 2
1
z 1 z 2 z 3
2( + ) /2
f ( + +2s)1 2
e in forma matriciale:
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21/23
3-21
rzB
2/))(s2(f
)s2(f
0
z
z
z
0
111
000
2121
21
3
2
1
211
=
+++
++=
+.
La matrice dei coefficienti ha rango m=
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22/23
3-22
Dallequazione di equilibrio (3. ) risulta:
1 1
D(a , c) f D(p ,c) zn m
h h v ve T T
h vr = = , (3.21)
che sostituita nella (3. ) porge:
1 1
1
d D(p ,c) z D(p ,c)d z
u(p ) z ,
m m TT v v v vT
A v v
mv vT
v R
L
L
= = =
= =
(3.22)
dove RL rappresenta il lavoro virtuale compiuto dal sistema di forze reattiveR(Pv, zv;
v=1,m) sugli spostamenti u(p )v
dei punti vincolati.
Considerato che la (3. ) stata ottenuta considerando un sistema di forze e coppie attive e
reattive date ed un sistema di spostamenti rigidi arbitrari, piccoli e indipendenti dallecondizioni di vincolo, si pu quindi enunciare il teorema dei lavori virtuali:
Il lavoro virtuale compiuto dalle forze attive (lavoro attivo AL ) e dalle forze reattive
(lavoro reattivo RL ) agenti su una trave piana rigida su un generico spostamento
rigido piccolo nullo
0=+ RA LL
se e solo se il sistema di forze attive e reattive equilibrato.
Esempio.Determinazione delle reazioni vincolari di una trave semplicemente appoggiata
su luce e soggetta ad un carico trasversale uniforme di intensit f.
Si considera il sistema di forze attive f e reattive z1, z2, z3rappresentato in figura (b) ed il
sistema di spostamenti rigidi virtuali, rappresentato in figura (c), ottenuto attribuendo
spostamenti e rotazioni piccole e arbitrarie al punto C=I collocato nell'origine del sistema
di riferimento.
f
x1
z 1 z 2z 3
f
u
u
+ x1 + c2
c2u
c2u
c1u
1c
(a)
(b)
(c)
C=I
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23/23
Il lavoro attivo LAviene determinato considerando la risultante rdella distribuzione f di
intensit fr= applicata alla mezzeria della trave 2
1x1= ed il corrispondente
spostamento virtuale += 21
u)21
(u 22 c :
= 22 f2
1uf cAL .
In alternativa, il lavoro virtuale attivo pu essere determinato considerando il lavoro
compiuto dalla forza elementare 1f xd sullo spostamento += 212 u)(xu c perl'estensione della trave stessa:
=+== 2
20 1120 112f
2
1ufx)xf(ux)(xfu
ccA ddL .
Il lavoro reattivo risulta:
13
22
21 uz)(uzuzL cccR +++= .
L'equilibrio tra forze attive e reattive viene stabilito imponendo alla somma dei lavori
virtuali di annullarsi per ogni spostamento rigido:
0)f2
1(zu)fz(zuz0LL 222
211
3 =+++=+ ccRA .
Tale equazione, considerata larbitrariet degli spostamenti rigidi ( 00u0u 21 ,, cc ),richiede l'annullarsi dei corrispondenti fattori:
=
=+
=
0f2
1z
0fzz
0z
22
21
3
che comporta un sistema di equazioni che corrispondono alle equazioni di equilibrio della
trave.