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TU Graz, Institut Regelungs- und Automatisierungstechnik 1
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Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am 25.10.2006 Name /
Vorname(n): Kennzahl / Matrikel-Nummer: Bonuspunkte aus den
MATLAB-Übungen: O ja O nein
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1 2 3
erreichbare Punkte 4 4 5 4 erreichte Punkte
4
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Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit
der Führungsgröße r, der Störgröße d und der Ausgangsgröße y:
1( )G sr y
2 ( )G s 3 ( )G s
d
4 ( )G s
a) Ermitteln Sie die Stör-Übertragungsfunktion:
0 0
( )( )( )
y sM sd s x =
=
als Funktion der Übertragungsfunktionen G s ,G , G und G . 1( )
2( )s 3( )s 4 ( )s
b) Für die Übertragungsfunktionen , , und G soll nun gelten: 1(
)G s 2( )G s 3( )G s 4 ( )s
1( )A s BG s
s+= 2
1( )2
sG ss+=+
31( )
4G s
s=
+ 4
1( )1
G ss
=+
A und B sind hierbei reelle Parameter. Zeigen Sie, dass für die
Stör-Übertragungsfunktion gilt:
( )( )3 2
1( )
6 8s s
M ss s A s
+=
+ + + + B
c) Ermitteln Sie den größtmöglichen Wertebereich der Parameter A
und B, für den die Übertragungsfunktion ( )M s die BIBO-Eigenschaft
besitzt. Zeichnen Sie in der A-B-Ebene denjenigen Bereich ein, für
den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft aufweist.
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Aufgabe 2: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises
mit der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße y :
r yR(s) P(s)e
Die Übertragungsfunktion der Strecke lautet: ( )8 24( )
( 1)( 5) 3sP s
s s s-=
- + +
Die Übertragungsfunktion des Reglers lautet: ( )R s K= (K reell)
Zusätzlich liegt der Frequenzgang der Strecke (für 0 ) in
maßstäblicher Darstellung (aber leider ohne Beschriftung) graphisch
vor:
( )P jw w£ < •
Ermitteln Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums den
größtmöglichen Wertebereich des Parameters K, für den obiger
Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt.
Hinweis: {1 ( )} ( 2 )2a r
arc L j n n πω∆ + = +
( )L s stellt hierbei die Übertragungsfunktion des offenen
Kreises dar.
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)
Aufgabe 3: Gegeben sei die zeitdiskrete Übertragungsfunktion
einer Regelstrecke mit der Eingangsfolge ( und der
Ausgangsfolge
( )G z
iu ( )iy :
( )1 12 4
zG zz z
a=Ê ˆ Ê ˆ- -Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯
Hierbei ist ein von Null verschiedener reeller Parameter. a a)
Geben Sie ein Zustandsraum-Modell 2.Ordnung der Form
1i d i d
Ti d i d i
u
y d+ i
u
= +
= +
x A x b
c x
in der Steuerbarkeits-Normalform (I.Standardform) an.
b) Für welche Werte des Parameters ist das Modell steuerbar bzw.
beobachtbar? Geben
Sie mathematische Begründungen an! a
c) Setzen Sie a und entwerfen Sie einen Beobachter 1=
1ˆ ˆˆ ˆi d i d iu y+ = + +x A x b b i
i
so, dass die Eigenwerte der Dynamikmatrix des Schätzfehlers ˆi
i= −e x x
bei 114
z = − und liegen. 2 0z =
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Aufgabe 4:
Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit der
Führungsgröße und der Ausgangsgröße :
ry
r yR(s) P(s)e
Für die Übertragungsfunktion der Strecke gilt: ( ) ( )(
)2001
5 2 ( 20)s
P ss s
−= − ⋅
+ +
Als Regler soll ein Proportionalregler verwendet werden, d.h.
für die Übertragungsfunktion des Reglers gilt: ( )R s K= . a)
Dimensionieren Sie mit Hilfe des Frequenzkennlinenverfahrens den
ausgewählten Regler
so, dass der offene Kreis eine Durchtrittsfrequenz von 20cω =
besitzt. Die Sprungantwort des geschlossenen Kreises soll dabei
eine Überschwingweite von aufweisen. 1.25PM =
Hinweis: Verwenden Sie dazu die asymptotischen Darstellungen von
Betrags- und
Phasenkennlinie!!! b) Wie groß ist die nun auftretende bleibende
Regelabweichung e∞ bei einer sprungförmigen
Erregung?
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TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 1
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Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am 19.1.2007 NACHNAME:
Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte aus Matlab-Übung: O Ja O
Nein
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1 2 3
erreichbare Punkte 5 5 7 4 erreichte Punkte
4
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)
Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises
mit der Führungsgröße und der Ausgangsgröße :
ry
r yR(s) P(s)e
Die Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion sei „vom einfachen
Typ“, ihr Frequenzgang liegt in Form eines Bode-Diagramms graphisch
vor:
( )P s(P jw
10-2
10-1
100
101
102
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
|P(jω
)| [d
B]
10-2
10-1
100
101
102
-180-155-135-110
-90-65-45-20
0
ω [rad/s]
arc(
P(jω
)) [°]
a) Die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises soll die
Merkmale und
aufweisen. Hierfür stehen drei verschiedene Regler zur Auswahl:
1.25pM =
0e• =
a ) ( )R s K= ) b ( )R s K= s g ) ( ) KR ss
=
K ist hierbei ein reeller Parameter. Wählen Sie einen Regler
(begründen Sie Ihre Wahl) und dimensionieren Sie diesen mit Hilfe
des Frequenzkennlinienverfahrens.
b) Die Anstiegszeit der Sprungantwort des geschlossenen
Regelkreises mit dem unter b)
dimensionierten Regler soll bei gleicher Überschwingweite und
gleicher bleibender Regelabweichung halbiert werden. Wählen Sie in
nachvollziehbarer Weise einen geeigneten Regler und dimensionieren
Sie diesen näherungsweise.
Hilfestellung: : 2 3 4 5 6 8 10 m
max1arcsin1
mm
ϕ − ∆ = + : 19° 30° 37° 42° 46° 51° 55°
dBm : 6 9.5 12 14 15.5 18 20
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)
Aufgabe 2: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises
mit der Führungsgröße und der Ausgangsgröße :
ry
r yR(s) P(s)e
Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke lautet: ( )(2( )2
3
sP ss s
-=+ +
.
Zusätzlich ist der Frequenzgang der Strecke für 0 mit einer
qualitativen (nicht maßstäblichen) Skizze der Ortskurve
gegeben:
( )P jw w£ < •
Re{P(jω)}
Im{P(jω)}
a) Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Ortskurve mit der reellen
Achse. ( )P jw Als Regler wird nun ein Proportionalregler ( )R s K=
eingesetzt ( ist ein reeller Parameter). K b) Bestimmen Sie mit
Hilfe des Nyquist-Kriteriums nachvollziehbar (mit
Fallunterscheidung und Ermittlung der stetigen Winkeländerung
für jeden Fall) den größtmöglichen Wertebereich des Parameters ,
für den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft besitzt.
K
c) Als Führungsgröße wird nun die Sprungfunktion ( ) ( )r t tσ=
gewählt. Bestimmen Sie den
größtmöglichen Wertebereich des Parameters , für den für die
bleibende Regelabweichung gilt:
Klim ( )t
e e∞ →∞= t
12∞
e < .
Hinweis: { }arc 1 ( ) ( 2 ) / 2a rL j n nω π∆ + = +
( )L s stellt hierbei die Übertragungsfunktion des offenen
Kreises dar.
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Aufgabe 3: Gegeben sei folgendes mathematische Modell einer
Regelstrecke mit der Eingangsgröße u , dem Zustandsvektor x und der
Ausgangsgröße : y
[ ]
0 1 0:
2 1 1
1 0 : T
d u udt
y
= + = +
= =
x x Ax
x c x
b
a) Ermitteln Sie ein Regelgesetz der Form
[ ]1 2 Tu h h Vr V= − + = − +x h x rj
so, dass die Eigenwerte des geregelten Systems bei 1,2 1s = −
±
( ) 1y t
liegen und für einen
Einheitssprung r t gilt: ( ) ( )tσ= limt
y∞ →∞= = .
Da der Zustandsvektor x nicht messbar ist, wird für die
praktische Realisierung obiger Regelung ein Schätzwert x
herangezogen, d.h.: . ˆ ˆTu Vh x= - + rDafür soll ein
Zustandsbeobachter der Form
ˆ ˆ ˆˆd u ydt
= + +x Ax b b
verwendet werden. b) Bestimmen Sie die Größe so, dass die
Dynamikmatrix des Beobachterfehlers e x
Eigenwerte bei b̂ ˆ:= − x
1̂ 2s = − und besitzt. 2ˆ 3s = − c) Die obige Zusammenschaltung
von Regelstrecke, Regler und Beobachter ergibt ein
Gesamtsystem der Form
T
d rdty
= +
=
z Az b
c z mit dem Zustandsvektor
ˆ
=
ez
x.
Bestimmen Sie zahlenmäßig die Systemgrößen A , b und Tc .
d) Ist die Matrix A regulär ? (Geben Sie eine mathematische
Begründung an!)
Hinweis: Die Determinante einer Matrix entspricht dem Produkt
ihrer Eigenwerte.
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Aufgabe 4: Es werde ein lineares, zeitinvariantes System mit der
Eingangsgröße und dem Zustandsvektor x betrachtet. Unter
Zugrundelegung einer Diskretisierungszeit T und unter der
Voraussetzung, dass die Eingangsgröße stückweise konstant ist,
d.h.
ud
( ) ( ) :du t u iT u= = i für ( )1diT t i T≤ < + d mit i
0,1,2,= K erhält man folgendes zeitdiskrete mathematische Modell
(mit ( ):i diT=x x ):
( ) ( )( ) ( )
( )( )1
cos 2 sin 2 1 cos 2sin 2 cos 2 sin 2
d d di i
d d d
T T Tu
T T T+−
= + − x x i
.
Es wird nun 4d
T π= gewählt.
a) Bestimmen Sie eine Steuerfolge ( )iu so, dass der
Anfangszustand ( ) [ ]0 0 1 1
T= =x x in zwei „Schritten“ in den Zustand =x übergeführt werden
kann. 0
Hinweis: Denken Sie an die besonderen Eigenschaften eines
sogenannten „dead beat“-
Reglers. b) Ermitteln Sie die Menge der Anfangszustände , die
durch die Steuerfolge
in den Zustand 0x
( ) ( )max max, ,0,0,0,0,0,iu u u= − K =x 0 gebracht werden
können (u ist hierbei ein reeller Parameter).
max
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Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am 9.3.2007 NACHNAME:
Vorname(n): Kenn-Matr.Nr.: Bonuspunkte aus Matlab-Übung: O Ja O
Nein
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1 2 3
erreichbare Punkte 6 5 5 5 erreichte Punkte
4
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TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 2
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)
Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises
mit der Führungsgröße und der Ausgangsgröße :
ry
r yR(s) P(s)e
Die Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion sei „vom einfachen
Typ“, ihr Frequenzgang liegt in Form eines Bode-Diagramms graphisch
vor:
( )P s(P jw
10-1
100
101
102
103
-40
-30
-20
-10
0
10
20
|P(jω
)| [d
B]
10-1
100
101
102
103
-100-90-80-70-60-50-40-30-20-10
0
ω [rad/s]
arc(
P(jω
)) [°]
a) Zunächst soll ein integrierender Regler ( ) KR ss
=
r
(mit dem reellen Parameter ) so
entworfen werden, dass die Anstiegszeit t der Sprungantwort des
geschlossenen Regelkreises
K
[ ] s0.15 beträgt. Wie groß ist die zu erwartende
Überschwingweite ? ü b) Ermitteln Sie für den unter a)
dimensionierten Regler und der Führungsgröße
den Regelfehler e t im eingeschwungenen Zustand. (( ) 2 3sin
100r t t= + ) ( )
c) Als Regler wird nun 1 /( )1 /
Z
N
K sR ss s
ωω
+= ⋅
+ mit N Zmω ω=
angesetzt ( ,K Zω und Nω sind hierbei reelle Parameter).
Dimensionieren Sie mit Hilfe der folgenden Tabelle (näherungsweise)
die Parameter Zω , Nω und so, dass gegenüber a) bei gleicher
Anstiegszeit t die Überschwingweite ü auf ein Drittel reduziert
wird.
K
r
: 2 3 4 5 6 8 10 m
max1arcsin1
mm
ϕ − ∆ = + : 19° 30° 37° 42° 46° 51° 55°
dBm : 6 9.5 12 14 15.5 18 20
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Aufgabe 2: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit
der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße y:
r yG2(s)G1(s)
G3(s)
u
a) Berechnen Sie die Führungsübertragungsfunktion T s als
Funktion von , und . ( ) 1G 2G 3G Für die Übertragungsfunktionen
gilt nun (mit dem reellen Parameter α ):
( )( )12( )
2G s
s s a=
+ +, 2
5( )1
G ss
=-
, . 3 ( ) 2G s =
Somit ergibt sich für die Führungsübertragungsfunktion:
( ) ( )3 210( )
1 2T s
s s sa a a=
+ + + - -18.
b) Ermitteln Sie den größtmöglichen Wertebereich des Parameters
α , für den obiger
Regelkreis die BIBO-Eigenschaft aufweist. c) Als Führungsgröße
wird nun die Sprungfunktion ( ) ( )r t tσ= gewählt.
i) Für welche Werte von α erhält man lim ( ) 1t
y y t∞ →∞= = ?
ii) Für welche Werte von α erhält man lim ( ) 1
tu u t∞ →∞= = ?
Hinweis: Für verschwindende Anfangswerte gilt ( )2( )( ) y su
s
G s= .
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Aufgabe 3: Gegeben sei die zeitdiskrete Übertragungsfunktion ( )P z
einer Regelstrecke mit der Eingangsfolge ( und der Ausgangsfolge
)iu ( )iy :
( ) 3 22 1
2.8 0.95 3.2zP z
z z z−
=− − −
a) Geben Sie das zugehörige mathematische Modell der Form
1i d i du+ = +x A x b i iu, T
i d i dy d= +c xin der sogenannten Steuerbarkeits-Normalform
an.
Zur Regelung des Systems aus Punkt a) wird nun ein
Zustandsregler der Form
[ ]1 2 3 Ti i iu h h h Vr= − + = − +x h xi iVr eingesetzt. b)
Ermitteln Sie h und V so, dass die zugehörige
Führungsübertragungsfunktion T
( ) ( )( )0
2
61.3 0.4
y zT z
r z z z=
= =− +
x 0
lautet. c) Ist das geregelte System beobachtbar ? (Geben Sie
eine mathematische Begründung an!) Da der Zustandsvektor nicht
messbar ist, müsste für die praktische Realisierung obiger Regelung
ein Schätzwert x herangezogen werden , d.h.: .
ixˆ i ˆ
Ti iu Vh x= - + ir
i
i
d) Kann dafür prinzipiell ein Zustandsbeobachter der Form
1ˆ ˆˆ ˆi d i d i du y+ = + +x A x b b
so entworfen werden, dass die Dynamikmatrix des
Beobachterfehlers beliebig vorgebbare Eigenwerte annehmen kann ?
(Geben Sie eine mathematische Begründung an!)
ˆ:i ie x x= -
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Aufgabe 4: Gegeben sei folgendes mathematische Modell einer
Regelstrecke mit der Eingangsgröße u , dem Zustandsvektor x und der
Ausgangsgröße : y
[ ]
0 2 11 1 2
1 1
d udt
y
= +
=
x x
x
Zur Regelung dieser Strecke wurde ein Regelgesetz der Form
[ ]1 2 ˆ ˆTu h h Vr V= − + = − +x h x r entworfen. Der Vektor
ist hierbei eine Schätzung des Zustandsvektors , der mit einem
Zustandsbeobachter der Form
x̂ x
ˆ ˆ ˆˆd u y
dt= + +
x Ax b b
ermittelt wird. a) Bestimmen Sie die Größe so, dass die
Dynamikmatrix des Beobachterfehlers e x
Eigenwerte bei b̂ ˆ:= − x
1̂ 3s = − und besitzt. 2ˆ 4= −s Die Zusammenschaltung von
Regelstrecke, Zustandsregler und Zustandsbeobachter ergibt ein
Gesamtsystem der Form
T
d rdty
= +
=
z Az b
c z mit
ˆ
=
xz
x und
. 2 . 1
. 1 . 2
. 1 4 0
. 7 12 8
− − = − − −
A ,
.4..
=
b ,
wobei durch eine fehlerhafte Übertragung leider einige Elemente
verloren gingen. b) Bestimmen Sie die fehlenden Elemente von A und
b sowie zahlenmäßig die
Systemgröße Tc . c) Berechnen Sie alle Lösungen der
charakteristischen Gleichung ( ) 0s − =E Adet .
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TU Graz, Institut Regelungs- und Automatisierungstechnik 1
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Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am 29.06.2007 Name /
Vorname(n): Matrikel-Nummer: Bonuspunkte aus den MATLAB-Übungen: O
ja O nein
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1 2 3
erreichbare Punkte 4 4 7 6 erreichte Punkte
4
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TU Graz, Institut Regelungs- und Automatisierungstechnik 2
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Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit
der Führungsgröße r und der Ausgangsgröße y :
r yR(s) P(s)e
Die Übertragungsfunktion der Strecke lautet: 2
3
5 4( ) s sP ss
+ +=
Die Übertragungsfunktion des Reglers lautet: ( )R s K= (K
reell)
a) Skizzieren Sie die Ortskurve der Strecke und bestimmen Sie
alle Schnittpunkte mit der reellen Achse.
( )P jw
b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums den
größtmöglichen Wertebereich des
Parameters K, für den obiger Regelkreis die BIBO-Eigenschaft
besitzt. Ermitteln Sie dazu nachvollziehbar für alle möglichen
Fälle die stetige Winkeländerung!
Hinweis: {1 ( )} ( 2 )2a r
arc L j n n πω∆ + = +
( )L s stellt hierbei die Übertragungsfunktion des offenen
Kreises dar. Aufgabe 2: Gegeben sei das mathematische Modell einer
Regelstrecke mit der Eingangsgröße u und der Messgröße : y
[ ]1 3 2 2 03 1 1
d u ydt
− = + =
x x x
a) Zur Regelung stehen zwei Zustandsregler zur Verfügung:
(i) [ ]1 1 T= − − − +xu V (ii) r [ ]5 5 T= − − − +xu V r
Wählen Sie einen Regler (begründen sie Ihre Wahl!) und bestimmen
Sie den Vorfaktor V so, dass die Bedingung für lim ( ) 1
ty y t∞ →∞= = ( ) ( )r t tσ= erfüllt ist.
b) Da der Zustandsvektor x nicht messbar ist, wird für die
praktische Realisierung obiger
Regelung ein Schätzwert herangezogen, d.h. u . Dafür soll ein
Zustandsbeobachter der Form:
x̂ ˆT= − +h x V r
ˆ ˆ ˆˆd u y
dt= + +
x b bAx
verwendet werden. Berechnen Sie die Größe so, dass die
Eigenwerte der Matrix bei liegen.
b̂ Â1 2 5s s= = −
-
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Aufgabe 3: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreises mit
der Führungsgröße und der Ausgangsgröße :
ry
r yR(s) P(s)e
Für die Übertragungsfunktion der Strecke gilt: ( ) ( )( )( )100
0.1
1 100s
P ss s s
+=
+ +
a) Skizzieren Sie das Bode-Diagramm des offenen Kreises, wenn
als Regler ( ) 1R s =
gewählt wird. Bestimmen Sie die Durchtrittsfrequenz cω . b) Es
soll nun eine Übertragungsfunktion R(s) des Reglers so ermittelt
werden, dass die
Sprungantwort des Regelkreises näherungsweise eine Anstiegszeit
von besitzt und die bleibende Regelabweichung
0.015rt s=( )lim
te e∞ →∞= t verschwindet, d.h. gilt. 0∞ =e
Zur Lösung dieser Aufgabe haben Sie die Auswahl zwischen zwei
Reglern (K und 1ω sind reelle Parameter): (i) ( )R s K=
(ii) ( ) 1(1 / )sR s Ksω+
=
Wählen Sie einen Regler aus und begründen sie Ihre Wahl. c)
Dimensionieren Sie die in Punkt b) ausgewählten Regler mit Hilfe
des Frequenz-
kennlinenverfahrens so, dass obige Anforderungen erfüllt werden.
Wie groß ist die zu erwartende Überschwingweite pM ?
d) Entwerfen Sie nun einen Regler, der bei gleicher Anstiegszeit
t zu einem prozentualen
Überschwingen von ü führt. Geben Sie die komplette
Reglerübertragungsfunktion an!
r
6%=
m : 2 3 4 5 6
max1arcsin1
mm
ϕ − ∆ = + : 19° 30° 37° 42° 46°
dBm : 6 9.5 12 14 15.5
-
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Aufgabe 4: Gegeben sei das mathematische Modell einer Regelstrecke
mit der Eingangsgröße u und der Ausgangsgröße (y α , β und γ
reell):
[ ]
2 10 1
1
d udt
y
αβ
γ
− = +
=
x x
x
a) Geben Sie Bedingungen für α , β und γ an, damit das System
steuerbar bzw.
beobachtbar ist. b) Für die Parameter α , β und γ gilt nun: 2α =
, 1β = , 0γ =
Entwerfen Sie einen Zustandsregler mit Integrierer der Form: u
hT Iε= − −h x
r yu
Strecke
hI
hT
−ε∫
T
d udty
= +
=
x Ax b
c x
x
so, dass die Eigenwerte des geregelten Systems mit dem
Zustandsvektor [ ]Tε=z x bei
und 1 2 1s s= = − 3 2s = − liegen.
rt071.pdfGegeben sei das Blockschaltbild eines
RegelkreiseGegeben sei das Blockschaltbild eines
RegelkreiseBestimmen Sie zahlenmäßig die Systemgrößen �,
rt072.pdfGegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkreise