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Favordecitarcomo:Rodrguez,V.ElementosmatemticosparaleerelModelo
Clsico de Economa Cerrada de Thomas Sargent, Material
Didctico,Posgrado en Economa, UNAM, Mxico, 2009. POSGRADO EN
ECONOMADE LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO PERODO 2009/I
LABORATORIO DE MACROECONOMA Material Didctico ELEMENTOS MATEMTICOS
PARA LEEREL MODELO CLSICO DE ECONOMA CERRADADE THOMAS SARGENT1
Prof: Violeta Rodrguez del Villar2
Estedocumentodesarrollaeldetalledelosprocedimientosmatemticosqueresuelvenel
modelo clsico de Thomas Sargent para la economa cerrada, con el
propsito de facilitar la comprensin del planteamiento y esttica
comparativa del mismo. A. EL PLANTEAMIENTO DEL MODELO 1. Las
funciones de produccin ydemanda de empleo
Elmodeloiniciaconelmicrofundamentoquepermiteformalizarlatransformacindelas
funciones de produccin y demanda de empleo individuales, en
funciones de produccin y
demandadeempleoagregadas.Alaadiradichasfuncioneslaecuacindeofertade
empleo,seobtienelacondicindeequilibriodelmercadodetrabajoylareglade
acumulacindelaeconoma.Conesafinalidad,seespecificanlascaractersticas
matemticasquedebecumplirlafuncindeproduccinindividualparaserfactiblede
agregarse y obtener el nivel de produccin de la economa en su
conjunto. I.1 Las propiedades de la funcin de produccin individual
La funcin de produccin de la firma individual se define con la
ecuacin: Yi = F(Ki, Ni), i = 1,..., n firmas3 Esa funcin de
produccin cumple con las siguientes propiedades4: 1 Sargent, T.
Teora Macroeconmica. Antoni Bosch editor, Barcelona 1982,Vol. I,
Cap. 1.
2LaautoraesProfesoradelPosgradoenEconomaeInvestigadoradelInstitutodeInvestigacionesEconmicasdelaUniversidad
Nacional Autnoma de Mxico. 3 Ecuacin (2) en el texto. 4
Caractersticas de la funcin de produccin sealadas en el primer
prrafo de la pgina 8 del texto en ingls y en espaol. 2
a)Losproductosmarginalesdelcapitalydeltrabajoquederivandelafuncinde
produccin de la firma son positivos. -Matemticamente ello significa
que sus derivadas parciales con respecto al capital y al trabajo
son positivas: Yi Yi ------ = FK > 0, ----- = FN > 0 Ki Ni
-Econmicamenteesesupuestoimplicaqueelproductoaumentar,siempre,a
mayores cantidades de capital y del trabajo.
b)Losproductosmarginalesdelcapitalydeltrabajoquederivandelafuncinde
produccin de la firma son decrecientes.
-Matemticamenteellosignificaquelassegundasderivadasparcialesdedicha
funcin de produccin, con respecto al capital y al trabajo son
menores que cero: 2YiFK 2YiFN ------ = ------= FKK < 0, ----- =
------ = FNN < 0 K2iKiN2iNi
-Econmicamente,esesupuestoimplicaqueelaumentodelproducto,conformese
incrementa el capital o el trabajo, es consecutivamente menor. c)
El producto marginal del capital y del trabajo tienen una relacin
positiva.
-Matemticamenteestesupuestoimplicaqueladerivadadelproductomarginaldel
trabajo con respecto al capital y la derivada del producto marginal
del capital con respecto
altrabajoosegundasderivadasparcialescruzadasdelafuncindeproduccin,son
positivas: FK FN ------ = FNK > 0, ----- =FKN > 0 Ni Ki
-Econmicamente, ese supuesto implica que los aumentos de capital
incrementan la
necesidaddemanodeobrayviceversa;enotraspalabras,queelcapitalnosustituyeal
trabajo o al contrario. d) La funcin de produccin es linealmente
homognea.
-Matemticamente,estesupuestosignificaquealmultiplicarlasvariables
explicativas de la funcin de produccin; es decir, el empleo y el
trabajo, por una constante 3 cualquiera, el nivel de produccin, que
es el resultado de la funcin de produccin, se habr multiplicado por
la misma constante. En general, se dice que una funcin es homognea
de grado r, si al multiplicar cada una de sus variables
independientes,por una constante , el valor de la funcin se altera
en una proporcin r; es decir si: rF(Ki, Ni) = F(rKi, rNi) 5
Haciendor=1,seobtienelafuncindeproduccinlinealmentehomognea,tambin
llamada, homognea de grado uno, dada por: F(Ki, Ni) = F(Ki, Ni)6
Enesaecuacinquedaclaroquelahomogeneidadlinealdelafuncindeproduccinno
significaquelaproduccintengaunarelacinlinealconsusvariablesindependientes,
capitalytrabajo,sinoqueimplicaquealincrementarcadaunadeesasvariablesenuna
proporcin constante, la produccin se incrementar en esa misma
proporcin y no en una potencia de esa proporcin. Si se define
=Ki/Ni, la homogeneidad lineal de la funcin de produccin implica
que dicha funcin puede expresarse con la siguiente ecuacin: Yi =
F(Ki, Ni) = Ni F(Ki/Ni, 1) En el procedimiento 1, se comprueba que
esa expresin es correcta.
5Enestanotasepresentanalgunosejemplosquepuedenservirparacomprendermejorelconceptodehomogeneidad.Losejemplos
fueron tomados de Alpha C. C. Chiang. Mtodos Fundamentales de
Economa Matemtica, p.418. Ejemplos: Demostrar que la funcin: a)
f(x,y,z) = x/y + 2y/3x
eshomogneadegradocero.Parademostraresaafirmacin,semultiplicanlafuncinytodaslasvariablesqueestnaladerechadel
igual por y se resuelven las operaciones aritmticas: f(x,y,z) = x/y
+ 2y/3x = 0(x/y + 2y/3x) = x/y + 2y/3x b) f(x,y,z) = x2/y + 2y2/3z
es homognea de grado uno. Siguiendo el mismo procedimiento del
ejemplo anterior, se obtiene: f(x,y,z) = (x)2/y + 2(y)2/3z = =
2x2/y + 22y2/3z = x2/y + 2y2/3z = 1(x2/y + 2y2/3z) c) f(x,y,z) =
2x2 + 3yz + z2 es homognea de grado dos.
Multiplicandoporlafuncinylasvariablesqueestnaladerechadelaigualdadyresolviendolasoperacionesaritmticasse
demuestra la afirmacin: f(x,y,z) = 2(x)2 + 3yz + (z)2= 22x2 + 32yz
+ 2z2 = 2(2x2 + 3yz + z2) 6 Ecuacin que sigue al segundo prrafo de
la pgina 8 del texto en ingls y en espaol. 4
==============================================(Inicia Procedimiento
1) PROCEDIMIENTO1.Derivamatemticamentelaexpresindelafuncinde
produccinentrminosdelarelacincapital-trabajo,necesariaparademostrarque
losproductosmarginalesdelcapitalydeltrabajodependendeesarelacincapital-trabajo
exclusivamente.
Definaselaconstante=1/Ni,entonces,sisemultiplicaYiporNi=Ni(1/Ni)=1,la
funcin de produccin puede expresarse como: Yi = Ni Yi Sustituyendo
Yi que est a la derecha del igual por la funcin de produccin: Yi =
Ni F(Ki,Ni) Multiplicando cada una de las variables explicativas7
por la constante : Yi = Ni F(Ki, Ni) Sustituyendo = 1/Ni Yi = Ni
F(Ki/Ni, Ni/Ni) = Ni F(Ki/Ni, 1) con lo cual queda demostrada la
afirmacin. ============================================(Termina
Procedimiento 1)
-Econmicamente,lahomogeneidadlinealdelafuncindeproduccintienelas
siguientes consecuencias:
i)AunqueelmodelodeSargentnolohaceexplcito,lahomogeneidadlineal
implica que los productos fsicos medios del trabajo y del capital
pueden expresarse como
funcionesdelarelacincapital-trabajoexclusivamente,comosecompruebaenel
Procedimiento 2.
==============================================(Inicia Procedimiento
2) PROCEDIMIENTO2.Derivamatemticamentelosproductosfsicosmediosdel
trabajo y del capital de la funcin de produccin linealmente
homognea
Defnasealproductofsicomediodeltrabajocomolarelacinentrelaproduccinyel
trabajo: PMeN = Yi/Ni 7 Ntese que esa operacin es vlida porque se
ha supuesto que la funcin de produccin es linealmente homognea. 5
Si se sustituye en la ecuacin anterior la funcin de produccin
expresada como: Yi = Ni F(Ki/Ni, 1) Se obtiene: PMeN = Ni F(Ki/Ni,
1)/Ni Multiplicando Ni(1/Ni) se demuestra que el producto medio del
trabajo es una funcin de la relacin capital trabajo exclusivamente:
PMeN = F(Ki/Ni, 1) Con relacin al producto medio del capital, por
definicin ste es igual a la relacin entre el producto y el capital:
PMeK = Yi/Ki
Nuevamente,sisesustituyeenlaecuacinanteriorlafuncindeproduccinexpresada
como: Yi = Ni F(Ki/Ni, 1) Se obtiene: PMeK = Ni F(Ki/Ni, 1)/Ki
Multiplicando Ki(1/Ni): PMeK = (Ni/Ki) F(Ki/Ni, 1) Con lo cual,
queda demostrado que el producto medio del capital solamente
depende de la relacin capital-trabajo.
============================================(Termina Procedimiento
2)
Lasexpresionesanterioresparalosproductosfsicosmediosdelcapitalydeltrabajo
implican que si la funcin de produccin linealmente homognea ha de
generalizarse, no es
necesariosuponerquetodaslasfirmastienenlamismacantidaddecapitalydetrabajo,
basta con suponer que, independientemente de los montos absolutos
de capital y de trabajo que cada una emplee, dichos valores generan
una relacin capital-trabajo que es igual para
todaslasfirmas,locualsignificaquealsergeneralizadalafuncindeproduccin
linealmentehomognea,admitedistintasescalasdeproduccinytamaosdefirma,
siempre que todas ellas tengan la misma relacin capital-trabajo.
ii) Otra de las consecuencias de la homogeneidad lineal de la
funcin de produccin, la cual si es sealada por Sargent, es que los
productos fsicos marginales del capital y del trabajo 6
puedenexpresarsecomofuncionesdelarelacincapital-trabajoexclusivamente.Esta
propiedad se corrobora en el Procedimiento 3.
==============================================(Inicia Procedimiento
3) PROCEDIMIENTO 3. Deriva matemticamente los productos marginales
del trabajo
ydelcapitalparalafuncindeproduccinlinealmentehomognea,deloscuales
Sargent haceexplcito el productomarginal del trabajo,con la ltima
ecuacin de la pgina 8.
Defnasealproductomarginaldeltrabajo,comoladerivadaparcialdelafuncinde
produccin con respecto al trabajo: Yi FN = ------ Ni
SustituyendoYiporlafuncindeproduccinqueseobtuvodeelProcedimiento2,dada
por: Yi = Ni F(Ki/Ni, 1) Se obtiene: Yi [Ni F(Ki/Ni, 1)] FN =
------ = ----------------------- Ni Ni
Porlaregladeladerivadadelamultiplicacindedosfunciones8laderivadaquese
encuentra despus del segundo igual es: F(Ki/Ni, 1) Ni FN = Ni
------------------ + F(Ki/Ni, 1) ------ Ni Ni
Pararesolverelprimersumando,secalculaladerivadadelafuncindeproduccincon
respectoaltrabajo,utilizandolaregladelafuncinimplcita9;conrelacinalsegundo
sumando, la ltima derivada es igual a uno10:
8Deacuerdoconesaregla,dadasdosfuncionesdexcualesquiera,g(x)yf(x),laderivadadesuproductoconrespectoaxsedefine
como: (gf)g f ------ = f ----- + g ---- xx x 9 De acuerdo con esa
regla, dada una funcin implcita de x, z = f(y) donde y = g(x), su
derivada con respecto a x est dada por el producto: zzyfg 7
F(Ki/Ni, 1)(Ki/Ni) FN = Ni ------------------ ----------+ F(Ki/Ni,
1)(1) (Ki/Ni)Ni Nuevamente, para resolver el primer sumando, se
calcula la derivada de la relacin
capital-trabajoconrespectoaltrabajoutilizandolaregladeladerivadadeladivisindedos
variables11.Elsegundosumando,porsuparte,seresuelveobteniendoelproductodela
funcin de produccin por uno: F(Ki/Ni, 1)Ni (Ki/Ni) - Ki(Ni/Ni) FN =
Ni ------------------ ---------------------------------- + F(Ki/Ni,
1) (Ki/Ni)Ni2
Paraterminarderesolverelprimersumando,seasumequeladerivadadelcapitalcon
respecto al trabajo es cero y se obtienela derivada del trabajo con
respecto al trabajo, que es uno, lo que resulta en: F(Ki/Ni, 1)Ni
(0) - Ki(1) FN = Ni ------------------ ----------------- + F(Ki/Ni,
1) (Ki/Ni)Ni2 Calculando las multiplicaciones por cero y por uno:
Porlaspropiedadesconmutativayasociativadelamultiplicacin,elprimerNipuede
incluirse en el ltimo parntesis del primer sumando:
------ = ----- ----= -------- x y x y x 10 Puesto que la
derivada de cualquier variable con respecto a s misma es uno. 11 De
acuerdo con esa regla, la derivada de la divisin de dos variables
con respecto a una de ellas, est dada por la relacin: (x/y) y (x/x)
+ x(y/x) --------- = ------------------------------ xy2 F(Ki/Ni,
1)Ki FN = Ni ------------------ -----+ F(Ki/Ni, 1) (Ki/Ni)Ni2
F(Ki/Ni, 1)Ni Ki FN = ------------------ -------+ F(Ki/Ni, 1)
(Ki/Ni)Ni2 8 Resolviendo la divisin que se encuentra en el segundo
parntesis: Reordenando el resultado anterior: F(Ki/Ni, 1) Ki FN
=F(Ki/Ni, 1) -----------------------(Ki/Ni) Ni Con lo cual queda
demostrado que la productividad marginal del trabajo solamente
depende de la relacin capital-trabajo.
Respectodelaproductividadmarginaldelcapital,stasedefinecomoladerivadaparcial
de la funcin de produccin con respecto al capital: Yi FK = ------
Ki
SustituyendoenellalafuncindeproduccinqueseobtuvodeelProcedimiento2,dada
por: Yi = Ni F(Ki/Ni, 1) la productividad marginal del capital
puede expresarse como: : Yi [Ni F(Ki/Ni, 1)] FK = ------ =
----------------------- Ki Ki
Pararesolverladerivadaqueestdespusdeligual,sevuelveahacerusodelaregladel
producto: F(Ki/Ni, 1) Ni FK = Ni ------------------ + F(Ki/Ni, 1)
------ Ki Ki
Pararesolverladerivadadelprimersumandosevuelveautilizarlaregladelafuncin
implcita;mientrasque,paraelsegundosumandoseasumequeladerivadadeltrabajo
respecto al capital es cero: F(Ki/Ni, 1)Ki FN = ------------------
----+ F(Ki/Ni, 1) (Ki/Ni) Ni 9 F(Ki/Ni, 1)(Ki/Ni) FK = Ni
------------------ ----------+ F(Ki/Ni, 1)(0) (Ki/Ni)Ki
Nuevamente,pararesolverelprimersumandoseutilizalaregladeladerivadadela
divisin y, para el segundo sumando, se resuelve la multiplicacin
(la cual es igual a cero): F(Ki/Ni, 1)Ni (Ki/Ki) - Ki(Ni/Ki) FK =
Ni ------------------ ---------------------------------- (Ki/Ni)Ni2
Comoladerivadadelcapitalrespectoasmismoesunoysehaasumidoqueladerivada
del trabajo respecto al capital es cero, la expresin anterior se
convierte en: F(Ki/Ni, 1)Ni (1) FK = Ni ------------------ --------
(Ki/Ni) Ni2 Resolviendo la multiplicacin del numerador del ltimo
cociente, se obtiene: F(Ki/Ni, 1)Ni FK = Ni ------------------ ----
(Ki/Ni) Ni2 Haciendo la divisin del ltimo cociente se obtiene:
F(Ki/Ni, 1) 1 FK = Ni ------------------ ---- (Ki/Ni) Ni Por las
propieades asociativa y distributiva de la multiplicacin, la
ecuacin anterior puede escribirse: F(Ki/Ni, 1)Ni FK =
------------------ ---- (Ki/Ni)Ni Resolviendo la divisin del ltimo
cociente, se obtiene: F(Ki/Ni, 1) FK = ------------------ (1)
(Ki/Ni) 10
Resolviendoeseproductoquedademostradoquelaproductividadmarginaldelcapital
solamente depende de la relacin capital-trabajo12: F(Ki/Ni, 1) FK =
------------------ (Ki/Ni)
============================================(Termina Procedimiento
3) Econmicamente, las expresiones anteriores para las
productividades marginales del capital
ytrabajo,implicanquesilafuncindeproduccindelafirmahadegeneralizarse,noes
necesariosuponerquetodaslasfirmasutilizanlasmismascantidadesdecapitalyde
trabajo,bastaconsuponerqueesasfirmasutilizanlamismarelacincapital-trabajo.Ello
significa que la generalizacin de la funcin de produccin
linealmente homognea, admite
distintasescalasdeproduccinytamaosdefirma,siemprequetodasellasutilicenla
misma relacin capital-trabajo. iii) Finalmente, la homogeneidad
lineal de la funcin de produccin implica que el nivel de
produccinpuedeexpresarsecomolasumadelosproductosentrelaproductividad
marginal del trabajo por la cantidad de trabajo contratado por la
firma, mas la productividad marginal del capital por la cantidad de
capital que utiliza la firma. Esta propiedad se conoce como teorema
de Euler y se expresa con la siguiente ecuacin13: YiYi Yi = Ki
----- + Ni ----- = Ki FK + Ni FN KiNi En el Procedimiento 4, se
comprueba el Teorema de Euler.
==============================================(Inicia Procedimiento
4) PROCEDIMIENTO 4. Demuestra el Teorema de Euler presentado por
Sargent, para la firma individual, como la ecuacin que sigue al
tercer prrafo de la pgina 8 y, para el agregado, como la ecuacin
que sigue al segundo prrafo de la pgina 10 en el texto en ingls y
al cuarto prrafo de la pgina 10 en el texto en espaol. Sustituyendo
en la ecuacin del Teorema de Euler, dada por: YiYi Yi = Ki ----- +
Ni ----- = Ki FK + Ni FN KiNi las definiciones que se obtuvieron en
el inciso anterior, para las productividades del capital y del
trabajo, dadas por: 12 Ecuacin que sigue al quinto prrafo de la
pgina 8 en el texto en ingls y en espaol. 13 Ecuacin que sigue al
tercer prrafo de la pgina 8 en el texto en ingls y en espaol. 11
F(Ki/Ni, 1) Ki FN =F(Ki/Ni, 1) -----------------------(Ki/Ni) Ni
F(Ki/Ni, 1) FK = ------------------ (Ki/Ni) Se obtiene: Calculando
la multiplicacin del segundo sumando: F(Ki/Ni, 1) F(Ki/Ni, 1)Ki Yi
= Ki --------------- + Ni F(Ki/Ni, 1) Ni ------------------ ----
(Ki/Ni)(Ki/Ni)Ni Haciendo la divisin del ltimo trmino: F(Ki/Ni,
1)F(Ki/Ni, 1) Yi = Ki --------------- + Ni F(Ki/Ni, 1) Ki
------------------ (Ki/Ni)(Ki/Ni) Como el primeroyltimo trmino de
la expresin anterior son iguales,al restar el ltimo del primero se
obtiene cero y, por tanto: Yi = Ni F(Ki/Ni, 1) = F(Ki,Ni) Quedando
demostrado el Teorema de Euler.
============================================(Termina Procedimiento
4)
EconmicamenteesaPROCEDIMIENTOimplicaqueencondicionesdehomogeneidad
lineal (igual producto medio y marginal y produccin que aumenta en
la misma proporcin
queelcapitalyeltrabajo)siacadafactorseleretribuyeporelvalordesuproducto
marginal,elproductototalsedistribuirentretodoslosfactores,enfuncindesu
participacin en la produccin, lo que implica que el beneficio
econmico para los factores de produccin, ms all de su aportacin a
la produccin, es cero. I.2. La agregacin de la funcin de produccin
individual
Partiendodelaspropiedadesanteriores,lafuncindeproduccindelafirmaindividual
puede agregarse fcilmente, simplemente aplicando sumatoria a la
propia funcin: F(Ki/Ni, 1)F(Ki/Ni, 1) Ki Yi = Ki --------------- +
Ni F(Ki/Ni, 1) ----------------------- (Ki/Ni) (Ki/Ni) Ni 12 Y =
EYi = EF(Ki,Ni)14 Por el teorema de Euler, se tiene que esa
sumatoria puede expresarse15: Y = EYi = E(Ki FK + Ni FN) Debido a
la homogeneidad lineal, la productividad marginal del capital y del
trabajo pueden
expresarsecomounafuncindelarelacincapitaltrabajo,comodicharelacinesla
mismaparatodaslasfirmas,entonceslarelacinentrelassumatoriasdelcapitalydel
trabajoserigualalarelacinentreelcapitalyeltrabajodelafirmaindividualy,por
tanto, las productividades marginales del capitalydel trabajo sern
las mismas para todas las firmas y para la economa en su conjunto;
es decir, si: Ki Kj --- = ---- ,Ni Nj Para todo i distinto de j,
entonces: EKi K --- = ---- ,ENi N y, por tanto: FKi = FKj = FK FNi
= FNj = FN Lo cual significa que la expresin para la produccin
agregada puede escribirse: Y = FK EKi + FNENi
Lacualimplica,bajocondicionesdemaximizacindelagananciadelafirmaindividual,
que la productividad marginal del trabajo es idntica al salario
real16: FN(Ki,Ni) = (w/p) Ese resultado se comprueba en el
Procedimiento 5.
==============================================(Inicia Procedimiento
5) PROCEDIMIENTO 5. Comprueba que la productividad marginal del
trabajo es igual al salario real bajo condiciones de maximizacin de
la ganancia de la firma individual 14 Ecuacin que sigue al primer
prrafo de la pgina 10 en el texto en ingls y al tercer prrafo de la
pgina 10 en el texto en espaol. 15 Ecuacin que sigue al segundo
prrafo de la pgina 10 en el texto y ltima ecuacin de la pgina 10 en
el texto en espaol. 16 Ecuacin 4 en el texto en ingls y en el texto
en espaol. 13
yhomogeneidadlinealdelafuncindeproduccin.Esacondicineslaecuacin(4)
del modelo de Sargent (o bien, 3 en el texto en ingls). Defnase la
ganancia de la firma individual como la diferencia entre el
producto y la suma de los costos laborales ms los costos de
capital: Hi = pF(Ki,Ni) wNi (r+ot)pKi Por la condicin de primer
orden17 para la maximizacin de la ganancia: Hi [pF(Ki,Ni) wNi
(r+ot)pKi] ---- =----------------------------------------- = 0 Ni
Ni Considerando la regla de la derivada de una suma18, la condicin
anterior puede expresarse: Hi [pF(Ki,Ni)](wNi)[(r+ot)pKi] ----
=---------------- --------- -------------------NiNiNi Ni Si el
costo unitario del capitaly del trabajo, as como los precios, no se
modifican ante las variaciones en el empleo: (r+ot) wp -----------
= 0,------ = 0 y----- = 0 Ni Ni Ni
utilizandolaregladeladerivadadelproducto,seobtienequelacondicinde
maximizacin puede expresarse como: Hi [F(Ki,Ni)]Ni Ki ----
=p---------------- w ------ (r+ot)p ----- NiNi Ni Ni 17 Dada una
funcin z=f(x,y), las condiciones para la existencia de extremos
relativos (mximos y mnimos) son: CondicinMximoMnimo Condicin
necesaria de primer ordenfx = f/x = 0 fy = f/y = 0 fx = f/x = 0 fy
= f/y = 0 Condicin suficiente de segundo ordenfxx = fx/x < 0 fyy
= fy/y < 0 y siendo fxy = fx/yy fyx = fy/x , se cumple que:fxx
fyy > fxy fxx fyy > fyx fxx = fx/x > 0 fyy = fy/y > 0 y
siendo fxy = fx/yy fyx = fy/x , se cumple que:fxx fyy >fxy fxx
fyy > fyx En donde la condicin de segundo orden solamente es
aplicable despus de que se haya satisfecho la condicin necesaria de
primer orden. 18 De acuerdo con esa regla, la derivada de una suma
de variables o funciones es igual a la suma de la derivada de cada
variable o funcin incluida en la suma que se deriva. 14
Puestoqueladerivadadelprimersumandodelaecuacinanteriores,pordefinicin,la
productividadmarginaldeltrabajo,elcocientedelsegundosumandoesigualaunoy
asumiendoqueelcapitalnosemodificaantevariacionesenelempleo,dichaecuacin
puede expresarse19: Hi ---- =pFN(Ki,Ni) w = 0 Ni Pasando w despus
del ltimo igual (con signo contrario): pFN(Ki,Ni) = w Despejando la
productividad marginal del trabajo: FN(Ki,Ni) = w/p
Seobtienelafuncinquehaceequivalentealaproductividadmarginaldeltrabajodela
firma individual con el salario real unitario.
============================================(Termina Procedimiento
5)
Ahorabien,comolafuncindeproduccinqueseencuentradetrsdelaproductividad
marginaldeltrabajoeslinealmentehomogneasecumplequelarelacinentrelas
sumatoriasdelcapitalydeltrabajoesidnticaalarelacincapital-trabajodetodaslas
firmas, lo cual significa que la productividad marginal del trabajo
de cada firma individual,
quedependedeesarelacincapital-trabajo,esidnticaalaproductividadmarginaldel
trabajo agregada, implicando que la funcin de la productividad
marginal del trabajo de la firma individual es idntica a la funcin
de la productividad marginal del trabajo agregada: FN(K,N) = w/p
Econmicamente,loanteriorsignificaque,enelagregado,laproductividadmarginaldel
trabajoes,bajocondicionesdemaximizacindelagananciadelafirmayhomogeneidad
lineal de la funcin de produccin, igual al salario real unitario
promedio. I.4. La funcin de oferta de empleo
Elmodeloasumequelaofertadeempleo(Ns)dependetambindelsalarioreal,enuna
relacin del tipo: Ns = N(w/p), N =dN/d(w/p)>0
Funcinquereflejalaspreferenciasocio-trabajodelostrabajadores,deacuerdoconlas
cuales los trabajadores desearn trabajar ms, sacrificando ocio,
cuanto mayor sea el salario real que prevalezca en el mercado de
trabajo. 19 Ecuacin que sigue a la sealada con el nmero 3 en el
texto en ingls y en espaol. 15 En el equilibrio, la oferta y
demanda de empleo son idnticos: Ns = N = N(w/p) I.5. La regla de
acumulacin de la economa
Finalmene,respectoalaacumulacindelafirma,sedefinelatasadeacumulacinde
capital como una funcin de la diferencia entre el producto marginal
del capitaly el costo unitario del capital: dK FK (r+o-p) ----- = I
= I[ ----------------] dtr-t I' > 0. La cual puede compactarse
como: I = I (q-1), I > 0 donde: FK (r+o-p) q = ----------------
+ 1 = q(K, N, r-t, o) r-t Como se corroborar ms adelante, la
definicin de acumulacin de la firma y, en particular q-1,
constituye el elemento que relaciona al mercado de acervos fsicos
con el mercado de acervos financieros, siendo q el costo del
capital financiero, relativo al costo del capital fijo. II. El
mercado financiero En el modelo de Sargent, mientras que la dinmica
produccin-empleo resuelve los niveles de empleo, produccin y
salarios, determinando la oferta agregada, del mercado financiero
resultanlatasadeintersrepresentativadelmercadoyelvalorrealdelosactivos
financieros disponibles en la economa, en particular la cantidad de
dinero en circulacin o,
alternativamente,elvalordelasaccionesydelosbonos,quesonlostrestiposdeactivos
financierosqueelmodeloconsiderarelevantesparaexplicareldesenvolvimiento
econmico. Por consiguiente, el objetivo de la parte financiera del
modelo consiste en proporcionar las
ecuacionesquedefinenalatasadeintersrepresentativadelmercadoyalacantidadde
dineroencirculacinysuvalorreal.Porefectocontable,aldeterminarlacantidadde
dineroencirculacinysuvalorreal,quedaautomticamentedefinidoelvalorreal
agregado de los bonos y las acciones. Como en todo modelo neoclsico
esas cantidades se determinan por la interaccin de la oferta y la
demanda, en este caso, de activos financieros. 16 II.1. La oferta
de activos financieros -La oferta de dinero La definicin de la
forma en que se desenvuelve la oferta de dinero, permite obtener la
tasa
dedepreciacindeldinero,queeselcostodemantenerelcirculanteinvertidoencapital
fsico,bonosoacciones.Portanto,latasadedepreciacindeldinero,determinael
rendimientorealdelastresvariables.EnelmodelodeSargent,esatasadedepreciacin
est definida por la ecuacin20: Mp ----- = ---- Mp En el
Procedimiento 6 se detalla la manera en que resulta dicha tasa de
depreciacin. ==============================================(Inicia
Procedimiento 6)
PROCEDIMIENTO6.Derivalatasadedepreciacindeldineropresentadacomola
segunda ecuacin de la pgina 13 (o bien, segunda ecuacin de la pgina
12 en el texto en ingls) del modelo de Sargent. Para obtener esa
tasa de depreciacin, el modelo asume que la cantidad de saldos
reales enla economa est dada por M/p, cuya variacin, por
definicin21, es: d(M/p) --------- dt Para resolver esa derivada se
aplica la regla de la derivada de la divisin de dos variables22,
obtenindose: 20 Segunda ecuacin de la pgina 12 del texto en ingls y
segunda ecuacin de la pgina 13 del texto en espaol. 21 Es
importante notar que la derivada de cualquier variable respecto al
tiempo, proporciona la diferencia entre el valor de esa variable en
el perodo actual, respecto a su valor en el perodo anterior, cuando
el espacio entre un perodo y otroes infinitesimal. Si se traslada
al
casodiscreto,laoperacindederivarlavariablexconrespectoaltiempo,equivaleaobtenerladiferenciaxtxt-1.Porsuparte,la
derivada de cualquier variable respecto al tiempo, dividida entre
el valor de la variable; es decir, el resultado de realizar la
operacin: dx/xx ------ = --- dtx proporciona la tasa de crecimiento
de esa variable. Si se trasladara al caso discreto, la operacin de
dividir entre x, la derivada de x con respecto al tiempo, equivale
a resolver el cociente (xt xt-1)/x. Lo anterior significa que,
mientras que la derivada puede ser interpretada
comounadiferenciaquetienelamismaunidaddemedidaquelavariableoriginal,laderivadadecualquiervariableconrespectoal
tiempo, dividida entre el valor de la variable que se deriv, puede
ser interpretada como un porcentaje al ser multiplicada por cien,
puesto que indica a qu proporcin de la variable x, equivale la
diferencia xt xt-1, cuando x=1. 22 Como se indic en la nota 7, esa
regla seala que la derivada de la divisin de dos variables se
obtiene dividiendo entre el denominador elevado al cuadrado, el
resultado de restar al producto del denominador por la derivada del
numerador, el producto del numerador por la derivada del
denominador.17 d(M/p)p(dM/dt) M(dp/dt) --------- =
-------------------------- dtp2 si las derivadas con respecto al
tiempo de la ecuacin anterior se denotan como: dM dp ----- = M,---
= p dt dt
elresultadodeaplicarlaregladeladerivadadeladivisindedosvariablespuede
expresarse: d(M/p)pM Mp --------- = ------------- dt p2 La divisin
del primer producto que se encuentra despus del igual de la ecuacin
anterior entre el cuadrado del precio, resulta23 en 1/p,
transformando el resultado anterior en24: d(M/p)M M p --------- =
----- ----- ---- dt p p p El modelo asume que el dinero no
proporciona ganancia financiera; es decir, no constituye una fuente
de acumulacin de recursos financieros, lo cual significa que los
saldos reales no aumentan en el tiempo, implicando que la ecuacin
anterior es igual a cero: d(M/p)M M p --------- = ----- ----- ----
= 0 dt p p p
Delaexpresinanterior,elltimoproductosetrasladadespusdeligualparadespejarla
tasa de crecimiento del dinero, obtenindose: MM p ----- = -----
----p pp Multiplicando toda la ecuacin anterior por (p/M): 23
Puesto que, por las reglas de los exponentes p/p2 = p1-2 = p-1 =
1/p. 24 Primera ecuacin de la pgina 12 del texto en ingls y primera
ecuacin de la pgina 13 del texto en espaol. 18 M p p ----- = -----
---- M p p Como p/p = 1, el ltimo resultado puede escribirse: Mp
----- = ----- Mp Ecuacin que define a la tasa de depreciacin del
dinero. ============================================(Termina
Procedimiento 6) La ecuacin obtenida en el Procedimiento anterior,
proporciona la tasa a la que debe crecer
lacantidadnominal25dedineroparamantenerconstantesuvalorreal,indicandoqueesa
tasa es igual a la inflacin observada. Si la cantidad de dinero no
crece, los balances reales
sedepreciarnalatasadecrecimientodelosprecios.Seasumequeelpblicono
necesariamente conoce esa tasa, por lo que se forma una expectativa
de la misma que puede
diferirdelatasadedepreciacinefectivadeldinero.Enelmodelo,esaexpectativase
denota por t. -La oferta de bonos
Comosevermsadelante,elmodeloasumequelosbonosylasaccionessonsustitutos
perfectos,locualimplicaquelatasadedepreciacindelosbonos,queseobtieneenesta
partedelmodelo,determina,asuvez,elrendimientorealdelasacciones,puestoquelos
inversionistasbuscarnganaralmenosesatasadeintersdesuinversinenacciones.
Como tambin se asume que todo el capital fsico se financia con
acciones, entonces la tasa de inters de los bonos determina tambin
el costo del capital fsico.
ElmodelodeSargentasumequeexisteunnicobonogubernamentalqueoperacomo
depsito del ahorro, cuyo valor nominal est dado por B y genera una
tasa de ganancia dada
porr,implicandoqueresultaeninteresesequivalentesarB.Paraquelosagentespuedan
recuperarlariquezaqueinvirtieronenBalolargodeltiempo,larelacinB/ptieneque
mantenerseconstante,locualsignificaquelosbonossedeprecian,comoeldinero,auna
tasa igual a la inflacin. 25 La cantidad nominal de dinero, sealada
por M, es igual al valor nominal de los billetesy monedas que estn
en circulacin. Para ver ms claramente el significado de M,
considrese una economa que tiene cinco billetes de cien pesos,
cuatro de cincuenta pesos y cinco billetes de veinte pesos. En esa
economa, M equivale a la suma: 100(5) + 50(4) + 20(5) = 800. 19
Igualqueenelcasodeldinero,losagentesnoconocenesatasadeinflacinobservada,
utilizando en su valuacin de los bonos la tasa de inflacin
esperada. De ello se deriva que la tasa de depreciacin de los
bonos, expresados en trminos reales, es igual a la diferencia
entrelatasadeintersdelosbonosylatasadeinflacinesperada:r-t.
Elsiguiente Procedimiento deriva la tasa de depreciacin de los
bonos. ==============================================(Inicia
Procedimiento 7)
PROCEDIMIENTO7.DerivalatasadedepreciacindelosbonosqueSargent
comenta en el penltimo prrafo de la pgina 13 (o bien, 12 en el
texto en ingls). Para obtener la tasa de depreciacin de los bonos,
se resuelve la derivada del valor real de los bonos, B/p, con
respecto al tiempo, aplicando la regla de la derivada de una
divisin de variables, procedimiento del que se obtiene el siguiente
resultado: d(B/p)p(dB/dt) B(dp/dt)pB BpB B p --------- =
-------------------------- = ----------- = --- --- --- dtp2p2 pp p
Para que el pblico no pierda de su inversinenbonos, el
resultadoanterior tiene que ser igual a cero: d(B/p) BB p
---------= --- --- ---= 0 dt ppp
Dedondesedespejalatasadecrecimientodelosbonos,pasandodespusdeligualel
ltimo producto, y multiplicando el resultado por (p/B): BpB pp ---
--- = --- ------ p B pp B B Bpp ---= --- ------ B Bpp B p ---= ---
Bp ============================================(Termina
Procedimiento 7) 20
Esaecuacindemuestraque,paraquelosbonosnosedeprecien,elmontoderecursos
invertido en bonos, tiene que crecer a la misma tasa que la
inflacin observada. Por otra parte, se define a la ganancia real
sobre los bonos como la diferencia entre su tasa de rendimiento, r,
menos su tasa real de depreciacin, dada por la inflacin observada.
Sin embargo, como los agentes no conocen la tasa de inflacin
efectiva, la sustituyen por la tasa de inflacin esperada,
implicando que la tasa real de retorno esperada, asociada a los
bonos, est dada por r-t. -Las acciones
Finalmente,ladefinicindelvalordelasaccionespermitevincularalmercadodecapital
fsicoconelmercadodevalorespuestoque,enelmodelodeSargent,elvalordelas
acciones constituye el monto de circulante disponible para cubrir
las necesidades de capital fsico, al asumir que toda inversin se
financia con acciones. Para determinar el valor de las acciones, se
realizan lossiguientes supuestos:
i)Lasaccionessonelnicomedioparaparafinanciarlainversin.Puestoqueseha
asumidoquelasfirmasnoemitenbonosynoretienenganancias,financiantodasu
inversin emitiendo acciones. ii)Los nicos tenedores de acciones son
los consumidores. iii)Los inversionistas no estn dispuestos a tener
prdidas de su inversin en acciones, forzando a la economa para
obtener de ellas un rendimiento idntico a los dividendos de la
empresa, pues solamente de esa manera les ser indiferente colocar
su dinero en acciones, en lugar de invertirlo en bienes de capital.
iv)Las acciones son sustitutos perfectos de los bonos.
v)Alasumirquenohayunmercadoenelquelasfirmaspuedancomprarovender
capital fsico, el modelo elimina la posibilidad de que las firmas
comercien con acciones. El primero y segundo supuestos implican que
el capital contable de lasfirmas es igual a los dividendos, puesto
que el gobierno no emite acciones y toda la inversin se financia
con la
emisindeacciones.Eltercersupuesto,porsuparte,implicaquelosdividendos
determinanelvalordelasacciones,puestoquesonidnticosalrendimientorealdelas
acciones.Finalmente, elcuartoy quinto supuestos implican que los
consumidores esperan
obtenerdesusaccionesunintersidnticoalqueganaransiinvirtieransusrecursosen
bonos; es decir, igual a la tasa de inters de los bonos, r. Los
dividendos o ganancia, que las firmas pagan en cualquier instante
s, se definen como la suma de la ganancia de la firma tpica, que es
igual a la ganancia agregada, evaluada en el
perodos,mslosinteresessobrelainversinenaccionescorrespondientesalperodos,
ms la tasa de descuento del dinero invertido en acciones, tambin de
ese perodo; es decir: D(s) = pH(s) + rp(s)K(s) + tp(s)K(s) 21
Estaecuacinimplicaque,ademsdelaganancia,lainversinenaccionesreponeel
intersyladepreciacindeldinero.Loquenoreponeesladepreciacindelcapital.Esta
afirmacinsecorroboraenelsiguienteprocedimiento,delaqueseobtiene,adems,la
definicin para los dividendos del modelo de Sargent, dada por la
ecuacin: p(s)F[K(s),N(s)] w(s)N(s) op(s)K(s)26
==============================================(Inicia Procedimiento
8)
PROCEDIMIENTO8.DerivaladefinicindelosdividendosexpresadaporSargent
por la primera ecuacin de la pgina 14 ( pgina 13 del texto en
ingls). Defnase a los dividendos como: D(s) = p(s)H(s) + rp(s)K(s)
+ tp(s)K(s) Sustituyendo ah la definicin de las ganancias
agregadas, H(s), dadas por la ecuacin 3 del texto evaluada en s:
H(s) = p(s) F[K(s),N(s)] w(s)N(s) (r+ot)p(s)K(s) se obtiene: D(s) =
p(s) F[K(s),N(s)] w(s)N(s) (r+ot)p(s)K(s) + rp(s)K(s) + tp(s)K(s)
Endondew(s)eselsalarionomianlyportantoyaseencuentramultiplicadaporp(s);es
decir: p(s) = [w(s)/p(s)] p(s) = w(s)
Eliminandotrminossemejantesconsignocontrario,seobtienenlosdividendosdel
perodo s: D(s) = p(s)F[K(s),N(s)] w(s)N(s) op(s)K(s)
============================================(Termina Procedimiento
8)
Ahorabien,elvalornominaldelasaccionesdelafirmaenelinstantetestdadoporla
suma desde t hasta el infinito, de los intereses que obtuvieron los
inversionistas durante el
tiempoquemantuvieronesosdividendosinvertidosenacciones.Silosdividendosse
entreganenelperodos,entoncesestdadaporlasumadesdethastaelinfinitodelos
intereses recibidos desde t hasta s27: V(t) =
{p(s)F[K(s),N(s)]-w(s)N(s)-op(s)K(s)}e-r(s-t)
t 26 Primera ecuacion de la pgina 13 del texto en ingls y
primera ecuacin de la pgina 14 del texto en espaol. 27 Segunda
ecuacin de la pgina 13 del texto en ingls y segunda ecuacin de la
pgina 14 del texto en espaol. 22
endondeeltrminoqueestdespusdelsignodeintegracinesigualalosinteresesque
obtuvieron los inversionistas por los dividendos invertidos en
acciones desde t hasta s. En el Procedimiento 9 se corroboraesa
afirmacin. ==============================================(Inicia
Procedimiento 9)
PROCEDIMIENTO9.Derivalaexpresinqueestdespusdelsignodeintegracin
paraelvalordelasaccionesdefinidoporSargentconlasegundaecuacindela
pgina 14 (pgina 13 del texto en ingls).
Silosinversionistasrecibenporsusaccionesunatasadeintersigualar,alinvertirsus
dividendos,cuyovaloresigualaD,enelinstantet,recibeninteresesdadosporDr,es
decir: dD ------ = Dr dt
comomantienensuinversindesdethastas,eneseperodoobtendrnunmontode
interesesigual a: s dD s ---- dt = Dr dt t dt t
Resolviendoesaintegral,seobtieneelvalorpresentedeDenelperodotcuandose
incluyen en D los intereses potenciales de invertir el capital
inicial, Dr, en acciones durante el perodo t a s; es decir, se
obtiene el trmino que est despus del signo de integral en la
ecuacin que define el valor de las acciones antes citada.
Laintegralpuederesolverseutilizandoelsiguienteprocedimiento:comosetratadeuna
ecuacin separable, se multiplican ambos lados de la igualdad por
1/D, con la finalidad de dejar del lado derecho del igual solamente
a r: s dD 1s ------- dt = r dt t dtDt Como dt/dt = 1, la expresin
anterior puede escribirse: s1s --- dD = r dt tDt 23
Pararesolverlaintegraldelladoizquierdodelaecuacinanterior,seaplicalareglade
integracin para el inverso de una funcin28; mientras que, para
resolver la integral del lado derecho, se aplica la regla de
integracin para cualquier constante29, obtenindose: sr0+1 s ln D=
------ t 1 t Evaluando30 ese resultado por ambos lados: ln D(s) ln
D(t) = r(s) r(t) El lado izquierdo de esa igualdad puede
reexpresarse utilizando la regla del cociente de los
logartmosnaturales31;mientrasque,elladoderecho,puedereexpresarsetambin,
factorizando r, procedimiento del que se obtiene el siguiente
resultado: D(s) ln -----= r(s-t) D(t) Aplicando antilogaritmo a los
dos miembros de la ecuacin anterior32: 28 De acuerdo con esa regla,
si la diferencial de cualquier funcin u, es el inverso de esa
funcin, la integral de esa diferencial es igual al logaritmo
natural de la funcin original; es decir: 1 --- du = ln u + c u en
donde c es una constante de integracin. 29 Esa regla indica que si
la diferencial de cualquier variable es una constante, la integral
de esa diferencial es igual a la constante elevada a su exponente
mas uno, dividiendo el resultado entre dicho exponente mas uno; es
decir: k xn + 1 k dx = ----------- + c n+1 30 Si se tiene la
integral: b f(x) dx a que tiene como resultado F(x), su evaluacin
es la diferencia: b F(x) |= F(x = b) F(x = a) = F(a) F(b) a
Portanto,laevaluacindecualquierintegralconsisteenobtenerladiferenciaentreelvalordelresultadodelprocesodeintegracin,
cuando la variable con respecto a la que se integr es igual al
lmite superior de la integral, menos el valor del resultadodel
proceso de
integracin,cuandolavariableconrespectoalaqueseintegresigualallmiteinferiordelaintegral,siendoellmitesuperiordela
integral, el nmero que se encuentra en el extremo superior del
signo de integracin y su lmite inferior, el nmero que se encuentra
en el extremo inferior del signo de integracin. 31 Esa regla indica
que el logaritmo natural de cualquier cociente, puede expresarse: p
ln --- = ln p ln q q 32 El antilogaritmo de cualquier funcin,
logartmica o no, es igual al numero e elevado a la funcin a la que
se aplica el antilogaritmo; es decir: 24 D(s) e exp {ln-------} = e
exp {r(s-t)} D(t) Resolviendo la expresin que est a la izquierda
del igual33, se obtiene: D(s) ------ = er(s-t) D(t) Despejando
D(s): D(s) = er(s-t) D(t) Despejando ahora D(t): D(s) D(t) =
-------- er(s-t) El lado derecho de esa igualdad, puede
reexpresarse34: D(t) = D(s) e-r(s-t) Al sustituir en la ecuacin
anterior D(s) por: D(s) = p(s)F[K(s),N(s)] w(s)N(s) op(s)K(s) D(t)
se convierte en: D(t) = D(s) e-r(s-t) = {p(s)
F[K(s),N(s)]-w(s)N(s)-op(s)K(s)}e-r(s-t)
Conlocualquedademostradoqueeltrminoqueseencuentraaladerechadelsignode
integral en la ecuacin V(t), es el valor de los dividendos en el
perodo t cuando se incluyen en esos dividendos los intereses
potenciales de invertir los dividendos en acciones durante el
perodo t a s. ============================================(Termina
Procedimiento 9)
antilog (ln x) = eln x antilog (x) = ex 33 Para lo cual se
utiliza la siguiente regla para el nmero e: e ln x = x 34 Puesto
que, de acuerdo con las reglas de los exponentes: 1/xn = x-n 25 El
valor nominal de la acciones en el perodo t, por su parte, es igual
a la suma desde t hasta
elinfinito,delosinteresesobtenidosporinvertirlosdividendosdesdethastas;esdecir,
est dado por la integral: V(t) =
{p(s)F[K(s),N(s)]-w(s)N(s)-op(s)K(s)}e-r(s-t) t
Siseasumequelatasadecrecimientodelospreciosydelossalariosreales,desdeel
perodo t hasta el perodo s, es igual a la inflacin esperada35: p(s)
= p(t) et(s-t), w(s) = w(t) et(s-t)
Esa integral puede expresarse como36: V(t) = {p(t) e t(s-t)
F[K(t), N(t)] w(t)N(t) et(s-t) op(t)K(t) et(s-t)} e(r-p)(s-t) ds t
35 Para corroborar que esas expresiones equivalen al supuesto de
que la tasa de crecimiento de los precios y salarios es igual a la
inflacin esperada; en otras palabras, de que la inflacin observada
se ajusta a la inflacin esperada y de que el crecimiento de los
salarios se ajusta a la inflacin esperada, se define la tasa de
crecimiento de los precios como: dp/pdw/p ------ = t,----- = t dt
dt despejando la derivada se obtiene: dp dw ----- = pt, ---- = pt
dtdt
Enamboscasos,laexpresindelmismosupuestodadaeneltextodeSargent,seobtienealintegrarlasecuacionesanteriorescon
respecto a dt y evaluar esa integral desde t hasta s. Ese
procedimiento se presenta en las siguientes ecuaciones para el caso
de los precios, dejando al estudiante su solucin para el caso de
los salarios: s dps ----- dt = ptdt t dt t s 1 s --- dp = tdt tp t
ss ln p | = tt | tt ln p(s) ln p(t) = t (s-t) p(s) ln ------ = t
(s-t) p(t) p(s) ln ---- p(t)t (s-t) e = e t (s-t) p(s) = p(t) e 36
Ecuacin que sigue al cuarto prrafo de la pgina 13 del texto en
ingls y al cuarto prrafo de la pgina 14 del texto en espaol. 26
EnelProcedimiento10secorroboraquelasltimasdosexpresionesparaV(t)son
equivalentes bajo el supuesto mencionado.
=============================================(Inicia Procedimiento
10) PROCEDIMIENTO 10. Muestra el procedimiento para obtenerla
ecuacin que est despus del cuarto prrafo de la pgina 14 (pgina 13
del texto en ingls), a partir de la ecuacin que est despus del
segundo prrafo de la misma pgina. Defnase al valor de las acciones
como: V(t) = {p(s)F[K(s),N(s)]-w(s)-op(s)K(s)}e-r(s-t) ds t Si:
p(s) = p(t) et(s-t), w(s) = w(t) et(s-t)
entonces, al sustituir esas reglas de actualizacin de precios y
salarios,as como la funcin
deproduccinevaluadaparaelperodotenlaecuacinparaelvalordelasaccionesse
obtiene: V(t) = {p(t) et(s-t)F[K(t),N(t)]- w(t)N(t) et(s-t) -o p(t)
et(s-t)K(t)}e-r(s-t) ds t como et(s-t) es comna todos los trminos
que estn dentro de loscorchetes de laecucin anterior, puede
factorizarse: V(t) = {p(t)F[K(t),N(t)]- w(t)N(t) -o p(t) K(t)}
et(s-t)e-r(s-t) ds t por la regla del producto de nmeros
exponenciales con la misma base37: V(t) = {p(t)F[K(t),N(t)]-
w(t)N(t) -o p(t) K(s)} e-r(s-t)+ t(s-t) ds t
como(s-t)escomnalosdostrminosdelexponentedelaecuacinanterior,puede
factorizarse: 37 Segn la cual: ep eq = ep+q 27 V(t) =
{p(t)F[K(t),N(t)]- w(t)N(t) -o p(t) K(t)} e-(r-t)(s-t) ds t
Siseasumequeelvalorpresentedelosdividendos,actualizadoconlosintereses
potencialesdeinvertirlosdetas,permanececonstante.porquelosagentesesperanno
perderyobtenerganancianormalonuladesuinversin;esdecir,obtenerlaretribucin
que deriva de su aportacin al capital, entonces la expresin que est
en los corchetes en la ecuacin anterior es constante y puede
omitirse de la integral. Entonces, la actualizacin del valor
presente de los dividendos, desde el perodo t y hasta el infinito,
estar dada por: V(t) ={p(t)F[K(t),N(t)]- w(t)N(t) -o p(t) K(t)}
e-(r-t)(s-t) ds t Con lo cual se obtiene la equivalencia
buscada.===========================================(Termina
Procedimiento 10)
Econmicamenteesaecuacinimplicaquelosdividendossolamentesemantienen
invertidos de t a s, en adelante, la ganancia obtenida por los
inversionistas deriva de la tasa
deintersylareposicindeladepreciacindeldineroautomticamentegeneradosporla
inversinrealizadadetas,porqueesainversinsededicaadquirircapitalfsicooa
efectuarcualquierotronegocioquegeneragananciasdesdethastaelinfinito.Elvalorde
lasaccionescrecer,porconsiguiente,aunatasadecreciente,reflejandoaslos
rendimientos decrecientes de la funcin de produccin. Al resolver la
integral que se encuentra en la ecuacin anterior, se obtiene queel
valor de las acciones en el perodo t est dado por la ecuacin38:
p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t) K(t) V(t) =
----------------------------------------------- (r-t)
En el Procedimiento 11 se muestra el procedimiento para resolver
la integral. =============================================(Inicia
Procedimiento 11) PROCEDIMIENTO 11. Resuelve el valor de las
acciones del modelo de Sargent. Si V(t) ={p(t)F[K(t),N(t)]-
w(t)N(t) -o p(t) K(t)} e-(r-t)(s-t) ds t 38 Ecuacin que se
encuentra antes del quinto prrafo de la pgina 13 del texto en ingls
y antes del quinto prrafo de la pgina 14 del texto en espaol. 28
Para hallar el valor de V(t) hay que resolver la integral
utilizando el mtodo de sustitucin, haciendo: u = -(r-t)(s-t) lo que
implica, por la regla de la derivada del producto, que: du ----- =
-(r-t) ds despejando ds: du ds = - ------ r-t Sustituyendo u y ds
en la integral por resolver: 1 e (t-p)(s-t) = - ------ eu du tr-tt
en donde se ha omitido de la integral el trmino 1/(r-t) porque es
constante. Aplicando la regla de integracin para eu39, as como la
regla de evaluacin para la integral con lmite superior
indefinido40, se obtiene: 1 1b1 b e-(r-t)(s-t) = - ----- eu du = -
----- lim eu du = - ----- lim eu ] tr-ttr-tb t r-tt sustituyendo el
valor de u y evaluando el resultado: 1 b 1 e-(r-t)(s-t) = - -----
lim e-(r-p)(s-t)] = - ----- lim [e-(r-p)(b-t) e-(r-p)(t-t)] t
r-tbtr-t 39 Segn la cual: eu du = eu 40 Que indica que: b f(x) dx =
lim f(x) dx a ba 29
como(t-t)=0,elexponentedelltimonmeroeescero,implicandoqueesetrminoes
igual a uno, puesto que todo nmero elevado a la cero es uno: 11
e-(r-t)(s-t) = - ----- lim [e-(r-p)(b-t) e-0] = - ------ lim
[e-(r-t)(b-t) 1] t r-tbr-t b La cual puede reexpresarse: 11 1
e-(r-t)(s-t) = ----- lim [1 - e-(r-p)(b-t)] = ------ lim (1 -
----------) t r-tb r-tbe(r-t)(b-t) Intuitivamente, conforme b crece
al infinito, la diferencia (b-t) crece al infinito y, por tanto,
elexponentedelnmeroedelaexpresinanterior,crecealinfinito,implicandoqueel
cociente que se encuentra al final del resultado anterior tiende a
cero conforme b tiende al infinito. Por su parte, el lmite de la
constante uno, es igual a la propia constante, de lo que resulta
que la integral buscada es: 1 1 e-(r-t)(s-t) = ------- (1) = ------
t r-tr-t Sustituyendo ese resultado en la ltima expresin para el
valor de las acciones, se obtiene la ecuacin con la que Sargent
define al valor de las acciones en el perodo t: F[K(t),N(t)]
w(t)N(t) op(t) K(t) V(t) = {p(t) et(s-t) F[K(t) N(t)] w(t)
op(t)K(t)} e-(r-t)(s-t) ds = ------------------------------------
tr-t Con el procedimiento que se describe en el Procedimiento 12,
puede observarse claramente que el valor de las acciones depende de
q, en una relacin del tipo41: p(t)Y(t) [w(t)/p(t)]N(t) FK(t)K(t)
[FK (r+o-t)]p(t)K(t) V(t) =
--------------------------------------------- +
--------------------------- + p(t)K(t) r-t r-t [FK-
(r+o-t)]p(t)K(t) V(t) = {-------------------------- + 1}p(t)K(t) =
qp(t)K(t) r-t ===========================================(Termina
Procedimiento 11) 41 Ecuacin que sigue al quinto prrafo de la pgina
13 del texto en ingls y ltima ecuacin de la pgina 14 del texto en
espao, as como ecuacin 9 del modelo. 30
=============================================(Inicia Procedimiento
12) PROCEDIMIENTO 12. Deriva la relacin funcional entre el valor de
las acciones y q. Considerando el teorema de Euler, dado por la
expresin: F[K(t),N(t)] = FKK(t) + FNN(t) La definicin de la
ganancia agregada, dada por la ecuacin: H = p(t) F[K(t),N(t)]
w(t)N(t) (r+o-t)p(t)K(t) puede transformarse en: H = p(t) FKK(t) +
p(t) FNN(t) w(t)N(t) (r+o-t)p(t)K(t) de donde se obtiene: H - p(t)
FKK(t) - p(t) FNN(t) + (r-t)p(t)K(t) = -w(t)N(t) op(t)K(t)
Sustituyendoporelargumentoqueseencuentraantesdeligualenlaecuacinanterior,a
losltimosdostrminosdelaecuacinV(t)queseobtuvodeelProcedimiento10,dada
por: p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t) K(t) V(t) =
-------------------------------------------------- r-t resulta:
p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t) K(t)p(t)F[K(t), N(t)]+ H - p(t)
FKK(t) - p(t) FNN(t) + (r-t)p(t)K(t) V(t) =
------------------------------------- =
------------------------------------------------------- (r-t)(r-t)
Resolviendo la divisin del ltimo trmino y reordenando la expresin
anterior: p(t)F[K(t), N(t)]- p(t) FKK(t) - p(t) FNN(t)HV(t) =
-------------------------------------------------- + ---- +
p(t)K(t) r-tr-t Por el teorema de Euler: Y(t) = F[K(t), N(t)] =
FKK(t) + FNN(t) 31
LoquesignificaqueelnumeradordelprimercocientedelaltimadefinicindeV(t)es
cero, transformando esa ecuacin en: HV(t) = ---- + p(t)K(t) r-t Si
se asume que: H = |FK (r+o-t)] p(t) K(t)
y se sustituye ese valor de H en la ltima ecuacin para V(t) se
obtiene: |FK (r+o-t)] p(t) K(t)V(t) = -----------------------------
+ p(t)K(t) r-t Factorizando esa expresin, se comprueba que V(t)
depende de q: FK (r+o-t)V(t) = [----------------- + 1]p(t)K(t) =
qp(t)K(t) r-t Queda por demostrar que la ganancia puede definirse
como: H = |FK (r+o-t)] p(t) K(t) Para ello, se retoma la definicin
original de la ganancia, dada por la ecuacin: H = p(t) F[K(t),N(t)]
w(t)N(t) (r+o-t)p(t)K(t) Sustituyendo el teorema de Euler, dado
por: Y(t) = F[K(t), N(t)] = FKK(t) + FNN(t) En la ecuacin de
ganancia: H = p(t) FKK(t) + p(t)FNN(t) w(t)N(t) (r+o-t)p(t)K(t)
Sustituyendolaproductividadmarginaldeltrabajoporelsalarioreal,deacuerdoconla
ecuacin de demanda de empleo dada por: w(t) FN= ----- p(t) 32 Se
obtiene: H = p(t) FKK(t) + [p(t)w(t)N(t)/p(t)] w(t)N(t)
(r+o-t)p(t)K(t) Puesto que p(t)/p(t) = 1, esa ecuacin puede
expresarse como: H = p(t) FKK(t) + w(t)N(t) w(t)N(t)
(r+o-t)p(t)K(t) Como w(t)N(t)-w(t)N(t) = 0: H = p(t) FKK(t)
(r+o-t)p(t)K(t) Al factorizar p(t)K(t) en la ecuacin anterior, se
demuestra que la ganancia puede definirse como: H = [FK
(r+o-t)]p(t)K(t) Y por tanto, que es vlida la relacin: FK
(r+o-t)V(t) = [----------------- + 1]p(t)K(t) = qp(t)K(t)
r-t===========================================(Termina
Procedimiento 12)
LadefinicindeV(t)enfuncindeq,dadaporlaecuacinobtenidaenelProcedimiento
12,estilparademostrarqueqeselcostodelcapitalfinanciero,relativoalcostodel
capitalfijo,comoseafirmaldefinirlaregladeacumulacindelcapital,puestoqueal
dividir esa expresin entre p(t) K(t) se obtiene42: V(t) FK (r+o-t)
= [----------------- + 1] = q p(t)K(t)r-t
Laimplicacindeesaecuacin,desdeelpuntodevistaeconmico,esqueqpuede
interpretarsecomolaproporcindelademandadecapital(fsico)queessatisfechacon
capitalfinanciero;alternativamente,comolademandadeinversinqueessatisfechacon
oferta de recursos lquidos.
Ademsdepermitirderivaresaproporcin,ladefinicindeV(t)haceposibleobtenerla
tasa de rendimiento real esperada de las acciones que es importante
porque al sumar a esa
tasaderendimientorealdelasacciones,latasadedepreciacindelcapital,seobtieneel
costo unitario del capital. Adicionalmente, al sumar a esa tasa de
rendimiento real esperada
delasacciones,latasadedepreciacinesperadadeldinero,seobtienelatasadeinters
representativa del mercado. 42 ltima ecuacin de la pgina 13 del
texto en ingls y ecuacin que est despus de la ecuacin (9) en la
pgina 15 del texto en espaol. 33
Latasaderendimientorealdelasaccioneses,pordefinicin,igualalarelacinentreel
capitalinvertido;esdecir,losdividendos,yelvalortotaldelasacciones.Comolos
dividendos estn dados por: D(t) = p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t)
op(t)K(t) y, adems, el valor de las acciones puede expresarse como:
p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t) K(t) V(t) =
-------------------------------------------------- r-t entonces la
relacin entre los dividendos y el valor total de las acciones es:
D(t) {p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t)K(t)}(r-t) ------ =
--------------------------------------------------------= (1) (r-t)
= (r-t) V(t) p(t)F[K(t), N(t)] w(t)N(t) op(t) K(t)
siendo(r-t)latasaderendimientorealesperadadelasacciones.Alsumaraesatasade
rendimiento real de las acciones la tasa de depreciacin esperada
del dinero, que es igual a t, se obtiene que r es la tasa de inters
representativa de la economa. II.2. La demanda de activos
financieros
Deladefinicindelademandadeactivosfinancierosseobtienenlasrelacionesentrelas
tasasdevariacindeesosactivosquegarantizanelequilibriodelademandayofertade
activosfinancieros,necesariasparadefinirlastasasdevariacindelaofertadeactivos
financierosquerigenlarespuestadedichosactivosantemodificacionesenlatasade
inters y la produccin. Para obtener la manera en que se relacionan
las tasas de variacin de la demanda de activos financieros, el
modelo de Sargent asume que la riqueza real (W) de la economa
solamente puede distribuirse entre acciones, bonos y dinero; es
decir: V + B + M W = --------------- p Adems, que la demanda de
dinero es una funcin directa de la tasa de inters (r), la tasa de
transacciones (Y) y la riqueza real (W): MD ----- = m(r,Y,W) p 34
Porsuparte,lademandadebonosyacciones,quesepuedesumarporqueesosactivos
financieros son sustitutos perfectos, depende de los mismos
argumentos que la demanda de dinero: BD + VD ----------- = b(r,Y,W)
p
Ellosignificaque,enelequilibriodeofertaydemanda,lariquezarealpuededefinirse
como: VD + BD + MD W = ------------------ p Para establecer cmo
tienen que relacionarse las demandas de todos los activos
financieros en esa situacin de equilibrio, se obtiene la diferncial
total de la riqueza real, como la suma de las diferenciales totales
siguientes: MD m mm d ---- =-----dr + ----- dY + ------ dW = mr dr
+ mYdY + mW dW p rYW BD + VDbbb d ---------- = ---- dr + ---- dY +
----- dW = br dr + bY dY + bW dW prY W Al sustituir esas dos
ecuaciones en la diferencial de la riqueza real se obtiene: dW = mr
dr + mYdY + mW dW + br dr + bY dY + bW dW Juntando trminos comunes:
(mr + br) dr + (mY + bY) dY + (mW + bW) dW dW = 0 (mr + br) dr +
(mY + bY) dY + (mW + bW 1)dW = 0 Si dr, dY y dW no son nulos, para
que la ltima condicin se cumpla se requiere que: (mr + br) = 0 (mY
+ bY) = 0 (mW + bW 1) = 0, entonces (mW + bW) = 1
ecuacionesqueestablecenlamaneraenquetienenquerelacionarselasvariacionesenlas
demandas de activos cuando la riqueza real iguala a la demanda de
esos activos. 35 II.3. El equilibrio del mercado financiero Dada la
riqueza real, el equilibrio de la oferta y demanda de dinero: MD M
----- = ----- p p Necesariamente implica el equilibrio de la oferta
y demanda de bonos y acciones: BD + VD M + V -----------
=---------- p p Puesto que, en tal situacin debe cumplirse que:
MB+V+M MB+V W - ---- = ----------- - ----- =------ pp pp Implicando
que la Ley de Walras se cumple en un sentido contable. Si la
condicin de equilibrio entre la oferta y demanda de dinero se
cumple, debe cumplirse tambin que: M MD ---- = ------ = m (r, Y, W)
pp
Asumiendoquelaofertamonetariadisminuyeantevariacionesenlatasadeinters,
aumenta ante cambios en la tasa de transacciones y no responde a
las modificaciones en la riqueza real: mr 0 y mw=0 Las condiciones
siguientes: (mr + br) = 0 (mY + bY) = 0 (mW + bW 1) = 0, entonces
(mW + bW) = 1
determinanlamaneraenquerespondelaofertamonetariaalasvariacionesenlatasade
inters y la produccin, puesto que si: mr < 0 y (mr + br) = 0,
entonces b > 0 mY > 0 y (mY + bY) = 0, entonces bY < 0 mW
= 0 y (mW + bW) = 1, entonces bW = 1 36 Esas restricciones de
activos implican que: -Todo aumento en la tasa de inters, provocar
que disminuya la demanda de dinero y que suba la demanda de bonos y
acciones
-Todoaumentoenlatasadetransaccionesoenelniveldeproduccin,provocar
que se incremente la demanda de dinero y se reduzca la demanda de
bonos y acciones. -Como la oferta de dinero no responde a las
variaciones en la riqueza, entonces todo cambio en la demanda de
riqueza se traducir en un aumento de la misma magnitud en la
demandadebonosyacciones.Enotraspalabras,silosconsumidoresdeseanaumentarsu
riqueza, solamente pueden hacerlo modificando sus tenencias de
bonos y acciones. III. El mercado de transacciones
LaltimapartedelmodelodeSargentdescribelastransaccionesrelevantesparala
economa,considerandolaexistenciadetressectoresinstitucionales:elgobierno,los
consumidoresylasfirmas.Elpropsitodeestapartedelmodeloconsisteenresolverel
nivelderiquezaqueprevaleceenlaeconoma,utilizandolasecuacionesantesplanteadas
para la produccin, el empleo y los acervos financieros. Se asume
que el mercado de bienes
yelmercadofinancierosevinculanmediantelastransaccionesquerealizanlossectores
institucionales. Esta parte del modelo inicia con la definicin de
las reglas que regulan esas transacciones. III.1. El gobierno Para
delimitar la manera en que el gobierno efecta sus transacciones, el
modelo realiza los siguientes supuestos: -El gobierno no acumula
acervos de capital. Lo cual implica que la inversin puede
explicarse enteramente por las transacciones que realiza el sector
privado. -La tasa real de impuestos es independiente de la
produccin y los
precios.-Elgobiernodecidesustasasrealesdeimpuestosygastossujetoasurestriccin
presupuestal
-Elgobiernodecidesusoperacionesdemercadoabiertosujetoasurestriccinde
endeudamiento.
Larestriccinpresupuestalqueenfrentaelgobiernoesunacondicindeequilibrioque
define la igualdad entre la tasa real de gasto pblico (G), con
respecto a la suma de la tasa real de impuestos (T) y la tasa real
dedeuda pblica: B M G T = ---- + ---- pp 37
Enesaecuacin,larestriccindedeudadelgobiernoestdadaporlaidentidadentrela
variacin del circulante y la variacin de la deuda pblica, que es
igual al acervo de bonos gubernamentales con signo negativo: dM =
-dB
Porsuparte,losimpuestosnoincluyenlosinteresesgeneradosporlosaumentosdela
deudapblica,dadosporelproductoentrelatasadeintersrealesperada(r-t)yelvalor
real de los bonos emitidos (B/P): B T = T0 (r-t) --- p
SiendoT0,latasarealdeimpuestosqueincluyedichosintereses.Sustituyendoesta
definicin para la tasa real de impuestos en la definicin del dficit
pblico, se obtiene: BB G T = G [T0 (r-t) ---] = G + (r-t) --- - T0
pp
Alsustituirenlarestriccinpresupuestaldelgobierno,laexpresinqueseencuentra
despusdelltimoigualenlaecuacinanterior,quedaclaroquedicharestriccin
presupuestal es43: B B M G + (r-t) --- - T0 = ---- + ---- ppp En el
modelo, la identidad anterior se cumple en cada instante del
tiempo, lo cual significa
queelgobiernoejerceunapolticafiscalconstante,caracterizadaporquelasacciones
monetarias o de gasto pblico, no modifican el valor del dficit
pblico. As, por ejemplo,
sielgobiernodisminuyeelacervodecirculante,incrementandolatenenciay,por
consiguiente,elvalordelosbonosgubernamentales,necesariamenteT0aumentar
automticamenteparacompensarlospagosdeinteresesasociadosaesevalormsaltode
los bonos gubernamentales, manteniendo constante al dficit pblico.
III.2. Los consumidores
Paradelimitarlaformaenquelosconsumidoresrealizansustransacciones,elmodelo
realiza los siguientes supuestos: 43 Ecuacin 18 en el texto en
ingls. Cabe sealar que el planteamiento de la poltica fiscal
constante que hace Sargent en el texto en ingls y que se comenta en
estas notas de clase en el prrafo que sigue a la frmula dM = -dB,no
fue incluido en el texto en espaol. 38 -Dado su acervo de riqueza,
los consumidores deciden cmo desean distribuirla entre acervos
alternativos. Esas preferencias estn descritas en la ecuacin de
demanda de dinero dada por M/P=m(r,Y). -Losconsumidores deciden
tambin qu tan rpido quieren queaumente su riqueza
aldeterminarsutasadeahorro(S).Estadecisindefineladistribucindelingreso
disponible, (Yd) entre consumo (C) y ahorro. -La tasa de ingreso
disponible esperado por los consumidores, Yd, es igual a la tasa de
ingreso recibido que esperan consumir o ahorrar. -El consumo no
genera acumulacin de capital; por su parte, el ahorro incrementa la
riquezaporqueaumentalatenenciadeactivosfinancieros;enparticular,deacciones,las
cuales son el nico medio para generar acumulacin de capital.
Utilizandoesossupuestos,elmodelodefinealatasarealdeconsumocomounafuncin
directa del ingreso disponible esperado e inversa de la tasa de
inters real: C = C(Yd, r-t), donde: 0 < C1 < 1, C2 < 0
Siendo C1 la propensin a consumir y C2 la respuesta del consumo a
los cambios de la tasa de inters real. El modelo adopta,adems, a la
igualdad entre el ingreso disponibley lasuma del ahorro
maselconsumo,comolacondicindeequilibriodelastransaccionesdebienesdelos
consumidores: S + C = Yd El ingreso disponible esperado por los
consumidores, por su parte, se define como la suma
desalarios,dividendos,
depreciacindelosbonosydineroyapreciacindelosbonos;es decir: w wM +
B Yd = ---- N + Y oK - --- N T - -------- t + (q-1) K p p p
Eliminando trminos semejantes con signo contrario, se obtiene44: M
+ B Yd =Y oK T - -------- t + (q-1) K p
Definicindelingresodisponiblequegarantizaquelatasarealderiquezasemantenga
intacta. En el siguiente procedimiento se comprueba esa conclusin.
44 Ecuacin 20 del texto. 39
=============================================(Inicia Procedimiento
13) PROCEDIMIENTO13.Demuestraqueladefinicindelingresodisponibleque
adopta el modelo de Sargent garantiza que la riqueza real se
mantenga intacta. Defnase la tasa real de riqueza como: dW ---- dt
Puestoquelariquezaeslasumadelvalorrealdelosacervosfinancieros,entoncesdicha
diferencial es: M + B + V d--------------- dWp ----=
----------------------- dt dt Para resolverla se utilizan la reglas
de las derivadas del cociente y de la suma: M + B + VdMdBdV dp
d--------------- p [ ----- + ----+ ----] (M + B + V) ----- dWpdtdt
dtdt ----= ----------------------- =
----------------------------------------------------- dt dt p2
Haciendo la divisin: dW dM/p dB/p dV/pM + B + Vdp/p ----- =
[------- + ------ + ------ ] - -------------- ------ dtdt dtdtp dt
ConsiderandoqueV=qpK,laderivadadelvalordelasaccionesqueseencuentraenlos
parntesiscuadradosdelaecuacinanterior,puedeobtenerseutilizandolaregladela
derivada del producto: dVd(pqK)dp dqdK ----- = --------- =qK ---- +
pK ---- + pq ---- dt dt dt dtdt Dividiendo entre p el resultado
anterior: d V/p d(pqK) qK dp pK dqpqdK------- = --------- = -----
---- + -------- + ---- ---- dtdt p pdt p dt pdt 40 Si se expresa:
dp dqdK ---= p ,--- = q y ----= K dtdtdt El resultado anterior es:
d V/pp ------- =qK ----- + K q + q K dt p Sustituyendo ese
resultado en la ltima definicin para la tasa real de riqueza, dada
por: dW dM/p dB/p dV/pM + B + Vdp/p ----- = [------- + ------ +
------ ] - -------------- ------ dtdt dtdtp dt y expresando: dW dM
dBdp ----- = W, ------ = M , ----- = B y --- = p dtdtdtdt Se
obtiene: M + B p M + B pV p W = -------- + qK --- + Kq + qK
------------ - ------- pp p p p p Considerando que V = qpK,
entonces V/p = qK. Sustituyendo ese resultadoen la ecuacin
anterior, se obtiene: M + B p M + B p p W = -------- + qK --- + Kq
+ qK ------------ - qK--- pp p p p Eliminando trminos semejantes
con signo contrario, se llega a la ecuacin45: 45 Ecuacin que sigue
a la 20 en el texto. 41 M + B M + B p W = -------- +Kq + qK
------------pp p Esa ecuacin puede tranformarse en la tasa real de
riqueza esperada, sustituyendo la tasa de inflacin observada por la
tasa de inflacin esperada: p --- = t p Con lo cual se obtiene: M +
B M+B We = -------- - ------- t+qK + Kqp p Si adems se asume que: q
= 0
Esdecir,quelarelacinbonosademandadebonospermanececonstante,elresultado
anterior para la tasa real de riqueza esperada se convierte en: M +
B M+B We = -------- - ------- t+qK p p Finalmente, para mostrar que
cuando esa definicin de la tasa de riqueza es cero, la tasa del
ingresodisponibleesigualalatasadeconsumo,sesustituyelafuncininversin,dada
por: dK I = ----- = K dt en la identidad del ingreso nacional, dada
por: Y = C + I + G + oK 42 Obtenindose: Y = C + K + G + oK
Despejando G de la expresin anterior: G = Y K oK - C y
sustituyndola en la restriccin presupuestal obtenida en el apartado
anterior, dada por: M + B ------- = G T p se obtiene: M + B -------
= Y K oK - C T p
Sustituyendoesadefinicinparalasumadelatasarealdebonosydineroenlaltima
definicin para la tasa real de riqueza esperada, dada por: M + B
M+B We = -------- - ------- t+qK p p Se obtiene: M + B We = Y K oK
- C T - --------- t + qK p Factorizando K y reordenando: M + B We =
Y oK T - --------- t + (q-1)K - C p Sustituyendo ah la ltima
definicin para el ingreso disponible esperado, dada por: 43 M + B
Yd =Y oK T - -------- t + (q-1) K p Se obtiene: We = Yd - C
Despejando el ingreso disponible esperado de esa ecuacin: Yd = We +
C si la riqueza permanece intacta, entonces se cumple que: We = 0
lo que implica que el ingreso disponible esperado es igual al
consumo: Yd = C ===========================================(Termina
Procedimiento 13) IV. El modelo en su conjunto Los planteamientos
del modelo de Sargent sobre la operacin de la produccin, el empleo,
laacumulacin,losacervosfinancierosylastransacciones,seresumenenlassiguientes
ecuaciones: w (I)---- = FN(K,N) p w (II)N = N ( --- ) p (III)Y =
F(K,N) M + B (IV)C = C(Yd, r-t) =C{Y-T oK --------- t + [q(K, N,
r-t, o)-1], r-t} p (V) I= I[q(K, N, r-t, o)-1] (VI)Y = C + I + G +
oK (VII)M/p = m (r,Y) Con las siguientes variables exgenas: 44
-Acervo de capital, K -Tasa real de impuestos, T -Tasa de
depreciacin, o -Oferta monetaria, M -Oferta de bonos, B -Tasa de
inflacin esperada, t -Proporcin Valor de las acciones a capital
fsico, q -Tasa real de gasto pblico, G Y las siguientes variables
endgenas: -Empleo, N -Salario real, w/p -Produccin, Y -Consumo, C
-Inversin, I -Tasa de inters, r -Precios, p
Laprimeraecuacindelmodeloeslafuncindedemandadeempleoqueresultadela
maximizacindelagananciaquerealizanlasfirmas;lasegunda,eslacondicinde
equilibrioentrelaofertaylademandadeempleoy,finalmente,laterceraecuacinesla
funcin de produccin linealmente homognea, con productividades
marginales del capital
ydelempleopositivasperodecrecientes.Lasolucincojuntadelasprimerasdos
ecuacones resuelve los niveles del salario real y de empleo de la
economa, dado el capital,
eseniveldeempleoproporcionalaproduccindeequilibriodelaeconomaque,enese
contexto, se encuentra enteramente determinada por el lado de la
oferta; de hecho, ese nivel de produccin es la oferta agregada.
Obsrvese que ni el salario, el empleo o la produccin se ven
afectados por el resto de las
variablesqueincluyeelmodelo,puestoqueelrestodelasvariablesnoentracomo
argumentodelasprimerastresecuaciones.Porelcontrario,losnivelesdeproduccin,
empleoy salarios que resultan de la solucin conjunta de esas tres
ecuaciones, s influyen en el resto de las variables endgenas del
modelo.
Lasecuacionescuatroasieteoperanparaquelaeconomaarrojeelniveldedemanda
agregadaqueequilibrelosacervosfinancierosygastosdelosagenteseconmicos,conla
oferta agregada, implicando que todo el ajuste de la economa hacia
el equilibrio se realiza
porelladodelademandaagregaday,bajoelsupuestodequeeldineroesneutral,porel
ajuste de las tasas de inters.
Parapoderrealizarejerciciosdeestticacomparativa,esnecesariodefinirlaforma
funcional de las ecuaciones implcitas del modelo; para ello,
Sargent asume que el modelo
tieneunasolucinyqueesasolucinesdinmicamenteestable,loqueimplicaquelas
diferencialestotalesdelasvariablesendgenasdelmodelopuedeninterpretarsecomolas
45
desviacionesdecadavariableconrespectoasuniveldeequilibrio.Allinealizarlas
ecuaciones anteriores, las diferenciales totales de las ecuaciones
originales sirven, adems, para realizar el anlisis de la esttica
comparativa del modelo. i)d(w/p) = FNNdN+FNKdKii)dN=Nd(w/p) iii)dY
= FNdN+FKdK iv)dC = C1dY - C1dT - C1odK - C1 M+B dt - C1t(dM+dB -
M+B dp)+C1[(q-1)dI+ p pp p + IqNdN+IqKdK +
Iqr-tdr-Iqr-tdt]+C2drC2dt v)dI = IqNdN+IqKdK + Iqr-tdr-Iqr-tdt
vi)dY = dC+dI+dG+odK vii)dM - M dp = mrdr + mYdY pp p En las
siguientes demostraciones se obtienen esas diferenciales totales46:
=============================================(Inicia Procedimiento
14) Procedimiento 14.- Obtiene la diferencial total de la ecuacin I
del modelo de Sargent. De la ecuacin I: (w/p) = FN(K,N) Cuya
diferencial total es: d(w/p) = FN dN + FN dK NK Puesto que, como se
determin al definir las productividades marginales del capital y
del trabajo: FN= FNN yFN= FNK NN entonces, la ecuacin anterior
puede escribirse como la ecuacin i del modelo de Sargent: d(w/p) =
FNN dN + FNK dK ===========================================(Termina
Procedimiento 14)
=============================================(Inicia Procedimiento
15) 46 Dada una funcin z = f(x,y), su diferencial total ser: dz = f
dx + f dy xy 46 Procedimiento 15. Obtiene la diferencial total de
la ecuacin II del modelo de Sargent. De la ecuacin II: N=N(w/p)
Cuya diferencial total es: d(N) = Nd(w/p) (w/p) si se define: N= N
(w/p) La ecuacin anterior puede escribirse como la ecuacin ii del
modelo de Sargent: d(N) = N' d(w/p)
===========================================(Termina Procedimiento
15) =============================================(Inicia
Procedimiento 16) Procedimiento 16.- Obtiene la diferencial total
de la ecuacin III del modelo de Sargent. De la ecuacin III: Y =
F(K,N) Cuya diferencial total es: dY = F dN + F dK NK Como se
determin al momento de definir las productividades marginales del
capital y del trabajo: F= FN yF= FK NK lo que implica que la
ecuacin anterior puede escribirse como la ecuacin iii del modelo de
Sargent: dY = FN dN + FK dK
===========================================(Termina Procedimiento
16) 47 =============================================(Inicia
Procedimiento 17)
Procedimiento17.-ObtieneladiferencialtotaldelaecuacinIVdelmodelode
Sargent. De la ecuacin IV: C = C(Yd,r-t) Cuya diferencial total es:
dC =C dYd + C(dr-dt) Yd( r-t) Como se determin al momento de
definir la ecuacin consumo: _C_= C1 y_C_= C2 Yd (r-t) lo que
implica que la ecuacin anterior puede escribirse: dC = C1 dYd + C2
(dr-dt) Puesto que, el ingreso disponible se defini como: Yd = Y T
oK M+B t + (q-1)K p Cuya diferencial total, en el caso en que la
depreciacin es constante, puede escribirse: dYd =YddY+ YddT+ YddK+
YddM+YddB+Yddt+Yddp+Yddq+ Yd dK YT K M B t pq K
Considerandolaecuacindelingresodisponible,lasderivadasparcialesdelaecuacin
anterior son: Yd= 1, Yd = -1, Yd = -o y Yd = (q-1), Y T K K En
todos esos casos por la regla de la derivada de una constante por
una variable.
Asimismo,paraladerivadadeMyB,porlasreglasdeladerivadadeunasuma,un
cociente y de un producto: 48 Yd= - p [t(M+B)- (M+B)t ] + (M+B)[ p]
Mp2 MMp2M puesto que: _t_= 0 yp= 0, M M la ecuacin anterior puede
expresarse: Yd= - p t(M+B) Mp2 M Adems, como: _M_= 1 yB= 0, MM La
derivada parcial buscada es: Yd= - pt= - t M p2p De manera similar
y por el mismo procedimiento, la derivada parcial del ingreso
disponible con respecto a los bonos es: Yd=- t Bp Por su parte, la
derivada parcial del ingreso disponible con respecto a la inflacin
esperada, por las reglas de la derivada de un producto, es: Yd= - t
(M+B)- (M+B) t t t pt Como: (M+B)= 0 y t= 1 tt el resultado
anterior puede expresarse: Yd= - (M+B) t p 49
Conrelacinaladerivadadelingresodisponiblerespectoalprecio,porlaregladela
derivada de un cociente, puede expresarse como: Yd=p(M+B)t + (M+B)
tp=(M+B)t pp2 pp2p p2 Finalmente, en lo que respecta a la derivada
parcial de Yd con respecto a q, sta es: Yd= K q Sustituyendo todas
las derivadas parciales anteriores en la ltima expresin para la
derivada total del ingreso disponible, dada por: dYd =YddY+ YddT+
YddK+ YddM+YddB+Yddt+Yddp+Yddq+ Yd dK YT K M B t pq K Se tiene que
esa derivada total es: dYd = dY - dT - o dK - t (dM+dB) - (M+B)dt +
(M+B)tdp+Kdq+(q-1)dK p pp2 Pero adems, como: q = Fk-(r+o-t) +1 r-t
donde: Fk = F(K,N) La derivada total de q es: dq= q dK + q dN -q dr
+q dt K N rt
Porlaregladeladerivadadeuncocienteysustituyendolasexpresionesdadas
anteriormente para la derivada de la productividad marginal del
capital respecto al capital y al trabajo, se tiene que: q =(r-t)Fk
= FKK K (r-t)2K (r-t) q =(r-t)Fk = FKN N (r-t)2N (r-t) 50 q =
(r-t)(-1) [Fk-(r+o-t)](1) = -_1_ {[Fk-(r+o-t)]+1} = -q__ r (r-t)2
(r-t)(r-t) (r-t) q = (r-t)(1) [Fk-(r+o-t)](-1) = _1_
{[Fk-(r+o-t)]+1} = q__ t (r-t)2 (r-t)(r-t) (r-t) Sustituyendo las
ltimas cuatro derivadas parciales en dq: dq= FKK dK + FKN dN -q
(dr-dt) (r-t) (r-t)(r-t) Si se define: qK = FKK (r-t) qN = FKN
(r-t) qr-t = -q (r-t) La derivada total de q, puede expresarse
como: dq= qK dK + qN dN + qr-t (dr-dt)
Sustituyendoeseresultadoenlaltimaexpresinparaladerivadatotaldelingreso
disponible se obtiene: dYd
=dY-dT-odK-t(dM+dB)-(M+B)dt+(M+B)tdp+(q-1)dK+K
[qKdK+qNdN+qr-t(dr-dt)] pp p2 Como la variacin del capital respecto
al tiempo est dada, en el modelo de Sargent, por: K = I, Y, adems,
por esa misma definicin: dK = dI Se tiene que la diferencial total
del ingreso disponible puede expresarse como: dYd
=dY-dT-odK-t(dM+dB)-(M+B)dt+(M+B)tdp+(q-1)dI+I
[qKdK+qNdN+qr-t(dr-dt)] pp p2 51 Sustituyendo la diferencial total
del ingreso disponible, en la diferencial total del consumo, dada
por: dC = C1 dYd + C2 (dr-dt) se obtiene: dC=C1{dY-dT-odK-t(dM+dB)
- (M+B) dt+(M+B)tdp+(q-1)dI+I[qKdK+qNdN+qr-t(dr-dt)]} pp p2 + C2
(dr-dt) Reordenando: dC=C1dY-C1dT-C1odK-C1(M+B)dt-C1t(dM+dBM+B
dp)+C1 [(q-1)dI + IqKdK+IqNdN+Iqr-tdr- Iqr-tdt] p pp p + C2dr- C2dt
queesigualaladiferencialtotaldelconsumodadaporlaecuacinivdelmodelode
Sargent. ===========================================(Termina
Procedimiento 17)
=============================================(Inicia Procedimiento
18) Procedimiento 18.- Obtiene la diferencial total de la inversin
dada por la ecuacin v del modelo de Sargent Puesto que de la
ecuacin V: I = I(q-1) Por la definicin de diferencial total: dI = I
dq q Si se define: I = I q y se sustituye la ltima expresin para dq
de el Procedimiento anterior, dada por: dq= qK dK + qN dN + qr-t
(dr-dt) se obtiene: dI = I [qK dK + qN dN + qr-t (dr-dt)] = I qK dK
+ IqN dN + Iqr-t dr- Iqr-t dt que es la ecuacin v del modelo de
Sargent. ===========================================(Termina
Procedimiento 18) 52
=============================================(Inicia Procedimiento
19)
Procedimiento19.-Obtieneladiferencialtotaldelademandaagregada,dadaporla
ecuacin VI del modelo de Sargent. Por la ecuacin VI: Y = C + I + G
+ oK Si la depreciacin es constante y aplicando la definicin de la
diferencial total a la ecuacin anterior, se obtiene directamente la
ecuacin vi del modelo de Sargent: dY = dC + dI + dG + o dK
===========================================(Termina Procedimiento
19) =============================================(Inicia
Procedimiento 20) Procedimiento 20.- Obtiene la diferencial total
de la ecuacin de equilibrio de la oferta y demanda de dinero dada
por la ecuacin VII del modelo de Sargent. Por la ecuacin VII: M/p =
m(r,Y) Por la definicin de la diferencial total se tiene que, para
la expresin que est a la izquierda del igual: d(M/p) = {[p M M p]
dM+ [pM dp M p]dp}/p2 M Mpp Considerando que: M = 0p = 0 pM La
expresin anterior es: dM M dp p p p Por su parte, para la expresin
que est a la derecha del igual de la ecuacin VII, aplicando la
definicin de la diferencial total se tiene que: dm = m dr + m dY rY
53 Si se define: m = mr r y m = mY Y La expresin para dm es: dm =
mrdr + mrdY
Igualandolasdiferencialesparalasexpresionesqueestnantesydespusdeligualdela
ecuacin VII se obtiene la ecuacin vii del modelo de Sargent: dM M
dp= mrdr + mrdY p p p
===========================================(Termina Procedimiento
20) V. La esttica comparativa del modelo
Delanlisisdelaestticacomparativadelmodelosederivanlassiguientesconclusiones
sobrelarespuestadelasvariablesendgenasalasmodificacionesenlasvariables
exgenas:
a)Todoaumentoautnomooexgenodelarcervodecapital,incrementaelsalario
real,elempleoylaproduccin.Loscambiosautnomosdelacervodecapitalinciden
directamenteenlaproduccin,perocomoimpactantambinalsalarioreal,modificanel
niveldeempleoy,poresava,nuevamentealaproduccin.EnelmodelodeSargent,
solamente los cambios autnomos del acervo de capital pueden
modificar la produccin, el cambio en cualquier otra variable no
tiene esa capacidad.
-Matemticamente,elefectodelacervodecapitalsobreelsalariorealest
dado por la ecuacin: d(w/p) = FNKdK > 0 1-FNNN
queespositivaporque,porunlado,elnumeradordelarelacinqueseencuentraala
derecha del igual en la ecuacin anterior es tambin positivo, debido
al supuesto inicial de que no es posible sustituir capital por
trabajo o viceversa y, por tanto, que los aumentos del capital
incrementan el empleo:FNK >0, es decir 54 Y, por otro lado, a
que el denominador es tambin positivo porque se asumi que: * la
productividad marginal del trabajo es decreciente: FNN 0
Esossupuestosimplicanqueelresultadodemultiplicarladerivadadelaproductividad
marginal del trabajo respecto al empleo por la derivada del empleo
respecto al salario real es negativo: FNNN0 En el siguiente
procedimiento, se comprueba que esa expresin para d(w/p) es vlida.
===========================================(Inicia Procedimiento
21) Procedimiento 21.- Obtiene el impacto de cambios en K sobre el
salario real. Sustituyendo la ecuacin ii en i, dadas por: i) d(w/p)
= FNNdN + FNKdK ii) dN = Nd(w/p) se obtiene: d(w/p) = FNN Nd(w/p) +
FNKdK Pasando antes del igual, con signo contrario, el primer
trmino que est a la derecha del igual, se obtiene: d(w/p) - FNN
Nd(w/p) = FNKdK Factorizando d(w/p): (1 - FNN N)d(w/p) = FNKdK
d(w/p) Despejando d(w/p), se comprueba que el impacto de dK sobreel
salario real es: d(w/p) = FNKdK1-FNNN
===========================================(Termina Procedimiento
21)
Porsuparte,elimpactodelasmodificacionesdelacervodecapitalsobreelempleo,se
expresa matemticamente por la ecuacin: dN = NFNKdK > 0 55 1-FNNN
que es positiva porque, como se acaba de mostrar, el trmino: FNK
1-FNNN
espositivo;adems,comoelefectodelsalariorealsobrelaofertadeempleoestambin
positivo: N > 0 Entonces dN es positivo. En el siguiente
procedimiento se comprueba que la ltima expresin para dN es vlida.
=============================================(Inicia Procedimiento
22) Procedimiento 22.Obtiene el impacto de cambios en K sobre el
nivel de empleo. Sustituyendo la ltima expresin para d(w/p) en ii,
se obtiene directamente el resultado deseado: ii) dN = Nd(w/p)
entonces: dN = N FNKdK 1-FNNN
===========================================(Termina Procedimiento
22) Por ltimo, matemticamente el impacto de las modificaciones del
acervo de capital sobre la produccin est dado por la expresin: dY =
[N FNK + FK] dK >0 1-FNNN
queespositivaporquecomosecomprobanteriormente,elprimertrminoespositivoy
tambin porque, en el planteamiento del modelo, se asumi que la
productividad marginal del capital es positiva. En el siguiente
procedimiento se comprueba que esa expresin para dY es vlida.
=============================================(Inicia Procedimiento
23) Procedimiento 23.Obtiene el impacto de cambios en K sobre el
nivel de produccin. 56 Sustituyendo la ltima expresin para dN en
iii, se obtiene directamente el resultado deseado: iii) dY = FN dN
+ FK dK entonces: dY = NFNKdK + FK dK = [NFNK+ FK] dK 1-FNNN1-FNNN
===========================================(Termina Procedimiento
23)
b)Lasmodificacionesdecualquieradelasvariablesinvolucradasenelmodelode
Sargent, distinas a los cambios autnomos del acervo de capital, no
provocan cambios en el
niveldeproduccin,empleoosalarios,dejandointactalaofertaagregada.Elcambiode
cualquier variable distinta al acervo de capital solamente provoca
que la demanda agregada
seajustealaofertaagregada.Enparticular,enelcasoenqueloscambiosdepreciosno
tienen efectos reales y el dinero es neutral; es decir, en el que
la ecuacin de equilibrio de la oferta y demanda de dinero no
impacta en el resto de las ecuaciones del modelo, se tendr que:
-Losaumentosdeimpuestosreducenlatasadeinters,incrementandolainversin
perodisminuyendoelconsumo,loquedejaintactalademandaagregadaensunivelde
equilibrio con la oferta
agregada.-Losaumentosdelgastopblicoincrementanlatasadeinters,reduciendotantola
inversincomoelconsumoenlosnivelesnecesariosparacompensarelaumentooriginal
delgastopblicoydejaralademandaagregadaensuniveldeequilibrioconlaoferta
agreagada.
-Lasvariacionesenlainflacinesperadaprovocanquelatasadeintersnominal
cambie en el mismo sentido y magnitud, dejando intacta la tasa de
inters real y anulando, por tanto, cualquier efecto de la inflacin
esperada sobre la inversin y el consumo.
Esasconclusionesdepolticapblica,cuyaexpresinmatemticasepresentaenlas
demostraciones26a34,sesostienensiemprequesecumplanlossupuestosa,byc
siguientes: a)Las modificaciones autnomas del acervo de capital son
nulas; es decir; dK= 0 Lo cual implica que dY = dN = d(w/p) = 0,
por las ltimas definiciones para esas variables. Con esos
supuestos, se modifica la ecuacin diferencial del consumo, dada
por: dC=C1dY-C1dT-C1odK-C1(M+B)dt-C1t(dM+dBM+B dp)+C1 [(q-1)dI +
IqKdK+IqNdN+Iqr-tdr- Iqr-tdt] p pp p + C2dr- C2dt 57 al convertirla
en: dC= -C1dT -C1(M+B)dt-C1t(dM+dBM+B dp)+C1 [(q-1)dI +Iqr-tdr-
Iqr-tdt]+ C2dr- C2dt p pp p
cuandodK,dYydNsehacencero.Porelmismomotivo,laecuacindiferencialdela
inversin, dada por: dI = IqNdN+IqKdK + Iqr-tdr-Iqr-tdt se convierte
en: dI = Iqr-tdr-Iqr-tdt Finalmente, se modifica la ecuacin
diferencial para la demanda agregada, dada por: dY = dC+dI+dG+odK
al convertirla en: dY = dC+dI+dG = 0
b)Lasmodificacionesdepreciosydeldineronotienenefectosreales.Estees
consideradoporSargentcomosupuestocentraldelmodeloclsico,ysecumplesiempre
queeltrmino(M+B)esigualacero.EstesupuestoimplicaquedMydBsontambin
cero, modificando la diferencial total del consumo, dada por: dC=
-C1dT -C1(M+B)dt-C1t(dM+dBM+B dp)+C1 [(q-1)dI +Iqr-tdr- Iqr-tdt]+
C2dr- C2dt p pp p Al convertirla en: dC= -C1dT +C1 [(q-1)dI
+Iqr-tdr- Iqr-tdt]+ C2dr- C2dt
Conesoscambios,lacondicindeequilibriodelademandaagregada,puedeobtenerse,
sustituyendo dC en la ltima ecuacin para dY: dY = -C1dT +C1
[(q-1)dI +Iqr-tdr- Iqr-tdt]+ C2dr- C2dt+ dI+dG = 0 Factorizando dI
se obtiene: dY = -C1dT +[1+C1(q-1)]dI + C1[Iqr-tdr- Iqr-tdt]+ C2dr-
C2dt+ dG = 0 Sustituyendo la ltima expresin para dI (con dK = 0):
dY = -C1dT +[1+C1(q-1)] [Iqr-tdr-Iqr-tdt]+ C1[Iqr-tdr- Iqr-tdt]+ dG
= 0 58 Que puede factorizarse en trminos de dr y dt, quedando de la
siguiente forma: -C1dT
+{C1Iqr-t+C2+[1+C1(q-1)]Iqr-t}dr-{C1Iqr-t+C2+[1+C1(q-1)] Iqr-t}dt+
dG = 0 Si se define: H = {C1Iqr-t+C2+[1+C1(q-1)]Iqr-t} Dicha
expresin se convierte en: -C1dT + H dr- H dt+ dG = 0
Queproporcionalaecuacinbasepararealizarelanlisisdelaestticacomparativadel
modelo. En esa ecuacin H es la derivada parcial del ingreso
respecto a la tasa de inters, como se demuestra a continuacin.
=============================================(Inicia Procedimiento
24) Procedimiento 24. Obtiene la derivada parcial del ingreso
respecto a la tasa de inters. Partiendo de la ecuacin base para
realizar elanlisis de estticacomparativa del modelo, dada por: dY =
-C1dT + H dr- H dt+ dG = 0 Igualando a cero todas las derivadas
totales de esa ecuacin, con excepcin de dY y dr, se obtiene: dY = H
dr despejando dY/dr, queda demostrado que H es la derivada parcial
del ingreso respecto a la tasa de inters: dYdT = dt = dG = 0= Y = H
drr ===========================================(Termina
Procedimiento 24)
c)Larespuestadelingresodisponibleantecambiosenlatasadeinterses
negativa;esdecir,elingresodisponibleaumentacuandolatasadeintersdisminuyey
viceversa.ElloimplicaqueeltrminoHesnegativo,significandoquesecumplela
siguiente desigualdad: (-C2/C1) > Iqr-t+(q-1)Iqr-t En el
siguiente procedimiento se comprueba que H es negativa siempre que
se cumpla esa desigualdad. 59
=============================================(Inicia Procedimiento
25) Procedimiento 25. Obtiene la condicin para que H sea negativa.
Si H es negativa debe cumplirse que: H =
{C1Iqr-t+C2+[1+C1(q-1)]Iqr-t} < 0 Realizando la multiplicacin de
los parntesis cuadrados: H = {C1Iqr-t+C2+Iqr-t+C1(q-1)Iqr-t} < 0
Puesto que qr-t es negativa, dado que q es negativa: qr-t = -q <
0 (r-t)
y,adems,Iespositiva,entonceseltrminoIqr-tesnegativo,locualsignificaquepara
queHseanegativo,serequierequeelrestodelostrminosincluidosenHsumenuna
cantidad negativa; es decir, que se cumpla que: {C1Iqr-t+C2+
C1(q-1)Iqr-t} < 0 Restando C2 a los dos lados de la desigualdad,
se observa que esa expresin es equivalente a: {C1Iqr-t+
C1(q-1)Iqr-t} < - C2
Multiplicandoambosmiembrosdeladesigualdadanteriorpor1/C1,sedemuestraqueH
ser negativa cuando se cumpla la condicin: {Iqr-t+ (q-1)Iqr-t} <
- C2/C1 ===========================================(Termina
Procedimiento 25)
Enlasdemostracionessiguientesseobtienenlosimpactosdelasmodificacionesenlos
impuestos, el gasto pblico y la inflacin esperada sobre la tasa de
inters, la inversin y el consumo.
=============================================(Inicia Procedimiento
26) Procedimiento 26. Obtiene el impacto de las variaciones en los
impuestos sobre la tasa de inters.
Partiendodelaecuacinbaseparaelanlisisdelaestticacomparativadelmodelo,dada
por: -C1dT + H dr- H dt+ dG = 0 60 Igualando a cero todas las
derivadas totales ah incluidas, con excepcin de dT y dr: -C1dT + H
drdt = dG = 0 = 0
despejandodr/dT,seobtieneelefectodecambiosenlosimpuestossobrelastasasde
inters: dr dt = dG = 0=r= C1 < 0 dT TH que es negativa porque se
asumi que la propensin a consumir, dada por C1, es positiva, y
quelarespuestadelingresoalasmodificacionesenlatasadeinters,dadaporH,es
negativa, lo cual implica que la relacin C1/H es negativa.
===========================================(Termina Procedimiento
26) =============================================(Inicia
Procedimiento 27)
Procedimiento27.Obtieneelimpactodelasvariacionesenelgastosobrelatasade
inters.
Partiendodelaecuacinbaseparaelanlisisdelaestticacomparativadelmodelo,dada
por: -C1dT + H dr- H dt+ dG = 0 Igualando a cero todas las
derivadas totales ah incluidas, con excepcin de dG y dr: H dr+ dG
dT = dt =0 = 0 despejando dr/dG, se obtiene el efecto de cambios en
el gasto sobre las tasas de inters: dr dT = dt = 0=r= -1 > 0 dGG
H
queespositivaporqueseasumiquelarespuestadelingresoalasmodificacionesenla
tasa de inters, dada por H, es negativa, lo cual implica que la
relacin -1/H es positiva.
===========================================(Termina Procedimiento
27) =============================================(Inicia
Procedimiento 28) Procedimiento 28. Obtiene el impacto de las
variaciones en la inflacin esperada sobre la tasa de inters.
Partiendodelaecuacinbaseparaelanlisisdelaestticacomparativadelmodelo,dada
por: -C1dT + H dr- H dt+ dG = 0 61 Igualando a cero todas las
derivadas totales ah incluidas, con excepcin de dt y dr: H dr+ Hdt
dT = dG =0 = 0 despejando dr/dt, se obtiene el efecto de cambios en
el gasto sobre las tasas de inters: dr dT = dG = 0=r= 1 dtt que es
idntica a la unidad, implicando que r cambia igual que t.
===========================================(Termina Procedimiento
28) =============================================(Inicia
Procedimiento 29)
Procedimiento29.Obtieneelimpactodelasvariacionesenlosimpuestossobrela
inversin. Despejando dr de la ecuacin base para el anlisis de la
esttica comparativa del modelo: dr = C1dT + dt - dG HH Sustituyendo
ese resultado en la diferencial total de I, para dK = dY = 0, dada
por: dI = Iqr-tdr-Iqr-tdt se obtiene: dI = Iqr-t|C1dT + dt - dG]
-Iqr-t dt H H la cual puede escribirse: dI = Iqr-tC1dT + Iqr-tdt -
Iqr-tdt - Iqr-tdG HH Eliminando trminos semejantes con signo
contrario: dI = Iqr-tC1dT - Iqr-tdG HH Haciendo dG = 0: dI =
Iqr-tC1dT dG =0 H Despejando dI/dT: 62 dI dG =0 = I = Iqr-tC1=
Iqr-t r
> 0 dT TH T Puesto que como se comprob en el Procedimiento
26, r/T es negativa y debido a que I es positiva mientras que qr-t
es negativa, el producto que se encuentra a la derecha del igual de
esa ecuacin es positivo, lo que implica que los aumentos de
impuestos incrementan la
inversin.===========================================(Termina
Procedimiento 29)
===========================================(Termina Procedimiento
30)
Procedimiento30.Obtieneelimpactodelasvariacionesenelgastopblicosobrela
inversin. Partiendo de la ecuacin: dI = Iqr-tC1dT - Iqr-tdG HH
Haciendo dT = 0: dI = -Iqr-tdG dT =0 H Despejando dI/dG: dI dI =0 =
I = -Iqr-t 1
= Iqr-t r
< 0 dG GHG Puesto que como se comprob en el Procedimiento 27,
dr/dG es positiva y debido a que I es positiva mientras que qr-t es
negativa, el producto que se encuentra a la derecha del igual de
esa ecuacin es negativo, lo que implica que los aumentos del gasto
pblico reducen la inversin.
===========================================(Termina Procedimiento
30) =============================================(Inicia
Procedimiento