Salagean-Geom Plan Com

Cuprins

1 Folosirea numerelor complexe ın geometria plana 9

1.1 Definitia numerelor complexe . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Aplicatii geometrice simple ale proprietatilor numere-

lor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Transformari geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 Utilizarea numerelor complexe ın geometria plana . . . 27

1.5 Geometrie analitica ın planul complex . . . . . . . . . 46

1.6 Aplicatii ın rezolvarea unor probleme . . . . . . . . . . 54

1.7 Proprietati ale poligoanelor ınscrise ıntr-un cerc . . . . 62

2 Functii omografice 71

2.1 Definitie si proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.2 Multimi importante de transformari omografice . . . . 82

2.3 Puncte fixe. Clasificarea functiilor

omografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.4 Un model de geometrie neeuclidiana . . . . . . . . . . 94

2.5 O generalizare a Lemei lui Schwarz . . . . . . . . . . . 125

7

8 Cuprins

3 Elemente de teoria geometrica a functiilor

de o variabila complexa 129

3.1 Functii univalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.2 Clase de functii univalente . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.3 Teoreme de deformare si acoperire clasice . . . . . . . 136

3.4 Subordonare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.5 Functii stelate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.6 Functii convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.7 Functii α-convexe (functii Mocanu) . . . . . . . . . . . 158

3.8 Functii aproape convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.9 Subordonari diferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.10 Functii cu coeficienti negativi . . . . . . . . . . . . . . 165

3.11 Functii n-stelate de ordin α si tip β . . . . . . . . . . . 169

Capitolul 1

Folosirea numerelor

complexe ın geometria

plana

1.1 Definitia numerelor complexe

Cititorul a ıntalnit prima data definitia numerelor complexe ın

timpul liceului si de aceea suntem siguri ca putem sa consideram ca

este cunoscuta. Totusi daca cineva doreste o reımprospatare sau o

abordare cat mai profunda a acestei definitii, atunci ıi recomandam

[HMN], [May], [Cha]. In continuare vom preciza unele notatii si

vom reaminti unele proprietati, insistand mai mult pe cele vectorial-

geometrice.

Notam cu C corpul numerelor complexe, iar un numar complex

z din C poate fi scris sub forma z = (x, y) = x + iy, putand fi

9

10 Folosirea numerelor complexe ın geometria plana

considerat ca un element din R2, adica este un punct al spatiului

aritmetic real bidimensional. Deoarece R2 se identifica cu spatiul

euclidian bidimensional (planul euclidian), limbajul geometric rela-

tiv la R2 se transfera ın mod natural asupra corpului C. Elemen-

tul z din C este si punctul z din planul complex, iar o multime

de numere complexe poate fi privita si ca o figura geometrica. Ast-

fel multimea x; x = Re z, z = x + iy ∈ C este axa reala, iar

y; y = Im z, z = x+ iy ∈ C este axa imaginara. Semiplanul drept

este multimea z ∈ C : Re z > 0, ın timp ce z ∈ C : Re z <

< 0, z ∈ C : Im z > 0 si z ∈ C : Im z < 0 sunt semiplanul

stang, superior, respectiv inferior. Multimea x : x = Re z > 0 este

semiaxa reala pozitiva.

In continuare, cu z din C se va nota: numarul complex z, punctul

z din planul complex sau vectorul−→Oz. Se va mai folosi notatia M(z)

(spunand ca z este afixul lui M) sau M(x, y). Daca z = x+ iy, atunci

z = x−iy este conjugatul sau. Reprezentandu-l pe z ın planul complex

(Fig.1.1), modulul lui |z| =√x2 + y2 este distanta euclidiana pana la

originea reperului; daca z ∈ C∗ = C \0, unghiul θ pe care vectorul−→Oz ıl face cu semiaxa reala pozitiva este un argument al lui z. El

poate fi obtinut ca solutie a ecuatiei

cos θ + i sin θ = z/|z|.

Deci unui z din C∗ ıi corespund o infinitate de argumente, care

difera cu un multiplu de 2π. Multimea argumentelor lui z o notam cu

Argz. Functia arg : C∗ → (−π, π], arg z = θ, iar θ este solutia unica

din (−π, π] a ecuatiei eiθ = z/|z|, se numeste argumentul principal al

lui z. Observam ca Argz = arg z + 2kπ; k ∈ Z.

Capitolul 1 11

6

-

O x

y z

Fig.1.1.

Urmatoarele proprietati pentru z, z1 si z2 din C pot fi usor veri-

ficate (a se vedea de exemplu [HMN]):

Re z =1

2(z + z), Im z =

1

2i(z − z)(1.1)

z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1z2(1.2)

|z| = |z|, |z|2 = zz, z = z(1.3)

1

z=

z

|z|2 ,∣∣∣∣z1z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

cand z 6= 0(1.4)

−|z| ≤ Re z ≤ |z|, −|z| ≤ Im z ≤ |z|(1.5)

|z| ≤ |Re z| + |Im z|(1.6)

|z1z2| = |z1||z2|, |z| = 0 ⇔ z = 0(1.7)

|z1 ± z2|2 = |z1|2 ± 2Re (z1z2) + |z2|2(1.8)

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|(1.9)

|z1 + z2| = |z1| + |z2| si ||z1| − |z2|| = |z1 − z2| ⇔(1.10)


⇔ arg z1 = arg z2

|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2)(1.11)

Arg(z1z2) = Argz1 + Argz2(1.12)

Argz1z2

= Argz1 − Argz2(1.13)

arg z = 0 ⇔ Re z > 0 si Im z = 0(1.14)

arg z = π ⇔ Re z < 0 si Im z = 0.(1.15)

Desigur ca proprietatile (1.12)-(1.15) au sens pentru z1 6= 0 si

z2 6= 0.

Utilizand modulul si argumentul, un numar complex din C∗ se

poate reprezenta sub forma trigonometrica

z = |z|(cos θ + i sin θ), unde θ ∈ Argz.(1.16)

Adeseori se foloseste notatia:

cos θ + i sin θ = eiθ.(1.17)

Combinand (1.16) si (1.17) putem scrie z = reiθ, unde r = |z| si

θ ∈ Argz.

Pentru z1, z2 ∈ C∗, din (1.7), (1.12) si (1.16) obtinem

z1z2 = |z1||z2|[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)](1.18)

sau, folosind si (1.17),

z1z2 = |z1||z2|ei(θ1+θ2)

unde θk ∈ Argzk, k ∈ 1, 2.

Capitolul 1 13

Daca z ∈ C∗, θ ∈ Argz si n ∈ N, atunci

zn = |z|neinθ.(1.19)

Ecuatia binoma zn = a, a ∈ C∗ are ın C solutiile

zk = |α| 1n

(cos

arg a+ 2kπ

n+ i sin

arg a+ 2kπ

n

),

k ∈ 0, 1, . . . , n − 1.Daca z1, z2 ∈ C∗ sunt priviti ca vectori, atunci suma, diferenta,

produsul si catul lor este reprezentat de vectorii z3, z4, z5 si z6 din

Fig.1.2-1.5, mai precis z4 = z1 − z2 si z6 = z2/z1.

6

-

:

z1

z2z3

6

-

s

7

* z1

z2

z4

Fig.1.2. Fig.1.3.


6

-

1

O 1

z1

z2

z56

-

1

>

7

O 1

z1

z2

z6

Fig.1.4. Fig.1.5.

In Fig.1.4 triunghiurile (O, 1, z1) si (O, z2, z5) s-au construit ase-

menea, de unde rezulta

Argz5 = Argz1 + Argz2,

|z5||z2|

=|z1|1

sau |z5| = |z1||z2|,

deci z5 = z1z2.

In Fig.1.5 triunghiurile (O, 1, z1) si (O, z6, z2) s-au construit ase-

menea, de unde rezulta printr-un rationament de acelasi fel, ca

z6 = z2/z1.

In diverse cazuri este necesara extinderea multimii C a numere-

lor complexe cu un nou element (un numar impropriu) notat cu ∞(infinit). Prin definitie C∞ = C ∪ ∞ si ∞ 6∈ C. Unele operatii cu

numere complexe pot fi extinse la C∞ convenind ca:

a+ ∞ = ∞ + a = ∞, pentru a ∈ C∞,

Capitolul 1 15

a · ∞ = ∞ · a = ∞, pentru a ∈ C∞ \ 0,a∞ = 0 pentru a ∈ C∞ si a

0 = ∞ pentru a ∈ C∞ \ 0,|∞| = +∞, unde +∞ este unul dintre cele doua elemente care se

ataseaza lui R.

Nu au sens operatii precum: ∞−∞, 0 · ∞, 0/0, ∞/∞.

C∞ se numeste planul complex extins (ınchis, compactificat, pla-

nul lui Gauss). Convenim sa consideram pe ∞ ca apartinand oricarei

drepte din C∞ si neapartinand vreunui cerc sau semiplan.

Conventiile de mai sus referitoate la elementul ∞ (si altele care

vor fi facute ulterior) pot fi ın buna parte justificate prin apelarea

la un model geometric al lui C∞. Pentru aceasta raportam spatiul

euclidian R3 la sistemul de axe rectangulare ξ, η si ζ, iar axele ξ si η

le consideram suprapuse cu axele x si y ale planului complex. Fie S2

sfera unitate din R3 de ecuatie:

S2 : ξ2 + η2 + ζ2 = 1

(Fig.1.6). Fiecarui punct P (ξ, η, ζ) ∈ S2 ıi atasam un numar din C∞

prin relatia z = φ(ξ, η, ζ) unde φ : S2 → C∞, φ(ξ, η, ζ) = ξ+ıη1−ζ

daca

(ξ, η, ζ) 6= (0, 0, 1) si φ(0, 0, 1) = ∞.

Se demonstreaza (v. [HMN]) ca aplicatia φ este o aplicatie omeo-

morfa (bijectiva si bicontinua) de la S2 la C∞. Aceasta aplicatie

se numeste proiectie stereografica de centru N , iar S2 ınzestrata cu

omeomorfismul φ se numeste sfera lui Riemann. Deci planul C se

poate identifica (abstractie facand de un omeomorfism) cu S2 \ N,iar C∞ cu S2.


6

-

/x ζ

z

y2

3

N(0, 0, 1)

P (ζ, 2, 3)

O

Fig.1.6.

Se poate verifica usor ca prin proiectia stereografica cercurile de

pe S2 care nu trec prin N , corespund cercurilor din C si reciproc, iar

cercurile care trec prin N corespund dreptelor din C∞.

1.2 Aplicatii geometrice simple ale pro-

prietatilor numerelor complexe

1.2.1. Fie z1 si z2 doua puncte distincte din planul complex;

segmentul [z1, z2] este format din punctele z de forma

z = (1 − t)z1 + tz2, t ∈ [0, 1].(1.20)

Acest fapt rezulta imediat observand ca (Fig.1.7) vectorul

z se obtine adunand la z1 o parte din vectorul z2 − z1, deci

z = z1 + t(z2 − z1).

Capitolul 1 17

6

-

O

j*

O

z1

z2

z

z2 − z1

t(z2 − z1)

z1 z2

z3

z

z′

Fig.1.7. Fig.1.8.

Relatia (1.20) se mai poate scrie

z = k1z1 + k2z2, unde k1, k2 ∈ [0, 1] si k1 + k2 = 1.

In particular punctul z = (z1 + z2)/2 este mijlocul segmentului

[z1, z2].

1.2.2. Centrul de greutate al triunghiului (z1, z2, z3) este

z =z1 + z2 + z3

3.

Intr-adevar, din Fig.1.8 si conform Teoremei medianelor, z = z1+

+23(z′ − z1), unde z′ = (z2 + z3)/2, deci z = (3z1 + z2 + z3 − 2z1)/3.

In 1.6.1 se obtine acest rezultat fara a folosi Teorema medianei.

1.2.3. Punctul z care ımparte segmentul [z2, z3] ın raportul k este

z =z1 − kz21 − k

.(1.21)


M1(z1)

M2(z2)

M(z)

Fig.1.9.

Daca MM1MM2

= k, atunci relatia aceasta este echivalenta cu

z − z1z − z2

= k,(1.22)

deoarece arg(z − z1) = arg(z − z2) sau arg(z − z1) = − arg(z − z2),

iar din (1.22) rezulta (1.21).

Observam ca (1.21) se poate scrie

z =1

1 − kz1 −

k

1 − kz2, unde

1

1 − k− k

1 − k= 1.

Am obtinut astfel ca

1.2.4. Punctele z, z1 si z2 sunt coliniare daca satisfac conditia

z = k1z1 + k2z2, k1, k2 ∈ R, k1 + k2 = 1.(1.23)

De aici rezulta

1.2.5. Ecuatia dreptei care contine punctele z1 si z2 este

z = (1 − t)z1 + tz2, t ∈ R.

1.2.6. Conditia necesara si suficienta ca z1, z2, z3 si z4 sa fie

varfurile unui paralelogram este

z1 + z3 = z2 + z4.

Capitolul 1 19

Aceasta conditie rezulta din faptul ca mijloacele diagonalelor

[z1, z3] si [z2, z4] coincid.

1.2.7. Ecuatia cercului cu centrul ın a ∈ C si de raza

r ∈ R, r > 0 este

|z − a| = r.(1.24)

Rezultatul este imediat, pe baza definitiei cercului si a observatiei

ca distanta dintre doua puncte z1 si z2 se poate exprima cu |z1 − z2|.Pe de alta parte, apeland la geometria analitica, daca z = x+ iy

iar a = p+ iq, atunci ecuatia (1.24) prin ridicare la patrat devine

(x− p)2 + (y − q)2 = r2,

deci binecunoscuta ecuatie a cercului cu centrul (p, q) si raza r.

1.2.8. Masura unghiului dintre doua puncte z1, z2 si originea

reperului O se exprima cu argumentul astfel (v. Fig.1.10):

m( z2, O, z1) = argz2z1

= arg z2 − arg z1.

Masura unghiului determinat de trei puncte z1, z2 si z3 este

m( z1, z2, z3) = argz1 − z2z3 − z2

(v. Fig.1.11). Observam ca α = m( z1, z2, z3) = −m( z3, z2, z1).


-

6

*

6

z1

z2

-

6

1 α

z1

z2

z3

Fig.1.10. Fig.1.11.

1.2.9. O conditie necesara si suficienta ca punctele distincte

z1, z2, z3 sa fie coliniare este

argz3 − z1z3 − z2

∈ 0, π.

Aceasta conditie este echivalenta cu

z3 − z1z2 − z1

= t ∈ R,(1.25)

de unde, considerand pe z3 drept un punct variabil z, se regaseste

ecuatia dreptei de la 1.2.5.

Tot din (1.25) se obtine o alta forma a ecuatiei dreptei.

1.2.10. Ecuatia dreptei care contine punctele z1 si z2 este

Imz − z1z2 − z1

= 0.

1.2.11. Daca [z1, z2] ⊥ [z3, z4], atunci

Rez1 − z2z3 − z4

= 0

Capitolul 1 21

si reciproc.

Intr-adevar, arg z1−z2z3−z4

∈ −π2 ,

π2

, deci z1−z2

z3−z4este un numar com-

plex pur imaginar.

Definim biraportul a 4 puncte distincte (sau raportul anarmonic)

prin

(z1, z2, z3, z4) =z1 − z3z2 − z3

:z1 − z4z2 − z4

, z1, z2, z3, z4 ∈ C.(1.26)

Definitia se extinde si ın cazul cand unul din puncte este ∞; de

exemplu

(z1, z2, z3,∞) =z1 − z3z2 − z3

.(1.27)

Se observa usor ca (1.27) se obtine din (1.26) daca z4 → ∞ sau

daca ınlocuim cu 1 binoamele din membrul drept ın care apare z4.

Aceeasi regula se aplica si daca z4 este pe alta pozitie.

Numim cerc ın sens larg un cerc sau o dreapta. Aceasta denu-

mire este bine motivata de faptul ca cercurilor si dreptelor din planul

complex extins le corespund cercurile de pe sfera lui Riemann.

1.2.12. Fie z1, z2, z3, z4 patru puncte distincte din C∞; atunci

(z1, z2, z3, z4) ∈ R daca si numai daca z1, z2, z3, z4 sunt pe un cerc ın

sens larg.

Pentru a verifica aceasta proprietate presupunem mai ıntai ca

(z1, z2, z3, z4) ∈ R si toate punctele sunt din C. Atunci

arg(z1, z2, z3, z4) ≡ 0 (modπ)(1.28)

si din definitia (1.26) rezulta

argz1 − z3z2 − z3

≡ argz1 − z4z2 − z4

≡ α (modπ).(1.29)


Daca α ≡ 0 (modπ), atunci z1, z2, z3 si z1, z2, z4 sunt situate pe

cate o dreapta (v. proprietatea 1.2.9) si deoarece z1 si z2 sunt pe

ambele drepte, rezulta ca aceste drepte coincid, deci z1, z2, z3, z4 sunt

coliniare.

Daca α 6≡ 0 (modπ), atunci z1, z2, z3 determina un cerc (ne-

fiind coliniare); din congruenta (1.29) si folosind proprietatea 1.2.8

obtinem

m( z1, z3, z2) ≡ m( z1, z4, z2) (modπ).

In acest caz m( z1, z3, z2) = m( z1, z4, z2) sau m( z1, z3, z2) =

m( z1, z4, z2) + π. In ambele cazuri rezulta ca z1, z2, z3, z4 sunt pe un

cerc, avand una din situatiile din Fig.1.12 sau Fig.1.13.

z1

z2

z3

z4

?z1

z2

z3

z4

Fig.1.12. Fig.1.13.

Daca (z1, z2, z3, z4) ∈ R si, de exemplu z4 = ∞, atunci avand

arg(z1, z2, z3, z4) = argz1 − z3z2 − z3

≡ 0

rezulta ca z1, z2, z3 sunt pe o dreapta si deoarece ∞ apartine tuturor

dreptelor obtinem coliniaritatea celor 4 puncte.

Capitolul 1 23

Reciproc, daca punctele sunt pe o dreapta sau pe un cerc, atunci

se verifica usor ca are loc (1.28).

1.2.13. Triunghiurile (z1, z2, z3) si (z′1, z′2, z

′3 sunt direct asemenea

daca si numai daca

z2 − z1z3 − z1

=z′2 − z′1z′3 − z′1

.(1.30)

Fie A(z1), B(z2), C(z3), A′(z′1), B

′(z′2), C′(z′3). Triunghiurile ABC

si A′B′C ′ sunt direct asemenea daca si numai daca

ABAC

= A′B′

A′C′

m(BAC) = m( B′A′C ′).(1.31)

Folosind afixele z1, z2, . . . ale punctelor A,B, . . ., egalitatile (1.31)

se pot exprima sub forma

|z2 − z1|/|z3 − z1| = |z′2 − z′1|/|z′3 − z′1|arg( z2, z1, z3) = arg( z′2, z

′1, z

′3)

ceea ce este echivalent cu (1.30).

Observam ca (1.30) se mai poate scrie sub una din urmatoarele

doua forme: ∣∣∣∣∣z2 − z1 z3 − z1

z′2 − z′1 z′3 − z′1

∣∣∣∣∣ = 0

sau ∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1

z1 z2 z3

z′1 z′2 z′3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.(1.32)

In particular, daca triunghiul ABC este echilateral, atunci el este


asemenea cu triunghiul BCA si (1.32) devine:

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1

z1 z2 z3

z2 z3 z1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

de unde deducem succesiv

z1z2 + z1z3 + z2z3 = z21 + z2

2 + z23 ,(1.33)

(z1 − z2)2 + (z2 − z3)

2 + (z3 − z1)2(1.34)

Am obtinut astfel

1.2.14. Triunghiul (z1, z2, z3) este echilateral daca si numai daca

este verificata una din conditiile (1.33) sau (1.34).

Din (1.33) se poate obtine urmatoarea proprietate

1.2.15. Triunghiul (z1, z2, z3) este echilateral daca si numai daca

verifica o relatie de forma

z1 + εz2 + ε2z3 = 0(1.35)

unde ε este una din cele doua radacini complexe de ordinul 3 ale

unitatii (ε = 1, ε 6= 1).

Observam ca daca ε este una dintre radacini, atunci ε2 este cea-

lalta si ε+ ε2 = −1. Relatia (1.33) este echivalenta cu

z21 + z2

2 + z23 + (ε+ ε2)(z1z2 + z1z3 + z2z3) = 0

iar aceasta ultima egalitate se mai poate scrie

(z1 + εz2 + ε2z3)(z1 + ε2z2 + εz3) = 0.

Capitolul 1 25

1.3 Transformari geometrice

Fie ϕ : C → C o functie complexa. Din punct de vedere geome-

tric ea ataseaza unui numar complex z transformatul sau z′ = ϕ(z).

Unele dintre aceste functii au proprietati geometrice remarcabile si

de aceea se mai numesc si transformari geometrice.

1.3.1. Translatia. Fie b ∈ C; functia ϕ(z) = z + b translateaza

pe z cu vectorul b ın z′ = z + b.

1.3.2. Rotatia. Fie a ∈ C, |a| = 1; functia ϕ(z) = az transforma

punctul z ın z′ care se obtine prin rotirea lui z fata de centrul O cu

unghiul arg a. Mai general, daca z0 ∈ C, atunci ϕ(z) = z0 +a(z− z0)este o rotatie a lui z pe cercul cu centrul ın z0 si raza |z − z0|, ın z′

(Fig.1.14).

6

-O

1

K

z

z′

z0

arg a

6

-O

z′

z

z0

Fig.1.14. Fig.1.15.

1.3.3. Omotetia. Daca z0 ∈ C si a ∈ R \ 0, atunci

ϕ(z) = z0+a(z−z0) este o omotetie de centru z0 si raport a. Ea trans-

forma pe z ın z′ = z0+a(z−z0) (Fig.1.15), unde (z0−z′)/(z0−z) = a

(v. 1.2.3).


1.3.4. Inversiunea. Geometric o inversiune de pol O si modul

k ∈ R, k > 0, transforma un punct M ıntr-un punct M ′ situat pe

semidreapta OM astfel ca

OM ·OM ′ = k.(1.36)

Daca afixele lui O,M si M ′ sunt z0, z si z′, atunci conditia (1.36)

devine:

|z − z0||z′ − z0| = k(1.37)

iar din faptul ca M ′ este pe dreapta OM rezulta

arg(z − z0) = arg(z′ − z0)

sau

arg[(z − z0)(z′ − z0)] = 0.(1.38)

Combinand (1.37) cu (1.38) obtinem (z − z0)(z′ − z0) = k, deci

z′ = z0 +k

z − z0.(1.39)

Daca C(z0; r) este cercul cu centrul ın z0 si raza r, iar r2 = k,

spunem ca z si z′ sunt inverse fata de cercul C, iar din motive ce vor fi

prezentate ulterior (v. 2.1.12) ın analiza complexa se mai spune ca z si

z′ sunt simetrice fata de cercul C. Construirea lui z′ este ilustrata ın

Fig.1.16, folosindu-se asemanarea triunghiurilor dreptunghice OMT

si OTM ′.

Capitolul 1 27

T

O

M ′(z′)

M(z)

6

-O

−zz

-z z

Fig.1.16. Fig.1.17.

1.35. Simetrii. Transformarile z′ = z, z′ = −z si z′ = −z sunt

simetria fata de axa reala, axa imaginara, respectiv originea axelor

de coordonate (Fig.1.17).

1.4 Utilizarea numerelor complexe ın geome-

tria plana

Multe din rezultatele geometriei plane pot fi obtinute sau

reobtinute folosind numerele complexe, adeseori metodele utilizate

fiind mai simple, mai elegante. In acest paragraf vom sustine aceasta

afirmatie prin cateva exemple.

1.4.1. Teorema lui Ptolemeu. Daca M este un punct oarecare

din planul triunghiului ABC, atunci

MA ·BC ≤MB · CA+MC · AB

MB · CA ≤MC · AB +MA · BC


MC ·AB ≤MA · BC +MB · CA.

Egalitatea are loc ın una din relatii daca M se gaseste pe cercul cir-

cumscris triunghiului ABC. Egalitatea are loc ın doua relatii daca

M se gaseste ın unul din varfurile triunghiului.

Demonstratie. Fie A(a), B(b), C(c) si M(z). Din relatia

(z − a)(b− c) + (z − b)(c− a) + (z − c)(a− b) = 0,(1.40)

care se verifica prin calcul direct, obtinem

|z − a||b− c| ≤ |z − b||c− a| + |z − c||a− b|(1.41)

care este tocmai prima inegalitate din teorema. Celelalte doua se

obtin din (1.40) ın mod analog.

In (1.41) avem egalitate (v. (1.10)) daca si numai daca

arg[(z − b)(c− a)] = arg[(z − c)(a − b)]

sau

arg[(b− z)(a− c)] = arg[(c− z)(b− a)].

Daca folosim notatiile din Fig.1.18 si proprietatile argumentului,

atunci ultima egalitate se poate scrie

β + β′ = γ + γ′ + 2π

sau

(β − γ) + (β′ − γ′) = 2π.

Capitolul 1 29

6

-

6

A

B

C

M

Oγ−1

γ′′ γ β β′

Fig.1.18.

Tinand cont si de γ′ = γ′′ − π avem

(β − γ) + (β′ − γ′′) = π

adica

m( BMC) +m(BAC) = π

ceea ce ınseamna ca M apartine cercului circumscris triunghiului

ABC.

Daca ın primele doua relatii din teorema are loc egalitatea, atunci

prin adunarea lor obtinem MC · AB = 0, de unde rezulta M = C.

Invers, daca M = C, atunci MC = 0 si primele doua relatii sunt

verificate cu egalitate.

1.4.2. Teorema lui D. Pompeiu pentru triunghiul echi-

lateral ([Pom], [Mih]). Fie ABC un triunghi echilateral si M un

punct din planul sau. Cu segmentele [MA], [MB] si [MC] se poate


construi un triunghi. Acest triunghi este degenerat (are varfurile

coliniare) cand M se afla pe cercul circumscris triunghiului ABC

si are o latura egala cu zero cand M coincide cu unul din varfurile

A,B sau C.

Demonstratie. Apelam la 1.4.1. Avem AB = AC = BC si in-

egalitatile lui Ptolemeu devin MA ≤ MB + MC, MB ≤ MC+

+MA, MC ≤MA+MB, deci se poate construi un triunghi.

Daca M apartine cercului circumscris, atunci cel putin o relatie

este verificata cu egalitate si reciproc. Fie MA = MB +BC; atunci

[MA], [MB] si [MC] trebuie sa fie pe aceeasi dreapta.

Ultima afirmatie este evidenta.

Teoremei lui Pompeiu 1.4.2 i s-au dat diverse generalizari; o parte

dintre ele sunt prezentate ın aceasta carte.

1.4.3. Teorema lui Pompeiu pentru paralelogram. Cu

distantele unui punct la varfurile unui paralelogram din acelasi plan

se poate forma un patrulater.

Demonstratie. Fie paralelogramul A(a), B(b), C(c) si D(d).

Atunci (v. 1.2.6) a+c = b+d, de unde avem (a−z)+(z−b)+(c−z)+(z−d) = 0; prin trecerea unei paranteze ın membrul celalalt, aplicand

modulul si utilizand proprietatile lui obtinem patru inegalitati, cum

este de exemplu

|z − a| ≤ |z − b| + |z − c| + |z − d|.

Observatie. Teorema ramane adevarata ın cazul unui hexagon

ABCDEF format din doua triunghiuri ACE si BDF cu acelasi cen-

tru de greutate.

1.4.4. Teorema lui Angheluta. Cu distantele unui punct P la

varfurile unui poligon regulat se poate forma un poligon.

Capitolul 1 31

Demonstratia acestei teoreme o omitem, ca rezultand din

urmatoarea teorema.

1.4.5. Teorema ([Din], [DiC]). Daca A1A2 . . . An si B1B2 . . . Bn

sunt doua poligoane regulate ın acelasi plan si la fel orientate, atunci

numerele

(A1B1)p, (A2B2)

p, . . . , (AnBn)p, p ∈ N, p ≤ n− 2,

sunt lungimile laturilor unui poligon.

Demonstratie. Alegem originea ın centrul poligonului

B1B2 . . . Bn si semiaxa reala pozitiva trecand printr-un varf al

poligonului, de exemplu B1.

Fie εk, k ∈ 0, 1, . . . , n − 1 radacinile de ordinul n ale unitatii

(εk = e2kπn ). Daca bk este afixul lui Bk, atunci el este de forma

bk = bεk−1, unde b ∈ R si k ∈ 1, 2, . . .. Pentru al doilea poligon,

daca ak este afixul lui Ak, atunci el este de forma ak = µ + aεk−1,

unde µ, a ∈ C, k ∈ 1, . . . , n. In acest caz µ este centrul poligonului,

|a| este raza cercului circumscris poligonului, iar − arg a da rotatia ce

se face pentru a suprapune pe a1 − µ pe semiaxa reala pozitiva Ox.

Avem

n∑

k=1

εk−1(ak − bk)p =

n∑

k=1

εk−1[(a− b)εk−1 + µ]p =

=n∑

k=1

εk−1

p∑

j=0

Cjp(a− b)jεjk−1µ

p−j

saun∑

k=1

εk−1(ak − bk)p =

p∑

j=0

(a− b)jµp−jCjp

n∑

k=1

εj+1k−1.(1.42)


Din faptul ca εk−1 = εk−11 obtinem

n∑

k=1

εj+1k−1 =

n∑

k=1

(εk−11 )j+1 =

n∑

k=1

(εj+11 )k−1 =

1 − (εj+11 )n

1 − εj+11

decin∑

k=1

εj+1k−1 =

1 − (εn1 )j+1

1 − εj+11

, j ∈ 0, 1, . . . , p(1.43)

unde observam ca εj+11 6= ε0 = 1, deoarece 0 < j + 1 ≤ p+ 1 < n, iar

εn1 = 1.

Din (1.42) si (1.43) rezulta

n∑

k=1

εk−1(ak − bk)p = 0(1.44)

iar de aici, prin trecerea cate unui termen ın membrul celalalt si

aplicand modulul obtinem n inegalitati, cum este de exemplu

n∑

k=2

|εk−1||ak − bk|p ≥∣∣∣∣∣

n∑

k=2

εk−1(ak − bk)p

∣∣∣∣∣ = |ε0||a1 − b1|p

iar deoarece |εk−1| = 1 aceasta devine

n∑

k=2

|ak − bk|p ≥ |a1 − b1|p

care ınseamna

(A2B2)p + · · · + (AnBn)p ≥ (A1B1)

p;

analog se obtin si celelalte inegalitati.

Observatii. Daca ın teorema 1.4.5 alegem B1 = B2 = . . . =

= Bn = B, obtinem teorema: daca A1A2 . . . An este un poligon regu-

lat, atunci cu segmentele de lungime (BAi)p, i ∈ 1, . . . , n, p ∈ N,

Capitolul 1 33

p ≤ n−2, se poate forma un poligon. Pentru p = 1 se obtine Teorema

lui Angheluta 1.4.4, iar pentru p = 1 si n = 3 se obtine Teorema lui

D. Pompeiu 1.4.2.

In cazul Teoremei lui Angheluta se poate indica un procedeu sim-

plu de construire a poligonului cu laturileBAi. Ne plasam ın conditiile

demonstratiei teoremei 1.4.5, deci B = 0 (originea reperului). Relatia

(1.44) devinen∑

k=1

εk−1ak = 0(1.45)

si deoarece εk = e2kπn

i, k ∈ 0, . . . , n− 1, deducem ca ε1a2 se obtine

prin rotirea lui a2 cu unghiul 2πn

; sa notam cu A′2 punctul care are

afixul ε1a2 (Fig.1.19).

6

*

-

2π/n

O

A2

A′2

6

-

K

:

7

7

I

A1

A′′2

A′′3

A′2

A′3

O

Fig.1.19. Fig.1.20.

Analog A′2(ε2a3) se obtine din A3 prin rotirea cu 4π

ns.a.m.d. Din

(1.45) avem

−→OA1 +

−→

OA′2 +

−→

OA′3 + · · ·+

−→

OA′n= 0.(1.46)


Construim acum−→

A1A′′2 echipolent cu

−→

OA′2,

−→

A′2A

′′3 echipolent cu

−→

OA′3, . . . ,

−→

A′′n−1A

′′n echipolent cu

−→

OA′n. Relatia (1.46) spune ca acest

contur este ınchis, mai exact A′′n = O. Deci poligonul cautat este

OA1A′′2 . . . A

′′n−1.

Prezentam ın continuare o ultima generalizare a Teoremei lui

D. Pompeiu.

1.4.6. Teorema lui M. Dinca. Fie poligoanele regu-

late A1A2 . . . An si B1B2 . . . Bn orientate ın acelasi fel. Daca

AjBj = xj , j ∈ 1, . . . , n, atunci cu segmentele care au

lungimile egale cu produsele x1x2 . . . xk, x2x3 . . . xk+1, . . . ,

xnx1x2 . . . xk−1 se poate construi un poligon convex, unde

1 ≤ k ≤ n− 2.

Demonstratia se gaseste ın [DiC, pag. 88].

Urmatoarele doua teoreme sunt reciproce ale Teoremei lui

Pompeiu.

1.4.7. Teorema. Fiind dat un triunghi ABC, daca cu distantele

la orice punct M la varfurile triunghiului se poate forma un triunghi,

eventual degenerat, atunci triunghiul ABC este echilateral.

Demonstratie ([DiC]). Fie A(a), B(b), C(c) si M(z); au loc ine-

galitatile

|z − a| + |z − b| ≥ |z − c|,(1.47)

|z − b| + |z − c| ≥ |z − a|,(1.48)

|z − c| + |z − a| ≥ |z − b|.(1.49)

Punand z = a ın (1.47) si (1.49) obtinem

|a− b| ≥ |a− c| si |a− c| ≥ |a− b|,

Capitolul 1 35

de unde rezulta

|a− b| = |a− c|.(1.50)

Analog punand z = b ın (1.47) si (1.48) rezulta

|a− b| = |b− c|.(1.51)

Din (1.50) si (1.51) avem |a − b| = |b − c| = |c − a|, deci triunghiul

ABC este echilateral.

1.4.7. Teorema lui A. Angelescu ([Ang], [Mih]). Fiind dat un

triunghi ABC putem sa gasim totdeauna un punct M ın planul unui

triunghi echilateral PQR, astfel ca distantele MP, MQ, MR sa fie

egale cu laturile triunghiului ABC.

Demonstratie. Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC.

Punem originea reperuluiO ın centrul triunghiului PQR iar axa reala

ın asa fel ıncat sa contina punctul P . Daca P are afixul r, atunci Q si

R au afixele εr si ε2r, r fiind raza cercului circumscris triunghiului,

iar ε = e2πi3 . Notam cu z afixul punctului cautat M si cu u, v,w

unghiurile facute cu semiaxa reala pozitiva de vectorii−→PM,

−→QM si

−→RM . Cerem ca |z − r| = a. Avem

z − r = aeiu, z − εr = beiv, z − ε2r = ceiw.(1.52)

Inmultim cu ε si ε2 a doua si respectiv a treia egalitate din (1.52)

si apoi le adunam; obtinem

aeiu + bεeiv + cε2eiw = z(1 + ε+ ε2) − r(1 + ε2 + ε4)

deci, deoarece ε4 = ε si 1 + ε+ ε2 = 0,

aeiu + bεeiv + cε2eiw = 0.(1.53)


Fie α, β si γ unghiurile pe care−→BC,

−→CA si

−→AB le fac cu semiaxa

reala pozitiva. Deoarece−→BC,

−→CA si

−→AB formeaza o linie poligonala

ınchisa−→AB +

−→BC +

−→CA= 0,

avem

aeiα + beiβ + ceiγ = 0.(1.54)

Comparand (1.53) cu (1.54) rezulta ca putem alege u = α, v =

β− 2π3 , w = γ− 4π

3 , apoi din (1.52) obtınem ca z este solutia sistemului

z = r + aeiα, z = εr + bε2eiβ, z = ε2r + cεeiγ(1.55)

(am folosit ca e−2π3

i = e4π3

i = ε2 etc.).

Aratam ca (1.55) este compatibil. Pornind de la sistemul (1.55)

au loc echivalentele

z = r + aeiα

r + aeiα = εr + bε2eiβ

r + aeiα = ε2r + cεeiγ⇔

⇔

z = r + aeiα

r(1 − ε) = bε2eiβ − aeiα

r(1 − ε2) = cεeiγ − aeiα⇔

⇔

z = r + aeiα

r(1 − ε2) = cεeiγ − aeiα

0 = cεeiγ − aeiα − (1 + ε)[bε2eiβ − aeiα]

⇔

⇔

z = r + aeiα

r = (cεeiγ − aeiα)/(1 − ε2)

0 = cεeiγ + aεeiα − (ε+ 1)bε2eiβ⇔

Capitolul 1 37

⇔

z = r + aeiα

r = (cεeiγ − aeiγ)/(1 − ε2)

0 = (ceiγ + aeiα + beiβ)ε

Ultimul sistem fiind compatibil existenta lui z este demonstrata,

el putand fi luat ın oricare din exprimarile (1.55).

Observatie. Nu totdeauna solutiile bazate pe utilizarea nume-

relor complexe sunt cele mai simple. In continuare vom prezenta o

demonstratie a teoremei 1.4.7 folosind metodele geometriei sintetice

([Ion]).

Fie ABC triunghiul dat si pe latura BC construim triunghiurile

echilaterale BCR si BCR′ ca ın Fig.1.21 si apoi construim triunghiu-

rile echilaterale ARQ si AR′Q′. Renotand B cu M si A cu P vom

arata ca punctul M si triunghiurile PQR si P ′Q′R′ satisfac cerintele

teoremei.

Intr-adevar MR = BC, (ABC echilateral), MP = MA =

AB. Pe de alta parte triunghiurile ACR si BRQ sunt congruente

(CR = BR, AR = QR, m(CRA) = m(QRB) = π/3 −m(ARB), de

unde rezulta si

MQ = AC.

Analog se verifica si ın cazul triunghiului P ′Q′R′.

1.4.8. Problema. Fie M1,M2,M3 trei puncte arbitrare situate pe

laturile sau prelungirile laturilor unui triunghi A1A2A3. Sa se arate

ca cercurile A1M2M3, A2M3A1, A3M1M2 au un punct comun.


A,P

CM,BQ

R′

R

Q′

A1

A2 A3M1

M2

M3M(z)

Fig.1.21. Fig.1.22.

Solutie. Fie Ak(ak) si Mk(zk), k ∈ 1, 2, 3 (Fig.1.22). Faptul ca

A1,M1 si A3 sunt coliniare este echivalent cu (v. 1.2.9)

z1 − a3

z1 − a2∈ R.(1.56)

Analogz2 − a1

z2 − a3∈ R(1.57)

z3 − a2

z3 − a1∈ R.(1.58)

Vom folosi notatia C(A1M2M3) pentru cercul determinat de

A1,M2 si M3. Din 1.2.12 avem ca daca z ∈ C(A1M2M3), atunci

(z, a1, z2, z3) =z − z2a1 − z2

:z − z3a1 − z3

∈ R.(1.59)

Capitolul 1 39

Analog, daca z ∈ C(A2M3A1), atunci

z − z3a2 − z3

:z − z1a2 − z1

∈ R(1.60)

iar daca z ∈ C(A3M1M2), atunci

z − z1a3 − z1

:z − z2a3 − z2

∈ R.(1.61)

Inmultim toate rapoartele care apar ın relatiile (1.56)-(1.61) si

obtinemz1 − a3

z1 − a2· z2 − a1

z2 − a3· z3 − a2

z3 − a1· z − z2a1 − z2

·(1.62)

·a1 − z3z − z3

· z − z3a2 − z3

· a2 − z1z − z1

· z − z1a3 − z1

· a3 − z2z − z2

= 1.

Deci daca M ∈ C(A1M2M3) ∩ C(A2M3M1), atunci (1.56)-(1.60)

sunt adevarate (expresiile sunt reale) si din (1.62) rezulta ca si (1.61)

este adevarata, deci M este si pe cercul A3M1M2.

Are loc si o proprietate reciproca: daca M este punctul comun

al celor trei cercuri si M2 ∈ A1A3, M3 ∈ A1A2, atunci deoarece

(1.57)-(1.61) sunt adevarate rezulta ca si (1.56) este adevarata, deci

M2 ∈ [A2A3].

1.4.9. Teorema lui Miquel ([Mih]). Fie M1,M2,M3 punctele

ın care o dreapta intersecteaza laturile sau prelungirile laturilor unui

triunghi A1A2A3. Atunci cercurile A1M2M3, A2M3M1, A3M1M2,

A1A2A3 au un punct comun.

Demonstratie. Consideram triunghiul M1M2A3 (Fig.1.23).

Atunci A1 ∈ M2A3, A2 ∈ M1A3, M3 ∈ M1M2. Conform 1.4.8 re-

zulta ca exista punctul P astfel ca P ∈ C(M1A2M3)∩C(M2A1M3)∩C(A3A1A2).


Consideram triunghiul A1A2A3; ın mod analog obtinem ca exista

un punct Q astfel ca Q ∈ C(A1M2M3)∩C(A2M3M1)∩C(A3M1M2).

Dar deoarece cercurile M1A2M3 si M2A1M3 apar ın ambele grupe

obtinem M3, P,Q ∈ C(M1A2M3)∩C(M2A1M3), iar aceste doua cer-

curi fiind distincte rezulta P = Q.

1.4.10. Teorema lui Iaglom ([Mih]). Fie patru cercuri

C1, C2, C3 si C4 care se taie doua cate doua ın punctele zi si wi astfel:

C1∩C2 = z1, w1, C2∩C3 = z2, w2, C3∩C4 = z3, w3, C4∩C1 =

z4, w4. Daca zi sunt patru puncte conciclice, atunci si wi sunt con-

ciclice.

Demonstratie. Avem z1, z2, w1, w2 ∈ C2, deci (z1, w2, z2, w1) ∈∈ R. Analog: (z2, w3, z3, w2), (z3, w4, z4, w3), (z4, w1, z1, w4) ∈ R. Un

calcul simplu arata ca

(z1, w2, z2, w1)(z3, w4, z4, w3)

(z2, w3, z3, w2)(z4, w1, z1, w4)= (z1, z2, z3, z4)(w1, w2, w3, w4).

Din faptul ca membrul stang al acestei egalitati este real, daca

z1, z2, z3, z4 sunt conciclice, atunci (z1, z2, z3, z4) ∈ R si deci si

(w1, w2, w3, w4) ∈ R, de unde rezulta ca si w1, w2, w3, w4 sunt conci-

clice.

1.4.11. Sa se arate ca punctele de contact a patru cercuri tangente

cate doua sunt conciclice ([Mih]).

Solutie. Fie cercul C2 tangent la C1 si C3 ın z1 si z2 (Fig.1.24).

Capitolul 1 41

A1

A2

A3

M1

M2

M3

C1

C2

C3

C4

Z1

Z2

Z3

Z4W

C

Fig.1.23. Fig.1.24.

Construim cercul C prin z1 si z2. El mai taie C1 ın z4 si C3 ın

z3. Ducem apoi cercul C4 tangent ın z3 la C3 si care trece prin z4.

El retaie C1 ın w, distinct sau nu de z4. Aratam ca w = z4. Avem

urmatoarea situatie

C1 ∩C2 = z1, C2 ∩C3 = z2, C3 ∩C4 = z3, C4 ∩C1 = z4, w.

Deoarece z1, z2, z3, z4 ∈ C (sunt conciclice), din Teorema lui Ia-

glom 1.4.10 rezulta ca si z1, z2, z3, w sunt conciclice, deci w ∈ C. Mai

mult, w ∈ C∩C1∩C4 si deoarece z4 ∈ C∩C1∩C4 obtınem ca w = z4.

1.4.12. Fie A(a), B(b), C(c),D(d) patru puncte distincte din plan.

Unghiul sub care se taie cercurile ABC si ABD este

α = arg(a, b, c, d).


Solutie. Din Fig.1.25 avem

α = m(BDA) −m(BCA) = argb− d

a− d− arg

b− c

a− c=

= arg

(a− c

b− c:a− d

b− d

)= arg(a, b, c, d).

A

B

C

D

α

Fig.1.25.

Observam ca daca biraportul este real, atunci cercurile sunt tan-

gente, iar daca este pur imaginar, atunci cercurile sunt ortogonale.

1.4.13. Fie ABCD si A′B′C ′D′ doua paralelograme. Sa se arate

ca punctele A1, B1, C1 si D1 care ımpart ın acelasi raport segmentele

[AA′], [BB′], [CC ′] si [DD′] sunt varfurile unui alt paralelogram.

Solutie. Fie A(a), . . . , A′(a′), . . . , A1(a1), . . . ,D1(d1). Deoarece

ABCD si A′B′C ′D′ sunt paralelograme avem relatiile (v. 1.2.6)

a+ c = b+ d, a′ + c′ = b′ + d′.(1.63)

Capitolul 1 43

Daca notam raportul cu k obtinem (v. 1.2.3)

a1 =a− ka′

1 − k, b1 =

b− kb′

1 − k, c1 =

c− kc′

1 − k, d1 =

d− kd′

1 − k,

de unde, folosind (1.63),

a1 + c1 =a+ c− k(a′ + c′)

1 − k=b+ d− k(b′ + d′)

1 − k= b1 + d1.

1.4.14 (D.V. Ionescu [Ion]). Fie ABC si A′B′C ′ doua triunghiuri

asemenea (direct) si O un punct ın planul lor. Prin A′, B′ si C ′ du-

cem segmentele [A′A1], [B′B1], [C ′C1] paralele si de acelasi sens

cu [OA], [OB], [OC] astfel ca A′A1 = k · OA, B′B1 = k · OB,

C ′C1 = k ·OC, k ∈ R. Triunghiul A1B1C1 astfel obtinut este aseme-

nea cu triunghiurile date.

Solutie. Fie O originea, A(a), . . . , C1(c1). Avem a1 − a′ = ka,

b1 − b′ = kb, c1 − c′ = kc.

Din asemanarea triunghiurilor ABC si A′B′C ′ obtinem (v. 1.2.13,

relatia (1.32)) conditia necesara si suficienta

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1

a b c

a′ b′ c′

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0,

conditie echivalenta cu

a′(b− c) + b′(c− a) + c′(a− b) = 0.

Atunci

a1(b− c) + b1(c− a) + c1(a− b) =

(a′ + ka)(b− c) + (b′ + kb)(c− a) + (c′ + kc)(a− b) =


a′(b− c) + b′(c− a) + c′(a− b) + k[a(b− c) + b(c− a) + a(b− c)] = 0

deci triunghiul A1B1C1 este asemenea cu ABC.

1.4.15. Fie ABC si A′B′C ′ doua triunghiuri cu centrele de

greutate G, respectiv G′; punctele A1, B1, C1 care ımpart segmentele

[AA′], [BB′] si [CC ′] ın raportul k formeaza un triunghi al carui cen-

tru de greutate G1 este situat pe segmentul [GG′] pe care-l ımparte ın

raportul k.

Solutie. Folosind 1.2.2 si 1.2.3 avem

g1 =a1 + b1 + c1

3=a+ b+ c− k(a′ + b′ + c′)

3(1 − k)=g − kg′

1 − k.

1.4.16. ([Mih]). Conditia ca 4 simetrii succesive sa inchida figura

este ca centrele lor sa fie varfurile unui paralelogram.

Solutie. Fie Ai(ai), i ∈ 1, . . . , 4 centrul de simetrie, M(z) un

punct ın plan, M1(z1) simetricul lui M fata de A1 etc. Avem

z + z1 = 2a1, z1 + z2 = 2a2, z2 + z3 = 2a3, z3 + z4 = 2a4.

Conditia de ınchidere este z4 = z. Calculam pe z4 ın functie de ai

z4 = 2a4 − z3 = 2(a4 − a3) + z2 = . . . = 2(a4 − a3 + a2 − a1) + z.

De aici z4 = z daca si numai daca

a1 + a3 = a2 + a4

care este conditia ca A1A2A3A4 sa fie paralelogram.

1.4.17 ([Pin]). Se dau ın plan punctele distincte Ai,

i ∈ 1, . . . , n, n ≥ 3; se construiesc triunghiurile echilaterale

Capitolul 1 45

A1A2B1, A2A3B2, . . . , AnA1Bn de aceeasi orientare. Sa se demon-

streze ca sistemele A1A2 . . . An si B1B2 . . . Bn au acelasi centru

de greutate.

Daca avem Ai(ai), i ∈ 1, . . . , n, atunci centrul de greutate este

(a1 + a2 + · · · + an)/n (v. si Observatia de la 1.7.2).

Solutie. Folosim conditia (1.2.15) ca un triunghi sa fie echilateral.

Considerand Bi(bi) avem

a1 + εa2 + ε2b1 = 0,

a2 + εa3 + ε2b2 = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an + εa1 + ε2bn = 0,

de unde, prin adunare obtinem

(a1 + a2 + · · · + an)(1 + ε) + (b1 + b2 + · · · + bn)ε2 = 0.

Dar 1 + ε = −ε2, deci

a1 + a2 + · · · + an − (b1 + b2 + · · · + bn) = 0.

1.4.18. Comoara din insula. Solutie. Suntem acum ın masura

sa prezentam o solutie simpla a problemei enuntate ın introducerea

acestei carti. Desigur ca cititorul poate descoperi, daca nu o comoara,

cel putin alte solutii, chiar mai frumoase.

Alegem reperul astfel ca stancile sa fie ın A(−r) si B(r) (Fig.1.26).

Punctul S(z) este neprecizat; ın functie de el avem

a1 = (z − (−r))i− r = (z + r)i− r

b1 = (z − r)(−i) + r


(am folosit doar translatii cu −r, respectiv r si rotatii cu −π/2 si

π/2).

-

6

]*]

*

A1(a1)

A(−γ) B(Γ)

B1(b1)

S(z)C(c)

Fig.1.26.

Punctul C are afixul

c =a1 + b1

2= ri.

Deci pozitia lui C nu depinde de a lui S, ci doar de A si B.

1.5 Geometrie analitica ın planul complex

Daca z = x+ iy, din relatiile x = z+z2 si y = z−z

2irezulta ca orice

expresie ce depinde de x si y poate fi transformata ıntr-una ce depinde

de z si z. De aceea geometria analitica plana se poate transpune ın

complex.

Capitolul 1 47

1.5.1. Dreapta. Trecand de la (x, y) la (z, z) ın ecuatia dreptei

αx+ βy + γ = 0, α, β, γ ∈ R

obtinem

α(z + z) − βi(z − z) + 2γ = 0

deci o ecuatie de forma

az + a z + b = 0, a ∈ C, b ∈ R.(1.64)

Ecuatia (1.64) se mai numeste si ecuatia autoconjugata a dreptei.

Se stie ca ecuatia dreptei ce contine punctele z1 si z2 este (v. 1.2.5)

z = (1 − t)z1 + tz2, t ∈ R.(1.65)

Daca cerem ca z, z1 si z2 sa verifice ecuatia (1.64), atunci obtinem

sistemul

az + a z + b = 0

az1 + a z1 + b = 0

az2 + a z2 + b = 0

Conditia ca sa existe a, a si b care sa verifice sistemul fara a fi

toate nule duce la ∣∣∣∣∣∣∣∣

z z 1

z1 z1 1

z2 z2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0(1.66)

(ecuatia dreptei ce contine punctele z1 si z2 forma cu determinant).

Din (1.64) folosind a = α− iβ, a = α+ iβ, de unde α = (a+a)/2,

β = (a− a)i/2, putem obtine panta (reala) a dreptei

m = tg u = −αβ

=a+ a

a− ai.(1.67)


Pentru a determina unghiul u observam ca

tg u =sinu

cos u= −e

iu − e−iu

eiu + e−iui = −e

2iu − 1

e2iu + 1i.

Din

−e2iu − 1

e2iu + 1i =

a+ a

a− ai

rezulta e2iu = −a/a, de unde unghiul u facut de dreapta (1.64) cu

semiaxa reala pozitiva este

u =i

2log

(−aa

).(1.68)

Unghiul dintre dreptele d si d′, daca

d : az + a z + b = 0 si d′ : a′z + a′ z + b′ = 0

este

θ = u′ − u =i

2log

aa′

aa′.(1.69)

In particular, d este paralela cu d′ daca si numai daca

aa′

aa′= 1 sau

a

a=a′

a′,(1.70)

iar d este perpendiculara pe d′ daca si numai daca

aa′

aa′= −1 sau

a

a+a′

a′= 0.(1.71)

Daca pornim de la ecuatia dreptei sub forma (1.66) si dezvoltam

determinantul obtinem

z(z1 − z2) − z(z1 − z2) + z1z2 − z1z2 = 0

Capitolul 1 49

sau echivalent

z(z1 − z2) − z(z1 − z2) − z(z1 − z2) + z1(z1 − z2) = 0,

de unde ajungem la noi forme ale ecuatiei dreptei prin z1 si z2

z − z1 =z2 − z1z2 − z1

(z − z1)(1.72)

sauz − z1z2 − z1

=

(z − z1z2 − z1

).(1.73)

Expresia

χ =z2 − z1z2 − z1

(1.74)

se numeste panta complexa a dreptei ce trece prin z1 si z2. Astfel

obtinem ecuatia unei drepte ce trece printr-un punct z1 si are panta

complexa χ

z − z1 = χ(z − z1), |χ| = 1.(1.75)

Comparand (1.64) cu (1.72) obtinem

χ = −aa,(1.76)

iar legatura dintre panta dreptei si panta complexa este

m = tg u =1 − χ

1 + χi.(1.77)

Din (1.68) si (1.76) rezulta

u = − i

2log χ.(1.78)


Daca avem dreptele d : z−z1 = χ(z−z1), d′ : z−z2 = χ′(z−z2),

|χ| = |χ′| = 1, atunci unghiul dintre ele θ se poate exprima cu χ si

χ′ astfel

θ = u′ − u =i

2log

χ

χ′= i log

√χ√χ′

= arg

√χ′

√χ.(1.79)

In particular, conditia de paralelism a dreptelor d si d′ este

χ = χ′,(1.80)

iar cea de perpendicularitate este

χ+ χ′ = 0.(1.81)

Aceste conditii se pot obtine si din (1.76) ımpreuna cu (1.70),

respectiv (1.71).

Vom deduce ın continuare o formula pentru calculul distantei de

la punctul z0 la dreapta d : az + a z + b = 0, (a ∈ C, b ∈ R). Panta

complexa a dreptei d fiind χ = −a/a, rezulta ca dreapta d1 ce trece

prin z0 este perpendiculara pe d are panta a/a, iar ecuatia ei este

d1 : z − z0 =a

a(z − z0).

Intersectand d cu d1 (rezolvand sistemul format cu cele doua

ecuatii ale dreptelor) obtinem

z′ =az0 − a z0 − b

2a,

de unde distanta de la z0 la d este

|z0 − z′| =|az0 + a z0 + b|

2|a| .(1.82)

Capitolul 1 51

Aria triunghiului determinat de punctele zk = xk + iyk,

k ∈ 1, 2, 3 este

A =1

2

∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=(1.83)

=1

8i

∣∣∣∣∣∣∣∣

z1 + z1 z1 − z1 1

z2 + z2 z2 − z2 1

z3 + z3 z3 − z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=i

4

∣∣∣∣∣∣∣∣

z1 z1 1

z2 z2 1

z3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Desigur ca A poate fi pozitiva sau negativa, depinzand de ordinea

ın care sunt luate punctele.

1.5.2. Cercul. Ecuatia cercului cu centrul ın a ∈ C si raza r este

(v. 1.2.7)

|z − a| = r.

Prin ridicare la patrat aceasta ecuatie devine

(z − a)(z − a) = r2

zz − az − az + aa− r2 = 0.

Notam c = −a si d = aa − r2; atunci ecuatia cercului este de

forma

zz + cz + c z + d = 0, c ∈ C, d ∈ R.(1.84)

Daca z = x+ iy, c = α− iβ, atunci ecuatia (1.84) corespunde ın

cazul real ecuatiei

x2 + y2 + 2αx+ 2βy + d = 0.

Puterea punctului z0 fata de cercul |z − z0| = r este

p = |z − z0|2 − r2,


iar daca se considera ecuatia de forma (1.84), atunci

p = z0z0 + cz0 + c z0 + d.

Se stie ca axa radicala a doua cercuri este locul geometric al punc-

telor care au aceeasi putere fata de cele doua cercuri. Fie cercurile de

ecuatii (1.84) si

zz + c′z + c′z + d′ = 0.

Puterea punctului z0 fata de al doilea cerc este

p′ = z0z0 + c′z0 + c′z0 + d′.

Cerem p = p′ si obtinem ecuatia axei radicale

(c− c′)z + (c− c′)z + d− d′ = 0.

1.5.3. Conicele. Ecuatia generala a unei conice

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x+ 2a23y + a33 = 0

devine ın complex

f(z, z) = bz2 + 2azz + b z2 + 2cz + 2c z + d = 0,(1.85)

unde a, d ∈ R, b, c ∈ C.

Legatura ıntre cele doua ecuatii este data de egalitatile

4b = a11 − 2ia12 − a22,

2c = a13 − ia23,

4a = a11 + a22,

d = a33.

(1.86)

Capitolul 1 53

Conica (1.85) este cerc daca b = 0. Daca a = 0, atunci ecuatia

(1.85) este a unei hiperbole echilatere.

Avem relatiile

∂f

∂x=∂f

∂z

∂z

∂x+∂f

∂z

∂z

∂x=∂f

∂z+∂z

∂z,

∂f

∂y=∂f

∂z

∂z

∂y+∂f

∂z

∂z

∂y= i

(∂f

∂z− ∂f

∂z

),

de unde centrul conicei se poate obtine din sistemul

∂f

∂z= 0,

∂f

∂z= 0.(1.87)

Din (1.85) si (1.87) obtinem

bz + az + c = 0, az + b z + c = 0.(1.88)

Fie z ∈ C, t ∈ R si

F (z, z, t) = az2 + 2bzz + a z2 + 2czt+ 2c zt+ dt2 = 0;

avem egalitatea

z∂F

∂z+ z

∂F

∂z+ t

∂F

∂t= 2F (z, z, t).

Cand centrul conicei este pe conica (ın caz de degenerare) afixul

lui verifica pe langa (1.87) si ecuatia

∂F

∂t= 0 sau cz + c z + d = 0(1.89)

(deoarece el verifica F (z, z, 1) = 0).


Cerand ca sistemul (1.88)-(1.89) sa fie compatibil ın z si z obtinem

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

b a c

a b c

c c d

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

Conica este parabola cand (1.88) nu are solutii finite, adica atunci

cand

δ =

∣∣∣∣∣a b

b a

∣∣∣∣∣ = a2 − bb = 0.

Folosind (1.86) deducem

δ = a2 − bb =1

4(a11a22 − a2

12).

In cazul cercului b = 0 si δ = a2 > 0. Deci δ > 0 cand ecuatia

(1.85) este a unei elipse, iar δ < 0 ın cazul hiperbolei.

1.6 Aplicatii ın rezolvarea unor probleme

1.6.1. Fie (a, b, c) un triunghi. Sa se arate ca zG = (a+ b+ c)/3

este punctul de intersectie a medianelor, fara a apela la Teorema

medianelor.

Solutie. Fie ma mediana ce trece prin varful a si prin mijlocul

segmentului [bc]; ea are ecuatia (v. (1.72))

ma : z − a =b+c2 − a

b+c2 − a

(z − a).

Prin calcul direct se vede ca zG verifica aceasta ecuatie, deci zG ∈ ma.

Analog se arata ca zG se gaseste si pe celelalte doua mediane.

Capitolul 1 55

1.6.2. Fie (a, b, c) un triunghi al carui cerc circumscris are centrul

ın originea axelor si raza r = 1. Sa se determine punctul de intersectie

a ınaltimilor triunghiului (ortocentrul triunghiului).

Solutie. Ecuatia dreptei ce trece prin b si c are panta complexa

χ = c−b

c−b(v. 1.5.1). Panta ınaltimii ha din a pe aceasta dreapta este

χ′ = −χ (v. (1.81)), deci χ′ = (c − b)/b − c). Deoarece a, b, c sunt

pe cercul cu centrul ın origine si raza 1, |a| = |b| = |c| = 1. De aici

deducem

χ′ =c− b

bbb− cc

c

=c− b1b− 1

c

= bc.

Deci ecuatia ınaltimii ha este:

z − a = bc(z − a).(1.90)

Analog (sau prin permutari circulare) ınaltimea hb are ecuatia:

z − b = ca(z − b).(1.91)

Daca eliminam pe z ıntre (1.90) si (1.91) obtinem

z = a+ b+ c,(1.92)

el reprezentand ortocentrul ın acest caz.

1.6.3 ([Mod]). Se da un triunghi oarecare ABC. Pe cercul

C(ABC) se ia punctul M . Fie A1, B1, C1 proiectiile ortogonale ale

lui M pe dreptele BC,CA,AB. Sa se arate ca punctele A1, B1 si C1

sunt coliniare. Luand cercul C(ABC) ca cerc unitate si presupunand

ca z1, z2, z3, z0 sunt afixele punctelor A,B,C,M , sa se scrie ecuatia

dreptei A1B1C1.

Dreapta prin A1B1C1 se numeste dreapta lui Simson pentru punc-

tul M ın raport cu triunghiul ABC.


Solutie. Observam ca putem presupune de la ınceput ca C(ABC)

este cercul unitate, fara a se pierde din generalitate.

Ecuatia dreptei prin B si C este (v. Fig.1.27)

BC : z − z2 = χ(z − z2),

unde

χ =z3 − z2z3 − z2

=z3 − z21z3

− 1z2

= −z2z3,

deci BC : z − z2 = −z2z3(z − z2).

Perpendiculara din M pe BC are ecuatia

MA1 : z − z0 = z2z3(z − z0).

Determinam afixul a1 al punctului A1 prin eliminarea lui z ıntre

ecuatiile dreptelor BC si MA1. Obtinem

a1 =1

2(z0 + z2 + z3 − z2z3z0).(1.93)

A

M

BC

B1

A1C1

Fig.1.27.

Capitolul 1 57

Analog obtinem si

b1 =1

2(z0 + z1 + z3 − z1z3z0).

Panta dreptei prin A1 si B1 este χA1B1 = (a1 − b1)/(a1 − b1). Dar

a1 − b1 =1

2[z2 − z1 − z3z0(z2 − z1)] =

=1

2(z2 − z1)

(1 − z3

z0

)=

=(z2 − z1)(z0 − z3)

2z0,

a1 − b1 =z02

(1

z2− 1

z1

)(1

z0− 1

z3

)=

1

2(z2 − z1)(z0 − z3)

1

z1z2z3,

deci

χA1B1 =z1z2z3z0

= z1z2z3z0(1.94)

Analog se obtine

χA1C1 = z1z2z3z0,

de unde rezulta ca A1, B1 si C1 sunt coliniare.

Ecuatia dreptei Simson este z− a1 = χA1B1(z− a1); ımpreuna cu

(1.93) si (1.94) deducem

z−1

2(z0+z2+z3−z2z3z0) = z1z2z3z0

[z − 1

2

(1

z0+

1

z2+

1

z3− z0z2z3

)].

Folosim notatiile

σ1 = z1 + z2 + z3, σ2 = z1z2 + z1z3 + z2z3, σ3 = z1z2z3(1.95)

si obtinem

z − σ3z0z =1

2

(z0 + z2 + z3 −

z2z3z0

− σ3

z20

− z1z3 − z1z2z0

+ z1

)


z − σ3z0z =1

2(z0 + σ1 − σ2z0 − σ3z

20).(1.96)

1.6.4 ([Mod]). Fie ABC un triunghi ınscris ın cercul unitate.

Fie z1, z2, z3 afixele punctelor A,B,C. Numim punct Boutain pen-

tru triunghiul ABC un punct cu proprietatea ca daca se alege repe-

rul astfel ca el sa fie punctul unitate (adica z = 1), atunci are loc

egalitatea

σ3 = z1z2z3 = 1.

Sa se arate ca pentru un triunghi ABC dat ınscris ın cercul uni-

tate exista trei puncte Boutain si acestea formeaza un triunghi echi-

lateral.

Solutie. Fie α punctul de pe cercul unitate (|α| = 1) care ın

urma rotirii reperului devine noul punct unitate. Atunci noile afixe

ale punctelor ABC sunt z1/α, z2/α si z3/α. Punctul α va fi punct

Boutain dacaz1z2z3α3

= 1 sau σ3 = α3.

Deci α ∈ 3√σ3, ε 3

√σ3, ε

2 3√σ3, unde 3

√σ3 este una dintre cele trei

valori ale radacinii cubice a lui σ3, iar ε3 = 1. Este evident ca cele

trei puncte α formeaza un triunghi echilateral.

1.6.5. Sa se arate ca daca se ia ca punct unitate punctul Bou-

tain M ın raport cu triunghiul ABC ınscris ın cercul unitate,

atunci dreapta Simson corespunzatoare punctului M va fi coliniara cu

diametrul cercului unitate ce trece prin M .

Solutie. Daca z0 = 1 este punct Boutain, atunci σ3 = 1 si ecuatia

dreptei Simson (1.96) devine

z − z =1

2(σ1 − σ2),

Capitolul 1 59

deci panta dreptei Simson este χ = 1.

Ecuatia diametrului (dreptei ce contine punctele 0 si 1) este

z − 0

1 − 0=z

1(1.97)

deci cu aceeasi panta.

1.6.6. Daca dreapta Simson corespunzatoare punctului M si

triunghiului ABC este paralela cu diametrul cercului ce contine punc-

tul M , atunci M este un punct Boutain.

Solutie. Fie z0 = 1; atunci panta dreptei Simson, care are ecuatia

(1.96), este σ3, iar din faptul ca aceasta dreapta este paralela cu

diametrul de ecuatie (1.97), a carui panta este 1, rezulta σ3 = 1, deci

z0 este punct Boutain.

1.6.7 ([Mod]). Fie ABC un triunghi ınscris ın cercul unitate. Sa

se arate ca:

a) Punctul P de afix σ2 = z1z2 + z1z3 + z2z3 (unde zi este afixul

lui Ai) este simetricul ortocentrului H al triunghiului ABC fata de

diametrul δ al cercului unitate care este paralel cu dreapta Simson a

punctului M si triunghiului ABC.

b) Punctul Q de afix σ3 = z1z2z3 este simetric cu punctul unitate

ın raport cu acelasi diametru.

Solutie. Ecuatia dreptei Simson pentru punctul z0 = 1 este

z − σ3z =1

2(1 + σ1 − σ2 − σ3),

deci

δ : z − σ3z = 0

(este ecuatia dreptei prin O si de panta χ = σ3).


Se stie ca (v. (1.92)) afixul ortocentrului H este σ1 = z1 + z2 + z3.

Ecuatia dreptei d ce trece prin H si este perpendiculara pe δ este

d : z − σ1 = −σ3(z − σ1).

Fie λ = d∩ δ; observand ca σ1 = σ2/σ3 obtinem λ = (σ1 +σ2)/2.

Afixul µ al simetricului lui H fata de δ verifica relatia

µ+ σ1

2=σ1 + σ2

2,

deci µ = σ2.

b) Fie d1 perpendiculara din 1 pe δ; ea are ecuatia

d1; z − 1 = −σ3(z − 1).

O intersectam cu cercul unitate, care are ecuatia zz = 1 si obtinem

z − 1 = −σ3

(1

z− 1

)

sau

z2 − (1 + σ3)z + σ3 = 0

cu solutiile 1 si σ3, deci simetricul lui 1 fata de δ este σ3.

1.6.8. Teorema lui Titeica ([Mih]). Fie trei cercuri congruente

(de aceeasi raza), care au un punct comun O si care se mai intersec-

teaza doua cate doua ın A,B si C. Atunci cercul circumscris triun-

ghiului ABC este congruent cu cercurile date.

Demonstratie. Fie O originea axelor, M(m), N(n) si P (p) cen-

trele celor trei cercuri si presupunem alegerea unitatii reperului astfel

ca raza acestor cercuri sa fie 1 (Fig.1.28).

Capitolul 1 61

A(a)

B(b) C(c)

M

NP

O

Fig.1.28.

Evident ca ın acest caz |m| = |n| = |p| = 1.

Deoarece ONAP este romb (laturile sunt congruente), el este

paralelogram si

a = p+ n.

Analog b = p + m si c = m + n. Aratam ca A,B si C sunt pe

cercul cu centrul ın h = m+ n + p (ortocentrul triunghiului MNP )

si de raza r = 1, deoarece a, b si c verifica

|z − h| = 1.

Intr-adevar

|a− h| = |p+ n− (m+ n+ p)| = |m| = 1,

si la fel b si c.


Se poate arata ın plus ca O este ortocentrul triunghiului ABC.

Pentru aceasta translatam axele astfel ca noul centru sa fie ın cen-

trul cercului circumscris. In noul reper avem O(−h), A(a − h) etc.

Ortocentrul triunghiului ABC ın noul reper este

(a−h)+ (b−h)+ (c−h) = a+ b+ c− 3h = 2(m+n+ p)− 3h = −h,

unde am folosit ca a = p+ n, b = p+m, c = m+ n si h = a+ b+ c.

1.7 Proprietati ale poligoanelor ınscrise

ıntr-un cerc

1.7.1. Teorema (Cercul lui Euler) ([Tit, problema 235],

[Mih]). Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele ınaltimilor, mij-

loacele segmentelor ce unesc varfurile cu ortocentrul sunt noua puncte

situate pe un cerc, cu centrul ın mijlocul segmentului care uneste cen-

trul cercului circumscris triunghiului dat cu ortocentrul si cu raza

egala cu jumatate din raza cercului circumscris, numit cercul lui Eu-

ler.

Demonstratie. Fie triunghiul ABC (Fig.1.29), O centrul cer-

cului circumscris, H ortocentrul, M,N,P mijloacele laturilor, D

mijlocul segmentului AH, E mijlocul segmentului OH; notam cu

litere mici afixele corespunzatoare punctelor considerate. Alegem

reperul cu centrul ın O si astfel ca raza cercului circumscris sa

fie 1.

Capitolul 1 63

A

B C

N

B1

P

C1

D

O

MA1

E

H

Fig.1.29.

Avem

m =b+ c

2, d =

a+ h

2, h = a+ b+ c.

Obtinem

d = a+b+ c

2

de unde (m+ d)/2 = (a+ b+ c)/2, iar deoarece e = h2 , avem

e =a+ b+ c

2.(1.98)

De aici rezulta ca E este mijlocul segmentului MD,

DE = EM.


Patrulaterul A1MOH fiind trapez dreptunghic avem si

A1E = EM.

Deci A1,M,D sunt pe cercul cu centrul ın E si de raza

EM = |m− e| =

∣∣∣∣b+ c

2− a+ b+ c

2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a

2

∣∣∣∣ =1

2.

Din simetrie (expresia (1.98) este simetrica ın a, b si c), sau facand

acelasi rationament ın continuare, rezulta ca si celelalte sase puncte

sunt pe acelasi cerc.

Observatie. Apartenenta lui A1 la cercul lui Euler se poate de-

monstra folosind exprimarea lui a1 ın functie de afixele varfurilor

triunghiuluiABC, ca la problema 1.6.3; astfel conform formulei (1.93)

avem a1 = (a+ b+ c− bc/a)/2 si

A1E = |e− a1| =

∣∣∣∣a+ b+ c

2− a+ b+ c

2+bc

2a

∣∣∣∣ =∣∣∣∣bc

2a

∣∣∣∣ =1

2.

1.7.2. Teorema (ortocentrul poligonului ınscris) ([Mih]).

Fie A1A2 . . . An un poligon cu n laturi ınscris ın cercul C(O; r). Daca

cu patru varfuri oarecare se formeaza triunghiuri (ın numar de patru),

cele patru cercuri cu centrul ın ortocentrul cate unui triunghi si de

raza r trec printr-un punct, numit ortocentrul patrulaterului ınscris.

Luand cinci varfuri, cercurile cu centrele ın ortocentrele celor cinci

patrulatere formate si de raza r trec printr-un punct, pe care ıl numim

ortocentrul pentagonului ınscris. Continuand procedeul se obtine un

punct H, pe care ıl numim ortocentrul poligonului ınscris.

Demonstratie. Mai ıntai observam ca avand k puncte (k ≥ 4)

se pot obtine k poligoane cu k − 1 laturi, deoarece Ck−1k = C1

k = k.

Capitolul 1 65

Fara a pierde generalitatea putem alege originea axelor ın centrul

O al cercului si unitatea de masura r (deci r = 1). Atunci ecuatia

cercului C(0; 1) se poate scrie |z| = 1. Notam cu a1, . . . , an afixele

punctelor A1, . . . , An. Ortocentrul triunghiului A1A2A3 are afixul

a1 + a2 + a3.

Fie patrulaterul ınscris A1A2A3A4; ecuatia cercului de raza r = 1

si centrul ın ortocentrul triunghiului A1A2A3 este

|z − (a1 + a2 + a3)| = 1,

pentru cercul cu centrul ın ortocentrul triunghiuluiA1A2A4 si de raza

1 este

|z − (a1 + a2 + a4)| = 1

s.a.m.d.

Punctul z4 = a1 + a2 + a3 + a4 verifica ecuatiile tuturor acestor

patru cercuri, deoarece |ai| = 1, Ai fiind pe cercul |z| = 1. Punctul

z4 este deci ortocentrul patrulaterului ınscris.

In cazul pentagonului se procedeaza analog si se obtine ortocen-

trul z5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5, daca ne referim la pentagonul

A1A2A3A4A5.

Rezulta ca unui poligon ınscris ıi putem asocia un punct H, de

afix

h =n∑

i=1

ai.(1.99)

Observatie. Punctul G de afix

g =1

n

n∑

i=1

ai(1.100)


se numeste centroidul sau centrul de greutate al poligonului

A1A2 . . . An. Deci are loc relatia

g =1

nh sau OG =

1

nOH.

1.7.3. Teorema (cercul Euler al poligonului ınscris) ([Mih]).

Fie A1A2 . . . An un poligon de n laturi ınscris ın cercul C(O; r). Daca

se iau patru varfuri, atunci cercurile Euler (v. 1.7.1) ale celor patru

triunghiuri formate au un punct comun, iar centrele acelorasi cer-

curi sunt situate pe un cerc; acest cerc se numeste cercul Euler al

patrulaterului ınscris. Se continua procedeul; atunci cercurile Euler

ale poligoanelor formate din n− 1 varfuri au un punct comun E, iar

centrele acestor cercuri sunt situate pe un cerc Ce(E; r/2), pe care ıl

numim cercul Euler al poligonului ınscris.

Demonstratie. Folosim notatiile de la 1.7.2. Din (1.98) rezulta

ca centrul cercului Euler al triunghiului A1A2A3 este (a1+a2+a3)/3,

iar ecuatia lui se poate scrie

∣∣∣∣z −a1 + a2 + a3

3

∣∣∣∣ =1

2.

Punctul (a1 + a2 + a3 + a4)/2 verifica aceasta ecuatie (deoarece

|ai| = 1). La fel el verifica si ecuatiile cercurilor Euler ale triunghiu-

rilor A1A2A4, A1A3A4 si A2A3A4.

Invers, centrele cercurilor Euler respective, de exemplu al triun-

ghiului A1A2A3, se gasesc pe cercul

∣∣∣∣z −a1 + a2 + a3 + a4

2

∣∣∣∣ =1

2.

Capitolul 1 67

Prin inductie rezulta ca cercul Euler pentru poligonul A1A2 . . . An

este ∣∣∣∣∣z −1

2

n∑

i=1

ai

∣∣∣∣∣ =1

2.(1.101)

Centrul E al acestui cerc este la jumatatea segmentului [OH],

unde H este ortocentrul poligonului, iar raza este 1/2 din cea a cer-

cului ın care este ınscris poligonul (este deci omoteticul cercului cir-

cumscris ın raport cu ortocentrul H, de raport 1/2).

1.7.4. Teorema (dreapta Euler a poligonului ınscris). In

conditiile teoremei 1.7.3, daca H este ortocentrul, G centroidul, E

centrul cercului Euler si O centrul cercului circumscris poligonului,

atunci O,E,G si H sunt coliniare. Dreapta lor comuna se numeste

dreapta Euler a poligonului ınscris.

Demonstratie. Avem (v. (1.99-1.101))

o = 0, e =1

2

n∑

i=1

ai, g =1

n

n∑

i=1

ai, h =n∑

i=1

ai,

de unde

o = 0 · h, e =1

2h, g =

1

nh,

deci cele patru puncte sunt coliniare.

1.7.5. Teorema lui Iaglom pentru poligonul ınscris ([Mih]).

Fie A1A2 . . . An un poligon ınscris si E centrul cercului Euler.

1) Ortocentrele poligoanelor formate din k varfuri ale poligonului

ınscris si din cele n− k ramase sunt simetrice ın raport cu E.

2) Perpendicularele duse din centrele cercurilor Euler ale poligoa-

nelor formate din n − 2 varfuri pe latura opusa (ramasa) trec prin

E.


Demonstratie. 1) Fie Ai(ai), i ∈ 1, 2, . . . , n varfurile po-

ligonului ınscris ın cercul cu centrul ın O si raza 1 (prin alege-

rea convenabila a reperului). Notam cu Hk si Hn−k ortocentrele

considerate. Afixele lor sunt

hk =k∑

i=1

asisi hn−k =

n−k∑

j=1

atj ,

unde si, tj ∈ 1, 2, . . . , n, si 6= tj , i ∈ 1, 2, . . . , k, j ∈ 1, 2, . . . , n −k. Mai exact as1 , as2 , . . . , ask

sunt k varfuri, iar at1 , at2 , . . . , atn−k

sunt cele ramase. Deci

hk + hn−k =n∑

i=1

ai = 2e

ceea ce ınseamna ca Hk si Hn−k sunt simetrice fata de E.

2) Demonstram mai ıntai cazul n = 4. Poligoanele cu n−2 varfuri

sunt segmente si centrul cercului Euler este jumatatea segmentului.

Ecuatia dreptei care trece prin mijlocul segmentului [A1A2] si este

perpendiculara pe segmentul opus [A3A4] (Fig.1.30) este

z = a2 +1

2(a1 − a2) + (a3 − a4)ti, t ∈ R

sau

z − a1 + a2

2= (a3 − a4)ti, t ∈ R,

deci ecuatia se poate scrie

Rez − a1+a2

2

a3 − a4= 0.(1.102)

Capitolul 1 69

A1

A2

A3

A4

O

Fig.1.30.

Centrul cercului Euler este e = (a1 + a2 + a3 + a4)/2; atunci e se

afla pe dreapta (1.102) daca si numai daca

Rea3 + a4

a3 − a4= 0

deci daca si numai daca a3 + a4 si a3 − a4 sunt vectori perpendicu-

lari (v. 1.2.11), ceea ce este adevarat deoarece originea axelor este si

centrul cercului pe care se afla a3 si a4.

In concluzie centrul cercului Euler e verifica ecuatia (1.102) a

perpendicularei din mijlocul segmentului [A1A2] pe [A3A4].

In cazul general perpendiculara dusa prin centrul cercului Euler

al poligonului A1A2 . . . An−2, adica prin (a1 + a2 + · · · + an−2)/2, pe

latura [An−1An] este

Rez − (a1 + a2 + · · · + an−2)/2

an−1 − an= 0,


iar punctul z = e = (a1 + a2 + · · · + an)/2 verifica aceasta ecuatie,

care ın acest caz devine

Rean−1 + an

an−1 − an= 0,

ceea ce este echivalent cu perpendicularitatea vectorilor an−1 + an si

an−1 − an.

Capitolul 2

Functii omografice

2.1 Definitie si proprietati

2.1.1. Numim functie omografica (circulara, Mobius, liniara, li-

niar fractionara) o functie h : C∞ → C∞ de forma

h(z) =az + b

cz + d, a, b, c, d ∈ C, ad− bc 6= 0,(2.1)

h

(−dc

)= ∞ si h(∞) =

a

ccand c 6= 0;

h(∞) = ∞, cand c = 0.

2.1.2. Se poate verifica usor ca functia omografica este bijectiva

si daca w = h(z) este de forma (2.1), atunci

z = h−1(w) =dw − b

−cw + a(2.2)

si h−1 este de asemenea o functie omografica (ad− bc 6= 0).

71

72 Functii omografice

Orice functie omografica este un omeomorfism de la C∞ la C∞.

2.1.3. Fie D = C \ −d/c cand c 6= 0 si D = C cand c = 0;

functia omografica h este olomorfa pe D. Punctul z0 = −d/c, cand

c 6= 0, respectiv z0 = ∞ (c = 0) poarta numele de pol al functiei

omografice. In plus

h′(z) =ad− bc

(cz + d)26= 0, z ∈ D,

deci h este conforma ın D ([HMN]). Se stie ca o transformare con-

forma conserva (pastreaza) unghiurile, proprietate pe care o are si

functia omografica ın D. Aceasta proprietate poate fi extinsa la

C∞ ın modul urmator: fie γ1 si γ2 doua drumuri care trec prin ∞(γi : [0, 1] → C∞, γi continue, i ∈ 1, 2) si presupunem ca imaginile

lor pe sfera lui Riemann au tangenta ın punctul N (polul nord) (v.

Fig.1.6); prin unghiul lor ın z = ∞ ıntelegem unghiul imaginilor lor

T1 si T2 prin functia

z → Z =1

z

ın punctul Z = 0. Spunem ca o functie este conforma la infinit, daca

pastreaza unghiurile la infinit.

Fie acum γ1 si γ2 doua drumuri care trec prin z0 = −d/c si se

taie dupa unghiul α (admitem ca aceste drumuri au tangente ın z0).

Unghiul imaginilor lor γ∗1 si γ∗2 prin h ın w = ∞ = h(z0) este deci prin

definitie unghiul imaginilor Γ∗1 si Γ∗

2 ale lui γ∗1 si γ∗2 prin W = 1/w ın

W = 0. Dar W = (cz + d)/(az + b), deci Γ∗1 si Γ∗

2 pot fi tratate ca

imaginile lui γ1 si γ2 prin aceasta aplicatie. Unghiul dintre Γ∗1 si Γ∗

2

ın W = 0 este α, deoarece derivata

dW

dz=

bc− ad

(az + b)2

Capitolul 2 73

exista ın z0 si nu se anuleaza. Analog se arata si pentru z = ∞,

utilizand h−1. In concluzie, functia omografica este conforma ın C∞.

Deoarece omeomorfismele conforme sunt reprezentari conforme,

functiile omografice sunt reprezentari conforme de la C∞ la C∞, sau

mai exact sunt automorfisme conforme ale lui C∞.

2.1.4. Compunand doua functii omografice se obtine tot o

functie omografica; ıntr-adevar, daca hk(z) = (akz + bk)/(ckz + dk),

ak, bk, ck, dk ∈ C, akdk − bkck 6= 0, k ∈ 1, 2, atunci

(h1 h2)(z) =az + b

cz + d,

unde

a = a1a2 + b1c2, b = a1b2 + b1d2, c = c1a2 + d1c2,

d = c1b2 + d1d2 si ad− bc = (a1d1 − b1c1)(a2d2 − b2c2).

Se poate demonstra usor ca multimea H a functiilor omografice

ınzestrata cu operatia de compunere este grup (v. de exemplu [Cha]).

Acest grup, notat (H, ·) este necomutativ. De asemenea grupul (H, ·)este izomorf cu grupul matricelor patratice de dimensiune 2 × 2, ne-

singulare, cu elementele numere complexe, ınzestrat cu ınmultirea

matricelor.

Grupul (H, ·) se mai numeste grupului lui Mobius.

2.1.5. Functiile omografice pastreaza birapoartele (pentru

definitia biraportului v. (1.26) si (1.27)). Mai exact

(z1, z2, z3, z4) = (h(z1), h(z2), h(z3), h(z4)).


Verificarea acestei proprietati se face prin calcul direct, observand

ca daca wk = h(zk), k ∈ 1, 2, 3, 4 atunci

w1 − w3 =(ad− bc)(z1 − z3)

(cz1 + d)(cz3 + d), s.a.m.d.

2.1.6. Orice functie omografica este o compunere de functii omo-

grafice elementare. Functiile omografice elementare sunt cele care rea-

lizeaza transformarile geometrice (v. 1.3) si anume

- translatia: w = z + b, care se obtine din (2.1) ın cazul a = d =

1, z = 0;

- rotatia: w = az, ın cazul |a| = 1, b = c = 0, d = 1;

- omotetia: w = az, ın cazul a ∈ R \ 0, b = c = 0, d = 1;

- inversiunea si simetria: w = 1z, ın cazul a = d = 0, b = c = 1;

inversiunea este fata de cercul unitate C(0; 1), iar simetria este fata

de axa reala.

Fie c 6= 0; atunci functia h de forma (2.1) se poate scrie

w = h(z) =a

c+

bc− ad

c2(z + d/c)

deci este compusa din z1 = z+ d/c (o translatie), z2 = 1z1

(inversiune

si simetrie), z3 = bc−adc2

z2 (rotatie si omotetie), w = z3 +a/c (din nou

o translatie).

Daca c = 0, atunci w = adz + b

d, transformarea fiind compusa

din translatia z1 = z + b/a si din w = adz1, care este o rotatie si o

omotetie.

2.1.7. Functiile omografice transforma cercurile ın sens larg ın

cercuri ın sens larg (conserva cercurile).

Reamintim ca un cerc ın sens larg este un cerc sau o dreapta, pe

sfera lui Riemann corespunzandu-i un cerc (v. 1.2.11 si 1.1).

Capitolul 2 75

Un cerc ın sens larg are ecuatia (v. 1.64 si 1.84)

azz + bz + bz + c = 0, a, c ∈ R, b ∈ C.(2.3)

Daca ın (2.3) se ınlocuieste z din (2.2) se obtine o ecuatie de forma

a′ww + b′w + b′w + c′ = 0, cu a′, c′ ∈ R si b′ ∈ C.

Proprietatea de conservare a cercurilor rezulta si din proprietatile

(2.1.5) si (1.2.12). Ea se mai poate verifica direct prin intermediul

functiilor omografice elementare; astfel este evident ca translatiile,

rotatiile si omotetiile pastreaza cercurile. Mai ramane sa verificam

pentru inversiune si simetrie.

Fie w = 1z

si facem ın (2.3) ınlocuirea z = 1w

; obtinem

cww + bw + bw + a = 0, c, a ∈ R, b ∈ C

deci tot ecuatia unui cerc (c 6= 0) sau a unei drepte (c = 0).

2.1.8. Observatie. Deoarece dreptele (spre deosebire de cercuri)

contin punctul ∞ din C∞, o functie omografica de forma (2.1) cu

c 6= 0 transforma cercurile si dreptele care contin polul z0 = −d/c ın

drepte, iar cercurile si dreptele care nu contin polul transformarii, ın

cercuri.

2.1.9. Transformarea w = h(z) de forma (2.1) depinde efectiv

de trei parametri complecsi (si anume de rapoartele a trei dintre

coeficienti fata de al patrulea, ales dintre cei nenuli).

Fie z1, z2, z3 ∈ C∞ distincte si la fel w1, w2, w3 ∈ C∞. Ne propu-

nem sa determinam functia omografica h (deci coeficientii a, b, c, d)

astfel ıncat wk = h(zk), k ∈ 1, 2, 3. Obtinem sistemul

azk + b− czkwk − dwk = 0, k ∈ 1, 2, 3(2.4)


care este un sistem de trei ecuatii cu patru necunoscute (a, b, c, d)

liniar si omogen.

1) Presupunem c 6= 0. Luam ca necunoscute ac, b

c, d

c; determinan-

tul sistemului este

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 z1 w1

1 z2 w2

1 z3 w3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣z2 − z1 w2 − w1

z3 − z1 w3 − w1

∣∣∣∣∣ .

∆ = 0 daca si numai daca

w2 − w1

z2 − z1=w3 −w1

z3 − z1= λ.(2.5)

Observam ca λ 6∈ 0,∞.Presupunem ∆ = 0. In (2.4) scadem prima ecuatie din

urmatoarele doua sı folosim (2.5); obtinem

(z2 − z1)(a− λd) = c(z2w2 − z1w1)

(z3 − z1)(a− λd) = c(z3w3 − z1w1).(2.6)

Dar

z2w2 − z1w1 = z2w2 − z2w1 + z2w1 − z1w1 =

= z2(w2 − w1) + w1(z2 − z1) =

= (z2λ+ w1)(z2 − z1).

Analog

z3w3 − z1w1 = (z3λ+w1)(z3 − z1)

si (2.6) devine

c(z2λ+ w1) = a− λc, c(z3λ+ w1) = a− λc,

Capitolul 2 77

de unde

cλ(z3 − z2) = 0,(2.7)

dar z3 6= z2, λ 6= 0, c 6= 0, deci am ajuns la o contradictie. Inseamna

ca ∆ = 0 si sistemul are solutia unica a/c, b/c, d/c.

2) Presupunem c = 0. In acest caz sistemul (2.4) este de trei

ecuatii cu trei necunoscute omogen, iar determinantul lui este tot ∆.

Reluand procedeul de la punctul 1) ajungem la faptul ca ∆ = 0 daca

si numai daca (2.7) are loc. Dar (2.7) are loc totdeauna, deoarece

c = 0. Deci sistemul este compatibil nedeterminat. In acest caz

h(z) = αz + β, α =a

d, β =

b

d

si h este o transformare afina.

Conditia ad−bc 6= 0 este asigurata ın ambele situatii din faptul ca

neındeplinirea ei ar implica h(z) ≡ const., ori acest fapt este imposibil

ın conditiile date.

2.1.10. Observatie. Daca se cunosc imaginile a trei puncte dis-

tincte prin functia omografica h, atunci ea se poate determina prin

procedeul sugerat mai sus. O alta cale, chiar mai simpla, decurge din

proprietatea functiilor omografice de pastrare a biraportului. Astfel

daca wk = h(zk), k ∈ 1, 2, 3, atunci corespondenta dintre z si w,

deci w = h(z) este data de relatia

(w,w1, w2, w3) = (z, z1, z2, z3).(2.8)

2.1.11. Orice functie omografica h transforma punctele inverse

fata de un cerc ın puncte inverse fata de cercul imagine.

Demonstratie. Vom demonstra mai ıntai doua proprietati geo-

metrice:


P1. Fie M si M ′ inverse fata de cercul C (v. definitia de la 1.3.4);

atunci orice cerc Γ care contine punctele M si M ′ este ortogonal pe

C.

In Fig.2.1 M si M ′ sunt inverse fata de cercul C cu centrul ın O

si raza r; fie Γ cercul care contine punctele M si M ′, iar P ∈ C ∩ Γ,

unul din punctele de intersectie a celor doua cercuri.

T

O

C ΓP ′

PM ′

M

Fig.2.1.

Deoarece M si M ′ sunt inverse fata de C rezulta relatia

OM ·OM ′ = r2

care se poate scrie sub forma proportiei

OM

OP=

OP

OM ′.

Dar aceasta proportionalitate, ımpreuna cu POM ≡ POM ′ arata

ca POM ∼ M ′OP , iar de aici rezulta OPM ≡ OM ′P , ceea ce

ınseamna ca raza [OP ] a cercului C este tangenta la Γ, deci C ⊥ Γ.

Capitolul 2 79

P2. Daca fasciculul de cercuri care trec prin M si M ′ este orto-

gonal pe C, atunci M si M ′ sunt inverse fata de C.

Folosim tot Fig.2.1. Din faptul ca fasciculul de cercuri ce trec prin

M si M ′ este ortogonal pe C rezulta ca M si M ′ se gasesc pe aceeasi

semidreapta ce porneste din O. Fie acum Γ un cerc din fascicul si

P ∈ Γ ∩ C. Deoarece Γ ⊥ C rezulta ca raza [OP ] a cercului C este

tangenta la Γ, deci OPM ≡ OM ′P , de unde POM ∼ M ′OP si

de aici OM ·OM ′ = r2, deci M si M ′ sunt inverse fata de C.

Demonstram acum proprietatea 2.1.9. Fie M si M ′ inverse fata de

C. Din P1 deducem ca toate cercurile Γ care trec prin M si M ′ sunt

ortogonale pe C. Aplicand transformarea h, care conserva cercurile

ın sens larg si pastreaza unghiurile (v. 2.1.3 si 2.1.7), cercurile h(Γ)

formeaza un fascicul de cercuri care trec prin h(M) si h(M ′) si sunt

ortogonale pe h(C). Pe baza proprietatii P2 rezulta ca h(M) si h(M ′)

sunt inverse fata de h(C).

2.1.12. Observatie. Daca polul transformatii h este pe C, atunci

h(C) este o dreapta, iar h(M) si h(M ′) sunt simetrice fata de ea

(deoarece fasciculul de cercuri h(Γ) este ortogonal pe dreapta h(C)).

Iata motivul pentru care inversiunea fata de cerc se mai numeste si

simetrie fata de cerc.

2.1.13. Am vazut (2.1.7) ca o functie omografica transforma cer-

curile ın sens larg ın cercuri ın sens larg. Dar un cerc (sau dreapta)

ımparte planul ın doua domenii; ın continuare aducem unele pre-

cizari privitoare la imaginile acestor domenii. Consideram un cerc C

determinat de punctele z1, z2 si z3. Cu ajutorul acestor puncte pu-

tem stabili un sens pe C si putem caracteriza interiorul si exteriorul

cercului. Daca z ∈ C descrie un arc (z1, z2), atunci m( z2, z, z1) are


o valoare constanta α, iar daca z descrie celalalt arc, atunci unghiul

este α− π (Fig.2.2), unde α ∈ (0, π).

Y

^/

?

Cα− π

α

z1

z2

z3z

W7]

-

-

z

z1 z2 z3

Fig.2.2. Fig.2.3.

Pentru un cerc determinat de z1, z2, z3 se vede ca daca z este

interior, atunci m( z2, z, z1) ∈ (−π, α − π) ∪ (α, π) iar cand z este

exterior, atunci m( z2, z, z1) ∈ (α− π, α).

Presupunem ca z3 se afla pe acel arc de cerc astfel ca

m(z2, z3, z1) = α. In acest caz spunem ca sensul este direct fata de

interior (interiorul se afla la stanga fata de sensul de parcurs al cer-

cului). Daca z este interior, atunci

arg(z1, z2, z3, z) = argz1 − z3z2 − z3

:z1 − z

z2 − z=

= argz2 − z

z1 − z− arg

z2 − z3z1 − z3

=

= m( z2, z, z1) −m( z2, z3, z1) ∈ (0, π)

iar daca z este exterior, atunci

arg(z1, z2, z3, z) ∈ (−π, 0).

Capitolul 2 81

Daca sensul z1z2z3 este direct exteriorului cercului, atunci

m( z2, z3, z1) = α− π si daca ın plus z este interior cercului, obtinem

arg(z1, z2, z3, z) = m( z2, z, z1) −m( z2, z3, z1) ∈ (−π, 0)

iar daca z este exterior cercului obtinem

arg(z1, z2, z3, z) ∈ (0, π).

Cand z1, z2, z3 sunt coliniare, sensul ıl consideram direct daca

z3 6∈ [z1, z2] (Fig.2.3). Atunci m( z2, z3, z1) = 0, iar daca z se gaseste

la stanga sensului de parcurs (sensul este direct fata de semiplanul

respectiv), atunci m( z2, z, z1) ∈ (0, π) si

arg(z1, z2, z3, z) ∈ (0, π).

Daca z este la dreapta, atunci m( z2, z, z1) ∈ (−π, 0) si

arg(z1, z2, z3, z) ∈ (−π, 0).

Toate aceste rezultate se pot concentra ın urmatoarea

Proprietate. Fie C cercul (sau dreapta) determinat de punctele

z1, z2, z3; atunci

Im (z1, z2, z3, z)

= 0 daca z ∈ C

> 0 daca z este la stanga sensului de parcurs

< 0 daca z este la dreapta sensului de parcurs

(2.9)

2.1.14. Proprietate. Functia omografica h care transforma

punctele z1, z2, z3 ın w1, w2, w3 face sa corespunda acele domenii


determinate de cercurile (sau dreptele) ce trec prin z1, z2, z3 si

w1, w2, w3, fata de care sensurile z1z2z3 si w1w2w3 sunt la fel.

Consecinta. O functie omografica transforma interiorul unui cerc

ın interiorul cercului imagine daca si numai daca sensurile fata de

aceste domenii coincid.

Proprietatea de la 2.1.14 rezulta din proprietatea de la 2.1.13

(relatia (2.9)) si proprietatea functiei omografice h de a pastra bira-

portul (2.1.5).

2.2 Multimi importante de transformari

omografice

Am vazut la punctul 2.1.14 ca o functie omografica transforma un

disc sau semiplan ıntr-un disc sau semiplan. In continuare studiem

cateva cazuri particulare mai importante.

2.2.1. Grupul transformarilor care aplica semiplanul su-

perior pe el ınsusi. Consideram functiile omografice de forma

h(z) =az + b

cz + d, ad− bc > 0, a, b, c, d ∈ R.(2.10)

Din faptul ca a, b, c, d ∈ R rezulta ca z ∈ R este transformat ın

w = h(z) ∈ R, deci h transforma axa reala ın axa reala. Reciproc,

daca h transforma axa reala ın ea ınsasi, atunci luand trei puncte

reale z1, z2, z3, imaginile lor w1, w2, w3 sunt tot reale si functia h se

obtine dintr-o relatie de forma (2.8), deci are coeficientii a, b, c, d reali.

Conditia ca z = x+ iy sa fie ın semiplanul superior este y > 0; pe

Capitolul 2 83

de alta parte, daca h(z) = w = u+ iv, atunci

v =(ad− bc)y

(cx+ d)2 + c2y2,

iar conditia v > 0, are loc numai daca ad− bc > 0.

Multimea functiilor omografice de forma (2.10) este un subgrup

al grupului (H, ), fapt ce se poate usor verifica. Subgrupuri si ale

acestui subgrup se pot obtine considerand functiile de forma (2.10)

cu conditia mai restrictiva ad − bc = 1, respectiv ad − bc = 1 si

a, b, c, d ∈ Z.

2.2.2. Multimea transformarilor omografice care aplica

semiplanul superior pe discul unitate. Fie a un punct din semi-

planul superior (Im a > 0); atunci simetricul lui fata de axa reala este

a. Vom determina functiile omografice h care transforma semiplanul

superior ın discul unitate U(0; 1) = z, |z| < 1 astfel ca h(a) = 0.

Daca z si z′ sunt inverse fata de cercul unitate, atunci z′ = 1/z (v.

(1.39), cu a = 0 si k = r2 = 1); ın particular inversul lui 0 este

∞. Dar deoarece functiile omografice pastreaza proprietatea de in-

versiune, trebuie ca h(a) = ∞. Notand cu w0 imaginea unui punct

oarecare z0 prin h, din

(w,w0, 0,∞) = (z, z0, a, a),

obtinem

w = w0z0 − a

z0 − a· z − a

z − a,

sau

w = kz − a

z − a, k ∈ C.


Vom determina parametrul k cerand ca functia sa transforme axa

reala ın cercul unitate. Fie z ∈ R; atunci |w| = |h(z)| = 1, deci

|k|∣∣∣∣z − a

z − a

∣∣∣∣ = 1.

Dar |z − a|/|z − a| = 1 deoarece z este real. Rezulta |k| = 1, deci

k = eiθ.

Am obtinut astfel ca functiile

h(z) = eiθz − a

z − a, θ ∈ R, a ∈ C, Im a > 0(2.11)

transforma semiplanul superior ın discul unitate.

2.2.3. Grupul transformarilor omografice de la discul uni-

tate la el ınsusi. Vom determina functiile omografice de la discul

U(0; r) = z : |z| < r, la discul U(0; ρ). Fie a ∈ U(0, r) care se trans-

forma ın centru; inversul lui a fata de cercul C(0; r) este r2/a. Deter-

minam functia omografica h cu conditiile h(a) = 0, h(r2/a) = ∞ si

h(z0) = w0 (z0 6= a, z0 6= r2/a si w0 ∈ C∗), avand succesiv

(w,w0, 0,∞) = (z, z0, a, r2/a),

w = w0z0 − r2/a

z0 − a· z − a

z − r2/a,

w = kz − a

r2 − az, k ∈ C.

Cerem acum ca functia sa transforme cercul C(0; r) ın C(0; ρ).

Avem |z| = r si cerem |w| = ρ, deci

ρ2 = |w|2 = |k|2 (z − a)(z − a)

(r2 − az)(r2 − az)=

= |k|2 zz − az − az + aa

r4 − azr2 − azr2 + aazz=

= |k|2 r2 − aa− az + aa

r2(r2 − aa− az + aa)=

|k|2r2

,

Capitolul 2 85

de unde k = ρreiθ, θ ∈ R.

Am obtinut ca functiile omografice care transforma U(0; r) ın

U(0; ρ) sunt

h(z) = rρeiθz − a

r2 − az, a ∈ C, |a| < r, θ ∈ R.(2.12)

In particular transformarile omografice de la discul unitate la el

ınsusi sunt

h(z) = eiθz − a

1 − az, a ∈ C, |a| < 1, θ ∈ R.(2.13)

Se verifica usor ca multimea transformarilor (2.13) ınzestrata

cu compunerea functiilor este un grup numit grupul automorfisme-

lor discului unitate. Acest grup se noteaza cu A(U) sau H1. Se

poate demonstra folosind Lema lui Schwarz (2.5.1), ca aceste trans-

formari sunt singurele reprezentari conforme ale discului unitate pe

el ınsusi (v. [HMN, p. 147]). Mai general multimea Hr = h; h(z) =

r2eiθ z−ar2−az

, a ∈ C, |a| < r, θ ∈ R ınzestrata cu compunerea

functiilor este grupul automorfismelor discului cu centrul ın origine

si raza r, disc notat Ur.

2.2.4. Un invariant diferential al grupului Hr. Se stie ca

daca z = γ(t) este un drum neted, atunci elementul de arc este ds =

|γ′(t)|dt = |dz|. Fie h ∈ Hr, ζ ∈ Ur si ζ1 = h(ζ). Vom calcula raportulds1ds

al elementelor de arc ın ζ1 si ζ. Pentru aceasta descompunem h

ın doua transformari din Hr, h = h1 h2, astfel ca h2(ζ) = 0 si

h1(0) = ζ1. Avem

z2 = h2(z) = r2z − ζ

r2 − ζz


iar cand z = z(t) (z = γ(t)), z2 = z2(z(t)). De aici obtinem

ds2ds

=

∣∣∣dz2dt

∣∣∣∣∣∣dzdt

∣∣∣=

∣∣∣∣dz2dz

∣∣∣∣ = |h′2(ζ)| =r2

r2 − |ζ|2 .

Dar avem si

z2 = h−11 (ζ1) = r2

z − ζ1

r2 − ζ1z,

de unde obtinemds2ds1

=r2

r2 − |ζ1|2.

Din cele doua egalitati de mai sus rezulta

ds1ds

=r2 − |ζ1|2r2 − |ζ|2 ,

iar daca ınlocuim ζ cu un z oarecare, atunci

ds1r2 − |z1|2

=ds

r2 − |z|2 .

Deducem de aici ca expresia

dσ =ds

r2 − |z|2(2.14)

este un invariant diferential pentru Hr.

Un invariant de acelasi fel se poate deduce si pentru grupul auto-

morfismelor semiplanului superior (v. [Sto, p. 79], [Cha, p. 57-58]).

Capitolul 2 87

2.3 Puncte fixe. Clasificarea functiilor

omografice

Numim punct fix (sau punct dublu) al functiei h un punct care

coincide cu transformatul sau, deci o solutie a ecuatiei z = h(z).

Daca h(z) = (az + b)/(cz + d), atunci ecuatia devine

cz2 + (d− a)z − b = 0,

de unde deducem ca o functie h are:

- doua puncte fixe distincte, cand (d− a)2 + 4bc 6= 0;

- doua puncte fixe confundate, cand (d− a)2 + 4bc = 0;

- unul din punctele duble ∞, cand c = 0;

- ambele puncte duble ın ∞, cand c = 0 si a = d;

- toate punctele fixe, cand c = b = 0, d = a, adica atunci cand

transformarea este identica. In continuare vom exclude acest caz.

In cazul c = 0 functia omografica poate fi scrisa sub forma w =

h(z) = az + b si se numeste functie omografica ıntreaga.

In cazul c 6= 0 functia omografica se numeste fractionara.

2.3.1. Functii omografice ıntregi. Deosebim doua cazuri.

2.3.1.1. Ambele puncte fixe la ∞: c = 0, a = d = 1

w = z + b

deci functia este o translatie de vector b.

2.3.1.2. Un singur punct fix la ∞: c = 0, d = 1, a 6= 1

w = az + b.


Fie λ celalalt punct fix, deci λ = aλ+b; eliminam pe b ıntre aceste

relatii si obtinem

w − λ = a(z − λ).(2.15)

I. Daca a ∈ R si |a| 6= 1, atunci transformarea este o omotetie de

centru λ si raport a (v. (1.3.3)).

II. Daca a ∈ C \ R si |a| = 1 sau a = −1, atunci transformarea

este o rotatie de centru z0 si unghi arg a (v. 1.3.2).

III. Daca a ∈ C\R si |a| 6= 1, atunci transformarea este ın acelasi

timp o rotatie si omotetie de centru λ, unghi arg a si raport |a|.Observatii. Cele patru cazuri dau toate categoriile de asemanari

directe. O translatie pastreaza dreptele paralele cu vectorul ei si

schimba ıntre ele dreptele care formeaza un unghi dat cu cele dintai.

O omotetie pastreaza dreptele prin centru si schimba unul ın altul

cercurile cu centrul ın centrul de omotetie. O rotatie pastreaza cercu-

rile cu centrul ın centrul de rotatie si schimba ıntre ele dreptele prin

acest centru. O transformare de forma III (numita si asemanare di-

recta generala) nu pastreaza nici o dreapta (reala) si nici un cerc, dar

pastreaza spiralele logaritmice de acelasi pol, avand ecuatia polara

ρ = Kemθ

sau

|z − λ| = Kem arg(z−λ)(2.16)

unde m este determinat prin conditia

|a| = em arg a(2.17)

si K ∈ (0,∞) este arbitrar (v. [May, p. 140]).

Capitolul 2 89

Intr-adevar, prin (2.15) curba (2.16) se transforma ın

|w − λ| = |a| · |z − λ| = |a| ·K · em arg(z−λ)

unde |a| este dat de (2.17), deci

|w − λ| = Kem[arg a+arg(z−λ)],

|w − λ| = Kem[arg(z−λ)],

sau folosind iar (2.15),

|w − λ| = Kem arg(w−λ),

care este tot ecuatia (2.16).

2.3.2. Functii omografice fractionare.

Fie λ si µ punctele fixe. Distingem de asemenea doua situatii.

2.3.2.1. Punctele fixe sunt confundate, λ = µ. In acest caz trans-

formarea se numeste parabolica.

Notam

Z = hλ(z) =1

z − λsi W = hλ(w) =

1

w − λ.(2.18)

Daca h este functia omografica fractionara cu punctul fix confun-

dat λ, atunci tot o functie omografica este si functia h1 = hλ hh−1λ

ce stabileste o corespondenta de la planul (Z) la planul (W ).

Observam ca daca z = w = λ, atunci Z = W = ∞ (v. (2.18)) si

∞ este singurul punct fix al functiei h1, deci

W = h1(Z) = Z + b,


de unde obtinem ca ecuatia unei transformari parabolice cu punctul

fix z = λ este1

w − λ=

1

z − λ+ b.

Evidentiem ın continuare o proprietate geometrica importanta a

acestei transformari. Pentru aceasta descompunem functia omogra-

fica h = h−1λ h1 hλ astfel (z) → (Z) → (W ) → (w) (Fig. 2.4-2.7), ın

final considerand planele (z) si (w) suprapuse. Observam ca fasciculul

de drepte din (Z) care sunt paralele cu vectorul de translatie b este

imaginea prin hλ a unui fascicul de cercuri din (z) care trec prin λ

(Fig. 2.4-2.5). Aceleasi drepte din (Z) sunt transformate ın (W ) prin

h1 ın ele ınsele, iar apoi h−1λ duce aceste drepte din (W ) ın fasciculul

de cercuri din (w) care coincide cu cel din (z). Observam ca fascicu-

lului de drepte egal ınclinate fata de vectorul translatiei b din planul

(Z) ıi corespunde fasciculul de cercuri tangente ın λ izogonale fas-

ciculului precedent. In concluzie transformarea parabolica pastreaza

cercurile primului fascicul si duce unul ın altul cercurile celui de al

doilea.

6

-

1

2

34 O

λ

(z) 6

-b

1

2

O

3(Z) 4

Fig.2.4. Fig.2.5.

Capitolul 2 91

6

-

34

12

O

(W ) 6

-

1

2

3

4O

λ

(w)

Fig.2.6. Fig.2.7.

2.3.2.2. Punctele fixe λ si µ sunt distincte. In acest caz daca

functia omografica h duce z0 ın w0, atunci

(z, z0, λ, µ) = (w,w0, λ, µ),

z − λ

z − µk1 =

w − λ

w − µk2

w − λ

w − µ= k

z − λ

z − µ, k ∈ C∗, k 6= 1.(2.19)

Cazul k = 1 corespunde functiei identice w = z.

Notam

Z = h1(z) =z − λ

z − µ, W = h1(w) =

w − λ

w − µ.

Se vede ca functia liniara W = h2(Z) = kZ are punctele fixe 0 si

∞. Transformarea h se poate exprima

h = h−11 h2 h1,(2.20)


si ea are proprietati distincte ce depind de parametrul k (v. 2.19).

I. k ∈ R \ −1, 0, 1: transformarea h se numeste hiperbolica. Fo-

losim (2.20) si reprezentarile (z) → (Z) → (W ) → (w). Prin omotetia

W = h2(Z) = kZ dreptele prin centru din planul (Z) sunt pastrate,

iar cercurile cu centrul ın origine sunt transformate unele ın altele.

Dreptele sunt imaginea prin h1 a fasciculului de cercuri ce trec prin

λ si µ din (z), iar cercurile din (Z) sunt imaginea cercurilor ortogo-

nale pe primele (Fig.2.8-2.11). In concluzie transformarea hiperbolica

pastreaza cercurile ce trec prin λ si µ si transforma unele ın altele cer-

curile ortogonale pe acestea.

6

-O

1

2

3

4

5

u

λ

(z)

-

6

1

2

1

3

4

5

O

(Z)

Fig.2.8. Fig.2.9.

Capitolul 2 93

-

6

1

2

1

3

45

(W ) 6

-O

1

2

3

4

5

u

λ

(w)

Fig.2.10. Fig.2.11.

II. k ∈ C \ 0, 1, |k| = 1: transformarea se numeste eliptica.

Procedand ca ın cazul precedent si observand ca de data aceasta h2

este o rotatie obtinem ca o transformare eliptica transforma unele ın

altele cercurile ce trec prin punctele fixe λ si µ si pastreaza cercurile

ortogonale pe acestea.

III. k ∈ C∗, |k| 6= 1: transformare loxodromica. Aceasta transfor-

mare nu pastreaza nici un cerc.

Observatie. Daca parametrul k = −1, atunci transformarea elip-

tica h pastreaza ambele fascicule de cercuri. Din acest motiv unii con-

sidera aceasta transformare eliptica. Transformarea h pentru k = −1

mai are proprietatea h = h−1, deci este o transformare involutiva.


2.4 Un model de geometrie neeuclidiana

Prima prezentare axiomatica a geometriei poate fi considerata

Elementele lui Euclid. Incercarile de demonstrare a postulatului pa-

ralelelor au dus ın cele din urma la evidentierea independentei lui si

apoi la construirea riguroasa a geometriei. In acelasi timp au aparut

alte constructii de geometrii care prin axioma paralelelor difera de

geometria euclidiana. Geometriile neeuclidiene nu contrazic geome-

tria clasica, aceasta putand aparea ca un caz limita [Mih1], [Sam].

Dupa cum se stie primii matematicieni care au formulat idei noi care

stau la baza geometriilor neeuclidiene sunt C. Gauss, J. Bolyai si

N.J. Lobacevski.

In constructia axiomatica a geometriei se dau ca elemente pri-

mare punctele, dreptele, planele, relatiile de incidenta dintre puncte

si drepte si puncte si plane (ın cazul geometriilor ın spatiu), relatia

de ordine si relatiile de congruenta.

Relatiile sunt descrise ın axiome, care sunt ımpartite ın cinci

grupe:

1) axiomele de incidenta;

2) axiomele de ordine;

3) axiomele de congruenta;

4) axioma de paralelism;

5) axiomele de continuitate.

In 1882 H. Poincare a propus un model euclidian de geometrie a

lui Lobacevski bazat pe proprietatile functiilor omografice. In acest

model planul lui Lobacevski este reprezentat de semiplanul superior,

iar miscarile (sau deplasarile, care sunt transformarile care pastreaza

lungimile si unghiurile) sunt automorfismele omografice ale semipla-

Capitolul 2 95

nului superior studiate la 2.2.1. Acest model este prezentat ın [HMN],

[Mih], [Mih1].

In continuare vom descrie un alt model, de aceeasi natura, datorat

pe langa lui H. Poincare si lui F. Klein. In acest model drept plan al

lui Lobacevski, consideram discul cu centrul ın origine si de raza r,

pe care-l mai notam si Ur.

Numim punct al lui Lobacevski, sau mai scurt L-punct orice punct

din Ur, iar L-dreapta este orice arc de cerc din Ur ortogonal pe cercul

frontiera Γr, inclusiv diametrele cercului Γr. Deplasarile (miscarile)

din cadrul acestei geometrii (pe care le mai numim si L-miscari sau

L-deplasari) sunt functiile omografice din Hr (v. 2.2.3), deoarece

acestea transforma L-planul Ur ın el ınsusi, L-punctele ın L-puncte,

L-dreptele ın L-drepte si din punct de vedere euclidian pastreaza un-

ghiurile dintre arcele de cerc ce constituie L-dreptele. Masura unghiu-

rilor si lungimea segmentelor vor fi astfel definite ıncat transformarile

din Hr de asemenea le vor pastra invariante.

In continuare vom enunta cele cinci seturi de axiome si

vom vedea ca modelul satisface toate aceste axiome. Formularea

axiomelor urmeaza calea din [Sam], inspirata la randul ei de lucrarea

lui D. Hilbert Grundlagen der Geometrie, 1899.

2.4.1. Axiomele de incidenta.

I1 (axioma de determinare a dreptelor). Oricare ar fi

L-punctele A si B din L-plan exista o L-dreapta incidenta cu ele.

I2 (axioma de unicitate a dreptelor). Pentru orice pereche

de L-puncte A,B exista cel mult o L-dreapta incidenta cu punctele A

si B.

I3 (axioma de consistenta si dimensiune ın plan). Pentru


orice L-dreapta exista doua L-puncte cu care este incidenta; exista

cel putin trei L-puncte care nu apartin aceleiasi L-drepte (nu sunt

incidente cu nici o dreapta).

Observatii. Daca se adopta definitia ca trei puncte sunt coliniare

cand exista o dreapta incidenta cu ele, atunci a doua parte a axiomei

I3 se enunta ”exista cel putin trei puncte necoliniare”.

Verificam primele doua axiome. Distingem doua cazuri.

Cazul a). L-punctul A = 0 (este ın centrul O al lui Ur), ca ın

Fig.2.12. Atunci exista o dreapta euclidiana ce trece prin A si B si

este perpendiculara pe Γr. In acest caz I1 si I2 sunt evidente.

AB

O

Γr

Fig.2.12.

Cazul b). Atat A cat si B difera de O. Fie a afixul lui A. Atunci

prin transformarea h ∈ Hr, h(z) = r2eiθ z−ar2−az

obtinem A′ = h(A) = 0

si B′ = h(B), iar A′ si B′ verifica I1 si I2. Cu h−1 se revine la A si B.

Dar h si h−1 fiind din Hr (deci reprezentari conforme care transforma

pe Γr ın Γr, Ur ın Ur) transforma arcele de cerc (si segmentele) or-

togonale pe Γr ın arce de cerc (sau segmente) ortogonale pe Γr, deci

transforma L-dreptele ın L-drepte. Obtinem ca A si B de asemenea

verifica I1 si I2.

Capitolul 2 97

In acelasi mod se verifica si axioma I3.

2.4.2. Axiomele de ordine.

Fiecare L-dreapta este ınzestrata ın mod natural cu o relatie de

ordine totala, care se confunda cu cea euclidiana. Daca sunt date trei

puncte A,B,C, atunci ordinea lor ABC se exprima si sub forma: ”B

este ıntre A si C”.

II1. Daca A,B,C sunt punctele unei L-drepte si B este ıntre A

si C, atunci B este ıntre C si A.

II2 (axioma exteriorului). Daca A si C sunt L-puncte ale unei

L-drepte, atunci exista cel putin un L-punct B astfel ıncat C sa fie

ıntre A si B.

II3 (axioma antisimetriei). Dintre trei L-puncte ale unei

L-drepte cel mult unul este ıntre celelalte doua.

Numim L-segment orice pereche de puncte distincte A,B. Il

notam cu (AB) sau (BA); punctele A si B se numesc capetele seg-

mentului.

Fie dAB dreapta incidenta punctelor A si B. Punctul C se numeste

interior L-segmentului (AB) daca este pe dAB si daca este ıntre A si

B (sau ıntre B si A). Punctul C se numeste exterior L-segmentului

(AB) daca este incident cu dAB si B este ıntre A si C sau A este

ıntre C si B.

Se numeste L-triunghi orice triplet ABC de puncte necoliniare;

L-segmentele (AB), (AC), (BC) sunt laturile triunghiului, iar L-

punctele A,B,C sunt varfurile triunghiului.

Observam ca definitiile de mai sus au un caracter mai general

decat cel al modelului de geometrie a lui Lobacevski.

II4 (axioma lui Pasch). Fie A,B,C trei L-puncte care nu


apartin aceleiasi L-drepte si d o L-dreapta neincidenta cu A,B sau

C; daca dreapta d este incidenta cu un punct al L-segmentului (AB),

atunci ea este incidenta sau cu un punct interior L-segmentului (AC)

sau cu un punct interior L-segmentului (BC).

Verificarea acestor patru axiome se reduce la verificarea acelorasi

axiome ın geometria euclidiana. In cazul axiomei II4 se obtine o sim-

plificare daca unul din varfurile triunghiului ABC este ın O sau ın

caz contrar daca se foloseste o transformare din Hr astfel ca un varf

(de exemplu A) sa fie adus ın O. Atunci L-segmentele imagine (A′B′)

si (A′C ′) din punct de vedere euclidian sunt situate pe doua raze ale

cercului Cr.

2.4.3. Axiomele de congruenta.

Fie E o multime de puncte din L-plan si E simetrica ei fata de axa

reala (multimea punctelor conjugate). Fie F de asemenea o multime

de puncte din L-plan; spunem ca E este congruenta cu F ın sensul

lui Lobacevski (sau L-congruenta) si notam E ≡ F daca exista o

L-miscare h ∈ Hr astfel ıncat h(F ) = E sau H(F ) = E.

Aratam ca relatia de L-congruenta astfel definita este o relatie de

echivalenta.

1) Daca E ⊂ Ur, atunci este evident ca E ≡ E (si E ≡ E).

2) Presupunem ca E ≡ F . Atunci exista h ∈ Hr astfel ıncat

h(F ) = E sau h(F ) = E.

Daca h(F ) = E, atunci h−1(E) = F , deci F ≡ E.

Daca h(F ) = E, atunci h−1(E) = F , de unde h−1(E) = F .

Dar daca h−1(z) = (az + b)/(cz + d), atunci

h−1(z) =az + b

cz + d= h−1(z)(2.21)

Capitolul 2 99

este tot o functie omografica. Deci h−1(E) = F , ceea ce ınseamna ca

F ≡ E.

3) Presupunem ca E ≡ F si F ≡ G; aratam ca E ≡ G. Daca

E ≡ F , atunci ınseamna ca exista h ∈ Hr astfel ca h(F ) = E sau

h(F ) = E. Din F ≡ G obtinem ca exista k ∈ Hr astfel ıncat k(G) = F

sau k(G) = F . Pot avea loc unul din urmatoarele patru cazuri:

a) h(F ) = E si k(G) = F ; rezulta (h k)(G) = E, deci E ≡ G;

b) h(F ) = E si k(G) = F ; rezulta (hk)(G) = h(F ) = h(F ) = E,

deci E ≡ G; (s-a folosit o proprietate analoga cu cea din relatia (2.21);

c) h(F ) = E si k(G) = F ; rezulta (h k)(G) = E, deci E ≡ G;

d) h(F ) = E si k(G) = F ; rezulta (hk)(G) = h(F ) = h(F ) = E,

deci E ≡ G.

Urmatoarele cinci axiome (axiomele de congruenta) utilizeaza

relatia de L-congruenta care am vazut ca este o relatie de echivalenta.

III1 (axioma de congruenta a segmentelor). Daca A si B

sunt doua L-puncte pe L-dreapta d si A′ un L-punct pe L-dreapta

d′ (diferita sau nu de L-dreapta d), atunci pe una dintre semidrep-

tele determinate de A′ pe d′ exista un singur L-punct B′ astfel ıncat

L-segmentul (AB) sa fie L-congruent cu (A′B′).

Verificam axioma III1. Fie A,B,C ∈ d, unde C este si pe Γr

(Fig.2.13). Spunem ca punctul C este un capat al dreptei d. Fie

h ∈ Hr transformarea lui Ur pe el ınsusi astfel ıncat h(A) = A1 = 0

si h(C) = C1 (OC1 = r). Atunci h(d) = δ este diametrul euclidian

al cercului frontiera Γr, iar L-semidreapta (AC este transformata ın

L-semidreapta (OC1.


C

C ′

C1

A′

d′ B′

B′′

B1A1

Ad

B

δ

Γr

Fig.2.13.

Daca (AB) ⊂ (AC, atunci B1 = h(B) ⊂ (OC1.

Fie (A′C ′ ⊂ d′ si fie k ∈ Hr L-miscarea cu proprietatea ca trans-

forma pe d′ ın δ si k((A′C ′) = (OC1. Notam cu B′ punctul de pe d′

care este contraimaginea lui B1 prin k (k(B′) = B1).

Observam ca L-segmentul (A′B′) ⊂ d′, mai exact (A′B′) este pe

semidreapta (A′C ′, iar (h−1 k)(d′) = d si (h−1 k)((A′B′)) = (AB),

deci (AB) ≡ (A′B′).

Mai trebuie verificat ca B′ este singurul punct care verifica

axioma. Pentru aceasta presupunem ca exista un L-punct B′′, B′′ 6=B′, B′′ ∈ (A′C ′ astfel ıncat (AB) ≡ (A′B′′). Rezulta ca exista l ∈ Hr

cu proprietatea ca sau a) l((A′B′′)) = (AB), sau b) l((A′B′′)) =

(AB).

In cazul a) avem (h l)((A′B′′)) = h((AB)) = (OB1), dar

k((A′B′′)) = (OB2) si deoarece B′ 6= B′′ rezulta B1 6= B2.

Capitolul 2 101

Pe de alta parte (h l)(d′) = δ = k(d′), ceea ce ınseamna ca

exista o functie ϕ ∈ Hr astfel ca h l = ϕ k si ϕ((OB2)) = (OB1).

Distingem doua cazuri.

I. ϕ(0) = 0 si ϕ(B2) = B1, deci w = ϕ(z) = r2eiθz/r2 = eiθz de

unde obtinem |w| = |z|.Daca B1(b1), B2(b2), atunci |b1| = |b2| si pe de alta parte

b1, b2 ∈ R si B1 6= B2 cere ca b1 6= b2, deci am ajuns la o contradictie.

II. ϕ(b2) = 0 si ϕ(0) = b1, deci w = ϕ(z) = r2eiθ z−b2r2−b2z

. Dar

b1 = ϕ(0) = −eiθb2, deci |b1| = |b2| si la fel cu cazul I se ajunge iar la

o contradictie.

In cazul b) se foloseste l ın locul lui l, deci (hl)((A′B′′)) = (OB1)

si mai departe se procedeaza ca la cazul a).

III2 (axioma de clasa). Daca L-segmentele (A′B′) si (A′′B′′)

sunt L-congruente cu L-segmentul (AB), atunci sunt congruente ıntre

ele.

Aceasta axioma urmeaza direct din proprietatile relatiei de

L-congruenta (simetria si tranzitivitatea).

III3 (axioma de compatibilitate). Fie (AB) si (BC) doua

L-segmente pe L-dreapta d fara puncte interioare comune si fie (A′B′)

si (B′C ′) doua L-segmente pe L-dreapta d′ (diferita sau nu de d), de

asemenea fara puncte interioare comune. Daca (AB) ≡ (A′B′) si

(BC) ≡ (B′C ′), atunci si (AC) ≡ (A′C ′).

Fie h ∈ Hr o L-deplasare astfel ıncat L-dreapta d merge ın

L-dreapta δ (care este diametrul euclidian real al cercului Γr), h(d) =

δ, si ın plus h(B) = B1 = 0 si h(C) = C1, C1(c1), c1 > 0 (Fig.2.14).

In acest caz, daca A1 = h(A) si a1 este afixul lui A1, atunci a1 < 0.

Analog fie k ∈ Hr o L-miscare astfel ıncat k(d′) = δ, k(B′) =


B2 = 0, k(C ′) = C2, C2(c2) si c2 > 0; atunci A2 = h(A), A2(a2) are

proprietatea ca a2 < 0.

dA

B

C

A1

A2

B1

OB2

C1

C2

C ′

B′A′d′

Γr

Fig.2.14.

Din alegerea functiilor h si k si din definitia si proprietatile

L-congruentei, rezulta (AB) ≡ (A1B1) si (A′B′) ≡ (A2B2); ımpreuna

cu (AB) ≡ (A′B′) obtinem (A1B1) ≡ (A2B2), adica

(A1O) ≡ (A2O).(2.22)

Analog obtinem si

(C1O) ≡ (C2O).

Avem ca A1, A2 sunt pe semiaxa reala negativa, dar presupunem

A1 6= A2. Atunci din L-congruenta (2.22) rezulta ca exista L-miscarea

ϕ din Hr astfel ıncat are loc unul din urmatoarele doua cazuri:

1) ϕ(a2) = a1 si ϕ(0) = 0, de unde w = ϕ(z) = eiθz si |a1| = |a2|,deci a1 = a2, ceea ce contrazice presupunerea;

Capitolul 2 103

2) ϕ(a2) = 0 si ϕ(0) = a1, de unde w = ϕ(z) = r2eiθ(z−a2)/(r2−

−a2z) si se ajunge tot la |a1| = |a2|, deci contradictie.

Din cele de mai sus deducem ca A1 = A2. La fel se deduce si

egalitatea C1 = C2; din cele doua egalitati rezulta

(A1C1) ≡ (A2C2).(2.23)

Dar (A1C1) = h((AC)), de unde obtinem

(AC) ≡ (A1C1).(2.24)

La fel (A2C2) = k((A′C ′)), ceea ce implica

(A′C ′) ≡ (A2C2).(2.25)

Comparand (2.23) cu (2.24) si (2.25) si folosind tranzitivitatea

L-congruentei obtinem ın final

(AC) ≡ (A′C ′).

Numim L-unghi ansamblul a doua L-semidrepte p si q care por-

nesc dintr-un acelasi punct A si apartin la doua L-drepte oarecare.

L-unghiul se noteaza p, q sau q, p; A se numeste varful, iar p si q

laturile L-unghiului.

Laturile L-unghiului ımpart L-planul ın doua multimi - una con-

vexa si cealalta neconvexa (multimea convexa este cea care are pro-

prietatea ca oricare ar fi doua L-puncte ale ei exista un L-segment

care le uneste si este situat ın multime). Verificarea acestei situatii

este usor de facut daca tinem seama ca exista o L-miscare care duce

varful A al L-unghiului ın O si laturile p si q ın raze. Multimea con-

vexa se numeste interior al L-unghiului, iar cealalta - exterior.


Observam ca un L-unghi poate fi definit (precizat) cu trei

L-puncte necoliniare (care nu aprtin aceleiasi L-drepte).

Doua unghiuri spunem ca sunt L-congruente daca interioarele lor

sunt L-congruente.

III4 (axioma de congruenta a unghiurilor). Fie dat

L-unghiul p, q, L-dreapta d′ si L-semidreapta ei p′ ce pleaca din A′;

atunci de o anumita parte a dreptei d′ exista o unica L-semidreapta

q′ ce pleaca din A′ astfel ca p′, q′ ≡ p, q (altfel spus: de o anumita

parte a dreptei d′ exista un L-unghi p′, q′ congruent cu p, q).

Pentru verificarea acestei axiome consideram h ∈ Hr astfel ıncat

h(A) = A1 = 0, h(p) = p1, h(q) = q1 si p1 si q1 sunt raze, p1 fiind

situata pe semiaxa reala pozitiva.

qP

A

A′

q′B′

p′

A1

q1

B1P1O

Fig.2.15.

Fie k ∈ Hr astfel ıncat k(A′) = 0 si k(B′) = B1, iar B1 > 0

(b1 fiind afixul lui B1). L-punctul B′ este astfel ales ıncat L-segmentul

(A′B′) determina semidreapta p′. In acest caz k(p′) = p1.

Capitolul 2 105

Notam q′ = k−1(q1). Avem (p′, q′) = p1, q1, de unde

p1, q1 ≡ p′, q′(2.26)

si h(p, q) = p1, q1, de unde

p1, q1 ≡ p, q.(2.27)

Din (2.26) si (2.27) obtinem p′, q′ ≡ p, q.

Unicitatea L-semidreptei q′ rezulta din faptul ca L-miscarile

pastreaza marimea (ın sens euclidian) a unghiurilor. Daca ar exista o

alta L-semidreapta q′′ astfel ıncat p′, q′ ≡ p′, q′′, cele doua L-unghiuri

sa aiba acelasi varf, iar q′ si q′′ sa fie de aceeasi parte a dreptei d′ (care

contine L-semidreapta p′), atunci masura euclidiana a celor doua un-

ghiuri ar trebui sa fie aceeasi, deci q′ = q′′.

Fie (AB), (BC) si (CA) trei L-segmente care apartin unor

L-drepte distincte; ele formeaza un L-triunghi (care a fost definit

la 2.4.2). Daca p si q sunt L-semidreptele ce pleaca din A si contin

L-segmentele (AB) si (AC), atunci L-unghiul p, q se numeste unghiul

L-triunghiului ABC cuprins ıntre (AB) si (AC) sau care este opus

segmentului (BC); notam acest unghi cu BAC sau A. In interiorul

acestui unghi sunt toate punctele interioare ale triunghiului.

III5 (axioma de compatibilitate a relatiilor de congruen-

ta). Fie date triunghiurile ABC si A′B′C ′; daca (AB) ≡ (A′B′),

(AC) ≡ (A′C ′) si BAC ≡ B′A′C ′, atunci ABC ≡ A′B′C ′ si ACB ≡≡ A′C ′B′.

Pentru verificare deplasam triunghiurile ABC si A′B′C ′ (folosind

L-miscarile h si k din Hr) astfel ıncat A1 = h(A) = A′1 = k(A′) = 0,

iar h((AB)) si k((A′B′) ⊂ (OD (Fig.2.16).


Oδ

d

A′1

A1

C ′1C1

B′1

B1D

Γr

Fig.2.16.

Deci imaginile laturilor (AB), (A′B′), (AC), (A′C ′) sunt segmente

pe raze ce pornesc din O. Daca h((AC)) si k((A′C ′)) sunt de aceeasi

parte a diametrului d al cercului Γr, din BAC ≡ B′A′C ′ rezulta

ca h((AC)) = (A1C1) si k((A′C ′)) = (A′1C

′1) sunt pe aceeasi

L-semidreapta ce pleaca din O si deoarece (AC) ≡ (A′C ′) rezulta

ca C1 = h(C) = k(C ′) = C ′1, de unde obtinem

(A1C1) = (A′1C

′1)(2.28)

adica cele doua segmente coincid.

Din (AB) ≡ (A′B′) rezulta egalitatea

(A1B1) = (A′1B

′1).(2.29)

De aici obtinem B1 = B′1 si ımpreuna cu C1 = C ′

1 rezulta

(B1C1) = (B′1C

′1).(2.30)

Capitolul 2 107

Din (2.29) si (2.30) obtinem A1B1C1 ≡ A′1B

′1C

′1, din (2.28) si

(2.30) obtinem A1C1B1 ≡ A′1C

′1B

′1, iar din aceste congruente rezulta

si ABC ≡ A′B′C ′, respectiv ACB ≡ A′C ′B′.

Daca (A1C1) si (A′1C

′1) sunt pe laturi diferite ale diametrului d,

atunci printr-o transformare simetrica fata de O se ajunge la cazul

deja studiat.

2.4.4. Masura unghiurilor si segmentelor.

Masura (unghiurilor, segmentelor) trebuie sa fie aleasa ın asa fel

ıncat pe langa axiomele care definesc o masura (sa fie nenegativa, sa

aiba proprietatea de simetrie si pe cea de aditivitate - adica sa verifice

inegalitatea triunghiului) ea trebuie sa fie invarianta la L-deplasari,

cu alte cuvinte unghiurile, respectiv segmentele congruente sa aiba

aceeasi masura.

Definim masura L-unghiului p, q drept masura euclidiana a un-

ghiului dintre arcele de cerc p si q, adica unghiul dintre tangentele la

cercurile ce contin arcele p si q, ın punctul lor de intersectie. Notam

masura L-unghiului p, q cu m(p, q).

Este evident ca aceasta masura ındeplineste toate conditiile enu-

merate mai sus, inclusiv cea de invarianta la L-miscari (deoarece

L-miscarile sunt functii omografice si acestea au proprietatea de con-

servare a marimii unghiurilor - v. 2.1.3).

Pentru a defini o masura a L-segmentelor observam ca lungimea

euclidiana a unui arc de cerc este un numar real nenegativ, verifica

inegalitatea triunghiului si are proprietatea de simetrie, dar nu este

ın general invarianta la L-miscari. Dar se stie ca functiile omografice

ın general si L-miscarile ın particular pastreaza biraportul si acest

fapt este folosit ın definitia lungimii segmentelor.


Fie L-segmentul (AB) cu A(a), B(b) si fie α si β afixele

intersectiei arcului de cerc pe care se afla (AB) cu Γr (Fig.2.17).

Cele patru puncte le consideram neaparat ın ordinea α, a, b, β.

α

β

ABab

Γr

β′ b′ a′ α′

−r rO δ

Fig.2.17. Fig.2.18.

Fie h ∈ Hr o L-miscare. Atunci α′ = h(α) si β′ = h(β) raman pe

cercul Γr, iar ordinea ramane aceeasi, adica α′, a′ = h(a), b′ = h(b)

si β′ (v. 2.1.14). Nu se schimba de asemenea biraportul, adica

(α, β, b, a) = (α′, β′, b′, a′).(2.31)

Vom vedea ın plus ca (α, β, b, a) este un numar real mai mare ca 1.

Pentru aceasta consideram acea L-miscare h care face ca L-dreapta

ce contine segmentul (AB) sa se transforme ın diametrul real δ astfel

ca h(α) = r, h(a) = 0, h(b) = −r. Fie b′ = h(b) (Fig. 2.17); deoarece

prin h se pastreaza ordinea α, a, b, β rezulta ca b′ ∈ (−r, 0). Obtinem

(α, β, b, a) = (r,−r, b′, 0) =r − b′

r + b′∈ (1,∞)(2.32)

deoarece b′ ∈ (−r, 0).

Capitolul 2 109

Fie C ∈ (A,B), C(c); avem printr-un calcul simplu

(α, β, b, c)(α, β, c, a) =(2.33)

=

(α− b

β − b:α− c

β − c

)(α− c

β − c:α− a

β − a

)= (α, β, b, a).

Deci biraportul corespunzator L-segmentului (AB) este egal cu

produsul birapoartelor L-segmentelor (AC) si (CB).

Definim L-lungimea segmentului (AB) prin

l(AB) = ln(α, β, b, a).(2.34)

Evident ca l(AB) > 0 (v. (2.32)), l(BA) = ln(β, α, a, b) =

ln(α, β, b, a) = l(AB) deci masura are proprietatea de simetrie, este

invarianta la L-miscari (v. (2.31)) si verifica inegalitatea triunghiului,

cum arata (2.33).

Observatii. Daca A = B, atunci (α, β, b, a) = 1 si l(AB) = 0.

Daca a→ α, atunci ln(α, β, b, a) → ln(α, β, b, α) = +∞ si analog

daca b→ β. Cu alte cuvinte l(AB) → ∞ cand a→ α. Deci punctele

de pe Γr pot fi tratate ca puncte improprii, de la infinit, pentru planul

lui Lobacevski. De aceea cercul frontiera Γr se numeste absolutul si

corespunde elementului ∞ din planul complex extins C∞.

Fie A(a) si B(b); ın cele ce urmeaza vom deduce o formula ce va

permite calculul lungimii l(AB) ın functie de a si b.

Consideram mai ıntai cazul a = 0, b = x > 0; atunci

l(A,B) = l(0, x) = ln(−r, r, x, 0) = lnr + x

r − x.

Daca a = 0 si b ∈ Ur, printr-o rotatie obtinem

l(0, b) = lnr + |b|r − |b| .(2.35)


In cazul general apeland la miscarea h ∈ Hr, h(z) = r2 z−ar2−az

aceasta transforma pe a ın 0, iar pe b ın h(b) = r2 b−ar2−ab

, deci

l(A,B) = l(a, b) = ln1 + r

∣∣∣ b−ar2−ab

∣∣∣

1 − r∣∣∣ b−ar2−ab

∣∣∣.(2.36)

Observatie. Elementul de arc dσ definit de relatıa (2.14) se poate

lua prin definitie drept elementul de arc lobacevskian. Cu ajutorul lui

putem de asemenea defini L-lungimea unui L-segment, apeland ınsa

la integrala. Fie A(a) si B(b) pe L-dreapta d. Aplicam o deplasare

h ∈ Hr astfel ıncat h(a) = 0 si b′ = h(b) ∈ (0, r). Datorita invariantei

lui dσ lungimea segmentului (A′B′), A′ = h(A), B′ = h(B) este

aceeasi. Definim atunci

l(AB) = l(A′B′) = 2

∫ b′

0

dx

r2 − x2= ln

r + b′

r − b′.

Dar (r+ b′)/(r− b′) = (α, β, b, a), unde α si β au semnificatia din

Fig.2.17. Am regasit astfel definitia lungimii data de (2.34).

Pentru elementul de arie neeuclidiana se poate lua invariantul

dΩ = dω(r2−|z|2)2 , unde dω este elementul de arie euclidiana.

2.4.5. Axiomele de continuitate

Vom prezenta mai ıntai axiomele de continuitate, lasand la urma

axioma de paralelism.

V1 (axioma de continuitate a lui Cantor). Daca pe

o L-dreapta exista doua siruri de puncte A1, A2, . . . , An, . . . si

B1, B2, . . . , Bn, . . . astfel ıncat Bq ∈ (ApBq−1) si Ap ∈ (Ap−1Bq) ori-

care ar fi p, q ∈ N∗, atunci pe aceasta L-dreapta exista cel putin un

punct M situat ıntre Ap si Bq, C ∈ (ApBq), pentru oricare p si q.

Capitolul 2 111

Proprietatea prevazuta de V1 are loc ın geometria euclidiana pe

drepte si cercuri si prin intermediul unor functii omografice convena-

bil alese se vede ca ea are loc si ın acest model de geometrie a lui

Lobacevski.

V2 (axioma lui Arhimede). Fie A1 un punct oarecare situat

pe o L-dreapta ıntre punctele oarecare date A si B; construim punc-

tele A1 ∈ (AA2), A2 ∈ (A1A3) s.a.m.d. ın asa fel ıncat segmen-

tele (AA1), (A1A2), (A2A3), . . . sa fie congruente ıntre ele. Atunci

ın sirul punctelor A2, A3, A4, . . . totdeauna exista un punct An astfel

ıncat punctul B sa fie ıntre A si An (B ∈ (A,An)).

Pentru verificarea acestei axiome este suficient sa observam ca

l(AAn) = nl(AA1), iar daca notam y = l(AB), x = l(AA1), atunci

conform Axiomei lui Arhimede pentru numerele reale rezulta ca exista

un numar n ∈ N astfel ıncat y < nx, iar faptul ca l(AB) < l(AAn)

este acelasi lucru cu B ∈ (AAn).

Observatie. Axiomele V1 si V2 pot fi ınlocuite cu axiomele

V1′. Orice L-dreapta este o multime separabila.

V2′. Orice L-dreapta este o multime conexa.

Se stie ca pentru a defini o topologie pe dreapta reala R se poate

alege ca definitie a vecinatatii unui punct a ∈ R orice segment

(BC) ⊂ R cu proprietatea A ∈ (BC) (B,C 6∈ (BC)). Pe aceeasi

cale se poate defini o topologie si pe o L-dreapta.

De asemenea se stie (v. de exemplu [Col]) ca un corp comutativ

total ordonat care verifica Axioma lui Arhimede si Axioma lui Cantor

este un sistem al numerelor reale. Deci atat dreapta cat si L-dreapta

sunt modele ale sistemului numerelor reale.

Functiile omografice fiind continue, pastreaza conexitatea si sepa-


rabilitatea, de unde rezulta echivalenta axiomelor V1 si V2 cu V1′

si V2′. Pentru detalii se pot consulta [Sam, pag. 234-236], [Col. pag.

134-135].

Axiomele enumerate pana ın prezent - de incidenta, de ordine, de

congruenta si de continuitate - coincid cu cele din geometria eucli-

diana, deci tot ce se poate demonstra ın geometria euclidiana fara a

folosi axioma paralelelor ramane valabil si ın geometria lui Lobace-

vski.

2.4.6. Axioma paralelelor

IV. Prin fiecare L-punct al L-planului care nu apartine L-dreptei

date d pot trece o multime nedeterminata de L-drepte neincidente cu

d.

Observam ca dintre aceste L-drepte doua au o situatie speciala,

dupa cum se vede si ın Fig.2.19.

A

β η

α

γ

Fig.2.19.

Capitolul 2 113

Fie d cu extremitatile α si β pe Cr. Cele doua cazuri speciale

corespund dreptelor prin A care contin L-semidreptele (Aα si (Aβ.

Numim L-paralele la dreapta d prin L-punctul A cele doua L-drepte

care contin (Aα si (Aβ (din punct de vedere euclidian cele doua

cercuri sunt tangente cu cercul ce contine arcul

αβ ın α si ın β). Se

observa usor ca fiecare L-dreapta care trece prin A si este continuta ın

L-unghiul dintre L-paralele (partea hasurata ın figura) nu are puncte

comune cu d. Aceste drepte se numesc drepte nesecante. Observam

ca prin intermediul geometriei euclidiene putem extinde notiunea de

L-unghi si masura a lui si la infinit si astfel putem spune ca masura

unghiului facut de L-dreapta d cu cele doua l-paralele este de masura

zero, pe cand ın cazul nesecantelor notiunea uzuala de unghi nu mai

poate fi extinsa.

2.4.7. Consecinte ale Axiomei paralelelor

Datorita Axiomei IV se obtin desigur o serie de proprietati diferite

de cele din geometria euclidiana. In continuare vor fi prezentate cateva

dintre cele mai simple asemenea proprietati.

2.4.7.1. Teorema. Suma masurilor unghiurilor unui L-triunghi

este mai mica decat π.

Demonstratie. Fie A′B′C ′ un L-triunghi (Fig.2.20) cu masurile

unghiurilor α, β, γ, unde α = m( C ′A′B′), β = m( A′B′C ′) si γ =

m( B′C ′A′). Notam cu M ′ si N ′ punctele de intersectie ale cercului

care contine L-dreapta ce trece prin B′, C ′ cu cercul Γr. Aplicam

o L-deplasare h care are proprietatea ca h(A′) = A = O. Atunci

(AB) = h((A′B′)) si (AC) = h((A′C ′)) sunt segmente si ın geometria

euclidiana (sunt situate pe raze ale cercului Γr). Daca M = h(M ′) si

N = h(N ′), atunci L-segmentul (BC) se afla pe cercul euclidian ce


trece prin M si N , ortogonal pe Γr, segmentele (razele) [AM ], [AN ]

fiind tangente la cerculMBCN . Masura unghiului facut de segmentul

[AB] cu arcul

BC este β, fiind masura L-unghiului ABC, care este

congruent cu A′B′C ′, deoarece ABC = h( A′B′C ′).

O,A

Γr

M

BC

N

M ′

B

C ′

N ′

A′

Fig.2.20.

Notam cu m(B) masura unghiului euclidian ABC (din triunghiul

euclidian ABC); atunci β < m(B). Analog obtinem γ < m(C). Din

m(A)+m(B)+m(C) = π (rezultat cunoscut ın geometria euclidiana

ca o consecinta a axiomei paralelelor din aceasta geometrie) si din

cele de mai sus rezulta α+ β + γ < π.

2.4.7.2. Teorema. Doua L-triunghiuri cu unghiurile

L-congruente sunt L-congruente.

Demonstratie. Fie ABC si A1B1C1 triunghiurile cu unghiurile

congruente, deci daca notam α = m(BAC), β = m(ABC), γ =

m(BCA), α1 = m( B1A1C1), β1 = m( A1B1C1), γ1 = m( B1C1A1),

Capitolul 2 115

atunci α = α1, β = β1, γ = γ1. Fie h, h1 ∈ Hr doua L-miscari astfel

ıncat

h(A) = h1(A1) = 0,

h((AB)) = h1((A1B1)) ⊂ [OR],

unde segmentul euclidian [OR] este o raza a cercului Γr (Fig.2.21 si

2.22).

OR

C ′1 D

B′1

B′

C ′

O R

C ′1

D

B′1B′

C ′

Fig.2.21. Fig.2.22.

Daca (AC) si (A1C1) nu se transforma pe aceeasi raza, atunci ele

se transforma pe raze simetrice fata de [OR] deoarece α = α1. In

acest caz compunand h1 cu o simetrie fata de [OR], (AC) si (A1C1)

vor apartine aceleiasi raze. Din cele de mai sus rezulta ca poate avea

loc unul din urmatoarele trei cazuri:

1) Triunghiurile imagine coincid (se suprapun), deci sunt con-

gruente si la fel si triunghiurile initiale ABC si A1B1C1.

2) (B′C ′) ∩ (B′1C

′1) = D sau C ′ = C ′

1 = D sau B′ = B′1 = D.

In prima situatie se formeaza doua L-triunghiuri B′DB′1 si C ′DC ′

1.


Studiem unghiurile primului L-triunghi B′DB′1; avem

m( DB′1B

′) = β1, m( B′1B

′D) = π − β, m( B′DB′1) > 0,

de unde rezulta

m( DB′1B

′) +m( B′1B

′D) +m( B′DB′1) = β1 + π − β +m( B′DB′

1) =

= π +m( B′DB′1) > π.

Am ajuns la concluzia ca suma masurilor unghiurilor triunghiului

B′DB′1 este mai mare ca π, ceea ce contrazice Teorema 2.4.7.1.

Daca C ′ = C ′1 = D se procedeaza analog. Daca B′ = B′

1 = D,

atunci se considera triunghiul C ′DC ′1 si se ajunge la o contradictie

de acelasi fel cu prima situatie.

3) (B′C ′) ∩ (B′1C

′1) = ∅; ın acest caz consideram L-patrulaterul

B′C ′C ′1B

′1 cu masurile unghiurilor

m( B′1B

′C ′) = π − β, m( C ′1B

′1B

′) = β1,

m( B′C ′C ′1) = π − γ, m( C ′C ′

1B′1) = γ1,

de unde rezulta

m( B′1B

′C ′) +m( C ′1B

′1B

′) +m( B′C ′C ′1)+(2.37)

+m( C ′C ′1B

′1) = 2π.

Dar daca ducem L-diagonala (C ′B′1) si consideram L-triunghiurile

B′1C

′C ′1 si B′

1B′C ′ obtinem ca suma masurilor unghiurilor celor doua

triunghiuri este mai mica decat 2π, pe baza Teoremei 2.4.7.1, dar

aceasta contrazice egalitatea (2.37).

Capitolul 2 117

In concluzie cazurile 2) si 3) duc la contradictii, deci nu poate

avea loc decat cazul 1).

2.4.7.3. Teorema (Pitagora-Lobacevski). Fie ABC un

L-triunghi cu m(BAC) = π/2. Notam a = l(BC), b = l(CA),

c = l(AB). Atunci

ch a = ch b ch c.(2.38)

Demonstratie. Aplicam miscarea h ∈ Hr care are proprietatile

h(A) = O, h(B) = B′ si B′(β) cu β > 0. Atunci evident ca h(C) = C ′,

unde C ′(iγ), γ ∈ R. Folosind relatia (2.36) obtinem

a = ln1 +

∣∣∣ β−iγr2+iβγ

∣∣∣ r

1 −∣∣∣ β−iγr2+iβγ

∣∣∣ r, b = ln

r + γ

r − γ, c = ln

r + β

r − β.(2.39)

Reamintim cateva definitii si formule referitoare la functiile hiper-

bolice.

ch x =ex + e−x

2, sh x =

ex − e−x

2, th x =

ex − e−x

ex + e−x(2.40)

ch x =1 + th2 x

2

1 − th2 x2

(2.41)

ch x ≈ 1 + x2 pentru x ∈ R,(2.42)

aproximarea fiind buna pentru x suficient de mic.

Utilizand (2.40) relatiile (2.39) se pot exprima sub forma

β = r thc

2, γ = r th

b

2; r

√β2 + γ2

r4 + β2γ2= th

a

2.(2.43)


Formula (2.41), utilizand ultima egalitate din (2.43) si apoi iar

(2.41), devine:

ch a =r4 + β2γ2 + r2(β2 + γ2)

r4 + β2γ2 − r2(β2 + γ2)=

(r2 + β2)(r2 + γ2)

(r2 − β2)(r2 − γ2)= ch b · ch c

care este tocmai relatia (2.38).

2.4.7.4. Observatie. Pentru a, b, c suficient de mici, daca folosim

(2.42), din relatia (2.38) obtinem

(1 + a2) ≈ (1 + b2)(1 + c2),

de unde

a2 ≈ b2 + c2

(neglijand b2c2 care devine foarte mic), relatie ce are loc daca laturile

L-triunghiului ABC sunt suficient de mici. Acest fapt duce la conclu-

zia (la care se poate ajunge si pe alte cai): geometria lui Lobacevski

este identica local cu geometria lui Euclid.

2.4.8. Unghiul de paralelism

Fie d o L-dreapta si A un L-punct ce nu apartine dreptei. Du-

cem prin A cele doua L-drepte paralele cu d (v. 2.4.6) si o L-dreapta

perpendiculara pe d (Fig.2.23). (Spunem ca doua L-drepte incidente

sunt perpendiculare daca masura unghiului format de ele este π/2.

Dintr-un punct exterior unei L-drepte se poate totdeauna duce o

unica L-dreapta perpendiculara; transformand printr-o L-miscare

aceasta L-dreapta ıntr-un diametru al cercului Cr, afirmatia de mai

sus rezulta din aceeasi proprietate a geometriei euclidiene).

Unghiurile pe care L-dreptele din A L-paralele la L-dreapta d

le fac cu L-dreapta perpendiculara pe d se numesc unghiuri de

paralelism.

Capitolul 2 119

Vom demonstra ca aceste unghiuri depind numai de l-distanta δ

de la A la dreapta d, δ = l(AB) (Fig.2.23).

-N7

α

A

Bβ A′

β′

C

α′

rO

B′

ρ

Fig.2.23. Fig.2.24.

Fie h L-deplasarea din Hr care are proprietatea ca h(A) = A′ = 0

si h(B) = B′, unde afixul b′ al lui B′ este real pozitiv (Fig.2.23). Ob-

servam ca cele doua unghiuri de paralelism sunt congruente (deoarece

imaginile lor prin h sunt congruente). Notam masura unui unghi de

paralelism cu Π.

Deoarece prin h distantele se pastreaza, folosind formula (2.35)

avem:

δ = l(A′B′) = lnr + b′

r − b′,(2.44)

de unde

b′ = reδ − 1

eδ + 1.(2.45)

Observam ca egalitatile (2.44) si (2.45) stabilesc legatura ıntre

b′, care este lungimea euclidiana a segmentului A′B′ si δ, care este

lungimea lobacevskiana a aceluiasi segment.


In punctul β′ = h(β) ducem tangenta la cercul Γr; aceasta inter-

secteaza semiaxa reala pozitiva ın C. Punctul C este centrul cercului

pe care se afla B′ = h(B), deci pe el se afla si arcul ce este ima-

ginea lui d prin transformarea h. Notam cu ρ lungimea euclidiana

a segmentului [B′C] (raza cercului ce contine arcul

α′B′β′). Scriem

puterea punctului A′ fata de acest cerc (cu centrul ın C si raza ρ)

r2 = A′B′(A′B′ + 2ρ)

sau

r2 = b′(b′ + 2ρ),

de unde, folosind (2.45),

ρ =r2 − b′2

2b′=r2 −

(eδ−1eδ+1

)2r2

2eδ−1eδ+1

r=

2reδ

e2δ − 1=

r

sh δ.

Din triunghiul dreptunghic A′β′C rezulta

Π = Π(δ) = m( β′A′C) = arctgβ′C

β′A′= arctg

ρ

r,

deci unghiul de paralelism are marimea

Π = Π(δ) = arctg1

sh δ.(2.46)

Observam ca Π(δ) ∈ (0, π/2). Daca δ → 0, atunci Π(δ) → π/2;

daca δ → ∞, atunci Π(δ) → 0.

2.4.9. Cercul ın geometria lui Lobacevski

Analog cu geometria euclidiana definim un L-cerc drept locul

geometric al punctelor situate la aceeasi L-distanta de un punct fix

din L-plan, punct numit centru.

Capitolul 2 121

Fie L-cercul CL = CL(z0; r); aplicam o deplasare h care are pro-

prietatea h(z0) = 0. Atunci h(CL) este un cerc ın sensul euclidian,

cu centrul ın O. De aici deducem ca si CL(z0; r) este tot un cerc

euclidian, dar centrul cercului euclidian difera de cel al cercului loba-

cevskian (cu exceptia cazului cand z0 = 0).

2.4.9.1. Centrul z0 al L-cercului CL are proprietatea ca inversul

lui fata de cercul CL coincide cu inversul lui fata de cercul Γr.

Pentru a demonstra aceasta proprietate observam ca o functie

omografica h conserva proprietatea de inversiune fata de un cerc (v.

2.1.11). Fie z′0 inversul lui z0 fata de cercul CL. Alegem o functie

omografica h din Hr cu proprietatea ca h(z0) = 0. Fie z′ inversul lui

z0 fata de CL; atunci 0 = h(z0) si h(z′0) sunt inverse fata de cercul

imagine h(CL), care este un cerc concentric cu Γr. Rezulta ca O si

h(z′0) sunt inverse si fata de Γr. Aplicand acum h−1, aceasta invariaza

cercul Γr, dar h−1(0) = z0 si h−1(h(z′0)) = z′0, deci z0 si z′0 sunt inverse

fata de h−1(Γr) = Γr.

2.4.10. Proprietati ale functiilor eliptice, hiperbolice sau

parabolice din Hr

Functiile din Hr invariaza cercul Γr. Rezulta de aici ca functiile

din Hr nu pot fi decat eliptice, hiperbolice sau parabolice, deoarece

celelalte functii omografice nu invariaza vreun cerc (v. 2.3).

Fie h ∈ Hr; atunci ea este de forma

h(z) = r2eiθz − a

r2 − az, |a| < 1, θ ∈ R.

Punctele fixe (duble) ale acestei transformari λ si µ sunt solutiile

ecuatiei

az2 + 2ir2 sinθ

2ei

θ2 z − ar2eiθ = 0


si pentru a 6= 0 ele sunt egale cu

reiθ2

a

−ir sin

θ

2±√|a|2 − r2 sin2 θ

2

.

Deoarece |λµ| = |ar2eiθ/|a|| = r2 rezulta ca sau ambele puncte

fixe sunt pe cercul absolut Γr, sau unul este interior si celalalt exterior.

Daca λ = µ, atunci |a| = r∣∣∣sin θ

2

∣∣∣ si |λ| = r, deci λ se afla de asemenea

pe cercul absolut Γr.

I. Presupunem ca h din Hr este o transformare eliptica. Atunci

λ 6= µ si h transforma unul ın altul cercurile ce trec prin λ si µ si

invariaza cercurile ortogonale pe acestea. Deci Γr este un cerc ortogo-

nal pe acestea, iar λ si µ sunt inverse fata de Γr, deoarece fasciculul

de cercuri prin λ si µ este ortogonal pe Γr.

Fie λ ∈ Ur, deci |λ| < r; atunci µ = r2

λ. Deoarece fasciculul de

cercuri ce trec prin λ si r2/λ sunt ortogonale pe Γr, iar h transforma

aceste cercuri unele ın altele, rezulta ca si cercurile imagine sunt or-

togonale pe Γr. Dar cercurile din acest fascicul definesc L-drepte si

anume sunt L-dreptele care trec prin L-punctul λ. Prin h ele sunt

transformate tot ın L-drepte ce trec prin λ. Deci h actioneaza ca o

rotatie din cadrul geometriei euclidiene si de aceea spunem ca orice

functie eliptica h din Hr este o L-rotatie de L-centru λ, unde λ este

punctul fix al lui h din L-planul Ur.

Curbele pe care o transformare h le invariaza le vom numi tra-

iectorii. In cazul de fata traiectoriile transformarii h din L-planul Ur

sunt L-cercurile cu centrul ın λ. Aceasta rezulta din faptul ca h inva-

riaza cercurile ortogonale pe cele ce trec prin λ si µ, deci fata de care

λ si µ sunt inverse, conform proprietatilor 2.4.9.1 si 2.1.11 (Fig.2.25).

Capitolul 2 123

Se poate include aici si cazul a = 0 si atunci functia h(z) = eiθz

este ın acelasi timp o L-rotatie si o rotatie (euclidiana), ambele cu

centrul λ = 0.

Γr

λ

µλ

µ

d

Γr

Fig.2.25. Fig.2.26.

II. Fie h din Hr o transformare hiperbolica. Atunci λ 6= µ si h

invariaza cercurile ce trec prin λ si µ si transforma unele ın altele

cercurile ortogonale pe primele. Rezulta ca λ, µ ∈ Γr si ın particular

h invariaza si cercul ce trece prin λ si µ si este ortogonal pe Γr, deci

care defineste o L-dreapta d cu extremitatile λ si µ (Fig.2.26). Rezulta

ca h transforma unele ın altele L-dreptele ortogonale pe d. De aceea

aceste transformari se numesc L-translatii de-a lungul dreptei d (ın

Fig.2.26 L-dreptele fasciculului sunt desenate ıntrerupt). Traiectoriile

transformarii sunt arcele de cercuri cu extremitatile λ si µ. Se poate

arata ([Cha, pag.61]) ca aceste traiectorii sunt locurile geometrice ale

L-punctelor situate la aceeasi L-distanta de L-dreapta d. De aceea

ele se numesc echidistante (se mai numesc si hipercicluri).


III. Fie h ∈ Hr o transformare parabolica, deci λ = µ. Ea inva-

riaza cercurile dintr-un fascicul de cercuri ce sunt toate tangente ın λ,

deci printre acestea este si absolutul Γr. Cu alte cuvinte traiectoriile

acestei transformari sunt cercurile din Ur tangente interior la Γr ın

punctul λ (Fig.2.27).

λ

Γr

Fig.2.27.

Cercurile euclidiene ortogonale pe acestea si pe Γr ın λ contin o fa-

milie de L-drepte L-paralele (desenate cu linie ıntrerupta ın Fig.2.26).

Functia h duce unele ın altele L-dreptele acestui fascicul.

O transformare h cu proprietatile de mai sus se spune ca este o

L-translatie limita, iar traiectoriile ei se numesc oricicluri.

Capitolul 2 125

2.5 O generalizare a Lemei lui Schwarz

2.5.1. Lema lui Schwarz. Fie f o functie olomorfa pe discul

unitate U (U = U1 = U(0; 1)) si care verifica urmatoarele conditii:

f(0) = 0, |f(z)| < 1, z ∈ U ; atunci

1) |f(z) ≤ |z|, oricare ar fi z ∈ U si |f ′(0)| < 1,

2) daca exista un z0 ∈ U astfel ıncat |f(z0)| = |z0|, sau daca

|f ′(0)| = 1, atunci exista un θ ∈ R astfel ıncat f(z) = eiθz, z ∈ U

(f este o rotatie cu centrul 0).

Interpretarea geometrica a lemei este urmatoarea: daca f este o

functie olomorfa ın U , f(0) = 0 si f(U) ⊆ U , atunci f(Ur) ⊆ Ur,

pentru orice r ∈ (0, 1), iar f(Ur) = Ur pentru un anumit r daca si

numai daca f(z) = eiθz, θ ∈ R.

Demonstratia acestei leme, precum si o serie de aplicatii care-i

arata importanta, pot fi gasite ın majoritatea cartilor care trateaza

functii de o variabila complexa (de exemplu [HNM, pag. 103], [Cha],

[May], [Cal]). De asemenea se cunosc si diverse generalizari ale aces-

tei leme. In cele ce urmeaza vom da o generalizare utilizand distanta

lui Lobacevski (l-lungimea segmentelor definita la 2.4.4). Aceasta

generalizare permite o interpretare geometrica mai profunda decat

cea data lemei de mai sus.

2.5.2. Lema lui Schwarz generalizata. Fie f o functie olo-

morfa ın U si care are proprietatea ca f(U) ⊆ U . Fie punctele zk ∈ U

si wk = f(zk), k ∈ 1, 2; atunci

l(w1, w2) ≤ l(z1, z2),(2.47)

unde l este distanta lui Lobacevski pentru discul de raza r = 1.


In plus, daca ın (2.47) egalitatea are loc pentru o pereche (z1, z2)

din U , atunci f ∈ H1, adica este de forma f(z) = eiθ(z − a)/(1−−az), |a| < 1, θ ∈ R (ın acest caz rezulta ca egalitatea ın (2.47) are

loc pentru orice pereche de puncte z1, z2 din U).

Demonstratie. Consideram functia f drept o transformare de la

planul (z) la planul (w); aceasta transformare o realizam prin inter-

mediul planelor (Z) si (W ) astfel:

(z)f−→ (w)

hy k

yxk−1

(Z) −→ (W )

F

unde

Z = h(z) =z − z11 − z1z

, W = k(w) =w − w1

1 − w1w.

Avem F = k f h−1, deci F (Z) = W . Functia F astfel definita

verifica Lema lui Schwarz 2.5.1; ıntr-adevar F este olomorfa ın U

(compunerea de functii olomorfe este olomorfa), daca Z ∈ U , atunci

|F (Z)| = |(k f)(x)| = |k(w)| < 1 (deoarece w ∈ U) si F (0) =

(k f)(z1) = k(w1) = 0. Pe baza Lemei lui Schwarz rezulta

|W | = |F (Z)| ≤ |Z|.

In particular, daca Z2 = h(z2) si W2 = k(w2), atunci avem

|W2| ≤ |Z2|(2.48)

Capitolul 2 127

inegalitate ce arata ca distanta euclidiana ıntre O si W2 este cel mult

egala cu cea de la O la Z2.

Din (2.35) deducem

l(O,Z) = ln1 + |Z|1 − |Z|

si observand ca functia ϕ : [0, 1) → R, ϕ(t) = (1 + t)/(1 − t) este

crescatoare, obtinem ca l(O,Z) creste odata cu |Z|, deci odata cu

distanta euclidiana a lui Z la O. Obtinem ca |W2| ≤ |Z2| daca si

numai daca

l(O,W2) ≤ l(O,Z2).(2.49)

Dar l este invarianta la deplasarile h si k (din H1), deci

l(w1, w2) ≤ l(z1, z2).

Daca pentru o pereche z1, z2 are loc egalitatea ın (2.47), atunci

ea are loc si ın (2.49) si (2.48) si aplicand din nou Lema lui Schwarz,

partea a doua, din (2.48) rezulta F (Z) = eiθZ, deci F ∈ H1, de unde

ın final obtinem f = k−1 F h ∈ H1.

Interpretarea geometrica ce se poate da Lemei generalizate a lui

Schwarz este: functia f care satisface conditiile Lemei 2.5.2 scur-

teaza distanta lobacevskiana dintre doua puncte. Ea invariaza aceasta

distanta daca si numai daca f ∈ H1.

Lema generalizata a lui Schwarz 2.5.2 mai este cunoscuta si sub

numele de Teorema lui Pick.


Capitolul 3

Elemente de teoria

geometrica a functiilor de

o variabila complexa

Pentru a putea parcurge cu usurinta acest capitol cititorul trebuie

sa posede cunostintele de baza de analiza complexa, cunostinte ce se

gasesc ın orice manual consacrat acestui domeniu al matematicii, cum

sunt [HMN], [Cal], [Cha], [May].

3.1 Functii univalente

3.1.1. Definitie. O functie olomorfa si injectiva pe un domeniuD

din C se numeste univalenta pe D. Multimea functiilor olomorfe pe D

129


o notam cu H(D), iar a celor univalente pe D cu Hu(D). (Reamintim

ca un domeniu este o multime deschisa si conexa).

O functie olomorfa pe D care ia orice valoare a sa ın cel mult m

puncte distincte din D si exista cel putin o valoare luata ın exact m

puncte distincte se numeste multivalenta de ordinul m sau m-valenta.

Exemple. 1) Functiile omografice sunt univalente pe D = C \z0, unde z0 este polul functiei.

2) Daca f ∈ Hu(D), g ∈ Hu(E) si f(D) ⊂ E, atunci g f ∈Hu(D).

3) f(z) = z2 este univalenta ın semiplanul superior si este biva-

lenta (2-valenta) ın discul unitate U .

4) Functia

k(z) =z

(1 − z)2, z ∈ U,(3.1)

numita functia lui Koebe, este univalenta ın U , fapt ce se verifica usor

prin calcul direct.

Daca Γ este frontiera lui U (Γ este cercul unitate), atunci k(Γ) =

(−∞,−1/4] ∪ ∞. Intr-adevar aceasta rezulta usor observand ca

pentru t ∈ [−π, π],

k(eit) =1

(e−i t

2 − eit2

)2 =1

(2i sin t

2

)2 = − 1

4 sin2 t2

,

deci k(eit) ∈ (−∞,−1/4] cand t ∈ [−π, π) \ 0 si k(1) = ∞.

3.1.2. Teorema. Daca f ∈ Hu(D), atunci f ′(z) 6= 0 pentru orice

z din D.

Demonstratia teoremei se gaseste ın [HMN, pag.143-144], [Cal,

pag. 159-160] etc.

Capitolul 3 131

Reciproca acestei teoreme nu este adevarata, dupa cum este ın

cazul functiei f(z) = ez unde f ′(z) 6= 0 ın C, dar ez = ez+2πi.

Din teorema 3.1.2 rezulta ca functiile univalente sunt reprezentari

conforme.

Primul matematician care a obtinut conditii necesare si suficiente

de univalenta este G. Calugareanu [Cal1]. In cele ce urmeaza vor

fi prezentate unele criterii de univalenta (criteriile continand doar

conditii suficiente de univalenta). Urmatoarea teorema este un ase-

menea criteriu datorat lui S. Ozaki si W. Kaplan ([Kap], [HMN]).

3.1.3. Teorema. Daca D este un domeniu simplu conex, f ∈H(D) si daca exista g ∈ Hu(D) astfel ıncat g(D) este un domeniu

convex si

Ref ′(z)

g′(z)> 0, z ∈ D,

atunci f ∈ Hu(D).

Demonstratie. Notam ∆ = g(D). Deoarece g este univalenta

rezulta ca exista g−1 : ∆ → D, care este o functie olomorfa pe dome-

niul convex ∆, iar functia h = f g−1 este de asemenea olomorfa pe

∆. Avem

Re h′(w) = Ref ′(z)

g′z)> 0, w = g(z) ∈ ∆.

Fie w1, w2 ∈ ∆, w1 6= w2 si γ : [0, 1] → C, γ(t) = w1 + t(w2−w1);

atunci integrand de-a lungul drumului liniar de la w1 la w2 care are

suportul ın domeniul convex D obtinem

h(w2) − h(w1) =

∫ w2

w1

h′(w)dw = (w2 − w1)

∫ 1

0h′[γ(t)]dt,

de unde

Reh(w2) − h(w1)

w2 − w1=

∫ 1

0Re h′[γ(t)]dt > 0,


deci h(w1) 6= h(w2), adica h este injectiva si la fel si f = h g.3.1.4. Corolar. Daca functia f este olomorfa ın domeniul con-

vex D si verifica Re f ′(x) > 0, pentru orice z din D, atunci f este

univalenta.

3.1.5. Corolar. Daca f ∈ H(U) si satisface conditia Re [(1 −z2)f(z)] > 0, z ∈ U , atunci f este univalenta.

Demonstratie. Fie g(z) = log 1+z1−z

, z ∈ U \0 si g(0) = 0. Daca

notam h(z) = (1 + z)/(1 − z), atunci h(U) este semiplanul drept, iar

g(U) = log h(U) =w; −π

2 < Im w < π2

este o multime convexa.

Se verifica usor si univalenta functiei g, deoarece h este o functie

omografica (deci univalenta) si functia logaritmica este univalenta ın

semiplanul drept. In plus g′(z) = 1/(1 − z2), de unde

Ref ′

g′= Re [(1 − z2)f ′(z)] > 0, z ∈ U,

iar din Teorema 3.1.3 rezulta f ∈ Hu(U).

3.2 Clase de functii univalente

Notam

A = f ∈ H(U); f(0) = f ′(0) − 1 = 0(3.2)

si

S = f ∈ A; f univalenta.(3.3)

Observam ca o functie f din A are o dezvoltare ın serie Taylor ın

U de forma

f(z) = z + a2z2 + · · · + anz

n + · · · , z ∈ U,(3.4)

Capitolul 3 133

iar S = A ∩ Hu(U) = f ∈ Hu(U); f de forma (3.4) = f ∈Hu(U); f(0) = f ′(0) − 1 = 0. Vom vedea ın continuare ca ”nor-

malizarea” f(0) = f ′(0) − 1 = 0 este mai mult o simplificare decat o

restrictie.

3.2.1. Teorema lui Riemann. Fie D ∈ C, D 6= C un domeniu

simplu conex si fie w0 ∈ D si α ∈ [−π, π); atunci exista o functie

unica ϕ ∈ Hu(U) astfel ıncat ϕ(U) = D, ϕ(0) = w0 si argϕ′(0) = α.

3.2.2. Fie D ⊂ C, D 6= C un domeniu simplu conex si fie w0 ∈D; atunci exista o functie unica g ∈ Hu(D), normata cu conditiile

g(w0) = 0, g′(w0) = 1, astfel ıncat g(D) = U(0; r0) (g reprezinta

conform domeniul D pe un disc cu centrul ın origine). Raza acestui

disc se numeste raza conforma a domeniuluio D ın punctul w0.

Teorema lui Riemann se gaseste ın orice carte de Analiza com-

plexa, iar sub forma 3.2.1 este, de exemplu, ın [Ahl, pag. 222];

consecinta 3.2.2 este demonstrata ın [HMN, pag. 150], [Mar1, pag.

384-385].

Fie ϕ din 3.2.1 functia ce reprezinta conform U pe D. In gene-

ral ea nu este din S. Ei ıi putem asocia functia f de forma f(z) =

[ϕ(z) − ϕ(0)]/ϕ′(0) si se verifica imediat ca f ∈ S. Se vede astfel ca

alegerea discului unitate si a conditiilor de normare nu restrange ın

mod esential studiul general al functiilor univalente ıntr-un domeniu

simplu conex oarecare D, D 6= C.

Adeseori este necesar sa se considere domenii simplu conexe D ⊂C∞, cu ∞ ∈ D. Presupunand caD 6= C∞\a rezulta ca E = C∞\Deste o multime conexa si compacta care are mai mult decat un punct.

Transformarea w∗ = 1/(w − c), unde c ∈ E, transforma domeniul D

ıntr-un domeniuD∗ care ındeplineste conditiile Teoremei lui Riemann


3.2.1. Cum ın cazul acestei teoreme s-a luat U ca domeniu standard,

pentru domeniile de acest tip (∞ ∈ D) consideram

U− = z ∈ C∞; |z| > 1,

deci C∞ din care s-a scazut discul unitate compactificat.

3.2.3. Teorema. Fie D ⊂ C∞, ∞ ∈ D, un domeniu sim-

plu conex; atunci exista o unica functie g din Hu(U−) astfel ıncat

g(U−) = D si g(z) = z + b0 + b1/z + b2/z2 + · · ·, unde b > 0.

Demonstratie. Functia l(z) = 1/z transforma U− ın U , iar

h(w) = 1/(w − c), cu c ∈ C∞ \ D transforma D ın D∗. Con-

form Teoremei lui Riemann 3.2.1 exista f ∈ Hu(U) astfel ıncat

f(U) = D∗, f(0) = 0 si f ′(0) = a1 > 0, deci f(z) = a1z + a2z2 + · · ·.

Definim g = h−1 f l; atunci g ∈ Hu(U−) si g(U−) = D. Daca

w∗ = h(w), atunci w = h−1(w∗) = c+ 1w∗ , obtinem

g(z) = h−1 f l(z) = c+1

f(1/z)= c+

1

a1z−1 + a2z−2 + · · · =

= c+z/a1

1 + c2/z + · · · = c+z

a1

(1 − c2

z+ · · ·

)=

= bz + b0 + b1z−1 + · · · ,

unde am folosit notatiile

c2 =a2

a1, b0 = c− c2

a1, b =

1

a1.

Observand ca a1 > 0, deci b > 0, demonstratia este completa.

Pe baza celor de mai sus este motivata introducerea clasei

Σ = g ∈ Hu(U−); g(z) = z + b0 + b1z−1 + b2z

−2 + · · ·.

Capitolul 3 135

3.2.4. Observatie. Fie f ∈ S, f(z) = z + a2z2 + · · ·; atunci

functia

g(z) =1

f(1/z)=

1

z−1 + a2z−2 + · · · =z

1 + a2z−1 + · · · =

= z − a2 + · · · ∈ Σ

si g(z) 6= 0 pentru orice z ∈ U−, deoarece f fiind din S, nu are poli.

Reciproc, daca g ∈ Σ, g(z) = z+b0+b1z−1+· · · si c ∈ C∞\g(U−),

atunci functia

f(z) =1

g(1/z) − c=

z

1 + (b0 − c)z + · · · = z + (c− b0)z2 + · · · ∈ S.

Daca g ∈ Σ si g(z) 6= 0 pentru orice z ∈ U−, atunci f(z) =

1/g(1/z) ∈ S, deci se poate stabili o bijectie ıntre S si g ∈ Σ; g(z) 6=0, z ∈ U−.

Aplicand criteriile 3.1.3 si 3.1.4 la functii din clasa A obtinem

conditii suficiente de apartenenta la clasa S. Urmatoarea teorema

prezinta conditii suficiente de apartenenta la clasa Σ.

3.2.5. Teorema. Fie g ∈ H(U−), g(z) = z+b0+b1z−1+· · ·. Daca

multimea L = w; w = lim|z|→1

g(z) este marginita, nu are puncte

interioare si nu desparte ın doua planul C, atunci g ∈ Σ si g(U−) =

C∞ \ L.

Demonstratia acestei teoreme se poate gasi ın [Pomm, pag. 13-14].

3.2.6. Exemplu. Fie g(z) = z + b0 + e2iβ/z definita ın U−;

avem g(eiθ) = b0 + 2eiβ cos(θ − β), deci L = g(z); |z| = 1 =

[b0 − 2eiβ , b0 + 2eiβ ]. Rezulta conform Teoremei 3.2.5 ca g ∈ Σ.

Functia g din Exemplul 3.2.6 este o generalizare a functiei lui

Jukowski (v. [HMN, pag. 43]).


3.2.7. Exemplu. Fie f(z) = z/(1−2z cosα+z2), unde α ∈ (0, π),

definita ın U . Functia

1

f(1/z)= z − 2 cosα+

1

z∈ Σ,

dupa cum rezulta din exemplul 3.2.6. In plus punand |z| = 1 obtinem

1/f(1/z) ∈ [−2 cosα− 2,−2 cosα+ 2],

de unde deducem 1/f(1/z) 6= 0, deci f ∈ S (conform Observatiei

3.2.4) si

C \ f(U) =

(−∞,− 1

4 cos2 α2

]∪[

1

4 sin2 α2

,∞).

3.3 Teoreme de deformare si acoperire clasice

Primele rezultate ce le vom prezenta ın continuare sunt pentru

clasa Σ, urmand apoi sa fie utilizate si pentru evidentierea unor pro-

prietati ale clasei S.

Fie g o functie cu dezvoltarea ın serie Laurent de forma

g(z) = z +∞∑

n=0

bnz−n, z ∈ U−.(3.5)

3.3.1. Teorema ariei (Gronwall-Bieberbach). Daca functia

g de forma (3.4) este din Σ, atunci

∞∑

n=1

n|bn|2 ≤ 1.(3.6)

Capitolul 3 137

Vom demonstra mai ıntai urmatoarea proprietate.

Lema. Fie ϕ o functie olomorfa ıntr-un domeniu care contine

cercul Γr, cu centrul ın O si raza r. Daca ϕ este univalenta pe Γr si

ıntr-o coroana circulara ce contine cercul Γr are dezvoltarea ın serie

Laurent

ϕ(z) =∞∑

n=−∞

αnzn,

atunci aria imaginii prin ϕ a discului U(0; r) este

A(r) = π

∣∣∣∣∣∞∑

n=−∞

n|αn|2r2n

∣∣∣∣∣ > 0.(3.7)

Demonstratie. Deoarece ϕ este univalenta pe Γr, ϕ(Γr) este o

curba ınchisa care nu contine elementul ∞ si care nu are puncte

multiple. Dn faptul ca ϕ(∞) = ∞ rezulta ca daca z descrie cercul Γr

astfel ca exteriorul cercului sa fie la dreapta, atunci si curba ϕ(Γr)

este parcursa astfel ca exteriorul sa fie tot la dreapta, deci ın acelasi

sens.

Aria A(r) este aria ınchisa de curba ϕ(Γr) = γr. Notam w =

ϕ(reiθ) = u(θ) + iv(θ), θ ∈ [0, 2π). Avem

u(θ) =1

2

∞∑

n=−∞

(αne

inθ + αne−inθ

)rn,

v(θ) =1

2i

∞∑

n=−∞

(αne

inθ − αne−inθ

)rn,

iar pe baza formulei lui Green (v. de exemplu [Sta, pag. 384]) deducem

A(r) =

∣∣∣∣∣∣

∫

γr

u dv

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ 2π

0u(θ)v′(θ)dθ

∣∣∣∣ =


=1

4

∣∣∣∣∣

∫ 2π

0

[∞∑

n=−∞

(αne

niθ + αne−niθ

)rn

]·

·[

∞∑

m=−∞

m(αme

imθ + αme−miθ

)rn

]dθ

∣∣∣∣∣ .

Dar ∫ 2π

0eikθdθ =

0, k ∈ Z \ 0,2π, k = 0

si∞∑

n=−∞

nαnα−n =∞∑

n=−∞

nαnα−n = 0,

deci

A(r) =π

2

∣∣∣∣∣∞∑

n=−∞

[αn(−nα−n + nαnr

2n) + αn(nαnr2n − nαn)

]∣∣∣∣∣ =

= π

∣∣∣∣∣∞∑

n=−∞

n|αn|2r2n

∣∣∣∣∣ .

Din aceasta ultima egalitate si din faptul ca A(r) > 0 rezulta

(3.7).

Demonstratia Teoremei 3.3.1. Aplicam Lema ın cazul functiei

g cu dezvoltarea (3.5) si care este din Σ, deci este olomorfa si uni-

valenta ın coroana U− si α1 = 1, αn = b−n, n ≤ 0. Fie r > 1, deci

Γr ⊂ U−. Pe baza Lemei rezulta

A(r) = π

∣∣∣∣∣1∑

m=−∞

m|b−m|2r2m

∣∣∣∣∣ =

= π

∣∣∣∣∣r2 −

∞∑

n=1

n|bn|2r−2n

∣∣∣∣∣ > 0.

Capitolul 3 139

Consideram functia ψ : (1,∞) → R,

ψ(r) = r2 −∞∑

n=1

n|bn|2r−2n.

Functia ψ este continua si ψ(r) > 0 pentru r > 1, deoarece pentru

r suficient de mare ψ(r) > 0 si ψ(r) 6= 0 pentru r > 1 (deci este

continua si nu se anuleaza). Atunci

limr→1

ψ(r) ≥ 0

si aceasta ultima inegalitate este tocmai (3.6).

3.3.2. Consecinta. Fie g din Σ de forma (3.5); atunci |b1| ≤ 1

si egalitatea are loc daca si numai daca g(z) = z + b0 + e2iθ/z, unde

b0 ∈ C si θ ∈ R.

3.3.3. Consecinta. Fie f din S cu dezvoltarea (3.4); atunci

|a3−a22| ≤ 1. In plus daca f este impara, atunci |a3| ≤ 1, iar |a3| = 1

daca si numai daca f(z) = z/(1 + e2iθz2), θ ∈ R.

Demonstratie. Functia g(ζ) = 1/f(ζ−1) este din Σ (v.

Observatia 3.2.4), g(ζ) = ζ − a2 + (a22 − a3)ζ

−1 + · · ·, ζ ∈ U− si

g(ζ) 6= 0 cand ζ ∈ U−. Din consecinta 3.3.2 rezulta |a3 − a22| ≤ 1.

Daca f este impara, atunci a2 = 0 si |a3| ≤ 1. Tot din 3.3.2

rezulta |a3| = 1 daca si numai daca g(ζ) = ζ + e2iθζ−1, de unde

f(z) = z/(1 + e2iθz2).

3.3.4. Teorema (Bieberbach). Daca f ∈ S si f(z) = z+a2z2+

· · · , z ∈ U , atunci |a2| ≤ 2 si |a2| = 2 daca si numai daca f = kθ,

unde

kθ(z) =z

(1 − eiθz)2= z +

∞∑

n=2

ne(n−1)iθzn, z ∈ U, θ ∈ R.


Demonstratie. Construim functia

f∗(z) = z√f(z2)z−2 = z(1 + a2z

2 + · · ·) 12 =

= z +a2

2z3 + · · · , z ∈ U \ 0

si f∗(0) = 0. Functia f∗ este impara si olomorfa ın U . Aratam ca este

si injectiva:

f∗(z1) = f∗(z2) ⇒ f(z21) = f(z2

2) ⇒ z1 = z2 sau z1 = −z2.

Dar deoarece f∗ este impara rezulta ca f∗(−z2) = −f∗(z2) si

singurul caz posibil ramane z1 = z2.

Construim acum functia g prin

g(z) =1

f∗(z−1)= z − 1

2a2

1

z+ · · · , z ∈ U−.

Deoarece g ∈ Σ, din Consecinta 3.3.2 obtinem |a2/2| ≤ 1 si |a2| =

2 pentru gθ(z) = z − eiθz−1. Rezulta

f∗(z) = 1/gθ(z−1) = (z−1 − eiθz)−1 = z/(1 − eiθz2)

si

f(z2) = [f∗(z)]2 = z2/(1 − eiθz2)2,

deci f = kθ.

Observam ca functia kθ este o ”rotatie” a functiei lui Koebe (3.1),

mai exact

kθ = e−iθk(eiθz).

Teorema 3.3.4 a fost demonstrata de L. Bieberbach ın 1916.

Atunci el a formulat:

Capitolul 3 141

3.3.5. Conjectura lui Bieberbach - Teorema lui de Bran-

ges. Daca f ∈ S si are dezvoltarea ın serie de forma (3.4), atunci

|an| ≤ n, n ∈ 2, 3, . . . si cei mai mari coeficienti ın modul ıi sunt

ai functiilor kθ, θ ∈ R (functia lui Koebe si rotatiile ei).

Aceasta conjectura incitanta a impulsionat cercetarile din dome-

niul teoriei geometrice a functiilor, ducand la obtinerea multor rezul-

tate interesante si la dezvoltarea unor noi metode. Ea a fost ın cele

din urma demonstrata de L. de Branges ın 1984 [Bra]. Mai precis el a

obtinut un rezultat care implica si conjectura lui Bieberbach (se mai

poate vedea [Caz, pag. 35-42]).

3.3.6. Teorema de acoperire (Koebe-Bieberbach). Fie f

din S si w0 un punct ce nu apartine domeniului imagine f(U); atunci

|w0| ≥ 1/4 si |w0| = 1/4 daca si numai daca f = kθ, unde θ verifica

egalitatea w0 = −e−iθ/4.

Demonstratie. Fie f(z) = z + a2z2 + · · · si construim functia

ϕ(z) =w0f(z)

w0 − f(z)= (z + a2z

2 + · · ·)(

1 +z

w0+ · · ·

)=

= z +

(a2 +

1

w0

)z2 + · · ·

Functia ϕ este univalenta si normata, deci ϕ ∈ S. Pe baza Teore-

mei 3.3.4, pentru ϕ si f , rezulta∣∣∣∣a2 +

1

w0

∣∣∣∣ ≤ 2 si |a2| ≤ 2,(3.8)

de unde avem∣∣∣∣

1

w0

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

1

w0+ a2 − a2

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣

1

w0+ a2

∣∣∣∣+ |a2| ≤ 4,

deci |w0| ≥ 1/4.


Daca |w0| = 1/4, atunci ambele inegalitati (3.8) sunt verificate cu

egalitate; din a doua deducem f = kθ, iar prima devine |2eiθ+1/w0| =

2, ea fiind verificata pentru w0 = −14e

−iθ.

Teorema 3.3.6 are urmatoarea interpretare geometrica: discul

U(0; 1/4) este discul maxim cu centrul ın origine care este acope-

rit de imaginea discului unitate prin orice functie din clasa S. Mai

precis

U(0; 1/4) =⋂

f∈S

f(U);

U(0; 1/4) se numeste domeniul lui Koebe al clasei S, iar 1/4 este

constanta lui Koebe a clasei S.

3.3.7. Teorema de acoperire si de deformare. Daca z este

un punct fixat din U si r = |z|, atunci pentru orice f ∈ S au loc

delimitarile exacte

r

(1 + r)2≤ |f(z)| ≤ r

(1 − r)2(3.9)

1 − r

(1 + r)3≤ |f ′(z)| ≤ 1 + r

(1 − r)3(3.10)

1 − r

1 + r≤∣∣∣∣zf ′(z)

f(z)

∣∣∣∣ ≤1 + r

1 − r.(3.11)

Egalitatea ın oricare din delimitarile de mai sus are loc daca si

numai daca f = kθ, pentru o alegere convenabila a lui θ.

Demonstratie. Consideram functia ϕ (numita transformarea lui

Koebe)

ϕ(ζ) =f((ζ + z)/(1 + zζ)) − f(z)

f ′(z)(1 − |z|2) = ζ + b2ζ2 + · · ·(3.12)

Capitolul 3 143

Functia ϕ este olomorfa, univalenta si normata, deci ϕ ∈ S. Un

calcul elementar arata ca

b2 =ϕ′′(0)

2=

1

2

[(1 − |z|2)f ′′(z)

f ′(z)− 2z

].

Din Teorema 3.3.4 avem |b2| ≤ 2, deci

∣∣∣∣∣zf ′′(z)

f ′(z)− 2|z|2

1 − |z|2

∣∣∣∣∣ ≤4|z|

1 − |z|2 =4r

1 − r2(3.13)

de unde deducem usor

2r2 − 4r

1 − r2≤ Re

zf ′′(z)

f ′(z)≤ 2r2 + 4r

1 − r2.(3.14)

Deoarece f este univalenta are loc f ′(z) 6= 0 (z ∈ U) si astfel

putem considera logaritmul lui f ′(z); alegand determinarea log 1 = 0

avem

log f ′(z) = ln |f ′(z)| + i arg f ′(z).

In aceasta egalitate consideram z = reiθ, fixam pe θ si derivam

ın raport cu r (avand ∂z/∂r = z/r)

∂

∂rlog f ′(z) =

1

r

zf ′′(z)

f ′(z)=

∂

∂rln |f ′(z) + i

∂

∂rarg f ′(z).

Obtinem

Rezf ′′(z)

f ′(z)= r

∂

∂rln |f ′(z)|.

Inlocuim aceasta expresie ın (3.14)

2r − 4

1 − r2≤ ∂

∂rln |f ′(z)| ≤ 2r + 4

1 − r2


si apoi integram de la 0 la z si obtinem

ln1 − r

(1 + r)3≤ ln |f ′(z)| ≤ ln

1 + r

(1 − r)3.(3.15)

Din inegalitatile (3.15) rezulta (3.10).

Pentru demonstrarea partii drepte a inegalitatii (3.9) folosim par-

tea dreapta a inegalitatii (3.10) si egalitatea

f(z) =

∫ z

0f ′(ζ)dζ.

Cand ζ parcurge segmentul [0, z], daca notam ζ = ρeiθ, unde

θ = arg z (este constant) si ρ ∈ [0, r], atunci avem

|f(z)| ≤∫ r

0|f ′(ζ)|dρ ≤

∫ r

0

1 + ρ

(1 − ρ)3dρ =

r

(1 − r)2.

Pentru a stabili partea stanga a inegalitatii (3.9) folosim expri-

marea f(z) = Reiϕ. Daca R ≥ 1/4, atunci |f(z)| ≥ 1/4 > r/(1 + r)2.

Presupunem ın continuare caR < 1/4. Atunci (din Teorema 3.3.6)

segmentul Γ = [0, Reiϕ] este inclus ın f(U) si este deci imaginea unui

arc γ din U . Avem

|f(z)| = R =

∫ R

0ds =

∫

Γ

|dw| =

∫

γ

|f ′(ζ)||dζ| ≥

=

∫ r

0

1 − ρ

(1 + ρ)3dρ =

r

(1 + r)2,

unde am folosit partea stanga a inegalitatilor (3.10) pentru ζ = ρrit.

Pentru a demonstra (3.11) utilizam (3.12) cu t = −z:

ϕ(−z) =f(0) − f(z)

f ′(z)(1 − |z|2) ,

Capitolul 3 145

de unde obtinem:

∣∣∣∣zf ′(z)

f(z)

∣∣∣∣ =r

|ϕ(−z)|(1 − r2).

Dar ϕ ∈ S, deci verifica (3.9); rezulta

r

1 − r2(1 − r)2

r≤∣∣∣∣zf ′(z)

f(z)

∣∣∣∣ ≤r

1 − r2(1 + r)2

r

si cu aceasta este stabilita si (3.11).

Presupunem acum ca ın una din inegalitatile (3.10) are loc ega-

litate. Atunci tot egalitate are loc si ın (3.15), (3.14), (3.13), deci

|b2| = 2 si conform Teoremei 3.3.4 ϕ = kθ, cu θ ∈ R ales convenabil.

Revenind la exprimarea transformarii lui Koebe (3.12) pentru z = 0

obtinem

ϕ(ζ) = kθ(ζ) =f(ζ) − f(0)

f ′(0)= f(ζ).

Reciproc, daca f = kθ este o rotatie a functiei lui Koebe potrivita,

atunci ın (3.10) are loc egalitatea.

Deoarece (3.9) si (3.11) se deduc pe baza relatiilor (3.10) rezulta

ca si ın cazul lor au loc egalitati daca si numai daca f = kθ, cu θ

potrivit ales.

3.3.8. Observatii. Notand r1 = r/(1 + r)2 si r2 = r/(1 − r)2,

inegalitatile (3.9) au urmatoarea interpretare geometrica:

U(0; r1) =⋂

f∈S

f(U(0; r)); U(0; r2) =⋃

f∈S

f(U(0; r)).

Pe baza delimitarii superioare din (3.10) se poate deduce usor ca

S este o clasa compacta de functii analitice.


Inegalitatile (3.10) sunt delimitari ale deformarii liniare ın z prin

functiile din clasa S.

Determinarea unghiului de rotatie ın z prin functiile din S este

data de urmatoarea teorema.

3.3.9. Teorema rotatiei (Goluzin). Daca z este un punct fixat

din U si r = |z|, atunci pentru orice f din S are loc delimitarea exacta

| arg f ′(z)| ≤

4 arcsin r, r ≤ 1/√

2,

π + log r2

1−r2 , 1/√

2 < r < 1.

Demonstratia teoremei poate fi gasita ın [Gol, pag. 115].

3.4 Subordonare

Fie f, g ∈ H(U). Spunem ca f este subordonata lui g si notam

f ≺ g sau f(z) ≺ g(z),

daca exista o functie ϕ din H(U) astfel ıncat ϕ(0) = 0, |ϕ(z)| < 1,

z ∈ U si f = g ϕ.

3.4.1. Proprietate. Daca f ≺ g, atunci f(U r) ⊆ g(U r), pentru

orice r ∈ (0, 1) si f(U) ⊆ g(U), unde U r = z; |z| ≤ r.Demonstratia acestei proprietati rezulta din definitia subordonarii

si din faptul ca ϕ este o functie ce verifica conditiile Lemei lui Schwarz

2.5.1, deci |ϕ(z)| ≤ |z|, z ∈ U .

3.4.2. Teorema. Fie f, g ∈ H(U) si presupunem ca g este uni-

valenta. Atunci

f ≺ g ⇔ f(0) = g(0) si f(U) ⊆ g(U).

Capitolul 3 147

Demonstratie. Fie f, g ∈ H(U), cu f(0) = g(0) si f(U) ⊆ g(U).

Deoarece g este univalenta rezulta ca exista g−1 ∈ H(g(U)). Definim

ϕ din H(U) prin ϕ(z) = g−1(f(z)) (definirea este posibila deoarece

f(U) ⊆ g(U)). Dar g−1(g(U)) = U , deci |ϕ(z)| < 1 si f(z) = g(ϕ(z)).

In plus f(0) = g(0) implica ϕ(0) = 0.

Implicatia inversa rezulta imediat din definitia subordonarii si din

3.4.1.

3.4.3. Principiul subordonarii. Fie g ∈ Hu(U) si f ∈ H(U).

Daca f(0) = g(0) si f(U) ⊆ g(U), atunci f(Ur) ⊂ g(Ur), r ∈ (0, 1).

Egalitatea f(Ur) = g(Ur) pentru un r ∈ (0, 1) are loc daca si numai

daca f(z) = g(eiθz), z ∈ U, θ ∈ R, deci daca f(U) = g(U).

Demonstratie. Din ipoteza si 3.4.2 rezulta f ≺ g, iar 3.4.1 im-

plica f(Ur) ⊆ g(Ur).

Daca f(Ur) = g(Ur), atunci ϕ(Ur) = g−1(f(Ur)) = g−1(g(Ur)) =

Ur si de aici rezulta ca exista cel putin un z0 astfel ca |ϕ(z0)| = |z0|,deci ϕ(z) = eiθz, z ∈ U conform Lemei lui Schwarz.

3.4.4. Definitie. Numim clasa functiilor cu partea reala pozitiva

multimea

P = p ∈ H(U); p(0) = 1, Re p(z) > 0, z ∈ U.

Observam ca

p ∈ P ⇔ p(z) ≺ 1 + z

1 − z.

3.4.5. Proprietate. Fie p ∈ P, a(r) = (1 + r2)/(1 − r2) si

ρ(r) = 2r/(1 − r2), r ∈ (0, 1). Atunci

p(U r) ⊆ U(a(r), ρ(r))


si egalitatea are loc pentru un r ∈ (0, 1) daca si numai daca

p(z) =1 + eiθz

1 − eiθz, z ∈ U, θ ∈ R.

Demonstratie. Fie functia omografica h(z) = (1 + z)/(1 − z).

Atunci h(U r) = U(a(r), ρ(r)) (este discul cu centrul ın a(r) si raza

ρ(r)) si proprietatea rezulta din principiul subordonarii 3.4.3.

3.4.6. Consecinta. Daca p ∈ P, pemtru z ∈ U , cu |z| = r, au

loc delimitarile exacte

1 − r

1 + r≤ |p(z)| ≤ 1 + r

1 − r

1 − r

1 + r≤ Re p(z) ≤ 1 + r

1 − r.

In continuare sunt prezentate cateva clase speciale de functii uni-

valente cu proprietati geometrice remarcabile.

3.5 Functii stelate

Functia f din H(U) se numeste stelata ın U daca este univalenta,

f(0) = 0 si f(U) este un domeniu stelat ın raport cu originea, adica

w ∈ f(U), t ∈ [0, 1) ⇒ tw ∈ f(U).(3.16)

3.5.1. Teorema. Fie f ∈ H(U); f este stelata ın U daca si

numai daca f(0) = 0, f ′(0) 6= 0 si

Rezf ′(z)

f(z)> 0, z ∈ U.(3.17)

Capitolul 3 149

Demonstratie. a) Fie f stelata ın U . Din (3.16) si principiul

subordonarii 3.4.3 rezulta ca

tf(z); |z| < r ⊆ f(z); |z| < r = f(Ur), t ∈ [0, 1], r ∈ (0, 1)

deci domeniul f(Ur) este de asemenea stelat. Daca γr este cercul cu

centrul ın origine si raza r, atunci Γr = f(γr) este frontiera domeniu-

lui f(Ur), deci este o curba stelata ın raport cu originea. Din conside-

rente geometrice (v. si Fig.3.1), daca z = reiθ, atunci ϕ = arg f(reiθ)

este o functie crescatoare de θ, θ ∈ [0, 2π), deci

∂ϕ/∂θ > 0, θ ∈ [0, 2π).(3.18)

z = reiθ

1rO

γr

O

ϕ

w = f(z)

Fig.3.1.

Dar

∂

∂θlog f(reiθ) =

∂

∂θln |f(reiθ)| + i

∂

∂θarg f(reiθ),


∂

∂θlog f(reiθ) = (log f(z))′z

∂reiθ

∂θ=f ′(z)

f(z)iz,

de unde obtinem egalitatea

Rezf ′(z)

f(z)=

∂

∂θarg f(z), z = reiθ.(3.19)

Din (3.19) si (3.18) rezulta (3.17), iar din definitia stelaritatii lui

f si 3.1.2 rezulta f(0) = 0 si f ′(0) 6= 0.

b) Presupunem ca f verifica (3.17), f(0) = 0 si f ′(0) = 1. Din

(3.17) si (3.19) rezulta ca arg f(reiθ) este o functie crescatoare de θ,

θ ∈ [0, 2π), iar ordinul functiei f ın orice Ur ([HMN, p. 135-136])

este 1, deoarece z = 0 este radacina simpla a ecuatiei f(z) = 0 (cum

rezulta din f(0) = 0, f ′(0) 6= 0). Din Teorema variatiei argumen-

tului ([HMN, p. 136-137]) rezulta ca Γr este o curba simpla ınchisa

(imaginea prin f a lui γr ocoleste o singura data originea) si aceasta

proprietate are loc pentru orice r din (0, 1). Obtinem astfel ca f este

univalenta ın U (v. si [Pomm, p. 13]).

Din considerente geometrice analoge cu cele de la punctul a), din

(3.17) rezulta stelaritatea oricarui domeniu f(Ur), r ∈ (0, 1). Deci f

este stelata ın U .

3.5.2. Observatie. Teorema precedenta poate fi enuntata si ın

urmatoarea forma: Fie f ∈ H(U); f este stelata ın U daca si numai

daca p(z) = zf ′(z)/f(z) ∈ P.

Demonstratia acestui rezultat se face la fel cu demonstratia Teo-

remei 3.5.1, cu urmatoarele completari: La punctul a), deoarece

f(0) = 0 si f ′(0) 6= 0 rezulta p ∈ H(U) si p(0) = 0; ımpreuna cu

(3.17) implica p ∈ P.

La punctul b) mai trebuie verificat ca f(0) = 0 si f ′(0) 6= 0.

Din p ∈ P rezulta f(z) 6= 0, z ∈ U \ 0, caci ın caz contrar p ar

Capitolul 3 151

avea poli. Apoi deoarece p(0) = 1 obtinem f(0) = 0. Inseamna ca

f(z) = amzm + · · ·, unde m ≥ 1. Avem

p(z) =zf ′(z)

f(z)=

mamzm + · · ·

amzm(1 + · · ·) = m+ p1z + · · · ,

iar p(0) = 1 implica m = 1, de unde obtinem f(z) = a1z + · · ·, deci

f ′(0) 6= 0.

3.5.3. Definitie. Numim clasa functiilor stelate multimea

functiilor din S care sunt stelate si notam aceasta clasa cu S∗.

Din Teorema 3.5.1 obtinem

S∗ = f ∈ H(U); f(0) = 0, f ′(0) = 1, Rezf ′(z)

f(z)> 0, z ∈ U.

3.5.4. Daca f ∈ H(U), atunci conditia zf ′(z)/f(z) ∈ P este o

conditie suficienta de univalenta. De asemenea, daca f ∈ A (v. (3.2)),

atunci (3.17) este o conditie suficienta de univalenta.

3.6 Functii convexe

Functia f din H(U) se numeste convexa ın U daca este univalenta

ın U si daca f(U) este un domeniu convex.

3.6.1. Teorema. Functia f din H(U) este convexa daca si numai

daca f ′(0) 6= 0 si

Rezf ′′(z)

f ′(z)+ 1 > 0, z ∈ U.(3.20)

In plus, daca f este convexa, atunci

Re

[2zf ′(z)

f(z) − f(ζ)− z + ζ

z − ζ

]≥ 0, ∀ z, ζ ∈ U.(3.21)


Demonstratie. a) Fie f convexa. Aratam ca Γr = f(γr), unde

γr = z; |z| = r, r ∈ (0, 1), este convexa.

Fie z1, z2 ∈ U astfel ca |z1| ≤ |z2| < r; atunci

tf

(z1z2

· z)

+ (1 − t)f(z) ∈ f(Ur), z ∈ U, t ∈ [0, 1].(3.22)

Din principiul subordonarii 3.4.3 obtinem si

tf(z1) + (1 − t)f(z2) ∈ f(Ur).(3.23)

(Observam ca membrul stang din (3.23) se obtine din membrul

stang din (3.22) pentru z = z2.) Conditia (3.23) este tocmai conditia

de convexitate a lui f(Ur), deci Γr, care este frontiera lui f(Ur), este

convexa.

Notam

g(z, ζ) =2zf ′(z)

f(z) − f(ζ)− z + ζ

z − ζ, z, ζ ∈ U.(3.24)

Functia g este olomorfa ın raport cu fiecare variabila deoarece f

este univalenta si

limζ→z

g(z, ζ) = 1 +zf ′′(z)

f ′(z), z ∈ U.(3.25)

Intr-adevar

limζ→z

g(z, ζ) = limζ→z

2zf ′(z)(z − ζ) − (z + ζ)[f(z) − f(ζ)]

(z − ζ)[f(z) − f(ζ)]=

= limζ→z

−2zf ′(z) − [f(z) − f(ζ)] + (z + ζ)f ′(ζ)

−f(z) + f(ζ) − (z − ζ)f ′(ζ)=

Capitolul 3 153

= limζ→z

2f ′(ζ) + (z + ζ)f ′′(ζ)

2f ′(ζ) − (z − ζ)f ′′(ζ)= 1 +

zf ′′(z)

f ′(z).

Din convexitatea curbei Γr rezulta ca (v. Fig.3.2) arg[f(reit)−−f(reiθ)] este o functie crescatoare ın raport cu t ∈ (θ, θ + 2π) si de

aici∂

∂targ[f(reiθ) − f(reiθ)] ≥ 0, t ∈ (θ, θ + 2π).

6

-

f(reit)

f(reiθ)

OO

γr

Fig.3.2.

Pentru z = reiθ 6= ζ = reit avem

∂

∂targ[f(ζ) − f(z)] = Re

[i∂

∂tlog

zf ′(z)

f(ζ) − f(z)

]=

= Re

[i∂

∂ζlog

zf ′(z)

f(ζ) − f(z)· iζ]

= Reζf ′(ζ)

f(ζ) − f(z)≥ 0, ζ 6= z.

Obtinem de aici

Rezf ′(z)

f(z) − f(ζ)≥ 0, |ζ| = |z| = r, ζ 6= z.(3.26)


De asemenea pentru z = reiθ 6= ζ = reit avem

z + ζ

z − ζ=eit(ei(θ−t) + 1)

eit(ei(θ−t) − 1)=

cos θ−t2

i sin θ−t2

= −ictg θ − t

2,

de unde

Rez + ζ

z − ζ= 0, |z| = |ζ| = r, z 6= ζ.(3.27)

Din (3.24)-(3.27) rezulta Re g(z, ζ) ≥ 0, |z| = |ζ| = r < 1.

Aplicam principiul extremumului pentru functii armonice ([Cha, pag.

290]) pentru |z| < r, apoi pentru |ζ| < r si obtinem Re g(z, ζ) ≥ 0

pentru z, ζ ∈ Ur. Cerem acum ca r → 1 si avem

Re g(z, ζ) ≥ 0, z, ζ ∈ U,(3.28)

care este tocmai (3.21).

Combinam acest ultim rezultat cu (3.25) si obtinem ın final (3.20).

In (3.20) nu poate avea loc egalitatea cu zero tot datorita principiului

extremumului.

b) Invers, presupunem ca f ′(0) 6= 0 si este ındeplinita inegalitatea

(3.20). Considerand din nou curba Γr = g(γr), unde γr este cercul cu

centrul ın origine si de raza r ∈ (0, 1), observam ca unghiul tangentei

la Γr ın w = f(reiθ) este

ψ(θ) =π

2+ arg zf ′(z) =

π

2+ θ + arg f ′(reiθ), θ ∈ [0, 2π),

deoarece se obtine prin rotirea tangentei la γr ın z, care face unghiul

θ + π2 , cu unghiul de rotatie arg f ′(reiθ) (v. Fig.3.3).

Avem

ψ′(θ) = 1 +∂

∂θ[Im log f ′(reiθ)] = 1 + Im

[f ′′(reiθ)

f ′(reiθ)· ireiθ

]

Capitolul 3 155

de unde, din (3.20),

ψ′(θ) = 1 + Rereiθf ′′(reiθ)

f ′(reiθ)> 0

si aceasta inegalitate arata ca unghiul tangentei este o functie

crescatoare de θ.

-

6

I

ψ

f(z)

Γr

O

θ

O r

γr

z = reiθ

Fig.3.3.

Din considerente geometrice obtinem ca Γr este convexa, pentru

orice r ∈ (0, 1), deci si f(U) este o multime convexa.

Tot din (3.20) si din conditia f ′(0) 6= 0 rezulta ca f ′ nu are zerouri

ın U . Integrand avem

∫ 2π

0ψ′(θ)dθ =

∫ 2π

0dθ + Re

∫

|z|=r

−if′′(z)

f ′(z)dz = 2π,

deci cand z parcurge γr, unghiul tangentei ψ la Γr creste cu 2π, ceea

ce ınseamna ca f este univalenta pe γr, r ∈ (0, 1) si la fel ca la 3.5.1

rezulta ca f este univalenta ın U .


Univalenta ın U a functiei f si convexitatea domeniului imagine

f(U) arata ca f este convexa.

3.6.2. Observatie. Teorema 3.6.1 are loc daca si numai daca se

ınlocuiesc conditiile f ′(0) 6= 0 si (3.20) cu conditia

p(z) = 1 +zf ′′(z)

f ′(z)∈ P.(3.29)

3.6.3. Definitie. Numim clasa functiilor convexe multimea

functiilor din S care sunt convexe si notam aceasta clasa cu Sc.

Din Teorema 3.6.1 obtinem

Sc = f ∈ H(U); f(0) = 0, f ′(0) = 1, Rezf ′′(z)

f ′(z)+ 1 > 0, z ∈ U.

Daca f ∈ H(U), atunci (3.29) este o conditie suficienta de

univalenta. Daca f ∈ A, atunci (3.20) este de asemenea o conditie

suficienta de univalenta.

3.6.4. Teorema de dualitate a lui Alexander ([Ale]). Fie

f ∈ A si g(z) = zf ′(z); atunci f ∈ Sc daca si numai daca g ∈ S∗.

Demonstratia este imediata daca se folosesc teoremele 3.5.1 si

3.6.1.

Fie operatorul integral IA : A→ A, f = IA(g), g ∈ A, unde

f(z) =

∫ z

0

g(t)

tdt, z ∈ U.

Operatorul IA este numit operatorul lui Alexander. Cu ajutorul

lui, Teorema 3.6.4 se poate reformula astfel: Sc = Ia(S∗) si IA sta-

bileste o bijectie ıntre S∗ si Sc.

Intre S∗ si Sc se pot stabili si alte relatii, cum este cea din Teo-

rema lui A. Marx si E. Strohhacker ([Marx], [Str]): Daca f ∈ A,

Capitolul 3 157

atunci

Rezf ′′(z)

f ′(z)+ 1 > 0, z ∈ U ⇒ Re

zf ′(z)

f(z)>

1

2, z ∈ U.(3.30)

Implicatia (3.30) este demonstrata la 3.9.7.c. In particular, din

(3.30) se deduce ca Sc ⊂ S∗.

Notand p(z) = zf ′(z)/f(z), ın limbajul subordonarilor implicatia

(3.30) devine

p(z) +zp′(z)

p(z)≺ 1 + z

1 − z⇒ p(z) ≺ 1

1 − z.(3.31)

Fie operatorul diferential Dn : A→ A, n ∈ N = 0, 1, . . . definit

de

D0f(z) = f(z), D1f(z) = Df(z) = zf ′(z),(3.32)

Dnf(z) = D(Dn−1f(z)).

In anumite situatii acest operator permite studierea simultana a

functiilor stelate si convexe, precum si a unor subclase ale acestora,

deoarece inegalitatea

ReDn+1f(z)

Dnf(z)> 0, z ∈ U

este relatia (3.17) pentru n = 0 si (3.20) pentru n = 1 (v. de ex.

[Sal]).


3.7 Functii α-convexe (functii Mocanu)

Fie α un numar real dat. Functia f din A se numeste α-convexa

([Moc]) daca

Re

[(1 − α)

zf ′(z)

f(z)+ α

(zf ′′(z)

f ′(z)+ 1

)]> 0, z ∈ U.(3.33)

Folosind notatiile de la 3.6 si 3.7 din punct de vedere geometric

relatia (3.33) arata ca unghiul

χα(θ) = (1 − α)ϕ(θ) + αψ(θ) = ϕ(θ) + α[ψ(θ) − ϕ(θ)],

pe care ıl face cu semiaxa reala pozitiva vectorul cu originea ın f(reiθ)

si care ımparte unghiul dintre raza vectoare si tangenta la Γr ın

f(reiθ) ın raportul α este o functie crescatoare ın raport cu θ ∈ [0, 2π).

Daca notam cu Mα clasa functiilor α-convexe, din (3.33) deducem

M0 = S∗, M1 = Sc. Au loc si urmatoarele teoreme

3.7.1. Teorema ([MMR]). Pentru orice α real Mα ⊆ M0 = S∗.

In plus Mα ⊂Mβ, oricare ar fi β cuprins ıntre α si 0.

3.7.2. Teorema ([Moc]). Daca α ≥ 0 si f ∈ A, atunci f ∈ Mα

daca si numai daca g ∈ S∗, unde

g(z) = f(z)

(zf ′(z)

f(z)

)α

.

Teorema 3.7.1 arata ca pentru α ∈ [0, 1], α-convexitatea este o

proprietate intermediara intre stelaritate si convexitate, fiind o trecere

continua de la una la cealalta.

Capitolul 3 159

3.8 Functii aproape convexe

Functia f din A se numeste aproape convexa daca exista o functie

g ∈ Sc astfel ıncat

Ref ′(z)

g′(z)> 0, z ∈ U.(3.34)

Clasa functiilor aproape convexe se noteaza cu K.

Din 3.1.3 rezulta ca functiile aproape convexe sunt univalente,

mai precis K ⊂ S.

Din Teorema de dualitate a lui Alexander 3.6.4 o functie f din A

este din K daca si numai daca exista o functie h din S∗ astfel ıncat

Rezf ′(z)

h(z)> 0, z ∈ U.

De aici deducem ca S∗ ⊂ K.

Alte proprietati ale claselor Sc, S∗,K,Mα, S pot fi gasite ın

[Pomm], [Good], [Gol], [Caz], [Dur]. In [Pomm] sunt prezentate si

functii stelate sau convexe ın U− (exteriorul discului unitate).

3.9 Subordonari diferentiale

Dupa cum s-a putut observa, o serie de probleme din cadrul teo-

riei geometrice a functiilor complexe contin subordonari diferentiale.

Pentru asemenea probleme P.T. Mocanu si S.S. Miller au pus bazele

unei noi metode - metoda subordonarilor diferentiale (cunoscuta si

sub numele de metoda functiilor admisibile). Aceasta metoda are un

mare merit atat ın demonstrarea mult mai simpla a unor rezultate

cunoscute deja si sistematizarea acestora, cat si ın obtinerea multor

rezultate noi ([MiMo], [MiMo1], [MiMo2], s.a.).


Fie Ω si ∆ doua submultimi ale planului complex C, fie p ∈ H(U)

cu proprietatea p(0) = a si fie F : C3 × U → C. Metoda este utiliza-

bila ın rezolvarea a trei probleme privind implicatia

F (p(z), zp′(z), z2p′′(z); z); z ∈ U ⊆ Ω ⇒ p(U) ⊆ ∆.(3.35)

Aceste probleme sunt:

Problema 1. Fiind date Ω si ∆, sa se gaseasca conditii asupra

functiei F astfel ca (3.35) sa aiba loc. O astfel de functie F se numeste

functie admisibila.

Problema 2. Fiind date F si Ω sa se determine ∆ astfel ca (3.35)

sa aiba loc. De obicei este important sa se determine ”cea mai mica”

multime ∆ cu aceasta proprietate.

Problema 3. Fiind date F si ∆ sa se gaseasca Ω astfel ıncat

sa aiba loc (3.35). Se cauta ”cea mai mare” multime Ω cu aceasta

proprietate.

Daca ∆ si Ω sunt domenii simplu conexe din C diferite de C

si a ∈ ∆, atunci (v. Teorema 3.2.1) exista reprezentarile conforme

q, h ∈ H(U), q(U) = ∆, q(0) = a, h(U) = Ω, h(0) = F (a, 0, 0; 0)

astfel ıncat cand F este olomorfa implicatia (3.35) se poate scrie cu

subordonari

F (p(z), zp′(z), z2p′′(z); z) ≺ h(z) ⇒ p(z) ≺ q(z).(3.36)

3.9.1. Definitie. Fie F : C3 × U → C si h ∈ Hu(U). Daca

p ∈ H(U) satisface subordonarea

F (p(z), zp′(z), z2p′′(z); z) ≺ h(z),(3.37)

atunci p se numeste solutie a subordonarii diferentiale (3.37). Functia

q ∈ Hu(U) se numeste dominanta a subordonarii diferentiale daca

Capitolul 3 161

p ≺ q oricare ar fi p care satisface (3.37). Dominanta q cu proprietatea

q ≺ q oricare ar fi dominanta q pentru (3.37) se numeste cea mai

buna dominanta a subordonarii diferentiale. Ea este unica, abstracttie

facand de o rotatie ın U .

Metoda subordonarilor diferentiale se bazeaza pe trei leme (v.

[MiMo]); prezentam aici una dintre ele.

3.9.2. Lema. Fie f(z) = anzn+an+1z

n+1+· · · o functie continua

pe U r0 si olomorfa pe Ur0 ∪ z0, 0 < |z0| = r0 < 1, cu f(z) 6≡ 0 si

n ≥ 1. Daca |f(z0)| = max|f(z)|; z ∈ U r0, atunci exista m ≥ n

astfel ıncat

(i) z0f′(z0)/f(z0) = m si

(ii) Re [z0f′′(z0)/f

′(z0)] + 1 ≥ m.

Demonstratia proprietatii (i) este atribuita lui J. Jack [Jac], iar

(ii) se datoreaza lui S.S. Miller si P.T. Mocanu [MiMo]. Lema se

gaseste si ın [HMN, pag. 103-105].

3.9.3. Definitie. Fie Q clasa functiilor q olomorfe si injective ın

U \ E(q), unde E(q) = ζ; |ζ| = 1 si limz→ζ

q(z) = ∞ si astfel ıncat

q′(ζ) 6= 0 pentru ζ ∈ U \ E(q).

Fie Ω ⊂ C, q ∈ Q si n ∈ N∗ = N \ 0. Definim clasa functiilor

admisibile Fn[Ω, q] drept multimea acelor functii F : C3 × U → C

care satisfac urmatoarea conditie de admisibilitate:

F (r, s, t; z) 6∈ Ω cand r = q(ζ), s = mζq′(ζ)

Re [1 + t/s] ≥ mRe [1 + ζq′′(ζ)/q′(ζ)] si z ∈ U,pentru ζ ∈ C \E(q), |ζ| = 1 si m ≥ n.

(3.38)

Daca Ω 6= C este un domeniu simplu conex si h ∈ Hu(U), h(U) =

Ω, atunci clasa functiilor admisibile o notam cu Fn[h, q].


3.9.4. Teorema. Fie F ∈ Fn[Ω, q] si q(0) = a. Daca p ∈ H(U),

p(z) = a+ pnzn + · · · si satisface conditia

F (p(z), zp′(z), z2p′′(z); z) ∈ Ω, z ∈ U,

atunci p ≺ q.

3.9.5. Teorema. Fie F ∈ Fn[h, q], cu q(0) = a si

F (a, 0, 0; 0) = h(0). Daca p ∈ H(U), p(z) = a + pnzn + · · ·,

F (p(z), zp′(z), z2p′′(z); z) este olomorfa ın U si

F (p(z), zp′(z), z2p′′(z); z) ≺ h(z),

atunci p ≺ q.

Teoremele 3.9.4 si 3.9.5 sunt demonstrate ın [MiMo], [MiMo2]. Ele

au particularizari importante. Prezentam o asemenea particularizare

ın cazul ın care q(U) este semiplanul drept P = z ∈ C; Re z > 0.Functia q(z) = (a + az)/(1 − z) cu Re a > 0 are proprietatile

q(U) = P si q(0) = a. Avem E(q) = 1 si q ∈ Q. Particularizam

conditia de admisibilitate (3.38): cand |ζ| = 1, ζ 6= 1 avem r = q(ζ) =

iσ, σ ∈ R, s = 2mRe aζ(1 − ζ)−2. Dar din iσ = (1 + aζ)/(1 − ζ)

obtinem ζ = (iσ − a)/(iσ + a) si 1 − ζ = 2Re a/(iσ + a), deci

s = 2mRe a · iσ − a

iσ + a· (iσ + a)2

4(Re a)2= −m |a− iσ|2

2Re a≤ −n|a− iσ|2

2Re a.

De asemenea avem Re [1+ζq′′(ζ)/q′(ζ)] = 0, deci Re (1+t/s) ≥ 0,

de unde Re [(s + t)/s] ≥ 0 devine s + Re t ≤ 0. Astfel conditia de

admisibilitate ia formaF (iσ, τ, µ + iν; z) 6∈ Ω, z ∈ U,

σ, τ, µ, ν ∈ R, τ = −n|a−iσ|2

2Re a, τ + µ ≤ 0.

(3.39)

Capitolul 3 163

Continuam particularizarile; astfel a = 1 si h(z) = q(z) =

= (1 + z)/(1 − z). Atunci Ω = ∆ = P (semiplanul drept) si din

Teorema 3.9.5 si conditia (3.39) obtinem urmatoarea consecinta:

3.9.6. Consecinta. Fie F : C3 × U → C, F (1, 0, 0; 0) = 1,

Re F (iσ, τ, µ + iν; z) ≤ 0 cand z ∈ U , σ, τ, µ, ν ∈ R, τ ≤≤ −n(1 + σ2)/2, τ + µ ≤ 0, n ≥ 1.

Fie p ∈ H(U), p(z) = 1 + pnzn + · · ·. Are loc implicatia

Re F (p(z), zp′(z), z2p′′(z); z) > 0 ⇒ Re p(z) > 0, z ∈ U.

3.9.7. Exemple. a) Fie F (r, s, t; z) = r + s + t. Avem

F (1, 0, 0; 1) = 1 si Re F (iσ, τ, µ + iν; z) = τ + µ ≤ 0. Astfel daca

p(z) = 1 + p1z + · · · ∈ H(U), atunci (v. 3.9.6)

Re [p(z) + zp′(z) + z2p′′(z)] > 0 ⇒ Re p(z) > 0.

b) Fie F (r, s, t; z) = t + 3s − r2 + 2. Avem F (1, 0, 0; 0) = 1 si

Re F (iσ, τ, µ + iν; z) = µ + 3τ + σ2 + 2 = µ + τ + 2τ + σ2 + 2 ≤−2n(1 + σ2)/2 + σ2 + 2 = 2 − n+ (1 − n)σ2 < 0 pentru n ≥ 2. Deci

F ∈ F2[h, q], unde h(z) = q(z) = (1 + z)/(1 − z). Din 3.9.6 obtinem

ca daca p ∈ H(U), p(z) = 1 + p2z2 + · · ·, atunci

Re [z2p′′(z) + 3zp′(z) − p2(z) + 2] > 0 ⇒ Re p(z) > 0.

c) Vom demonstra rezultatul clasic al lui A. Marx si E.

Strohhacker (3.30). Definim p ∈ H(U) prin

p(z) = 2

(zf ′(z)

f(z)− 1

2

), z ∈ U.(3.40)


Deoarece f ∈ A, rezulta p(z) = 1+p1z+· · ·. Prin derivarea relatiei

(3.40) dupa rescrierea sub forma

f(z)p(z) = 2zf ′(z) − f(z)

obtinem

f ′(z)p(z) + f(z)p′(z) = 2zf ′′(z) + f ′(z),

de unde

p(z) +zp′(z)zf ′(z)f(z)

= 2zf ′′(z)

f ′(z)+ 1

si folosind din nou (3.40) deducem

p(z) + 1

2+

zp′(z)

p(z) + 1=zf ′′(z)

f ′(z)+ 1.(3.41)

Alegem functia F (r, s, t; z) = r+12 + s

r+1 . Avem F (1, 0, 0; 0) = 1 si

Re F (iσ, τ, µ + iν; z) =1

2+ τRe

1

iσ + 1=

=1

2+

τ

1 + σ2≤ 1

2− n

2≤ 0,

pentru n ∈ N∗.

Functia F este deci admisibila si din 3.9.6 obtinem

Re

[p(z) + 1

2+

zp′(z)

p(z) + 1

]> 0 ⇒ Re p(z) > 0, z ∈ U

si aceasta implicatie, conform relatiilor (3.40) si (3.41) este tocmai

(3.30).

3.9.8. Subordonari diferentiale de tip Briot-Bouquet. Fie

β, γ ∈ C, h ∈ Hu(U), p ∈ H(U) de forma p(z) = h(0) + p1z + · · · si

care satisface

p(z) +zp′(z)

βp(z) + γ≺ h(z).(3.42)

Capitolul 3 165

Subordonarea de mai sus se numeste de tip Briot-Bouquet.

Folosind metoda subordonarilor diferentiale s-au obtinut multe

rezultate interesante privind subordonarile de forma (3.42) sau

generalizari ale lor (v. [MiMo], [EMMR], etc.).

3.9.9. Teorema. Fie h convexa ın U , cu Re [βh(z)+γ] > 0, z ∈U . Daca p ∈ H(U), p(0) = h(0) si p satisface (3.42), atunci p ≺ h.

3.9.10. Teorema. Fie h convexa ın U si presupunem ca ecuatia

diferentiala

q(z) +zq′(z)

βq(z) + γ= h(z), q(0) = h(0),

are o solutie univalenta q, care satisface q ≺ h. Daca p ∈ H(U) si

satisface (3.42), atunci p ≺ q si q este cea mai buna dominanta (v.

Definitia 3.9.1).

Pe baza acestei ultime teoreme rezultatul lui A. Marx si E.

Strohhacker sub forma (3.31) se obtine ca o simpla verificare, luand

h(z) = (1 + z)/(1 − z), q(z) = 1/(1 − z), β = 1 si γ = 0.

3.10 Functii cu coeficienti negativi

Am vazut (Teorema 3.3.5 Bieberbach - de Branges) ca daca f ∈S si are dezvoltarea Taylor (3.4), adica

f(z) = z +∞∑

n=2

anzn, z ∈ U,

atunci |an| ≤ n (n ∈ N, n ≥ 2). Deci aceasta conditie asupra

coeficientilor apare ca o conditie necesara de apartenenta la clasa

S. Vom determina usor o conditie asupra coeficientilor care sa fie

suficienta pentru apartenenta la S.


Fie z1, z2 ∈ U, z1 6= z2; avem

f(z2) − f(z1) = z2 − z1 +∞∑

n=2

(zn2 − zn

1 )an =

= (z2 − z1)

[1 +

∞∑

n=2

(zn−12 + zn−2

2 z1 + · · · + zn−11 )an

]6= 0

daca 1 −∞∑

n=2n|an|rn−1 > 0, pentru |z1| ≤ r, |z2| ≤ r.

Deci conditia∞∑

n=2

n|an| ≤ 1(3.43)

este suficienta pentru ca f de forma (3.4) sa apartina lui S.

Observam ca deoarece

Re f ′(z) = 1 +∞∑

n=2

nRe anzn−1 ≥ 1 −

∞∑

n=2

n|an|rn−1

ındeplinirea conditiei (3.43) implica Re f ′(z) > 0, z ∈ U , care este

de asemenea o conditie suficienta de univalenta (v. Corolarul 3.1.4).

Pe de alta parte

∣∣∣∣zf ′(z)

f(z)− 1

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

∞∑n=2

(n− 1)anzn−1

1 +∞∑

n=2anzn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣≤

∞∑n=2

(n− 1)|an|

1 −∞∑

n=2|an|

,

iar∞∑

n=2(n − 1)|an|

1 −∞∑

n=2|an|

≤ 1 ⇔∞∑

n=2

n|an| ≤ 1,

Capitolul 3 167

deci (3.43) implica

∣∣∣∣zf ′(z)

f(z)− 1

∣∣∣∣ ≤ 1, z ∈ U,(3.44)

ceea ce ınseamna ca zf ′(z)/f(z) ∈ U(1; 1), z ∈ U , de unde rezulta

Re [zf ′(z)/f(z)] > 0. De aici avem ca (3.43) implica f ∈ S∗, cu alte

cuvinte conditia (3.43) este suficienta pentru apartenenta la S∗.

In cele ce urmeaza vom considera o clasa pentru care (3.43) este

si o conditie necesara. Notam cu T submultimea functiilor f din S

de forma

f(z) = z −∞∑

n=2

anzn, an ≥ 0, n ∈ N2 = N \ 0, 1, z ∈ U.(3.45)

Daca (3.43) nu ar fi ındeplinita pentru f din T , atunci f ′(r) =

1−∞∑

n=2nanr

n−1 < 0 pentru r suficient de apropiat de 1. Din f ′(0) = 1

rezulta ca exista un r0 ∈ (0, 1) astfel ıncat f ′(r0) = 0; dar acest fapt

contrazice univalenta functiei f .

Am obtinut astfel ca pentru f de forma (3.45) conditia (3.43) este

necesara pentru apartenenta la T . Fiind suficienta pentru apartenenta

la S, ımpreuna cu (3.45) ea este suficienta si pentru apartenenta la

T .

Notam

T ∗ = T ∩ S∗ = f ∈ T ; f ∈ S∗

T ∗d = f ∈ T ; |zf ′(z)/f(z) − 1| < 1, z ∈ U.

Evident ca T ∗d ⊆ T ∗ (v. Teorema 3.5.1). Am mai obtinut ca

(3.43) este o conditie suficienta de apartenenta la T ∗d si T ∗ (v. (3.44)).

Aratam ca este si necesara pentru apartenenta la T ∗ (deci si la T ∗d ).


Fie f ∈ T ∗; atunci

Rezf ′(z)

f(z)= Re

1 −∞∑

n=2nanz

n−1

1 −∞∑

n=2anzn−1

> 0, z ∈ U,

de unde avem

limz→1

z∈(0,1)

Rezf ′(z)

f(z)=

1 −∞∑

n=2nan

1 −∞∑

n=2an

≥ 0

si aceasta implica (3.43).

De asemenea daca f este de forma (3.45) si Re f ′(z) > 0, atunci

are loc (3.43).

Am demonstrat astfel urmatoarea teorema.

3.10.1. Teorema. Pentru f cu dezvoltarea ın serie Taylor (3.45)

urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i)∞∑

n=2nan ≤ 1; (ii) f ∈ T ; (iii) f ∈ T ∗;

(iv) f ∈ T ∗d ; (v) f ′(z) 6= 0, z ∈ U ; (vi) Re f ′(z) > 0, z ∈ U .

Functiile extremale sunt f(z) = z − zn/z.

Clasa T ∗ a functiilor stelate cu coeficienti (ai dezvoltarii ın serie

Taylor) negativi a fost definita si studiata de H. Silverman [Sil]. In

aceeasi lucrare este definita si studiata clasa T∩Sc a functiilor convexe

cu coeficienti negativi. Rezultate referitoare la aceste clase si mai ales

o serie de probleme deschise sunt prezentate ın [Sil1].

Capitolul 3 169

3.11 Functii n-stelate de ordin α si tip β

In 3.6 am vazut ca utilizand operatorul Dn definit de (3.32) ın

anumite situatii functiile stelate si convexe pot fi studiate simultan.

In cele ce urmeaza sunt prezentate clase de functii definite cu ajutorul

acestui operator si care sunt generalizari ale claselor de functii stelate

sau convexe cu coeficienti negativi.

Definitie. Fie α ∈ [0, 1), β ∈ (0, 1] si n ∈ N. Definim clasa

Sn(α, β) a functiilor n-stelate de ordin α si tip β prin

Sn(α, β) = f ∈ A; |J(f, n, α; z)| < β,

unde

J(f, n, α; z) =Dn+1f(z) −Dnf(z)

Dn+1f(z) + (1 − 2α)Dnf(z), z ∈ U.

Observam ca S0(0, 1) = S∗, S1(0, 1) = Sc. S0(α; 1) si S1(α; 1) sunt

clasa functiilor stelate, respectiv convexe, de ordin α. Clasa Sn(α, β)

a fost definita si studiata ın [Sal], iar unele proprietati ale ei sunt

evidentiate si ın [Sal2]. Astfel ın [Sal] este aratat, printre altele, ca

Sn(α, β) ⊂ Sn(α, 1), iar deoarece se poate vedea imediat ca Sn(α, 1) ⊂S∗, rezulta ca functiile n-stelate de ordin α si tip β sunt stelate, deci

si univalente.

Definitie. Fie α ∈ [0, 1), β ∈ (0, 1] si n ∈ N; definim clasa

Tn(α, β) a functiilor n-stelate de ordin α si tip β cu coeficienti nega-

tivi prin

Tn(α, β) = Sn(α, β) ∩ T,(3.46)

unde T este clasa definita la 3.10 (relatia 3.45).


3.11.1. Teorema. Fie f o functie de forma (3.45). Atunci

f ∈ Tn(α, β) daca si numai daca

∞∑

j=2

jn[j − 1 + β(j + 1 − 2α)]aj ≤ 2β(1 − α).(3.47)

Rezultatul este exact si functiile extremale sunt

fj(z) = z − 2β(1 − α)

jn[j − 1 + β(j + 1 − 2α)]zj , j ∈ N2.(3.48)

Demonstratie. 1) Presupunem ca (3.47) are loc. Este usor de

aratat ca daca f ∈ A si este de forma (3.45), atunci (v. [Sal])

Dnf(z) = z −∞∑

j=2

jnajzj , z ∈ U.

Avem

|J(f, n, α; z)| =

∣∣∣∣∣∣z −

∞∑

j=2

jn+1ajzj − z +

∞∑

j=2

jnajzj

∣∣∣∣∣∣:

:

∣∣∣∣∣∣z −

∞∑

j=2

jn+1ajzj + (1 − 2α)z − (1 − 2α)

∞∑

j=2

jnajzj

∣∣∣∣∣∣=

=

∣∣∣∣∣∣

∞∑

j=2

jn(j − 1)ajzj

∣∣∣∣∣∣

/ ∣∣∣∣∣∣2(1 − α)z −

∞∑

j=2

jn(j + 1 − 2α)ajzj

∣∣∣∣∣∣.

Fie |z| = 1; atunci, folosind (3.47) rezulta

∣∣∣∣∣∣

∞∑

j=2

jn(j − 1)ajzj

∣∣∣∣∣∣− β

∣∣∣∣∣∣2(1 − α)z −

∞∑

j=2

jn(j + 1 − 2α)ajzj

∣∣∣∣∣∣≤

Capitolul 3 171

≤∞∑

j=2

jn[(j − 1) + β(j + 1 − 2α)]aj − 2β(1 − α) ≤ 0

iar de aici deducem

|J(f, n, α; z)| ≤ β, |z| = 1, deci |J(f, n, α; z)| < β, z ∈ U,

ceea ce ınseamna ca f ∈ Tn(α, β).

2) Reciproc, presupunem ca f ∈ Tn(α, β). Atunci

|J(f, n, α; z)| < β, z ∈ U.(3.49)

Pentru z ∈ [0, 1) (z real) inegalitatea (3.49) se poate rescrie

−β <

∞∑j=2

jn(j − 1)ajzj−1

2(1 − α) −∞∑

j=2jn(j + 1 − 2α)ajzj−1

< β.(3.50)

Observam ca E(z) = 2(1 − α) −∞∑

j=2jn(j + 1 − 2α)ajz

j > 0,

z ∈ [0, 1), deoarece E(z) 6= 0 cand z ∈ [0, 1) si E(0) = 2(1 − α) > 0.

Inmultim fiecare membru din (3.50) cu E(z) si daca z → 1−

(z ∈ [0, 1)), atunci deducem

∞∑

j=2

jn(j − 1)aj ≤ βE(1)

si de aici rezulta (3.47).

Un calcul simplu arata ca functiile extremale pentru care (3.47)

se verifica cu ” = ” sunt functiile fj date de (3.48).

3.11.2. Corolar. Daca f ∈ Tn(α, β) este de forma (3.45), atunci

aj ≤2β(1 − α)

jn(j − α) + β(j + 1 − 2α)], j ∈ N2.


Rezultatul este exact si functiile extremale sunt fj date de (3.48).

Folosind Teorema 3.11 se pot evidentia mai multe proprietati ale

clasei Tn(α, β).

3.11.3. Teorema de deformare. Daca f ∈ Tn(α, β), atunci

pentru |z| = r < 1

r − ϕ(α, β, n)r2 ≤ |f(z)| ≤ r + ϕ(α, β, n)r2

1 − 2ϕ(α, β, n)r ≤ |f ′(z)| ≤ 1 + 2ϕ(α, β, n)r,

unde ϕ(α, β, n) = 21−nβ(1−α)/[1+β(3−2α)]. Rezultatul este exact.

Demonstratia nu este dificila si poate fi gasita ın [Sal].

3.11.4. Teorema. Tn+1(α, β) ⊂ Tn(γ0, β) ∩ Tn(α, δ0), unde

γ0 = 1 − (1 + β)(1 − α)

2(1 + 2β − αβ), δ0 =

β

2 + 3β − 2αβ.

Rezultatul este exact, functia extremala fiind

f2(z) = z − β(1 − α)z2

2n(1 + 3β − 2αβ)∈ Tn+1(α, β).

Demonstratie. Fie f ∈ Tn+1(α, β) de forma (3.45); atunci din

Teorema 3.11.1, cu relatia (3.47) pentru Tn+1(α, β), avem

∞∑

j=2

jn+1[j − 1 + β(j + 1 − 2α)]

2β(1 − α)aj ≤ 1.(3.51)

Determinam cel mai mare γ astfel ca

∞∑

j=2

jn[j − 1 + β(j + 1 − 2γ)]

2β(1 − γ)aj ≤ 1.(3.52)

Bibliografie 173

Observam ca daca

j − 1 + β(j + 1 − 2γ)

1 − γ≤ j[j − 1 + β(j + 1 − 2α)]

1 − α, j ∈ N2,(3.53)

atunci (3.51) implica (3.52). Dar inegalitatile (3.53) sunt echivalente

cu

γ ≤ (1 + β)j − (1 − β)(1 − α)

(1 + β)j + 2β(1 − α)=(3.54)

= 1 − (1 + β)(1 − α)

(1 + β)j + 2β(1 − α), j ∈ N2.

Din inegalitatile

(1 + β)j + 2β(1 − α) ≥ 2[(1 + β) + β(1 − α)], j ∈ N2,

obtinem ca γ = γ0 din teorema satisface (3.54), deci pe baza inega-

litatii (3.52) rezulta ca f ∈ Tn(γ0, β).

Analog, sau prin verificare directa, se poate verifica apartenenta

lui f si la Tn(α, δ0).

3.11.5. Cazuri particulare. 1) Un calcul simplu arata ca γ0 > α

si δ0 < β, deci Tn+1(α, β) ⊂ Tn(α, β).

2) Daca α = 0 si β = 1 obtinem

Tn+1(0, 1) ∈ Tn

(2

3, 1

)∩ Tn

(0,

1

5

).

3) Daca α = 0, β = 1 si n = 0, tinand cont ca T1(0, 1) este

clasa functiilor convexe cu coeficienti negativi si T0(2/3, 1) este clasa

functiilor stelate de ordin 2/3 cu coeficienti negativi, obtinem ca ın

cazul functiilor cu coeficienti negativi orice functie convexa este ste-

lata de ordinul 2/3. Teorema lui A. Marx si E. Strohhacker spune ca

174 Bibliografie

o functie convexa (oarecare, nu neaparat cu coeficienti negativi) este

stelata de ordinul 1/2.

Alte proprietati ale functiilor cu coeficienti negativi pot fi gasite

ın [Sil], [Sal2], [Sal3], [BNS] s.a.

Bibliografie

[Ahl] L.V. Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill New York, 1966.

[Ale] I.W. Alexander, Functions which map the interior of the unit

circle upon simple regions, Ann. of Math. 17(1915/1916), 12-22.

[Ang] A. Angelescu, Bul. Polit. Bucuresti, 9(1937), 7.

[BNS] T. Bulboaca, M.A. Nasr, G.S. Salagean, Functions with nega-

tive coefficients n-starlike of complex order, Studia Univ. Babes-

Bolyai, Math., 36, 2(1991), 7-12.

[Bra] L. de Branges, A proof of the Bieberbach conjecture, Acta

Math., 154, 1-2(1985), 137-152.

[Caz] Cabiria Andreian Cazacu (ed.), Analiza complexa. Aspecte cla-

sice si moderne, Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1988.

[Cal] G. Calugareanu, Elemente de teoria functiilor de o variabila

complexa, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1963.

[Cal1] G. Calugareanu, Sur la condition necessaire et suffisante pour

l’univalence d’une fonction holomorphe dans une cercle, C.R.

Acad. Sci. Paris, 193(1931), 1150-1153.

175

176 Bibliografie

[Cha] B. Chabat, Introduction a l’analyse complexe, Tome I, Fonc-

tions d’une variable, Edition Mir Moscou, 1990.

[Col] I. Colojoara, Analiza matematica, Editura Didactica si Peda-

gogica, Bucuresti, 1963.

[Din] M. Dinca, Gazeta Matematica A, 3-4(1984).

[DiC] M. Dinca, M. Chirita, Numere complexe ın matematica de li-

ceu, All Educational, Bucuresti, 1996.

[Dur] P.L. Duren, Univalent functions, Springer Verlag, Berlin Hei-

delberg, 1994.

[EMMR] P.J. Eenigenburg, S.S. Miller, P.T. Mocanu, M.O. Reade,

On a Briot-Bouquet differential subordination, General Inequa-

lities, 3, International Series of Numerical Mathematics Vo. 64

Birkhauser Verlag, Basel (1983), 339-348.

[Gol] G.M. Goluzin, Geometric theory of functions of a complex va-

riable, Transl. Math. Mon., Amer. Math. Soc., 1969.

[Good] A.W. Goodman, Univalent functions, Mariner Publishing

Company Inc., 1984.

[HMN] P. Hamburg, P. Mocanu, N. Negoescu, Analiza matema-

tica (Functii complexe), Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti,

1982.

[Ion] D.V. Ionescu, Complemente de matematici pentru licee, Ed. Di-

dactica si Pedagogica, Bucuresti, 1978.

Bibliografie 177

[Kap] W. Kaplan, Close-to-convex schlicht functions, Michigan

Math. J. 1, 2(1952), 169-185.

[Mar] A.J. Markushevich, Theory of functions of a complex variable,

vol. I, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1965 (ın l. rusa: Ed.

Nauka, Moscova, 1967).

[Mar1] A.J. Markushevich, The theory of analytic functions: a brief

course, Mir Publ., Moskow, 1983.

[Marx] A. Marx, Untersuchungen uber schlichte Abbildungen, Math.

Ann., 107(1932/33), 40-67.

[May] O. Mayer, Teoria functiilor de o variabila complexa, Ed. Aca-

demiei R.S.R., Bucuresti, 1981.

[Mih] N. Mihaileanu, Utilizarea numerelor complexe ın geometrie,

Ed.Tehnica, Bucuresti, 1968.

[Mih1] N. Mihaileanu, Geometrie neeuclidiana, Ed. Academiei

R.S.R., Bucuresti, 1954.

[MiMo] S.S. Miller, P.T. Mocanu, Second order differential inequali-

ties in the complex plane, J. Math. Anal. Appl. 65(1978), 289-

305.

[MiMo1] S.S. Miller, P.T. Mocanu, Differential subordinations and

univalent functions, Michigan Math. J. 28(1981), 157-171.

[MiMo2] S.S. Miller, P.T. Mocanu, The theory and applications of

second-order differential subordinations, Studia Univ. Babes-

Bolyai, Math., 34, 4(1989), 3-33.

178 Bibliografie

[MMR] S.S. Miller, P.T. Mocanu, M.O. Reade, All α-convex func-

tions are univalent and starlike, Proc. Amer. Math. Soc., 37,

2(1973), 553-554.

[Moc] P.T. Mocanu, Une propriete de convexite generalise dans

la theorie de la representation conforme, Mathematica (Cluj),

11(34), 1(1969), 127-133.

[Mod] P.S. Modenov, Problems in geometry, Mir Publishers, Moscow,

1981.

[Pin] A. Pinciu, Gazeta Matematica A, VI nr. 1-2, 1985.

[Pom] D. Pompeiu, Bul. Mat. Sc. Polit. Bucuresti, 6(1936), 6-7.

[Pomm] C. Pommerenke, Univalent functions, Vanderhoek Ruprecht

in Gottingen, 1975.

[Sal] G.S. Salagean, Subclasses of univalent functions, Lect. Notes in

Math., 1013, Springer Verlag 1983, 362-372.

[Sal1] G.S. Salagean, On some classes of univalent functions, Sem.

of Geometric Function Theory, Babes-Bolyai Univ., Res. Sem.

4/1982, 142-158.

[Sal2] G.S. Salagean, On univalent functions with negative coeffi-

cients, Babes-Bolyai Univ., Res. Sem., 7/1991, 47-54.

[Sal3] G.S. Salagean, Analytic functions with negative coefficients,

Mathematica (Cluj), 36(59), 2(1994), 219-224.

[Sam] G. Samboan, Fundamente de matematica, Ed. Didactica si Pe-

dagogica, Bucuresti, 1974.

Bibliografie 179

[Sil] H. Silverman, Univalent functions with negative coefficients,

Proc. Amer. Math. Soc. 51(1975), 109-116.

[Sil1] H. Silverman, A survey with open problems on univalent func-

tions whose coefficients are negative, Rocky Mountain J. of

Math., 21, 3(1991), 1099-1125.

[Sta] O. Stanasila, Analiza matematica, Ed. Didactica si Pedagogica,

Bucuresti, 1981.

[Str] E. Strohhacker, Beitrage zur Theorie der schlichten Funktionen,

Math. Z., 37(1933), 356-380.

Salagean-Geom Plan Com

Documents

dacaz c

funct iiconvexe1513

funct iistelate

funct iiaproapeconvexe

x zy23n0

sivomreamintiuneleproprietat

n cos arg

utilizandmodulul si