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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MEXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y
HUMANIDADES
PLANTEL SUR
GUA DE ESTUDIO MATEMTICAS III
(lgebra y Geometra)
Y + 4 = ( x + 4 ) 2
Elaborada por: Gpe. Xochitl Chvez Prez
Daniel Flores Ibarra Guadalupe Rosas Mercado
Roco Sols Ledesma
Octubre de 2005
32 += xy
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2
INTRODUCCIN
Este trabajo es una gua de estudio de Matemticas III, la cual
esta dirigida a los estudiantes del Colegio que por diversos
motivos no han aprobado la asignatura. Y tiene el propsito de
auxiliarlos en la preparacin de su examen extraordinario.
En el desarrollo de este trabajo se contemplan cinco unidades
basadas en el programa de estudio vigente. 1) SOLUCIN DE SISTEMAS
DE ECUACIONES LINEALES. 2) SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES
GEOMTRICOS. 3) LA RECTA Y SU ECUACIN CARTESIANA. 4) ELIPSE,
CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS. 5) LA PARBOLA Y SU
ECUACIN CARTESIANA.
RECOMENDACIONES PARA EL BUEN USO DE ESTA GUIA. Para resolver
algunos problemas es necesario que te apoyes con una
calculadora cientfica. Comprueba que tus resultados estn
correctos cotejndolos con los que
se te presentan en algunos problemas. Si no llegaste a la
solucin correcta de algn problema, trata de
encontrar tus errores e intenta resolverlo otra vez. Estudia los
temas de cada unidad apoyndote en la bibliografa
propuesta al final. Procura resolver todas las preguntas y en
todo caso te asesores con
algn profesor. Y recuerda que:
La perseverancia torna los anhelos en realidades.
Los escollos slo sirven para forjar el espritu.
(I.Ch.P.)
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UNIDAD 1. SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Propsitos:
Ampliar el concepto de sistemas de ecuaciones y extender dos
procedimientos algebraicos de solucin. Reafirmar el significado
algebraico y geomtrico de la solucin de un sistema. Proporcionar
una herramienta para el manejo del mtodo analtico.
Ecuaciones equivalentes Se llaman ecuaciones equivalentes, a las
ecuaciones que tienen las mismas soluciones y se obtienen
multiplicando todos y cada uno de los trminos de un ecuacin por un
nmero distinto de cero. Por ejemplo, si cada uno de los trminos de
la ecuacin (Ec1) se multiplica por 5 se obtiene: 10x + 4y = 8 ...
(Ec1) 5(10x) + 5(4y) = 5(8) 50x + 20y = 40 5(Ec1) Ejercicios 1 1.
Obtn ecuaciones equivalentes a la ecuacin anterior Ec1,
multiplicando por 2, 4, 3, 1/2 y 1/4.
2. Comprueba que las ecuaciones que obtuviste son equivalentes
sustituyendo x = 2, y = 3, pues es una solucin de la (Ec1).
Combinacin lineal de dos ecuaciones Dado un sistema de
ecuaciones se puede obtener una ecuacin sumando o restando dos
ecuaciones del sistema u otra combinacin de ecuaciones
equivalentes. Por ejemplo con el siguiente sistema:
10x + 4y = 8....(Ec1) 5x + 3y = 4 ....(Ec2)
La combinacin lineal 2(Ec1) + (Ec2) (El doble de la ecuacin 1 ms
la ecuacin 2). 20x + 8y = 16 ....(2(Ec1)) 5x + 3y = 4 ....( Ec2)
25x + 11y = 20 ....(2(Ec1) + (Ec2))
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La combinacin lineal de (Ec1) y (Ec2), es una ecuacin que tiene
la misma solucin que las dos ecuaciones. Con otro ejemplo te quedar
ms claro: La combinacin es 2(Ec1) + (3)( Ec2), (multiplica por 2
cada uno de los trminos de la ecuacin 1 y smalo trmino a trmino con
el triple de cada uno de los trminos de la ecuacin 2. 20x + 8y = 16
....(2(Ec1)) 15x + 9y = 12....(3(Ec2)) 35x + 17y = 28....(2(Ec1) +
3(Ec2))
Un tercer ejemplo es la combinacin lineal:
41 ( Ec1) + (2)( Ec2)
multiplicamos la ecuacin 1 por
41
y multiplicamos por 2 la ecuacin 2 y lo
sumamos trmino a trmino, como se escribe a continuacin.
2.5x + y = 2....(
41 ( Ec1))
10x 6y = 8...(2(Ec2))
7.5x 5y = 6....(
41 ( Ec1) 2(Ec2))
Ejercicios 2 Dado el sistema de ecuaciones, obtener las
combinaciones lineales de los incisos:
3x + 4y = 6 ....(Ec1) 2x y = 7......(Ec2)
1) (EC1) + 3(EC2) 2) (EC1) (EC2) 3) (2)(EC1) + 3(EC2) 4)
(1/2)(EC1) + 2(EC2) 5) (EC1) + 4(EC2)
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Como obtener sistemas de ecuaciones equivalentes Los sistemas de
ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones, para
obtenerlos se pueden hacer cualquiera de estas operaciones: 1. Se
intercambian las ecuaciones.
2. Se cambia una ecuacin por la ecuacin multiplicada por un
nmero distinto de cero.*
3. Se cambia una ecuacin por una de sus combinaciones
lineales.
En el siguiente ejemplo se aplica el mtodo de eliminacin de
sistemas de ecuaciones equivalentes, para resolverlo. Para cada
sistema se seala como fue el cambio de la ecuacin con respecto al
sistema inmediato anterior.
El ltimo sistema es triangular da explcito el valor de y = 80,
usando lo que se conoce como la sustitucin regresiva tenemos:
x + 3(80) = 300
* Multiplicar una ecuacin por un nmero, implica multiplicar cada
uno de los trminos por ese nmero.
2x + y = 200 (Ec1) x + 3y = 300 (Ec2)
x + 3y = 300 2x + y = 200
2x 6y = 600 2x + y = 200
x + 3y = 300 5y = 400
x + 3y = 300 y = 80
Intercambiamos renglones
La (Ec1) la cambiamos por ( 2) (Ec1)
(Ec2) la cambiamos por la combinacin (Ec1) + (Ec2)
Cambiamos (Ec2)
por ( 1/5) (Ec2)
Cambios Sistemas equivalentes
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6
x = 300 240
x = 60
La comprobacin la haremos en las dos ecuaciones iniciales,
aunque es la solucin de todos los sistemas equivalentes que se
obtuvieron. Sustituimos x = 60 y a y = 80 en:
2x + y = 200 ..(Ec1) 2(60) + 80 = 200 x + 3y = 300 ..(Ec2) 60 +
3(80) = 300
En el segundo ejemplo t ayudaras a completarlo
Te dejamos algunos espacios para que los llenes con base en la
operacin que proponemos, en el sistema equivalente posterior puedes
revisar tus respuestas:
El sistema equivalente resultante es:
x + 2y = 3 y = 1/2
Aplica la sustitucin regresiva y obtn el valor de x.
x + 2y = 3 (Ec1) 3x + 4y = 8 (Ec2)
___x 6y = ___ 3x + 4y = 8
x + 2y = 3 2y = ___
x + ___y = ____ y = ____
( 3) (Ec1)
(1/3)(Ec1) (Ec1) + (Ec2)
(1/___ ) (Ec2)
Cambios Sistemas equivalentes
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7
x + 2 ( ____ ) = ____ x = 2 Comprueba en el sistema original que
la solucin del sistema es x = 2, y = 1/2.
Ejercicios 3 Resuelve los siguientes sistemas con el mtodo de
eliminacin y sistemas de ecuaciones equivalentes
2x + 3y = 8 3x + 2y = 4 x 2y = 10 2x + 4y = 16
4x + 8y = 4 2x + 3y = 2 4x 2y = 4 3x + 2y = 5 3x + 4y = 20 3x =
3 + y
Interpretacin Geomtrica Sabemos que cada una de las ecuaciones
lineales con dos variables representa una recta. Un sistema de
estas ecuaciones, puede representar dos rectas que se cortan o una
nica recta o dos rectas paralelas.
x + 2y = 2 ...(ec1) 2x y = 5 ...(ec2)
- En cada caso completa los elementos que falten y grafica la
ec2. -
x 0 1 2 3
(ec1) y 1 2 (ec2) y 3 1
1) 2)
3) 4) 5)
Sugerencia: escrbela primero en orden.
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8
Este sistema se le llama consistente y tiene una nica
solucin.
Existen otras dos posibilidades, te pedimos que identifiques
cada grfica con su sistema y con las caractersticas del sistema
(procede como antes). Relaciona con flechas el sistema, la grfica y
sus caractersticas.
x + 2y = 2 ...(ec1) x + 2y = 2 ...(ec1) 3x 6 y = 6...(ec2) 2x 4y
= 4 ...(ec1)
2 1 1 2 3 4 5 6 7
2
2
4
x
y
2 1 1 2 3 4 5 6 7
2
2
4
x
y
Sistema consistente con infinitas soluciones Sistema
inconsistente sin solucin
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9
Compara tus resultados con lo que sigue:
Conclusiones:
Cada una de las ecuaciones lineales en el sistema representa una
recta.
La solucin es el punto de interseccin de las rectas, cuando el
sistema es consistente.
La representacin grfica de ecuaciones equivalentes corresponde a
la misma recta, el sistema es consistente y tiene infinitas
soluciones.
El sistema es inconsistente si no tiene solucin y las rectas son
paralelas.
Problema 3 Mara, Pedro y Luis fueron al establecimiento de
Copias y Copias. Mara pidi 10 copias, 4 amplificaciones y 3
acetatos; Pedro pidi 5 copias, 2 amplificaciones y 1 acetatos y
Luis 1 copia y 3 acetatos. Si pagaron $19, $8 y $9.60
respectivamente. Cunto cuesta cada copia, cada amplificacin y cada
acetato?
x es el precio de cada copia ($) y es el precio de cada
amplificacin ($) z es el precio de cada acetatos ($)
Qu ecuaciones representan la compra de Mara, Pedro y Luis? 10x +
4y + 3z = 19 (compra de Mara)(ec1) 5x + 2y + z = 8 (compra de
Pedro)(ec2) x + 3z = 9.60 (compra de Luis)(ec3)
Resolveremos ahora un sistema de 3x3, es decir 3 ecuaciones y 3
incgnitas, usando el mtodo de eliminacin.
El objetivo es obtener un sistema equivalente triangular de la
forma:
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10
a1 x + b1 y + c 1 z = d 1 + b 2 y + c2 z = d2 + c3 z = d3
Plantearemos las operaciones con las ecuaciones y t completaras
el sistema equivalente. Intercambiamos la (ec1) por la (ec3).
x + 3z = 9.60 5x + 2y + z = 8 _______________=_____
Cambiamos la (ec2) por la combinacin ( 5) (ec1)
+ (ec2)
y
(ec3) por ( 10) (ec1) +
(ec3).
x + 3z = 9.60 2y 14 z = 40 ( 5) (ec1)
+ (ec2) __________=_______ ( 10) (ec1)
+ (ec3) Para que el coeficiente de y en la (ec2) se 1, se
multiplica por que es el inverso multiplicativo de 2, coeficiente
de y.
x + 4z = 9.60 y ___ z = _____ (1/2 )
(ec2) 4y 27z = 77
El coeficiente de y es 4, el simtrico ( 4) lo usamos para
multiplicar la (ec2), para
la combinacin lineal siguiente ( 4) (ec2) + (ec3)
x + 3z = 9.60 y 7 z = 20
_______________=______ ( 4) (ec2) + (ec3)
NOTA: Aunque pueden ser a1, b2 y c3 diferentes de 1 los
buscaremos que sean uno, pues existe el mtodo de matrices en el que
se emplean los unos.
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2)
Finalmente como el coeficiente de z es 1 en la tercera ecuacin,
hemos conseguimos un sistema triangular equivalente.
Revisa si coincidimos: x + 0y + 3z = 9.60
y 7z = 20 z = 3
Sustituye z en la ecuacin 2, luego sustituye a "y " y z en la
ecuacin 1 (sustitucin regresiva). Se obtiene:
Comprobamos en la ecuacin 1 original:
10 (0.60) + 4(1) + 3(3) = 19 6+ 4 + 9 = 19
Comprueba que tambin nos da una identidad en la ecuacin 2 y en
la 3.
Ya resolvimos el sistema de ecuaciones y la respuesta al
problema es que las copias costaron $0. 60, las amplificaciones
$1.00 y los acetatos $3.00. Ejercicios 4 Resuelve los siguientes
sistemas de ecuaciones utilizando el mtodo de eliminacin y obtn el
sistema triangular equivalente.
2x 3y + 4z = 4 3x + 2y + 2z = 3 3x 3y + 6z = 3 x + 3y + 2z = 3 x
+ 2y 2z = 1 3y 2z = 10
2x + y 2z = 7 x + 2y + 2z = 6 2x + 2y + 3z = 0 3y + 2z = 3 3x 3y
+ 6z = 21 2x + 4y 2z = 6
x = 0.60, y = 1 y z = 3
1)
3) 4)
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5) Resolver algunos problemas del capitulo 9 Sistemas de
ecuaciones lineales del Barnett.
Sistemas de ecuaciones No lineales
Mtodo de sustitucin El principal mtodo para resolver los
sistemas de una ecuacin lineal con otra no lineal, es el mtodo de
sustitucin. En un ejemplo podrs entenderlo mejor.
3x + y = 7...(ec1) y = ( x + 2) 2 + 3..(.ec2)
Paso 1. Espejar de la ecuacin lineal una de las dos
variables:
y = 3x+ 7
Paso 2. Sustituir en la ecuacin no lineal la variable
despejada:
3x + 7 = ( x + 2) 2 + 3
Paso 3. Se desarrolla el cuadrado, se despeja y se
simplifica:
3x + 7 = x 2+ 4x +4 + 3 x 2+ x = 0 Paso 4. Se resuelve la
ecuacin de segundo grado (por factorizacin, frmula general, etc.)
x( x + 1) = 0 entonces x = 0 x = 1
Paso 5. Se sustituyen los valores encontrados en alguna de las
ecuaciones y se obtienen las soluciones.
y = ( 0 + 2) 2 + 3 (ec2) entonces y = 7 y = ( 1 + 2) 2 +
3...(ec2) entonces y = 4
La solucin al sistema de ecuaciones son los puntos ( 0, 7 ) y (
1, 4 ). Lo cual se puede corroborar si se grafican ambas ecuaciones
en un mismo plano cartesiano.
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13
Ejercicios 5 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y
haz la grfica:
( x + 1 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 100 (circunferencia con centro ( 1,
3) y radio 10)
213
4=
xy . ( recta decreciente)
y = x 2 (parbola con vrtice en el origen) x + y = 2 (recta
creciente)
y = x 2 + 4x (parbola con vrtice en el origen) 3x + y = 2 (recta
creciente)
( x + 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 25 (circunferencia con centro ( 1, 2)
y radio 5) x 2y = 0 (recta creciente)
Sistemas de ecuaciones No lineales ambas
Puede emplearse el mtodo de eliminacin o el de sustitucin segn
el sistema de ecuaciones. En este caso emplearemos el mtodo de
eliminacin.
5 4 3 2 1 1 2
2
4
6
8
x
y
1)
2)
3)
4)
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x 2 + ( y + 3 ) 2 = 25
2 72 2xy =
Paso 1. Desarrollamos los cuadrados y ordenamos los trminos
igualando a los trminos independientes:
x 2 + y 2 + 6y + 9 = 25 x 2 + y 2 + 6 y = 16 x 2 + 2y = 7 x 2 +
2 y = 7
Paso 2. Con la suma o resta eliminamos alguna de las
incgnitas:
y 2 + 8y = 9
Paso 3. Resolver la ecuacin
y 2 + 7y 9 = 0 por la frmula general
( )( )( )
2
1,28 8 4 1 9
2 1y
=
y = 1 ; y = 9 Paso 4. Sustituir en alguna de las dos ecuaciones
y despejar: x 2 + ( 1 + 3 ) 2 = 25 entonces x = 3 x 2 + ( 9 + 3 ) 2
= 25 en este caso no existen valores para x. Las soluciones son (
3, 1 ) y ( 3, 1) Las grficas son:
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
8
6
4
2
x
y
-
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Ejercicios 6 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: 2x
2 + 3y 2 = 9 x 2 + y 2 = 5 x 2 + y 2 = 4 x 2 = 4 (y 2)
16 x2 + y 2 = 25 x2 + y 2 = 9
x2 + y 2 = 10 (x + 4 )2 + y 2 = 25
Solucin a los ejercicios. Ejercicios 1
20x + 8y = 16 ....2(Ec1) 40x + 16y = 32 ....4(Ec1) 30x 12y = 24
....3(Ec1) 5x + 2y = 4 ....(1/2)(Ec1) 52
x + y = 2 ....(Ec1) Ejercicios 2
1) 9x + y = 15 ...(EC1) + 3(EC2) 2) x + 5y = 13 ... (EC1) (EC2)
3) 11y = 33... (2)(EC1) + 3(EC2)
4) 112
x = 11 ... (1/2)(EC1) + 2(EC2) 5) 11x = 22 ... (EC1) +
4(EC2)
Ejercicios 3 1) x = 2, y = 4 2) x = 2, y = 5 3) x = 3, y = 2 4)
x = 4, y = 2 5) x = 1, y = 0.
Ejercicios 4 1) x = 1, y = 2, z = 1 2) x = 1, y = 2 , z = 2 3) x
= 0, y = 3 , z = 2 4) x =7/3, y = 5/3, z = 4
Ejercicios 5 1) (9, 9) 2) (1, 1) y ( 2, 4) 3) (2, 4) y ( 1, 5)
4) (4, 2) y ( 4, 2)
Ejercicios 6 1) ( 3 , 1), ( 3 , 1), ( 3 , 1) y ( 3 , 1) 2) (2,
1) y ( 2, 1) 3) (1, 3), ( 1, 3), (1, 3) y ( 1, 3) 4) (0, 3) y ( 0,
3)
1.
4. 3.
2.
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UNIDAD 2. SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMTRICOS
Propsitos.
Percibirs a los sistemas de coordenadas como la nocin
fundamental para poder realizar el estudio analtico de los lugares
geomtricos.
Identificars el enunciado de un problema, la estrategia que te
permita obtener los parmetros esenciales de un lugar geomtrico o
bien, vislumbrar un procedimiento alterno para obtener la ecuacin
que los representa.
2.1 Estudio analtico de un punto en el plano En el Sistema de
coordenadas rectangulares (Plano Cartesiano).
1. Considera los puntos A(8,6) y B(6,8), sin hacer dibujo alguno
contesta: Cul de los dos est ms arriba del eje
X?_______________________ Cul est ms a la derecha del eje
Y?___________________________ 2. Escribe las coordenadas de un
punto colocado entre C (7,6) y D (10,6). Escribe las coordenadas de
otro punto colocado exactamente a 5 unidades por encima de D. 3.
Sea un punto E (x, 10), donde x puede tomar cualquier valor. Elige
un valor para x que cumpla con la condicin de que el punto
resultante est ms cerca del eje Y que el punto F (5,10). Escoge
otro valor para x de manera que el nuevo punto este ms lejos del
eje Y que el punto G (7,10). 4. Cul es el punto que se encuentra
colocado simtricamente respecto al eje X en referencia al punto F
(5,10)? 5. Sea D (9,5), encuentra el punto H colocado a la mitad
entre D y el eje X. Localiza un punto I por arriba de D colocado a
una altura triple de la de D respecto al eje X.
En el Sistema de coordenadas polares En lugar de fijar la
posicin de un punto del plano en funcin de sus distancias a dos
rectas perpendiculares es preferible, a veces, hacerlo en funcin de
su distancia a un punto fijo y de la direccin con respecto a una
recta fija que pase por este punto. Las coordenadas de un punto, en
esta referencia, se llaman
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coordenadas polares. Por ejemplo, Te has preguntado alguna vez
qu es un radar, cmo funciona y para qu sirve? El radar es un
dispositivo para detectar la presencia de objetos y determinar la
direccin y distancia a que se encuentran. El radar se emplea como
ayuda a la navegacin en barcos y aviones, en meteorologa y con
fines militares para la localizacin de blancos. Los datos emitidos
por la pantalla de un radar estn escritos en coordenadas polares
(r, ), donde r es la distancia a la que se encuentra el objeto y
nos indica en que direccin se encuentra. El punto fijo O se
denomina polo y la recta fija OA se llama eje polar. Las
coordenadas polares de un punto P se representan por (r,), siendo r
la distancia OP y el ngulo AOP.
La distancia r medida desde O hasta P es positiva. Igual que en
trigonometra, el ngulo es positivo cuando se mide en sentido
contrario al de las manecillas del reloj; r es positivo cuando se
mide desde el polo al punto, y negativo en caso contrario.
Consideremos al punto P(r,) y supongamos que el eje polar OX y
el polo O son, respectivamente, el eje X y el origen de un sistema
de coordenadas rectangulares. Sean (x,y) las coordenadas
rectangulares del mismo punto P. En estas condiciones,
x
ytgarc
yxr
senryrx
=
+=
=
=
,
,
,cos
22
A
P(r,) r
O
P(x,y) (r, )
r
x
y
X
Y
O
-
18
EJERCICIO RESUELTOS Transforma a coordenadas polares o
rectangulares segn corresponda los siguientes puntos. 1. P(3,30).
Solucin: Las coordenadas rectangulares de este punto se obtienen
sustituyendo los valores de r = 3, = 30 en las expresiones: senryrx
== ,cos , esto es,
( )5.1)5.0(3303
6.2866.0330cos3===
===
senyx
Entonces las coordenadas rectangulares corresponden al punto
(2.6,1.5). 2. Q(5,2) Solucin:
Ahora usaremos las expresiones: x
ytgarcyxr =+= ,22 , para convertir las
coordenadas rectangulares en polares.
'482180.214.052
38.52942525 2222
=====
==+=+=+=
tgangtgangx
ytgang
yxr
Por lo anterior, las coordenadas polares son (5.38, 2148)
EJERCICIO PROPUESTOS Usando las relaciones convenientes
transforma las siguientes coordenadas a polares o rectangulares
segn corresponda. 3. (1,1) 4. ( 2,3) 5. ( 2,210) 6. (6,45) 7. (3,
4) 8. (4,150) 9. (8, 30) 10. (0,1)
Respuestas:
3. ( 2 , 45) 4. ( 13 ,12341) 5. (1.73, 1) 6. (4.24, 4.24) 7. (5,
12652) 8. ( 3.46, 2) 9. (6.93, 4) 10. (1,90)
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2.2 Estudio analtico de un segmento rectilneo en el Plano
Cartesiano - Distancia entre dos puntos La distancia d entre dos
puntos
( )111 , yxP y ),( 222 yxP es ( )212212 )( yyxxd +=
Por ejemplo, la distancia entre los puntos (3, 1) y (6, 3)
es:
( ) ( ) unidadesd 5252423213236 ==+=++=
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En los siguientes incisos encuentra la
distancia entre cada par de puntos. Para cada segmento traza su
grfica en un plano cartesiano. a) (3, 4) y (6, 0) b) (3, 5) y (3,
4) c) (1, 1) y (9, 7)
d) (8, 7) y (3, 5) e) ( 4, 3) y (2, 5) 2. Comprueba que el
tringulo cuyos vrtices son A(2, 1), B( 1, 3) y C( 1, 1) tiene un
permetro igual a 12 u. 3. Demuestra que es issceles el tringulo que
tiene por vrtices A( 2, 3), B( 4, 1) y C(3, 2). 4. Traza el
cuadriltero cuyos vrtices son: (1, 2), (4, 5), (1, 5) y (4, 2).
Calcula las longitudes de sus diagonales y comprueba que ellas son
iguales. 5. Traza el tringulo de vrtices A(4, 2), B(0, 6) y C( 2,
2); dibjale las medianas y calcula sus longitudes. Recuerda que las
frmulas para calcular las
coordenadas del punto medio de un segmento son:
2
221
21
yyy
xxx
m
m
+=
+=
Respuestas: 1. a) 5 b) 9 c) 10 d) 13 e) 10 2. 5=
ABd , 4=
BCd , 3=ACd , por lo tanto el permetro es de 12 unidades.
),( 222 yxP
),( 111 yxP d
12 yy
12 xx
X
Y
-
20
5. D(2, 4) punto medio de AB; E( 1, 2) punto medio de BC; F(1,
0) punto medio de CA
5=AE
d ; 37=BF
d ; 52=CDd
- ngulo de inclinacin del segmento y concepto de pendiente Se
llama ngulo de inclinacin (), o simplemente inclinacin de una recta
al ngulo positivo ms pequeo que forma la direccin positiva de esta
recta con la parte positiva del eje X. Por consiguiente, la
inclinacin de una recta es un ngulo que est entre 0 y 180. La
tangente trigonomtrica de la inclinacin es la pendiente de la
recta,
tgm = =12
12
xx
yy
;
cualesquiera que sean los cuadrantes en los que estn situados
los puntos P1 y P2. Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son
iguales. Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares, la pendiente de
una de ellas es igual al recproco de la pendiente de la otra con
signo contrario. Esto es, llamando 1m a la
pendiente de L1 y 2m a la de L2 se tiene 2
11
mm = , o bien, 121 =mm .
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Halla la pendiente de la recta que pasa
por los puntos (5, 6) y ( 4, 2).
Solucin: 94
94
5462
=
=
=m
2. Obtn la inclinacin de la recta que pasa por los puntos ( 1,
5) y (7, 3).
Solucin: 188
1753
=
=
+
=m luego = ang tg ( 1), por tanto =135
),( 111 yxP
),( 222 yxP
12 xx
12 yy
O
Y
X
-
21
3. Prueba que la recta que pasa por los puntos ( 1, 5) y (6, 2)
es paralela a la recta que pasa por ( 2, 4) y (5, 1). Solucin:
73
1652
1 =+
+=m
73
2541
2 =+
+=m
como 21 mm = , luego las rectas son paralelas.
4. Demuestra que el tringulo cuyos vrtices son A(5, 3), B(4, 4)
y C(1, 0) es rectngulo. Solucin: Denotando por 1m , 2m y 3m las
pendientes respectivas de AB, BC y AC,
se tiene: 75434
1 =
+=m ;
34
4140
2 =
=m ; 43
5130
3 =
+=m
Como 143
34
=
. Entonces BC y AC son perpendiculares y por consiguiente
el tringulo es rectngulo en C. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcula
el ngulo de inclinacin , de los segmentos determinados por cada uno
de los pares de puntos que se dan: a) P1( 1, 3) y P2(5, 3) b) P1(2,
1) y P2( 2, 3) c) P1(5, 1) y P2(5, 3) 2. Los vrtices de un tringulo
son A( 2, 3), B(3, 1) y C(7, 6), calcula la pendiente de cada uno
de sus lados. 3. Una recta de pendiente 2 pasa por el punto P(6,
3). Si la abscisa de otro de sus puntos es 3, halla su
correspondiente ordenada. 4. Demuestra que el cuadriltero cuyos
vrtices son: A( 4, 2), B( 1, 2), C(7, 4) y D(0, 5) es un trapecio.
Recuerda que un trapecio es un cuadriltero con slo un par de lados
paralelos. Cmo son las pendientes de rectas paralelas?______ 5.
Demuestra, aplicando el concepto de pendiente, que los puntos A(8,
6), B(4, 8) y C(2, 4) son los vrtices de u tringulo rectngulo.
Respuestas: 1. a) = 45 b) = 135 c) = 90
2. 54
=ABm , 47
=BCm , 31
=ACm
3. Ordenada igual a 15.
-
22
- Divisin de un segmento en una razn dada Consideremos los
puntos ),( 111 yxP y ),( 222 yxP y la recta que determinan. Sea
),( yxP un tercer punto que divida al segmento en la razn
rPP
PP=
2
1. Como PP1 y
2PP son del mismo sentido, dicha razn es positiva. Si el punto
de divisin ),( yxP estuviera situado en la prolongacin del
segmento, a uno u otro lado del mismo, la
razn rPP
PP=
2
1 sera negativa, ya que PP1 y 2PP tendran sentidos opuestos.
Teniendo en cuenta los tringulos semejantes de la figura,
rPP
PPxx
xx
PNMP
==
=
2
1
2
11
Despejando x , de rxx
xx=
2
1 )( 21 xxrxx = rxrxxx = 21
12 xrxrxx +=+ 21)1( rxxrx +=+ r
rxxx
+
+=
121
.
Anlogamente, r
ryyy
+
+=
121
.
Si ),( yxP es el punto medio del segmento 21PP , 1=r y 221
xxx
+= ,
221 yyy
+= .
O
Y
X
),( 111 yxP
),( yxP
),( 222 yxP
yy 2
1yy xx 2
1xx
-
23
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Halla las coordenadas de un punto ),(
yxP que divida al segmento determinado
por )7,1(1P y )3,6(2 P en la razn 32
=r .
Solucin: Como la razn es positiva, PP1 y 2PP son del mismo
sentido, por tanto,
el punto ),( yxP est situado entre los puntos dados extremos del
segmento.
32
2
1==
PPPP
r
35
15
35
41
321
)6(321
121
==
+=
+
+=
+
+=
r
rxxx 3
515
35
27
321
)3(327
121
==
=
+
+=
+
+=
r
ryyy
El punto buscado es (3, 3). 2. Halla las coordenadas de un punto
),( yxP que divida al segmento
determinado por )1,2(1 P y )4,3(2 P en la razn 38
=r
Solucin: Como la razn es negativa, PP1 y 2PP son de sentido
opuesto, con lo
que el punto ),( yxP ser exterior al segmento 21PP . 38
2
1==
PPPP
r
( )6
530
35
82
381
3382
121
==
=
+
+
=
+
+=
r
rxxx
( )7
535
35
335
353
321
381
4381
121
==
=
+=
+
+
=
+
+=
r
ryyy
Por lo que el punto buscado es (6, 7).
3. El extremo de un dimetro de una circunferencia de centro
)1,4(1 =P es )6,2(2 =P . Halla las coordenadas ),( yxP del otro
extremo.
-
24
Solucin:
21
2
1==
PPPP
r como PP1 y 2PP son de sentido opuesto, la razn r es
negativa.
( )10
211
2214
121
=
+
+
=
+
+=
r
rxxx
( )4
211
6211
121
=
+
+
=
+
+=
r
ryyy
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Halla las coordenadas de un punto P(x,
y) que divida al segmento que
determinan ),( 111 yxP = y ),( 222 yxP = en la razn 2
1
PPPP
r = .
a) 12),4,1(),3,4( 21 = rPP b) 3
1),3,3(),3,5( 21 = rPP
c) 52),2,3(),3,2( 21 = rPP d) 7
2),4,7(),3,0( 21 =rPP
2. Sabiendo que el punto (9, 2) divide al segmento que
determinan los puntos
)8,6(1P y ),( 222 yxP en la razn 73
=r , Halla las coordenadas de 2P .
3. El segmento que une el punto A( 2, 1) con el punto B(3, 3);
se prolonga hasta C. Sabiendo que BC = 3 AB, determina las
coordenadas del punto C. Respuestas:
1. a)
35
,2 , b)
23
,3 , c)
711
,
74
d)
513
,
514
.
2. (16, 12). 3. C(18, 15) 2.3 Estudio analtico de algunos
lugares geomtricos en el Plano Cartesiano LOS DOS PROBLEMAS
FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRA ANALTICA SON:
1. Dada una ecuacin, hallar el lugar geomtrico que representa.
2. Dado un lugar geomtrico definido por determinadas condiciones,
hallar
su ecuacin matemtica.
-
25
LUGAR GEOMTRICO o grfica de una ecuacin de dos variables es una
lnea, recta o curva, que contiene todos los puntos, y solo ellos,
cuyas coordenadas satisfacen la ecuacin dada. El primer problema de
la Geometra Analtica, que acabamos de mencionar, es que dada la
ecuacin de un lugar geomtrico construir la grfica que corresponde a
dicho lugar. Se procede en primer trmino a elaborar una tabla,
asignando valores arbitrarios a una de las variables para obtener,
de este modo, el valor o valores de la otra. Elaborada la tabla, se
sitan los puntos que tienen la propiedad comn expresada por la
ecuacin y se unen por una recta o curva si procede. De esta manera,
se tiene la grfica del lugar geomtrico de la ecuacin dada. Tambin
es importante calcular las intersecciones con los ejes, que son las
distancias (positivas o negativas) desde el origen hasta los puntos
en los que la lnea del lugar corta a los ejes coordenados. Para
calcular la interseccin con el eje x se hace 0=y en la ecuacin dada
y se despeja la variable x . De igual manera, para obtener la
interseccin con el eje y , se hace 0=x y se despeja y . EJERCICIOS
RESUELTOS Representa Grficamente el lugar geomtrico de las
ecuaciones siguientes: 1. y = 2x + 3
El lugar geomtrico es una recta Veamos las intersecciones con
los ejes. Si 0=x entonces 3)0(2 +=y esto implica que 3=y , es
decir, el punto de interseccin con el eje y es en el punto ( )3,0
.
x y 2 1
0 3 1 5
Tabla ( )3,0
0,
23
-
26
Si 0=y entonces 032 =+x esto implica que 23
,32 == xx , es decir, el punto
de interseccin con el eje x es el punto
0,
23
.
2) y = x2 + 4x
El lugar geomtrico es una parbola Intersecciones con los ejes:
Si 0=x , 0);0(402 =+= yy , esto nos indica que la parbola interseca
a los ejes en el origen. Si ,0=y ;0)4(;042 =+=+ xxxx esto es, 40 ==
xx . EJERCICIOS PROPUESTOS Construye las grficas de las ecuaciones
siguientes: 1) 53 += xy 2) 1223 =+ yx 3) 016162 = yx Respuestas: 1)
Recta 2) Recta 3) Parbola El otro problema fundamental de la
Geometra Analtica consiste en encontrar la ecuacin del lugar
geomtrico, que corresponde a una serie de puntos que tienen una
propiedad comn. EJERCICIOS RESUELTOS 1) Halla la ecuacin del lugar
geomtrico de los puntos equidistantes de
)3,2(A y )1,3( B . Solucin: Sea ( )yxP , el punto mvil.
x y 5 5 4 0 2 4
0 0 1 5
Tabla
-
27
El lugar geomtrico del punto debe cumplir la condicin PBPA = ,
es decir,
( ) ( ) ( ) ( )2222 1332 ++=++ yxyx Elevando al cuadrado ambos
miembros
( ) ( ) ( ) ( )2222 1332 ++=++ yxyx Desarrollando y
simplificando resulta:
03810 =+ yx
Esta es la ecuacin de la mediatriz del segmento que une los
puntos dados.
2) Obtn el lugar geomtrico de los puntos ( )yxP , cuya distancia
al punto fijo )1,2( C sea igual a 5.
Distancia 5=PC , es decir, ( ) ( ) 512 22 =++ yx Elevando al
cuadrado tenemos ( ) ( ) 2512 22 =++ yx Desarrollando 251244 22
=++++ yyxx
Simplificando 0202422 =++ yxyx
Este lugar geomtrico es una circunferencia de centro (2, 1) y de
radio 5. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encuentra la ecuacin de la circunferencia con centro (0, 3) y
radio 3. 2. Un punto se mueve de tal manera que sus distancias a
los puntos
A(5, 4) y B( 3, 2) es siempre constante. Obtn la ecuacin del
lugar geomtrico de dicho punto.
3. Halla la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P(x, y)
equidistantes del punto fijo f(3, 2) y del eje y .
Respuestas:
1. 0622 =++ yyx
2. 734 = yx
3. 013642 =+ xyy
-
28
UNIDAD 3 LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA
Propsitos: Reafirmar el conocimiento del mtodo de la Geometra
Analtica, encontrando ecuaciones de rectas, avanzar en la solucin
analtica de problemas afines.
RECTA Definicin. Es el lugar geomtrico de todos los puntos P (x,
y) tales que si tomamos al azar dos puntos )( 1,11 yxP y ),( 222
yxP el valor de
12
12
xx
yym
=
siempre permanece constante.
PENDIENTE Se define a la pendiente de una recta como la tangente
del ngulo de inclinacin. Y se designa por la letra m
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Dos rectas con pendientes 21 mym son paralelas, s 21 mm =
Dos rectas con pendientes 21 mym son perpendiculares, s 121 = mm
es decir:
21
1m
m =
ECUACIN DE LA RECTA PUNTO - PENDIENTE
Dado que se conoce un punto y el valor de la pendiente 12
12
xx
yym
= despejando obtenemos:
)( 11 xxmyy =
La ecuacin de la recta de la forma punto pendiente
-
29
Requisitos para obtener la ecuacin de una recta. 1. Pendiente 2.
Un punto
Ejemplo 1 Calcula la ecuacin de la recta que pasa por los puntos
A(2, 4) , B ( 1, 2) Primero . Graficaremos la recta
Segundo . Calcularemos la pendiente de la recta
12
12
xx
yym
=
32
32
2142
=
=
=m
Tercero Calculamos la ecuacin de la recta utilizando la ecuacin
punto pendiente Tomando la pendiente calculada y cualquiera de los
dos puntos
Abscisa al origen
Ordemada al origen
-
30
2263)1(2)2(3
))1((322
)( 11
+=
+=
=
=
xyxy
xy
xxmyy
Simplificando y ordenando tenemos 2x 3y +8 =0
ngulo de inclinacin de la recta Si la pendiente es igual a
32
La tangente ser igual 32
= 0.66
Su ngulo de inclinacin ser 29'253342.3366.0tan === ang
ECUACIN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMTRICA Con los datos de la
recta anterior . Para obtener la ecuacin de la recta en su forma
simtrica se tiene que calcular las coordenadas al origen de la
recta. As si la recta es: 2x 3y + 8 =0
Para calcular las coordenadas al origen recurrimos a las
siguientes ecuaciones Abscisa al origen
Ac
a
= 428
=
=a la coordenada ser ( 4 , 0)
Ordenada al origen
Bcb =
38
38
=
=a la coordenada ser (0, )38
-
31
ECUACIN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMTRICA
1=+by
a
x
Con los datos anteriores tendremos que:
1
384
=+
yx simplificando 18
34
=+yx
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Si queremos calcular las
ecuaciones de las rectas perpendiculares y paralelas a la recta
dada.
Ejemplo Queremos la ecuacin de la recta paralela y perpendicular
a la recta L1 5x 2y +4 =0 que pasen por el punto P(2,7)
1 Obtenemos la pendiente de la recta dada
m = 25
25
=
=
BA
Como las rectas paralelas tienen la misma pendiente, la
pendiente de la recta paralela (L2) a la recta 5x 2y+4=0 es 2
52 =m
Como sabemos que la recta paralela pasa por el punto P (2, 3 )
utilizamos la ecuacin Pendiente Punto para obtener la ecuacin de la
recta paralela en su forma general
01625)2(5)3(2
)2(253
)( 11
=
=+
=+
=
yxparalelarectaxy
xy
xxmyy
-
32
La ecuacin de la recta perpendicular a la recta dada Pendiente
de la recta perpendicular es inversa y negativa
As que 52
3 =m
Y queremos que pase por el punto P (2, 3 )
01152)2(2)3(5
)2(523
)( 11
=++
=+
=+
=
yxlarperpendicurectaxy
xy
xxmyy
Ejercicios 1.- Grafica y encuentra la ecuacin de la recta
que:
a) Pasa por el punto (1,5) y tiene pendiente m=2. b) Pasa por (
6, 3) y tiene un ngulo de inclinacin de 45. c) Su pendiente m = 3 y
su interseccin con el eje Y es 2. d) Pasa por los puntos (4,2) y (
5,7). e) Su interseccin con X es en 2 y con Y en 3. Soluciones: a)
2x y+3=0, b) x y+3=0, c) 3x+y+2=0, d) 5x + 9y 38=0, e) 3x 2y
6=0.
2. En cada uno de los siguientes incisos, encuentra: La
pendiente de la recta. El ngulo de inclinacin de la recta que
determinan los dos puntos, haga el
dibujo. a) ( 1, 4), (3, 6) b) (0,0), ( 6,7) c) ( 2, 5), (6,4) d)
(3,7), (3, 5) e) (3, 6), ( 7, 6) f) (2, 4), (2,3)
-
33
3-Demuestra que los tringulos dados por las coordenadas de sus
vrtices son rectngulos.
a) H(0,9) , P( 4, 1) , T(3,2) b) L( 2,8) , D( 6,1) , R(0,4)
4.-Halla la ecuacin simtrica de la recta que pasa por los puntos
C ( 3, 1) y D (2, 6). (Solucin: 1
44=
+
yx ).
5.-Enuncia la condicin de paralelismo y encuentra la ecuacin de
la recta que pasa por el punto R( 6,3) y es paralela a la recta que
determinan los puntos N( 1,6) y G(4, 7). (Solucin: 13x + 5y + 63 =
0) 6.-Da la condicin para que dos rectas sean perpendiculares y
encuentra la ecuacin de la mediatriz del segmento A( 4, 8 ) y B( 3
, 5 ). (Solucin: 7x + 13y 23 = 0) 7.-Halla la ecuacin de la
mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la
recta cuya ecuacin es 4x + 5y 40 = 0 (Solucin: 5x 4y 9 = 0)
8.-Halla el rea del tringulo rectngulo formado por los ejes
coordenados y la recta que tiene como ecuacin 5x+4y+20=0. (Solucin:
A = 10 u2) 9.-Halla la ecuacin de la recta que tiene como pendiente
m = 4 y pasa por el punto de interseccin de las rectas 2x + y 8 = 0
y 3x 2y +9 = 0. (Solucin: 4x+y 10=0) 10.-En el tringulo de vrtices
A ( 2,1), B (4,7) y C (6, 3). Halla:
a) Las ecuaciones de sus lados. b) La ecuacin de la recta que
pasa por A y es paralela al lado BC. c) Las ecuaciones de las
medianas y su punto de interseccin, llamado
Baricentro. d) Las ecuaciones de sus mediatrices y su punto de
interseccin llamado
Circuncentro. Soluciones:
a) AB: x y+3=0, BC: 5x+y 27=0, AC: x+2y=0. b) 5x+y+9=0. c) (8/3,
5/3). d) (10/3,5/3).
-
34
UNIDAD 4 CIRCUNFERENCIA, ELIPSE Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS
Propsitos: Reafirmar el mtodo analtico al obtener ecuaciones de la
elipse y la circunferencia encontrando ecuaciones de circunferencia
y elipse ampliando el conocimiento de curvas y la solucin analtica
de problemas euclidianos.
CIRCUNFERENCIA Definicin Es el lugar geomtrico de un punto que
se mueve en el plano de tal manera que su distancia a un punto fijo
es siempre constante. El punto fijo es el centro de la
circunferencia y la distancia constante se llama radio. Ecuacin
Ordinaria de la Circunferencia La ecuacin de la circunferencia cuyo
centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r es:
Clculo de la ecuacin de la circunferencia Ejemplo Calcula la
ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (3, 5 ) y su
centro se encuentra en el punto ( 1, 2) Para calcular el radio
sustituimos el centro y el punto por el que pasa la
circunferencia.
-
35
r
r
r
r
rkyhx
=
=
=+
=+++
=+
6565
4916)25()13()()(
2
2
222
222
Tomando el valor del radio sustituimos el centro en la ecuacin y
encontramos la ecuacin cartesiana de la circunferencia
generalformasuennciacircunfereladeecuacinyxyxyyxx
ordinariaformasuennciacircunfereladeecuacinyxrkyhx
06042654412
)65()2()1()()(
22
22
222
222
=+++
=+++++
=+++
=+
Ejercicios 1.- Halla la ecuacin de la circunferencia que: a)
Tiene su centro en C( 3, 5) y su radio es 7. b) Los extremos de uno
de sus dimetros son los puntos (2,3) y ( 4,5) c) Su centro es el
punto C(7, 6) y pasa por (2,2). d) Pasa por los puntos (0,0),
(3,6), (7,0). e) Pasa por los puntos (2, 2), ( 1,4), (4,6). f) Pasa
por los puntos (4, 1), (0, 7), ( 2, 3).
Soluciones: a) ( x + 3 )2 + ( y + 5 )2 = 49; b) ( x + 1 )2 + ( y
4 )2 = 10; c) ( x 7 )2 + ( y + 6 )2 = 89; d) x2 + y2 7x 4y= 0; e)
6x2 + 6y2 32x 25y 34 = 0; f) 7x2 +7 y2 22x +52y +21 = 0
-
36
CLCULO DE LOS PARMETROS DE LA CIRCUNFERENCIA EJEMPLO Calcula el
centro y radio de la circunferencia
Ejercicios
1.-A partir de la siguiente ecuacin halla el centro y radio.
Grafica la circunferencia, si existe. a) 2x2 + 2y2 10x + 6y 15 = 0
, b) 36x2 + 36y2 + 48x 108y + 97 = 0 , c) x2 +y2 8x + 6y + 29 = 0
(Soluciones: a) C (5/2, 3/2), r= 4; b) Un punto P( 2/3,3/2), r=0;
c) No existe el lugar geomtrico. )
2.- Encuentra la ecuacin de la tangente a la circunferencia en
el punto P( 2, 5) con centro en C(4,3). (Solucin: 3x + 4y + 26 =
0)
3.- Encuentra la ecuacin de la recta tangente en el punto de
tangencia P(1,3), al crculo con centro C( 1, 1). (Solucin: x + 2y 7
= 0) 4.- Halla la ecuacin de la recta tangente a la
circunferencia
x2 + y2 + 2x 2y 39 = 0, en el punto de tangencia P(4 ,5).
(Solucin: 5x + 4y 40 = 0)
40)4,2(tan
40)4()2(
164201684428
2420
288
244
010422dim
0208422
22
22
2222
22
22
22
=
=+++
++=+++++
+
+=
+++
++
=+++
=+++
rCtoloporyx
osfactorizamyyxx
yyxx
cuadradosscompletamoyordenamosyxyx
entretodoosdiviyxyx
-
37
5.- Halla la ecuacin de la recta tangente a la
circunferencia
10x2 + 10y2 30x + 20y 100 = 0, en el punto de tangencia P(5,2).
(Solucin:7x + 6y 47 = 0)
6.- La ecuacin de la circunferencia es (x 4)2 + (y 3)2 = 20.
Halla la ecuacin de la recta tangente a este crculo en el punto de
tangencia P(6,7). (Solucin: x + 2y 20 = 0)
7.- Halla la ecuacin de la circunferencia de radio 5 y cuyo
centro es el punto de interseccin de las rectas 3x 2y 24 = 0 y 2x +
7y + 9 = 0.
(Solucin: x2 + y2 12x + 6y + 20 = 0 )
ELIPSE
Definicin Es un lugar geomtrico que describe un punto que se
mueve en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos
fijos llamados focos es siempre igual a una constante.
Partes de la elipse.
x
y
0
focos
Lado Recto Lado RectoCentro
Vrtice VrticeEje Mayor = 2a
Polo o covrtice
Eje Menor=2b
-
38
Ecuacin general de la elipse
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Caractersticas:A C y Positivos
ba
c F
a2 = b2 + c2
F
a
x
0
Relacin entre los parmetros de la elipse
a2 = b2 + c2
x0
c
b
a
yRelacin entre los parmetros de la elipse
-
39
a
ce
a
bRLL ==22
..
x
0
Lado recto y excentricidad
Ecuacin cannica de la elipse C (0,0) eje mayor en el eje x
1by
a
x2
2
2
2
=+
x
y
0
-
40
Ecuacin cannica de la elipse C(0,0) eje mayor en el eje y
x0
122
2
2
=+bx
a
y
Ecuacin cannica de la elipse C (h,k),eje mayor paralelo al el
eje y
1b
)hx(a
)ky(2
2
2
2
=
+
x
y
0
-
41
Ecuacin cannica de la elipse C (h,k), eje mayor paralelo al el
eje x
1)()( 22
2
2=
+
bky
a
hx
x
y
0
Ejemplo. Calcula la ecuacin de la elipse si sus vrtices se
encuentran en las coordenadas ( 3,7 ) y ( 3, 1) y la longitud de su
lado recto es 2 Como los vrtices se encuentran sobre el eje focal y
las coordenadas 3 se repiten el eje focal es paralelo al eje y por
lo tanto la ecuacin que utilizaremos ser
1)()( 22
2
2=
+
a
kyb
hx
El centro es el punto medio entre los dos vrtices por lo tanto
C( 3,3)
La distancia entre los dos vrtices es igual a 8 y esto es igual
a la longitud del eje mayor de tal forma que : 2 a = 8, a = 4 , a2
= 16
Si la longitud del lado recto es igual a 2
82
422
2
2
=
=
==
bb
acomoa
b
Por lo tanto la ecuacin de la elipse en su forma ordinaria
ser
116
)3(4
)3( 22=
++ yx
-
42
Ejercicios
1.- Encuentra la ecuacin de la elipse que:
a) Tiene sus vrtices en los puntos (4,0) y ( 4,0) y sus focos en
(3,0) y ( 3,0). b) Tiene sus vrtices en los puntos (0,6) y (0, 6) y
sus focos (0,4) y (0, 4). c) Sus focos son (2,0) y ( 2,0) y su
excentricidad es 2/3. d) Tiene sus focos en (3,8) y (3,2) y la
longitud de su eje mayor es 10. e) Sus vrtices son ( 3, 1) y (5, 1)
y su excentricidad es . f) Sus vrtices son (2,6) y (2, 2) y la
longitud de su lado recto es 2.
Soluciones:
a) 1716
22
=+yx ;
b) 13620
22
=+yx
;
c) 159
22
=+yx ;
d) 25x2 +16 y2 150x 160y +225 = 0; e) 7x2 +16 y2 14x +32y 89 =
0; f) 4x2 + y2 16x 4y+ 4 = 0.
2.- Cules de las siguientes ecuaciones tienen como grfica a una
elipse:
a) 2x2 + 2y2 3x + 4y 5 = 0 b) x2 + 3y2 x 6 = 0 c) 3x2 2y2 + 4x
3y = 0 d) 2x2 + 5y2 +6x = 0 e) 4x2 + 3y 8 = 0 f) 5x2 + y2 +3x 2y 4
= 0 g) 1
9)2(
4)3( 22
=
++
yx h) 1
164
22=+
yx
i) 12
)6(4
)2( 22=
+
+ yx j) (x + 2)2 + (y 3)2 = 1
k) 14
)3( 22=+
+ yx l) 14
)3( 22=
yx
Solucin: a, b, f, g, h, k
3.- De las siguientes ecuaciones que tienen como grfica una
elipse, cules son elipses horizontales y cules son verticales.
a) 116
)2(4
)3( 22=
+ yx
b) 14
)2(16
)3( 22=
yx
-
43
c) 12
)6(4
)2( 22=
+
+ yx d) 1
4)3()2(
22
=
+y
x
e) 16
)3(4
22=
+yx
f) 124
22=+
yx
g) 2x2 + 3y2 4x + 12y = 0 h) 3x2 y2 + 4x + y + 6 = 0
i) x2 + 2y2 + 3x 8 = 0 j) x2 + 2y2 3x 6 = 0
Respuestas: Horizontal: b, c, f, g, i, j Vertical: a, d, e,
h
4.- Para cada una de las siguientes elipses encuentra: Las
coordenadas del centro La medida del eje mayor La medida del eje
menor
a) 116
)3(4
)3( 22=
++
yx b) 1
16)3(
9)3( 22
=
++ yx
c) 14
)8(25
)2( 22=
++
yx d) 1
4)4()3(
22
=
++
yx
e) 1416
22=+
yx f) 1)2(
42
2=++ yx
g) 136
)5( 22=+
yx
Respuestas:
Coordenada del centro Eje mayor Eje menor a) (3, 3) 8 4 b) ( 2,
3) 8 6 c) (2, 8) 10 4 d) (3, 4) 4 2 e) (0, 0) 8 4 f) (0, 2) 4 2 g)
(5, 0) 12 2 h) (1, 2) 6 4.9 i) (0, 2) 4 2 j) (2, 3) 8.48 6.92
-
44
UNIDAD 5 LA PARBOLA Y SU ECUACION CARTESIANA Propsitos:
Consolidar el manejo de los mtodos analticos a travs del estudio
de la ecuacin de la parbola. Avanzar en el reconocimiento de
formas, estructuras y procedimientos, al resolver diversos
problemas que involucren tanto a la parbola como a otros lugares
geomtricos ya vistos.
Definicin: Lugar geomtrico de los puntos que equidistan de un
punto llamado foco F y de una recta fija r llamada directriz.
Cualquier punto P de la parbola cumple: d (P, F ) = d (P, r )
Elementos de una parbola
Ecuaciones de la parbola Ver temas de geometra Analtica pags.
669-680 Swokowski
Directriz
lado recto
F
Eje d
e sim
etra
Vrtice
P
-
45
Ecuacin Ordinaria de la parbola con sus elementos
Ecuacin Grfica Eje de simetra Foco directriz
( x h) 2 = 4p( y k)
x
y
x = h ( h, k + p) y = k p
( x h) 2 = 4p( y k) x
y
x = h ( h, k p) y = k + p
( y k) 2 = 4p( x h)
x
y
y = k ( h+ p, k ) x = h p
( y k) 2 = 4p( x h) x
y
y = k ( h p, k ) x = h + p
-
46
EJERCICIOS 1. Cules de las siguientes ecuaciones tienen como
grfica a una parbola?
a) 04532 22 =++ xyx k) 82 = xy b) 06322 =+ xyx l) )4(62 = yx d)
0322 =+ yxx m) 84 = xy e) 042 =++ yx n) 1063 2 += xxy f) 25)3()2(
22 =++ yx o) 43 += yx
h) 1164
22
=+yx
p) 52 = yx
i) )2(5)2( 2 += xy
j) 19
)3(4
)2( 22=
++
yx
Respuesta: d, e. g, i, k, l, n, p 2. De las siguientes
ecuaciones que tienen como grfica una parbola,
Cules son parbolas horizontales y cuales son verticales?
a) )4(82)3( = yx k) xxy 43 2 +=
b) )3(42)2( += xy l) 52 = xy c) )5(6)4( 2 +=+ yx m) 64 2 += yx
d) )2(16)3( 2 =+ xy n) 83 2 = yx e) 05342 2 =++ yxx f) 0322 =+ yxx
g) 0832 =++ yyx h) 0632 2 =+ yx I) )4(32 += xy j) yx 4)5( 2 =
Respuesta: Verticales: a, c, e, f, j, k, l Horizontales: b, d, g,
h, i, m, n
-
47
3. De las siguientes ecuaciones que tienen como grfica una
parbola vertical, Cules se abren hacia arriba y cuales hacia abajo?
a) )6(3)2( 2 = yx m) 843 2 += xxy b) )6(3)2( 2 += yx n) 1062 2 + xx
c) )5(2)6( 2 =+ yx o) 6)2(4 2 += xu d) )5(42 += yx p) 3)5(3 2 += xy
e) yx 62 = f) yx 5)3( 2 =+ g) 4)8( 2 = yx h) 2)1()8(3 += xy i) 0242
=+ yxx j) 0843 2 =+ yx k) 034 2 =++ yxx l) 062 2 = yxx
Respuesta: abren hacia arriba: a, c, g, h, i, j, l, m, o Abren
hacia abajo: b, d, e, f, k, n, p
4. De las siguientes ecuaciones que tienen como grfica una
parbola
horizontal Cules abren hacia la derecha y cuales hacia la
izquierda?
a) )8(5)3( 2 =+ xy l) 23yx = b) xy 62 = m) 3)2(3 2 += yx c) xy
4)2( 2 =+ n) 2)3(2 = yx d) )4(7)5( 2 += xy o) 1)2(4 2 ++= yx e)
)3(62 += xy f) 2)5(2 =+ yx g) 2)6()4(3 += yx h) 04523 2 =++ yyx i)
0632 =++ yyx j) 06432 2 =++ yyx k) 0542 =+ xyx Respuesta: abren
hacia la derecha: a, b, c, f, g, i, k, l, n
Abren hacia la izquierda: d, e, h, j, m, o
-
48
5. De cada una de las siguiente parbolas encuentra: Las
coordenadas del vrtice La distancia del vrtice al foco Lo que mide
el lado recto
a) )4(8)3( 2 += yx b) )1(4)3( 2 =+ xy c) )1(6)2( 2 += xy d)
)4(12)1( 2 +=+ yx e) )3(22 = yx f) yx 4)2( 2 =+ g) xy 22 = h) 08242
=++ yxx i) 0862 2 =+ yx j) 0824 2 =+ yyx
Respuesta Vrtice Distancia vrtice-foco Longitud del lado recto
a) (3, 4) 2 8 b) (1, 3) 1 4 c) ( 1, 2) 1.5 6 d) ( 1, 4) 3 12 e) (0,
3) 0.5 2 f) ( 2, 0) 1 4 g) (0, 0) 0.5 2 h) ( 2, 2) 0.5 2 i) (0, 2)
.75 3 j) (2, 2) .5 4
-
49
6. Encuentra las coordenadas del foco de cada una de las
siguientes parbolas. En cada caso dibuja la parbola
a) )4(8)2( 2 = yx b) )1(4)3( 2 +=+ yx c) )5(2)4( 2 = xy d)
)2(6)2( 2 +=+ xy e) )8(62 = yx f) xy 42 = g) yx 32 = h) 08242 =++
yxx i) 0862 2 =+ yx j) 0624 2 =+ yyx
Respuestas: a) (2, 6) b) ( 3, 0) c) (4.5, 4) d) ( 3.5, 2) e) (0,
6.5) f) ( 1, 0) g) (0, 0.75) h) ( 2, 2.5) i) (0, 2.75) j) (1.5, 2)
7. Escribe la ecuacin en la forma ordinaria de cada una de la
parbola con las
siguientes caractersticas. En cada caso dibuja la parbola
a) Vrtice (1, 2) foco (1, 5) b) Vrtice (1, 2) foco ( 3, 2) c) La
parbola es horizontal y abre hacia la derecha, vrtice (1, 3) lado
recto mide 8. d) Vrtice (0, 1), foco (0, 2) e) Vrtice (2, 3), foco
(6, 3) f) La parbola es horizontal y abre hacia la izquierda, foco
(2, 4), la distancia del foco al vrtice es 2. i) La parbola es
vertical y abre hacia arriba, la distancia del vrtice al foco es 4,
vrtice (2, 5)
-
50
8) Escribe la ecuacin en la forma general para cada una de las
siguientes parbolas. En cada caso dibuja la parbola.
a) La directriz de la parbola es la recta 01 =y , y su foco el
punto (4, 3)
b) La directriz de la parbola es la recta 05 =+x , y su vrtice
es el punto (0, 3)
c) Pasa por los puntos A (0, 0), B (8, 4), y C (3, 1) y el eje
es paralelo al eje de las abscisas.
d) Pasa por el punto A (3, 3), tiene como vrtice el punto (4, 1)
y eje la recta 01 =+y .
Respuestas:
a) 024882 =++ yxx b) 09622 =+ yoxy c) 022 =+ yxy d) 015242 =++
yxy
-
51
BIBLIOGRAFIA
o BARNET, R. Preclculo. lgebra, Geometra Analtica y
Trigonometra. Mxico, LIMUSA, 1998.
o CABALLERO, C. Arqumedes et al. Geometra Analtica. Mxico,
ESFINGE, 2003.
o FILLOY, E. Y HITT F. Geometra Analtica. Mxico, Iberoamricana,
2002.
o KINDLE H. JOSEPH. Geometra Analtica. Mxico, McGraw-Hill, 1970.
Coleccin Shaums
o LEHMANN CH. Geometra Analtica. Mxico, Limusa, 1990.
o LEITHOLD, L. lgebra. Mxico, HARLA, 1980.
o REES, P. y SPARKS, F. lgebra. Mxico, McGraw-Hill, 1994.
o SWOKOWSKI, E. y COLE, A. lgebra y Trigonometra con Geometra
Analtica. Mxico, Santillan, 2003.