MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE UNIVERSITATEA DIN PITEŞTI ŞCOALA GIMNAZIALĂ „GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN OLT LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL” CARACAL Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056 7 IUNIE 2014 Clasa a III-a Subiectul 1 (10 puncte) (2p) 55 a (2p) 105 b (2p) 155 c (2p) [( ) ( )] 50 50 0 c b b a (2p) 209 [( ) ( )] 0 c b b a Subiectul 2 (20 puncte) (2p) D S R (3p) 3 56:7 38 24 S (3p) 24 28 52 R (4p) D S R (4p) 24 52 76 D (4p) 76 24 52 152 D S R Subiectul 3 (30 puncte) t+g = 505 t + c = 465 g + c = 870 (3p) 2t+2g+2c=1840 (5p) 2(t+g +c) =1840 (5p) t+g +c =1840:2 (2p) t+g +c =920 t+g = 505 (5p) / / c=415 t+g +c =920 t + c = 465 (5p) / g / =455 t+g +c =920 g+ c =870 (5 p ) t / / =50 Subiectul 4 (30 puncte) (5p) În urmă cu 2 ani, suma vârstelor a fost: 56-(2+2+2+2)=56-8=48 ani (5 p) Diferenţa 49-48=1 an, arată cel mai mic dintre copii, acum 2 ani nu era născut. Deci el s-a născut acum 1 an. Vârsta celui mai mic copil este de 1 an. (4 p) Copilul cel mare are 1+3=4 ani. (4p) Părinţii au împreună 56-4-1=51 ani. (4 p) Cum diferenţa dintre ei este de 3 ani, 51-3=48 ani
26
Embed
S · Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056 7 IUNIE 2014
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a III-a Subiectul 1 (10 puncte) (2p) 55a (2p) 105b (2p) 155c (2p) [( ) ( )] 50 50 0c b b a (2p) 209 [( ) ( )] 0c b b a Subiectul 2 (20 puncte) (2p) D S R (3p) 3 56 : 7 3 8 24S (3p) 24 28 52R (4p) D S R (4p) 24 52 76D (4p) 76 24 52 152D S R Subiectul 3 (30 puncte) t+g = 505 t + c = 465 g + c = 870 (3p) 2t+2g+2c=1840 (5p) 2(t+g +c) =1840 (5p) t+g +c =1840:2 (2p) t+g +c =920 t+g = 505 (5p) / / c=415 t+g +c =920 t + c = 465 (5p) / g / =455 t+g +c =920 g+ c =870 (5 p ) t / / =50 Subiectul 4 (30 puncte) (5p) În urmă cu 2 ani, suma vârstelor a fost: 56-(2+2+2+2)=56-8=48 ani (5 p) Diferenţa 49-48=1 an, arată cel mai mic dintre copii, acum 2 ani nu era născut. Deci el s-a născut acum 1 an. Vârsta celui mai mic copil este de 1 an. (4 p) Copilul cel mare are 1+3=4 ani. (4p) Părinţii au împreună 56-4-1=51 ani. (4 p) Cum diferenţa dintre ei este de 3 ani, 51-3=48 ani
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 (4 p) 48:2 =24 ani are mama (4 p) în timp ce tata are 24+3=27 ani Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a IV-a
Subiectul 1 (10 puncte) (2p) 6 (20 14 )a a
(2p) 6 (20 14 )a a (4p) 81 (14 95)a a
(2p) 6,7,8,9, ,79,80a Subiectul 2 (20 puncte) (2p) 1 2 3 2014 5 10 15 2010 (8p) 2014 2015 : 2 5 1 2 3 .... 402 (2p) 4 058 210 : 2 5 402 403: 2 (2p) 2029 105 2010 403: 2 (2p) 2029 105 810 030 : 2 (2p) 2029 105 405015 (2p) 1624090 Subiectul 3 (30 puncte) Scriind explicit în baza 10 avem: (10p) 100 10 10 10 10a b c a b b c c a , adica (10p) 100 10 11 11 11a b c a b c , de unde 98 10a b (10p) Egalitatea are loc pentru 8c , 9b , 1a şi 198abc . Subiectul 4 (30 puncte)
(4p) 2 1 37 7 7 a vândut a doua zi
(4p) 2 3 57 7 7 a vândut în cele două zile
(5p) 7 5 27 7 7 a vândut a treia zi
(5p) 27
reprezintă 150 kg
(6p) 17
reprezintă 150:2=75 kg
(6p) 77
reprezintă 75kg x7=525 kg de roşii a avut la început comerciantul
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a V-a Subiectul 1(10 puncte) Fie x numărul de litri din primul vas, y numărul de litri din al doilea vas, respectiv, z numărul de litri din al treilea vas.
2p 156
2p 8 8 5 21
3p 4 4 7 15
3p 3 36 156 40 61, 55
x y z
x z x z
y z y z
z z x y
Subiectul 2(20 puncte) Notǎm: a prețul unui pix, b prețul unui creion și c prețul unei cărți. (3p) 7 5 12 58,5 (1)a b c (3p) 5 7 19,5a b (5p) Prin adunarea celor douǎ relații rezultǎ 12 78 6,5a b c a b c (4p) Deci 3 3 3 19,5a b c (2) (5p) Scǎdem relațiile (1) și (2) membru cu membru și avem: 4 2 9 39a b c Subiectul 3(30 puncte)
(3p) a) 1(3p) ( ) 1(3p) 1(3p) 1
(3p) {121;231;341;451;561;671;781;891}
b ac a bcc b acb a
abc
(5p) )b 506am
(5p) c) 1,2 , 1,25m np
(5p) 121A B Subiectul 4 (30 puncte) (5p) a) Numărul a se terminǎ în una din cifrele: 0, 1, 4, 5, 6, 9, n , (5p) iar numerele 20145 2b şi 20145 3b se termină în una din cifrele 2, 7 respectiv 3, 8 (5p) A B (5p) b) Notăm 2 3 2012 20132014 2014 2014 ... 2014 2014S 2 3 2013 20142014 2014 2014 ... 2014 2014S
(5p) Prin scăderea celor două relaţii avem: 2014
2014 2014 20142013 2014 2014 2013
S S
(3p) 10062014A
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
(2p) Avem 25032014A
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a VI-a Subiectul 1(10 puncte) (3p) Ultima cifra pentru primi patru termeni: 2 3 47 7 7 7 7 9 3 1 0U U (3p) Grupǎm termenii sumei cȃte patru și calculǎm ultima cifrǎ = 0 (2p) 2013 20147 7 7 9 6U U (2p) 2 3 20147 7 7 ... 7 6 2U
(5p) 2 4 201256 (1 7 7 ... 7 ) 2 Subiectul 2 (20 puncte) Se noteazǎ , ,a b c sumele de bani depuse de Ionuţ, Dan, respectiv, Mihai.
(3p) Scrie 3 7a b
(3p) Obţine 3 6b c
(5p) Folosind proporţii derivate cu alţi termeni, prin ȋnmulţirea numitorilor cu 3,
respectiv cu 7, obţine 9 21 42a b c
(2p) Cel mai mic cub perfect par de trei cifre este 36 216 (2p) Scrie 9 , 21 , 42a k b k c k (3p) Scrie ecuaţia 9 21 42 216k k k şi gǎseşte 3k (2p) Finalizeazǎ 27, 63, 126a b c Subiectul 3(30 puncte) (3p) a) Descompune numerele 3 2x şi 13x ȋn baza 10 şi obţine 315 110n x (4p) Observǎ cǎ 315 9 şi din faptul cǎ 9n rezultă că 9n (1p) 106 978 3 17 2a x x
(1p) 106 971 3 1a
(2p) 1 3 1a
(2p) 24 2a este pǎtrat perfect
(5p) b) Din egalitatea 2, 0,5x x , se obţine 5x
(1p) Scrie 1 2 3 20145 5 5 5n
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 (4p) Stabileşte cǎ trei puteri consecutive ale lui 5 au suma divizibilǎ cu 31 (2p) Observǎ cǎ suma are 2014 termeni şi cǎ restul ȋmpǎrţirii lui 2014 la 3 este 1 (2p) Scrie 2014 2013 2012 4 3 2 1
315 5 5 5 5 5 5 5n M (1p) Obţine cǎ nu este divizibil cu 31 Subiectul 4 (30 puncte)
(5p) Scrie relaţiile 2m A m B , 1
3m C m B , 180m A m B m C
(8p) Rezolvǎ sistemul de ecuaţii şi obţine 108m A , 54m B , 18m C .
(8p) Din faptul cǎ AD este bisectoarea BAC , rezultǎ cǎ 54m CAD .
(5p) Din triunghiul AEC , dreptunghic ȋn E , obţinem 36m ACE .
(4p) Observǎ cǎ 12
m ACD m ACE , deci cǎ CD este bisectoarea ACE .
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a VIII-a Subiectul 1(10 puncte)
2
2
2
2252p 2 +2xy=225
3002p y 2 +2yz=300
3752p 2 +2xz=375
x y xx
z yy
z x zz
(2p) Adunȃnd cele trei relații membru cu membru avem: 2 900x y z (2p) 30x y z , care nu e pǎtrat perfect Subiectul 2 (20 puncte) (5p) Calculează 29BC cm , 21AC cm , 20AB cm (3p) Demonstrează folosind că OM BC (2p) Demonstrează că O este centrul cercului înscris în ABC
(2p) Calculează Aria ABCO M
p
, cu p semiperimetrul triunghiului ABC , de unde rezultă
6O M cm (2p) Demonstrează că înălţimile feţelor laterale au aceeaşi lungime (2p) Calculează aria laterală şi obţine că este egală cu 2350 cm (2p) Calculează 8VO cm .
(2p) Calculează volumul piramidei şi obţine 3550 cm
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 Subiectul 3 (30 puncte)
6p) a) Notăm 2011x şi scriem 22 21 2 3 1 3 1 3 1x x x x x x x x .
(4p) Atunci 22011 2012 2013 2014 1 2012n se scrie sub formă echivalentă 2 22011 3 2011 1 2012n . (3p) 2 22011 1 2011 2012n , deci 2011n . (2p) b) 3 3 3 3 3 3 3 3
1 2 3 2014 1 2 3 2014+ ... 2009 + ... 2a a a a n a a a a
(6p) 3 3
3 3 3 3 3 3 1 11 2 3 2014 1 1
2- ... 2- 12
a aa a a a a a
(3p) 3 3
3 3 3 3 3 3 2 22 1 3 2014 2 2
2- ... 2- 12
a aa a a a a a
…………………………………………………………………………
(3p) 3 3
3 3 3 3 3 3 2014 20142014 1 3 2013 2014 2014
2- ... 2- 12
a aa a a a a a
(3p) Prin însumarea acestor inegalităţi rezultă inegalitatea cerută. Subiectul 4(30 puncte) (3p) a) Demonstrează că AM OB , M OB (3p) Demonstrează că AN OC , N OC
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
(3p) 1 1 2 10 22 3 3 3 3
MNPR BD AC AQ cm , unde AC BD Q
(2p) Calculează 203
AR cm
(3p) b) Demonstrează că unghiul diedru este este chiar unghiul RAS , unde RS AC , S AC (3p) Cum RS AP şi AS PR AS = PR, rezultă că ASR este dreptunghic isoscel, de ipotenuză AR
(2p) Determină 45m RAS
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a IX -a M1 Subiectul 1(10 puncte) (2p) a) *n
(3p) b) (3p) Dacă *n , avem că 2 223 0,6 9 4 3 0,7 (1)n n n n
(2p) Deci 29 4 3n n n , *n (3p) c) prima zecimală a numerelor este mereu 6, vezi relaţia (1) Subiectul 2(20 puncte) (3p) Fie , \ 1k p : DA k DB
și EA p EC
(3p) 0 1 1 0 (1)DA DB EA EC k DB p EC
, necoliniari (2)DB EC
(3p) Din (1) și (2) rezultă 1k p (3p) rezultă D , E mijloacele laturilor AB , respectiv AC . (2p) Deci T este centrul de greutate (3p) 0TA TB TC
(3p) rezultă TB TC TA
rezultă 1 Subiectul 3(30 puncte) (3p) Din 3 22 3 6 3x x x x x rezultă 3 22 3 6x x x x x x x
(2p 3 2 3 22 3 6 3 3x x x x x x x x
(3p) 2 22 6 3 0x x x x
(4p) 22 3 0x x
(3p) 1 2 0x x
(3) 2 3 0 1,0,1x x
(3p) 1 1,0x x
(3p) 0 0,1x x
(3p) 1 1, 2x x
(3p) Soluția este 1,0 0,1 1,2x Subiectul 4(30 puncte) (3p) Scăzând ecuaţia a doua din prima ecuaţie și apoi ecuaţia a treia din a doua ecuaţie obţinem ( )( ) 2 (1)a b a b c
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 (3p) ( )( ) 2 (2)b c a b c (1p) Deducem că ba , cb și 0 cba . (3p) Împărţind ecuaţiile (1) și (2) obţinem cbba , adică cba 2 . (3p) Înlocuind pe a în primele două ecuaţii ale sistemului avem: 2 24 5 3 (3)b bc c (3p) 2 22 1 (4)b bc c
(3p) Din (4) rezultă 1 cb și apoi din (3) obţinem 31
c .
(1p) Soluţiile sistemului sunt
31,
32,
35;
31,
32,
35),,( cba .
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a IX -a M2
Subiectul 1 (10 puncte) (5p) Relația dată este echivalentă cu 1 1 1 124 25 26 46 40a r a r a r a r .
(2p) Din această relație se obține 12 29 40a r
(3p) 1 3030 1
302 29 15 600
2a a
S a r
.
Subiectul 2 (20 puncte) (8p) ( )( ) 8 (4 10) 8 ( ) 2 20f f f x x m f x x m f t t m unde 4 10t x . (5p) Atunci, ( ( )) 2 ( ) 20f f x f x m . Cum ( )( ) 4 10f f x x , rezultă (5p) 4 10 2(2 20 ) 20x x m m
(2p) 703
m .
Subiectul 3(30 puncte) (5p) a) , ,B G E sunt coliniare dacă şi numai dacă E E este mijlocul laturii AC
(5p) adică ( , ) (3;0)2 2
A C A Cx x y yE E .
(5p) b) Vectorii AB
și AC
formează un unghi obtuz cos 0A . ( , ) (2;4)B A B AAB x x y y AB
, ( , ) (4; 4)C A C AAC x x y y AC
(8p) 2 4 4 1cos 0
20 32 10AB ACAAB AC
.
(5p) c) 2 3sin 1 cos10
A A
(2p) sin 3cos
AtgAA
.
Subiectul 4 (30 puncte) a)(8p) Aplicǎm inegalitatea mediilor și avem: 90 99 110 30ab bc ac a b c (4p) 30 2014 1984a b c a b c (3p) min 1984a b c
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
(5p) b) 2 1 03 3 1x (4p) 2sin [0,1]x
(3p) Deci 2 1 23 sin 1x x
(3p) 12
x
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a X -a M1
Subiectul 1(10 puncte) (3p) a) Obține 1 cos sinz t i t şi 2 cos sinz t i t
(4p) b) Obține 22
1 0zz
, 44
1 2zz
, 88
1 2zz
(3p) c) Obține 20482048
1 2zz
Subiectul 2(20 puncte)
(5p) 2 2 2
a b c ab bc cadb c a r r r
, de unde 2 2r d ab bc ca r d ab bc c a şi
2 2 2 23r a b c aa bb cc
(5p) Adunând ultimele trei relaţii obţinem:
22 2Re 3r d a a b c b a b c c a b c a b c a b c a b c
22 2Re 3r d a b c
(5p) Dacă 23Re 0 02
d a b c a b c
(5p) Dacă 30 2 3 0 Re2
a b c Red d
Subiectul 3(30 puncte) (3p) Presupunem că a b , atunci avem 11 11a b şi 7 7a b .
(4p) Din 5 11 17 5 11 17a b a a b b sau 5 11 1 (1)
17 17
a b
(3p) Considerăm că :f , 5 1117 17
x xf x
(5p) Funcţia f este strict descrescătoare şi 161 1 1 1 (2)17
f f a f f a a
(6p) Din 7 237 23 29 7 23 29 1 (3)29 29
a ba b b a b b
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
(6p) Funcţia :g , 7 2329 29
x xg x
este strict descrescătoare şi
301 1 1 1 1 (4)29
g g g b b
(3p) Din (2) si (4) se obţine 0a b . Subiectul 4(30 puncte)
(5p) 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1
a b ca b c a c b a c b a a c b b a c c b
a c a b b c
Aplicǎm regula C-B-S (Titu Andreescu)
(7p) 22 2 2
1 1 1 1 1 1a b ca b c
a c a b b c a c a b b c
(7p) 2 2
1 1 1 1 1 1a b c a b c a b c
a b ca c a b b c a c a b b c
(7p ) 3 3
3
a b c a b ca b c a b c a b c c b a
a c a b b c a c a b b c
(3p) 23 3 3 2 2 2
3
a b ca b c a c b a c b c b a
a c a b b c
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a X -a M2 Subiectul 1(10 puncte) (4p) Înlocuim pe 1x şi obţinem că 0 2f
217 10 8 4 5 5102 3 2 3 2 2 3 3 512 256 243 , de unde, evident, rezultă a c . (1p) Deci, d b c a . Subiectul 3(30 puncte) (3p) a) 226ln 3 226ln 3 (3p) 2ln3362ln 336
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 (6p) 336226 23 (2p) Finalizare
(3p) b)Funcţia 211)(,)1,1(:x
xfRf
este concavă
Din concavitatea funcţiei avem
(7p) 2
321
21222
21 1
...)(...)()(
11....
11
11
nn
nxxxnfxfxfxf
xxxn
nn
(4p) 21
2
2
3 nn
n
(2p) Concluzia Subiectul 4(30 puncte)
7p) a) Pornind de la egalitatea 1 1 1n m n mx x x
(7p) Identificând coeficientul lui kx (6p) Se demonstrează egalitatea cerută (10p) b) Se alege în a) cazul particular n m k
Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a XI -a M1 Subiectul 1(10 puncte) (2p) a) 2 22 cos3 3 sin 3x xf x e x e x
(2p) 2 25 cos3 12 sin 3x xf x e x e x (2p) Verifică relaţia. (1p) b) Ecuaţia 0 0y f f x (3p) Finalizare: 2 1 0x y Subiectul 2(20 puncte) (10p) a) Prin inducţie se determină ,1a a an n cu 1 ,a a 2
1 ,n nb b na b cu 1 ,b b 1;n
(10p) b) Deducem ,na na 2( 1) ,2n
n nb nb a 1,n rezultă
2( 1)12
0 10 0 0
n
n nna nb a
A na
.
Subiectul 3(30 puncte)
(15p) a) Fie funcţia : 1f dată de 1
2 1( ) 1 ...1
nn xf x x x x
x
.
Rezultă 1
2 12
( 1) 1'( ) 1 2 3 ... ,( 1)
n nn
nnx n xS f x x x nx
x
1x .
(8p) b) Dacă în identitatea de mai sus înlocuim 1 ,3
x obţinem: 2 3 1 12 3 4 9 11 ... 1 ,3 43 3 3 3 3n n n
n n n
(7p) de unde 2 3 12 3 4 9lim 1 ...3 43 3 3nn
n
.
Subiectul 4(30 puncte)
1 11 2
1 2 1 21 2
...(10 ) ... ......
x x xxx x x x xn
n nxn
a a ap n a a a n a a aa a a
. (8p) Fie funcţia :f , 1
1 2 1 2( ) ... ... xx x x xn nf x a a a n a a a despre care se ştie ( ) 0 (0)f x f şi,
conform teoremei lui Fermat, 1 1
'(0) 0 ln ln ln 0n n
k kk k
f a n a n n
(8p) 1/ 1/
1 1
1 1ln ln
n nn nk kn n
k kk k
k k
a aa a
n n
(4p) ceea ce din inegalitatea mediilor, corespunde cazului 1 2 ... na a a . Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a XI -a M2 Subiectul 1 (10 puncte) (5p) a) Din condiţia de existenţă a matricei inverse det 0A a , rezultă 2 1 0a a .
Deci matricea A a este inversabilă pentru orice număr \ 1,2a .
(5 p) b) Soluţia sistemului este tripletul 1,0,0 oricare ar fi numărul \ 1,2a . Subiectul 2 (20 puncte) (5p) a) 1xf x e , pentru orice a .
(5p) b) 0 1 0xf x e x . Din tabelul de variaţie rezultă că funcţia f este descrescătoare pe ,0
şi crescătoare pe 0, .
(10p) c) Din tabelul de variaţie obţinem că 0,0O este punct de minim al funcţiei f , deci 0f x , x .
De aici, pentru x avem 2 22 21 2x x x xe x e x e e x x
Subiectul 3 (30 puncte) (10 p) a) Se verificǎ prin calcul
(8p) b) 1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 3B A a b c a b c A
a b c
(4 p) c) Fie 1 2 3, , , , , A a f a A b f b A c f c cele trei puncte, cu a b c
1 2 3
12 2
b a c b c a a b cS A A A B
(4 p) Cel puțin douǎ dintre cele trei numere a, b, c au aceeași paritate, deci cel puțin unul dintre numerele ,b a ,c b c a este par, de unde rezultă că 1 2 3S A A A
(4 p) Se aratǎ cǎ , ,f a f b f c sunt multipli de 3, de unde rezultă că B este divizibil cu 3.
Deci 1 2 3S A A A este divizibil cu 3 Subiectul 4 (30 puncte)
(10p) a) 21 3 1 1 0
42f x f f
x x xx , este strict crescătoare.
(10p) b) Se poate demonstra prin calcul sau aplicând Teorema lui Lagrange. (5p) c) Se adună relaţiile de la (b), de la 1k până la k n şi astfel se obţine marginea şirului 1n na
(5p) Şirul este evident crescător, deci este convergent conform Teoremei lui Weierstrass Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în
barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a XII -a M1 Subiectul 1 (10 puncte)
(2p) 21 20 0
2
sin sin sinxf x dx xf x dx xf x dx I I
.
(6p) 2 2 22 0 0 0
sin sin sinI t f t dt f t dt tf t dt
, cu schimbarea de variabilă x t
(2p) Finalizare 21 2 0
sinI I I f t dt
Subiectul 2(20 puncte)
(10p) 1 1
12
20 0 0 0
1 zn nxx f dx nt f t ndt n t f t dt t f t dtn z
, cu substituţiile x t
n şi 1 z
n .
(10p) Se aplicǎ regula lui l’Hospital și limita este egalǎ cu '(0)2
f
Subiectul 3 (30 puncte)
115 ) , 1 0
a
ap a x a a c f x d f x dx d
d
11 1 1 1 15 Cum 0 si 0
a
ap c dx d
d f x c d f x
(5p) Prin înmulțirea celor două relații rezultă inegalitatea cerută.
(5p) b) Conform formulei de medie pentru integrale . 1n n astfel încât 1
2015 20151 1n
nxdxx
(3p) Dar 2015 2015 2015
11 11 1
n nnn
(4p) Înmulțim relația cu 2014n și obținem:
2014 2014 20142015 2015 2015
11 11 1
n nn n nnn
.
2015 2015 20142014
2015 2015 20151 11 1
n n nnnn
(3p) Conform criteriului cleștelui observăm că limita cerută este gală cu 1 Subiectul 4 (30 puncte)
(5p) a) Se demonstrează prin inducție că 10 1
k kA
, k
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
(3p) Observăm că 1 10 1
kk kA A
, k
(2p) Așadar, 10 1
k kA
, k
(10 p) b) Fie 1 1
, , ,0 1 0 1k h
k hA G A G k h
Avem k h k hA A G și 1 ,k kA A G k
Deci ,G este subgrup al grupului 2 ,M , rezultă ,G este grup.
Fie funcția : , kf G f A k
(3p) c) Injectivitatea: Fie kA , hA , a.î. k hf A f A , rezultă k hA A , rezultă că f este injectivă
(3p) Surjectivitatea: k , kA G , a.î. kf A k , de unde rezultă f este surjectivă.
(4p) funcşia f este un morfism: k h k h k hf A A f A k h f A f A , rezultă că f este morfism Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014
Clasa a XII -a M2 Subiectul 1(10 puncte)
3 1 211
(4 ) (1 )nnnp I x x dx =
3 211
(1 )nnI x x dx
'
2 21 13 2 21
211
1 1 4 2(4 ) ( 1) (1 )2 2
n nn n
nn n
n
p I x x dx
(2 ) Finalizare lim ( 1)nn
p n I
Subiectul 2(20 puncte)
(2p) a)
6 9
2 3
1 1
1 1
x xF x dx
x x
(2p)
2 4 2 3 6 3
2 3
1 1 1 1
1 1
x x x x x xF x dx
x x
(2p) 10 8 7 6 5 4 3 2 1F x x x x x x x x x dx
(2p) 11 9 7 6 5 4 3
11 9 7 6 5 4 3x x x x x x xF x x c
(2p) 11 9 7 6 5 4 3
0 0 011 9 7 6 5 4 3x x x x x x xF c F x x
Subiectul 3(30 puncte) (5p) a) I K x c
(5p) cos sin ln cos sin 2014cos sin 2014
x xK I dx x x cx x
(5p) 1 ln cos sin 20142
K x x x c
(5p) b) 1 ln cos sin 20142
I x x x c
(5p) c) ln 3 ln 3J x x dx
(5p) 1 ln 3 1 ln 3
1 ln 3 1 ln 3x xJ c
MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE
UNIVERSITATEA DIN
PITEŞTI
ŞCOALA GIMNAZIALĂ
„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN
OLT
LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”
CARACAL
Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056
7 IUNIE 2014 Subiectul 4 (30 puncte)
(1p) a) 1 02014
x H x
(1p) 1 0
2014y H y
(3p) H esteparte stabilă (3p) b) operaţia este bine definită (conform a) ), (3p) asociativitatea, (3p) comutativitatea
(6p) 0e H și 2014 1
xx H
(5p) c) : , ln 1 2014f H f x x este bijectivă
(5p) Se arată proprietatea de morfism , ,f x y f x f y x y H . Se punctează oricare alte modalități de rezolvare corectă a problemelor, chiar dacă sunt diferite de cele propuse în barem.