-
16777799
101011111212131315161717181819222223252526283131313232333333343535373838404141
Spis Treci
Spis TreciRozdzia 1. Kinematyka punktu materialnegoPodstawowe
pojcia opisujce ruch
Wzgldno ruchuPunkt materialnyWektory i skalary. Przemieszczenie,
pooenie i drogaDodawanie wektorw o wsplnym kierunku i
zwrocieMnoenie i dzielenie wektora przez skalarZmiana zwrotu
wektora na przeciwnyPytania i problemy
Droga i prdkoWskazwkaPrdko redniaPrdko chwilowaPrzykad 1Pytania
i problemy
Ruch jednostajnyPrzykad 2Przykad 3Pytania i problemy
Ruch jednostajnie przyspieszonyPrzyspieszenieRwnania prdkoci i
pooenia w ruchu jednostajnie przyspieszonymPrzykad 4Pytania i
problemy
Przyspieszenie ziemskie, swobodne spadanie ciaZapamitajPrzykad
5Pytania i problemy
Dowiadczenie GalileuszOcena niepewnoci pomiarowych
WaneUWAGAUWAGAUwagaWaneUWAGAUwagaPytania i problemy
Ruch jednostajnie opnionyUwagaPrzykad 6Przykad 7Pytania i
problemy
Rzut pionowy w grPrzykad 8Pytania i problemy
-
43444445464647495050505151535657575859606062676870727273777980818286878789909091939494969898
100100101
102
Dowiadczenie wirtualne Rzut pionowyOperacje na wektorach
Dodawanie wektorw. Skadanie ruchwOdejmowanie wektorwWektor
wodzcyRozkadanie wektora na skadoweRzutowanie wektora na
osiePytania i problemy
Wektor prdkociWektor prdkoci i jego wsprzdneWektor prdkoci
chwilowejSkadanie prdkociPrzykad 9Przykad 10Pytania i problemy
Wektor przyspieszeniaWskazwkaPrzykad 11Pytania i problemy
Dowiadczenie AkceleracjaUWAGAWskazwka
Rzut poziomyPytania i problemy
Ruch jednostajny po okrguZapamitajPrzykad 12Przykad 13Pytania i
problemy
Rozdzia 2. DynamikaPierwsza zasada dynamiki Newtona
ZapamitajInercjalne ukady odniesienia i zasada wzgldnociPytania
i problemy
Druga zasada dynamiki NewtonaSiaDowiadczenie SprynaDruga zasada
dynamiki NewtonaPrzykad 1Przykad 2Pytania i problemy
Dowiadczenie DynaRozkad si na rwni pochyejSprawdzenie wzoru
Newtona
Trzecia zasada dynamiki NewtonaRememberRememberPrzykad 3Pytania
i problemy
Pd i popd
-
102102102104
105105106107111
112113117
118121121122
123123125126
127128129129129
130131131132132132132134
136136136137140
141141143144
145145146147147148149
150
RememberRememberPrzykad 4Pytania i problemy
Zasada zachowania pduRememberPrzykad 5Przykad 6Pytania i
problemy
Siy bezwadnoci , ukady nieinercjalnePrzykad 7Pytania i
problemy
Dowiadczenie InercjaSiy w ruchu po okrgu
Przykad 8Pytania i problemy
Sia tarciaDowiadczenie TarciePrzykad 9Pytania i problemy
Opory ruchu ciaa w pynie cieczy lub gazieSpadek ciaa w cieczy
lub gaziePrzykad 10Przykad 11Pytania i problemy
Rozdzia 3. Praca i energiaPraca
RememberPrzykad 1Przykad 2Przykad 3Praca rozcigania
sprynyPytania i problemy
EnergiaNoteEnergia potencjalna w polu si cikoci ZiemiEnergia
potencjalna sprystociPytania i problemy
Energia kinetycznaTipCakowita energia ciaaPytania i problemy
Prawo zachowania energii mechanicznejRememberPrzykad 6Przykad
7Przykad 8Oglna zasada zachowania energiiPytania i problemy
Moc
-
150150150151151
152152153154157
159160162
163163164165166
167167168169170170
172172173175176176
178178179180182183184
185186186186187188189
191191191192192194
RememberPrzykad 9SprawnoPrzykad 10Pytania i problemy
ZderzeniaZderzenia niesprystePrzykad 11Zderzenia sprystePytania
i problemy
Rozdzia 4. Dynamika bryy sztywnejRuch postpowy i obrotowy bryy
sztywnej
Pytania i problemyMoment bezwadnoci i energia kinetyczna
RememberEnergia kinetyczna bryy sztywnejPrzykad 1Pytania i
problemy
Twierdzenie Steinera. Zaleno momentu bezwadnoci od pooenia
osiobrotu
rodek masyPrzykad 2Przykad 3Przykad 4Pytania i problemy
Moment siyRememberPraca siy obracajcej bry sztywnWarunki
rwnowagiPrzykad 5Pytania i problemy
rodek cikoci i rodek masyrodek cikociRodzaje rwnowagirodek
masyPrzykad 6Przykad 7Pytania i problemy
Moment pdu i druga zasada dynamiki bryy
sztywnejTipRememberRememberNotePrzykad 8Pytania i problemy
Prawo zachowania momentu pduRememberPrawa zachowania a symetrie
czasu i przestrzeniPrzykad 9Przykad 10Przykad 11
-
195
196196
197199201
202203204204205
206206207208210
211211213214214215
217218
219219219219220221
222222223224
225227
228228229231232
233234235
Pytania i problemyAnalogia midzy wielkociami ruchu obrotowego a
wielkociami ruchupostpowego
Pytania i problemyDowiadczenie Akceleracja BIS
NoteNote
Rozdzia 5. Cienie powszechne (grawitacja)Prawo powszechnego
cienia
RememberPrzykad 1Pytania i problemy
Laboratoryjne potwierdzenie prawa grawitacjiPrzykad 2Waenie
SocaPrzykad 3Pytania i problemy
Grawitacja wewntrz planety temat nadobowizkowyWzr na si
grawitacji wewntrz planetyWykres zalenoci siy grawitacji od
odlegoci od rodka planety kulistejPraca przemieszczenia ciaa
wewntrz jednorodnej planetyPrzykad 4 - Pocig przyszociPytania i
problemy
Regua Titiusa-Bodego - rozdzia nadobowizkowyPytania i
problemy
Prawa Keplera ruchu planetRememberRememberRememberPrzykad
6Pytania i problemy
Pole grawitacyjneNotePrzykad 7Pytania i problemy
Praca w polu grawitacyjnymPytania i problemy
Energia potencjalna w polu grawitacyjnymPrzykad 8Potencja pola
grawitacyjnegoPrzykad 9Pytania i problemy
Prdkoci kosmicznePrzykad 10Pytania i problemy
-
Rozdzia 1. Kinematyka punktumaterialnego Kinematyka jest to
nauka o ruchu ciaa (lub cia). Z ruchem mamy do czynienia na co
dzie. Monapowiedzie, e wszystko, co yje, porusza si. Czowiek
stworzy specjalne urzdzenia doporuszania si samochody, samoloty,
rakiety i wiele innych pojazdw. Do opisu ruchomych ciatrzeba si
posuy takimi pojciami, jak: pooenie, czas, droga, prdko i
przyspieszenie. Wtym rozdziale poznasz i nauczysz si oblicza
wspomniane wyej wielkoci opisujce ruch.Nauczysz si te cile
przewidywa, w jakim miejscu w danej chwili znajdzie si pojazd,
gdzie ikiedy pojazdy si spotkaj. Poznasz opis nie tylko ruchu po
linii prostej, ale i ruchwkrzywoliniowych, ktre wykonuje np. pika w
locie, samochd na uku autostrady czy satelita naorbicie.
Nauka o ruchu kinematyka bada zwizki midzy pooeniem, prdkoci i
przyspieszeniem,nie wnikajc, skd si bior przyspieszenia czy siy.
Badaniem si zajmuje si dynamika, ktrazostanie omwiona w nastpnym
rozdziale.
-
Podstawowe pojcia opisujce ruchWzgldno ruchuCo to jest ruch?
Jeeli mwimy, e pewne ciao jest w ruchu, rozumiemy przez to, e ciao
tozmienia swoje pooenie wzgldem jakiego innego ciaa. Wynika std, e
ruch jakiegokolwiekciaa jest zawsze okrelony wzgldem innego ciaa.
Na tym polega wanie wzgldno ruchu, jakrwnie wzgldno spoczynku.
Jeeli kto powie, e Ziemia porusza si z prdkoci 30 km/s,to takie
zdanie jest niepene. Nabiera ono penego sensu, jeeli sformuujemy je
w nastpujcysposb: Ziemia porusza si z prdkoci 30 km/s wzgldem rodka
Soca. Dlatego zawszemusimy obra ukad odniesienia, zwykle ukad
wsprzdnych, wzgldem ktrego bdziemyopisywa ruch cia.
Uwaga
Dla penego, ilociowego (a wic matematycznego) opisu ruchu, z
ukadem odniesieniawiemy ukad wsprzdnych. Najlepiej znanym Ci ukadem
wsprzdnych jest tzw. ukadkartezjaski, w jego dwuwymiarowej wersji.
Na ukad ten skadaj si dwie osie liczboweoznaczane jako Ox i Oy.
Przecinaj si one w umownym punkcie (0;0), w ktrym wyobraamysobie
obecno ciaa, z ktrym zwizalimy ukad odniesienia.
Punkt materialnyDowolne ciao, ktrego rozmiary moemy zaniedba,
nazywamy punktem materialnym. Jest tobardzo wygodne pojcie, poniewa
zamiast opisywa ruch wszystkich czci ciaa, czstowystarczy okreli
ruch punktu majcego mas tego ciaa. Na przykad, dla wyznaczenia
czasuprzejazdu pocigu z Warszawy do Poznania wcale nie trzeba bada
ruchu wszystkich czcipocigu. Zamiast opisywa ruch jakiej planety
jako caoci, czsto wystarczy okreli ruch jejrodka.
Uwaga
Zastpowanie ciaa punktem materialnym jest przyblieniem czsto
stosowanym w fizyce.Pamita jednak naley, e kade przyblienie niesie
ze sob okrelone ograniczenia.Przykadowo, pojcie gstoci punktu
materialnego nie istnieje. Nie mona take mwi oobrocie punktu
materialnego.
Wektory i skalary. Przemieszczenie,pooenie i drogaPunkt
materialny w trakcie ruchu zakrela pewn lini (ktra moe by prost lub
krzyw). Lini tnazywamy torem ruchu punktu materialnego. W wielu
przypadkach do opisu ruchu wystarczyznajomo pooenia oddzielnych
punktw na torze. Jeeli punkt materialny znajduje si wpunkcie , a
pniej w punkcie , to mwimy, e przemieszczeniem (lub przesuniciem)
punktumaterialnego jest wektor (patrz rys.
1.1(2_1_1_podstawowe_pojecia_opisujace_ruch.html#topic_2_h1.1__rys1)).
A B
AB
-
Rysunek 1.1 Wektor przemieszczenia
Jak widzimy, definicja wektora przemieszczenia nie mwi nam nic o
torze, po ktrym punktmaterialny przeszed z do . Nie interesuje nas
to, czy tor by prosty, czy krzywy. Po prostuprzemieszczenie to
zmiana pooenia ciaa.
Rysunek 1.2 Animacja Kinematyka parametry ruchu
W celu okrelenia przemieszczenia musimy poda trzy informacje:1.
warto przemieszczenia; naley zatem poda dugo odcinka ;2. kierunek
przemieszczenia; w przypadku ruchu na paszczynie (w dwch wymiarach)
naley
poda kt, jaki tworzy odcinek z jedn z osi lub na paszczynie;3.
zwrot przemieszczenia; zwrot oznaczamy strzak (w tym przypadku od
do ).
Wane
Wektor - wielko fizyczna, do okrelenia ktrej konieczne s trzy
informacje: kierunek,
A B
AB
AB x yA B
-
( 1.1 )
zwrot i warto.
Natomiast wielkoci, dla okrelenia ktrych wystarczy poda tylko
warto liczbow (zjednostk), nazywaj si skalarami. Na przykad, pole
powierzchni jest skalarem, poniewa dlajego wyznaczenia wystarczy
poda tylko liczb pewnych jednostek, podobnie temperatura(5C). Oto
inne przykady wielkoci skalarnych: czas, masa ciaa, objto,
gsto.
Wicej wiadomoci na temat wektorw znajdziesz w Operacje na
wektorach(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10).
Wane
Skalar wielko fizyczna, do okrelenia ktrej wystarczy poda tylko
jej warto orazjednostk.
Dodawanie wektorw o wsplnymkierunku i zwrocieJeeli ciao
przemieszcza si wzdu prostej, najpierw o wektor , nastpnie o wektor
, toprzemieszczenie wypadkowe okrelone jest przez wektor , ktry
jest rwny sumie wektorw i . Zobacz rys. 1.3
(2_1_1_podstawowe_pojecia_opisujace_ruch.html#topic_2_h1.1__rys2).
Rysunek 1.3 Suma wektorw
Suma dwch wektorw
Tak dodaj si nie tylko przemieszczenia, ale rwnie dowolne
wektory majce wsplny kieruneki zwrot. Np. wektory prdkoci, w
przypadku statku na rzece. Jeeli ruba nadaje statkowiprdko , a
prdko prdu rzeki wynosi , to prdkoci si sumuj statek pynie zprdkoci
wzgldem brzegu rzeki.
a b c a
b
= +c b a
= +c b a
v 1 v 2+v 1 v 2
-
( 1.2 )
Mnoenie i dzielenie wektora przez skalarIloczynem wektora przez
skalar jest nowy wektor, ktry ma niezmieniony kierunek, ale
jegowarto jest tyle razy wiksza, ile wynosi warto bezwgldna
skalara. Na przykad, iloczynemskalara przez wektor jest wektor
o wartoci , majcy kierunek wektora . W przypadku gdy , rwnie
zwrotwektora jest taki sam jak wektora .
Rysunek 1.4 Mnoenie wektora przez skalar Przykad mnoenia wektora
przez skalar
atwo teraz moemy odpowiedzie na pytanie, jaki jest wynik
dzielenia wektora przez skalar.Poniewa dzielenie przez jak liczb
jest rwnowane mnoeniu przez odwrotno tej liczby,wic wynikiem
dzielenia wektora przez skalar ( ) jest nowy wektor: ktry
maniezmieniony kierunek, ale jego warto jest podzielona przez .
Zmiana zwrotu wektora na przeciwnyJeeli przed symbolem wektora
postawimy znak minus, bdzie to oznacza, e wektor maprzeciwny zwrot.
Na przykad oznacza wektor, ktry rni si od wektora tym, e
maprzeciwny zwrot, podczas gdy kierunek i dugo wektora s takie
same, jak wektora (rys.
1.5(2_1_1_podstawowe_pojecia_opisujace_ruch.html#topic_2_h1.1__rys3)).
Zatem zmiana znakuwektora na przeciwny oznacza jedynie zmian jego
zwrotu.
Rysunek 1.5 Zmiana znaku wektora
Pytania i problemy1. W jakim celu w mechanice posugujemy si
pojciem punktu materialnego? Scharakteryzuj
punkt materialny. Uzasadnij dlaczego stosowanie tego pojcia
wyklucza: a) operowaniepojciem gstoci, b)opisywanie obrotw cia.
2. Co to znaczy, e ruch jest wzgldny?3. Czym rni si skalary od
wektorw? Podaj definicj tych wielkoci. Podaj kilka przykadw
wielkoci wektorowych i skalarnych.4. Podaj, jakie trzy wielkoci
charakteryzuj wektor.5. Podaj definicj przemieszczenia (lub
przesunicia) punktu materialnego. Do jakiego typu
zaklasyfikowaby t wielko (skalar czy wektor)?6. Podaj 3 przykady
dodawania wektorw o wsplnym kierunku.
k a
= kb a
b = |k| a a k > 0b a
k = 3
a z z 0 =c a z
|z|
a a a
-
7. Podaj przykad mnoenia wektora przez skalar.8. Czy zmiana
zwrotu wektora na przeciwny ma jaki zwizek z mnoeniem wektora
przez
skalar? Podaj przykad.9. Co otrzymamy, gdy podzielimy wektor
przez skalar? Podaj przykad dla wybranej wartoci
wielkoci skalarnej, wraz z rysunkiem.
-
( 1.3 )
Droga i prdkoDla opisu ruchu prostoliniowego okrelimy nastpujce
pojcia: pooenie, przemieszczenie(przesunicie) i droga. Zamy, e
obserwujemy ruch samochodu na prostej szosie. Niech naszosie
znajduje si punkt centralny , wzgldem ktrego mierzymy pooenie
samochodu(rys. 1.6
(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__rys6)). Chwilowe pooenie
samochoduna szosie okrelamy, podajc odlego od punktu . Pooenie
(czyli wsprzdn) poprzedzimyznakiem +, gdy samochd znajdzie si na
prawo od niego, a gdy na lewo znakiem .Przyjmijmy, e w chwili
pocztkowej samochd ma pooenie , w chwili pooenie .
Wskazwka
nie jest iloczynem i . Jest to jeden symbol oznaczajcy zmian
wielkoci , ktra jestrwna warto kocowa tej wielkoci minus jej warto
pocztkowa.
Rysunek 1.6 Ilustracja poj pooenie i przemieszczenie Samochd
wyruszy z pooenia i dojecha do pooenie . W pooeniu samochd
zmieni zwrot jazdy na przeciwny i po pewnym czasie znalaz si w
pooeniu , potem w ,nastpnie w punkcie i w kocu w
O
O
t0 s0 t1 s1
s = s2 s1
s s s
s0 s1 s1s0 s2
O s3
-
( 1.4 )
Rysunek 1.7 Animacja Kinematyka parametry ruchu
Zapytajmy teraz, jak drog przeby samochd. Oczywicie, wartoci
drogi przebytej przezsamochd jest suma wszystkich kolejnych maych
wartoci przemieszcze, przyczym, dla obliczenia drogi sumujemy
bezwzgldne wartoci przemieszcze, niezalenie od tego,w ktr stron s
zwrcone. Zatem, pooenie (wsprzdna) moe by dodatnie lub ujemne,
aledroga jest zawsze dodatnia.
W przypadku ruchu przedstawionego na rys.
1.6(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__rys6) droga rwna jest
sumie dugoci wszystkichodcinkw midzy kolejnymi pooeniami samochodu,
przy czym odcinek ( ) policzony bdziedwukrotnie samochd jecha tym
odcinkiem tam i z powrotem.
Pojcia: pooenie, przemieszczenie i droga moemy stosowa do opisu
ruchu dowolnego ciaa,ktre uznajemy za punkt materialny.
Prdko redniaPowiedzmy, e punkt materialny przeby drog w czasie .
Prdko redni punktumaterialnego w danym przedziale czasu definiujemy
jako stosunek drogi do czasu , w jakim tadroga zostaa przebyta:
Jednostk prdkoci jest 1 metr na sekund ( ).
s0s1
s ts t
=vrst
1m/s
-
( 1.5 )
( 1.6 )
Prdko chwilowaNa pewno nieraz obserwowalicie prdkociomierz
samochodu. Patrzc na prdkociomierz,zauwaamy, e wskazwka czsto
zmienia swoje pooenie, co oznacza, e pojazd zmieniaprdko. Wskazwka
pokazuje nam aktualn warto prdkoci aktualn, to znaczy chwilow,czyli
prdko w danej chwili.
Zatem, prdko chwilowa jest to prdko mierzona w bardzo krtkim
przedziale czasu, wdanej chwili. Na og wskazania prdkociomierza nie
zgadzaj si z wartoci prdkociobliczon ze wzoru (1.4
(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4)), chyba e
uyjemyprzemieszcze przebytych w bardzo maych przedziaach czasu.
wystpio wprzedziale czasu . Zatem w tym przedziale czasu warto
prdkoci redniej jestrwna:
Im mniejszy bdzie odcinek czasu , tym mniej prdko rednia bdzie
si rni od prdkocichwilowej.
Przykad 1Rowerzysta jadcy ze sta prdkoci wyprzedza ruszajcy z
przystankutramwaj. Tramwaj dogania rowerzyst, przegania go i
zatrzymuje si na kolejnym przystanku.Odlego midzy przystankami
wynosi . Oblicz, ile czasu na pokonanie tej drogizuy rowerzysta, a
ile tramwaj, jeeli docieraj do przystanku jednoczenie.
Odpowied: Czas potrzebny na przebycie drogi przez rowerzyst i
tramwaj jest taki sam iwynosi:
Zatem tramwaj jecha ze redni prdkoci tak sam jak rowerzysta, rwn
15 km/h, mimoe faktycznie ich prdkoci chwilowe byy rne.
Pytania i problemy1. Wymie wielkoci fizyczne opisujce ruch.2.
Samochd wyjecha z Grjca o godzinie . W cigu 6 min przejecha 6 km i
znalaz si w
miejscowoci Zaborw, po kolejnych 6 min i 40 s znalaz si w
Biaobrzegach odlegych odGrjca o 16 km (rys. 1.8
(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__rys7)). WBiaobrzegach
samochd zawrci i jadc po tej samej szosie (E77), znalaz si w Grjcu
pokolejnych 12 min. Zaznacz na rysunku na wsplnej osi pooenia
miejscowoci: Grjec,Zaborw i Biaobrzegi.
Rysunek 1.8 Ilustracja do zadania
s s = s2 s1t = t2 t1
v =st
v = 15 km/h
s = 1 km
s
t = = h = 4minsv
115
1000
s
-
Rozmieszczenie miejscowoci wzdu szosy
Przyjmujc pooenie Grjca jako zerowe, podaj wartoci:a. pooenia
samochodu w miejscowociach: Grjec, Zaborw i Biaobrzegi;b.
przemieszczenia samochodu: Grjec Zaborw, Zaborw Biaobrzegi,
Grjec
Biaobrzegi, Biaobrzegi Zaborw;c. drogi, jak przejecha z Grjca do
Biaobrzegw;d. drogi, jak przejecha na caej trasie przejazdu.
3. Zakadajc warunki podane w punkcie 2, przyjmij teraz, e Zaborw
ma pooenie zerowe.Podaj wartoci:
a. pooenia samochodu w miejscowociach: Zaborw, Biaobrzegi i
Grjec;b. przemieszczenia samochodu: Zaborw Biaobrzegi, Biaobrzegi
Zaborw, Zaborw
Grjec, Biaobrzegi Grjec;c. drogi, jak przejecha z Zaborowa do
Grjca (przez Biaobrzegi).
4. Podaj definicj prdkoci redniej i chwilowej.5. Przyjmujc
wartoci podane w p. 2, oblicz prdko redni samochodu (podaj j w km/h
i w
m/s) na trasie:Grjec Zaborw,Zaborw Biaobrzegi,Grjec
Biaobrzegi,Biaobrzegi Zaborw.
-
( 1.7 )
( 1.8 )
( 1.9 )
Ruch jednostajnyRuchem jednostajnym nazywamy taki ruch ciaa, w
ktrym warto prdkoci nie zmienia sipodczas trwania ruchu, czyli
Zatem w ruchu jednostajnym, na kadym odcinku drogi prdko
chwilowa jest jednakowa i jestrwna prdkoci redniej, . Stosujc wzr
1.4(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4) otrzymamy . Na
og przyjmujemy,e ; pozwala nam to zapisa , a std
Jest to rwnanie wane dla ruchu jednostajnego, gdy pozwala
wyznaczy pooenie w chwili ,jeeli pooenie pocztkowe w chwili wynosio
.
Rysunek 1.9 Animacja Kinematyka - ruch jednostajny
Zaleno pooenia od czasu jest funkcj liniow, ktrej wykres
przedstawiono na rys.
1.10(2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__rys8). Jak wiemy z
matematyki, funkcja liniowa jestwyraona za pomoc wzoru
Nasz wzr (1.8 (2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__eq8))
ma podobn posta. Wida
v = const
vrv = ss0
tt0= 0t0 s = vts0
s = + vts0
t= 0t0 s0
s
y = ax+ b
-
( 1.10 )
to wyranie, jeeli napiszemy go nastpujco:
(odpowiednikiem zmiennej jest pooenie , a odpowiednikiem
zmiennej jest czas ;podobnie odpowiednikiem wspcznynnika
kierunkowego jest staa prdko , zaodpowiednikiem wyrazu wolnego jest
pocztkowe pooenie ).
Wiemy, e ta funkcja na wykresie przedstawiona jest jako linia
prosta nachylona do osi czasu podktem tym wikszym, im wiksza jest
warto prdkoci ciaa , gdy wspczynnik kierunkowytej prostej jest rwny
. Rysunek rys. 1.10
(2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__rys8)przedstawia t
zaleno dla przypadku, gdy prdko jest zwrcona w stron
malejcychwartoci (przed naley wtedy wstawi znak minus, gdy oznacza
tutaj warto wektoraprdkoci) wtedy prosta na wykresie jest nachylona
w d.
Rysunek 1.10 Droga i czas w ruchu jednostajnym Wykres zalenoci
pooenia od czasu w ruchu jednostajnym. a) W ruchu do przodu,
czyli
kiedy prdko jest zwrcona w stron rosncych wartoci s - wtedy
wykres przedstawiafunkcj rosnc. b) W ruchu do tyu, czyli kiedy
prdko jest zwrcona w stron malejcychwartoci s - wtedy wykres
przedstawia funkcj malejc.
Przykad 2Przypumy, e samochd w chwili znajdowa si na 920
kilometrze autostrady (
). Przez p godziny ( ) jecha ze sta prdkoci 120 km/h (). W tym
czasie przeby drog . Znalaz si w
pooeniu , czyli na 980 kilometrze autostrady.
Jeli samochd jechaby w stron przeciwn, to rwnie w p godziny
przebyby drog rwn60 km, ale znalazby si w pooeniu (na 860
kilometrzeautostrady).
Warto prdkoci w ruchu jednostajnym jest staa, zatem zaleno
(1.7(2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__eq7)) na wykresie
zalenoci prdkoci od czasujest lini prost rwnoleg do osi czasu, jak
na rys. 1.11(2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__rys9).
s = vt + s0
y s x ta v
b s0
vv
s v v
s
= 0t0
= 920 kms0 t = 0,5hv = 120 km/h s = 120 km/h 0,5h = 60 km
s = 920 km + 60 km = 980 km
s = 920 km 60 km = 860 km
-
( 1.11 )
( 1.12 )
( 1.13 )
( 1.14 )
Rysunek 1.11 Graficzna interpretacja drogi Pole powierzchni pod
wykresem zalenoci prdkoci od czasu jest miar drogi przebytej
przez ciao
Pole powierzchni prostokta zakrelonego na tym rysunku wynosi
(iloczyn podstawy iwysokoci). Zatem, zgodnie ze wzorem (1.8
(2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__eq8)),oznacza ono drog .
Mamy wic
Sformuujmy wniosek: pole powierzchni pod wykresem zalenoci
prdkoci odczasu jest liczbowo rwne drodze przebytej przez ciao .
Wniosek ten celowosformuowalimy oglnie, gdy jest on suszny dla
dowolnego ruchu, nie tylko dla ruchujednostajnego. Skorzystamy z
niego, gdy bdziemy wyprowadza wzr na drog w ruchujednostajnie
przyspieszonym.
Przykad 3Samochd przejeda na autostradzie prostoliniowy odcinek
ze sta prdkoci
, nastpnie na skutek ograniczenia prdkoci jazdy dalsze 5 km
przejeda zesta prdkoci . Ile wynosi rednia prdko samochodu?
Odpowied: Do obliczenia redniej prdkoci zastosujemy wzr
(1.4(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4)). Do wzoru
musimy podstawi caprzebyt drog (w tym wypadku rwn przemieszczeniu
samochodu)
oraz czny czas trwania ruchu na obydwuodcinkach drogi . Czas
przebycia pierwszego odcinka drogi wynosi
Czas przebycia drugiego odcinka drogi wynosi
Podstawmy teraz otrzymane wartoci do wzoru
(1.4(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4)). Otrzymamy
Zwr uwag, e uzyskana rednia prdko samochodu nie jest rwna
redniej arytmetycznej
vt
s
s = vt
s = 5 km
= 100 km/hv1= 60 km/hv2
s = + = 5 km + 5 km = 10 kms1 s2t = + t1 t2 t1
= = = ht1s1v1
5 km
100 kmh
120
t2
= = = ht2s2v2
5 km
60 kmh
112
= = = 75vrst
10km
( ,+, )h120
112
kmh
-
prdkoci i .
Pytania i problemy1. Scharakteryzuj ruch jednostajny
prostoliniowy.2. Znajc definicj prdkoci redniej i chwilowej,
odpowiedz na pytanie: Jaki jest zwizek
midzy tymi wielkociami w ruchu jednostajnym prostoliniowym?3.
Dla sytuacji opisanej w Przykad 1
(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__p1.1.1)
wykonaj wykresy zalenoci prdkoci i pooenia rowerzysty od
czasu.4. Dla sytuacji opisanej w Przykad 3
(2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__p1.3.1)
wykonaj wykresy zalenoci prdkoci i pooenia samochodu od czasu.5.
Samochd przejeda na autostradzie prostoliniowy odcinek ze sta
prdkoci
w cigu czasu , nastpnie na skutek ograniczenia prdkocijazdy,
przez kolejne 10 min jedzie ze sta prdkoci . Wyka, e redniaprdko
samochodu w cigu tych 20 min ma warto .
v1 v2
= 100v1 kmh = 10mint1= 60v2 kmh
80 kmh
-
( 1.15 )
Ruch jednostajnie przyspieszonyPrzyspieszeniePodobnie jak prdko,
tak i przyspieszenie jest nam dobrze znane z dowiadcze
codziennych.Na przykad, moemy wywoa przyspieszenie roweru,
naciskajc mocniej peday. Im mocniejnaciniemy peday, tym wiksze
wywoamy przyspieszenie. Oczywicie, w czasie przyspieszaniaprdko si
zmienia. Naciskajc hamulec, rwnie wywoujemy zmian prdkoci, tylko e
w tymprzypadku prdko maleje wystpuje zmniejszenie wartoci prdkoci.
Takie przyspieszenie,ktre powoduje malenie prdkoci, nazywa si
opnieniem.
Zawsze wtedy, gdy prdko si zmienia, musi wystpowa
przyspieszenie. Im wiksza jestzmiana prdkoci w okrelonym przedziale
czasowym, tym wiksza jest warto przyspieszenia.
To ostatnie stwierdzenie pozwala nam na ilociowe zdefiniowanie
przyspieszenia. Jeeli wpewnym momencie prdko chwilowa punktu
materialnego wynosia , a po upywie czasu wyniosa , to przyrost
wartoci prdkoci dokona si w czasie . Zatemrednio na jednostk czasu
przyrost prdkoci wynis
Wzr ten definiuje warto przyspieszenia redniego w czasie .
Jednostk przyspieszenia jest metr na sekund do kwadratu ( ).
Jednostka ta wynika zewzoru (1.15
(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq13)),
gdy przyrostprdkoci wyraa si w metrach na sekund, a czas w
sekundach.
Jeeli przyspieszenie zmienia si w czasie, to stosujemy wielko
zwan przyspieszeniemchwilowym. Przyspieszenie rednie mierzone w
bardzo maym przedziale czasu bdzie zblionedo prawdziwej wartoci
przyspieszenia chwilowego.
v0 tv v = v v0 t
=arvt
t
1m/s2
v t
t
-
( 1.16 )
( 1.17 )
Rysunek 1.12 Animacja Kinematyka - ruch jednostajnie
przyspieszony
Rwnania prdkoci i pooenia w ruchujednostajnie
przyspieszonymJeeli ciao porusza si z przyspieszeniem o staej
wartoci
a warto prdkoi w tym ruchu ronie w miar upywu czasu, to ruch
taki nazywamy ruchemjednostajnie przyspieszonym. W tym przypadku
przyspieszenie chwilowe jest zawsze rwneprzyspieszeniu redniemu.
Zatem ze wzoru
(1.16(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq14))
mamy
UWAGA
W ruchu prostoliniowym wzory wektorowe mona pomin. Odgrywaj one
jednak wanrol w przypadku ruchu krzywoliniowego.
We wzorze (1.17
(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq15))
przyrost
a = const
a = (wektorowo = )vt
a v t
v = v t = t t
-
( 1.18 )
( 1.19 )
prdkoci nastpuje w czasie . Jeeli dla wygody za chwilpocztkow
przyjmiemy 0 (t j. ), to przyrost czasu bdzie identyczny z , a
wtedywzr (1.17
(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq15))
przyjmie posta
Std po prostym przeksztaceniu otrzymamy wzr
Jest to zaleno wartoci prdkoci ciaa od czasu w ruchu
jednostajnie przyspieszonym. Jejinterpretacja jest niezwykle prosta
i jasna: prdko, jak uzyska ciao po czasie , jest rwnaprdkoci
pocztkowej powikszonej o przyrost prdkoci, jaki nastpi w czasie
trwania ruchu (
oznacza przyrost prdkoci w cigu 1 s, za w cigu ).
Zaleno prdkoci od czasu we wzorze
(1.19(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq17))
ma charakter liniowy,zatem na wykresie (rys.
1.13(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__rys10))
jest prost o nachyleniu doosi czasu tym wikszym, im wiksze jest
przyspieszenie. Wzr
(1.19(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq17))
wskazuje na to, ewspczynnik kierunkowy prostej bdcej wykresem
prdkoci ma warto rwn .
Zastanwmy si, czy z wykresu zalenoci prdkoci od czasu mona
odczyta, jak drogprzebywa ciao w czasie . Przypomnijmy sobie, e w
przypadku ruchu jednostajnego, gdyprdko bya staa, droga bya wyraona
przez pole powierzchni pod wykresem zalenociprdkoci od czasu (rys.
1.11
(2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__rys9)).Sformuowalimy
wtedy wniosek oglny, dotyczcy dowolnego ruchu. Obecnie wykaemy,
ewniosek ten jest suszny w przypadku ruchu jednostajnie
przyspieszonego. Pole powierzchni podwykresem prdkoci podzielimy na
wskie paski o szerokoci (jeden z tych paskw jestwidoczny na rys.
1.13
(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__rys10)).
Rysunek 1.13 Wykres zalenoci prdkoci od czasu w ruchu
jednostajnieprzyspieszonym
a) przyrost prdkoci jest proporcjonalny do czasu trwania ruchu,
b) pole powierzchni podwykresem prdkoci mona zoy z maych paskw o
szerokoci
Jeeli przedzia czasu uczynimy dostatecznie maym, to zmiana
prdkoci w tym przedzialebdzie odpowiednio. Oznacza to, e prdko
bdzie mona traktowa w odpowiednimprzyblieniu jako sta. Wobec tego
pole powierzchni tego wskiego paska bdzie oznaczadrog przebyt przez
ciao w czasie .
Suma tych wszystkich pl, wzita po wszystkich przedziaach w
czasie , jest cakowitdrog przebyt przez ciao w czasie . Rozumowanie
powysze jest rwnie prawdziwe woglnym przypadku, nawet gdy mamy do
czynienia z ruchem o zmiennym przyspieszeniu. Zatem
v = v v0 t = t t0= 0t0 t t
a = (wektorowo = )v v0t
a v v 0t
v = + at (wektorowo = + t)v0 v v 0 a
t
a at t
a
t
t
t
t
t
t tt
-
( 1.20 )
( 1.21 )
( 1.22 )
( 1.23 )
( 1.24 )
pole powierzchni pod wykresem prdkoci o zmiennym przyspieszeniu,
jak na rys.
1.14(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__rys11),
jest rwne drodzeprzebytej przez ciao w czasie .
Rysunek 1.14 Wykres prdkoci o zmiennym przyspieszeniu Pole
powierzchni pod wykresem zalenoci prdkoci od czasu jest liczbowo
rwne drodze
przebytej przez ciao w czasie (w tym przypadku wystpuje
przyspieszenie zmienne)
Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego, pole powierzchni na rys.
1.13(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__rys10)
jest polem trapezu opodstawach i oraz o wysokoci rwnej , czyli
Wynik (1.20
(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq18)) da
siuzasadni rwnie w inny sposb. Moemy wykorzysta wzr na prdko redni
(1.4(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4)). Wzr ten jest
suszny dla dowolnego ruchu,wic musi by rwnie suszny dla ruchu
jednostajnie przyspieszonego. Przyjmujc, e pooeniepocztkowe ,
otrzymamy, e droga po czasie jest rwna
Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego prdko ronie liniowo, od
wartoci do wartoci wic rednia prdko jest rwna redniej arytmetycznej
(tutaj rednia arytmetyczna odpowiadaprdkoci redniej zdefiniowanej
za pomoc wzoru
(1.4(2_1_2_droga_i_predkosc.html#topic_2_h1.2__eq4)), gdy prdko w
ruchu jednostajnieprzyspieszonym ronie liniowo w czasie; w
jednakowych przedziaach czasu przyrosty prdkocis jednakowe) i
wynosi
Podstawiajc ten wynik do wzoru , otrzymujemy: . Jest to wzr
identyczny zewzorem (1.20
(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq18))!Podstawiajc
we wzorze
(1.20(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq18))
w miejsce wyraenie:
, otrzymamy
Ostatecznie otrzymujemy wzr
Jeeli dodamy pooenie pocztkowe (w chwili ), otrzymamy pen zaleno
pooeniaciaa od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
t
t
v0 v t
s = tv + v0
2
= 0s0 s t
s = tvrv0 v
=vrv+v0
2s = tvr s = t
v+v02
vv = + atv0
s = t = t + t ++ ( + at)v0 v0
2v0
2v0
2at2
2
s = t +v0at2
2
s0 t = 0
a 2
-
( 1.25 )
( 1.26 )
( 1.27 )
( 1.28 )
Zaleno ta jest kwadratow funkcj czasu, zatem na wykresie
zalenoci pooenia ciaa odczasu opisuje j parabol (rys.
1.15(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__rys12)).
Rysunek 1.15 Wykres zalenoci pooenia od czasu w ruchu
jednostajnieprzyspieszonym prostoliniowym
Zapamitaj
Prdko i poozenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym
Rwnanie prdkoci w zalenoci od czasu :
gdzie prdko pocztkowa.
Rwnanie pooenia w zalenoci od czasu :
gdzie: pooenie pocztkowe, prdko pocztkowa.
Przykad 4Przyjmijmy, e podczas wystrzau pocisk w lufie porusza
si ruchem jednostajnieprzyspieszonym i osiga u wylotu lufy prdko .
Ile wynosi przyspieszeniepocisku w lufie karabinu i jak dugo trwa
lot pocisku w lufie podczas wystrzau? Lufa ma dugo
.
Odpowied: Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego mamy dwa
zasadnicze rwnania:rwnanie dla prdkoci
(1.19(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq17))
i rwnanie dla drogi
(1.25(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq20)).
Ukad dwch rwnapozwoli nam na obliczenie dwch niewiadomych czasu
lotu pocisku w lufie orazprzyspieszenia pocisku . Poniewa , wic
s = + t +s0 v0at2
2
v t
v = + atv0
v0
s t
s = + t +s0 v0at2
2
s0 v0
v = 800m/s
l = 60 cm
ta = 0v0
v = at
l
-
( 1.29 )
( 1.30 )
( 1.31 )
( 1.32 )
Droga pocisku jest rwna dugoci lufy , zatem
Z pierwszego rwnania mona wyznaczy
Zatem z drugiego rwnania otrzymujemy
Skd
Jest to olbrzymie przyspieszenie, ponad 54000 razy wiksze od
przyspieszenia ziemskiego .Czas przelotu pocisku w lufie wynosi
Widzimy, e jest on bardzo may, gdy jest rwny 1,5
milisekundy.
Pytania i problemy1. Podaj definicj przyspieszenia redniego i
chwilowego.2. Przyspieszenie pewnego ciaa jest stae i ma warto .
Oblicz warto prdkoci
tego ciaa po czasie 1 s, po czasie 2 s i po czasie , przyjmujc,
e prdko pocztkowatego ciaa ma warto zero.
3. Przedstaw na wykresach zaleno prdkoci od czasu i zaleno
pooenia od czasu wtrakcie ruchu pocisku w lufie i poza ni (nie
uwzgldniajc siy oporu powietrza i siygrawitacji), przyjmujc dane z
Przykad
4(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__p1.4.1).
s l
l =at2
2
t = va
l =v2
2a
a = = = 533 333,33v2
2l
(800 )ms
2
2 0,6mm
s2
g
t = = = = 1,5 s = 1,5msv
a
2lv
2 0,6m800 m
s
10-3
2m/s2t
-
( 1.33 )
Przyspieszenie ziemskie, swobodnespadanie ciaBadaniem swobodnie
spadajcych cia ju w staroytnoci zajmowa si Arystoteles. Nie
opisajednak tego zjawiska prawidowo, poniewa w tym przypadku opar
si przede wszystkim naspekulacjach mylowych, mimo e generalnie
uznawa rol dowiadczenia. Taki sposb podejcia,czsto stosowany w
staroytnoci, w wielu przypadkach prowadzi do bdnych wynikw.
Galileusz natomiast uznawa, e dowiadczenie rozstrzyga o
prawidowoci rozwaateoretycznych. Dlatego osign wiele sukcesw w
swoich badaniach. Tego typu podejcie staosi podstawow metod bada
nowoytnej fizyki. Arystoteles nie zdawa sobie sprawy z roli,jak dla
swobodnie spadajcych cia odgrywa opr powietrza. Nie uwzgldniano go
a do XVIIwieku, kiedy to Galileusz przeprowadzi wiele dowiadcze ze
swobodnie spadajcymi ciaami izrozumia, e w tym ruchu opr powietrza
ma due znaczenie (rys.
1.17(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__rys14)). Wpyw
oporu powietrza jest duydla cia lekkich i duych, dlatego swoje
dowiadczenia wykonywa z ciaami cikimi i maymi.Stwierdzi (w
granicach niepewnoci pomiarowej), e droga spadajcego ciaa jest
wprostproporcjonalna do kwadratu czasu. Wobec tego ruch ciaa
spadajcego w sytuacji, gdy moemypomi opr powietrza, jest ruchem
jednostajnie przyspieszonym. Proporcjonalno drogi dokwadratu czasu
atwo mona zauway, gdy we wzorze
(1.24(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq19))
podstawimy (cooznacza, e spadanie jest swobodne bez nadawania
prdkoci pocztkowej). Wtedy
= 0v0
s =at2
2
-
( 1.34 )
Rysunek 1.16 Galileusz i Krzywa Wiea a) Galileo Galilei, czyli
Galileusz (15641642). Wielki uczony-odkrywca. Pooy fundamenty
pod nowoczesn metodologi badawcz fizyki; b) Krzywa Wiea w Pizie,
z ktrej Galileuszzrzuca rne ciaa dla udowodnienia, e spadaj one w
jednakowym czasie
Galileusz pierwszy stwierdzi, e przyspieszenie cia spadajcych w
pobliu powierzchni Ziemi niezaley od ich masy (jeeli pominie si
opory powietrza rys.
1.17(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__rys14)).
Rysunek 1.17 Kulki spadajce z jednakowym przyspieszeniem Rysunek
sporzdzony na podstawie wspczesnego zdjcia stroboskopowego
spadajcej
kulki wykonanego z otwart migawk. wiato byska w staych odstpach
czasu, co 1/30sekundy. Obok kulki o duej masie spada kulka o masie
maej. Wida, e kulki spadajjednoczenie, a wic kulki spadaj z
jednakowym przyspieszeniem, niezalenie od wartoci ichmasy
Zapamitaj
Przyspieszenie ziemskie
Wszystkie ciaa w prni, w pobliu Ziemi, spadaj z jednakowym
przyspieszeniem ,zwanym przyspieszeniem ziemskim
Jest to bardzo wany i ciekawy fakt dowiadczalny!
Naley zaznaczy, e warto jest redni, przyblion z dokadnoci do
g
g = 9,81m
s2
g = 9,81m/s2
-
( 1.35 )
( 1.36 )
( 1.37 )
( 1.38 )
( 1.39 )
( 1.40 )
( 1.41 )
( 1.42 )
drugiego miejsca po przecinku, ktra moe nieco si rni w zalenoci
od szerokocigeograficznej i wysokoci nad poziomem morza. Na
przykad, dla Warszawy ,a dla Nowego Jorku .
Spadajce ciao przebywa w pionie drog rwn wysokoci, z ktrej
spada. Wysoko oznaczasi symbolem , wic dla swobodnego spadania,
gdzie przyspieszenie wynosi , wzr
(1.33(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__eq22))
przybierze posta
Przykad 5Zobaczymy, jak za pomoc stopera mona zmierzy gboko
studni. Do studni upuszczonokamie i usyszano uderzenie o dno po
czasie . Znajc przyspieszenie ziemskie
oraz szybko gosu w powietrzu , oblicz gboko studni.
Odpowied: Czas skada si z dwch przedziaw: czasu spadania
kamienia, oraz czasu lotu dwiku w gr:
Rysunek 1.18 Animacja Do studni wpada kamie
Czas obliczymy z rwnania
(1.35(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__eq23))
Czas znajdziemy z rwnania (1.11
(2_1_3_ruch_jednostajny.html#topic_2_h1.3__eq9)) drogidwiku w ruchu
jednostajnym:
Dodajc te dwa rwnania stronami, otrzymamy
Jest to rwnanie z szukan przez nas niewiadom , ktre po prostych
przeksztaceniachprzyjmie posta:
Otrzymalimy rwnanie kwadratowe. Ma ono dwa pierwiastki:
Musimy obecnie wybra jedno z tych rozwiza, jako odpowiadajce
rzeczywistoci. Zauwamy,e wyraz oznacza drog przelotu dwiku w caym
czasie (bdcym cznym czasem,obejmujcym czas spadania kamienia i czas
powrotu dwiku). Droga ta jest bez wtpieniaduo wiksza od
rzeczywistej gbokoci studni. Rozwizanie drugie nie odpowiada
wicrzeczywistoci, gdy daje warto jeszcze wiksz, zatem rozwizanie
pierwsze daje
g = 9,81m/
g = 9,81230m/s2
g = 9,82067m/s2
h g
h =gt2
2
t = 1,6 sg = 9,81m/s2 v = 340m/s
t t1 t2
t = +t1 t2
t1
=t12hg
t2
=t2h
v
+ = + = tt1 t22hg
hv
h
g 2v(v + at)h+ g = 0h2 v2t2
= vt + h1v2
g
v
g+ 2vgtv2
= vt + +h2v2
g
v
g+ 2vgtv2
vt t
h
-
( 1.43 )
( 1.44 )
prawdziw gboko studni
Gboko studni wynosi 12 m.
Zwr uwag na to, e gboko studni mona oszacowa na podstawie
rozumowaniauproszczonego. Zauwamy, e prdko dwiku jest duo wiksza ni
rednia prdkospadajcego kamienia. To oznacza, e czas lotu dwiku w gr
jest duo mniejszy niczas spadania kamienia . Zatem pomijajc w
rwnaniu monaszybko oszacowa gboko studni z uproszczonego
rwnania
Jak wida, tak oszacowana gboko studni mao rni si od wartoci
dokadniejszej:.
Umiejtno oszacowania wielkoci jest wana, bo pozwala sprawdzi,
czy otrzymany wynikoblicze jest sensowny; czsto te warto przybliona
jest wystarzajca dla celwpraktycznych.
Pytania i problemy1. W jaki sposb mona stwierdzi, e
przyspieszenie spadajcych cia nie zaley od ich
masy?2. Kiedy mona pomin opr powietrza przy swobodnym spadaniu
cia? Rozwa trzy moliwe
czynniki: mas spadajcego caa, jego ksztat oraz wysoko z jakiej
ciao upuszczamy.3. Z kawaka grubego papieru wytnij krek o rednicy
nieco mniejszej od rednicy monety.
Upu jednoczenie monet i krek z tej samej wysokoci (rys.
1.19(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__rys16)).
Powtrz to dowiadczenie zkrkiem papieru umieszczonym pod i nad
monet. Postaraj si, aby moneta i krekspaday pasko bez obrotw. Opisz
wnioski z tych dowiadcze.
Rysunek 1.19 Ilustracja do pytania 3 a) Upuszczanie rwnoczesne
monety i papierowego krka, b) upuszczanie monety ze
znajdujcym si pod ni krkiem papierowym, c) upuszczanie monety ze
znajdujcym sinad ni krkiem papierowym
Obserwuj moment upadania tych przedmiotw na podog. We wnioskach
z dowiadczepowoaj si na Galileusza i uwzgldnij opr powietrza.
Zauwa, e w przypadkach b) i c)efektywny opr ruchu dziaajcy na krek
papierowy jest taki sam jak opr dziaajcy namonet.
4. W jaki sposb Galileusz stwierdzi, e wszystkie ciaa w prni, w
pobliu Ziemi spadaj zjednakowym przyspieszeniem ziemskim ?
5. Z wysokoci pocztkowej nad ziemi spada swobodnie ciarek.
Napisz rwnaniepooenia ciarka w zalenoci od czasu w przypadku,
gdy:
a. o pooenia wysokoci jest skierowana w d, a punkt zerowy
znajduje si wmiejscu startu ciarka;
b. o pooenia wysokoci jest skierowana w gr, a punkt zerowy
znajduje si naziemi.
= vt + = 340 1,6 s+ = 12mh1v2
g
v
g+ 2vgtv2
ms
(340 )ms
2
9,81 ms2
340 ms
9,81 ms2
+ 2 340 9,81 1,6 s(340 )ms
2m
s
m
s2
t2t1 t2 t1 t2 t = +t1 t2
t = std h = = 12,56mt12hg
gt22
h = 12m
gH0
h th
h
-
( 1.45 )
Dowiadczenie GalileuszPowtrzymy synne dowiadczenie, ktre
wykonywa Galileusz ze swobodnie spadajcymiciaami. Dowiadczenie to
moesz wykona te wirtualnie za pomoc
animacji(2_1_6_doswiadczenie_galileusz.html#task_2_h1.6__anim1.6).
Przygotujmy kilka ciarkw o rnych masach, ktre bdziemy puszcza z
wysokoci , kilkastoperw do pomiaru czasu spadania ciarkw (mog to by
stopery w telefonachkomrkowych) oraz tam miernicz do pomiaru
wysokoci . Dowiadczenie wykonujemy wnastpujcy sposb:
Najpierw mierzymy wysoko , z ktrej bdziemy spuszcza ciarki (moe
to by wysokodrugiego lub trzeciego pitra budynku). Pamitajmy take o
zabezpieczeniu przewidywanegomiejsca upadku ciarkw czym mikkim, by
nie zniszczy podoa. Nastpnie na dany sygna(np. przez nauczyciela)
jeden ucze puszcza ciarek, a inni mierz czas spadania stoperami.
Tesame czynnoci powtarzamy z innymi ciarkami.
Po zakoczeniu pomiarw wykonamy jeszcze jedno dowiadczenie:
Wszystkie ciarki (ornych masach) pucimy jednoczenie i zwrcimy uwag
na to, czy ciarki upady na ziemi wtej samej chwili.
Wyniki pomiarw zapisujemy w tabelce przygotowanej wedug wzoru
przedstawionego wrys. 1.20
(2_1_6_doswiadczenie_galileusz.html#task_2_h1.6__tab1.6.1). Jeeli
czas spadaniciarkw jest mierzony przez wicej ni troje uczniw, to
odpowiednio zwikszamy liczbkolumn w tabeli.
Rysunek 1.20 Tabelka pomiarw
Dla kadego ciarka obliczamy czas redni spadania oraz
przyspieszenie ziemskie ,korzystajc ze wzoru
(1.35(../topics/2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__eq23)),
z ktrego otrzymujemy
Oceniamy niepewnoci pomiarw zgodnie z opisem w Ocena niepewnoci
pomiarowych(../topics/2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7).
Najpierw oceniamyniepewno pomiaru czasu redniego jako sum wartoci
najmniejszej dziaki stopera (np. 0,1s) i czasu reakcji przy wczaniu
i wyczaniu stopera (np. 0,1 s + 0,1 s, wic w sumie
).
Musimy przy tej okazji krytycznie spojrze na uzyskane pojedyncze
wyniki czasu spadania irozstrzygn, czy ktry z nich nie jest
obarczony bdem grubym, czy nie jest efektempomyki. Sprawdzamy
zatem, czy kady pojedynczy pomiar odstaje od redniej w swojej serii
niebardziej, ni o . Jeeli wychwycimy wynik, ktry nie mieci si w
przedziale , topowinnimy rozway jego wyeliminowanie z serii i
ponowne obliczenie wartoci .
Odpowiadamy na pytanie, czy czasy spadania ciarkw o rnych masach
s jednakowe wgranicach niepewnoci pomiarowej. Jaki wypywa std
wniosek?
h
h
h
g
g =2h
t2
t
t = 0,3 s
t ttrtr
-
( 1.46 )
Ocemy teraz niepewno pomiarow wysokoci . Musimy uwzgldni moliwo,
e ciarkispuszczalimy z nieco rnicych si wysokoci (przyjmujemy, e
niepewno std wynikajcanie przekracza 2 cm). Ponadto podoe, na ktre
spaday ciarki, nie jest idealnie poziompaszczyzn (np. rnice
wysokoci mogy wynosi 3 cm). Dokadno przyoenia tamymierniczej oraz
ograniczona dokadno tamy (warto najmniejszej dziaki tamy
mierniczej)powiksza nam niepewno pomiarow (np. o dodatkowe: 1 cm +
1 cm = 2 cm). Przyjmujemy, ewszystkie te czynniki, sumujc si, daj
czn warto niepewnoci pomiaru wysokoci (wnaszym przykadzie ).
Obliczamy niepewno pomiaru przyspieszenia ziemskiego ,
korzystajc z reguy podanej wOcena niepewnoci
pomiarowych(../topics/2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7).
W naszym przypadkuniepewno wzgldn wyniku pomiaru obliczamy wedug
wzoru
Sprawdzamy, czy otrzymane wartoci dla rnych mas ciarkw rni si
midzy sob wgranicach obliczonej niepewnoci pomiarowej. Obliczamy
warto redni .
Oblicz rnic midzy a znan wartoci (tablicow). Jaki wynika
stdwniosek?
Jako podsumowanie dowiadczenia piszemy zasadniczy wniosek
kocowy: co byo celemdowiadczenia i czy wyniki pomiarw s zgodne z
naszymi oczekiwaniami zawartymi wsformuowaniu celu
dowiadczenia.
Sprawozdanie z dowiadczenia Galileusz
(http://../images/Sprawozdanie1_r.doc)
h
hh = 2 cm + 3 cm + 2 cm = 7 cm
g
= = + 2gg
hh
tt
ggr
gr g = 9,81m/s2
http:/images/Sprawozdanie1_r.doc
-
Rysunek 1.21 Animacja Galileusz - dowiadczenie wirtualne
1. Uruchom animacj klikniciem myszy.Stoper uruchamia si sam w
momencie, gdy chopiec upuszcza pik.
2. Obserwuj ruch spadajcej piki i zatrzymaj animacj w momencie,
gdy pika upada na ziemi.3. Zanotuj odczyt stopera (z
unieruchomionej animacji) i wpisz do tabelki pomiarw w
sprawozdaniu.Przyjmij, e wysoko . Nastpnie, powtrz czynnoci 1-3.
Momentzastopowania animacji zaley od czynnikw przypadkowych (twj
refleks). Dlatego, tak jakw realu za kadym razem uzyskasz nieco
inny odczyt na stoperze - to pozwoli ciwaciwie oceni niepewnoci
pomiarowe dowiadczenia. Niepewno oce tak, jak wdowiadczeniu
realnym.
H = 8m
H
-
Ocena niepewnoci pomiarowychKady wynik pomiaru daje tylko warto
przyblion rzeczywistej wartoci . Spowodowanejest to tym, e:
1. przedmiot, ktry mierzymy, jest niedoskonay, np. przy pomiarze
dugoci stwierdzamy, eprzedmiot nie jest idealnie rwny; z kolei gdy
mierzymy odstp czasu to synchronizacjarozpoczcia pomiaru z
pocztkiem zjawiska nie jest idealna (podobnie jest z
synchronizacjzakoczenia pomiaru z kocem zjawiska);
2. pomiar zawsze odbywa si z ograniczon dokadnoci wynikajc
zarwno z czynnocipomiarowych, jak i z wykonania samego przyrzdu
pomiarowego, np. przy pomiarzedugoci wystpuje: niedokadne przyoenie
linijki, nieprecyzyjne wykonanie podziaki,okrelona grubo kresek
podziaki, itd.
Mimo e prawdziwa warto wielkoci mierzonej nie jest znana, moemy
okreli przedziawartoci, w ktrym si ona mieci. Poow szerokoci tego
przedziau nazywamy niepewnocipomiarow . Przyjmujemy, e warto
rzeczywista mieci si z duymprawdopodobiestwem w przedziale midzy: a
, gdzie jest wartocizmierzon. Na przykad, mierzc dugo prta,
otrzymalimy warto iniepewno pomiarow . Przyjmujemy wic, e dugo
zmierzonego prta wynosi
.
Wane
Niepewno pomiarowa jest miar precyzji pomiaru; podaje ona
dopuszczalne odchyleniewyniku pomiaru od prawdziwej wartoci
wielkoci mierzonej.
Niepewnoci pomiarowe mona zmniejszy, stosujc dokadniejszy
przyrzd lub dokadniejszmetod pomiaru. Jednake nie jestemy w stanie
ich cakowicie wyeliminowa. Pozaniepewnociami pomiarowymi wystpuj
bdy pomiarowe, ktrych mona unikn. Bdypomiarowe powstaj czsto na
skutek przeoczenia lub pominicia wanego czynnikawpywajcego na
pomiar, np. przy pomiarze dugoci prta nie zauwaamy jego
wygicia.
Dla zmniejszenia niepewnoci pomiarowej wykonujemy pomiar
wielokrotnie, wtedy czstoposzczeglne wyniki pomiaru nieco rni si od
siebie, gdy kady pomiar obarczony jestprzypadkow niepewnoci
pomiarow. Obliczajc redni arytmetyczn z tych pomiarw,otrzymujemy
warto najbardziej zblion do wartoci rzeczywistej. Czasami zdarza
si, ejeden wynik pomiaru rni si znacznie od pozostaych. Wtedy
odrzucamy go i nie uwzgldniamyprzy obliczaniu wartoci redniej, gdy
mamy prawo sdzi, z duym prawdopodobiestwem, epowsta na skutek bdu
pomiaru. Mwimy, e ten wynik pomiaru jest obarczony bdemgrubym.
Przy ocenie niepewnoci pomiarowych pojedynczego pomiaru bierzemy
pod uwag wszystkieczynniki, ktre wpywaj na jego dokadno. Suma
wszystkich przyczynkw daje cznniepewno pomiarow. Sposb oceniania
niepewnoci pomiarowych zaley od konkretnejsytuacji. Zapoznamy si z
nim przy okazji wykonywania opisanych dowiadcze.
Zastanwmy si teraz, jak obliczy niepewno pomiarow w przypadku,
gdy wynikiem pomiarujest wielko zoona, dana za pomoc wzoru
matematycznego, ktrego elementami swielkoci obarczone niepewnoci
pomiaru. Rozwaymy sytuacj, w ktrej bezporedniozmierzylimy dwie
niezalene wielkoci: oraz ; oszacowalimy take ich
niepewnocipomiarowe i . Wielko zoon (z wielkoci elementarnych oraz
) oznaczymysymbolem .
x x0
x(x x) (x+ x) x
x = 36,4 cmx = 0,3 cm
l = (36,4 0,3) cm
x yx y x yz
-
( 1.47 )
( 1.48 )
( 1.49 )
( 1.50 )
UWAGA
Jeeli wielko zoona jest przedstawiona za pomoc sumy lub rnicy
wielkocimierzonych bezporednio, to niepewno wyniku pomiaru jest
rwna sumie niepewnocipomiarw i .
UWAGA
Jeeli wielko zoona jest przedstawiona za pomoc iloczynu lub
ilorazu, to wzgldnaniepewno wyniku pomiaru jest rwna sumie
wzgldnych niepewnoci pomiarowych i (wzgldn niepewnoci pomiarow
nazywamy iloraz niepewnoci pomiarowej iwartoci wielkoci
mierzonej).
Zastosowalimy tu znaki bezwzgldnej wartoci, poniewa przyjmujemy,
dla ocenymaksymalnej niepewnoci pomiaru, przypadek najbardziej
niekorzystny, gdy niepewnocipomiaru sumuj si z tym samym
znakiem.
Uwaga
atwo moemy zrozumie, dlaczego w przypadku iloczynu dwch
mierzonych wielkoci i sumujemy niepewnoci wzgldne i . Niepewno
iloczynu wynosi
. Po wymnoeniu wyrae w nawiasach otrzymamy
Iloczyn dwch maych wielkoci jest bardzo may w porwnaniu z
pozostaymiwyrazami i mona go zaniedba. Std otrzymujemy regu
dodawania wzgldnychniepewnoci pomiarowych:
Wynik ten mona zilustrowa graficznie. Niech prostokt ma boki o
dugociach i . Jegopole powierzchni ma warto . Jeli zwikszymy bok a
o i jednoczeniezwikszymy bok b o , to pole powierzchni zwikszy si o
.
zz
x y
gdy z = z+ y lub z = z y to z = x+ y
zzz
xy
gdy z = x y lub z = to = +x
y
zz
xx
yy
x yxx
yy
(xy) = (x+ x) (y + y) xy
(xy) = xy + yx+ xy
xy
= +(xy)xy
xx
yy
a bS = a b a
b S
-
( 1.51 )
( 1.52 )
Rysunek 1.22 Graficzna ilustracja mnoenia niepewnoci
pomiarowych
Ze wzoru 1.49
(2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7__eqA)otrzymujemy
Na t zmian skadaj si trzy przyczynki, pokazane na rysunku. Te
przyczynki odpowiadajtrzem skadnikom sumy we wzorze
(1.51(2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7__eqB)).
Wida take, eprzyczynek moe by pominity wobec pozostaych dwch. Jeli
teraz wzr
(1.51(2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7__eqB)),
z pominitymskadnikiem , podzielimy obustronnie przez , to
otrzymamy:
Na zakoczenie podamy jeszcze zasady zaokrglania wynikw i
niepewnoci pomiarowych.
W przypadku gdy warto niepewnoci pomiarowej ma pierwsz cyfr
znaczc mniejsz od 3,podajemy j z dokadnoci do dwch miejsc
znaczcych, w pozostaych przypadkachzaokrglamy j do jednej cyfry
znaczcej.
Wane
Cyfry znaczce to wszystkie cyfry liczby dziesitnej z wyjtkiem
zera z lewej strony tejliczby.
Taki sposb zaokrglania wynika z faktu, e zwykle nie jestemy w
stanie wyznaczyniepewnoci pomiarowej z dokadnoci lepsz ni 20% jej
wartoci. Oto przykady waciwychzaokrgle:
S = |b a| + |a b| + |a b|
a b
a b S = a b
= +SS
aa
bb
0,00134 0,0013 = 1,3 10-3
0,0103 0,010 = 1,0 10-2
0,0302 0,03 = 3 10-2
-
UWAGA
Wynik pomiaru zaokrglamy zawsze do tego samego miejsca
dziesitnego, do ktregozaokrglilimy niepewno pomiarow.
Oto przykady wynikw pomiaru prawidowo zaokrglonych:
W przypadku gdy celem pomiaru jest zbadanie zalenoci midzy
wielkociami, wynikprzedstawiamy na wykresie. Przeprowadzamy wtedy
graficzn ocen i dyskusj niepewnocipomiaru. Takie postpowanie omwimy
przy okazji Dowiadczenie
Akceleracja(../tasks/2_1_13_doswiadczenie_akceleracja.html#task_2_h1.13).
Uwaga
Gdy wykonujemy pomiar wielokrotnie, a niepewnoci pomiarow rzdzi
przypadek, tookazuje si, e wyniki pomiarw ukadaj si w pewien
prawidowy sposb. Na przykad, wcelu wyznaczenia masy zotego
piercionka waono go wielokrotnie na wadze, ktrej skalapozwalaa na
odczyt wartoci z dokadnoci do 1mg (0,001g). Uzyskane wyniki
przedstawiatabela rys. 1.23
(2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7__tab1.7.1).
Rysunek 1.23 Tabelka pomiarw masy piercionka
Liczba przypadkw , w ktrych uzyskano konkretn warto masy
przedstawiona jest nawykresie histogramie (rys.
1.24(2_1_7_ocena_niepewnosci_pomiarowych.html#topic_2_h1.7__rys17)).
Widzimy, e wynikiukadaj si na charakterystycznej krzywej majcej
ksztat dzwonu, nazywanej krzywGaussa. Krzywa ta wyraa ogln
prawidowo statystyczn w naszym przykadzie faktintuicyjnie
zrozumiay, e najczciej wystpuj wyniki pomiaru zblione do
wartocirzeczywistej, a coraz rzadziej otrzymuje si wynik pomiaru z
coraz to wikszym odchyleniemod wartoci rzeczywistej.
Za najbardziej zblion do wartoci rzeczywistej uznajemy redni
arytmetyczn wynikw,ktra w tym przypadku praktycznie pokrywa si z
wynikiem najczciej wystpujcym(maksimum krzywej).
6 270 6 103
l = (1,4841 0,0013)m
m = (320 40) g
t = (86,3 0,6) s106
n
-
Rysunek 1.24 Liczebno wystpowania wynikw pomiarowych
przywielokrotnych pomiarach
Przypomnij sobie zasady porwnywania wynikw z tomu I.
Pytania i problemy1. Czy dowolny pomiar wielkoci fizycznej moe
by dokonany z bezwzgldn dokadnoci, z
niepewnoci pomiarow rwn zeru? Odpowied uzasadnij.2. Podaj
przyczyny, dla ktrych kady pomiar jest obarczony niepewnoci
pomiarow.3. Podaj przyczyny, dla ktrych pomiar moe by obarczony
bdem pomiarowym.4. Co to jest niepewno pomiarowa? Podaj definicj
niepewnoci pomiarowej.5. Podaj, jakim wzorem zapiszemy niepewno
pomiaru zoonego, w przypadku gdy jest on
wyraony w postaci sumy pomiarw bezporednich.6. Podaj, jakim
wzorem zapiszemy niepewno pomiaru zoonego, w przypadku gdy jest
on
wyraony w postaci rnicy pomiarw bezporednich.7. Co to jest
niepewno wzgldna pomiaru?8. Podaj, jakim wzorem zapiszemy niepewno
pomiaru zoonego, w przypadku gdy jest on
wyraony w postaci iloczynu pomiarw bezporednich?9. Powiedzmy, e
mierzc dugo tyczki, otrzymae warto , a niepewno
pomiarowa ocenie na . Zapisz wynik pomiaru dugoci tyczki
(stosujcwaciwe zaokrglenia).
l = 1,456ml = 0,5 cm
-
( 1.53 )
( 1.54 )
( 1.55 )
( 1.56 )
Ruch jednostajnie opnionyJeeli przyspieszenie jest zwrcone w
stron przeciwn do prdkoci ruchu ciaa, toprdko bdzie coraz mniejsza
i bdziemy mieli do czynienia z ruchem opnionym.Przyspieszenie
zwrcone przeciwnie do prdkoci ciaa nazywa si opnieniem.
Jeeliopnienie jest stae, to ruch nazywamy jednostajnie
opnionym.
Wzory na prdko (1.26
(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq_jp_v))i
pooenie (1.27
(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq_jp_s))
w ruchujednostajnie przyspieszonym przechodz we wzory dla ruchu
jednostajnie opnionego, gdyzmienimy znak przy na ujemny. Wtedy wzr
na prdko przyjmie posta:
Uwaga
Trzymajc si cile wzoru
(1.15(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq13))
- definicjiprzypieszenia - w postaci:
trzeba przyj, e przypieszenie jest ujemne w ruchu opnionym (gdy
prdko ciaa jestdodatnia i zmniejsza si, bo wtedy ). Jednake mwienie
o przypieszeniu w ruchuopnionym jest niezrczne, dlatego stosuje si
termin opnienie zamiast wartobezwzgldna ujemnego przypieszenia.
Wyobramy sobie, na przykad, hamujcy samochd. Jego prdko
zmniejsza si od wchwili do v mniejszego od . Zmiana prdkoci jest
ujemna, a wic iprzyspieszenie te jest ujemne. Zatem opnienie jako
warto bezwzgldnaprzyspieszenia ujemnego, jest rwne ubytkowi prdkoci
w jednostce czasu
.
Wzory na prdko i pooenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym
przechodz we wzory dlaruchu jednostajnie opnionego, gdy zmienimy
znak przy na ujemny. Wtedy wzr na prdkoprzyjmie posta:
Prdko po czasie jest rwna prdkoci pocztkowej pomniejszonej o
zmian prdkoci, jaka si dokonaa w czasie . Wzr (1.55
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq26))
przedstawia zaleno liniowmalejcej prdkoci od czasu . Na wykresie
jest to linia prosta opadajca ku doowi (rys.
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__rys18)).
Punkt przecicia tej prostej zosi czasu wyznacza chwil , w ktrej
prdko zmaleje do zera; mona otrzyma zrwnania (1.55
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq26)),
podstawiajc
. Otrzymamy , skd
a v
a
v = atv0
a =v v0t
> vv0
v0t = 0 v0 v = v v0
a = v/t
a = ( v)/tv0
a
v = atv0
t v0at t
t
tk tk
v = 0 0 = atv0
=tkv0
a
-
( 1.57 )
W przypadku gdy opnienie ciaa wywoane jest przez opory ruchu,
np. przez tarcie albohamowanie samochodu, to wtedy jest czasem
trwania ruchu jednostajnie opnionego ciaokoczy swj ruch.
W przypadku gdy przyspieszenie zwrcone przeciwnie do prdkoci nie
przestaje dziaa nadalwystpuje po osigniciu zerowej prdkoci, ciao
kontynuuje swj ruchu. Zmienia si jednakzwrot jego prdkoci. Z tak
sytuacj mamy do czynienia np. w przypadku rzutu pionowego dogry
(ktry zostanie omwiony w dalszej czci tego rozdziau). W takiej
sytuacji nastpujezmiana zwrotu prdkoci w najwyszym punkcie toru. Na
wykresie zalenoci prdkoci od czasu(rys.
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__rys18))
dalsze trwanie ruchuobrazuje odcinek linii pod osi czasu.
Rysunek 1.25 Wykres zalenoci prdkoci od czasu w ruchu
jednostajnieopnionym
Rwnanie (1.55
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq26))
obejmujezarwno ruch do przodu, czyli o zwrocie prdkoci zgodnym ze
zwrotem osi wsprzdnejpooenia ciaa, jak i ze zwrotem przeciwnym
(kiedy ciao si cofa); wtedy na wykresie maformalnie znak minus, co
nie oznacza, oczywicie, e warto wektora prdkoci jest ujemna!
A oto rwnanie zalenoci pooenia ciaa od czasu w ruchu
prostoliniowym jednostajnieopnionym:
Wykresem zalenoci pooenia ciaa od czasu w ruchu jednostajnie
opnionym, zgodnie zewzorem (1.57
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq28)), jest
parabola ogaziach opadajcych ku doowi (rys.
1.26(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__rys19)).
Z wykresu moemy odczyta,e warto wsprzdnej pooenia ciaa pocztkowo
narasta, ale coraz wolniej, a do wartocimaksymalnej.
Maksimum wystpuje dla czasu . Dalsza cz krzywej oznaczona jest
lini przerywan, dlaktrej warto wsprzdnej pooenia ciaa maleje.
Oznacza to, e w tym czasie ciao si cofa.
tk
v
s = + t s0 v0at2
2
s
tk
-
Rysunek 1.26 Wykres zalenoci pooenia od czasu w ruchu
jednostajnieopnionym
Rysunek 1.27 Animacja Kinematyka - ruch jednostajnie opniony
Przykad 6Samochd jedzie z prdkoci . Nagle kierowca zauwaa
przeszkod wodlegoci . Czy ma on moliwo uniknicia zderzenia z
przeszkod, jeeli najwikszedostpne opnienie podczas hamowania wynosi
?
s t
= 100 km/hv0
l = 50ma = 4,9m/s2
-
( 1.58 )
( 1.59 )
( 1.60 )
( 1.61 )
( 1.62 )
( 1.63 )
( 1.64 )
Rysunek 1.28 Samochd hamujcy przed przeszkod
Odpowied: Zakadamy, e podczas hamowania ruch samochodu jest
jednostajnie opniony,obliczymy drog, jak przebyby samochd, gdyby
nie napotka przeszkody. Przyjmijmy, e
, zatem wzr (1.57
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq28))przyjmie
posta
Podstawiajc do niego czas hamowania wyraony wzorem
(1.56(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq27)):
, otrzymamy
Prdko pocztkowa samochodu wyraona w metrach na sekund wynosi
Zatem
Widzimy, e droga hamowania jest znacznie wiksza od odlegoci od
przeszkody!Kierowca nie jest w stanie unikn zderzenia.
Obliczmy jeszcze prdko , z jak samochd uderzy w przeszkod. Znamy
drog orazprdko pocztkow , ale nie znamy czasu dotarcia samochodu do
przeszkody. Zgodnie zrwnaniem (1.53
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq25)) czas
ten jestrwny
Tak wyraony czas podstawiamy do wzoru
(1.39(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__eq24a)):
Std
= 0s0
s = t v0at2
2
t = =tkv0a
s = ( ) =v0 v0a
a
2( )v0a
2 v202a
= 100 = = 27,78v0km
h
100 000m3 600 s
m
s
s = = 78,7m(27,78 )m
s
2
2 4,9 ms2
s l = 50m
v lv0 t
t = vv0a
l = t = v0at2
2v0
vv0a
a
2( v)v0
2
a2
l =v20 v
2
2a
-
( 1.65 )
( 1.66 )
( 1.67 )
Rozwizujc to rwnanie wzgldem , otrzymamy szukan prdko zderzenia
samochodu zprzeszkod
Samochd uderzy wic w przeszkod z prdkoci o wartoci 60,4
km/h.
Przykad 7Wyobra sobie, e samochd spada z pewnej wysokoci i
uzyskuje prdko tak, jakobliczona w Przykad 6
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__p1.8.1)
(60,4km/h). Oblicz t wysoko.
Odpowied: Samochd w swoim hipotetycznym upadku porusza si ruchem
jednostajnieprzyspieszonym, z pocztkow prdkoci , z przyspieszeniem
ziemskim ,przebywajc w czasie drog rwn . Wykorzystajmy wic wzr oraz
wzr wnastpujcy sposb:
Rysunek 1.29 Spadajcy samochd Efekt zderzenia z przeszkod
samochodu jadcego z prdkoci 60 km/h odpowiada
upadkowi samochodu z dachu budynku czteropitrowego
Zatem
Jest to (w dobrym przyblieniu) wysoko budynku czteropitrowego.
Innymi sowy, samochdzderzy si z przeszkod z prdkoci, jak uzyskaby
przy upadku z dachu czteropitrowegobudynku (rys. 1.29
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__rys21)).
Pytania i problemy1. Czym rni si ruch jednostajnie przyspieszony
od ruchu jednostajnie opnionego?2. Co to jest opnienie? Dlaczego
stosujemy pojcie opnienie a nie ujemne
przyspieszenie?
v
v = = = 16,78 = 60,4 2alv20 2 4,9 50m(27,78 )m
s
2m
s2
ms
km
h
h
= 0v0 g
t h h = gt2
2v = gt
h = = = =gt2
2g2 t2
2g(gt)2
2gv2
2g
h = = = 14,35mv2
2g(16,78m/s)2
2 9,81m/s2
-
3. Czy wzory na pooenie i prdko w ruchu jednostajnie
przyspieszonym rni si od ichodpowiednikw w ruchu jednostajnie
opnionym?
4. Wykonaj wykres zalenoci pooenia od czasu w ruchach
jednostajnie zmiennych wgprzykadw 6 i 7.
5. Wykonaj wykres zalenoci prdkoci od czasu w ruchach
jednostajnie zmiennych wgprzykadw 6 i 7.
s t
-
( 1.68 )
( 1.69 )
( 1.70 )
Rzut pionowy w grJeeli ciau nadamy prdko pocztkow w kierunku
pionowym w gr, to w caym czasieruchu ciao ma stae przyspieszenie
ziemskie zwrcone pionowo w d, a wic w stronprzeciwn do prdkoci
pocztkowej . Zatem ciao, wznoszc si, wytraca stale prdko, ado
chwilowego zatrzymania si wtedy prdko chwilowa . W tym momencie
ciao osigamaksymaln wysoko (rys. 1.30
(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__rys22)). Tapierwsza faza
ruchu w gr jest ruchem jednostajnie opnionym ze staym
opnieniemrwnym , oczywicie pod warunkiem, e pominiemy w tym
zagadnieniu opr powietrza. Wdrugiej fazie ruchu ciao swobodnie
spada.
Obliczmy maksymaln wysoko , na ktr wzniesie si ciao (nie
uwzgldniamy tu, zgodnie zzaoeniem, oporu powietrza). Wykorzystamy
wzr na pooenie ciaa w ruchu jednostajnieopnionym (1.57
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq28)).
Pooenie w naszym zagadnieniu jest tosame z wysokoci , przyjmijmy
oraz . Mamyzatem
Jest to rwnanie wysokoci na jakiej znajduje si ciao w kadej
chwili, podczas rzutu pionowegow gr. Maksymaln wysoko na jak
wzniesie si ciao otrzymamy, gdy do tego wzorupodstawimy czas
wznoszenia . Zgodnie ze wzorem
(1.56(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq27))
dla mamy .Zatem
Std
Rysunek 1.30 Rzut pionowy w gr Maksymalna wysoko wynosi
Zaleno pooenia (czyli wysokoci) ciaa rzuconego pionowo w gr od
czasu, zgodnie zewzorem (1.68
(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq29)), pokazana jest na
rys. 1.31(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__rys23). Wykres
przedstawia parabol, ktrejmaksimum odpowiada najwikszej wysokoci po
upywie czasu . Parabola dotyka osi czasuw dwch punktach i . Punkt
odpowiada chwili wyrzucenia ciaa . Punkt odpowiadaczasowi , gdy
ciao ponownie zetknie si z ziemi wysoko ciaa zmaleje do zera.
Zatem
v 0g
v 0v = 0
H
g
H
sh = = 0s0 h0 a = g
s = t v0gt2
2
Htw
a = g = =tw tkv0g
H = = ( ) v0tw gt2w
2v0
v0
g
g
2( )v0g
2
H =v202g
H
H twA B A t = 0 B
t = tct t
-
( 1.71 )
( 1.72 )
( 1.73 )
czas oznacza cakowity czas trwania rzutu (zarwno wznoszenia, jak
i opadania). Czas atwowyznaczymy, jeeli we wzorze (1.68
(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq29))przyjmiemy, e :
Jest to rwnanie kwadratowe, gdzie niewiadom jest czas . Ma ono
dwa pierwiastki. Jeden to, co odpowiada wysokoci zero w chwili
startu. Drugi pierwiastek otrzymamy po prostym
przeksztaceniu naszego rwnania: .
Szukany przez nas czas odpowiada rozwizaniu , zatem
Jest to wzr na czas trwania caego rzutu pionowego w gr. Jeeli
przez oznaczymy czaswznoszenia ciaa, a przez czas spadania ciaa, to
. Czas wznoszeniazgodnie ze wzorem (1.56
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__eq27))wynosi
jednak . Widzimy wic, e w rzucie pionowym w gr czas wznoszenia
jestrwny czasowi spadania ciaa: .
Warto prdkoci dla rzutu pionowego dana jest wzorem
(1.33(2_1_5_przyspieszenie_ziemskie.html#topic_2_h1.5__eq22)), w
ktrym podstawiono na miejsce
przyspieszenie ziemskie :
Rysunek 1.31 Wykres zalenoci wysokoci wzniesienia si ciaa od
czasu wrzucie pionowym w gr
atwo moemy si teraz przekona, e prdko kocowa ciaa w chwili
zderzenia z ziemi jestrwna prdkoci pocztkowej, ale, oczywicie,
zwrconej przeciwnie: . Po osigniciuwysokoci maksymalnej ciao
zawraca i prdko zmienia znak, ale w dalszym cigu obowizujewzr (1.73
(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq32)) (patrz wykres prdkoci
narys. 1.29
(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__rys21)).
Fakt, e tu przyziemi ciao osiga prdko , wynika ze wzoru
(1.73(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq32)).
tc tc
h = 0
0 = v0tcgtc
2
2
t= 0tc1
=tc22v0g
tc2
=tc2v0g
t1t2 = + =tc t1 t2
2v0g
= =t1 twv0g
=t1 t2
a g
v = gtv0
= v v 0
v = v0
-
( 1.74 )
Rysunek 1.32 Wykres zalenoci prdkoci od czasu w rzucie pionowym
w gr
Przykad 8Obliczymy najmniejsz prdko, z jak naley rzuci pionowo w
gr jakie ciao, aby dotaro nawysoko czteropitrowego budynku.
Odpowied: Skorzystamy ze wzoru (1.70
(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq30))na maksymaln wysoko w
rzucie pionowym. Wyznaczajc z niego prdko pocztkow
, mamy:
Aby ciao dotaro na wysoko 12 m, naley je wyrzuci z prdkoci rwn
co najmniej 55,22km/h.
Pytania i problemy1. Jaki czas naley wstawi do wzoru (1.68
(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq29)),
aby otrzyma wzr (1.70
(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq30)) na maksymalnwysoko .
Wykonaj odpowiednie przeksztacenia.
2. Udowodnij, e dla rzutu pionowego prdko kocowa (tu przed
upadkiem ciaa) jestrwna, co do wartoci bezwzgldnej, prdkoci
pocztkowej .
3. Wykonaj wykresy pooenia wysokoci i prdkoci ciaa w funkcji
czasu, wykorzystujc danez Przykad 8
(2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__p1.9.1).
4. Przedstaw na wykresach zalenoci prdkoci od czasu i na
wykresach zalenoci drogi odczasu ruch samochodu opisany w Przykad
6(2_1_8_ruch_jednostajnie_opozniony.html#topic_2_h1.8__p1.8.1).
Zaznacz punkty, wktrych nastpi zderzenie z przeszkod. Rozszerz
wykresy w ten sposb, aby uwidoczniczas i drog hamowania, gdy nie ma
przeszkody.
H = 12m
Hv0
= = = 15,34 = 55,22v0 2gH
2 (9,81 ) 12mms2
ms
km
h
Hvk
v0
-
Dowiadczenie wirtualne Rzutpionowy
Rysunek 1.33 Animacja Dowiadczenie - rzut pionowy
1. Uruchom animacj klikniciem myszy.Stoper uruchamia si sam w
momencie, gdy chopiec wypuszcza pik.
2. Obserwuj ruch piki i zatrzymaj animacj w momencie, gdy pika:
a) znajduje si wnajwyszym pooeniu, b) znajduje si z powrotem w
miejscu wyrzutu.
3. Zanotuj odczyty a) i b) stopera (z animacji) i wpisz do
tabelki pomiarw w sprawozdaniu.Oblicz (korzystajc z rwna
(1.68(../topics/2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq29))
(1.73(../topics/2_1_9_rzut_pionowy.html#topic_2_h1.9__eq32)))
wysoko - zasig rzutu wpionie (tu wysoko budynku) oraz prdko
pocztkow wyrzutu . Nastpnie, powtrz(dwukrotnie) czynnoci 1-3.
Moment zastopowania animacji zaley od czynnikwprzypadkowych (twj
refleks). Dlatego, tak jak w realu, za kadym razem uzyskasz
niecoinny odczyt na stoperze - to pozwoli ci dokadniej okreli i
oraz waciwie oceniniepewnoci pomiarowe i . Niepewnoci te oce tak,
jakby mia do czynienia zdowiadczeniem realnym.
Hv0
H v0H v0
-
( 1.75 )
Operacje na wektorachDotychczas mielimy do czynienia z wektorami
wspliniowymi, tzn. majcymi ten sam wsplnykierunek. Teraz poznamy
operacje, ktre mona wykona na wektorach o rnych
kierunkach.Opiszemy: dodawanie wektorw, odejmowanie wektorw,
rozkadanie wektora na skadowe,oraz rzutowanie wektora na osie ukadu
wsprzdnych.
Dodawanie wektorw. Skadanie ruchwW jaki sposb powinnimy dodawa
wektory? Na przykad, jak powinnimy dodawaprzemieszczenia?
Rozpatrzmy nastpujc sytuacj: przypumy, e na poziomej platformie
wpunkcie znajduje si czowiek, ktry nastpnie przechodzi do punktu
(rys.
1.34(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys25)).
Przemieszczenie czowiekadane jest przez wektor . Jeeli platforma
przesunie si wzdu toru, czowiek zostanieprzemieszczony do punktu .
Przemieszczenie jest dane przez wektor . W
rezultacie,przemieszczenie czowieka wzgldem ziemi dane jest przez
wektor . Widzimy wic, ezoenie (czyli zsumowanie) przemieszcze i
jest rwne przemieszczeniu . W jzykuwektorw wyrazimy to nastpujco:
suma wektorw i jest rwna , co zapisujemy
Rezultat ten nie zaley od kolejnoci dokonywanych przemieszcze.
Jeeli czowiek znajdujcysi w punkcie zostanie najpierw
przemieszczony do punktu (rys.
1.34(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys25); ), a
pniej przejdziedo punktu ( ), to jak wida na rysunku
przemieszczenie wypadkowe bdzietakie samo jak poprzednio, czyli
bdzie to . Zapytajmy teraz, jakie bdzie przemieszczeniewypadkowe
czowieka, gdy oba przemieszczenia odbywa si bd rwnoczenie.
Oczywicie,jeeli marsz czowieka i ruch platformy odbywaj si
rwnoczenie, w rezultacie obuprzemieszcze czowiek znajdzie si
dokadnie w tym samym punkcie . Widzimy zatem, ejeeli dwa
przemieszczenia skadowe dokonuj si jednoczenie, to
przemieszczeniewypadkowe jest dokadnie takie samo, jak w przypadku,
gdy oba przemieszczenia dokonuj sioddzielnie. Obowizuje tu zasada
dodawania wektorw skadowych, w wyniku czego otrzymujesi wektor
wypadkowy, ktremu odpowiada przektna rwnolegoboku zbudowanego
nawektorach skadowych.
Rysunek 1.34 Skadanie dwch niezalenych ruchw czowieka i
platformy a) najpierw przemieszcza si czowiek z punktu do , a
nastpnie platforma
przemieszcza czowieka do punktu , b) najpierw platforma
przemieszcza czowieka z punktu do , a nastpnie czowiek przemieszcza
si do punktu . Rezultat: przemieszczenie
nie zaley od kolejnoci dokonywanych przemieszcze
Twierdzenie to mona uoglni i wyrazi nastpujco:
Zapamitaj
A BAB
a C BC b
AC c AB BC AC
a b c
+ =a b c
A DAD = BC
C DC = ABAC
C
A BC
A D CAC = c
-
( 1.76 )
Niezaleno ruchw
Jeeli punkt materialny wykonuje kilka ruchw jednoczenie, to kady
ruch skadowy odbywasi tak, jak gdyby pozostae ruchy nie miay
miejsca (czyli ruchy skadowe nie przeszkadzajani nie pomagaj sobie
wzajemnie). Dowolny ruch na paszczynie mona opisa jakozoenie dwch
niezalenych ruchw.
Wektor bdcy sum dwch wektorw mona przedstawi graficznie jako
przektnrwnolegoboku (rys. 1.35
(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys26)). Monago
rwnie przedstawi w ten sposb, e najpierw pocztek drugiego skadnika
przykada si dokoca pierwszego, a nastpnie tworzy si wektor
wypadkowy, ktrego pocztek pokrywa si zpocztkiem pierwszego, a
koniec z kocem drugiego skadnika (rys.
1.35(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys26)).
Rysunek 1.35 Dodawanie wektorw Zgodnie z regu: a) rwnolegoboku,
b) trjkta
W oglnym przypadku, aby doda kilka wektorw, na przykad , , i ,
naley pocztekdrugiego skadnika przyoy do koca pierwszego, pocztek
trzeciego do koca drugiego, itd.Nastpnie tworzy si wektor wypadkowy
, ktrego pocztek pokrywa si z pocztkiempierwszego skadnika, a
koniec z kocem ostatniego skadnika (rys.
1.36(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys27)). Ten
wektor jest wanie sumwektorw skadowych:
Taki sposb dodawania wektorw nazywamy regu wieloboku.
Rysunek 1.36 Dodawanie kilku wektorw zgodnie z regu
wieloboku
Odejmowanie wektorw
a 1 a 2 a 3 a 4
b
= + + +b a1
a 2 a3
a4
-
( 1.77 )
Operacja odejmowania jest operacj odwrotn do dodawania wektorw.
Sposb graficznegoodejmowania wektorw odczytamy wprost z rys.
1.35(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys26), gdzie
mamy przedstawionywektor bdcy sum dwch wektorw, . Oczywicie, z tego
zapisu wynika, ewektor jest rnic wektorw i ,
Widzimy, e wektor jest poprowadzony w ten sposb, e czy koce
wektorw i . Moemyzatem poda oglny przepis na odejmowanie
wektorw:
Zapamitaj
Aby otrzyma wektor bdcy rnic wektorw i naley wektory i sprowadzi
dowsplnego pocztku i nastpnie poprowadzi wektor od koca wektora do
kocawektora (rys. 1.37
(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys28)).
Wektor wodzcyZa pomoc rnicy wektorw mona okrela zmian pooenia
ciaa wyraon wektoremprzemieszczenia. W tym celu wprowadza si tak
zwany wektor wodzcy (lub wektor pooenia)
. Przyjmijmy, e ciao znajduje si pocztkowo w punkcie , a pniej w
punkcie . Wektorczcy te dwa punkty jest wektorem przemieszczenia .
Ustalmy jaki punkt , w ktrymumiecimy pocztek ukadu wsprzdnych (x;y)
rys. 1.37(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys28).
Poprowadmy z punktu wektor
do chwilowego pooenia ciaa. Ten wanie wektor nazywa si wektorem
wodzcym. Przyjmieon warto , gdy ciao jest w punkcie , oraz w
punkcie (rys.
1.37(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys28)).
Widzimy, e wektorprzemieszczenia jest rwny rnicy wektorw i , czyli
przemieszczenie jest rwne
. Rnic wektorw oznaczylimy tutaj jako , gdy oznacza ona
zmianwektora wodzcego .
Rysunek 1.37 Wektor przemieszczenia
a) wektor w ukadzie wsprzdnych , b) jako rnica dwch wektorw
wodzcych,
Rozkadanie wektora na skadoweRozkadanie wektora na skadowe jest
czynnoci odwrotn do skadania, czyli sumowaniawektorw. Jeeli mamy
dany wektor , ktry chcemy rozoy na dwa skadowe wektory wzduz gry
ustalonych kierunkw, na przykad wzdu linii i , jak na rys. 1.38
c = +c a b
b c a
= b c a
b a c
b c a c a a
c
r A BAB
O
Or
r1 A r2 B
AB
r 2 r 1 AB = r r 2 r 1 r
r
AB
Oxy = r r 2 r 1
a OA OB
-
( 1.78 )
( 1.79 )
( 1.80 )
(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys29), to
musimy postpowanastpujco: z koca wektora wyprowadzamy pomocnicze
linie rwnolege do zadanych linii
i . Powstaje w ten sposb rwnolegobok. Boki rwnolegoboku, ktrym
nadajemyzwroty, czyli wektory i , s szukanymi skadowymi wektora
(rys.
1.38(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys29)).
Rysunek 1.38 Skadowe wektora a) Wektor naley rozoy na skadowe
wzdu kierunkw i , b) rozoenie wektora na skadowe i zgodnie z regu
rwnolegoboku
Rzutowanie wektora na osieW niektrych zagadnieniach fizycznych
interesuj nas skadowe wektora wzdu osi ukaduwsprzdnych lub . Te
skadowe wektora nazywamy rzutami wektora na okrelone osie.Na
rysunku rys. 1.39
(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys30) wida,
ewartoci liczbowe rzutw i mona wyrazi wzorami:
W powyszych wyraeniach oznacza dugo wektora .Z drugiej strony,
jeeli s dane rzuty prostopade i wektora , a warto wektora
jestnieznana, to korzystajc z twierdzenia Pitagorasa t nieznan
warto wektora moemyobliczy (rys. 1.39
(2_1_10_operacje_na_wektorach.html#topic_2_h1.10__rys30)):
Rysunek 1.39 Rzutowanie wektora
a) Rzutowanie wektora na osie i . b) Rzuty wektora bdcego sum
wektorw i () s sumami rzutw wektorw skadowych, tzn. ,
a OA OB
a 1 a 2 a
a OA OBa a 1 a 2
Ox Oy
a x a y
= a cos ax
= a sin ay
a a a x a y a
a = +a2x a2y
x y c a b
= +c a b = +cx ax bx = +cy ay by
-
Rysunek 1.40 Animacja Kinematyka - wektor przemieszczenia
-
Rysunek 1.41 Animacja Kinematyka - dodawanie wektorw
Pytania i problemy1. Jakie czynnoci naley wykona, aby doda
graficznie dwa wektory przemieszczenia?
Zastosuj regu: a) wieloboku, b) rwnolegoboku. Przyjmij, e
kierunki wektorw nie le natej samej prostej.
2. Jakie czynnoci naley wykona, aby doda graficznie pi
wektorw?3. Jakie czynnoci naley wykona, aby odj graficznie dwa
wektory?4. Co nazywamy wektorem wodzcym? Jaki jest zwizek midzy
wektorem wodzcym a
przemieszczeniem?5. Jakie czynnoci naley wykona, aby rozoy
graficznie wektor na dwa skadowe wektory
wzdu z gry ustalonych kierunkw?6. Co to s rzuty wektora na
okrelone osie ukadu wsprzdnych ( , )? Wykonaj rysunek i
podaj odpowiednie wzory.7. Statek przeprawia si przez rzek, ktra
ma szeroko . Wektor jego
przemieszczenia jest nachylony pod ktem do osi umieszczonej wzdu
brzegu.Roz wektor przemieszczenia na dwie skadowe: wzdu osi oraz
wzdu osi prostopadej do brzegu. Oblicz dugo wektora przemieszczenia
oraz jego skadowej ,jeeli jego skadowa .
x y
d = 200m = 60 x
x yx
y = 200m
-
( 1.81 )
( 1.82 )
( 1.83 )
Wektor prdkociWektor prdkoci i jego wsprzdneRozwamy najpierw
przypadek, gdy ruch punktu materialnego odbywa si po prostej. Niech
wchwili punkt materialny znajduje si w miejscu wyznaczonym przez
wektor wodzcy , wchwili przez (rys. 1.42
(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys31)).
Wektorprzemieszczenia wynosi
Wyznacza on (w sytuacji ruchu po prostej) drog punktu
materialnego przebyt w czasie. Zatem prdko rednia okrelona
wzorem
jest oczywicie wektorem, poniewa dzielenie wektora przez skalar
jest innymwektorem, ktrego kierunek i zwrot jest zgodny z wektorem
przemieszczenia (rys.
1.42(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys31)).
Rysunek 1.42 Wektory w ruchu prostoliniowym W przypadku ruchu
prostoliniowego kierunek i zwrot wektora prdkoci jest taki sam
jak
wektora przemieszczenia
Wektor prdkoci chwilowejPrdko chwilowa okrelona w bardzo krtkim
przedziale czasu :
jest take wektorem, ktry w oglnym przypadku ruchu
krzywoliniowego jest styczny do toru(rys. 1.43
(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys32)).
Rysunek 1.43 Wektor prdkoci redniej i wektor prdkoci
chwilowej
t1 r 1t2 r 2
= r r 2 r 1
t = t2 t1
=vr r
t
r t
t
=v r t
AB
-
( 1.84 )
( 1.85 )
Kierunek wektora prdkoci redniej jest zgodny z ciciw ( ) toru
ruchu punktumaterialnego, podczas gdy kierunek wektora prdkoci
chwilowej jest styczny do toru (gdywektor jest utworzony z ciciwy
bardzo bliskich punktw toru)
Twierdzenie to mona uoglni i wyrazi nastpujco:
Zapamitaj
Wektor prdkoci chwilowej
okrelony w bardzo krtkim czasie , jest zawsze styczny do
toru.
Skadanie prdkociAby wyjani sposb dodawania prdkoci, rozwaymy
ponownie ruch czowieka i platformy. Jakstwierdzilimy poprzednio,
wektor prdkoci ma taki sam kierunek i zwrot jak wektorprzesunicia.
Std wynika, e wektory prdkoci bd dodaway si tak samo jak
wektoryprzesunicia. Zatem, jeeli czowiek porusza si z prdkoci
wzgldem platformy, aplatforma porusza si z prdkoci wzgldem ziemi,
to wypadkowa prdko czowiekawzgldem ziemi wynosi (patrz rys. 1.44
(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys33))
Rysunek 1.44 Dodawanie prdkoci czowieka wzgldem platformy
iplatformy wzgldem ziemi
Obowizuje tu regua dodawania wektorw, ktra jest suszna w oglnym
przypadku, a wicrwnie w przypadku, gdy prdko czowieka jest
skierowana pod dowolnym ktem dowektora prdkoci platformy (rys.
1.45(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys34)). Wzr
(1.85(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__eq39)) wyraa
prawo dodawania prdkoci wpostaci wektorowej.
vr AB
v v AA'
=v r t
t
v 1v 2
= +v v 1 v 2
v 1v 2
-
Rysunek 1.45 Dodawanie prdkoci czowieka i platformy
Przykad 9Midzy punktami i na rzece, odlegymi od siebie o ,
kursuje statek, ktry masta prdko wzgldem wody. Oblicz wartoci
prdkoci statku oraz prdkoci prduwody w rzece , jeeli wiadomo, e
statek, pync w gr rzeki, pokonuje t odlego wczasie , natomiast w d
rzeki w czasie .
Rysunek 1.46 Animacja Kinematyka - d na rzece
Odpowied: Wektory prdkoci statku i prdu rzeki s rwnolege, cho
maj przeciwnezwroty, gdy statek pynie pod prd (w gr rzeki) za
zgodne zwroty, gdy pynie z prdem. Takwic, cho wektory prdkoci
statku wzgldem brzegu wyraaj si podobnymi wzorami, towartoci tych
wektorw s rne:
(podr pod prd); ale (bo i maj przeciwne zwroty);
(podr z prdem); ale (bo i maj zgodne zwroty).
Ilustruje to rys. 1.35. (rys. 1.47
(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys35))
v 1 v 2
A B l = 10 km
v s vsvp
= 1ht1 = 0,5ht2
= +v1
vs
vp = v1 vs vp vs
vp
= +v2
vs
vp = +v2 vs vp vs
vp
-
( 1.86 )
( 1.87 )
( 1.88 )
( 1.89 )
Rysunek 1.47 Skadanie prkoci statku i rzeki a) Statek pynie w gr
rzeki wektory prdkoci statku i prdu rzeki odejmuj si, b)
statek pynie w d rzeki wektory prdkoci statku i prdu rzeki dodaj
si
Natomiast i . Mamy wic
oraz
Sumujc te dwa rwnania stronami, wyeliminujemy . Otrzymamy
Std
Podstawiajc wartoci liczbowe, otrzymamy, e prdko statku wzgldem
wody wynosi, za prdko prdu rzeki .
Przykad 10Przy przeprawianiu przez rzek d startuje z punktu i
kieruje si cay czas pod ktem
do linii brzegu, pod prd rzeki (rys.
1.49(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys36)). Oblicz,
na jak odlego od punktu
rzeka zniesie d. Szeroko rzeki wynosi , prdko odzi wzgldem wody,
a prdko prdu rzeki . Pod jakim ktem naley kierowa d,
aby przybia do brzegu w punkcie ?
=v1 lt1 =v2lt2
= l
t1vs vp
= +l
t2vs vp
vp
2 = +vsl
t1
l
t2
= =vsl( + )t1 t2
2t1t2vp
l( )t1 t22t1t2
= 15 km/hvs = 5 km/hvp
O
= 60l
A d = 100m= 1,2m/svl = 0,8m/svp
A
-
( 1.90 )
( 1.91 )
Rysunek 1.48 Animacja Przeprawa odzi przez rzek
Odpowied: Obierzmy ukad wsprzdnych i zrzutujmy na osie prdko
odzi (rys.
1.49(2_1_11_wektor_predkosci.html#topic_2_h1.11__rys36)); otrzymamy
wartoci
Rysunek 1.49 Przeprawa odzi przez rzek
Rysunek 1.50 Rozkad wektora prdkoci odzi Wektor wypadkowy
prdkoci ma skadowe: ,
Oxy
= cos vlx vl
= sin vly vl
vl
= vx vp vlx =vy vly
-
( 1.92 )
( 1.93 )
( 1.94 )
( 1.95 )
( 1.96 )
( 1.97 )
( 1.98 )
( 1.99 )
Wypadkowa prdko odzi w kierunku osi wynika z naoenia si prdkoci
prdu rzeki iskadowej -owej prdkoci odzi , czyli
Natomiast w kierunku osi prdko wypadkowa odzi
Odlego wyznaczymy z trjkta
Gdzie jest ktem, jaki wektor wypadkowy tworzy z osi . Zatem
wic
zatem
czyli rzeka zniesie d na odlego .Kt , pod jakim naley skierowa
d, aby w wyniku unoszenia rzeki dopyna prostopadledo brzegu, mona
otrzyma z ostatniego wzoru na , przyjmujc, e . Wwczas
(co oznacza, e skadowa ), zatem
std
Zatem gdy d bdzie skierowana pod ktem do brzegu, to kierunek jej
wypadkowegoruchu bdzie prostopady do brzegu.
x vpx vlx
= = cos vx vp vlx vp vl
y
= = sin vy vly vl
l OAB
l =d
tg
v x
tg = =vy
vx
sin vl cos vp vl
l = d cos vp vl
sin vl
l = 100 = 19,2m0,8 1,2 cos 60
1,2 sin 60
l = 19,2m0
l l = 0 cos = 0vp vl 0 = 0vx
cos = = = 0,660vp
vl
0,81,2
cos 0 48
48
-
Rysunek 1.51 Animacja Kinematyka - wektor prdkoci w ruchu
prostoliniowym
-
Rysunek 1.52 Animacja Kinematyka - wektor prdkoci w ruchu
krzywoliniowym
Pytania i problemy1. Podaj definicj wektora prdkoci redniej.2.
Podaj definicj wektora prdkoci chwilowej.3. Przedstaw na rysunku
tor krzywoliniowy ciaa i zaznacz wektor prdkoci redniej i
chwilowej.4. Na wybranym przykadzie wyjanij zasad niezalenoci
ruchw.5. Sformuuj prawo dodawania prdkoci w postaci wektorowej.
Typesetting math: 100%
-
( 1.100 )
Wektor przyspieszeniaPrzyspieszenie rednie zdefiniowane jako
stosunek przyrostu wektora prdkoci do czasu
, w jakim ten przyrost nastpi:
jest wektorem (poniewa dzielenie wektora przez skalar daje
wektor).
Na przyspieszeniach moemy wykonywa, w konkretnych zagadnieniach
fizycznych, operacjewczeniej zdefiniowane dla wektorw, jak
dodawanie, rozkadanie na wektory skadowe,rzutowanie na okrelone
osie i inne.
Wskazwka
W ruchu prostoliniowym wektory i maj ten sam kierunek, zgodny z
torem ruchu. Takwic wektor ma ten sam kierunek, zgodny z torem
(rys. 1.53(2_1_12_wektor_przyspieszenia.html#topic_2_h1.12__rysC)).
Z tego za wynika, e wektorprzyspieszenia take ma kierunek zgodny z
torem. Mwimy, e przyspieszenie jest w tejsytuacji styczne do toru.
Opisuje ono zmian wartoci prdkoci; kierunek prdkoci si
niezmienia.
Rysunek 1.53 Wektory w ruchu prostoliniowym W ruchu
przyspieszonym prostoliniowym wektor ma zawsze kierunek zgodny z
torem.
Inaczej jest w ruchu krzywoliniowym. ...
Zwrmy uwag na to, e wektor przyspieszenia chwilowego w ruchu
krzywoliniowym nie jeststyczny do toru. Wida to na rys.
1.54(2_1_12_wektor_przyspieszenia.html#topic_2_h1.12__rys38) w
punktach 1 i 2 wektoryprdkoci s styczne do toru, natomiast wektor ,
ktry wystpuje w licznikuwzoru (1.100
(2_1_12_wektor_przyspieszenia.html#topic_2_h1.12__eq40)), nie jest
styczny dotoru (nawet wtedy, gdy punkty 1 i 2 zbliaj si do siebie),
a przecie kierunek wektora jestzgodny z kierunkiem . W takiej
sytuacji wektor przyspieszenia rozkadamy na dwa wektoryskadowe
wzajemnie prostopade (rys.
1.55(2_1_12_wektor_przyspieszenia.html#topic_2_h1.12__rys39)):
styczny do toru i prostopady (normalny); ten ostatni wektor nazywa
si przyspieszeniem dorodkowym.
Rysunek 1.54 Wektor nie jest styczny do toru
Taki rozkad wektora przyspieszenia ma sens, poniewa kada z
opisanych skadowych powoduje
v t
=ar v
t
t
v 1 v 2 = v v 2 v 1
a
v
= v v 2 v 1
a v a
a s a r
v
-
( 1.101 )
inny skutek. Skadowa styczna zwizana jest ze zmian wartoci
prdkoci. Zauwamy, eprzyspieszenie zdefiniowane wczeniej za pomoc
wzoru
(1.17(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4__eq15))
- Ruch jednostajnieprzyspieszony
(2_1_4_ruch_jednostajnie_przyspieszony.html#topic_2_h1.4), jest
waniewartoci skadowej stycznej przyspieszenia . Natomiast skadowa
prostopadaprzyspieszenia opisuje zmian kierunku prdkoci.
Rysunek 1.55 Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym mona rozoy
nawzajemnie prostopade skadowe i
Przykad 11Ciao zsuwa si po rwni pochyej o dugoci ,