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Riesgos en Evaluación de Proyectos

Magíster en Ingeniería Industrial.

EL RIESGO Y EL RENDIMIENTO

¿Qué es riesgo?

• La palabra riesgo (no incertidumbre) se refiere a lavariabilidad de los rendimientos esperados dedeterminada inversión.

• El riesgo junto con el concepto de rendimiento, esun aspecto fundamental a tener en cuenta en lasdecisiones financieras y de inversión.

La Distribución Probabilística

• Para evaluar el riesgo implícito de un valor se usanlas probabilidades.

• La probabilidad de que suceda un acontecimientose define como el grado de posibilidad de que eseacontecimiento ocurra.

• Podemos pensar en la probabilidad como unporcentaje que expresa la posibilidad de que seproduzca un determinado resultado.

Ejemplo 1.

• Supongamos que un meteorólogo afirma que paramañana tenemos un 30% de posibilidad que lluevay un 70% de que no llueva. A partir de estainformación tenemos la siguiente distribución.

Lluvia 30% 0,3

No lluvia 70% 0,7

Total 100% 1

La Tasa de Rendimiento Esperada

• La tasa de rendimiento esperada (r) es la media de los rendimientos posibles de una inversión ponderada por las respectivas probabilidades.

(r) = ∑ ri * piDonde:

ri: i-‐esimo rendimiento posible

pi : probabilidad del i-‐esimo rendimiento.

n: cantidad de posibles rendimientos.

Ejemplo 2.

• A continuación se presentan las tasas derendimiento que pueden esperarse para el añoentrante de una inversión de $50.000 en unaacción «A» o en una acción «B» dependiendo delos estados de la economía:

• recesión, normalidad y prosperidad.

Ejemplo 2.

Acción AEstado de la economía Rendimiento ( r ) Probabilidad (p)Recesión -‐5% 0,2Normalidad 20% 0,6Properidad 40% 0,2

Acción BEstado de la economía Rendimiento ( r ) Probabilidad (p)Recesión 10% 0,2Normalidad 15% 0,6Properidad 20% 0,2

Ejemplo 2.

• Calcule la tasa de rendimiento esperada:

A = (-‐5%)(0,2)+(20%)(0,6)+(40%)(0,2) = 19%

B = (10%)(0,2)+(15%)(0,6)+(20%)(0,2) = 15%

Medición del Riesgo: La desviación típica

• La desviación típica (estándar) (σ) es una medidade dispersión de la distribución probabilística quese usa comúnmente como medida de riesgo.

• Cuanto menor sea la desviación típica, mascompacta será la distribución probabilística y porconsiguiente menor el riesgo de la inversión.

Medición del Riesgo: La desviación estándar

σ = √ ∑ (ri – r)² * pi

El calculo de σ supone dar los siguientes pasos:1.-‐ Calcular la tasa esperada de rendimiento ( r ).2.-‐ Restar ( r ) de cada uno de los rendimientos posibles con loque obtendrá un conjunto de desviaciones ( ri – r ).3.-‐ Elevar cada desviación al cuadrado, multiplicar el resultadopor la probabilidad del rendimiento en cuestión y sumar estosproductos para obtener la varianza ( σ² )

Desviación estándar

Medición del Riesgo: La desviación estándar

σ² = ∑ (ri – r)² * pi

Varianza

El calculo de σ supone dar los siguientes pasos:

1.-‐ Calcular la tasa esperada de rendimiento ( r ).2.-‐ Restar ( r ) de cada uno de los rendimientos posibles con lo que obtendrá un conjunto de desviaciones ( ri – r ).3.-‐ Elevar cada desviación al cuadrado, multiplicar el resultado por la probabilidad del rendimiento en cuestión y sumar estos productos para obtener la varianza ( σ² )4-‐ Finalmente extraer la raíz cuadrada de la varianza con lo que se obtiene la desviación estándar.

Ejemplo 3.

• Usando los datos entregados anteriormente,calculamos la desviación estándar de cadaacción.

Acción AEstado de la economía Rendimiento ( r ) Probabilidad (p)Recesión -‐5% 0,2Normalidad 20% 0,6Properidad 40% 0,2

Acción BEstado de la economía Rendimiento ( r ) Probabilidad (p)Recesión 10% 0,2Normalidad 15% 0,6Properidad 20% 0,2

Ejemplo 3. Paso 1.

Acción A Paso 1 Paso 2 Paso 2 Paso 3 Paso 4Estado de la economía Rend. ( r )

Probabilidad (p) ( r * p ) ( r -‐ r ) ( r -‐ r )² ( r -‐ r )² * p √σ²

Recesión -‐5% 0,2 -‐0,01-‐

0,24 0,0576 0,0115

Normalidad 20% 0,6 0,12 0,01 0,0001 0,00006

Prosperidad 40% 0,2 0,08 0,21 0,0441 0,0088

r = 0,19 σ² = 0,0204 0,1428

Ejemplo 3. Paso 2



Recesión -‐5% 0,2 -‐0,01-‐

0,24 0,0576 0,0115

Normalidad 20% 0,6 0,12 0,01 0,0001 0,00006

Prosperidad 40% 0,2 0,08 0,21 0,0441 0,0088

r = 0,19 σ² = 0,0204 0,1428

Ejemplo 3. Paso 2.



Recesión -‐5% 0,2 -‐0,01-‐

0,24 0,0576 0,0115

Normalidad 20% 0,6 0,12 0,01 0,0001 0,00006

Prosperidad 40% 0,2 0,08 0,21 0,0441 0,0088

r = 0,19 σ² = 0,0204 0,1428

Ejemplo 3. Paso 3.



Recesión -‐5% 0,2 -‐0,01-‐

0,24 0,0576 0,0115

Normalidad 20% 0,6 0,12 0,01 0,0001 0,00006

Prosperidad 40% 0,2 0,08 0,21 0,0441 0,0088

r = 0,19 σ² = 0,0204 0,1428

Ejemplo 3. Paso 4.



Recesión -‐5% 0,2 -‐0,01-‐

0,24 0,0576 0,0115

Normalidad 20% 0,6 0,12 0,01 0,0001 0,00006

Properidad 40% 0,2 0,08 0,21 0,0441 0,0088

r = 0,19 σ² = 0,0204 0,1428

Ejemplo 3.

Acción B Paso 1 Paso 2 Paso 2 Paso 3 Paso 4Estado de la economía Rend.( r )


Recesión 10% 0,2 0,02 -‐5% 0,0025 0,0005

Normalidad 15% 0,6 0,09 0% 0,0000 0,00000

Properidad 20% 0,2 0,04 5% 0,0025 0,0005

r = 0,15 σ² = 0,0010 0,0316

Ejemplo 3.

Acción A Acción B

Rendimiento esperado 19% 15%

Desviación estándar 14,28% 3,16%

Ejercicio 1.

• Suponiendo la siguiente distribución probabilísticade los posibles rendimientos, calcule el rendimientoesperado y la desviación estándar de losrendimientos.

Probabilidad Rendimiento0,1 -‐20%0,2 5%0,3 10%0,4 25%

Ejercicio 1.

Paso 1 Paso 2 Paso 2 Paso 3 Paso 4Rend. ( r ) Prob. (p) ( r * p ) ( r -‐ r ) ( r -‐ r )² ( r -‐ r )² * p √σ²

-‐20% 0,1 -‐0,02 -‐32% 0,1024 0,0102 5% 0,2 0,01 -‐7% 0,0049 0,0010 10% 0,3 0,03 -‐2% 0,0004 0,0001 25% 0,4 0,1 13% 0,0169 0,0068

r = 0,12 σ² = 0,0181 0,1345

MEDICIÓN DEL RIESGO RELATIVOEl coeficiente de variación

Medición del riesgo relativo.

• Hay que tener cuidado al comparar riesgos(desviaciones estándar), ya que solo es unamedida absoluta de dispersión (riesgo) y no tieneen cuenta la dispersión de los resultados enrelación con el valor esperado (rendimiento).

• Por eso, para comparar títulos cuyos rendimientosesperados difieren, hay que usar el coeficiente devariación, que se calcula dividiendo la desviacióntípica por el valor esperado

Medición del riesgo relativo

• Cuanto mayor sea este coeficiente, mas riesgosupondrá el título en cuestión.

( σ / r )

Ejemplo 4

• Usando los datos del ejemplo anterior

Acción A Acción B

Rendimiento esperado 19% 15%

Desviación estándar 14,28% 3,16%

( σ / r ) 0,75% 0,21%

EL RIESGO DE CARTERA Y EL MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS

Rendimiento de cartera

• La mayoría de los activos financieros no se poseenpor separado, sino como parte de carteras. Por esoel análisis de riesgo-rendimiento no debería limitarsea estudiar activos aislados, sino que es importanteanalizar las carteras y las ganancias derivadas dela diversificación.


• El rendimiento esperado de una cartera (rp) no esotra cosa que el rendimiento medio de los activosindividuales que conforman la cartera, ponderadosegún las fracciones del total de fondos que estáninvertidas en cada uno de los activos.


rp = w1 r1 + w2 r2 +…………..+wn rn = ∑ wj rj

Donde:rj : rendimiento esperado de cada uno de los activos.Wj : fracción de los fondos que está invertida en cada activo.n : cantidad de activos en la cartera.

Ejemplo 5.

• Supongamos una cartera formada por dos activos( A y B). El activo A constituye un tercio de lacartera y su rendimiento esperado es de 18%. Elactivo B constituye los dos tercios restantes y surendimiento esperado es de 9%. ¿ Cuál es elrendimiento esperado de la cartera?

Ejemplo 5

ACTIVO RENDIMIENTO (rj) FRACCIÓN (wj) wj rjA 18% 0,333 0,06B 9% 0,667 0,06

rp 12%

Riesgo de cartera

• A diferencia del rendimiento de cartera, el riesgo

de cartera (σp) no es simplemente la mediaponderada de las desviaciones estándar de losactivos individuales en la cartera, ya que tambiéndepende del coeficiente de correlación de losactivos.

Riesgo de cartera.

• El coeficiente de correlación rho ( ρ ) es unamedida del grado en que dos variables se«mueven» juntas. Esta variable toma valorescomprendidos en el intervalo que va de -1,0 a 1,0.El riego de una cartera solamente por dos activos (A y B ) se define así:

σ = √ W²A σ²A + W²B σ²B + 2WA WB * ΡAB σA σB

Riesgo de cartera.


Donde:

σA σB: desviaciones típicas de los activos A y B, respectivamente.WA WB: pesos, o sea fracciones, del total de los fondos invertidos en los activos A y B.

ΡAB: coeficiente de correlación entre los activos A y B. Toma valores entre -‐1 y +1.Rho = ρA,B = CovAB/ σAσB

Riesgo de cartera.

• El riesgo de cartera puede minimizarse apelando ala diversificación, es decir, la adecuadacombinación de los activos, pero cuánto puedaminimizarse depende de la correlación entre losactivos combinados.

Correlación negativa perfecta.

P = -‐1 El riego de la cartera puede eliminarse por completo

Correlación positiva perfecta.

P = +1 El riesgo no se reduceen lo absoluto

Ejemplo 6.

• Para este caso consideraremos una carteraformada por dos acciones, ambas pertenecientesa empresas de la industria automotriz, o ambaspertenecientes a la industria inmobiliaria.

Activo σ W

A 20% 1/3

B 10% 2/3

Ejemplo 6.


El riesgo de cartera es:

= √ (1/3) ² (0.2) ² + (2/3) ² (0.1) ² + 2PAB (1/3)(2/3)(0.2)(0.1)

= √ 0,0089 + 0,0089 PAB

(a) Supongamos ahora que el coeficiente de correlación entre A y B es +1(correlación perfectamente positiva). Es decir, que cuando en respuesta a lascondiciones del mercado el valor del activo A aumenta, el valor del activo B hacelo mismo, y lo hace a la misma tasa exacta que A. De modo que con P = +1 elriesgo de cartera es :

= √ 0,0089 + 0,0089 (1) =0.1334 = 13,34%

Ejemplo 6.

• (b) Si P = 0, los activos no tienen ningunacorrelación y el riesgo de cartera se reduce alriesgo de los rendimientos esperados de los activos,es decir, la media ponderada de las desviacionestípicas de los activos individuales que forman lacartera. De modo que con P = 0, el riego decartera en este ejemplo es:

= √ 0,0089 + 0,0089 (0) =0,0943 = 9,43%

Ejemplo 6.

• (c) Si P = -1 (correlación negativa perfecta)entonces conforme sube el precio del activo A, elde B baja, según la misma tasa. En este caso, elriego desaparecería por completo. De modo quecon P = -1, el riego de cartera es:

= √ 0,0089 + 0,0089 (-‐1) =0

Ejemplo 6.

• Resumen:– Comparando los resultados de (a), (b) y (c),

vemos que con una correlación positiva entre losactivos el riego de cartera es mayor que si lacorrelación es nula, a la vez que una correlaciónnegativa perfecta elimina ese riesgo.

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Ejercicio.

• Los valores de las empresas A y B presentan losrendimientos esperados y desviaciones típicas queaparecen a continuación, la correlación esperadaentre ambas (PAB) es 0,1.

r σ

A 14% 20%B 9% 30%

Calcule el rendimiento y el riesgo para cada una de las siguientes carteras: (a) 100%de A; (b) 100% de B; (c) 60% de A y 40% de B; (d) 50% de A y 50% de B.

Ejercicio.

(a) σ/r = 20/14 =1,43

(b) σ/r = 30/9 =3,33

(c) riesgo: σ = √ W²A σ²A + W²B σ²B + 2WAWB * ΡAB σA σB

(c) rendimiento: rp = WA rA+ WB rB = (0,6)(0,14) + (0,4)(0,09) = 12%

= √ (0,6) ² (0,2) ² + (0,4) ² (0,3) ² + 2(0,6)(0,4) PAB(0,2)(0,3)

= √ 0,0288 + 0,0288 (0,1) = 0,1780 = 17,8%

Ejercicio

(c) riesgo: σ = √ W²A σ²A + W²B σ²B + 2WAWB * ΡAB σA σB

(d) rendimiento: rp = WA rA + WB rB = (0,5)(0,14) + (0,5)(0,09) = 11,5%

= √ (0,5) ² (0,2) ² + (0,5) ² (0,3) ² + 2(0,5)(0,5) PAB(0,2)(0,3)

= √ 0,0325 + 0,003 (0,1) = 0,1884 = 18,84%

EL MODELO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS (CAPM)

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El modelo de valoración de activos financieros (CAPM)

• El riesgo de un título está formado por doscomponentes: el riesgo diversificable y el riesgo nodiversificable.

• El riesgo diversificable, a veces llamado riesgocontrolable o riesgo no sistémico, representa laparte de riesgo de un valor que puede controlarsemediante la diversificación.


• El riesgo no diversificable, a veces llamado riesgoincontrolable o riesgo sistémico, resulta de fuerzasque no están bajo el control de la empresa, y no esinherente a un valor dado.

• El riesgo no diversificable se evalúa en relación conel riesgo de una cartera de valores diversificada, ocartera de mercado, y para medirlo se usa elllamado coeficiente beta.


• El modelo de valoración de activos financieros(CAPM Capiatl Asset Pricing Model) relaciona elriesgo medido por el coeficiente beta con elrendimiento exigido o esperado de un valor. Elmodelo se formula así:

Ke = rf + b(rm – rf) Donde:Ke : rendimiento esperado (o exigido) sobre el valor j.

rf : rendimiento sin riesgo.

rm : rendimiento esperado sobre la cartera de mercado.

b : beta, un índice de riesgo no diversificable.


• El componente fundamental del CAPM, elcoeficiente beta (b), es una medida de lavolatilidad del valor en relación con un título deriesgo medio.

βi = cov (Ri,RM) σ2 (RM)

• Por ejemplo; b = 0,5 quiere decir que el valor es sólola mitad de volátil, o riesgoso, que el título medio;

• b = 1 indica que el valor supone un riesgo medio;• b = 2 quiere decir que el valor es dos veces mas

riesgosos que la media.

Ejemplo 7

• Suponga que la tasa sin riesgo (rf) es 8% y que elrendimiento esperado sobre la cartera del

mercado (rm) es 12%, entonces:• b = 0• b = 0,5• b = 1• b = 2• Calcular el rendimiento esperado (tasa de

ganancia requerida) para cada caso.

Ejemplo 7

• b = 0: 8% + 0(12%-8%) = 8%• b = 0,5: 8% + 0,5(12%-8%) = 10%• b = 1: 8% + 1(12%-8%) = 12%• b = 2 8% + 2(12%-8%) = 16%

Rentabilidad exigida al proyecto.

• La rentabilidad exigida del proyecto es el costo decapital el cual corresponde a aquella tasa que seutiliza para determinar el valor actual de los flujosfuturos que genera un proyecto y representa larentabilidad que se le puede exigir a la inversiónpor renunciar a un uso alternativo de los recursosen proyectos de riesgos similares.


• La tasa de costo de capital o Ko esta conformadapor las tasas de las fuentes o factores que aportanal financiamiento del proyecto. La razón es que lasempresas obtienen fondos propios como deterceros, los cuales tienen un costo. En el caso definanciamiento propio, esta el costo deoportunidad de los recursos (Tasa de gananciarequerida Ke). Mientras que para los recursosprovenientes de terceros, el costo será en generalla tasa de colocación Kd, es decir, la tasa quecobra el banco por el préstamo otorgado.

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• El costo ponderado de capital es un promedio de los costosrelativos a cada una de las fuentes de financiamiento que laempresa utiliza, los que se ponderan de acuerdo con laproporción de los costos dentro de la estructura de capitaldefinida. En el caso de la deuda hay que considerar elbeneficio tributario que poseen los créditos, por lo tanto hayque descontar los impuestos que se paga en la empresa.

Donde,(D) es el monto de la deuda,(P) el monto del patrimonio(V) el valor de la empresa enel mercado, incluyendodeudas y aportes

Ejemplo 8• Se tiene la siguiente información para que usted pueda evaluar un

proyecto:• La vida útil del proyecto es de 5 años con un incremento anual en el

precio de venta del 10% y en las unidades vendidas del 2,5% anual.A demás se sabe que los bonos emitidos por el estado son de un 3%y que la rentabilidad esperada del mercado corresponde a un 12%y que este proyecto posee un riesgo sistémico de 2, la tasa decolocación es de un 5%. El aporte de capital propio será de un 80%.Calcule el VAN del proyecto.

Información para primer año de operación

Costo unitario 25

Precio de Venta 180

Unidades vendidas 1.000 Inversión Inicial

Maquinaria 25.000.000

Capital de trabajo 5.000.000

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