MÓDULO IFUNÇÕES
O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será:
x(anos)
y(reais)
0 5
160
800
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,800)
P2(5,160)
800 = a.0 + b
b = 800
160 = a. 5 + 800
-640 = 5a
a = -128
f(x) = a.x+ b
f(x) = -128.x+ 800
f(3) = -128.3+ 800 f(3) = 416f(3) = 416
Portanto após 3 anos a Máquina valerá R$ 416,00
As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor máximo da área em cmmáximo da área em cm22 , que esse retângulo pode assumir. , que esse retângulo pode assumir.
Vértice
5/2
yV
0 5
2x
10 – 2x
A = base x altura
A = 2x . (10 – 2x)
A(x) = – 4x2 + 20x
a = - 4 b = 20 c = 0
RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO
0 = – 4x2 + 20xx2 - 5x = 0x1 = 0 x2 = 5
Área
Área Máxima é o yv
A(5/2) = – 4(5/2)2 + 20(5/2)
A(5/2) = 25cm2
EXPONENCIAL E LOGARITMOS
LOGARITIMOS DEFINIÇÃOLOGARITIMOS DEFINIÇÃO
logB A = x A = Bx
Aplicando a definição, determine o valor do log21024
log21024 = x
1024 = 2x
210 = 2x
x = 10
CASOS PARTICULARESCASOS PARTICULARES
logB 1 = 0 logA A = 1
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
logC (A.B) = logc A + logc B
logC (A/B) = logc A – logc B
logC Am = m.logc A
Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28?
log 28 = log (22.7)
log 28 = log 22 + log 7
log 28 = 2.log 2 + log 7
log 28 = 2.0,301 + 0,845
log 28 = 0,602 + 0,845
log 28 = 1,447
28 2
14 2
7 7
1
A solução da equação log 2x + log (1 + 2x) = log 6 é:
loga (b . c) = loga b + loga c log 2x + log (1 + 2x) = log 6
log [(2x (1 + 2x)] = log 6
2x (1 + 2x) = 6
Incógnita auxiliar:
2X = y
y (1 + y) = 6
y + y2 = 6
y2 + y – 6 = 0
y’ = 2 y’’ = - 3
2x = 2
x = 1
PROGRESSÕES
Assinale V para as Verdadeiras e F para as falsas
Entre 4 e 96 existem 19 números múltiplos de 5.
4 96
5 95
an = a1 + (n - 1)·r
95 = 5 + (n - 1)·5
90 = (n - 1)·5
90/5 = n - 1
18 = n - 1
n = 19V
a1= 5 an= 95r = 5
a20 = a1 + 19·r
a20 = 0 + 19·2
a20 = 38
A soma dos vinte primeiros números pares é 380
NÚMEROS PARES:
0, 2, 4, 6 ...
P.A.
a1= 0 e r = 2
S20 = ( a1 + a20) · 20
2
S20 = ( 0 + 38 ) · 10
S20 = 380
V
O número de termos da P.G (3, 6, .........., 768) é 9
?n
768a
236
q
3a
n
1 an = a1.qn - 1
768 = 3.2n - 1
256 = 2n - 1
28 = 2n - 1
8 = n – 1
n = 9 V
A soma dos termos da P.G (3-1, 3-2, 3-3, ...........) é 1
(3-1 + 3-2 + 3-3 + ……..)
....
27
1
9
1
3
1
31
1
31
S
S = a1
1 – q
S = 0,5 V
ANÁLISE COMBINATÓRI
A
USA TODOS ELEMENTOS
NÃO USA TODOS ELEMENTOS
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
COMBINAÇÃO
IMPORTA ORDEM
NÃO IMPORTA ORDEM
Pn = n!p)!(n
! np
nA
p!p)!(n
! np
nC
FORMULÁRIO
Presentes a uma reunião estão 5 brasileiros e 3 ingleses, então o númerode comissões com 3 brasileiros e 2 ingleses que podemos formar é:
B B B I I
10 . 3 = 30
___ ___ ___ ___ ___
5C3
3C2
!!.!.
!!.!
123
23
5
O número de anagramas da palavra TIGRE em que as vogais aparecem juntas é:
I E
___ ___ ___ ___ ___
2P
4P
Antônio, Cláudio, Carlos e Ivan montaram uma empresa de prestação de serviços e decidiram que o nome da empresa será a sigla formada pelas iniciais dos seus nomes, por exemplo, CACI. O número de siglas possíveis é :
P4 . P2
4! . 2!
48
12!2
!42
4P
MATRIZES DETERMINANTES E SISTEMAS
Julgue os itens:
Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.F
Se A e B são matrizes tais que A.B é a matriz nula, então A é a matriz nula ou B é a matriz nula.
Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A 0 B 0.
.00
11
10
10 0 0
0 0
F
Sejam as matrizes e seja X uma matriz tal
21
43=B e
43
21A
que X.A = B. Então, det X vale – 1
X.A = B
det(X.A) = det B
det X. det A = det B
det X. (- 2) = 2
43
21A
21
43=B
det A = – 2
det B = 2
det X = – 1
V
A matriz é singular
0213
1845
1524
0321
Adet A- 1 = 1
det A
Se det A = 0Não existe inversa (A é singular)
A.A-1 = I
Se det A 0 Existe inversa (A é inversível)
det A = 0
V
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES
POLINOMIAIS
Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3.
D(x) = x + 3P(x) = 3x3 + 8x2 + 32 x + 3 = 0x = - 3
raiz do divisorP(-3) = 3(-3)3 + 8(-3)2 + 32
P(-3) = - 81 + 72 + 32
P(-3) = 23
As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em P.A. Então a maior raiz dessa equação é:
x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0
raízes em P.A.
rxx
xx
rxx
3
2
1
a
d
3.x
2.x
1x
a
b
3x
2x
1x
Relações de Girard
x – r + x + x + r = 9
3x = 9
x = 3
1 -9 23 -153
1
+
- 6 5 0
x2 – 6x + 5 = 0
x’ = 1 x’’ = 5
Solução: S = {1, 3, 5}
TRIGONOMETRIA
Na figura, abaixo, determine o valor de x
3 0 ° 6 0 °
A
B
CD
AD = x DC= x - 38 BD = y
tg 30o =
x x – 38
y
60o30o
y
x
3
3 yx
tg 60o = y
x – 38
3 =x – 38
y
(x – 38) 3 = y
=
3
3= (x – 38) 3
x
x = 3(x – 38)
x = 3x – 114
114 = 2x
57 = x
SENO E COSSENO E TANGENTE
SENO
+ 1
– 1
+ +__
COSSENO
+ 1– 1
+
+
_
_
TANGENTE
+
+
_
_
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2x + cos2 x = 1
tg x = sen xcos x
x sen = x cossec
1
x cos = x sec
1x sen
x cos
x tg = x cotg
1
Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:
cossec x = 4
5
sen x = 5
4
sen2x + cos2 x = 1
1cos5
4 2
2
x
1cos25
16 2 x
25
161cos2 x
25
9cos2 x
5
3cos x
3
5sec x
tg x = sen xcos x
53
54
xtg
3
4xtg
9.(sec2 x + tg2 x)
22
3
4
3
59
9
16
9
259
9
419 41
GEOMETRIA ANALÍTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA
DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS
d x x y yAB B A B A 2 2
2
AM
2
AMAM)y(y)x(xd
22
)84(63 AMd
PONTO MÉDIO
xx x
MA B
2
yy y
MA B
2
Considere um triângulo de vértices A(6,8);B(2,3) e C(4,5). O valor da medida da medianaAM do triângulo ABC é:
22
)4(3 AMd
5AMd MEDIANA AM = 5
A(6,8)
B(2,3) C(4,5)M(3,4)
x
y
2
3
Determine a equação reduzida da reta rque passa pelo centro da circunferênciax2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0, e é paralela àreta s: y = 4x - 2
y – yo = m(x – xo)
y – 3 = ?(x – 2)
r // s mr = ms
y – 3 = 4(x – 2)
y = 4x – 5
GEOMETRIA PLANA
Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:
01. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede 135o
xSuplemento
xÂngulo
180:
: x = 3(180 – x)
x = 540o – 3x
4x = 540o x = 135o
V
02. O número de diagonais de um dodecágono é 54V
23)n(nd
2
)312(12 d d = 54
Cada ângulo interno de um decágono regular mede 144o
Si = 180°(n 2)
decágono regular
Si = 180°(10 2) Si = 1440o
n
Sai i
10
1440o
ai ai = 144o
V
Num pentágono regular, as diagonais traçadas de um mesmo vértice formam entre si um ângulo de 40o
72o
F
5
360o
Se a altura de um triângulo retângulo relativa ao ângulo reto dividir a hipotenusa em segmentos de 3cm e 12cm, então a área desse triângulo é de 45cm2.
h
12 3
a2 = b2 + c2 a.h = b.cb2 = a.nc2 = a.mh2 = m.n
h2 = m.n
h2 = 12.3
h2 = 36
h = 6
452
6.15
2
a.hA
V
O raio de uma circunferência inscrita num triângulo eqüilátero mede 2cm então a altura desse triângulo mede 6cm.
2
r = 1/3 . h2 = 1/3 . h
h = 6
V
Um quadrado inscrito em uma circunferência tem área 16 m2, então a área do círculo é 16 m2
Aquadrado =
16 = 2
4 =
2
dR
2
2R
2
24R
22R
Acírculo = R2
Acírculo =
22
Acírculo = 8 m2
F
GEOMETRIA ESPACIAL
PARALELEPÍPEDO
ST = 2(ab + ac + bc)
V = a.b.c
D2 = a2 + b2 + c2
As dimensões de um paralelepípedo são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Sabendo que seu volume é 480m3, determine sua área total.
DICAS:Soma das dimensões: a + b + cSoma das arestas: 4a + 4b + 4cDimensões em P.A. x – r, x, x + r
Dimensões em P.G. x/q, x, xq
V = a. b. c
480 = 3k . 4k . 5k
480 = 60k3
8 = k3
k = 2
a = b = c = 3k 4k 5k
ST = 2(ab + ac + bc)
a = 6b = 8c = 10
ST = 2(6.8 + 6.10 + 8.10)
ST = 2(48 + 60 + 80)
ST = 2(188)
ST = 376m2
CILINDRO
SB = r2 SL = 2rh ST = 2SB + SL V = r2h
Determine o valor do volume de um cilindro equilátero sabendo que sua área lateral vale 36cm2
CILINDRO EQUILÁTERO SL = 2rh
36 = 2rh
36 = 2rh
36 = 2r h
36 = h.h
6 = h
2r = h V = r2h
V = 32.6
V = 54 cm3r = 3