Résoudre des problèmes en mathématiques aux cycles 2 et 3 2/3 1 Stage du 12 au 14 décembre 2012 Collège International (IC) Beyrouth Philippe CORBET - CPAIEN
Résoudre des problèmes en
mathématiques aux cycles 2 et 3
2/3
1
Stage du 12 au 14 décembre 2012
Collège International (IC) Beyrouth
Philippe CORBET - CPAIEN
Caractéristiques L’élève L’enseignant
Situation de
départ
Situation-problème présentée à l’oral ou à
l’écrit
à partir d’objets (pions, cartes…)
d’un énoncé
d’une situation vécue par les élèves
comprend le problème à
résoudre, se représente
correctement ce qu’on doit
chercher
- Propose une situation nouvelle
mais adaptée et surmontable
- Favorise la compréhension de
la situation
Recherche
temps de recherche individuelle
temps de recherche en groupe (de 2 à
4)
s’appuie sur ses connaissances
préalables
recherche des réponses
adaptées (solutions
personnelles)
confronte ses procédures avec
celles de ses camarades
coopère pour mettre en forme
une réponse à communiquer
- Aide à entrer dans la situation,
encourage
- Observe, essaie de
comprendre les démarches
- Analyse les procédures et
prévoit leur exploitation
Mise en
commun (Débat
et validation)
Ecoute et comparaison des
procédures des différents groupes
Analyse des procédures erronées
Validation des procédures efficaces
Explicite ses procédures
Argumente pour valider ou
invalider une réponse
- Interroge pour des prises de
conscience progressives
(erreurs, bonnes procédures)
- Aide à la verbalisation des
démarches
- Sollicite les réactions de la
classe
- Suscite la prise de conscience,
note au tableau « ce que ça
nous apprend »
Synthèse
(élaboration
d’un savoir)
Réalisation d’une affiche de référence
comportant :
Les différentes procédures
personnelles valides
La procédure experte
Indique ce qu’il a appris
Propose une formulation des
apprentissages nouveaux
- Demande à la classe ce que la
situation-problème a permis
d’apprendre
- Clarifie en reformulant dans un
langage plus précis
Réponses Ce que ça nous apprend
14 7 8
+ 3 3 17 0 0
1 14 7 8
+ 3 3 37 1 0
4 7 8+ 3 3 2
7 0 0
1 14 7 8
+ 2 3 27 1 0
Commencer par les unités: les chiffres de droite
Connaître sa table d’addition
Penser à la retenue
Noter au tableau « ce que ça nous apprend »
au fur et à mesure de la mise en commun
Réponses Ce que ça nous apprend
10x13=13+13+13+…+13 = 149 L’addition réitérée, c’est long et sujet à erreur
10x13=10+10+10+……+10 = 130
10x13, c’est la même chose
que 13x10=130 / J’ai mis un
zéro à droite / c’est 13 dizaines
10x13 et 13x10, c’est la même chose
Un nombre multiplié par 10, c’est un nombre de dizaines. 13x10, c’est 13 dizaines, c’est 130. 13x20, c’est 13x2 dizaines, c’est
26 dizaines, c’est 260
13x20=13x2x10=260Multiplier par 20, c’est
multiplier par 2, puis par 10
Noter au tableau « ce que ça nous apprend »
au fur et à mesure de la mise en commun
Réponses Ce que ça nous apprend
255+255+255+255+255=1275
305+305+305+305+305=1525
285+285+285+285+285=1425
5x255=1275
5x305=1525
5x285=1425
1425:5= 275
1425:5=285
Partage en parts égales une divisionRappel: une division
donne un quotientTechnique de la division à
comprendre et mémoriser
Noter au tableau « ce que ça nous apprend »
au fur et à mesure de la mise en commun
Rappel des fonctions des
problèmes
Découverte:
percevoir l’intérêt du recours à des connaissances
nouvelles pour résoudre certaines situations.
Application et réinvestissement:
Automatiser l’emploi des nouvelles connaissances
Enrichir les contextes d’emploi de ces connaissances
Evaluer les capacités de réemploi des élèves
Recommandations pour la mise en
œuvre des problèmes d’application et
de réinvestissement
Du simple au complexe
1. Application dans un contexte voisin
2. Réinvestissement dans des contextes plus éloignés
3. Réinvestissement dans le contexte de la vie de la
classe (budget, horaires d’une sortie scolaire…)
4. Problèmes à plusieurs étapes
Aides éventuelles à la compréhension de l’énoncé
pour les élèves en difficulté
− Référence au vécu des élèves (mime, explications…)
− Reprise des éléments et événements de l’énoncé dans
l’ordre d’apparition
− Relecture en plaçant la question au début de l’énoncé
Recommandations pour la mise en
œuvre des problèmes d’application et
de réinvestissement
Aide éventuelle au choix de la procédure
Habituer les élèves à se référer aux affiches de référence
Recommandations pour la mise en
œuvre des problèmes d’application et
de réinvestissement
Pour la présentation de la solution
− Renoncer à la forme de présentation stéréotypée
− Privilégier une présentation plus ouverte
Solution Opération
Recherche Conclusion
Recommandations pour la mise en
œuvre des problèmes d’application et
de réinvestissement
Mise en commun / correction
Correction Mise en commun
Trouver LA solution Inventorier les diverses
solutions
Débattre de leur validité
L’erreur est une « faute »
La réponse est plus
importante que la
procédure
L’erreur est un outil pour
apprendre
La diversité des
procédures est possible
Recommandations pour la mise en
œuvre des problèmes d’application et
de réinvestissement
Les problèmes de réinvestissement à
plusieurs étapes
CM2
Une école comporte deux classes.
Dans cette école, il y a 26 filles.
Dans la première classe, il y a 12 filles et 11 garçons.
Dans la deuxième classe, il y a 27 élèves.
Quel est le nombre de garçons dans la deuxième
classe ?
Les résultats recueillis font apparaître qu’une démarche
correcte a été mise en œuvre par 60 % des élèves
La démarche ascendante (ou chaînage arrière)
partir de la question posée pour essayer de déterminer
ce qui doit être établi auparavant pour pouvoir y
répondre.
pour calculer le nombre de garçons de la deuxième
classe, il faudrait connaître le nombre de filles de cette
classe : 26 -12.
Les problèmes de réinvestissement à
plusieurs étapes
Les problèmes à plusieurs étapes
Démarche descendante (ou chaînage avant)
1. partir des données et déterminer ce qui peut en être déduit
2. sélectionner ce qui est utile pour répondre à la question.
2e et 3e lignes il y a 14 filles dans la 2e classe
3e ligne il y a 23 élèves dans la 1ère classe.
4e ligne 27 élèves dans la 2e classe - 14 filles = 13
garçons
nombre total d’élèves de l’école (23 + 27 = 50)
nombre de garçons de l’école (50 - 26 = 24)
nombre de garçons de la deuxième classe (24 – 11 = 13).
CM2
Une école comporte deux classes.
Dans cette école, il y a 26 filles.
Dans la première classe, il y a 12 filles et 11 garçons.
Dans la deuxième classe, il y a 27 élèves.
Quel est le nombre de garçons dans la deuxième classe ?
Caractéristiques L’élève L’enseignant
Situation de
départ
Situation-problème présentée à l’oral ou à
l’écrit
à partir d’objets concrets (pions,
cartes…)
d’un énoncé
d’une situation vécue par les élèves
Recherche temps de recherche individuelle
temps de recherche en groupe (de 2 à
4)
Mise en
commun
(Débat et
validation)
Ecoute et comparaison des procédures
des différents groupes
Analyse des procédures erronées
Validation des procédures efficaces
Synthèse
(élaboration
d’un savoir)
Réalisation d’une affiche de référence
comportant :
Les différentes procédures personnelles
valides
La procédure experte
Phase
d’entraînemen
t
D’abord des problèmes d’application qui
appartiennent à la même « catégorie »
que celui de la situation-problème
Puis des problèmes de réinvestissement
dans différents contextes
Met à l’épreuve ses nouveaux
savoirs jusqu’à automatiser leur
usage (solution experte)
- Propose des situations adaptées
de difficulté croissante : mise en
œuvre dans des situations
proches de l’activité de
découverte, puis dans des
contextes différents, puis dans
des situations mobilisant
l’apprentissage en cours en
même temps que d’autres
compétences
- Evalue les acquis et les progrès
en vue d’une différenciation
Phase de
transfert
Résolution de problèmes complexes
faisant appel à plusieurs connaissances
et capacités étudiées auparavant
Mobilise des connaissances et
des capacités variées
Apprendre la résolution de problèmes
comprendre l'énoncé
Trouver une procédure
Exécuter la procédure
Communiquer sa réponse
Caractéristiques du type de texte
La langue des énoncésSe représenter l’énoncé
Les caractéristiques de
l’énoncé de problème
Texte injonctif (ordre ou question)
Des éléments informatifs, descriptifs, narratifs
Des présentations diverses (texte, tableau,
graphique, dessin…)
Trois niveaux de lecture
• Il faut imaginer, se représenter l’histoire en faisant appel à son vécu et ses connaissances.
Une lecture narrative
• A partir de l’histoire imaginée et comprise, il faut chercher les informations et les organiser.
Une lecture informative
• Il faut déterminer ce qui est demandé, sélectionner les informations et les traiter.
Une lecture prescriptive
Comprendre l’énoncé
Bien connaître les caractéristiques de ce type de texte
Apprentissage massé (données, question…)
Apprentissage distribué (repérer les caractéristiques)
Bien se représenter l’énoncé
Apprentissage massé (apprendre à schématiser)
Apprentissage distribué (manipuler, schématiser…)
Maîtriser la langue des énoncés
Apprentissage massé (plus que / plus de / en plus…)
Apprentissage distribué (glossaire)
Apprentissage massé grâce à des
activités spécifiques(« Ressources du stage » / site de l’Inspection)
Apprentissage distribué par une
reprise des caractéristiques quand
l’élève présente sa solution
Données utiles Recherche / calculs
Réponse: …………………………………………..
Ce que je cherche: ………………………………
La salle de classe comporte 4 rangées de 8 classes.
Combien y a-t-il de tables?
Apprentissage massé grâce à des
activités spécifiques(« Aider les élèves en difficulté en mathématiques » - Bibliographie)
Pierre et François ont mis leurs petites voitures sur le
tapis. Pierre a 10 voitures, François a 5 voitures.
Combien y a-t-il de voitures sur la tapis?
Apprentissage massé grâce à des
activités spécifiques(« Aider les élèves en difficulté en mathématiques » - Bibliographie)
1. Donner l’habitude aux élèves de disposer d’un stock de
jetons et de matérialiser la situation de recherche pour
mieux la visualiser.
2. Demander aux enfants de dessiner la situation (en cycle
2, au début, des élèves dessineront les feuilles des 5
salades de l’énoncé).
3. Comparer ces traces, et confronter les productions. On
pourra ainsi progressivement amener les élèves à passer
du dessin au schéma en l’épurant (on remplace les arbres
par des croix)
Apprentissage massé grâce à des
activités spécifiques(« Aider les élèves en difficulté en mathématiques » - Bibliographie)
Problème 1
La simulation
Je vais acheter 12
baguettes de pains à
0,90 €. Combien vais-
je donner au
boulanger ?
•
simulation:
MAMAN : Tiens, tu vas aller à la
boulangerie, il nous faudrait 12
baguettes.
ENFANT : Je prends combien
dans ton porte-monnaie ?
MAMAN : Et bien, une baguette
coûte 90 centimes, je te laisse
calculer !
Apprentissage distribué par
la reformulation (Sylvie GUFFOND, CPC Bonneville 74)
Problème 2
Changement de présentation
Arthur a 124 €. Son frère lui
donne 15€ pour son anniversaire.
Il s’achète une paire de rollers à
36€. Lors d’une visite chez sa
mamie, il reçoit un billet de 50€. Il
décide d’acheter 2 livres à 14€. Il
prête 25€ à son cousin à qui il
manquait de l’argent pour acheter
un jeu vidéo à 49€. Combien
Arthur a-t-il d’argent maintenant ?
On va chercher combien
Arthur aura à la fin.
Au début, il a 124€
Son frère lui donne 15€
Arthur s’achète une
paire de rollers à 36€
Sa mamie lui donne un
biller de 50€
Il achète 2 livres à 14€
chacun
Il prête 25€ à son cousin
Combien a-t-il maintenant ?
Apprentissage distribué par
la reformulation (Sylvie GUFFOND, CPC Bonneville 74)
Problème 3
Mettre la question au début
Rajouter des étapes
Dans sa tirelire, Tristan a
deux billets de 50 €, quinze
pièces de 2€, et trois pièces
de 1€
•Il a 35 € de plus qu’Audrey
et 48 € de moins que Quentin
•Combien d’argent a chaque
enfant ?
Tu vas chercher combien
d’argent a chaque enfant :
Tristan a deux billets de 50 €,
quinze pièces de 2€, et trois
pièces de 1€
Combien d’argent a Tristan ?
Il a 35 € de plus qu’Audrey
Combien d’argent a Audrey ?
Il a 48€ de moins que Quentin
Combien d’argent a Quentin?
Apprentissage distribué par
la reformulation (Sylvie GUFFOND, CPC Bonneville 74)
Problème 5
Changer les nombres
− Dans sa tirelire, Tristan a
deux billets de 50 €,
quinze pièces de 2€, et
trois pièces de 1€
− Il a 35 € de plus qu’Audrey
et 48 € de moins que
Quentin
− Combien d’argent a
chaque enfant ?
− Dans sa tirelire,
Tristan a un billet de
5€, une pièce de 2€,
et trois pièces de 1€
− Il a 1€ de plus
qu’Audrey et 2 € de
moins que Quentin
− Combien d’argent a
chaque enfant ?
Apprentissage distribué par
la reformulation (Sylvie GUFFOND, CPC Bonneville 74)
Maîtriser la langue des énoncés
Tous les exercices présentés ci-après sont tirés du livre
« Maths en mots » (Références en bibliographie)
Sami a 50 petites voitures. Il en achète
encore 8. Maintenant, combien en a-t-il?
Difficulté: identifier personnages et objets
3 consignes possibles pour 3 niveaux de difficulté:
/ Réécris le texte en remplaçant chaque fois que c’est possible les pronoms qui représentent Sami et ceux qui représentent les petites voitures.
/ Souligne en rouge les mots qui parlent de Sami, souligne en bleu les mots qui parlent des voitures.
/ Trie les mots soulignés: ceux qui parlent de Sami, ceux qui parlent des voitures.
Pour les 2 dernières consignes, la réécriture pourra se faire ensemble lors de la correction commune.
Apprentissage massé grâce à des
activités spécifiques
Recopie les phrases en remplaçant dès que tu
peux les prénoms par des mots qui conviennent.
• Julien a fait des économies. Julien a reçu
50 euros pour son anniversaire. Julien a
maintenant 83 euros. Combien Julien
avait-il d’euros avant son anniversaire?
• Lucie a commandé des vêtements sur
internet. Lucie lit sur l’ordinateur le
montant de la commande de Lucie: 58
euros pour une jupe et 27 euros pour un
tee shirt. Combien Lucie doit-elle payer?
Recopie les phrases en remplaçant dès que
tu peux les mots répétés par les pronoms qui
conviennent.
• Maxime a récolté 15 kg de cerises. Maxime
donne des cerises à son voisin. Il reste à
Maxime 10 kg de cerises.
• Combien Maxime a-t-il donné de kilos de
cerises à son voisin?
Complète chaque phrase.
• Dessine 3 points ______ relie ces 3 points.
• Observe les points dessinés sur le quadrillage
de gauche ____ reproduis ces points sur le
quadrillage de droite.
• Trace avec la règle un segment de 4 cm de
longueur ____ nomme A et B ses extrémités.
3 consignes possibles pour 3 niveaux de difficulté.
- Tu dois compléter avec 3 mots différents
- Tu choisis parmi la liste: mais, puis, alors, et, car, ensuite.
- Tu choisis un des 2 mots proposés pour chaque phrase:
(mais, puis), (alors, et), (car, ensuite).
Complète la phrase qui se trouve dans la
colonne de droite avec plus ou moins.
Pierre a 25 billes, il donne 12
billes à Mathieu.
Pierre a ______ de billes
qu’avant.
Pierre a 25 billes, Mathieu lui
donne 12 billes.
Pierre a ______ de billes
qu’avant.
Sophie a 42 images
autocollantes. Sa mère lui en
offre un paquet de 6.
Sophie a _______
d’images qu’avant.
Sophie a 42 images
autocollantes. Elle en offre 6 à
sa petite sœur.
Sophie a _______
d’images qu’avant.
Complète la phrase de la colonne de droite
pour qu’elle ait le même sens que celle de
la colonne de gauche.
Dans la classe de CM2,
il y a 8 élèves de moins
qu’au CM1.
Dans la classe de CM1,
il y a 8 élèves _______
qu’au CM2.
Florian mesure 6 cm de
plus que Luc.
Luc mesure 6 cm ______
que Florian.
Damien a 19 billes de
plus que Paul.
Paul a 19 billes _______
que Damien.
Nancy a 58 images, Julie
en a 27 de plus.
Nancy a 27 images
________ que Julie.
Production de question et réponse à partir des données
permettront de faire le lien avec les mathématiques et
de vérifier la compréhension de la notion.
Transforme les phrases en utilisant « fois moins »
ou « fois plus ». Attention, elles doivent garder le
même sens.
• Il y a 3 fois plus de chaises à la cantine que dans la
classe.
• Anthony a 2 fois plus de timbres que John.
• Le ruban rouge est 4 fois plus long que le ruban bleu.
• La jupe coûte 3 fois moins cher que la veste.
• Emilie a ramassé 2 fois moins de figues que Natacha.
Complète.
• Nicolas avait 42 euros. Il en _____ 10 à sa petite sœur pour qu’elle s’achète un livre. Combien a-t-il d’argent maintenant?
• Nicolas avait 42 euros. Il en _____ 10 à sa mère pour s’acheter un livre. Combien a-t-il d’argent maintenant?
• Dans le réfrigérateur il y a 12 œufs. Carole en ______ 3 pour faire un gâteau. Combien en reste-t-il?
• Pascal ______ 25 euros pour son anniversaire. Il avait déjà 85 euros dans sa tirelire. Combien a-t-il maintenant?
• Sylvain _______ la moitié de son paquet de 12 galettes à Quentin qui n’a pas de goûter. Combien pourront-ils en manger chacun?
2 consignes pour 2 niveaux de difficulté:
/ Complète avec reçoit, donne, prend, offre, demande. (Rapprocher de la notion de plus ou moins lors de la correction commune)
/ Complète (lister les synonymes, les contraires lors de la correction commune.)
Complète la phrase de la colonne de droite
pour qu’elle ait le même sens que celle de la
colonne de gauche.
La maîtresse a 15 pochettes de
feutres et il y a 12 feutres dans
chaque pochette.
La maîtresse a 15
pochettes ____ 12
feutres.
Marlène achète 12 bouteilles de
un litre de jus d’ananas et chaque
bouteille coûte 4 euros.
Marlène achète 12
bouteilles de jus d’ananas
à 4 euros____ litre.
Monsieur Rolland loue un garage
pendant 12 mois et chaque mois il
paie 50 euros.
Monsieur Rolland loue un
garage pendant 12 mois
et paie 50 euros ____
mois.
2 consignes pour 2 niveaux de difficulté.
Complète la phrase …avec le, de, par, chacun pour...
Complète les phrases pour qu’elles aient
toutes le même sens que la première.
J’achète des journaux à 2 euros l’unité.
_________ journal coûte 2 euros.
Les journaux coûtent 2 euros __________.
Le prix est de 2 euros ______ journal.
Le prix est de 2 euros _______ un journal.
2 consignes pour 2 niveaux de difficulté.
- Complète les phrases avec par, chaque, pour, pièce pour…
- L’alpiniste a atteint le _______ de la montagne.
- Avec beaucoup de courage il a fait _____ à sa maladie.
- Trace un carré de 4 cm de _______ et découpe-le.
- Il faut regarder de chaque ______ de la route avant de
traverser.
- Nomme chacun des 3 _______ du triangle.
- Sur chaque ______ d’un dé, sont dessinés de un à six
points, représentant les chiffres de 1 à 6.
3 consignes pour 3 niveaux de difficulté
• Complète les phrases avec le mot qui convient. Attention, chaque mot est utilisé 2
fois
• Complète les phrases avec: côté, face, sommet.
• Complète les phrases avec: côté, face, longueur, sommet.
Dans la liste, choisis le bon mot pour
compléter les phrases.
• Chloé a froid, elle a mis un foulard autour de son
________.
• En jouant au foot, Lucas a pris un ______ sur le
mollet.
• Le _______ de la semaine de vacances dans
cet hôtel est de 500 euros pour 2.
2 consignes pour 2 niveaux de difficulté:
– trouve 3 homophones pour compléter les phrases et vérifie leur orthographe dans le
dictionnaire.
Avec les mots suivants, fabrique quand c’est
possible un mot terminé par –aine.
• cent - balle - dix - douze - trente -
quarante - vingt - moyen -
La mise en commun fera apparaître la notion de groupe
Associe chaque mot à sa définition.
Qui a plusieurs formes. multimillionnaire
Un bateau qui a plusieurs
coques.
multicoque
Une personne qui est
plusieurs fois millionnaire.
multiforme
Un très grand nombre de
personnes.
multiplication
Une opération qui est le
produit de 2 nombres.
multitude
Trouve parmi les mots suivants ceux qui
expriment une quantité égale à 10:
décalitre – décade – décaféiné – décapage
– décagone – décalque – décathlon –
décapsuleur
Retrouve le radical de chaque famille de
mots et écris-le.
• égalité – inégalité – égaler
• rangement – ranger – déranger -
dérangement
Facteurs de difficulté dans les
énoncés de problèmes(extrait du document d’accompagnement des
programmes de 2002 « Lire au cycle3 »)
Facteurs de difficulté
Facteurs de
difficulté
Éléments à
considérer
Indications de
travail
Place de la
question
L’indication de la
question au début
de l’énoncé est
facilitatrice
Ordre des
données
Ordre
correspondant au
traitement ou non
Inciter à une
double lecture: le
texte en entier /
reformuler ce
qu’on recherche /
relire les données
sous cet éclairage
Varier pour éviter
tout stéréotype
Facteurs de difficulté
Facteurs de
difficulté
Éléments à
considérer
Indications de
travail
Complexité du
texte
Phrases complexes
Présence de
formules inusuelles
(sachant que …)
Présence de mots
inducteurs « contre-
intuitifs »
Exemple : « Florian
qui a 5 ans de « plus »
que son frère est âgé
de 16 ans ». Quel âge
a son frère ?
Pour les élèves en
difficulté, reformuler le
texte
Réécriture d’un
texte plus explicite
Reprise des
données sous
d’autres formes
(tableau…)
Facteurs de difficulté
Facteurs de
difficulté
Éléments à
considérer
Indications de
travail
Caractère plus ou
moins complet
des données
Présence de
données parasites
ou non
Demander de
repérer les
données inutiles
Faire prendre
conscience que
l’utilisation de
toutes les
données du
texte n’est pas
systématique
Facteurs de difficulté
Facteurs de
difficulté
Éléments à
considérer
Indications de
travail
Caractère plus ou
moins familier de
la situation
Sollicitations de
connaissances
préalables sur le
monde (1 an = 365
jours / on n’utilise
pas 12,5 bus)
Vocabulaire
univoque ou non
Lexique équivoque
(sommet)
Formules
spécifiques (12€
pièce)
Inciter à utiliser
des connaissances
préalables
Se référer au vécu
des élèves
Travail sur la
langue des
mathématiques:
répertoire,
polysémie des
mots
Facteurs de difficulté
Facteurs de
difficulté
Éléments à
considérer
Indications de
travail
Informations
données sous
plusieurs formes
Textes,
graphiques,
cartes, photos…
Informations de
diverses sources
à relier
Usage de ces
présentations de
données dans
d’autres discipline
Problèmes à une
ou plusieurs
étapes de
résolution
Étapes de
résolution
suggérées ou non
par les questions
Différenciations
avec textes
différents où les
étapes sont +/-
suggérées
Bibliographie J2
− Le nombre au cycle 2 – Ressource pour faire la classe – MEN
− Le nombre au cycle 3 – Ressource pour faire la classe – MEN
− TFM
Télé Formation Mathématique (http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/)
− Comprendre des énoncés, résoudre des problèmes
Alain Descaves – Hachette 1992
− Concepts clés et situations-problèmes en mathématiques
Odette Bassis – Hachette 2003
− Aider les élèves en difficulté en mathématiques CP/CE1
Catherine Berdonneau – Hachette 2006
− Maths en mots (cycle 2 – cycle 3)
Jean-Luc Bregeon – Bordas 2008