Resolución triángulos-

UNIDAD 4Resolución de triángulos

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Se aplican las razones trigonométricas. Por ejemplo, en el triángulo ABC rectángulo un lado mide 5 m y un ángulo mide 35º. Luego, se realiza:

Para hallar la medida del se tiene que

Para resolver un triángulo rectángulo se deben tener en cuenta dos casos:

Cuando se conoce la medida de un ángulo y de un lado

b 5tan 35º= cos 35º

5 c5

5tan 35º 3,5 m 6,1 mcos 35º

b c

=

= ≈ = ≈

=180º-(35º+90º ) = 55ºASAS

Se aplica las razón trigonométrica que relacione las medidas de los lados dadas. Por ejemplo, en el triángulo ABC rectángulo los dos catetos miden 5 cm y 7 cm. Por tanto la razón trigonométrica que relaciona ambos lados es tangente.

La medida del otro ángulo es .Para hallar la medida de la hipotenusa se aplica el teorema de Pitágoras:

7tan 1,4

5arctan 1,4 54,5

B

B

= ≈

= ≈S

2 2 25 +7 74

74 8,6

c

c

= =

= ≈

º=180º-(90º+54,5º ) = 35,5AS

CUANDO SE CONOCE LA MEDIDA DE DOS LADOS

ÁNGULO DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

La recta imaginaria que forma una persona al observar un objeto se denomina línea visual.

La línea visual forma un ángulo con la línea visual horizontal, que depende de la posición del objeto visto:

• Si el objeto está a un nivel más alto que el observador se denomina ángulo de elevación.

• Si el objeto está a un nivel más bajo que el observador se denomina ángulo de depresión.

ACTIVIDAD

Resuelve los siguientes problemas.

a. Un árbol de 10 metros de altura proyecta una sombra de 15 metros. Calcula el ángulo de elevación del Sol.

b. Un cable de 400 metros está sujeto a la parte superior de una torre de energía. Si el ángulo que forma el cable con el suelo mide 60º. Determina la altura de la torre de energía.

c. Un velero se aproxima a un acantilado, como se muestra en la figura. Halla la distancia entre el velero y la parte superior del acantilado.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Un triángulo oblicuángulo es aquel en el que sus tres ángulos son agudos o dos de sus ángulos son agudos y el otro es obtuso.

Para resolver un triángulo oblicuángulo hay que tener en cuenta los siguientes casos:

Caso ALA: Se conoce la medida de un lado y de dos ángulos.

Caso LLA: Se conocen las medidas de dos lados y de el ángulo opuesto a uno de ellos.

Caso LLL: Se conocen las medidas de los tres lados.

Caso LAL: Se conocen las medidas de dos lados y del ángulo comprendido entre ellos.

LA LEY DEL SENO

La ley del seno se aplica para resolver los casos ALA y LLA.

Para deducir la ley del seno se traza la altura h de un triángulo ABC, como se muestra en la figura. Luego, se tiene que:

sen = sen =

= sen = sen

h hA B

b ah b A h a A

Igualando: sen sen A B

a b=

Ley del seno: la medida de los lados de un triángulo oblicuángulo es directamente proporcional al seno de los ángulos opuestos.

sen sen sen A B C

a b c= =

ACTIVIDAD

1. Traza cada triángulo. Luego, resuélvelo aplicando la ley del seno.

a.

b.

c.

2. Un poste inclinado de 15 pies de altura proyecta una sombra de 80 pies. Si el ángulo de elevación del Sol es de 20º. Calcula la medida del ángulo de inclinación del poste con respecto al suelo.

, ,52º 80º 23 A B c= = =S S, ,20º 70º 100 A B c= = =S S, ,76º 24º 38 B C b= = =S S

LA LEY DEL COSENO

La ley del coseno se aplica para resolver los casos LLL y LAL.

Para deducir la ley del coseno se traza la altura h de un triángulo ABC, como se muestra en la figura. Luego, se tiene que:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

sen cos

Por el teorema de Pitágoras:

= ( - ) +

Luego, se remplazan y : = ( - cos ) +( sen )

Por último, se resuelve y se simplifica : = + - 2 cos

a c d h

h d a c a A b A

a b c bc A

= =h b A d a A

Ley del coseno: Dados dos lados de un triángulo oblicuánguloy el ángulo comprendido entre ellos el tercer lado está definido por:

2 2 2= + - 2 cos a b c bc A

ACTIVIDAD

1. Resuelve cada triángulo oblicuángulo aplicando la ley del coseno.

a.

b.

2. Los lados no paralelos de un paralelogramo miden 3 cm y 7 cm respectivamente. Si el paralelogramo tiene un ángulo que mide 60º, halla la medida de sus diagonales.

3. La ciudad R está a 45 km de un pueblo P. Si la ciudad S está a 50 km del mismo pueblo. Determina la distancia entre las ciudades R y S.

, ,52 67 55º a b A= = =S

= 40, = 75, = 42 a b c

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Existen dos formas para hallar el área de un triángulo, en particular el área de un triángulo oblicuángulo:

• La fórmula de Herón

Dadas las medidas de los lados de un triángulo ABC, el área está dada por:

Donde s es el semiperímetro del triángulo.

• Aplicación de la ley del seno

Dadas las medidas de dos lados y del ángulo comprendido entre ellos, el área del triángulo está dada por:

con a+ b+ c

A s(s - a)(s - b)(s - c) s =2

=

ya,b c

sen

2

bc AA =

ACTIVIDAD

1. Aplica la fórmula de Herón para determinar él área de un triángulo a partir de las medidas de sus lados.

a.

2. Los lados de un cuadrilátero ABCD miden 2, 3, 4 y 5 centímetros, respectivamente. Si , determina el área del cuadrilátero.

3. Demuestra aplicando la ley de senos que el área de un triángulo ABC está dada por:

, ,3 6 4 a b c= = = , ,b. 15 25 35 a b c= = =

100º A =S

2( )( )( )sen sen

2sen

a B CÁrea

A=