Resolucion de Examenes DINAMICA 2008-II

ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê ÂhÇ|äxÜá|wtw ]Éá° VtÜÄÉá `tÜ|öàxzâ|Ê \ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK\ÇzA V|ä|Ä ECCK@@@@ \\\\\\\\

GRUPOCIVIL-UJCM

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FACULTAD DE INGENIERÍASFACULTAD DE INGENIERÍASFACULTAD DE INGENIERÍASFACULTAD DE INGENIERÍAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

INDICE

Realizado por : CUTIMBO CHOQUE, Wilber. QUISPE ALVAREZ ,Alessandro. QUISPE ROSADO, Rene. RIVERA FLORES. Rommel.

CICLO : IV

DOCENTE : Ing. A. Flores Q.

MOQUEGUA – PERU

2008


GRUPOCIVIL-UJCM




GRUPOCIVIL-UJCM



RESOLUCION DE LA RESOLUCION DE LA RESOLUCION DE LA RESOLUCION DE LA PRIMERA PRACTICA CALIFICADA PRIMERA PRACTICA CALIFICADA PRIMERA PRACTICA CALIFICADA PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE DINAMICADE DINAMICADE DINAMICADE DINAMICA

1.- Hallar una expresión equivalente a:

)()( RPQPQR ××−××

SOLUCIÓN:

)( PQR ××

↓ ↓ ↓

m n o

p

q

onmmnqoonmmoqn

onmmnqomoqn

onmpnopqm

PQRPQRPxQxR

PQRPxQxR

PQReePxQxR

δδδδδδδδ

−=

−=

=

)(

).()(

..)(

� Contracciones:

om

nq

==

nm

oq

==

� Entonces:

( ) ( )PQRQPR

oP

nQR

oPQR mnnoonmoonn

.. •−•=

−= δδδδ

)( RPQ ××

↓ ↓ ↓

s t u

v

x


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utsstxuutssuxt

utsstxusuxt

utsvtuvxs

RPQRPQRxPxQ

RPQRxPxQ

RPQeeRxPxQ

δδδδ

δδδδ

−=

−=

=

)(

).()(

..)(

� Contracciones:

us

tx

==

ts

ux

==

� Entonces:

( ) ( )RPQPRQ

RPQRPQ utsttuuutsuutt

.. •−•=

−= δδδδ

� Por lo tanto reemplazando en la expresión general tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )RPQPRQQPR

RPQPRQPQRQPR

RPQPRQPQRQPR

RPQPQR

..2.

...

...

)()(

•+•−•=

•+•−•−•=

•−•−•−•=

××−××=

� Entonces la respuesta es :

( ) ( ) ( )RPQPRQQPR ..2. •+•−•=


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2.- Indicar si el siguiente campo es conservativo: (Coordenadas Esféricas),

de ser así existe una función λ tal que λ.∇=H .Hallar dicha función

φθ φθφφθ eeer senrrsenrH ...coscos..cos..2 +−−= .

SOLUCIÓN:

� Aplicando la formula:

Hx∇ = θsenr 2

1

φθθφθ

θ φθ

ArsenrAArr

ersenerer

∂∂

∂∂

∂∂

Hx∇ = θsenr 2

1

θφθφφθφθ

θ φθ

sensenrrsenrr

ersenerer

.cos.coscos..2 22−−∂∂

∂∂

∂∂

=θsenr 2

1. re

−∂∂−

∂∂

)cos.cos().( 22 θφφ

θφθ

rsensenr -r θe

−∂∂−

∂∂

)cos..2().( 2 φθφ

θφ senrsensenrr

+…

…..…r senθ φe

−∂∂−−

∂∂

)cos..2()cos.cos( 2 φθθ

θφ senrrr

Hx∇ = θsenr 2

1

+−+−−−

φ

θ

θθφθφθφθφθφθφ

ersenrr

ersensenrsenrsenesenrsenr r

)cos.cos.2cos.cos.2........(

........)..2.2()cos.cos.( 22

Hx∇ =θsenr 2

1[0]

Hx∇ = 0

Hx∇ = 0 → Entonces es un campo conservativo.

� Calculando la función:

λ(r, θ ,Ø) = H


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λ / =

λ / = φθ cos..2 senr−

λ = φθ cos..2 senr−

∫ λ = φθ cos..2 senr∫−

λ = - r2 senθ . cosØ + f(θ ,Ø)

θφθφθθλ ddfr /),(cos.cos/ 2 +−=∂∂

cr

csenrrsenr

csenrg

dsensenrdg

dsenrsendg

sensenrrsend

dg

senrd

dgsenrsen

d

dgsenrsen

gsenr

grrrsen

grrsensenr

grrsenf

rrf

rrf

rrf

rrf

rfr

+−=++−−=

+−−=

−=

−=

−=

=+

+=∂∂

+−=+−+−=

+−+−=+−=

∂−=∂

∂−=∂

−=∂∂

−=∂∂

−=∂∂+−

∫∫

∫∫

φλθφφφθλ

θφφ

φθφ

φθφ

φθφφ

φφ

φθ

φφφθ

φλ

φφθλφφθλ

φφθφθλφφθφθ

θθφφθ

θθφφθθφθφθ

θφφθθφθθφθφθφθ

cos.

.cos.cos.cos..

)1(cos.)(

)1(.

)1(

..

..

)(.

)(cos..

)()(cos.

)()(cos.cos.

)()(cos.),(

)(cos.cos),(

)(cos.cos),(

)(cos.cos/),(

cos.cos.cos.cos/),(

cos.cos./),(cos.cos

22

22

2

2

2

2

2

2

� respuesta cr +−= φλ cos.


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3.- Indicar si el siguiente campo es Solenoidal: (Coordenadas Cilíndricas).

eztgzeseneB ..5).cos.(. 22 φφφθρρρ ++=

SOLUCIÓN:

[ ]

[ ]

0.

.5..3.

.5..31

.

.).5()cos.()(1.

)()().(1

.

22

23

≠∇

+−=∇

+−=∇

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

B

tgsensenB

tgsensenB

tgzsenB

BBBB

Z

ZZ

φφθρρ

φρφθρρρ

φρφ

φθρρρ

ρ

ρφ

ρρρ φρ

→ no es solenoidal.


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4.- Resolver Φ∇ , si:

)ln(.)( 22222222 222

zyxezyx zyx +++++=Φ ++−

SOLUCIÓN:

( )

++−=∇

++−=∇

++−=∇

++−=∇

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=∇

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

∂∂+

∂∂=∇

+=∇

+=∇

++=

++==

++=

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−

−

−

22223

22223

22223

22324

22324

22424

224

224

222

2222

222

2.4..2.

2.4..2.

2.4..2.

2..4.2.

2..4)2.(.

1...

1...

1..

.ln..

)(

2

rererr

rererX

Xr

XerXer

r

X

r

r

r

Xer

r

Xer

r

X

r

re

r

Xr

r

Xer

rXer

Xe

Xr

rXer

X

rer

rer

DOREEMPLAZAN

ZYXr

ZYXrr

ZYXr

rr

rri

iir

ir

iirir

iriir

i

r

i

r

i

i

r

i

r

r

Kji

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ


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5.- Hallar todas las soluciones de la ecuación de La place que dependan de r:

(Coordenadas Esféricas).

0.2 =∇ u ;

∂∂

∂∂=∇ −

rr

rru 222

SOLUCIÓN:

2

2

2

222

2

222

22

22

222

.2

2

.2

.

r

u

r

u

r

r

ur

r

urr

r

ur

r

u

r

rrr

r

ur

r

rr

r

ur

rru

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂=∇

−

−

−


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6.- En un sistema de coordenadas (u,v,z)se tiene un vector:

ezeveu zvuA 2122 4

21

3 −+=

Las ecuaciones de transformación son:

( )

zz

vuy

vux

==

+=

.2

1 22

Verificar si existe dependencia entre este sistema y el cartesiano? De ser

así calcular la divergencia del vector. SOLUCIÓN:

� Existe dependencia cuando el jacoviano es diferente de cero.

� Entonces:

( )

zz

vuy

vux

==

+=

.2

1 22

),,(

),,(

,,

,,

321321 uuu

zyx

uuu

zyxJ

∂∂=

( ) ( ) ( )

0

0

)(0)0(000

22

22

≠+=

++=

−+−−−−=

∂∂⋅

∂∂−

∂∂⋅

∂∂

∂∂+

∂∂⋅

∂∂−

∂∂⋅

∂∂

∂∂−

∂∂⋅

∂∂−

∂∂⋅

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

J

vuJ

vuJ

uvvvuuJ

v

y

z

x

z

y

v

x

u

z

v

z

z

x

z

z

v

x

u

y

v

z

z

y

z

z

v

y

u

xJ

z

z

z

y

z

xv

z

v

y

v

xu

z

u

y

u

x

J

→ El Jacobiano es diferente de cero entonces si existe dependencia entre este sistema y el cartesiano.


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� Calculando Factores de escala:

2

1.

)..12(.).6().12(

..12

1.

)4..6()2

1..6()3..2(

..12

1.

)()()(1

.

..

2

6

2

1

2

1

2

1

2

1

2

122

122

1

2

1

321231132321

2

1

3

2

1

=∇

−+=∇

−

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

=∂∂=

=∂∂=

=∂∂=

−−−

−

−−

−

−

A

vzuzuzv

zvu

A

zvuz

vzuv

uzvu

zvu

A

Ahhz

Ahhv

Ahhuhhh

A

ADIVERGENCI

zz

Ah

vv

Ah

uu

Ah


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RESOLUCION DE LA SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA DE DINAMICA 2008 – II

1.- El pasador A se desliza en la ranura circular a lo largo de la barra giratoria OB. Si el pasador gira en el sentido antihorario alrededor de la ranura circular con un valor constante de velocidad de 150 pies/seg, calcular la velocidad angular de la barra OB y la componente de la velocidad del pasador a lo largo

de la barra giratoria cuando o

01 =θ y cuando o901 =θ .

SOLUCION:

39.20

426

420 22

==

+=

L

L

L

0

24

0

31.11

2.0.3

1

20

4

2

1

2

2

===

===

==

θ

θθθ

Lr

tagarc

Tg

2

.cos.24

..24

cos.24

.

•••

••

••

−=

=

=

+=

θθρ

θθρ

θρθρρ θρ

sen

V ee


GRUPOCIVIL-UJCM



segrad

V

V ee

/75

2

150

2150

.24

.

=

=

=

=

+=

•

•

•

•

••

θ

θ

θ

θ

θρρ θρ

2

2

61.19

92.3

61.19

.cos.20

..20

cos.20

90

•••

••

•••

••

−=

−=

=

−=

−=

==

θρ

θρ

ρ

θθρ

θθρ

θρθ

sen

o

( ) ( )

segrad

V

V

V

V ee

/82.89

67.1

150

20.150

92.399

61.1992.3.

61.1992.3

.

222

22

=

=

=

=

+−=

+

−=

+=

•

•

•

•

•

••

••

θ

θ

θ

θ

θ

θθ

θρρ θρ


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2.- En la figura se tiene una antena telescópica en funcionamiento, el eje OB gira en torno al eje OZ con una velocidad de 4 rad/seg. Y aceleración de 3 rad/seg2 mientras que el brazo extensible gira con velocidad angular de 2.5

rad/seg. Y aceleración de 5 rad/seg2 .en el instante que o

37=θ OA=1.8m, la velocidad con que se contrae A es igual a 12m/seg.

Hallar la velocidad y aceleración del extremo A de la antena.

SOLUCION:

0

12

8.1

=

−=

=

••

•

r

r

r

5

5.2

37

=

−=

=

••

•

θ

θ

θ

3

4

=

−=••

•

φ

φ


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( ) ( ) ( )

./93.12

16.67

32.45.412

32.45.412

)60.0)(4(8.1)5.2(8.112

222

segmV

V

V

V

V

senrrrV

eere

eere

eere

=

=

++=

−−−=

−+−+−=

++=•••

φθ

φθ

φθ θφθ

r

r

rrr

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

222

22

22

/7.107

92.8916.5368.21

92.8916.5568.21

70.575.2877.5784.1396043.1025.11

cos2.2cos2..

segma

a

a

a

senrrsenrsenrrrsenrrra

eere

eeer

ee

re

=

++−=

++−=

++−+−++−−=

+++

−−++

−−=

•••••••••••••••

φθ

φθ

φθ

θφθφθθφφφφθθθθθ

rrr

r

r


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3.- Un punto inicialmente ocupa la posición PO=(1,2,3)y tiene en todo instante como componente de su velocidad el valor de 2t m/seg, si la hodografa tiene por

ecuación •••

=−=− ZYX 62

Determinar:

a) Su posición.

b) La aceleración tangencial y normal para t=1 seg.

c) Su respectivo radio de giro para este instante dado.

SOLUCION:

42

42

4

4

62

−=

−=−

−=−

=−=−

=−=−

•

•

••

•••

•••

tY

Yt

YX

ZYX

ZYX

4=•Z

kji

kji

ji

ji

i

Kji

ttttr

ttttr

ttdr

sma

a

ttV

ZYXV

4)4(

44

)4422(

/82.2

22

4422

22

22

2

−++=

−++=

−++=

=

+=−++=

++=

∫ ∫

•••rrr


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2322

3

2

2

)17164(

2

)(1

1

++=

+

∂∂

=tt

x

dy

x

y

ρ

( ) ( )

( )

2

2

22

222

2

232

2

2

/819.2

82.2

035.082.2

/035.0

)17164(

8

sma

a

a

aaa

sma

tt

ta

Va

t

t

t

Nt

N

N

N

=

=

+=

+=

=

++=

=ρ


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4.- Si el mecanismo de la figura mostrada aOBOA 2== , hallar el lugar geométrico, velocidad y aceleración del punto G, que es el punto medio de AB, sabiendo que OA gira con velocidad angular constante de 3 RPM, a=2m,

o

πθ 43= rad.

SOLUCION:

RPMW

rad

a

Vg

OA

g

3

43

?

?

==

==

πθ seg

radW

segx

rev

radx

rev

OA 31.0

60

min1

1

2

min

3

=

)0510239.1(

)4

3.24.1

4

3cos.24.1(

).4cos.4(31.0

1

iJA

iJA

iJA

OAOAA

V

senV

senxkV

xWa

V

−−=

−=

+=

+=

ππ

φθ

ρ

r

r


GRUPOCIVIL-UJCM



./102.0

051.0)310,0(164.0

051.0.164.0

310.0.

996.3

239.1.

)996.3239.1()0510.164.0(

)996.3239.1()051.0..4(

..2.cos.4051.0239.1

).4cos.4(051.0239.1

smV

V

WV

W

W

WWV

WWsenV

WsenWV

senxWV

xWVV

B

B

ABB

AB

AB

jABiABB

jABiABB

jABKABiJB

jiKABiJB

ABAA

−=

−−=

−=

−=

−=

++−−=

++−=

++−=

−+−=

+=

rr

rr

rrrr

rrrr

θ

θθ

θθ

ρ

BARRA AG:

( ) ( )./927.1

239.1476.1

239.1476.1

916.144.0239.1

)4

3.2

4

3cos2()310.0(051.0239.1

22

segmV

V

V

V

senxV

xWVV

G

G

jiG

iiJG

JiJG

GAABAG

=+=

+=

+−=

−−−+−=

+=

rr

rrr

rrr ππ

ρ


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GRUPOCIVIL-UJCM



RESOLUCION DE LA TERCERA PRÁCTICA CALIFICAFDA DE DINAMICA

1.- La barra ABC gira con velocidad y aceleración angulares de 9 rad/seg y 20 rad/seg2

respectivamente , en el instante mostrado ABC esta en el plano XY y el collarín D tiene una

velocidad de 40 m/s y está aumentando a razón de 100 m/s2. Hallar la velocidad y

aceleración del collarín absolutas con absolutas con respecto al sistema mostrado.

2

2

/100

/40

20/20

9/9

sma

smv

jsrad

jsrad

=

===

==

αω

67.166

100

7.66

40

===

===

••

•

R

a

R

V

θ

θ

0

0)9(6)(

6

=

===

−=

••

•

o

o

o

r

jxjxjrr

jr

ω

r


GRUPOCIVIL-UJCM



ij

ij

ij

ij

ij

ij

senrr

ij

sen

rsenr

20.320

)7.6.(30)7.6.(33

.30.33

.cos.

333

30cos.630.6

cos..

−−=

−−=

−−=

+−=

+−=

+−=

+−=

•

•

•••

•••

ρ

ρ

θθρ

θθθθρ

ρ

ρθθρ

r

r

r

[ ] [ ]ij

senrrrsenr

ij

ij

27.28305.48

)67.16(3)7.6(33)67.16(33)7.6(3

...cos..cos...

22

222

−=

+−−=

++

−=

••

••

•••••••

ρ

ρ

θθθθθθθθρ

ijkV

ijijjxV

xrV o

20320327

20320))333(9(0

)(

−−−=

−−+−+=

++=••ρρω

kjia

ijijxijjxijjxjxa

xxxra

08.25605.483243

27.28305.48)20320(18)333(20))333(9(90

2)(

++−=

−+−−++−++−+=

++++=•

••••••

r

r

r

ρ

ρρωρωρω


GRUPOCIVIL-UJCM



2.- Una rueda gira alrededor del eje AB con velocidad de 10 rad/s constante, mientras que el

eje AB gira con velocidad y aceleración angulares de 2 rad/s y 3 rad/s2 respectivamente. La

rueda tiene una ranura vertical a lo largo de la cual una partícula puede moverse, si la

partícula P ubicada en esta canaleta tiene una velocidad y aceleración de 3 m/s y 1.2 m/s2

con respecto a la rueda.

Calcular la velocidad y aceleración de la partícula.

ROTACION:

j

ijr

rr

3

102

=+=

αω

TRASLACION:

kr

xiijr

xir

ir

o

o

o

o

r

r

4.2

)102(2.1

)(2.1

2.1

−=

+=

=

=

•

•

•ω

[ ][ ]

kjir

kjir

kkxijr

xixixr

xixir

6.34.28.4

3)24(2.1

3)2()102(2.1

))()((2.1

)(2.1

−+−=

−+−=

−+=

+=

+=

••

••

••

••

••

αωω

ωω

jkiV

jjxijiV

xrV o

36112

36.0)192(2.1

++=

+++=

++=••ρρω


GRUPOCIVIL-UJCM



[ ]

kjia

jjxijjjxkxijkjia

xxxxra

4.568.342.7

2.13)204(6.036)102(6.3248.4

2)(

+−=

++++++−+−=

++++=•••••

r

r

r ρρωραρωω

3.- En el mecanismo mostrado la barra AB gira con velocidad de 2 rad/s y aceleración

angular de 3 rad/s. Sabiendo que el cilindro E rueda sin deslizar, encontrar su aceleración

angular.

smiV

jkxV

xVV

B

B

ABABAB

/4.24.2

2.12

==−=

+= ρω rrr

0

)/(4.2

5.14.2

5.14.2

=

=

+=

+=

+=

BC

C

BCC

BCC

BCBCBC

smiV

jiV

ixiV

xVV

ω

ωω

ρω

r

r

r

rrr


GRUPOCIVIL-UJCM



2/66.38.4

2.13)4,2(2

)(

smija

jkxikxa

xxxaa

B

B

ABABABABABAB

=+−=

−−=++=

•ρωρωω

2/6

6.38.4

)(

sma

ija

xxxaa

C

C

BCBCBCBCBCBC

=

+−=++=

•ρωρωω

iiV

ijiV

jikxiV

xVV

CECEE

CECEE

CEE

CECECE

ωωωω

ωρω

rr

rr

r

rrr

2.1)2.14.2(

2.12.14.2

)2.12.1(4.2

++=

++=

−+=

+=


GRUPOCIVIL-UJCM



4.- Ubicar los CIR de todos los cuerpos rígidos.


GRUPOCIVIL-UJCM




GRUPOCIVIL-UJCM



RESOLUCION DE LA CUARTA PRÁCTICA CALIFICADA DE DINAMICA ING. CIVIL 2008-II

1.- Sobre una superficie horizontal se tiene las partículas A y B de masas 2kg y 1 kg respectivamente, ambas masas están unidas por una cuerda inextensible de masa despreciable y giran entorno su centro de masa g. para t=0 la posición del centro de masas es el punto (0,2)mt, su velocidad 2i + 1.5j (m/seg), así mismo la energía cinética y el momento cinético respecto a el es igual a80joules y 4 kg.m2/seg respectivamente. Poco tiempo después, la cuerda se rompe y se observa que la partícula A se mueve paralelamente al eje “y” a una distancia de 1.5 m y en sentido positivo de este eje, mientras que la partícula b sigue una trayectoria rectilínea. Hallar: las velocidades de las partículas A y B después que se rompió la cuerda y la abscisa xb en que la trayectoria de la partícula b corta al eje “x”

SOLUCION:


GRUPOCIVIL-UJCM



2.-Según la figura los pesos A y B son 15 y 55 Kg. Respectivamente. El coeficiente de rozamiento entre A y el plano es de 0.10. Calcular la fuerza entre ambos cuando deslizan hacia abajo por el plano.

SOLUCION:

DCL BLOQUE A:


GRUPOCIVIL-UJCM



DCL BLOQUE B:

KgN

N

Fy

49.11

40cos.15

0

==

=∑

KgN

N

Fy

13.42

40cos.55

0

==

=∑

Kgf

f

uNf

87.2

).49.11(25.0

===

Kgf

f

uNf

213.4

).13.42(10.0

===


GRUPOCIVIL-UJCM



52.1

77.6

.52.177.6

.81.9

1587.264.9

.87.24015

.4015

.

Ra

aR

aR

amRsen

amRsen

amFx

−=

=−

=−−

=−−=−

=∑

61.5

14.31

.61.514.31

.81.9

55213.435.35

.213.44055

.

+=

=+

=−+

=−+

=∑

Ra

aR

aR

amsenR

amFx

Igualando ambos términos:

13.7

35.9

35.913.7

33.4752.161.598.37

61.5

14.31

52.1

77.6

=

=

+=−

+=−

R

R

RR

RR

KgR 31.1=


GRUPOCIVIL-UJCM



3.- Una cadena de 9.8 m de largo se extiende sobre una mesa horizontal lisa de modo que su mitad queda sobre la mesa y la otra mitad cuelga libremente. Si se deja la cadena en libertad. Hallar el tiempo que tarda la cadena en abandonar la mesa.

SOLUCION:

2/905.4

2

81.9

..2

1

sma

a

amgm

maFy y

=

=

=

=∑


GRUPOCIVIL-UJCM



Por formula de dinámica:

905.4

8.9

905.48.9

2

19.4

2

1.

2

2

2

2

=

=

=

+=

t

t

at

attVoh

.41.1 segt =


GRUPOCIVIL-UJCM



4.- Determinar el trabajo realizado por la fuerza

kyzxjyzxixyzF 22323 3)2(2 +++=r&&& al moverse desde el origen de coordenadas

al punto (1,1,1) a lo largo de la curva especificada por las ecuaciones

simultaneas 32 , xzxy == ¿Es el trabajo realizado independiente de la

trayectoria?. Si lo es encontrar la función potencial y comprobar el resultado obtenido.

SOLUCION:

kyzxjyzxixyzF 22323 3)2(2 +++=r&&&

∫∫ ∫ ∫ ++==2

1

2

1

2

1....

z

z

x

x

y

ydzFzdyFydxFxdrFW

JoulesW

zdzz

yy

dyyy

xdxx

213

26

13

9

13

15

13

2

13

9

13

9.3

13

15

13

2.2

13

2

13

2.2

1

0

313

310

1

0

1

0

22

13

211

1

0

131

0

12

==++=⇒

=

=

=

+=+

=

=

∫

∫

∫

JoulesW 2=


GRUPOCIVIL-UJCM



kyzxjyzxixyzF 22323 3)2(2 +++=r&&&

=+=

=

22

32

2

3

2

2

yzxFz

yzxFy

xyzFx

igualessonzxFzy

zxFyz

igualessonxyzFxz

xyzFzx

igualessonxzFyx

xzFxy

22

22

2

2

3

3

3

3

6

6

2

2

==

==

==

C

yzxzyzx

zyzxdz

d

zyyzx

yzxzydy

dzx

zydy

dzx

dy

d

zxyzxxyzdx

d

=

=+

+=

++=

+=+

+=

+=⇒=

•

•

β

β

βφ

βφ

φ

φφ

θφφ

2222

22

232

3232

32

323

3)(3

)(3

)(

2),(

),(

),(2

Cyyzx ++= 232φ


GRUPOCIVIL-UJCM




GRUPOCIVIL-UJCM



RESOLUCION DE LA QUINTA PRÁCTICA CALIFICADA DE DINAMICA ING. CIVIL 2008-II

1.- Plantear la Ecuación Diferencial de movimiento.

SOLUCION:


GRUPOCIVIL-UJCM



ξξ

ξξ

ξ

ξ

..

.

••••

=

=

=

xa

x

xa

x

x

a

x

••••

••

••

••

=

=

=

=

=

∫ ∫

xaqx

a

qF

da

xqdF

da

xqdF

xg

ddF

a

I

a

I

I

I

1.02

.8.9

8.9

8.9

0

2

0

ξ

ξξ

ξξ

ξϖ

01.05

16.4.9

)(1.0)2(532)2(.2)3(30

0

2 =+++

+++=

=

•••••

•••••

∑

xqaaxKaxcmxa

axqaasenxKaxcamx

M o

o

⇒ La ecuación diferencial del sistema es:

05

16.4.1.09 2 =+++

•••••axKaxcxaqmxa


GRUPOCIVIL-UJCM



2.-Una esfera de peso 20N y radio r=1m rueda sin deslizar dentro de una superficie curva de radio R=4m, sabiendo que la esfera sale del reposo en la posición que se muestra, encontrar la velocidad lineal de la esfera al pasar por B y la magnitud de la reacción vertical en ese instante.

SOLUCION:

Calculo de la velocidad lineal de la esfera es:

Kgm

gm

gm

V

N

B

04.2

8.9

20

.

?

20

=

==

==

=

ϖϖ

ϖ

R

V

RV

RS

=

==

••

ω

ωθ

.

.


GRUPOCIVIL-UJCM



2

2

22

22

22

222

2222

17.28

42.140

4.002.140

)04.2(5

2.

2

102.140

5

2

2

1)04.2(

2

1000)220(

2

1

2

1

2

1

2

1

b

b

bb

bb

bb

bbbaaa

Ba

v

v

vv

RR

vv

mRvx

ImvmghImvmgh

EE

=

=

+=

+=

++=++

++=++

=

ω

ωω

./31.5 segmvb =

Calculo de la magnitud de la reacción vertical en ese instante, es:

ρ

2VaN =

=

=

==

4

)31.5(04.2

04.2

.

2

2

N

VN

amN

WN

N

ρ

NNR 37.14==


GRUPOCIVIL-UJCM



3.- El peso de 6 Kg. Esta suspendida de un resorte cuya constante es 4 Kg/cm está conectado a un embolo y cilindro que proporcionan un amortiguamiento viscoso. La fuerza de amortiguamiento es de 5 Kg. Cuando la velocidad del embolo es 50cm/seg, calcular la frecuencia de las vibraciones amortiguadas y el decremento logarítmico.

SOLUCION:

DATOS:

W=6 Kg.

cm

KgK

4=

KgF 5=

segcmX /50=•

KgW

NsmxKgW

segmsegcmX

NKgF

6ˆ

8.58/8.96ˆ

./50.0/50

495

2

===

==

==•

./3920

1

8.9

1

1004

mNK

Kg

Nx

m

cmx

cm

KgK

=

=

Frecuencia natural del sistema sin amortiguamiento:

./56.256

3920

ˆ

1

1

1

segradW

W

W

KW

=

=

=


GRUPOCIVIL-UJCM



El coeficiente de amortiguamiento es:

./.98/5.0

49

.

segmNCsm

NC

X

FC

XCF

=

=

=

=

•

•

El coeficiente de amortiguamiento critico:

7.306

)56.25)(6(2

.ˆ2 1

===

Cc

Cc

WWCc

Factor de amortiguamiento es:

32.07.306

98

=

=

=

ξ

ξ

ξCc

C

Frecuencia de vibración amortiguada:

./21.24

)9474.0.(56.25

1024.0156.25

)32.0(156.25

12

21

segradWd

Wd

Wd

Wd

WWd

==

−=

−=

−= ξ

Calculo del decremento logarítmico.

122.2

)32.0(1

)32.0(21

2

2

2

=−

=

−=

δ

πδ

επεδ


GRUPOCIVIL-UJCM



4.- Plantear la Ecuación diferencial de movimiento.

SOLUCION:

)..(..............................3

)..(..............................3

2

)(2

)(2

IIyxK

xm

IyxK

xm

yKxxK

xm

KyyxKKxxm

yxKKxxm

••••

••

••

••

••

=+

=+

=++

=−++

−++


GRUPOCIVIL-UJCM



Reemplazando (I) y (II) en:

093

2

3320

332

32

33.

33.

33

3)(

=+++

+++=

+=−−

=−−

=−−

=

+−

=

+−

=−

••••

••

••••

••

••••

••

•••

•••

•••

•••

•

xCK

xmCKxxm

xK

xmCKxxm

xK

xmCxKxm

yCxKxm

yCxKxmxK

yCxK

xmKxK

yCxK

xmxK

yCyxK

La Ecuación diferencial de movimiento es :

0293 =+++

••••••

KxxCxmK

xmC


GRUPOCIVIL-UJCM



5.- En un sistema vibratorio la amplitud de la onda se reduce a 1/3 de su valor al finalizar su 1er ciclo. Calcular la frecuencia de amortiguamiento, la amplitud y la frecuencia no amortiguada.

SOLUCION:

segxxx

T

segxxxT

segxxT

promedioperiodoelcalculmosgraficalade

rpta

mm

mm

datosiostomados

x

x

n ki

i

333

3332

331

2

1

1082

108108

1081041012

.1080108

.0986.12

0986.10986.1

0986.1

3

944.6944.6

ln1

1

0986.14

12ln

1

1

;var

ln1

−−−

−−−

−−

+

=+=∴

=−=

=−=

−−−−−−

⇒=+=∴

=

⋅=

=

⋅=

−−

⋅=

δ

δ

δ

δ


GRUPOCIVIL-UJCM



( )

( )

( )

335.797

00788.0

283.6

9851.0108

283.6

)1722.0(1108

283.6

1

2

1

2

:.

1722.0

686.40

2069.1

2069.1686.40

2069.1686.40

48.392069.12069.1

1

48.392069.1

1

48.390986.1

1

2

1

2

.

1

31

2321

2

1

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

2

=

==

−=

−=

−=

−−−−−

=

=

=−=−

=−−

=

−=

−=

−=

−−−

−

−

ω

ω

ω

ω

επ

επ

ε

ε

εε

εεε

εε

εε

πεδ

επεδ

x

segxT

T

sistemadelternainfrecuencialahallamos

ientoamortiguamdecoefcalc


GRUPOCIVIL-UJCM




GRUPOCIVIL-UJCM



RESOLUCION DE RESOLUCION DE RESOLUCION DE RESOLUCION DE 1er EXAMEN PARCIAL DE DINAMICA 1er EXAMEN PARCIAL DE DINAMICA 1er EXAMEN PARCIAL DE DINAMICA 1er EXAMEN PARCIAL DE DINAMICA ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 –––– IIIIIIII

1.- Se tieneSe tieneSe tieneSe tiene los vectoreslos vectoreslos vectoreslos vectores ),,()6,4ln,( 2326 xx eeXByeA == . Indicar si el Tensor Indicar si el Tensor Indicar si el Tensor Indicar si el Tensor

R es conservativo y solenoidal. R es conservativo y solenoidal. R es conservativo y solenoidal. R es conservativo y solenoidal. ( ){ }BAR ∇=rr

.

SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:SOLUCION:

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )kx

jx

i

kx

jx

i

kx

jx

i

kx

jx

ikx

jx

ikx

jx

i

kji

eeeexeR

eexeR

eexeR

z

eeX

y

eeX

x

eeXeR

z

B

y

B

x

BeR

Bzyx

eR

Bkz

jy

ix

eR

26626

226

226

232

23236

26

26

26

23

23

0023

64ln

64ln

.64ln

..64ln

++=

++=

++++=

∂++∂+

∂++∂+

∂++∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂++=

→

→

→

→

→→→→

→→

→→ φφφ


GRUPOCIVIL-UJCM



• Calculando el Rotacional:Calculando el Rotacional:Calculando el Rotacional:Calculando el Rotacional:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

VOCONSERVATIESNORx

eeeeRx

eekeejiRx

y

xe

x

eek

z

xe

x

eej

z

ee

y

eeiRx

eeeexe

zyx

kji

Rx

kx

jx

xx

xxxx

xxi

⇒≠∇

+=∇

−+−−−=∇

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂−

∂∂−

∂∂=∇

=∂∂

∂∂

∂∂=∇

→

→

→

→

→

0

.4

00.400

3322

23

626

626

266

26

266

26

26626

• Calculando la divergencia:Calculando la divergencia:Calculando la divergencia:Calculando la divergencia:

( )

SOLENOIDALESNOR

xeR

xeR

z

ee

y

ee

x

xeR

z

R

y

R

x

RR

kx

jx

i

KjI

⇒≠∇

=∇

++=∇

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

∂∂+

∂∂

+∂

∂=∇

→

→

→

→

→

0.

6.

0023.

23.

.

6

6

266

26


GRUPOCIVIL-UJCM



2.- Calcular el vector unitario tangente a la curvatura K, para t=2 seg. En la Calcular el vector unitario tangente a la curvatura K, para t=2 seg. En la Calcular el vector unitario tangente a la curvatura K, para t=2 seg. En la Calcular el vector unitario tangente a la curvatura K, para t=2 seg. En la curva determinada por:curva determinada por:curva determinada por:curva determinada por:

tZ

tY

tX

=

=

=

3

2

3

4

12


EL EL EL EL VECTOR VECTOR VECTOR VECTOR POSICION POSICION POSICION POSICION ES:ES:ES:ES:

kji tttr ++= )3

4()12( 32

EL EL EL EL VECTOR VECTOR VECTOR VECTOR UNITARIO UNITARIO UNITARIO UNITARIO TANGENTE TANGENTE TANGENTE TANGENTE ES:ES:ES:ES:

dtds

dtdr

ds

dr ==→µ

( ) ( ) ( )

116576

1424

1424

42

2222

2

++=

++==

++=

tt

ttdt

dr

dt

ds

ttdt

drkji

Por lo tanto, en cualquier punto de la curva es:Por lo tanto, en cualquier punto de la curva es:Por lo tanto, en cualquier punto de la curva es:Por lo tanto, en cualquier punto de la curva es:

157616

142424

2

++++

=→

tt

tt kjiµ

Para t = 2 seg.Para t = 2 seg.Para t = 2 seg.Para t = 2 seg.

2561

11648

1)2(576)2(16

1)2(4)2(2424

2

kji

kji

++=

++++

=

→

→

µ

µ


GRUPOCIVIL-UJCM



3333....---- Una Una Una Una partículapartículapartículapartícula asciende con una aceleración tangencial de 15 m/segasciende con una aceleración tangencial de 15 m/segasciende con una aceleración tangencial de 15 m/segasciende con una aceleración tangencial de 15 m/seg2222. Por una . Por una . Por una . Por una superficie helicoidal de 6 m de paso. Hallar la velocidad y aceleración para t=5 superficie helicoidal de 6 m de paso. Hallar la velocidad y aceleración para t=5 superficie helicoidal de 6 m de paso. Hallar la velocidad y aceleración para t=5 superficie helicoidal de 6 m de paso. Hallar la velocidad y aceleración para t=5 seg. , seg. , seg. , seg. , ρ=2m.=2m.=2m.=2m.


z= senα=15senα

= cosα=15cosα

o52.254

6

)2(2

6

2

6

1 =

=

==

−

πα

ππα

Tg

RTg

COORDENADAS CILINDRICASCOORDENADAS CILINDRICASCOORDENADAS CILINDRICASCOORDENADAS CILINDRICAS


GRUPOCIVIL-UJCM



�

�

v= 75.03m/s

2291.70m/s2


GRUPOCIVIL-UJCM



4.- El disco de la figura gira en torno a un eje vertical con velocidad angular deEl disco de la figura gira en torno a un eje vertical con velocidad angular deEl disco de la figura gira en torno a un eje vertical con velocidad angular deEl disco de la figura gira en torno a un eje vertical con velocidad angular de

10 RPM y aceleración angular dey aceleración angular dey aceleración angular dey aceleración angular de 30 rad/seg2, a su vez un objeto se desliza desde A a su vez un objeto se desliza desde A a su vez un objeto se desliza desde A a su vez un objeto se desliza desde A hacia B con una velocidad dehacia B con una velocidad dehacia B con una velocidad dehacia B con una velocidad de 12 m/seg. yyyy aceleración deaceleración deaceleración deaceleración de 5 m/seg2. CaCaCaCalcular la lcular la lcular la lcular la velocidad y aceleración en los instantes A y C.velocidad y aceleración en los instantes A y C.velocidad y aceleración en los instantes A y C.velocidad y aceleración en los instantes A y C.


J

Jsegradseg

xrev

radxRPM

30

05.1./05.1.60

.min1

1

210

−=

==

=

α

πω

kir

kir

ijkjr

iir

kkkr

ijr

ir

ir

189

6.0

)309

(6.0

30))3

(3

(6.0

)(6.0

628.03

6.0)05.1(6.0

)05.1(6.0

)(6.0

6.0

2

2

+−=

+−=

×−−×=

×+×=

−=−=−=

×=

×=

=

••

••

••

•••

•

•

•

π

π

ππωω

π

ω


GRUPOCIVIL-UJCM



PUNTO A:PUNTO A:PUNTO A:PUNTO A:

j

j

j

5

12

4.0

=

−=

=

••

•

ρ

ρ

ρ

kjV

jjjkV

rV

36.012

4.03

123

6.0

π

ππρωρ

−−=

×+−−=

×++=

→

→

••→

kja

kja

kjka

ra

rr

rr

rrr

372.175

)3

6.018(5

1853

6.0

2)(

+=

−+=

++−=

+×+×+××+=

→

→

→

••••••→

π

πρρωρωρωω

PUNTO C:PUNTO C:PUNTO C:PUNTO C:

j

j

r

r

5

12

0

=

−=

=

••

•

ρ

ρ

ρ

jkV

rV

123

6.0 −−=

×++=→

••→

πρωρ

kja

kja

kjka

ra

rr

rr

rrr

372.175

)3

6.018(5

1853

6.0

2)(

+=

−+=

++−=

+×+×+××+=

→

→

→

••••••→

π

πρρωρωρωω


GRUPOCIVIL-UJCM



5.- En el mecanismo de la figura la barra DE se mueve con velocidad deEn el mecanismo de la figura la barra DE se mueve con velocidad deEn el mecanismo de la figura la barra DE se mueve con velocidad deEn el mecanismo de la figura la barra DE se mueve con velocidad de 3 m/seg.

Y aceleraY aceleraY aceleraY aceleración deción deción deción de 2 m/seg2.Determinar las velocidades y aceleraciones angulares Determinar las velocidades y aceleraciones angulares Determinar las velocidades y aceleraciones angulares Determinar las velocidades y aceleraciones angulares de las otras barras.de las otras barras.de las otras barras.de las otras barras.

SOLUCION:

�

�

TRAMO DB


GRUPOCIVIL-UJCM



TRAMO BA


GRUPOCIVIL-UJCM



POR LO TANTO


GRUPOCIVIL-UJCM




GRUPOCIVIL-UJCM



RESOLUCION DEL SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE DINAMICA ING. CIVIL 2008-II

1.-Se tiene una esfera de 20 Kg de peso, la barra vertical esta soldada en

B a la barra horizontal si K=10 Kg/cm, C=0.4 Kg.seg/cm. Si A se desplaza

8 cm hacia la derecha. ¿Qué tiempo tomara para regresar a su

configuración vertical?

SOLUCION:


GRUPOCIVIL-UJCM



W=20 kg � m=20/9.81 � m=2.04

K=10kg/cm � 1000Kg/m

C=0.4 Kg.Seg/cm � 40Kg.Seg/m

∑MB = 0

0.8mθ (2) + 0.3C.θ ( 0.3) + 0.5 K θ (0.5) = 0

0.16mθ + 0.09Cθ + 0.25 K θ = 0

0.16 (2.04) θ + 0.09 (40) θ + 0.25 (1000) = 0

0.3264.θ + 3.60.θ + 250.θ = 0

θ + 3.6θ + 250 θ = 0

0.3264 0.3264

θ + 11.03 θ + 766 θ =0

Sabemos que:

C = 2ξω1 K = ω12

m m

11.03 = 2ξω1 ω12= 766

� 11.03 = ξ

2 (27.68) ω1 = √766 = 27.68 rad/seg

� ξ = 0.199 < 1 subamortiguado

El tiempo que tarda en volver a su posición original será el periodo que tarda en hacerlo

� T = 2π .

ω1√1 – ξ2

�T = 2π .

27.68√1 – 0.1992

� T = 0.23 seg


GRUPOCIVIL-UJCM



2.- una masa “m” es frenada por un resorte de constante k se encuentra

inicialmente en reposo, para el tiempo t=0, se encuentra bajo la acción

de una fuerza excitadora, suponiendo que no hay amortiguamiento y

dado que w/2π =10 ciclos por segundo. “m” pesa 4.539kg, k=29.8kg/m,

Fo=45,359 kg. Hallar la amplitud de las vibraciones forzadas y de las

vibraciones libres

SOLUCION:

463.08.9

539.4

.539.4

=

=

=

m

m

gm

023.8

362.64

463.0

8.29

==

=

=

Wi

Wi

Wi

m

kWi

83.62

)2)(10(

102

==

=

W

W

W

ππ

kgFo

kgK

kgW

354.45

8.29

539.4

===


GRUPOCIVIL-UJCM



33.60

522.1

023.883.62

1

8.29359.45

1

2

2

2

2

=

−=

−=

A

A

wi

wk

Fo

A

mA 0252.0=


GRUPOCIVIL-UJCM



3.-En un ensayo de funcionamiento del mecanismo de antena telescópica

el árbol soportante gira en torno al eje soportante calcular las

componentes r, φθ y de la fuerza del extremo en el instante en que:

mL 2.1= 045=β siendo las velocidades segradw /21 = y

segmL /9.0=& constantes en el transcurso del tiempo. La masa del cuerpo

en el extremo es de 80 UTM.

SOLUCION:

0

72

0

/5.1

45

0

/9.0

2.1

2

0

========

φφθθθ

&&

&

&&

&

&&

&

srad

srad

r

smr

mr


GRUPOCIVIL-UJCM



φθ θφθθφθφθθφθθθφθ ersenrsenresenrrresenrrra rv&&&&&&r&&&&&r&&&& )cos22()cos2()( 2222 +++−++−−=

φθ

φθ

φ

θ

eee

eee

esensen

esenesena

r

r

r

rrr

rrr

r

rr

6.73.01.5

)4.35.20()4.27.20()4.27.2(

]45cos)2)(5.1)(2.1(245)2)(9.0(245)0)(2.1[(

]45cos45)2)(2.1()5.1)(9.0(2)0)(2.1[(]45)2)(2.1()5.1)(2.1(0[

000

0020222

++−=

+++−++−−=

++

+−++−−=

)1575.9()784(

.

4.59556.7784.

2.2353.0784.

4.39981.5784.

XF

amF

xaemFe

xaemFe

xraemFer

=

=

======

−=−==

φφ

θθ

rr

r

rr

NF 48.7179=


GRUPOCIVIL-UJCM



4.- Encontrar el trabajo realizado al finalizar el quinto segundo por la

fuerza kji tttF ˆˆˆ2 )22(27 −+−=

r cuyo punto de aplicación recorre la recta

de ecuación 3y+2z=9; eje X; con la ley horaria de movimiento 82 2 += tS

SOLUCION:

0

400

4

82 2

==→=

==

+=

t

tv

tdt

dsv

tS

kji tttF ˆˆˆ2 )22(27 −+−=

r

Cztytxt

zttdz

d

zxdy

dytt

dy

d

zxxttdx

d

tFz

tFy

tFx

++++=

++=→+=

+=→=

+=→=

+==

=

).22()2(.7

).22()22(

),()2(2

),(.77

)22(

2

7

212

21

22

2

φ

βφφ

θφφ

θφφ

La ecuación de la recta: 923 =+ zy

tyy

z

tzz

y

x

=→−=

=→−=

=

2

393

29

0


GRUPOCIVIL-UJCM



−=−=

−=

=

=

=

==

=

=

326

31

0

5

29

339

0

0

z

y

x

t

z

y

x

t

Reemplazando en la ecuación se tiene:

Czyx

Czyx

segtPero

Cztytxt

+++=

++++=

=++++=

).12()10(175

).25*2()5*2(.)5(7

.5

).22()2(.7

21

212

212

φ

φ

φ

( )486.6305.37

5410336103

105

−−=

+−

−−=

−=

W

W

W φφ

JW 53.100−=


GRUPOCIVIL-UJCM



5.-Plantear la ecuación diferencial de movimiento del siguiente sistema.

cmKgK

cmsegKgC

/15

/.2.1

==

SOLUCION:


GRUPOCIVIL-UJCM




GRUPOCIVIL-UJCM



RESOLUCION RESOLUCION RESOLUCION RESOLUCION DEL DEL DEL DEL EXAMEN EXAMEN EXAMEN EXAMEN DE DE DE DE APLAPLAPLAPLAAAAZADOS DE ZADOS DE ZADOS DE ZADOS DE DINAMICA DINAMICA DINAMICA DINAMICA ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 ING. CIVIL 2008 –––– IIIIIIII

1.- La barra AB de 6m de lLa barra AB de 6m de lLa barra AB de 6m de lLa barra AB de 6m de longitud está articulada en A el extremo B, se ongitud está articulada en A el extremo B, se ongitud está articulada en A el extremo B, se ongitud está articulada en A el extremo B, se mueve sobre el arco de circunferencia CBD de 6m de radio. Hallar la mueve sobre el arco de circunferencia CBD de 6m de radio. Hallar la mueve sobre el arco de circunferencia CBD de 6m de radio. Hallar la mueve sobre el arco de circunferencia CBD de 6m de radio. Hallar la velocidad y aceleración angulares de la barra AB sonvelocidad y aceleración angulares de la barra AB sonvelocidad y aceleración angulares de la barra AB sonvelocidad y aceleración angulares de la barra AB son 0.4 rad/seg. y 0.25 rad/seg. 2


jjB

jiKB

ABABAB

senV

senxV

xWVV

θθ

θθ

ρ

.4.2cos.4.2

)cos.6(4.00

+=

++=

+=

r

r

rrr

…

[ ]

jin

ijjin

ijjikn

jikjikkn

ABABABABABAn

sensena

sensena

sensenxa

senxsenxxa

xxWxWaa

)cos5.196.0()5.1cos96.0(

5.1cos5.196.0cos96.0

)5.1cos5.1)4.2cos4.2(4.0

)6cos6(25.0)6cos6(4.04.0

)(

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

ραρ

++−−=

−++−=

−++=

+++=

++=

.


GRUPOCIVIL-UJCM



[ ]

[ ]

4.0

6

4.2

4.2.6

0.64.2

).6cos4.2().64.2(0

).6cos4.2().64.2(

.64.2cos4.2

)6cos6(4.2cos4.2

)6cos6(

=

=

=

=+−

−++−=

−++−=

+−−=

−−+−=

−−+=

CBD

CBD

CBD

CBD

jCBDiCBD

jCBDiCBDC

iCBDJCBDijC

jiKCBDijC

jiCBDBC

W

sen

senW

senWsen

Wsensen

WWsensen

WWsensenV

WsenWsenV

senxWsenV

senxWVV

θθ

θθ

θθ

θθθ

θθθ

θθθ

θθθθ

θθ


GRUPOCIVIL-UJCM



2.- La barra AB tiene una rotación angular deLa barra AB tiene una rotación angular deLa barra AB tiene una rotación angular deLa barra AB tiene una rotación angular de 5 rad/seg y 12 rad/seg. 2

avanzandoavanzandoavanzandoavanzando hacia arriba a lo largo del eje del perno, además tiene una hacia arriba a lo largo del eje del perno, además tiene una hacia arriba a lo largo del eje del perno, además tiene una hacia arriba a lo largo del eje del perno, además tiene una velocidad y aceleración lineales de velocidad y aceleración lineales de velocidad y aceleración lineales de velocidad y aceleración lineales de 10 m/s y 8 m/s 2 respectivamente. respectivamente. respectivamente. respectivamente. Hallar la velocHallar la velocHallar la velocHallar la velocidad y aceleración del punto A situado sobre la barra.idad y aceleración del punto A situado sobre la barra.idad y aceleración del punto A situado sobre la barra.idad y aceleración del punto A situado sobre la barra.


0

0

1.0

=

=

=

••

•

ρ

ρ

ρ

8

10

12

5

−=

=

=

=

••

•

••

•

Z

Z

φ

φ

smV

V

V

V

ZV

eze

ezee

/07.10

44.101

)10()2.1(

10)12)(1.0(

22

==

+=

+=

++=••••

φ

φρ φρρ


GRUPOCIVIL-UJCM



[ ] [ ]

2

222

2

2

/46.8

69.71

)8()2.1()5.2(

82.15.2

8)5)(0(2)12)(1.0()5)(1.0(

)2()(

sma

a

a

a

a

Za

ezee

ezee

ezee

=

=

−++−=

−+−=

−++−=

+−+−=•••••••••

φρ

φρ

φρ φρφρφρρ


GRUPOCIVIL-UJCM



3.- AtrevesAtrevesAtrevesAtreves de los brazo de unde los brazo de unde los brazo de unde los brazo de un irregadorirregadorirregadorirregador fluye agua a razón fluye agua a razón fluye agua a razón fluye agua a razón constante constante constante constante dededede 15 m/s15 m/s15 m/s15 m/s.... Mientras rota a razón deMientras rota a razón deMientras rota a razón deMientras rota a razón de 20 rad/seg Calcular la aceleración del Calcular la aceleración del Calcular la aceleración del Calcular la aceleración del agua inmediatameagua inmediatameagua inmediatameagua inmediatamente antes que salga por una de las dnte antes que salga por una de las dnte antes que salga por una de las dnte antes que salga por una de las dos.os.os.os. CuálCuálCuálCuál será la velocidad del fluido que eserá la velocidad del fluido que eserá la velocidad del fluido que eserá la velocidad del fluido que emerge exprese la lmerge exprese la lmerge exprese la lmerge exprese la longitud y el ongitud y el ongitud y el ongitud y el ángulo respecto a ángulo respecto a ángulo respecto a ángulo respecto a la línea lineal.la línea lineal.la línea lineal.la línea lineal.



GRUPOCIVIL-UJCM



4.- Plantear la ecuación diferencial de movimiento de las masas y Plantear la ecuación diferencial de movimiento de las masas y Plantear la ecuación diferencial de movimiento de las masas y Plantear la ecuación diferencial de movimiento de las masas y expresaexpresaexpresaexpresarrrr la frecuencia circular.la frecuencia circular.la frecuencia circular.la frecuencia circular.


m

kWf

m

kW

MovimientoDifEcxm

kx

kxmx

mxkxmx

mmemplazando

mxmxmxkxmx

ππ

θ

θ

θθ

2

1

2

..0

022

0cos2

cos:Re

cos0cos2

2

2

2

22

==⇒=

→=+

=+

=++

=

==++

••

••

••••

••••••••


GRUPOCIVIL-UJCM



5.- a) Deducir una expresión paraDeducir una expresión paraDeducir una expresión paraDeducir una expresión para )).(( dcb ×∇×

b) )..()( aaaxxa ∇+∇


)).(( dcb ×∇×

↓ ↓ ↓ ↓

i j r l

k k

spuestacdbdcb

dcbdcb

dcbdcb

pjlj

lipi

nescontraccio

dcbdcb

dcb

dcbeedcb

LpPLLpLP

LpPLPPLLLpLPLLPP

LpjiJPILLpjiJLIP

LpjiJPILJLIP

LpjiKPLKIJ

Re)()(

..

:

..

))((

.)).((

→→•∇•−•∇•

∇−∇=

∇−∇=

====

∇−∇=

∇−=

∇=×∇×

δδδδ

δδδδ

δδδδ

B) )..()( aaaxxa ∇+∇

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

i j i i j i

k

l


GRUPOCIVIL-UJCM



)()(

:

)(

.

..

xaxa

aa

ijlj

liii

nescontraccio

aa

a

aee

eea

a

lxj

iillixl

llii

ixj

jiilixj

jlii

ixj

jiiljlii

ixj

KILXIJ

KILXIJixj

ixj

∇−∇

∂∂−

∂∂

====

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂

∂∂

δδδδ

δδδδ

δδδδ

Resolucion de Examenes DINAMICA 2008-II

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