Resolución Segundo Parcial Cursada 2020 Ejercicios N° 1 Problema 1 La planta de un determinado proceso se encuentra representada con precisión por medio del siguiente modelo de estado discreto, el cual se obtiene de muestrear al sistema con = 0.1. [ 1 ( + 1) 2 ( + 1) 3 ( + 1) ]=[ 0.7 −0.75 0.325 1 0 0 0 1 0 ][ 1 () 2 () 3 () ]+[ 1 0 0 ] () () = [0 1 −0.1] [ 1 () 2 () 3 () ] Se pretende a partir de realimentación de estados obtener un sistema con un sobrepico del 10% y un tiempo de establecimiento al 5% de 0.8seg. Además, el sistema realimentado debe resultar No Observable. a) Encuentre el vector de realimentación K que cumpla con las especificaciones indicadas haciendo uso de la transformación al modelo canónico. Desarrolle todos los pasos y señale todas las matrices necesarias para arribar a K. b) Ajuste la ganancia 0 del sistema de modo de obtener una respuesta con ganancia unitaria. Solución En primer lugar se calcula la matriz controlabilidad del sistema. A priori se puede saber que la controlabilidad es de rango completo debido a que la función de transferencia es de tercer orden. No obstante, se calcula ya que es necesaria para plantear la transformación al modelo canónico controlable. =[ 1 0.7 −0.26 0 1 0.7 0 0 1 ] Luego Rango(U)=3. Sistema totalmente controlable. Para calcular la realimentación se emplea la transformación al modelo canónico controlable, la cual se define como () = (). Para plantear el modelo se calcula la ecuación característica del sistema, la cual se puede obtener calculando det( − ) o del denominador de la función transferencia. ( − ) = [ − 0.7 0.75 −0.325 −1 0 0 −1 ] det( − ) = ( − 0.7) 2 − 0.325 + 0.75 = 3 − 0.7 2 + 0.75 − 0.325 Luego, las matrices A y B del modelo canónico controlable resultan: =[ 0 1 0 0 0 1 0.325 −0.75 0.7 ]; =[ 0 0 1 ] La matriz de controlabilidad del modelo canónico es:
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Resolución Segundo Parcial Cursada 2020...Para plantear el modelo se calcula la ecuación característica del sistema, la cual se puede obtener calculando det ( 𝐼− ) o del denominador
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Resolución Segundo Parcial
Cursada 2020
Ejercicios N° 1
Problema 1
La planta de un determinado proceso se encuentra representada con precisión por medio del siguiente modelo de
estado discreto, el cual se obtiene de muestrear al sistema con 𝑇𝑠 = 0.1𝑠.
[
𝑥1(𝑘 + 1)
𝑥2(𝑘 + 1)
𝑥3(𝑘 + 1)] = [
0.7 −0.75 0.3251 0 00 1 0
] [
𝑥1(𝑘)
𝑥2(𝑘)
𝑥3(𝑘)] + [
100] 𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘) = [0 1 −0.1] [
𝑥1(𝑘)
𝑥2(𝑘)
𝑥3(𝑘)]
Se pretende a partir de realimentación de estados obtener un sistema con un sobrepico del 10% y un tiempo de
establecimiento al 5% de 0.8seg. Además, el sistema realimentado debe resultar No Observable.
a) Encuentre el vector de realimentación K que cumpla con las especificaciones indicadas haciendo uso de la
transformación al modelo canónico. Desarrolle todos los pasos y señale todas las matrices necesarias para arribar a
K.
b) Ajuste la ganancia 𝐴0 del sistema de modo de obtener una respuesta con ganancia unitaria.
Solución
En primer lugar se calcula la matriz controlabilidad del sistema. A priori se puede saber que la controlabilidad es de
rango completo debido a que la función de transferencia es de tercer orden. No obstante, se calcula ya que es
necesaria para plantear la transformación al modelo canónico controlable.
𝑈 = [1 0.7 −0.260 1 0.70 0 1
]
Luego Rango(U)=3. Sistema totalmente controlable.
Para calcular la realimentación se emplea la transformación al modelo canónico controlable, la cual se define como
𝑥(𝑘) = 𝑃𝑥𝑐𝑐(𝑘). Para plantear el modelo se calcula la ecuación característica del sistema, la cual se puede obtener
calculando det(𝑧𝐼 − 𝐴) o del denominador de la función transferencia.
Finalmente, se pide que el sistema tenga ganancia unitaria en régimen permanente para una entrada en escalón
unitario en 𝑢1(𝑘). En este caso se debe determinar la ganancia que presenta el sistema realimentado desde esa
entrada.
𝐺0 = 𝐶[𝐼 − (𝐴 − 𝐵𝐾)]−1𝐵1 = 3.744
Luego la ganancia 𝐴0 = 𝐺0−1 = 0.2671.
Las ganancias de realimentación deben ser modificadas solo para los términos que realimentan sobre la entrada 1. Al
mismo tiempo 𝐴0 debe aparecer multiplicando a la entrada de u1. Finalmente:
𝐾 = [−9.4 47.01 3.51−2.511 12.5576 0.9379
]
Ejercicios N° 2
E1) Se desea realizar un estimador de todas las variables de estado del circuito que se muestra en lafigura, a partir de la medición de la entrada Vi y la salida Vo. Este debe implementarse en una plataforma digital con un periodo de muestreo de 10 ms y debe poseer la máxima dinámica posible.
a) Encuentre un modelo de estado discreto para la planta. b) Analice si se cumplen las condiciones para el diseño del estimador y que se satisfagan las
especificaciones. Justifique.c) Suponiendo que no es posible el diseño para este circuito, considere modificarlo con el
agregado de una resistencia de valor 10K, para permitir el diseño de un estimador.d) A partir del circuito que admite el diseño de un estimador (original o modificado), encuentre
el modelo del estimador discreto. e) Encuentre el transitorio del error, entre las variables reales y estimadas, para el estimador
calculado.
Datos: Ro = 10k; R1 = 120k; R2 = 360k; R3 = 72k; R4 = 300k; C1 = 12nF; C2 = 45nF; C3 = 15nFNota: El diseño del estimador puede realizarlo usando, por ejemplo, Scilab o herramientas similares.
Solucion:a) Para encontrar el modelo de estado discreto, primero debo encontrar el modelo de estado continuo. Para ello elijo a las tensiones de los capacitores como variables de estado y planteo las ecuaciones de estado en el dominio de Laplace:
sV C 1=ViRoC1
sV C 2=−V C 1
R1C 2
sV C 3=−V C 1
R2C 3Con las ecuaciones de estado, y sabiendo que
Vo=−V C 3
el modelo de estado continuo queda:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[ 0 0 0
−1R1C2
0 0
−1R2C3
0 0][V C 1
V C 2
V C 3]+[ 1
RoC1
00
]Viy=[0 0 −1 ][V C1
V C2
V C3]
Con los datos del problema, el modelo queda:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[ 0 0 0
−185,18 0 0−185,18 0 0][V C1
V C2
V C3]+[8333,3
00 ]Vi
y=[0 0 −1 ][V C1
V C2
V C3]
Ahora discretizo el modelo usando ROC con el periodo de muestreo Ts = 10ms:
[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C 3 [k+1 ]]=[ 1 0 0
−1,8518 1 0−1,8518 0 1][V C 1 [k ]
V C 2 [k ]V C 3 [k ]]+[ 83,333
−77,16−77,16]Vi [k ]
y [k ]=[0 0 −1 ][V C 1 [k ]V C 2 [k ]V C 3 [k ]]
b) El estimador debe estimar las variables de estado con la máxima dinámica posible. Si el sistema es observable, se podrán ubicar los 3 polos del sistema en z=0. Por lo tanto, el error en la estima se hará cero en 3 muestras porque, al ser el sistema de orden 3, la ecuación característica del modelo del error será a lo sumo z³. En el caso de que no fuese observable, la máxima dinámica va a estar dada por el o los polos del estimador que no se puedan reubicar a z=0. En el caso de que no fuese detectable, el error del estimador no convergerá a cero y por lo tanto no se cumplirán las condiciones de diseño. A partir de la inspección del circuito se puede ver que la tensión del capacitor C2 (VC2) no afecta la salida, por lo que el sistema es no observable. Además, esta tensión es la integral de la corriente que circula por R1, lo que genera un polo en z=1 y hace que el sistema no sea detectable, dado que para que sea detectable el autovalor discreto correspondiente a la variable de estado inobservable debe ser menor que 1, garantizando error cero en regimen permanente ante condiciones iniciales no nulas.
Esto puede verificarse, calculando la observabilidad del modelo del sistema, a partir del rango de la matriz observabilidad del modelo discreto:
V=[ 0 0 −11,8518 0 −13,7037 0 −1]
El rango de esta matriz es 2, por lo que el sistema posee una variable de estado inobservable. Para verificar que el sistema no es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable noes menor que 1. Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,
T=[ 0 0 −11,8518 0 −1
0 1 0 ]La matriz A del modelo transformado resulta:
A=TAT −1=[ 0 1 0−1 2 01 −1 1]
Como puede verse, la submatriz A22 es de tamaño 1x1 porque hay una sola variable de estado inobservable y tiene como único elemento al autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado. Como este autovalor es 1, el sistema no es detectable.
c) Para permitir el diseño de un estimador para este circuito, debo correr el polo correspondiente a la variable de estado inobservable, desde z=1 hacia el interior del círculo de radio unitario, para hacer que el sistema sea detectable. Esto lo puedo lograr colocando la resistencia Rc=10k en paralelo con C2. Esto hace que el modelo del sistema cambie. La única ecuación de estado que cambia es la correspondiente a VC2:
sV C 2=−V C1
R1C2
−V C 2
RCC2
Por lo tanto, el modelo de estado resultante es:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[
0 0 0
−1R1C2
−1
RCC2
0
−1R2C3
0 0][V C1
V C2
V C3]+[ 1
RoC1
00
]Viy=[0 0 −1 ][V C 1
V C 2
V C 3]
Con los datos del problema, el modelo queda:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[ 0 0 0
−185,18 −2222,2 0−185,18 0 0][V C 1
V C 2
V C 3]+[8333,3
00 ]Vi
y=[0 0 −1 ][V C 1
V C 2
V C 3]
Ahora discretizo el modelo usando ROC con el periodo de muestreo Ts = 10ms:
[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C3 [k+1 ]]=[ 1 0 0
−0,0833 0 0−1,8518 0 1][V C1 [k ]
V C2 [k ]V C3 [k ]]+[ 83,333
−6,6319−77,16 ]Vi [k ]
y [k ]=[0 0 −1 ][V C 1 [k ]V C 2 [k ]V C 3 [k ]]
La modificación no debe haber cambiado la observabilidad, dado que la tensión del capacitor C2 (VC2) sigue sin tener efecto sobre la salida. Por lo tanto, si calculo el rango de la matriz observabilidad del modelo discreto, seguirá siendo 2:
V=[ 0 0 −11,8518 0 −13,7037 0 −1]
que tiene rango 2.Sin embargo, ahora el sistema debería ser detectable. Para verificar que el sistema es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable sea menor que 1.Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,
T=[ 0 0 −11,8518 0 −1
0 1 0 ]La matriz A del modelo transformado resulta:
A=TAT −1=[ 0 1 0−1 2 0
0,045 −0,045 0]Como puede verse, el autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado vale 0, por lo que el sistema es detectable.
d) Se pide que el estimador posea la máxima dinámica posible. Por este motivo, debo reubicar los autovalores de las variables de estado observables a z=0. Para ello, en primer lugar, debo utilizar el modelo transformado que me separa las variables observables de las no observables:
x [k+1]=[ 0 1 0−1 2 0
0,045 −0,045 0] x [k ]+[77,16231,48−6,6319]Vi [k ]
y [ k ]=[1 0 0 ] x [k ]
Como no puedo reasignar el autovalor de la variable no observable, para el diseño del vector de realimentación H del modelo transformado utilizo las submatrices:
A11=[ 0 1−1 2] y C1=[1 0 ]
El vector para el estimador del submodelo observable es:
H o=[23]
El vector del estimador para el modelo transformado:
H=[230]
El vector para el estimador del modelo original es:
H=[0,540
−2 ]Finalmente, el modelo del estimador queda:
x [k+1]=[ 1 0 0,54−0,0833 0 0−1,85185 0 −1 ] x [k ]+[ 83,333
−6,6319−77,16 ]Vi [k ]+[0,54
0−2 ] y [k ]
e) Se evaluó el transitorio del error para las siguientes condiciones iniciales:
x [0]=[−0,5−0,5
1 ]
E2) Se desea realizar un estimador de todas las variables de estado del circuito que se muestra en lafigura, a partir de la medición de la entrada Vi y la salida Vo. Este debe implementarse en una plataforma digital con un periodo de muestreo de 10 ms y debe poseer la máxima dinámica posible.
(a) Encuentre un modelo de estado discreto para la planta. (b) Analice si se cumplen las condiciones para el diseño del estimador y que se satisfagan las
especificaciones. Justifique.(c) Suponiendo que no es posible el diseño para este circuito, considere modificarlo con el
agregado de una resistencia de valor 10K, para permitir el diseño de un estimador.(d) A partir del circuito que admite el diseño de un estimador (original o modificado), encuentre
el modelo del estimador discreto.(e) Encuentre el transitorio del error, entre las variables reales y estimadas, para el estimador
calculado.
Datos: Ro = 10k; R1 = 120k; R2 = 360k; R3 = 72k; R4 = 300k; C1 = 12nF; C2 = 45nF; C3 = 15nFNota: El diseño del estimador puede realizarlo usando, por ejemplo, Scilab o herramientas similares.
Solucion:a) Para encontrar el modelo de estado discreto, primero debo encontrar el modelo de estado continuo. Para ello elijo a las tensiones de los capacitores como variables de estado y planteo las ecuaciones de estado en el dominio de Laplace:
sV C 1=ViRoC1
sV C 2=−V C 1
R1C 2
sV C 3=−V C2
R2C3Con las ecuaciones de estado, y sabiendo que
Vo=−V C 2
el modelo de estado continuo queda:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[
0 0 0
−1R1C2
0 0
0 −1R2C3
0][V C1
V C2
V C3]+[ 1
RoC1
00
]Viy=[0 −1 0 ][V C1
V C2
V C3]
Con los datos del problema, el modelo queda:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[ 0 0 0
−185,18 0 00 −185,18 0][V C 1
V C 2
V C 3]+[8333,3
00 ]Vi
y=[0 −1 0 ][V C1
V C2
V C3]
Ahora discretizo el modelo usando ROC con el periodo de muestreo Ts = 10ms:
[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C3 [k+1 ]]=[ 1 0 0
−1,8518 1 01,7147 −1,8518 1][V C 1 [k ]
V C 2 [k ]V C 3 [k ]]+[ 83,333
−77,1647,63 ]Vi [k ]
y [ k ]=[0 −1 0 ][V C1 [k ]V C2 [k ]V C3 [k ]]
b) El estimador debe estimar las variables de estado con la máxima dinámica posible. Si el sistema es observable, se podrán ubicar los 3 polos del sistema en z=0. Por lo tanto, el error en la estima se hará cero en 3 muestras porque, al ser el sistema de orden 3, la ecuación característica del modelo del error será a lo sumo z³. En el caso de que no fuese observable, la máxima dinámica va a estar dada por el o los polos del estimador que no se puedan reubicar a z=0. En el caso de que no fuese detectable, el error del estimador no convergerá a cero y por lo tanto no se cumplirán las condiciones de diseño. A partir de la inspección del circuito se puede ver que la tensión del capacitor C3 (VC3) no afecta la salida, por lo que el sistema es no observable. Además, esta tensión es la integral de la corriente que circula por R2, lo que genera un polo en z=1 y hace que el sistema no sea detectable, dado que para que sea detectable el autovalor discreto correspondiente a la
variable de estado inobservable debe ser menor que 1, garantizando error cero en regimen permanente ante condiciones iniciales no nulas.Esto puede verificarse, calculando la observabilidad del modelo del sistema, a partir del rango de la matriz observabilidad del modelo discreto:
V=[ 0 −1 01,8518 −1 03,7037 −1 0]
El rango de esta matriz es 2, por lo que el sistema posee una variable de estado inobservable. Para verificar que el sistema no es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable noes menor que 1. Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,
T=[ 0 −1 01,8518 −1 0
0 0 1]La matriz A del modelo transformado resulta:
A=TAT −1=[ 0 1 0−1 2 0
0,9259 0,9259 1]Como puede verse, la submatriz A22 es de tamaño 1x1 porque hay una sola variable de estado inobservable y tiene como único elemento al autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado. Como este autovalor es 1, el sistema no es detectable.
c) Para permitir el diseño de un estimador para este circuito, debo correr el polo correspondiente a la variable de estado inobservable, desde z=1 hacia el interior del círculo de radio unitario, para hacer que el sistema sea detectable. Esto lo puedo lograr colocando la resistencia Rc=10k en paralelo con C3. Esto hace que el modelo del sistema cambie. La única ecuación de estado que cambia es la correspondiente a VC3:
sV C 3=−V C2
R2C3
−V C 3
RCC3
Por lo tanto, el modelo de estado resultante es:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[
0 0 0
−1R1C2
0 0
0 −1R2C3
−1RcC3
][V C1
V C2
V C3]+[ 1
RoC1
00
]Viy=[0 −1 0 ][V C1
V C2
V C3]
Con los datos del problema, el modelo queda:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[ 0 0 0
−185,18 0 00 −185,18 −6666,7][V C 1
V C 2
V C 3]+[8333,3
00 ]Vi
y=[0 −1 0 ][V C1
V C2
V C3]
Ahora discretizo el modelo usando ROC con el periodo de muestreo Ts = 10ms:
[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C3 [k+1 ]]=[ 1 0 0
−1,8518 1 00,0507 −0,0278 0][V C 1 [ k ]
V C 2 [ k ]V C 3 [ k ]]+[ 83,333
−77,162,08 ]Vi [k ]
y [ k ]=[0 −1 0 ][V C1 [k ]V C2 [k ]V C3 [k ]]
La modificación no debe haber cambiado la observabilidad, dado que la tensión del capacitor C3 (VC3) sigue sin tener efecto sobre la salida. Por lo tanto, si calculo el rango de la matriz observabilidad del modelo discreto, seguirá siendo 2:
V=[ 0 −1 01,8518 −1 03,7037 −1 0]
que tiene rango 2.Sin embargo, ahora el sistema debería ser detectable. Para verificar que el sistema es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable sea menor que 1.Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,
T=[ 0 −1 01,8518 −1 0
0 0 1]La matriz A del modelo transformado resulta:
A=TAT −1=[ 0 1 0−1 2 0
0,0004 0,0274 0]Como puede verse, el autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado vale 0, por lo que el sistema es detectable.
d) Se pide que el estimador posea la máxima dinámica posible. Por este motivo, debo reubicar los autovalores de las variables de estado observables a z=0. Para ello, en primer lugar, debo utilizar el modelo transformado que me separa las variables observables de las no observables:
x [k+1]=[ 0 1 0−1 2 0
0,0004 0,0274 0] x[k ]+[77,16231,48
2,08 ]Vi [ k ]
y [ k ]=[1 0 0 ] x [k ]
Como no puedo reasignar el autovalor de la variable no observable, para el diseño del vector de realimentación H del modelo transformado utilizo las submatrices:
A11=[ 0 1−1 2] y C1=[1 0 ]
El vector para el estimador del submodelo observable es:
H o=[23]
El vector del estimador para el modelo transformado:
H=[230]
El vector para el estimador del modelo original es:
H=[0,54−20 ]
Finalmente, el modelo del estimador queda:
x [k+1]=[ 1 0,54 0−1,8518 −1 00,0507 −0,0278 0] x [k ]+[
83,333−77,16
2,08 ]Vi [k ]+[0,54−20 ] y [k ]
e) Se evaluó el transitorio del error para las siguientes condiciones iniciales:
x [0]=[−0,5−0,5
1 ]
E3) Se desea realizar un estimador de todas las variables de estado del circuito que se muestra en lafigura, a partir de la medición de la entrada Vi y de la salida Vo. Este debe implementarse en unaplataforma digital con un periodo de muestreo de 1 ms y debe poseer la máxima dinámicaposible.
a) Encuentre un modelo de estado discreto para la planta. b) Analice si se cumplen las condiciones para el diseño del estimador y que se satisfagan las
especificaciones. Justifique.c) Encuentre el modelo del estimador discreto.d) Encuentre el transitorio del error, entre las variables reales y estimadas, para el estimador
Nota: El diseño del estimador puede realizarlo usando, por ejemplo, Scilab o herramientas similares.
Solucion:a) Para encontrar el modelo de estado discreto, primero debo encontrar el modelo de estado continuo. Para ello elijo a las tensiones de los capacitores como variables de estado y planteo las ecuaciones de estado en el dominio de Laplace:
sV C 1=ViR3C1
−V C 1
R1C1
sV C 2=ViR3C2
−V C2
R2C2
sV C 3=ViR4C3
+V C1
R4C 3
−V C2
R5C3Con las ecuaciones de estado, y sabiendo que
Vo=−V C 3
el modelo de estado continuo queda:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[−
1R1C1
0 0
0 −1R2C2
0
1R4C3
−1R5C3
0][V C1
V C2
V C3]+[
1R3C1
1R3C2
1R 4C3
]Viy=[0 0 −1 ][V C1
V C2
V C3]
Con los datos del problema, el modelo queda:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[−666,67 0 0
0 −666,67 0101,01 −123,46 0][V C1
V C2
V C 3]+[ 2000
2000101,01]Vi
y=[0 0 −1 ][V C1
V C2
V C3]
Ahora discretizo el modelo usando ROC con el periodo de muestreo Ts = 1ms:
[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C3 [k+1 ]]=[0,5134 0 0
0 0,5134 00,0737 −0,0901 1][V C1 [k ]
V C2 [k ]V C3 [k ]]+[1,4597
1,45970,0828]Vi [k ]
y [k ]=[0 0 −1 ][V C1 [k ]V C2 [k ]V C3 [k ]]
b) El estimador debe estimar las variables de estado con la máxima dinámica posible. Si el sistema es observable, se podrán ubicar los 3 polos del sistema en z=0. Por lo tanto, el error en la estima se hará cero en 3 muestras porque, al ser el sistema de orden 3, la ecuación característica del modelo del error será a lo sumo z³. En el caso de que no fuese observable, la máxima dinámica va a estar dada por el o los polos del estimador que no se puedan reubicar a z=0. En el caso de que no fuese detectable, el error del estimador no convergerá a cero y por lo tanto no se cumplirán las condiciones de diseño. A partir de la inspección del circuito se puede ver que el sistema es detectable dado que el único autovalor mayor o igual a 1 es el que se encuentra en el integrador de salida, por lo que su efecto es observable. Calculando la observabilidad del modelo del sistema, a partir del rango de la matriz observabilidad del modelo discreto:
V=[ 0 0 −1−0,0737 0,0901 −1−0,1116 0,1364 −1]
El rango de esta matriz es 2, por lo que el sistema posee una variable de estado inobservable. Para verificar que el sistema es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable es menor que 1. Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,
T=[ 0 0 −1−0,0737 0,0901 −1
0 1 0 ]La matriz A del modelo transformado resulta:
A=TAT −1=[ 0 1 0−0,5134 1,5134 0
0 0 0,5134]Como puede verse, la submatriz A22 es de tamaño 1x1 porque hay una sola variable de estado inobservable y tiene como único elemento al autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado. Como este autovalor es menor que 1, el sistema es detectable.
c) Se pide que el estimador posea la máxima dinámica posible. Por este motivo, debo reubicar los autovalores de las variables de estado observables a z=0. Para ello, en primer lugar, debo utilizar el modelo transformado que me separa las variables observables de las no observables:
x [k+1]=[ 0 1 0−0,5134 1,5134 0
0 0 0,5134] x [k ]+[−0,0828−0,05891,4597 ]Vi [k ]
y [ k ]=[1 0 0 ] x [k ]
Como no puedo reasignar el autovalor de la variable no observable, para el diseño del vector de realimentación H del modelo transformado utilizo las submatrices:
A11=[ 0 1−0,5134 1,5134] y C1=[1 0 ]
El vector para el estimador del submodelo observable es:
H o=[1,51341,777 ]
El vector del estimador para el modelo transformado:
H=[1,51341,777
0 ]El vector para el estimador del modelo original es:
H=[−3,57540
−1,5134]Finalmente, el modelo del estimador queda:
x [k+1]=[0,5134 0 −3,57540 0,5134 0
0,0737 −0,0901 −0,5134] x [k ]+[1,45971,45970,0828]Vi [k ]+[
−3,57540
−1,5134] y [k ]d) Se evaluó el transitorio del error para las siguientes condiciones iniciales:
x [0]=[−0,51
−1 ]
E4) Se desea realizar un estimador de todas las variables de estado del circuito que se muestra en lafigura, a partir de la medición de la entrada Vi y la salida Vo. Este debe implementarse en una plataforma digital con un periodo de muestreo de 1 ms y debe poseer la máxima dinámica posible.
a) Encuentre un modelo de estado discreto para la planta. b) Analice si se cumplen las condiciones para el diseño del estimador y que se satisfagan las
especificaciones. Justifique.c) Encuentre el modelo del estimador discreto.d) Encuentre el transitorio del error, entre las variables reales y estimadas, para el estimador
calculado.
Datos: R1 = 150k; R2 = 200k; R3 = 50k; R4 = 200k; R5 = 180k; C1 = 10nF; C2 = 10nF; C3 = 10nFNota: El diseño del estimador puede realizarlo usando, por ejemplo, Scilab o herramientas similares.
Solucion:a) Para encontrar el modelo de estado discreto, primero debo encontrar el modelo de estado continuo. Para ello elijo a las tensiones de los capacitores como variables de estado y planteo las ecuaciones de estado en el dominio de Laplace:
sV C 1=ViR1C1
−V C 1
R2C1
sV C 2=−V C 1
R3C2
sV C 3=−V C 2
R5C3
+R4
R5
V C 1
R3C3Con las ecuaciones de estado, y sabiendo que
Vo=−V C 3
el modelo de estado continuo queda:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[−
1R2C1
0 0
−1R3C2
0 0
R4
R3R5C3
−1
R5C3
0][V C 1
V C 2
V C 3]+[ 1
R1C1
00
]Viy=[0 0 −1 ][V C1
V C2
V C3]
Con los datos del problema, el modelo queda:
[ ˙V C1
˙V C2
˙V C3]=[ −500 0 0
−2000 0 02222,2 −555,56 0][V C 1
V C 2
V C 3]+[666,67
00 ]Vi
y=[0 0 −1 ][V C1
V C2
V C3]
Ahora discretizo el modelo usando ROC con el periodo de muestreo Ts = 1ms:
[V C1 [k+1 ]V C2 [k+1 ]V C3 [k+1 ]]=[ 0,6065 0 0
−1,5739 1 02,2222 −0,5556 1][V C1 [k ]
V C 2 [k ]V C 3 [k ]]+[ 0,5246
−0,56820,7407 ]Vi [k ]
y [k ]=[0 0 −1 ][V C1 [k ]V C2 [k ]V C3 [k ]]
b) El estimador debe estimar las variables de estado con la máxima dinámica posible. Si el sistema es observable, se podrán ubicar los 3 polos del sistema en z=0. Por lo tanto, el error en la estima se hará cero en 3 muestras porque, al ser el sistema de orden 3, la ecuación característica del modelo del error será a lo sumo z³. En el caso de que no fuese observable, la máxima dinámica va a estar dada por el o los polos del estimador que no se puedan reubicar a z=0. En el caso de que no fuese detectable, el error del estimador no convergerá a cero y por lo tanto no se cumplirán las condiciones de diseño. Calculando la observabilidad del modelo del sistema, a partir del rango de la matriz observabilidad del modelo discreto:
V=[ 0 0 −1−2,2222 0,5556 −1−4,4444 1,1111 −1]
El rango de esta matriz es 2, por lo que el sistema posee una variable de estado inobservable. Para verificar que el sistema es detectable, calculo la transformación para separar variables observables de las inobservables y verifico que el autovalor de la variable de estado inobservable es menor que 1. Como V es de rango 2, la matriz de transformación T la conformo a partir de las dos primeras filas de V y la última fila la reemplazo por una fila que me garantice que el rango de T sea 3. Por ejemplo,
T=[ 0 0 −1−2,2222 0,5556 −1
0 1 0 ]La matriz A del modelo transformado resulta:
A=TAT −1=[ 0 1 0−1 2 0
−0,7082 0,7082 0,6065]Como puede verse, la submatriz A22 es de tamaño 1x1 porque hay una sola variable de estado inobservable y tiene como único elemento al autovalor de la variable de estado inobservable en el modelo transformado. Como este autovalor es menor que 1, el sistema es detectable.
c) Se pide que el estimador posea la máxima dinámica posible. Por este motivo, debo reubicar los autovalores de las variables de estado observables a z=0. Para ello, en primer lugar, debo utilizar el modelo transformado que me separa las variables observables de las no observables:
x [k+1]=[ 0 1 0−1 2 0
−0,7082 0,7082 0,6065] x [k ]+[−0,7407−2,2222−0,5682]Vi [k ]
y [ k ]=[1 0 0 ] x [k ]
Como no puedo reasignar el autovalor de la variable no observable, para el diseño del vector de realimentación H del modelo transformado utilizo las submatrices:
A11=[ 0 1−1 2] y C1=[1 0 ]
El vector para el estimador del submodelo observable es:
H o=[23]
El vector del estimador para el modelo transformado:
H=[230]
El vector para el estimador del modelo original es:
H=[−0,450
−2 ]Finalmente, el modelo del estimador queda:
x [k+1]=[ 0,6065 0 −0,45−1,5739 1 02,2222 −0,5556 −1 ] x [k ]+[ 0,5246
−0,56820,7407 ]Vi [k ]+[−0,45
0−2 ] y [k ]
d) Se evaluó el transitorio del error para las siguientes condiciones iniciales: