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NDICE DA APOSTILA
Probabilidade
Variveis Aleatrias
Distribuies de Probabilidades
Funo Distribuio de Probabilidade
Valor Esperado de uma Varivel Aleatria
Varincia de uma Varivel Aleatria
Distribuies Especiais de Probabilidade
Distribuies Discretas
Distribuio Uniforme Discreta
Distribuio de Bernoulli
Distribuio Binomial
Distribuio Hipergeomtrica
Distribuio de Poisson
Distribuies Contnuas
Distribuio Uniforme Contnua
Distribuio Normal
Amostragem
Intervalo de Confiana
Intervalo de Confiana para a Mdia
Intervalo de Confiana para a Proporo
Determinao do tamanho da amostra
Correlao
Regresso Linear
Testes de Hipteses
Passo a passo do teste de Hiptese para a Mdia
Passo a passo do teste de Hiptese para a Proporo
Tipos de erros em um teste de hipteses
EXERCCIOS
Probabilidade
Distribuio Binomial
Distribuio Hipergeomtrica
Distribuio de Poisson
Distribuio Normal
Valor Esperado de uma varivel aleatria
Correlao
Regresso Linear
Intervalo de Confiana para a Mdia
Intervalo de Confiana para a Proporo
Determinao do tamanho da amostra
Testes de Hipteses para mdias e propores
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PROBABILIDADE
1. CONCEITOS INICIAIS Ocorre que a Teoria da Probabilidade faz
uso de uma nomenclatura prpria, de modo que h trs conceitos
fundamentais que temos que passar imediatamente a conhecer:
Experimento Aleatrio, Espao Amostral e Evento. # Experimento
Aleatrio: o experimento que mesmo repetido diversas vezes sob as
mesmas condies, podem apresentar resultados diferentes. Exemplos de
experimento aleatrio: lanar um dado e observar o resultado; lanar
duas moedas e observar o nmero de caras obtidas; selecionar uma
carta de um baralho de 52 cartas e observar seu naipe. # Espao
Amostral: nada mais, seno o conjunto dos resultados possveis de um
Experimento Aleatrio. Designaremos o Espao Amostral por S.
Consideremos os exemplos abaixo, e determinemos os respectivos
espaos amostrais:
a) lanar um dado, e observar a face de cima. S = {1, 2, 3, 4, 5,
6}
b) lanar duas moedas e observar as faces de cima.
S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)
}
c) lanar duas moedas e observar o nmero de caras. S = {0, 1,
2}
d) Verificar, uma a uma, o nmero de peas defeituosas em um lote
de 15 peas.
S = {0, 1, 2, 3,..., 14, 15} O terceiro conceito essencial ao
estudo da Probabilidade o conceito de Evento. # EVENTO: um evento
ser um subconjunto do Espao Amostral. Designaremos um evento por
uma letra maiscula. Diremos que ocorreu um evento A, quando o
resultado do Experimento Aleatrio for pertencente ao subconjunto A.
Entendamos melhor por meio do exemplo abaixo: Experimento Aleatrio:
lanar um dado e observar a face para cima. Espao Amostral: S={1, 2,
3, 4, 5, 6} n(S) = 6 Evento A: obter um resultado par no lanamento
do dado. A = { 2, 4, 6 } n(A)=3 Evento B: obter um mltiplo de 2 no
lanamento do dado. B = { 2, 4, 6 } n(B)=3 Evento C: obter um
resultado maior ou igual a 7 no lanamento do dado. C = { } (ou
seja: vazio!) n(C)=0 Quando isso acontecer, estaremos diante de um
evento impossvel! Evento D: obter um resultado menor do que 7 no
lanamento do dado. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (igual ao espao amostral)
n(D)=6 Quando isso acontecer, estaremos diante de um evento
certo!
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2. FRMULA ELEMENTAR DA PROBABILIDADE Frmula da Probabilidade: a
probabilidade de ocorrncia de um evento X, dado determinado
experimento aleatrio, e considerando que cada elemento do espao
amostral deste experimento tem a mesma probabilidade, ser calculada
por:
Prob(X) = n(X) = nmero de resultados favorveis ao evento X n(S)
nmero de resultados possveis
Onde: n(S) o nmero de elementos do espao amostral do
experimento; e
n(X) o nmero de elementos do evento X.
Como dissemos, a frmula acima aplicvel quando os elementos do
espao amostral tiverem a mesma probabilidade. Por exemplo, num
lanamento de uma moeda honesta (no viciada), com faces cara e
coroa, essas duas faces tm a mesma chance de serem sorteadas, da
tero a mesma probabilidade. No entanto, se tivermos uma moeda
viciada, a chance de sorteio de uma das faces maior que a da outra,
da as probabilidades das faces sero diferentes.
Portanto, podemos usar a frmula da probabilidade supracitada
para o primeiro caso (o da moeda honesta), mas, para o segundo caso
(o da moeda viciada), no possvel.
3. TEOREMAS DA PROBABILIDADE
Destacamos os seguintes teoremas:
1. O menor valor que a probabilidade de um evento pode ter 0
(indicando que o evento impossvel) e o maior valor 1 (indicando que
o evento certamente ir ocorrer). Ento, em geral:
0 P(X) 1 2. A soma das probabilidades de cada elemento do espao
amostral igual a 1. No caso do lanamento de um dado, teremos, ento,
que:
P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 1
3. A probabilidade de ocorrncia de um evento X somada com a
probabilidade de no ocorrncia desse
mesmo evento igual a 1. Prob(X ocorrer) + Prob(X no ocorrer) =
1
Dizemos que os eventos X ocorrer e X no ocorrer so eventos
complementares. Portanto, a soma das probabilidades de eventos
complementares igual a 1.
Em termos de conjunto, dois eventos complementares A e B podem
ser representados como:
So tambm exemplos de eventos complementares:
P(ganhar o jogo) + P(no ganhar o jogo) = 1
P(ru inocente) + P(ru culpado) = 1
P(cara) + P(coroa) = 1
P(par no dado) + P(mpar no dado) = 1
P(a nota no mnimo 2) + P(a nota menor do que 2) = 1
P(a nota no mximo 9) + P(nota igual a 10) = 1
P(nascer pelo menos 1 menina) + P(nascer nenhuma menina) = 1
A B
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Esta relao ser utilizada muitas vezes nas solues de questes de
probabilidade. Atravs dela, podemos calcular a probabilidade de um
evento ocorrer a partir da probabilidade do evento complementar.
Por exemplo, se uma questo pede a probabilidade de ocorrer pelo
menos uma cara no lanamento de trs moedas viciadas. mais fcil
calcular a probabilidade do evento complementar, ou seja, calcular
P(nenhuma cara), pois s temos uma situao favorvel, a qual : (coroa,
coroa, coroa). Achada esta probabilidade, s lanar na nossa relao
para encontrar a probabilidade da ocorrncia do evento desejado na
questo. Resolveremos exemplos deste tipo mais adiante.
4. PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES Dois eventos, A e B,
so independentes quando a ocorrncia, ou no-ocorrncia, de um deles
no afeta a probabilidade de ocorrncia do outro.
Por exemplo, ao efetuarmos dois lanamentos sucessivos de uma
moeda, os eventos cara no primeiro lanamento e coroa no segundo
lanamento so eventos independentes, uma vez que o resultado do
primeiro lanamento da moeda no afeta a probabilidade de ocorrncia
do resultado coroa no segundo lanamento.
Porm, ao retirarmos duas cartas sem reposio de um baralho, os
eventos s na primeira retirada e valete na segunda retirada so
eventos dependentes, porque ao retirarmos a primeira carta, dada a
ocorrncia, ou no, do s, o total de cartas do baralho sofrer uma
reduo, alterando desta forma a probabilidade da segunda carta.
E se retirarmos duas cartas com reposio, esses eventos sero
independentes? Quando repomos a carta retirada, o nmero de cartas
de cada tipo (s, valete, dama,...) no se altera e nem, claro, o
total de cartas. Desta forma, a probabilidade da segunda carta
retirada no depender da primeira carta, por conseguinte, os eventos
so independentes!
Quando dois eventos, A e B, so independentes a probabilidade do
evento B ocorrer dado que A ocorreu, simbolizada por P(B|A), ser
sempre igual a P(B), porque, por definio, no existe relao entre a
ocorrncia de tais eventos. Logo, temos a igualdade:
Prob(B|A) = Prob(B)
Naturalmente, tambm teremos:
Prob(A|B) = Prob(A)
5. PROBABILIDADE DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Dois eventos,
A e B, so mutuamente exclusivos se eles no podem ocorrer
simultaneamente. Quer dizer que se um evento ocorreu, o outro
certamente no ocorreu.
Por exemplo, em apenas dois lanamentos de uma moeda, os
resultados possveis so:
S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)
}
Os eventos ocorrer duas caras e ocorrer duas coroas so
mutuamente exclusivos, pois eles no podem ocorrer simultaneamente.
Se um deles ocorre, o outro no ocorre. Mas os eventos ocorrer
exatamente 1 cara e ocorrer exatamente 1 coroa no so mutuamente
exclusivos, pois se o resultado do primeiro lanamento for cara e o
resultado do segundo lanamento for coroa, j teremos uma situao em
que os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo.
Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, ou seja, se eles
no podem ocorrer
simultaneamente (ou em termos de conjunto: A B = ), ento
teremos:
P(A|B) = 0;
P(B|A) = 0;
Prob(A e B) = 0.
Dois eventos mutuamente exclusivos so representados graficamente
por dois crculos sem interseo.
Exemplo: Considere o experimento aleatrio do lanamento de um
dado, e os seguintes eventos:
Evento A: resultado no dado menor do que 3
Evento B: resultado no dado maior do que 4
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Evento C: resultado no dado maior do que 1 e menor do que 6
Os eventos A e B so mutuamente exclusivos? E A e C? E B e C?
Soluo:
O conjunto dos resultados do evento A : {1, 2}.
O conjunto dos resultados do evento B : {5, 6}.
O conjunto dos resultados do evento C : {2, 3, 4, 5}.
Observe que A e B no tm elementos em comum (A B = ). Logo os
eventos A e B so mutuamente exclusivos.
No entanto, temos elementos em comum entre A e C, e entre B e C.
Logo A e C e B e C no so mutuamente exclusivos.
A representao por diagramas de conjuntos para esses trs eventos
:
Vejamos mais alguns exemplos de eventos mutuamente
exclusivos:
1) Evento A: Em uma retirada, resultar um s
Evento B: Em uma retirada, resultar um valete
2) Evento A: No nascimento de 2 crianas, nascer 2 meninas
Evento B: No nascimento de 2 crianas, nascer 2 meninos
3) Evento A: time do Inter ganhar
Evento B: time do Inter perder
4) Evento A: Em dois lanamentos, obter duas caras
Evento B: Em dois lanamentos, obter duas coroas
5) Evento A: o atleta brasileiro ganhar medalha de ouro
Evento B: o atleta brasileiro no ganhar medalha de ouro
6) Evento A: o nmero sorteado mpar
Evento B: o nmero sorteado par
7) Evento A: No nascimento de 2 crianas, nascer pelo menos 1
menina
Evento B: No nascimento de 2 crianas, nascer nenhuma menina
Existe, frequentemente, alguma confuso com respeito distino
entre eventos mutuamente exclusivos, eventos independentes e
eventos complementares.
Se dois eventos so complementares, ento certamente eles so
mutuamente exclusivos; mas a recproca nem sempre verdadeira. (Para
dois eventos serem complementares, um evento deve ser a negao do
outro!) Na lista acima de eventos mutuamente exclusivos, apenas os
trs ltimos (5, 6 e 7) so eventos complementares.
Por que os eventos do terceiro exemplo da lista acima no so
complementares? Para serem complementares, a negao do evento A
deveria ser o evento B; mas no , pois a negao do Inter ganhar o
Inter perder ou empatar.
B A
C
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E os eventos do segundo exemplo, por que no so complementares? A
negao de nascer 2 meninas no nascer dois meninos, e sim nascer no
mximo 1 menina que inclui os resultados: (menina, menino); (menino,
menina); (menino, menino).
Dois eventos complementares ou dois eventos mutuamente
exclusivos apresentam a mesma caracterstica de que no ocorrem
simultaneamente, ou seja, a ocorrncia de um evento implica na
no-ocorrncia do outro; enquanto eventos independentes so aqueles em
que a probabilidade de ocorrncia de um, no afetada pela ocorrncia
do outro. Portanto, os eventos complementares e os eventos
mutuamente exclusivos so altamente dependentes!
6. PROBABILIDADE DA INTERSECO DE EVENTOS (Regra do e)
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de ocorrncia
simultnea dos eventos A e B igual a:
Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B|A)
Onde Prob(B|A) significa a probabilidade de ocorrer B sabendo
que A j tenha ocorrido.
Se A e B forem eventos independentes (a ocorrncia de um deles no
afeta a probabilidade de ocorrncia do outro), ento a probabilidade
de ocorrncia de A e B, ao mesmo tempo, ser encontrada pelo produto
das probabilidades individuais! Assim, a regra do e fica
simplificada para:
Prob(A e B) = Prob(A) x Prob(B)
E ainda, caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos
(eventos que no podem ocorrer
simultaneamente, ou em termos de conjunto: AB=). Assim, no
nascimento de uma criana, o evento nascer menina e o evento nascer
menino so mutuamente exclusivos, uma vez que ao se realizar um
deles, o outro no se realiza. Desta forma, a probabilidade de
ocorrncia de A e B, ao mesmo tempo, ser igual a zero. Na notao
simblica, teremos:
Prob(A e B) = 0.
7. PROBABILIDADE DA UNIO DE EVENTOS (Regra do ou) Prob(A ou B) =
Prob(A) + Prob(B) Prob(A e B)
Reparemos bem na terceira parcela da frmula acima: Prob(A e B).
Esta parcela trata acerca da probabilidade de ocorrncia simultnea
dos eventos A e B.
Aprendemos que, caso os eventos A e B sejam eventos
independentes, ento a probabilidade de ocorrncia de A e B, ao mesmo
tempo, ser encontrada pelo produto das probabilidades individuais!
Certo? Desta forma, para os eventos independentes, a regra do ou
fica simplificada para:
Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B) Prob(A)xProb(B)
E tambm sabemos que se os eventos A e B forem mutuamente
exclusivos, a probabilidade de ocorrncia desses dois eventos, ao
mesmo tempo, ser igual a zero. Assim, para eventos mutuamente
exclusivos, a regra do ou fica simplificada para:
Prob(A ou B) = Prob(A) + Prob(B)
8. PROBABILIDADE CONDICIONAL
Probabilidade condicional ser a probabilidade de ocorrncia de um
evento A, dado que sabemos que ocorreu um outro evento B.
Frmula de Probabilidade condicional:
)(
)()()(
YP
YeXPYXPYdadoXP
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VARIVEIS ALEATRIAS
1. VARIVEIS ALEATRIAS
Sejam E um experimento e S o espao amostral associado ao
experimento. Uma funo X, que
associe a cada elemento sS um nmero real X(s) denominada Varivel
Aleatria.
Exemplo: O experimento consiste no lanamento de duas moedas:
X: n de caras obtidas nas duas moedas.
S: {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa,
coroa)}
Da, a varivel X define uma varivel aleatria discreta, que pode
assumir os valores 0, 1 e 2.
Exemplo: O um experimento consiste em verificar as alturas de 30
universitrios, a funo:
X = "Altura de um universitrio"
S: [130cm, 220cm}
Da, a varivel X define uma varivel aleatria contnua, que pode
assumir quaisquer valores entre 130 cm e 220 cm.
Podemos, ento, conceituar:
Varivel aleatria discreta: assume um nmero finito de
valores.
Varivel aleatria contnua: assume qualquer valor dentro de um
certo intervalo (quantidade no-enumervel de valores).
2. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE
Se uma varivel aleatria X pode assumir os valores x1, x2, ...
,xn com probabilidades
respectivamente iguais a P(x1), P(x2), ... , P(xn) , tais que
1)(1
n
i ixP , tem-se definida uma
distribuio de probabilidade.
Se a varivel X em questo for discreta, sua distribuio
caracterizada por uma funo de probabilidade P(X=x) ou,
simplesmente, P(x), tambm chamada de funo massa de probabilidade,
que associa probabilidades no nulas aos possveis valores da varivel
aleatria.
P(x) pode ser expressa por uma tabela, grfico ou frmula.
Exemplo: Consideremos a v.a. X = "nmero de caras em duas jogadas
de uma moeda". Da, teremos a seguinte distribuio de
probabilidades:
xi P(xi)
0 P(0) = 1/4 = 0,25
1 P(1) = 2/4 = 0,50
2 P(2) = 1/4 = 0,25
soma=1
X(s) s
X
S R
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Da, podemos afirmar que:
- A funo massa de probabilidade de X no ponto x=0 : 0,25.
- A funo massa de probabilidade de X no ponto x=1 : 0,50.
- A funo massa de probabilidade de X no ponto x=2 : 0,25.
Representao Grfica:
P(x)
Ao contrrio de uma varivel aleatria discreta, uma varivel
aleatria contnua pode assumir qualquer valor fracionrio dentro de
um intervalo definido de valores. Desta maneira, para distribuies
de probabilidade, no se consegue enumerar todos os possveis valores
de uma varivel aleatria contnua com os valores de probabilidade
correspondentes. Em lugar disso, a abordagem mais conveniente
construir uma FUNO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE, ou curva de
probabilidade.
A funo densidade probabilidade (f.d.p.) - f(x) - dever possuir
as seguintes propriedades:
I. f(x) 0, para todo x .
II. A rea sob f(x) igual a 1.
A distribuio de probabilidade de uma varivel contnua mais
conhecida a Distribuio Normal cuja expresso e grfico da funo
densidade de probabilidade so mostrados a seguir:
2
2
.2
2.
..2
1)(
x
exf
f(x)
x
3. FUNO DE DISTRIBUIO ACUMULADA DE PROBABILIDADE OU FUNO DE
DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE
Definimos esta funo como sendo a probabilidade de que X assuma
um valor menor ou igual a x, isto :
F(x) = )( xXP
Para uma varivel aleatria discreta, teremos:
0,50
0,25
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F(x) = )( xXP = xx
i
i
xP )(
Exemplo:
xi P(xi) xi F(xi)
0 0,25 0 F(0) = P(0) = 0,25
1 0,50 1 F(1) = P(0)+P(1) = 0,25+0,50 = 0,75
2 0,25 2 F(2) = P(0)+P(1)+P(2) = 0,25+0,50+0,25 = 1
Representao Grfica:
F(x)
Para uma varivel aleatria contnua, teremos:
F(x) = )( xXP = igual rea sob f(x) delimitada a direita pelo
valor x em questo.
O clculo da probabilidade por meio da funo distribuio:
P(a
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4.1. Propriedades do Valor Esperado Considerando as variveis
aleatrias X e Y, e a constante k, temos as seguintes propriedades
para
o Valor Esperado (Mdia): I. O Valor Esperado de uma
constante:
E(k) = k
II. O Valor Esperado do produto de uma constante por uma
varivel:
E(k.X) = k.E(X)
III. O Valor Esperado da soma (ou subtrao) de uma varivel por
uma constante:
E(X k) = E(X) k
IV. O Valor Esperado da soma (ou subtrao) de duas variveis:
E(X Y) = E(X) E(Y)
V. O Valor Esperado do produto de duas variveis
independentes:
E(X.Y) = E(X).E(Y), se X e Y forem independentes.
5. VARINCIA DE UMA VARIVEL ALEATRIA
A Varincia uma medida de disperso que indica o quo prximos ou
quo afastados esto os elementos, em relao a um determinado
referencial - a mdia aritmtica dos elementos.
A frmula da Varincia, numa populao, dada por:
n
XXV
i
2)( (1) ou
n
XX
nV
i
i
2
21 (2)
Sabendo que a mdia dada por n
XX
i , podemos tambm expressar a frmula da varincia
em funo de X :
2
2
Xn
XV
i
(3)
A equao acima tem o mesmo significado que:
Varincia = mdia(X2) (mdia(X))
2
Usando o smbolo E(x) para a mdia, teremos:
Varincia = E(X2) - [E(X)]
2
Esta ltima expresso pode ser aplicada tanto para varivel
discreta como para varivel contnua.
5.1. Propriedades da Varincia:
I. A varincia de uma constante k:
V(k) = 0
II. A varincia do produto de uma constante por uma varivel:
V(k.X) = k2.V(X)
III. A varincia da soma (ou subtrao) de uma varivel por uma
constante:
V(X k) = V(X)
IV. A varincia da soma (ou subtrao) de duas variveis
independentes:
V(X Y) = V(X) + V(Y)
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DISTRIBUIES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE
1. DISTRIBUIES DISCRETAS
1.1 DISTRIBUIO UNIFORME DISCRETA Enquadram-se aqui as
distribuies em que os possveis valores da varivel aleatria tenham
todos a mesma probabilidades de ocorrncia. Logo, se existem n
valores possveis, cada um ter probabilidade igual a 1/n. Ex.: Seja
um lanamento de um dado e a varivel aleatria X = valor da face
superior do dado, tem-se que:
xi pi 1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
soma=1
O grfico da funo massa de probabilidade para o caso do dado
mostrado abaixo. A mdia de uma varivel aleatria discreta uniforme a
prpria mdia aritmtica dos valores extremos. EXEMPLO: Joga-se um
dado uma nica vez. Qual o valor esperado do nmero obtido? E sua
varincia? varivel aleatria X = valor da face superior do dado A
v.a. X assume: {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Cada resultado tem a mesma
probabilidade 1/6. Ento, E(X) = 1.(1/6) + 2.(1/6) + 3.(1/6) +
4.(1/6) + 5.(1/6) + 6.(1/6) = 21/6 = 3,5 ou mais fcil: E(X) = (1 +
6)/2 = 3,5 E(X
2) = 1
2.(1/6) + 2
2.(1/6) + 3
2.(1/6) + 4
2.(1/6) + 5
2.(1/6) + 6
2.(1/6) = 91/6
Var(X) = E(X
2) [E(X)]
2 = 91/6 (21/6)
2 = 2,92
1.2 DISTRIBUIO DE BERNOULLI A distribuio de Bernoulli se
caracteriza pela existncia de apenas dois eventos, mutuamente
exclusivos, que denominaremos de sucesso e fracasso, num
experimento que realizado uma nica vez. Se a probabilidade de
sucesso p, a probabilidade de fracasso , evidentemente, 1-p. uma
distribuio deste tipo o lanamento de uma moeda uma nica vez. Se
apostarmos na cara, sendo esta, ento, a probabilidade de sucesso p
= 1/2. e a probabilidade de fracasso (coroa) 1-p = 1- 1/2 = 1/2. Da
mesma forma se, num lanamento de um dado, apostamos num nmero,
digamos, o 3, este ser o sucesso, sendo qualquer um dos outros
cinco nmeros o fracasso. Nesse caso, a probabilidade de sucesso p =
1/6, e a probabilidade de fracasso 1-p = 1 - 1/6 = 5/6.
Outros exemplos de v.a. de Bernoulli: - O sexo do primeiro filho
de um casal ser masculino ou feminino. - Uma pea produzida por uma
fbrica ser perfeita ou defeituosa.
1 2 3 4 5 6 x
P(x)
1/6
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Associando-se uma varivel aleatria X aos possveis resultados do
experimento, de forma que: X = 1, se o resultado for sucesso e X =
0, se o resultado for fracasso. Ento, a varivel aleatria X tem
distribuio de Bernoulli, com p sendo a probabilidade de ocorrer
sucesso e (1-p) a probabilidade de ocorrer fracasso. P(X=x) = (1-p)
para x = 0 p para x = 1 O grfico da funo massa de probabilidade
para uma situao genrica mostrado abaixo. A mdia e a varincia de uma
varivel aleatria de Bernoulli so dadas por:
E(X) = p e Var(X) = p(1-p) EXEMPLO: No caso do dado, em que se
aposta em um nico nmero, atribuindo o valor 1 para o sucesso e 0
para o fracasso, determine a mdia e a varincia do resultado aps um
jogada. E(X) = 1 . 1/6 + 0 . 5/6 = 1/6 ou E(X) = p = 1/6 Var(X) =
p(1-p) = 1/6(1 1/6) = 5/36
1.3 DISTRIBUIO BINOMIAL
Em uma questo de distribuio binomial normalmente no vem explcito
no enunciado que se trata de tal distribuio, ento temos que saber
reconhecer uma distribuio binomial, e faremos isso verificando as
seguintes caractersticas:
1) Ela tratar de um experimento que se repetir n vezes, sempre
mantidas as mesmas condies originais.
2) Cada tentativa independente da outra.
3) Este experimento s admite dois resultados: sucesso e
fracasso.
4) Tais resultados (sucesso e fracasso) so mutuamente
excludentes, ou seja, ocorrendo um, o outro est automaticamente
descartado.
5) A cada repetio do experimento, as probabilidades de sucesso p
e de fracasso q se mantm constantes.
Se todas as caractersticas acima forem satisfeitas, ento
estaremos diante de uma questo de distribuio binomial.
Se uma varivel tem distribuio binomial, diremos que:
X B(n,p)
Essa simbologia significa que os parmetros n e p definem uma
distribuio binomial.
Probabilidade Binomial:
A questo de distribuio binomial far a seguinte pergunta:
Qual a probabilidade de se obter exatamente S sucessos, em n
tentativas?
A resposta ser encontrada a partir da seguinte frmula:
0 1 x
P(x)
1-p
p
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Prob(S sucessos)=Cn,S.(p)S.(q)
F
Onde:
Cn,s= )!(!
!
sns
n
n o nmero de repeties do experimento; p a probabilidade de
ocorrncia de sucesso; q a probabilidade de ocorrncia de fracasso; S
o nmero de sucessos desejados; F o nmero de fracassos.
A mdia e a varincia de uma varivel aleatria Binomial so dadas
por:
E(X) = np e Var(X) = np(1-p) EXEMPLO: Num determinado processo
de fabricao, 10% das peas produzidas so consideradas defeituosas.
As peas so acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. a)
Qual a probabilidade de haverem quatro ou mais peas defeituosas em
uma caixa? Sol.:
P(X4) = P(X=4) + P(X=5) = 14
4,5 )1,01(1,0 C + 05
5,5 )1,01(1,0 C
P(X4) = 0,00045 + 0,00001 = 0,00046 b) Qual o valor esperado do
nmero de peas defeituosas em uma caixa que contm 5 unidades? Sol.:
E(X) = np = 5 . Prob(pea defeituosa) = 5 . 0,1 = 0,5 pea
1.4 DISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA
Quando a retirada de itens feita sem reposio, a probabilidade de
sucesso modificada medida que os itens so retirados, desta forma no
podemos aplicar a probabilidade Binomial. A distribuio
hipergeomtrica a distribuio discreta de probabilidade apropriada
quando existir retiradas sem reposio.
Frmula para determinar a probabilidade hipergeomtrica:
P(elemento tal ocorra k vezes em n sorteios) = Cm,k.CN-m,n-k /
CN,n
Onde: N = quantidade total de elementos do grupo
n = quantidade de elementos a serem sorteados (retirados
aleatoriamente)
k = quantidade desejada de repetio do elemento especificado nos
n sorteios
m = nmero de ocorrncias do elemento especificado no grupo
1.5 DISTRIBUIO DE POISSON
A distribuio de Poisson empregada em experimentos nos quais no
se est interessado no nmero de sucessos obtidos em n tentativas,
como ocorre no caso da distribuio binomial, mas sim no nmero de
sucessos ocorridos durante um intervalo contnuo, que pode ser um
intervalo de tempo, espao, etc. Como por exemplo:
- O nmero de vezes que o telefone toca em um dia. - O nmero de
acidentes automobilsticos ocorridos numa rodovia em um ms. - O
nmero de defeitos encontrados em um rolo de arame de 500m. Note que
nos exemplos acima, no h interesse em se determinar a probabilidade
do telefone tocar, ou do acidente ocorrer, ou do defeito
existir,... mas sim a freqncia de sua ocorrncia, como, por exemplo,
o telefone tocar 10 vezes por dia. Probabilidade de Poisson:
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Uma questo de probabilidade com a distribuio de Poisson far a
seguinte pergunta:
Qual a probabilidade de se obter S ocorrncias, neste determinado
intervalo (de tempo, de espao etc)?
E essa probabilidade obtida a partir da frmula:
Prob(S ocorrncias) = !S
eS
Onde: Prob(S) a probabilidade de S ocorrncias no intervalo;
o valor esperado ou nmero mdio de ocorrncias no intervalo;
e = 2,71828...
2. DISTRIBUIES CONTNUAS
2.1 DISTRIBUIO UNIFORME CONTNUA A funo densidade probabilidade
da distribuio uniforme contnua dada por: Parmetros
caractersticos:
E(X) = 2
ba e Var(X) =
12
)( 2ab
2.2 DISTRIBUIO NORMAL
Se uma varivel tem distribuio normal, diremos que:
X N(,2)
A Curva Normal simtrica em relao mdia (ela divide a distribuio
ao meio)! Assim, as trs medidas de posio: mdia, mediana e moda
possuem o mesmo valor.
Porcentagens especiais sob a curva normal
Freqncia
-3 -2 -1 +1 +2 +3 Varivel X
68,3%
95,5%
99,7%
a b x
f(x)
1/(b-a)
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A Curva Normal Padronizada apresenta: =0 e 2=1.
A varivel normal padronizada ser chamada de Z: Z N(0,1)
z=-3 z=-2 z=-1 0 z=1 z=2 z=3 Varivel Z
Qualquer distribuio normal particular (X) pode ser transformada
na varivel normal padronizada (Z), da seguinte forma:
)(
XZ
Fazendo essa transformao, encontraremos na tabela a rea sob a
curva normal padronizada, e que corresponder probabilidade que
estamos procurando!
68,3%
95,5%
99,7%
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CORRELAO
Coeficiente de Correlao Linear (r):
O valor de r varia de -1 a +1.
1) Correlao Perfeita Positiva (r=+1) 2) Correlao positiva (0
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REGRESSO LINEAR
Equao de uma reta
A equao de uma reta tem a seguinte cara: y = a + bx.
Esta reta sempre corta o eixo vertical no ponto (x=0, y=a) e o
eixo horizontal no ponto (x=b
a , y=0).
O valor constante a da expresso (a+bx) chamado coeficiente
linear ou intercepto-y (porque a reta intercepta o eixo Oy em
y=a).
O coeficiente b da expresso (a+bx) chamado coeficiente angular e
est associado ao grau de inclinao da reta em relao ao eixo
horizontal Ox. Quanto maior o mdulo (valor absoluto) de b, maior
ser a inclinao da reta, tendendo a vertical; e quando b se aproxima
de zero a reta diminui a inclinao, tendendo a horizontal.
Atravs do sinal de b, podemos saber se a reta crescente,
decrescente ou constante.
Se b>0 a reta ser crescente.
Se b
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Relao entre o Coeficiente de Correlao (r) e o Coeficiente
Angular da Regresso Linear (b):
X
Y
S
Srb
Onde: b = coeficiente angular da reta de regresso r =
coeficiente de correlao linear simples SX = desvio padro dos dados
da varivel x (j foi vista a frmula do desvio padro) SY = desvio
padro dos dados da varivel y (j foi vista a frmula do desvio
padro)
Temos outras duas relaes entre b e r que nos podem ser teis:
n
XX
n
YY
rb
i
i
i
i
2
2
2
2
22
ou
2
2
22
XX
YYrb
i
i
Nas duas expresses acima aparece o termo 2r . Como bem sabemos,
esse o quadrado do
coeficiente de correlao linear (tambm chamado de coeficiente de
correlao de Pearson). Mas existe um
nome especial para 2r que : Coeficiente de Determinao (ou
Explicao).
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AMOSTRAGEM
A inferncia estatstica envolve a formulao de certos julgamentos
sobre um todo aps examinar apenas uma parte ou amostra dele. E em
nosso dia-a-dia, muitas vezes ns usamos uma amostra para julgar um
todo, mas nem percebemos que fazemos isso. Quando queremos
verificar se certo alimento saboroso, comemos apenas um pequeno
pedao; a cozinheira prova a sopa para verificar se precisa de um
pouco mais de sal; quando passamos os olhos sobre um novo livro ou
uma revista para ver se vamos comprar; quando assistimos um
programa de TV por uns poucos segundos ou minutos para decidir se
mudamos ou no um canal,...
A amostragem estatstica semelhante a cada um dos exemplos acima,
embora seus mtodos sejam mais formais.
Mas, para as inferncias serem corretas, necessrio garantir que a
amostra seja representativa da populao, isto , a amostra deve
possuir as mesmas caractersticas bsicas da populao, no que diz
respeito ao fenmeno que desejamos pesquisar. E para tanto, ela deve
ser retirada segundo determinadas tcnicas de amostragem.
# Tcnicas (ou processos) de Amostragem
Ao coletarmos uma amostra podemos faz-la com reposio ou sem
reposio, caso a amostragem seja realizada com reposio, um mesmo
indivduo tem chance de pertencer mais de uma vez a amostra, o que
no acontece, no caso da amostragem ser sem reposio.
Independentemente da maneira como a amostra coletada (com ou sem
reposio) o importante que os indivduos que comporo a amostra devero
ser selecionados atravs de uma tcnica de amostragem adequada.
Para a escolha do processo de amostragem, o pesquisador deve
levar em conta o tipo de pesquisa, a acessibilidade aos elementos
da populao, a disponibilidade ou no de ter os elementos da populao,
a representatividade desejada ou necessria, a oportunidade
apresentada pela ocorrncia de fatos ou eventos, a disponibilidade
de tempo, recursos financeiros e humanos etc.
As tcnicas de amostragem so divididas em dois grupos: Amostragem
Probabilstica e Amostragem No-Probabilstica.
Amostragem Probabilstica (ou Aleatria ou Casual): aquela em que
cada elemento da populao tem uma chance conhecida e diferente de
zero de ser selecionado para compor a amostra. Em outras palavras:
todas as fases necessrias para a escolha dos elementos que
constituiro a amostra so baseadas em sorteios.
As amostragens probabilsticas geram amostras probabilsticas (com
distribuio normal, ou binomial, ...).
Dentre as amostragens probabilsticas se destacam:
- Amostragem Aleatria Simples
- Amostragem Sistemtica
- Amostragem Estratificada
- Amostragem por Conglomerado
Amostragem No-Probabilstica (ou No-Aleatria ou No-Casual):
aquela em que a seleo dos elementos da populao para compor a
amostra depende ao menos em parte do julgamento do pesquisador ou
do entrevistador no campo. Dentre estas se destacam:
- Amostragem por Convenincia
- Amostragem por julgamento
- Amostragem por quotas
# Detalhamento da Principais Tcnicas de Amostragem
Probabilstica
o Amostragem Aleatria Simples
Este tipo de amostragem equivalente a um sorteio lotrico.
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Na prtica, a amostragem aleatria simples pode ser realizada
enumerando-se todos os indivduos da populao (por exemplo, de 1 a n)
e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatrio
qualquer, uma quantidade (digamos k) de nmeros dessa seqncia, os
quais correspondero aos elementos pertencentes amostra.
Exemplo: Deseja-se pesquisar a estatura dos 80 alunos que
estudam em uma escola, para isso resolveu-se retirar uma amostra de
10% do total de alunos. Usando a amostragem aleatria simples,
mostre como pode ser feita a seleo da amostra.
Sol.:
A populao formada pelos 80 alunos da escola. E a amostra ser
formada pelos alunos sorteados. Sendo o tamanho da amostra de 10%
do total de 80 alunos, ou seja, 8 alunos.
1 passo: Numeramos os alunos de 01 a 80. Podemos elaborar uma
lista com o nmero ao lado do nome do aluno.
2 passo: Escrevemos os nmeros de 01 a 80 em pedaos iguais de um
mesmo papel, colocando-os dentro de uma caixa. Agitamos a caixa
para misturar bem os pedaos de papel.
3 passo: Retiramos, um a um, oito nmeros que formaro a
amostra.
Pronto! Medindo as alturas dos alunos correspondentes aos nmeros
sorteados, obteremos uma amostra das estaturas dos noventa
alunos.
Para evitar o trabalho de escrever os nmeros em pedaos de papel,
sobretudo se a populao muito grande, foi elaborada uma tabela
Tabela de Nmeros Aleatrios construda de modo que os dez algarismos
(0 a 9) so distribudos ao acaso nas linhas e colunas. Ento, para
compor uma amostra de 8 nmeros, s preciso selecionar 8 nmeros que
estejam dispostos em uma coluna ou linha ou diagonal da tabela.
Esse grupo de 8 nmeros selecionados equivale ao sorteio dos 8
papeizinhos.
No vou expor a tabela de nmeros aleatrios, porque ela no vir na
prova. A minha inteno somente dar conhecimento da existncia dessa
tabela.
o Amostragem Sistemtica
Quando os elementos da populao j se acham ordenados, no h
necessidade de construir um sistema de referncia. So exemplos: os
pronturios mdicos de um hospital, as casas de uma rua, uma linha de
produo etc. Nestes casos, a seleo dos elementos que constituiro a
amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. A
esse tipo de amostragem denominamos Sistemtica.
Ela uma simplificao do processo anterior. Neste caso, apenas o
primeiro elemento da amostra ser sorteado, e os demais sero
retirados em uma progresso aritmtica, com razo k, em que:
n
Nk ,
Onde: N = tamanho da populao e n = tamanho da amostra at se
completar o tamanho da amostra desejado.
Exemplo:
Suponhamos uma rua contendo 600 prdios, dos quais desejamos
obter uma amostra formada de 50 prdios. Podemos, neste caso, usar o
seguinte procedimento: como 600/50=12, escolhemos por sorteio um
nmero de 1 a 12 (inclusive), o qual indicaria o primeiro elemento
sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente
considerados de 12 em 12. Assim, se o nmero sorteado fosse o nmero
10, tomaramos, pelo lado direito da rua, o 10 prdio, o 22, o 34, o
46 etc., e ao terminar o lado direito voltamos ao incio da rua,
pelo lado esquerdo, para continuar a contagem, a fim de completar a
amostra dos 50 prdios.
o Amostragem Estratificada
Muitas vezes a populao se divide em subpopulaes estratos.
Exemplos: Numa escola podemos separar os alunos em dois estratos:
meninos e meninas; numa pesquisa podemos separar as pessoas por
faixas (estratos) de idade; ou separar as pessoas de acordo com a
formao escolar: nvel
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secundrio, nvel mdio e nvel superior; para as propriedades
rurais criar estratos de acordo com o tamanho: 0|--10, 10|--20,
20|--30 hectares.
Como provvel que a varivel em estudo apresente, de estrato em
estrato, um comportamento heterogneo e, dentro de cada estrato, um
comportamento homogneo, convm que o sorteio da amostra leve em
considerao tais estratos.
exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem
estratificada.
Quanto forma de retirar os elementos dos estratos para compor a
amostra, classificada em:
Uniforme
Quando retirado o mesmo nmero de elementos em cada estrato,
independentemente do tamanho do estrato.
Proporcional
Quando o nmero de elementos retirado em cada estrato
proporcional ao tamanho do estrato.
Para exemplificar os dois tipos de amostragem estratificada
descritos, consideremos o seguinte exemplo.
Exemplo: Supondo, no exemplo feito na amostragem aleatria
simples, que, dos 80 alunos da escola, 50 so meninas e 30 so
meninos, vamos realizar uma amostragem estratificada uniforme e
proporcional para um tamanho de amostra de 10%.
Temos dois estratos na populao considerada: meninos e
meninas.
Por primeiro, analisaremos a amostragem estratificada
uniforme.
Neste tipo, o nmero de meninos e de meninas que vo compor a
amostra deve ser igual. Como a amostra de 8 alunos (10% de 80),
ento vamos selecionar (de forma aleatria) 4 meninos e 4 meninas. S
isso!
E, agora, a amostragem estratificada proporcional.
A determinao do tamanho de cada estrato mostrada na tabela
abaixo.
Sexo Populao porcentagem da amostra (10%)
tamanho da amostra
menina 50 10% de 50 5
menino 30 10% de 30 3
Total 80 10% de 80 8
Ficou definido na tabela que a amostra de 8 alunos ser formada
por 5 meninas e 3 meninos. E o processo de seleo dessas crianas
deve ser feito de maneira aleatria, por exemplo, atravs da
amostragem aleatria simples.
o Amostragem por Conglomerados
A amostragem por Conglomerado pressupe a disposio dos itens de
uma populao em subgrupos (conglomerados) representativos da populao
global. Idealmente, cada conglomerado pode ser encarado como uma
minipopulao. Em geral, os conglomerados so grupos de itens que se
acham em estreito contato fsico, como casas, quarteires, bairros,
municpios etc.
A amostragem por conglomerados tem duas vantagens muito
distintas sobre a amostragem aleatria simples. Uma que se os itens
da populao se acham muito dispersos, uma amostragem aleatria
simples pode acarretar uma considervel despesa, viagens, estadias
etc., para ser bem extrada, ao passo que os itens de cada
conglomerado esto prximos uns dos outros. Suponhamos, por exemplo,
que a populao de interesse consistisse dos proprietrios de
automveis do estado de Minas Gerais. Sem dvida uma amostragem
aleatria simples incluiria proprietrios em localidades
demasiadamente afastadas no estado, o que dificultaria a coordenao
e a padronizao na coleta dos dados. Por outro lado, os
conglomerados de municpios ou cidades conteriam proprietrios de
carros em reas concentradas, reduzindo o custo e facilitando a
coordenao. Aps selecionar aleatoriamente os conglomerados em todo o
estado de Minas Gerais, dentro de cada conglomerado, a amostragem
poderia ser aleatria simples,
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estratificada, novamente por conglomerados (por exemplo, bairros
de uma cidade), ou ainda ser feito um censo para o caso do
conglomerado selecionado no possua muitos indivduos.
Uma segunda vantagem da amostragem por conglomerado que no
necessrio uma listagem dos itens da populao. Basta uma lista dos
conglomerados. Assim, no possvel obter uma listagem de todos os
proprietrios de imveis do Brasil, mas pode-se obter uma lista de
estados, ou municpios, ou cidades. Ou ento os conglomerados podem
ser quarteires. Embora no possamos obter uma listagem das casas de
uma cidade, os quarteires podem, em geral, ser identificados,
fazendo-se a seleo por meio de mapas. Ento os quarteires escolhidos
podem ser visitados, identificando-se as casa que comporo a
amostra.
# Detalhamento das Principais Tcnicas de Amostragem
No-Probabilsticas
o Amostragem por Convenincia
A amostragem por convenincia adequada e freqentemente utilizada
para gerao de idias em pesquisas exploratrias, principalmente.
A amostra por convenincia empregada quando se deseja obter
informaes de maneira rpida e barata. Uma vez que esse procedimento
consiste em simplesmente contatar unidades convenientes da
amostragem, possvel recrutar respondentes tais como estudantes em
sala de aula, mulheres no shopping, alguns amigos e vizinhos, entre
outros. Os autores comentam que este mtodo tambm pode ser empregado
em pr-testes de questionrios.
Alguns exemplos de pesquisa com amostras por convenincia:
Solicitar as pessoas que voluntariamente testem um produto e que
em seguida respondam a uma entrevista.
Parar pessoas no supermercado e colher suas opinies.
Colocar linhas de telefone adaptadas para que durante um
programa de televiso os telespectadores possam dar suas
opinies.
o Amostragem por julgamento
O pesquisador escolhe deliberadamente certos elementos da
populao para formar a amostra, baseado num pr-julgamento.
Exemplo: Pesquisa de mercado para lanar uma nova marca de leite
longa vida tipo A. O pesquisador selecionar indivduos com poder
aquisitivo mdio/alto, que so os principais consumidores deste
produto (publico alvo), embora toda a populao independentemente do
poder aquisitivo possa ser consumidora deste produto.
o Amostragem por quotas
tambm baseada em um julgamento e no em um processo aleatrio.
freqentemente usada em pesquisas de opinio e pesquisa de mercado.
Neste mtodo deve-se conhecer as caractersticas da populao de antemo
e, ento, usar uma amostra semelhante populao em termos de
composio.
O objetivo obter-se uma amostra que seja representativa da
populao. A forma da populao deve ser conhecida, pelo menos
aproximadamente, proporo que aparece uma certa quantidade, por
exemplo, as propores de pessoas de diferentes idades, sexo e grupos
tnicos. A amostragem por quotas busca repetir esses percentuais na
amostra. A amostragem por quotas pode ser comparada a uma
amostragem estratificada. A populao estratificada por variveis
importantes, tais como idade, sexo e localidade e a quota necessria
obtida de cada estrato. Mas a diferena importante que a amostragem
por quotas no selecionada por qualquer base aleatria.
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EXERCCIOS RESOLVIDOS
01. Para cada uma das seguintes situaes diga qual o tipo de
amostragem foi utilizada.
a) Para compor a amostra foram sorteados aleatoriamente 10% de
homens e 10% de mulheres de uma cidade. Tipo de
Amostragem:_Estratificada Proporcional______
b) Numa escola precisa-se dividir 20 pessoas em dois grupos.
Para o primeiro grupo ele seleciona
aleatoriamente 10 pessoas, e considera os 10 restantes para o
segundo grupo. Tipo de Amostragem: Aleatria Simples
c) Uma lista numerada contm 200 nomes, numerados
consecutivamente a partir do nmero 1.
Iniciando pelo 10 nome, uma amostra foi composta considerando
sorteados os nomes referentes aos nmeros 20, 30, 40, 50 e assim
sucessivamente at que fossem escolhidos 10 nomes. Tipo de
amostragem: Amostragem Sistemtica_
02. Complete:
a) Na amostragem aleatria simples_ cada elemento da populao tem
a mesma chance de ser includo na amostra.
b) Na amostragem _sistemtica_a seleo dos itens da populao que
faro parte da amostra so escolhidos seguindo uma seqncia fixa, isto
, so escolhidos os itens r, r+k, r+2k, r+3k, e assim por
diante.
c) A amostragem estratificada_pressupe a diviso da populao em
subgrupos de itens similares, procedendo-se ento a amostragem em
cada subgrupo.
d) A amostragem por Conglomerados_pressupe a disposio dos itens
de uma populao em subgrupos heterogneos representativos da populao
global, procedendo-se a amostragem dos subgrupos.
03. (ESAF/AFPS/2002/Administrao Tributria Previdnciria) Assinale
a opo correta em
referncia ao significado do termo amostragem aleatria simples.
a) Refere-se a um mtodo de classificao da populao. b) Refere-se
representatividade da amostra. c) um mtodo de escolha de amostras.
d) Refere-se a amostras sistemticas de populaes infinitas. e)
Refere-se amostragem por quotas. Sol.: A amostragem aleatria
simples um tcnica de amostragem que usada na escolha dos elementos
da populao que constituiro a amostra.
Resposta: Alternativa C!
04. (AFCE-TCDF-2002/CESPE) Julgue os itens seguintes.
1. Quando aplicada em uma populao de pessoas formada pelo mesmo
nmero de homens e de mulheres, uma amostra aleatria simples tambm
apresenta o mesmo nmero de homens e de mulheres.
No necessariamente! Item errado!
05. (FTE-Alagoas-2002/CESPE) Julgue os seguintes itens.
1. Quando a escolha dos elementos que faro parte de uma amostra
realizada usando-se um mecanismo probabilstico, diz-se que se trata
de amostra por quotas.
A amostragem por Quotas uma tcnica de amostragem
NO-PROBABILISTICA. Item errado!
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INTERVALO DE CONFIANA
1. INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA
O processo de construo do intervalo de confiana para a mdia de
uma populao depende se o
desvio padro da populao () conhecido ou deve ser estimado com
base nos valores amostrais (desvio
padro amostral S ), e tambm se o tamanho da amostra grande
(n30).
Mostramos abaixo o intervalo de confiana de acordo com o tamanho
da amostra e do conhecimento do desvio padro da populao:
n
zX
. : para amostra grande (n30) ou com conhecido.
n
tX
. : para amostra pequena (n
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2. INTERVALO DE CONFIANA PARA A PROPORO
A estimativa de propores populacionais muito semelhante de mdias
populacionais, com uma simplificao: a distribuio t de Student no
usada, e assim evita-se completamente o problema t versus z.
Frmula do Intervalo de Confiana
A proporo amostral (p) utilizada como estimativa pontual da
verdadeira proporo. Por exemplo, se estamos interessados em saber a
proporo (ou porcentagem) de peas defeituosas num grande lote, e
selecionando uma amostra de 40 peas, encontramos 5 peas
defeituosas, ento a proporo p da amostra 5/40 ou 12,5%.
A estimativa intervalar (intervalo de confiana) da proporo
populacional simtrica em relao proporo amostral (p), tal como
ocorre com o intervalo para a mdia populacional em relao mdia
amostral ( X ). E a sua frmula a seguinte:
n
ppzp
)1(.
3. DETERMINAO DO TAMANHO DA AMOSTRA
O tamanho de uma amostra pode ser calculada com base na margem
de erro (E) do intervalo de confiana!
Vimos que a margem de erro o valor que somado e subtrado a
estimativa pontual para formar os limites do intervalo de confiana.
Assim:
Para a Mdia: o intervalo de confiana : n
zX
. , ento: E=n
z
.
Para a proporo: o intervalo de confiana : n
ppzp
)1(.
, ento: E=
n
ppz
)1(.
Nesta ltima, se o valor da proporo p no puder ser obtido a
partir dos dados do enunciado da
questo, ento consideraremos p igual a 1/2 ou 0,5. (Entre os
valores possveis para p, o valor 1/2 o pior
caso, no sentindo de a margem de erro ser mxima).
Para encontrarmos o tamanho da amostra, devemos isolar o valor
de n na frmula da margem de erro.
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TESTES DE HIPTESES
# PASSO A PASSO DO TESTE DE HIPTESE PARA MDIA
1 Passo) Verificar se o Teste bilateral ou unilateral ( direita
ou esquerda).
Conforme o sinal de H1, teremos a definio do teste a ser
realizado:
- H1 com sinal de , o teste deve ser bilateral;
- H1 com sinal de , o teste deve ser unilateral direito.
2 Passo) Definir, conforme os dados da questo, se ser utilizada
a Curva Normal (Z) ou a Curva de Student (t).
Lembraremos que a Curva de Student (t) s ser usada em um nico
caso: se (desvio padro populacional) for desconhecido e, ao mesmo
tempo, n
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5 Passo) Calcular, usando a frmula adequada situao, o z
calculado ou o t calculado.
Para tanto, haver duas possibilidades:
1) Se desvio padro populacional conhecido ou n30:
n
Xzcalc
2) Se desvio padro populacional desconhecido e n
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Com a Curva Z (Normal Padronizada):
Teste Bilateral Teste Unilateral Direito Teste Unilateral
Esquerdo
-ztab ztab ztab -ztab
4 Passo) Descobrir, usando a tabela da Curva Normal, o z
tabelado.
Lembrando que para achar o z tabelado usaremos apenas o nvel de
significncia que ser fornecido pela questo.
Com este passo, definimos no desenho do teste quais so as reas
de aceitao e de rejeio de Ho. Nos desenhos que vemos acima, no
terceiro passo, as reas de rejeio de Ho, tambm chamadas de regies
crticas, esto sempre marcadas com tracinhos horizontais.
5 Passo) Calcular o z calculado.
Haver apenas uma possibilidade:
n
PP
Ppzcalc
)1(
Onde:
p a proporo amostral;
P a proporo presumida para a populao (e que est sendo testada na
hiptese H0);
n o nmero de elementos da amostra.
No assunto de intervalo de confiana da Proporo, usvamos, dentro
da raiz do denominador da frmula acima, a proporo amostral p
(pzinho). Mas fazamos isso porque no conhecamos a proporo
da populao, alis, estvamos atrs dela. Aqui como temos a proporo
presumida para a populao P(pzo), ento usaremos esta.
6 Passo) Localizar no desenho do teste onde est o z calculado,
se na rea de aceitao ou na rea de rejeio de Ho, para, finalmente,
decidir.
O critrio de deciso ser sempre o mesmo:
Se o z calculado estiver:
na rea de aceitao de Ho, diremos que Ho ser aceita;
na rea de rejeio de Ho, diremos que Ho ser rejeitada.
/2 /2
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# TIPOS DE ERROS EM UM TESTE DE HIPTESES
Erro do Tipo I: ocorre quando rejeitamos a hiptese nula quando
ela verdadeira.
Erro do Tipo II: ocorre quando aceitamos a hiptese nula quando
ela falsa.
A probabilidade de cometer o erro do tipo I a prpria
significncia do teste, portanto, ela definida a priori.
Prob(erro do tipo I) = = significncia do teste
Chamamos a probabilidade de cometer o erro do tipo II de . Ou
seja:
Prob(erro do tipo II) =
Em um teste de hipteses, espera-se, naturalmente, que a hiptese
nula seja aceita quando verdadeira e rejeitada quando falsa. Logo,
h quatro resultados possveis num teste, conforme mostrado na tabela
abaixo.
Se H0 Verdadeira Se H0 Falsa
Aceitamos H0 Deciso correta! Erro Tipo II
Rejeitamos H0 Erro Tipo I Deciso correta!
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EXERCCIOS
PROBABILIDADE 01. (ATRFB 2009 ESAF) Trs amigas participam de um
campeonato de arco e flecha. Em cada tiro,
a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo de
3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a
terceira tem uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada
uma das amigas der um tiro de maneira independente dos tiros das
outras duas, qual a probabilidade de pelo menos dois dos trs tiros
acertarem o alvo?
a) 90/100 b) 50/100 c) 71/100 d) 71/90 e) 60/90 02. (ATRFB 2009
ESAF) Para acessar a sua conta nos caixas eletrnicos de determinado
banco, um
correntista deve utilizar sua senha constituda por trs letras,
no necessariamente distintas, em determinada sequncia, sendo que as
letras usadas so as letras do alfabeto, com exceo do W, totalizando
25 letras. Essas 25 letras so ento distribudas aleatoriamente, trs
vezes, na tela do terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco
letras por tecla, e, assim, para digitar sua senha, o correntista
deve acionar, a cada vez, a tecla que contm a respectiva letra de
sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais prximo da
probabilidade de ele apertar aleatoriamente em sequncia trs das
cinco teclas disposio e acertar ao acaso as teclas da senha?
a) 0,001. b) 0,0001. c) 0,000125. d) 0,005. e) 0,008. 03.
(Auditor Fiscal de Natal 2008 ESAF) Uma urna contm: 1 bola amarela;
4 bolas azuis; 10 bolas
brancas; 15 bolas vermelhas; e 20 bolas pretas. Dado que na
primeira extrao foi retirada uma bola vermelha, a probabilidade de
na segunda tentativa retirar uma bola vermelha, novamente, :
a) maior que retirar uma bola branca ou azul. b) maior que
retirar uma bola preta. c) menor que retirar uma bola branca. d)
menor que retirar uma bola azul. e) menor que retirar uma bola
amarela ou branca ou azul. 04. (AFC/STN 2008 ESAF) Marco estuda em
uma universidade na qual, entre as moas de cabelos
loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos;
entre as moas de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem
olhos castanhos; entre as moas de cabelos ruivos, 4 possuem olhos
azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente
uma dessas moas para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar
com Marco, Marisa informa que a moa selecionada possui olhos
castanhos. Com essa informao, Marco conclui que a probabilidade de
a moa possuir cabelos loiros ou ruivos igual a: a) 0 c) 19/50 e)
19/31 b) 10/19 d) 10/50
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05. (AFC-CGU 2008 ESAF) Uma populao de indivduos constituda 80%
por um tipo gentico A
e 20% por uma variao gentica B. A probabilidade de um indivduo
do tipo A ter determinada doena de 5%, enquanto a probabilidade de
um indivduo com a variao B ter a doena de 40%. Dado que um indivduo
tem a doena, qual a probabilidade de ele ser da variao gentica
B?
a) 1/3. d) 0,6. b) 0,4. e) 2/3. c) 0,5. 06. (Gestor Fazendrio MG
2005 ESAF) Em uma caixa h oito bolas brancas e duas azuis.
Retirasse, ao acaso, uma bola da caixa. Aps, sem haver
recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, tambm ao acaso, uma
segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola azul. Dado que essa
segunda bola azul, a probabilidade de que a primeira bola extrada
seja tambm azul : a) 1/3 d) 2/10 b) 2/9 e) 3/10 c) 1/9
07. (Analista de Planejamento e Oramento APO 2010 ESAF) Um
viajante, a caminho de
determinada cidade, deparou-se com uma bifurcao onde esto trs
meninos e no sabe que caminho tomar. Admita que estes trs meninos,
ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um
sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente
fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um
dos trs meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade
e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta
a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual
a probabilidade de ele tambm responder que o caminho da
direita?
a) 1. b) 2/3. c) 1/2. d) 1/3. e) 1/4. DISTRIBUIO BINOMIAL 08.
(Processo Seletivo vrios ministrios 2008 ESAF) Carla, Cssio e
Ceclia foram colegas em um
curso de especializao em Bioestatstica. Durante o curso, Cssio e
Ceclia casaram. Curiosos, os trs colegas vericaram, atravs de
clculos estatsticos, que a probabilidade de Cssio e Ceclia terem um
lho do sexo masculino de olhos verdes igual a 1/10. Aps muitos anos
sem ter notcias de Cssio e Ceclia, Ana soube que eles tiveram cinco
lhos. Com saudades, Carla resolveu visit-los. Durante a viagem de
ida, Carla fez alguns clculos e concluiu que a probabilidade de
Cssio e Ceclia terem dois meninos de olhos verdes igual a:
a) 0,0135 c) 0,0225 e) 0,02 b) 0,0729 d) 0,2
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09. (AFRFB 2009 ESAF) Em um experimento binomial com trs provas,
a probabilidade de ocorrerem dois sucessos doze vezes a
probabilidade de ocorrerem trs sucessos. Desse modo, as
probabilidades de sucesso e fracasso so, em percentuais,
respectivamente, iguais a:
a) 20 % e 80 % b) 80 % e 20 % c) 60 % e 40 % d) 30 % e 70 % e)
25 % e 75 % 10. (Auditor Fiscal de Natal 2008 ESAF) Numa distribuio
Binomial, temos que: I. A E[x] = n.p.q, ou seja, o produto dos
parmetros n nmero de elementos da avaliao, p
probabilidade de ocorrncia do evento e q probabilidade contrria
(q = 1 - p). II. O desvio-padro dado pela raiz quadrada do produto
entre os parmetros n e p. III. A varincia dada pelo somatrio dos
quadrados dos valores (Xi) menos o quadrado da mdia. Apontando os
trs itens acima como V Verdadeiro e F Falso, a opo correta : a) F,
V, F b) V, V, F c) F, F, F d) V, F, F e) V, V, V 11. (Auditor
Fiscal de Natal 2008 ESAF) Apontando por V Verdadeiro e F Falso,
indique a opo
correta para as seguintes sentenas: I. Uma v. a. varivel
aleatria que pode assumir somente dois valores, diz-se possuir
distribuio
de Bernoulli e sua integral, no intervalo [a; b], possui
distribuio Binomial. II. Uma v. a. com distribuio de Bernoulli, se
acumulados os resultados sem reposio, geram
uma distribuio hipergeomtrica e se for com reposio geram uma
distribuio Binomial. Assinale o respectivo conjunto: a) F, V b) V,
F c) F, F d) V, V e) pode ser V, F DISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA 12.
(AFT 2010 ESAF) Em uma amostra aleatria simples de 100 pessoas de
uma populao, 15 das
40 mulheres da amostra so fumantes e 15 dos 60 homens da amostra
tambm so fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas da
amostra, sem reposio, a probabilidade de exatamente quatro delas
serem homens fumantes dada por:
a) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,15, n=5 e k=4.
b) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=15 e k=4. c) Cm,k
CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=60 e k=4. d) Cm,k CN-m,n-k
/CN,n, sendo N=100, n=15, m=5 e k=4. e) Cn.k p
k (1-p)n-k, sendo p=0,25, n=5 e k=4.
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DISTRIBUIO DE POISSON 13. (AFRFB 2009 ESAF) O nmero de
petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma
distribuio de Poisson, com mdia de dois petroleiros por dia.
Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no mximo trs
petroleiros em dois dias igual a:
a)
d)
b)
e)
c)
DISTRIBUIO NORMAL
14. (Auditor Fiscal de Natal 2008 ESAF) Se x uma v. a. varivel
aleatria com funo densidade
de probabilidade f(x), caracterizada pelo modelo normal, podemos
armar que: a) o desvio-padro igual a 1 (um). b) a mdia tem valor 0
(zero). c) a funo de distribuio acumulada f(x) igual a 1, para
todos os valores acima de b. d) os parmetros mdia, moda e mediana
so iguais. e) a varincia tem o valor do quadrado da mdia. 15.
(SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Seja Z uma varivel aleatria Normal
Padro. Dados os valores de
z e de P(Z < z) a seguir, obtenha o valor mais prximo de
P(-2,58 < Z < 1,96). z 1,96 2,17 2,33 2,41 2,58 P( Z < z )
0,975 0,985 0,99 0,992 0,995
a) 0,99 b) 0,97 c) 0,98 d) 0,985 e) 0,95 16. (ESAF/Analista
(Planej. e Execuo Financeira) - CVM - 2000) Uma pessoa est indecisa
se
compra uma casa agora ou se espera para comprar daqui a um ano.
A pessoa acredita que o aumento do preo da casa em um ano tenha
distribuio normal com mdia de 8% e desvio-padro de 10%. Se o preo
aumentar mais de 25% a pessoa no ter dinheiro para adquirir o
imvel. Por outro lado, se o preo da casa cair, a pessoa sair
lucrando. Assinale a opo que d as probabilidades de ocorrncia de
cada um desses eventos, respectivamente. Nos clculos use a tabela
dos valores das probabilidades P(Z > z) para a distribuio normal
padro dada a seguir.
z P(Z>z) z P(Z>z)
0,5 0,309 1,5 0,067
0,6 0,274 1,6 0,055
0,7 0,242 1,7 0,045
0,8 0,212 1,8 0,036
0,9 0,184 1,9 0,029
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a) 4,5% e 10,4% c) 4,5% e 24,2% e) 4,5% e 21,2% b) 6,7% e 24,2%
d) 2,9% e 18,4% 17. (AFRE-MG 2005 ESAF) As vendas em um ms de
determinado produto, de custo unitrio, em
reais, tem distribuio aproximadamente normal com mdia de R$
500,00 e desvio padro de R$ 50,00. Se a empresa decide fabricar, em
dado ms, 600 unidades do produto, assinale a opo que d a
probabilidade de que a demanda no seja atendida. (Em sua resposta
faa uso da tabela da funo de distribuio (x) da normal padro dada
abaixo).
x (x)
1,85 0,968
1,96 0,975
2,00 0,977
2,12 0,983
a) 5,0% d) 2,5% b) 3,1% e) 4,0% c) 2,3% VALOR ESPERADO E
VARINCIA DE UMA VARIVEL ALEATRIA 18. (MPOG/ENAP 2006 ESAF) Suzana e
Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lanamento
dessas duas moedas resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$
6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00.
Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o
valor esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando-se
como ganhos negativos os valores que ela paga Suzana) igual a
a) 1,5. c) 0,75. e) 2,5. b) -0,75. d) -1,5.
19. (AFRFB 2009 ESAF) A funo densidade de probabilidade de uma
varivel aleatria contnua x
dada por:
Para esta funo, a mdia de x, tambm denominada expectncia de x e
denotada por E(x) igual a:
a)
d)
b)
e)
c)
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CORRELAO 20. (Tcnico Receita Federal 2006 ESAF) O coeficiente de
correlao entre duas variveis Y e X
igual a +0,8. Considere, agora, a varivel Z definida como: Z =
0,2 - 0,5X. O coeficiente de correlao entre as variveis Z e X, e o
coeficiente de correlao entre as variveis Z e Y sero iguais,
respectivamente, a: a) -1,0 e -0,8 c) -0,5 e -0,8 e) -0,2 e -0,4 b)
+1,0 e +0,8 d) -0,5 e +0,8
21. (Tcnico Receita Federal 2006 ESAF) Para 5 pares de observaes
das variveis X e Y, obteve-se
os seguintes resultados:
X = Y = 15 ; X2 = Y2 = 55 ; XY = 39 Sabendo-se que esses 5 pares
de observaes constituem a totalidade da distribuio conjunta
populacional dessas duas variveis, o valor do coeficiente de
correlao entre X e Y igual a: a) +1,000 b) +0,709 c) +0,390 d)
-0,975 e) -0,600 REGRESSO LINEAR
22. (AFRFB 2009 ESAF) Na anlise de regresso linear simples, as
estimativas e dos parmetros e da reta de regresso podem ser obtidas
pelo mtodo de Mnimos Quadrados. Nesse caso, os valores dessas
estimativas so obtidos atravs de uma amostra de n pares de
valores
Xi Yi com (i =1, 2, ....,n), obtendo-se: i = + Xi , onde i a
estimativa de Yi = + Xi . Para cada par de valores Xi Yi com (i =1,
2, ...,n) pode-se estabelecer o desvio ou resduo aqui
denotado por ei entre a reta de regresso Yi e sua estimativa i .
Sabe-se que o Mtodo de Mnimos Quadrados consiste em adotar como
estimativas dos parmetros e os valores que minimizam a soma dos
quadrados dos desvios ei. Desse modo, o Mtodo de Mnimos Quadrados
consiste em minimizar a expresso dada por:
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23. (Fiscal de Rendas ISS/RJ 2010 ESAF) A partir de uma amostra
aleatria simples formada por 22 observaes das variveis X e Y
calculou-se
Obtenha a reta de regresso linear de Y em X.
a) = 13 + 0,65 Xi b) = 13 + 1,3 Xi c) = 20 + 0,65 Xi d) = 20 + 2
Xi e) = -13 + 1,3 Xi 24. (Fiscal de Rendas ISS/RJ 2010 ESAF) Com os
dados da questo anterior, calcule o valor mais
prximo do coeficiente de determinao R2 da regresso linear de X
em Y. a) 0,65 b) 0,81 c) 0,85 d) 0,91 e) 0,88 INTERVALO DE CONFIANA
PARA A MDIA E A PROPORO 25. (ESAF/IBGE 1999) Uma amostra aleatria
de tamanho 400 de uma distribuio normal foi
observada, verificando-se uma mdia amostral igual a 20,3 com um
desvio padro igual a 2,0. Um intervalo de confiana com 95% de nvel
de confiana para a mdia populacional ser dado pr a) (16,734;
23,866) b) (18,736; 21,864) c) (19,078; 21,522) d) (20,104; 20,496)
e) (19,749; 20,851)
26. (SERPRO 2001 ESAF) Uma empresa grande de processamento de
dados leva a efeito uma
pesquisa de opinio sobre o nvel de satisfao de seus empregados
com os respectivos empregos. Neste contexto 100 empregados, de uma
populao infinita, sob objetivos prticos, so selecionados ao acaso e
questionados. Destes, 50 mostraram-se satisfeitos ou muito
satisfeitos com seus empregos. Assinale a opo que caracteriza o
intervalo com coeficiente de confiana de 95%, simtrico, para a
proporo populacional desconhecida de empregados satisfeitos ou
muito satisfeitos com seu emprego. (Use em seus clculos o Teorema
Central do Limite e a tabela da distribuio normal padro dada
abaixo, aproximando o valor encontrado na tabela para o inteiro
imediatamente superior).
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A tabela abaixo d os valores de P{0
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31. (AFC-CGU 2008 ESAF) Um fabricante divulga que a
caracterstica principal de seu produto tem uma mdia de 1000
unidades. Um pesquisador, duvidando desta armao, encontrou uma
caracterstica mdia de 935 e desvio-padro amostral de 130 examinando
uma amostra aleatria simples de tamanho 9 destes produtos. Calcule
o valor mais prximo da estatstica t para testar a hiptese nula de
que a mdia da caracterstica principal do produto 1000, admitindo
que a caracterstica tem uma distribuio normal.
a) -1,5. c) -1,89. e) -2,115. b) -1,78. d) -1,96. 32. (AFRE-MG
2005 ESAF) Um fabricante afirma que pelo menos 95% dos equipamentos
que
fornece indstria encontram-se dentro de suas especificaes. Uma
amostra de 200 itens escolhidos ao acaso revelou 10 itens fora de
especificao. Assinale a opo que corresponde ao valor probabilstico
(p-valor) do teste de H0:0,95 contra H1:
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GABARITO
01 D
02 E
03 E
04 B
05 E
06 C
07 D
08 B
09 A
10 C
11 A
12 A
13 E
14 D
15 B
16 E
17 C
18 D
19 E
20 A
21 E
22 Anulada
23 E
24 C
25 D
26 A
27 D
28 D
29 C
30 A
31 A
32 A
33 E
34 A