U.N.S.C.H Escuela Profesional de Ingeniería Civil “Diseño de una Red de Abastecimiento de agua – Método del Gradiente Hidráulico” Curso : Abastecimiento de Agua Potable y Alcantarillado Profesor : Ing. Joel Oré Iwanaga Estudiante : CANCHARI GUTIÉRREZ, Edmundo. Cod. Est. : 16005011
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Resdes de Tuberías Gradiente Hidráulico Red con Bomba
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U.N.S.C.H
Escuela Profesional de Ingeniería Civil
“Diseño de una Red de Abastecimiento de agua – Método del Gradiente Hidráulico” Curso : Abastecimiento de Agua Potable y Alcantarillado Profesor : Ing. Joel Oré Iwanaga Estudiante : CANCHARI GUTIÉRREZ, Edmundo. Cod. Est. : 16005011
Ejemplo #02: (Resolución del examen) Solución: El primer paso es dividir el sistema en una serie de elementos finitos identificando sus puntos extremos como “nudos”, una tubería debe estar plenamente identificada en la red por su nudo inicial y final estableciendo implícitamente la dirección del flujo del caudal en la tubería. Se debe enumerar nudos y tubería como se muestra.
Donde:
- Número de tuberías
- Numeración de nudos
- Dirección flujo de caudal. La solución se realizará en dos etapas: Etapa 1: Analizando el sistema sin la intervención de la bomba en la red, con la finalidad de obtener la presión en el nudo #6. Etapa #2: dependiendo de la presión obtenida en la primera etapa. Si la presión es mayor o igual a cero entonces no es necesario la inclusión de la bomba en la red y el proceso culmina, caso contrario se vuelve a realizar los cálculos de presiones y caudales considerando el aporte de la bomba en el sistema. La presión (negativo) que resulta en el nudo #6 de la primera etapa es lo que debe elevar la bomba en esta etapa #2. Realizando los cálculos. Etapa #1:
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Abastecimiento de Agua Potable Y AlcantarilladoAnálisis y Diseño de Redes de Agua PotableMétodo del Gradiente Hidráulico
Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
3. Proceso de cálculo
Para realizar el cálculo de presiones y caudales en la red, es necesario el siguiente planteamiento dematrices y vectores teniendo en ceunta que:
Número de nudos de cota piezométrica desconocida:NN rows CT( ) rows RSV( )−:= NN 5=
Número de tuberías (tramos)NT rows RED( ):= NT 7=
Número de nudos de cota piezométrica conocidaNS rows RSV( ):= NS 1=
3.1 Resultados generales
Todas las matrices obtenidas en esta sección se mantienen constante en todo el procedimeinto dediseño.
3.1.1 Obteniendo la matriz de conectividad total (At), su dimensión es NT*(NN+NS) asociada a cauno de los nudos de la red, con solo dos elementos diferentes de cero en la i-ésima fila
"-1" en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i •
"1" en la columna correspondiente al nodo final del tramo i•
At
ni REDi 1, ←
nf REDi 2, ←
Ati ni, 1−←
Ati nf, 1←
i 1 NT..∈for
At
:=
At
1−
0
0
0
0
0
0
1
1−
1−
0
0
0
0
0
1
0
1−
0
1−
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
de la matriz At se obtiene las matrices A12 y A10.
3.1.2 Matriz de conectividad A12 asociada a cada uno de los nudos de la red de cota piezométricadesconocida, de dimensión NT*NN
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A10 es la matriz topológica tramo a nodo, para los NS nodos de cota piezométrica conocida, sudimensión es NT*NS con un valor igual a -1 en las filas correspondientes a los tramos conectados alos reservorios(Nudos de cota piezométrica conocida)
3.1.4 Vector de Cotas piezométricas fijas, cuya dimensión es NS*1
Ho RSV 2⟨ ⟩:=
Ho 500( )=
3.1.5 Vector de consumo, de dimensión NN*1
En este vector no interviene los nudos de cota piezométrica conocida.
3.1.6 matriz identidad, de dimensión NT*NT 3.1.7 matriz diagonal M, de dimensión NT*NTI identity NT( ):=
Ndw 2 I⋅:=
I
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= Ndw
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
los elementos de la diagonal principal soniguales al coeficiente "m", que depende dequé ecuación para la pérdida de carga seesté utilizando, en este caso utilizaré la deDarcy-Weisbach, para lo cual m=2
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Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #1
El caudal para la iteración actual es: Qac Q:=
Qac
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
355.534
355.534
474.046
592.557
474.046
355.534
414.79
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #2
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.145
0.077
0.028
0.056
0.065
0.02
0.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
362.708
382.608
580.07
660.15
519.283
459.333
491.123
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #3
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.145
0.064
0.041
0.019
0.04
4.61 10 3−×
0.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
362.708
390.125
549.181
772.287
551.006
616.931
491.123
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #4
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.145
0.059
0.046
1.594 10 3−×
0.027
0.018
0.035
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
362.708
393.704
540.989
1.341 103×
583.33
467.73
491.123
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
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Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados
5. Ordenado Resultados Programa que Corrige H y Q con los argumentos establecidos en elcapítulo 3, culmina cuando la norma del vector es menor a 0.0001
la presión en el nudo "#6" es de -39.754m. Entonces para lograr elevar esta altura de agua serequiere de una bomba que proporcione una altura de agua de 40m cmo máximo. Para lo cual elijoel modelo 7AI/BF y la ecuación característica es la siguiente:
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Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
3. Proceso de cálculo
Para realizar el cálculo de presiones y caudales en la red, es necesario el siguiente planteamiento dematrices y vectores teniendo en ceunta que:
Número de nudos de cota piezométrica desconocida:NN rows CT( ) rows RSV( )−:= NN 5=
Número de tuberías (tramos)NT rows RED( ):= NT 7=
Número de nudos de cota piezométrica conocidaNS rows RSV( ):= NS 1=
3.1 Resultados generales
Todas las matrices obtenidas en esta sección se mantienen constante en todo el procedimeinto dediseño.
3.1.1 Obteniendo la matriz de conectividad total (At), su dimensión es NT*(NN+NS) asociada a cauno de los nudos de la red, con solo dos elementos diferentes de cero en la i-ésima fila
"-1" en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i •
"1" en la columna correspondiente al nodo final del tramo i•
At
ni REDi 1, ←
nf REDi 2, ←
Ati ni, 1−←
Ati nf, 1←
i 1 NT..∈for
At
:=
At
1−
0
0
0
0
0
0
1
1−
1−
0
0
0
0
0
1
0
1−
0
1−
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
1
1−
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
de la matriz At se obtiene las matrices A12 y A10.
3.1.2 Matriz de conectividad A12 asociada a cada uno de los nudos de la red de cota piezométricadesconocida, de dimensión NT*NN
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A10 es la matriz topológica tramo a nodo, para los NS nodos de cota piezométrica conocida, sudimensión es NT*NS con un valor igual a -1 en las filas correspondientes a los tramos conectados alos reservorios(Nudos de cota piezométrica conocida)
3.1.4 Vector de Cotas piezométricas fijas, cuya dimensión es NS*1
Ho RSV 2⟨ ⟩:=
Ho 500( )=
3.1.5 Vector de consumo, de dimensión NN*1
En este vector no interviene los nudos de cota piezométrica conocida.
3.1.6 matriz identidad, de dimensión NT*NT 3.1.7 matriz diagonal M, de dimensión NT*NTI identity NT( ):=
Ndw 2 I⋅:=
I
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= Ndw
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
los elementos de la diagonal principal soniguales al coeficiente "m", que depende dequé ecuación para la pérdida de carga seesté utilizando, en este caso utilizaré la deDarcy-Weisbach, para lo cual m=2
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Abastecimiento de Agua Potable Y AlcantarilladoAnálisis y Diseño de Redes de Agua PotableMétodo del Gradiente Hidráulico
Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #1
El caudal para la iteración actual es: Qac Q:=
Qac
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
355.534
355.534
474.046
592.557
474.046
355.534
414.79
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Universidad Nacional San Cristóbal de HuamangaEscuela Profesional de Ingeniería Civil
Abastecimiento de Agua Potable Y AlcantarilladoAnálisis y Diseño de Redes de Agua PotableMétodo del Gradiente Hidráulico
Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #2
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.155
0.083
0.032
0.056
0.069
0.014
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
361.076
379.793
568.581
660.15
515.954
489.384
474.701
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Universidad Nacional San Cristóbal de HuamangaEscuela Profesional de Ingeniería Civil
Abastecimiento de Agua Potable Y AlcantarilladoAnálisis y Diseño de Redes de Agua PotableMétodo del Gradiente Hidráulico
Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #3
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.155
0.069
0.046
0.019
0.045
0.01
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
361.076
386.966
540.989
772.287
542.515
522.199
474.701
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Universidad Nacional San Cristóbal de HuamangaEscuela Profesional de Ingeniería Civil
Abastecimiento de Agua Potable Y AlcantarilladoAnálisis y Diseño de Redes de Agua PotableMétodo del Gradiente Hidráulico
Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #4
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.155
0.065
0.05
1.118 10 3−×
0.031
0.024
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
361.076
389.463
535.362
1.479 103×
571.245
445.709
474.701
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
Universidad Nacional San Cristóbal de HuamangaEscuela Profesional de Ingeniería Civil
Abastecimiento de Agua Potable Y AlcantarilladoAnálisis y Diseño de Redes de Agua PotableMétodo del Gradiente Hidráulico
Método del Gradiente Hidráulico - Argumentos
Método del Gradiente Hidráulico - Resultados Generales
Método del Gradiente Hidráulico - Iteraciones
4. Proceso Iterativo: El caudal inicial es Q, luego se toma el caudal resultante Qnextpara cada nueva iteración cambiando de signo si algunoresultase negativo4.1 Iteración #5
El caudal para la iteración actual es:
Qac
0.155
0.062
0.053
6.461 10 3−×
0.026
0.029
0.045
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
:=
1. Obteniendo la matriz A11
Esta matriz contiene en su diagonal principal el siguiente valor:
αi Qimi 1−
⋅ βi+γiQi
+
1.1 Obteniendo el coeficiente α
α
Re4 Qaci 1,
π Di 1, ⋅ ν⋅←
fa 0.01←
fa root1
fa2 log
ks3.7 Di 1, ⋅
2.51
Re fa⋅+
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅+ fa, ⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
←
αi 1,
0.08262686 fa⋅ REDi 3, ⋅
Di 1, ( )5←
i 1 NT..∈for
α
:=
α
361.076
391.502
531.581
953.417
586.772
432.734
474.701
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Universidad Nacional San Cristóbal de HuamangaEscuela Profesional de Ingeniería Civil
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