LE SEZIONI CONICHE DI APOLLONIO E I LUOGHI GEOMETRICI DI DESCARTES SECONDA PARTE
LE SEZIONI CONICHE DI APOLLONIO E I
LUOGHI GEOMETRICI DI
DESCARTESSECONDA
PARTE
Renè Descartes (1596-1650)
Geometrie (1637)
L’obiettivo di Cartesio era quello di trovare
un linguaggio matematico per
descrivere il mondo fisico
Perché Cartesio matematizza la
visione del mondo?
L’aritmetica e l’algebra possono essere applicate
anche alla geometria
Nelle “Geometrie (1637)” Cartesio
affermava che tutti i problemi della geometria si
possono ricondurre ad un’espressione
Tentava di ricostruire la
matematica su premesse
algebriche e non geometriche
“Dovendosi ora risolvere un qualunque problema si
introducono delle denominazioni per tutte le
linee che appaiono necessarie alla costruzione.
Successivamente dalla reciproca dipendenza di
queste linee si ha un’equazione. Occorre trovare tante equazioni
quante sono le linee
incognite”
Data una ellisse, la sua conica focale è una iperbole (e viceversa) giacente in un piano perpendicolare a quello della conica data, e avente vertici e fuochi rispettivamente coincidenti con i fuochi e i vertici di questa.
Sull’argomento delle coniche focali è incentrato un teorema di Apollonio, che, nel libro I della sua opera, afferma: il luogo geometrico dei vertici dei coni rotondi che hanno una medesima ellisse come sezione, è l’iperbole focale dell’ellisse.
Inoltre, se su uno dei rami o su rami diversi dell’iperbole focale si prendono due punti fissi e distinti A e B, e sulla ellisse un punto variabile P, è facilmente dimostrabile come le distanze PA e PB abbiano sempre differenza o somma costante.
Problema delle costruzioni
indeterminate
I luoghi geometrici
Date tre rette in un piano trovare la posizione di tutti i punti da cui si possono tracciare rette che
intersecano le rette date n modo tale che il rettangolo contenuto da due delle due rette
costruite abbia un rapporto dato con il quadrato della terza retta costruita. Se le rette fissate sono
quattro allora il rettangolo contenuto da due delle due rette costruite ha un rapporto dato con
il rettangolo costruito dalle altre due.
Problema di Pappo
SE LE RETTE SONO TRE O QUATTRO IL LUOGO GEOMETRICO GENERATO
E` UNA SEZIONE DI CONO
CR . CQ = k CP2
Fissate tre rette due parallele L1 ,L2 ed una
perpendicolare L3
Luogo geometrico della PARABOLA
Il luogo geometrico è determinato da tutti i
punti Pd1d2 = ad3
EQUAZIONE CARTESIANAay = x2 – 2ax
Dati:H appartiene a L2
K appartiene a L1 (x=2a)M appartiene a y=oL2=y; L3=x ; L1:x=4PH=d1;PK=d2 PM=d3
Richiesta:d1d2=ad3
Dimostrazione:d1=d(P;H)=IxId2=d(P;K)=Ix-4I a) y=1\2x*x-2xd3=d(P;M)=IyI b) y=-1\2x*x+2xd1*d2=2d3
IxI*Ix-4I=2IyI
Il luogo geometrico dell’ IPERBOLE
Dato un piano cartesiano x;y si fissino tre rette chiamate L1, L2 e L3 in modo che:
L1 : y=0;
L2 // L1;
L3 : X=0.
Il luogo geometrico e’ determinato da tutti i punti P che verificano:
d1 * d3=a * d2
DIMOSTRAZIONE _____ d1 = d P L1 = x di P
_____ d2 = d P L2 = x di L2 – x di P
_____ d3 = d P L3 = y di P
-----------------------------------------------------------------
d1 * d3 = a * d2
| x | * | y | = a * | 2a-x | x * y = a * (2a – x) Da questa equazione si ottiene la funzione omografica di un’ iperbole con
asintotiX = 0 e y = a: y = ax - 2 a2
x
Compasso a squadre scorrevoli Costruzione di una curva di secondo
gradoI punti della curva sono ottenuti:• intersezione tra GL e KN• Rotazione antioraria di GL• GA= a; KL= b; NL= c costanti
L’equazione cartesiana della curva si ottiene ponendo:
AB= x, CB=yGA= a; KL= b; NL= c
Dai triangoli simili NKL, CBK si ha: NL:KL = CB:BK → BK= b·y /c → BL= BK- KL → BL= b·y /c -b
AL= AB +BL → AL= x + b·y /c -b
Dai triangoli simili AGL, CBL si ha:BC:BL = AG:AL → BC·AL = BL·AG
Dall’ultima uguaglianza, sostituendo: y(x + b·y /c -b) = (b·y /c -b )a
Da qui si ricava l’equazione cartesiana:y²= cy- c/bxy +cy -ac
Gli inviluppiINVILUPPI
PARABOLA
Il vertice H di una squadra FHt è vincolato a percorrere una retta r; il lato HF della squadra è costretto a passare per il punto fisso F (esterno ad r). Quando H si muove, l'altro lato t della squadra inviluppa una parabola
avente F come fuoco ed r come tangente nel proprio vertice.
Metodo della PODARIA
DimostrazioneSia r una retta assegnata ed F un punto esterno ad essa. H sia un
punto della retta r ed h la perpendicolare ad FH in H.
Dimostriamo che h inviluppa una parabola. Sia G il simmetrico di F
rispetto ad H e sia GP perpendicolare a r. Si ha PF=PG. Ma LG=VF (per la congruenza dei triangoli FVH e HLG) e quindi in
ogni posizione la distanza di G da r è costante e G giace sulla retta d parallela a r a distanza uguale a
quella di F da r. Allora P è equidistante da F e dalla retta d e quindi appartiene alla parabola di
fuoco F e direttrice d. Inoltre, essendo uguali gli angoli FPH e
HPG, h è tangente alla parabola in P.
Data la funzione y = - x, rappresentiamo il suo dominio su un asse r (origine O) e il codominio su un asse r'(origine O'; r ed r' complanari); ogni punto del dominio viene congiunto con il corrispondente nel codominio. Le rette congiungenti formano un inviluppo. Quando r ed r' sono parallele, i segmenti XY si incontrano in un punto (degenerazione della curva inviluppo), altrimenti inviluppano una parabola. Cambiando la posizione della retta r' è possibile osservare come varia la forma dell'inviluppo.
Metodo per CORRISPONDENZA
Dimostrazione
Siano x ed y’ due rette incidenti , O ed O’ due punti fissati ad ugual distanza da A (origini dei sistemi di riferimento sulla rette x e y) ed OX e O’Y due segmenti di ugual lunghezza (X e Y punti corrispondenti nella y = - x) .
Sia h l’asse del segmento XY (il punto medio H di XY giace sempre su OO’: per la dimostrazione condurre da X e Y le parallele a OO’ e applicare il teorema di Talete) e k l’asse del segmento OO’ e sia F il loro punto di intersezione. Sia X’ il simmetrico di X rispetto ad O.
Si ha : FY=FX=FX’, i triangoli FOX e FOX’ sono uguali ed FO è perpendicolare ad AO in O. La posizione di F quindi non varia e la retta passante per X e Y inviluppa una parabola (parabola inviluppo: metodo della podaria). Cambiando il sistema di riferimento sulla retta y', (nuova origine O"), osserviamo che la trasformazione che fa corrispondere al triangolo OAO’ il triangolo OAO" è una omologia affine di asse x, pertanto i segmenti XY inviluppano ancora una parabola
Metodo della POLARE
OA e OB sono due aste di ugual lunghezza nei cui estremi A e B sono incernierati i punti medi delle aste PC e PD (di ugual lunghezza) . Il punto P mediante l'asta PM è vincolato a percorrere la circonferenza di centro M passante per O. L'asta CD che rappresenta la polare di P rispetto alla circonferenza di centro O e raggio , inviluppa una parabola.
Dimostrazione
Quando P percorre la circonferenza , il suo corrispondente Q nell'inversione circolare rispetto alla circonferenza (centro O e raggio percorre la retta r, perpendicolare ad OM (proprietà della inversione circolare). Per ogni posizione di P, i punti P e Q sono allineati con O . La retta CD, essendo in ogni posizione perpendicolare a QO, è tangente ad una parabola (avente asse di simmetria coincidente con OM, vertice sulla retta r e fuoco nel punto O) di cui r è la podaria.
Ellisse – Metodo della PODARIA
Sia H un punto di una circonferenza di centro O ed F1 un punto interno alla circonferenza. HG sia la corda passante per F1 e t la sua perpendicolare in H. Dimostriamo che t inviluppa una ellisse. Sia F2 il simmetrico di F1 rispetto ad O e sia K l'ulteriore punto di intersezione della retta t con la circonferenza. K e G sono estremi di un diametro e KF2 è parallelo a GH (per simmetria rispetto ad O). Sia LF1 parallela a GK.
Sia P il punto di intersezione fra LF1 e HK. Si ha: LK=KF2 e PL=PF2 (simmetria rispetto a PK) . F1P+PF2=F1P+PL=F1L=GK=2r Quindi P appartiene all'ellisse di centro O, fuochi F1 ed F2 ed asse maggiore uguale a 2r. Inoltre poichè gli angoli HPF1 e KPF2 sono uguali, t è tangente alla ellisse in P.
DIMOSTRAZIONE:
Metodo della POLAREDIMOSTRAZIONE
Quando P percorre la circonferenza gamma1, il punto Q, corrispondente di P nell'inversione circolare, percorre una circonferenza gamma2, omotetica di gamma rispetto ad O.
Se O è interno a gamma2, è anche interno a gamma1. Per ogni posizione di Q su gamma1 , la retta CD è perpendicolare a OQ quindi è tangente ad una ellisse, di cui la circonferenza percorsa da Q è la podaria rispetto ad un fuoco (O).
Data la funzione y=1/x rappresentiamo il suo dominio su un asse r (origine O) e il suo codominio su un asse r' (origine O') parallelo ad r. Congiungiamo ogni punto del dominio con il suo corrispondente nel codominio. Le congiungenti inviluppano una ellisse. È possibile variare la distanza fra le rette r ed r' e la posizione di O' su r' per osservare come si trasforma l'ellisse inviluppo.
Metodo per CORRISPONDENZA
Siano r ed r' due rette parallele ed O e O', origini dei sistemi di riferimento, su una perpendicolare alle due rette. Sia X l'estremo di un segmento di lunghezza x e OA e AB siano due segmenti di lunghezza unitaria posti sulla OO'. Sia AZ perpendicolare ad AX e BZ parallelo ad OX. Allora BZ ha lunghezza 1/x. Il triangolo rettangolo XAZ ha altezza costante e uguale ad 1 e i segmenti ZX inviluppano la circonferenza di centro A e raggio 1. L'omologia affine di asse r, direzione dei raggi perpendicolare ad r e rapporto O'O/BO fa corrispondere al punto Z il punto Y (corrispondente di X nella y=1/x) e trasforma la circonferenza inviluppo dei segmenti XZ in una ellisse E inviluppo dei segmenti XY.Applicando ad r' una qualsiasi traslazione la curva E' inviluppata è ancora una ellisse. Infatti E ed E' si corrispondono in una omologia affine di asse r.
Dimostrazione
Iperbole - Metodo della PodariaIl vertice H di una squadra LHM (LHM angolo retto) è vincolato a percorrere una circonferenza, un lato della squadra è costretto a passare per un punto fissato nel piano ed esterno alla circonferenza. Quando H descrive la circonferenza l'altro lato HM della squadra inviluppa una iperbole avente come fuoco e asse reale uguale al diametro della circonferenza.
Dimostrazione
Metodo per la costruzione dell'inviluppo.Sia H un punto di una circonferenza di centro O ed un punto esterno alla circonferenza. HG sia la corda passante per e t la sua perpendicolare in H. Dimostriamo che t inviluppa una iperbole.
Sia il simmetrico di rispetto ad O e sia K l'ulteriore punto di intersezione della retta t con la circonferenza. K e G sono estremi di un diametro e è parallelo a GH (per simmetria rispetto ad O). Sia parallela a GK. Sia P il punto di intersezione fra e HK. Si ha:LK= PL= (simmetria rispetto a PK) . Quindi P appartiene all'iperbole di centro O, fuochi ed ed asse maggiore uguale a 2r. Inoltre poichè gli angoli e sono uguali, t è tangente alla iperbole in P.
Metodo della POLAREOA QBP è un inversore di Peaucellier, i punti A e B sono i punti medi delle aste PCe PD.Il punto P mediante l'asta PM è vincolato a percorrere la circonferenza g di centro M e di raggio r<OM. L'asta CD che rappresenta la polare di P rispetto alla ciconferenza di centro O e raggio inviluppa una iperbole.
Dimostrazione
Quando P percorre la circonferenza , il punto Q, corrispondente di P nell'inversione circolare, percorre una circonferenza , omotetica di rispetto ad O (proprietà della inversione circolare). Se O è esterno a , è anche esterno a . Per ogni posizione di Q su , la retta CD è perpendicolare a OQ quindi è tangente ad una iperbole, di cui la circonferenza percorsa da Q è la podaria rispetto ad un fuoco (O).