Universidad Cat ´ olica “Nuestra Se ˜ nora de la Asunci ´ on” Sede Regional Asunci ´ on Facultad de Ciencias y Tecnolog ´ ıa Departamento de Ingenier ´ ıa Electr ´ onica e Inform ´ atica Carrera de Ingenier ´ ıa Electr ´ onica Electr ´ onica III Ing. Marcos Lerea Mart´ ınez, Manuel <[email protected]> Ram´ ırez, Pedro <[email protected]> Rectificador trif´ asico onda completa en configuraci´ on Zig-Zag 27 de junio de 2013
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Rectificador trifasico onda completa en configuracion Zig-Zag
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Figura 1.1: Circuito Rectificador en configuracion Zig Zag con Carga Inductiva
R = 0,11Ω L =∞ VCm = 60[V ]
6 CAPITULO 1. CARGA INDUCTIVA
1.2. Formas de Onda del RectificadorDate/Time run: 06/26/13 23:01:14** Profile: "SCHEMATIC1-simu1" [ C:\Users\Manuel\_UCA\10- Decimo Semestre\Electronica 3\Orcad_Simulated\Electro...
Figura 1.4: Corriente Media, Pico y RMS en los Diodos
Corriente Pico
ID = IC = 545,45[A]
Corriente Media
IDm =1
2π
∫ 2π3
0
IDd(ωt) =1
2π
2π
3=ID3
IDm = 181,81[A]
Corriente Eficaz
IDrms =
√1
2π
∫ 2π3
0
I2Dd(ωt) =ID√
3
IDrms = 314,92[A]
Factor de Forma
FFD =IDrmsIDm
=ID3
ID√3
=√
3
10 CAPITULO 1. CARGA INDUCTIVA
Figura 1.5: Tension Inversa del Diodo Carga Inductiva
1.3.4. Tension Inversa del Diodo
VC =∣∣∣~Vz1 − ~Vz2
∣∣∣VRWD =
∣∣∣~Vz1 − ~Vz2
∣∣∣ = VC
VRWD = 62,832 [V ]
1.3.5. Tension de Fase del Zig Zag
Figura 1.6: Representacion Fasorial de Las Tensiones de Fase
VC =∣∣∣~Vz1 − ~Vz2
∣∣∣~Vz1 = Vzay
1.3 Analisis del Rectificador 11
~Vz2 = Vz [cos (30) ax − sen(30)ay] = Vz
[√3
2ax −
1
2ay
]
VC =
∣∣∣∣∣Vzay − Vz[√
3
2ax −
1
2ay
]∣∣∣∣∣ =√
3VZ
VZ =VC√
3= 36,276 [V ]
Tension Eficaz
VZrms =VZ√
2
VZrms = 25,651[V ]
Figura 1.7: Tension Pico y Eficaz de Fase Carga Inductiva
1.3.6. Tension de Lınea del Zig Zag
VLZ =∣∣∣~Vz1 − ~Vz2
∣∣∣ = VC
VLZ = 62,832[V ]
12 CAPITULO 1. CARGA INDUCTIVA
1.3.7. Corriente del Secundario
Figura 1.8: Corriente Media, Eficaz y Pico en el secundario
Corriente Pico
IS = 545,45 [A]
Corriente Media
ISm = 0 [A]
Corriente Eficaz
ISrms =
√2
2π
∫ 2π3
0
I2Sd (ωt)
ISrms == 445,538 [A]
1.3 Analisis del Rectificador 13
1.3.8. Relacion de Transformacion
Figura 1.9: Diagrama Fasorial
α = 180 − 120 − 18 = 42
Por el teorema del seno:
VZ1
sen(120)=
VS1sen(42)
=VS2′
sen(18)
VS = VZ1sen(42)
sen(120)∼= 28,029 [V ]
VS′ = VZ1sen(18)
sen(120)∼= 12,95 [V ]
n1 =VSRMS
VPRMS=
VS√2
380= 0,05216
n2 =VS′RMS
VPRMS=
VS′√2
380= 0,02404
Como en el primario hay 10.000 vueltas, se tiene que:Numero de Vueltas en el bobinado 1 = n1 ∗ 10,000 = 522Numero de Vueltas en el bobinado 2 = n2 ∗ 10,000 = 241
14 CAPITULO 1. CARGA INDUCTIVA
1.3.9. Diseno del Transformador
V1 V2 V3
N
1 2 3
1' 2' 3'
VZ1 VZ2 VZ3
Figura 1.10: Diagrama de Conecciones del Transformador
Especificaciones de parametros de diseno del transformador
La tension de servicio es de 3x380/220Vrms 50Hz.
El primario del transformador debera estar conectado en 4.
El numero de espiras del primario es de 10.000 vueltas.
Numero de vueltas de la espiras secundarias son n1 ∗ 10,000 = 522, n2 ∗10,000 = 241.
Figura 1.11: Corriente Eficaz y Pico de Fase del Primario
Corriente Eficaz
IPrms =
√√√√ 2
2π
[∫ π2
π6
I2P1d (ωt) +
∫ 5π6
π2
I2P2d (ωt) +
∫ 7π6
5π6
I2P3d (ωt)
]=
√I2P1 + I2P2 + I2P3
3
IPrms = 30,05 [A]
1.3.11. Corriente de Lınea del Primario
Figura 1.12: Corriente Eficaz y Pico de Linea del Primario
Corriente Pico
IL1 = IP1 − IP3 = 28,45− 13,113 = 15,337[A]
16 CAPITULO 1. CARGA INDUCTIVA
IL2 = IP2 + IP1 = 41,56 + 28,45 = 70,01[A]
IL3 = IP3 + IP2 = 13,113 + 41,56 = 54,673[A]
Corriente Medio
ILm = 0
Corriente Eficaz
ILrms =
√√√√ 2
2π
[∫ π2
π6
I2L1d (ωt) +
∫ 5π6
π2
I2L2d (ωt) +
∫ 7π6
5π6
I2L3d (ωt)
]=
√I2L1 + I2L2 + I2L3
3
ILrms = 47,834 [A]
1.4. Parametros de Rendimiento
1.4.1. Potencia Media
PCm = VcdIcd = VCmICm = 60 ∗ 545,45 = 32,727[KW ]
1.4.2. Potencia de Salida CA
Pca = VCrmsICrms = 60,053 ∗ 545,45 = 32,755[KW ]
1.4.3. Rendimiento
η =PcdPca
=32,727[KW ]
32,755[KW ]= 0,999145
η = 99,9145 %
1.4.4. Factor de Forma
FF =VCrmsVCm
=60,053
60= 1,00088
1.5 Serie de Fourier Inductivo 17
1.4.5. Factor de Rizo
RF =√FF 2 − 1 = 0,042
1.4.6. Factor de Utilizacion del Transformador
TUF =PCm
VSrmsISrms=
32727
3 ∗ 25,651 ∗ 445,538= 0,9545
1.4.7. Factor de Desplazamiento
EL valor del angulo φ fue hallado en la seccion Serie de Fourier Inductivo,ecuacion 1.1
DF = cos(φ) = cos(π
6) =
√3
2
1.4.8. Factor de Potencia
PF =ILFrmsILrms
cos(φ) =70,283/
√2
52,044
√3
2= 0,82698
1.4.9. Factor de Armonica
HF =
√(ILrmsILFrms
)2
− 1 =
√√√√(70,283/√
2
52,044
)2
− 1 = 0,3109
1.5. Serie de Fourier Inductivo
a = 15,337[A] b = 70,01[A] c = 54,673[A]
IL(ωt) =
a π6 6 ωt 6 π
2b π
2 6 ωt 6 5π6
c 5π6 6 ωt 6 7π
6−a 7π
6 6 ωt 6 3π2
−b 3π2 6 ωt 6 11π
6−c 11π
6 6 ωt 6 13π6
Para hallar el valor de an se tiene que
18 CAPITULO 1. CARGA INDUCTIVA
an =2
T
T∫0
IL(ωt) cos(ωt)d(ωt)
=2
2π
∫ π2
π6
a cos(ωt)d(ωt) +
∫ 5π6
π2
b cos(ωt)d(ωt) +
∫ 7π6
5π6
c cos(ωt)d(ωt)
−∫ 3π
2
7π6
a cos(ωt)d(ωt)−∫ 11π
6
3π2
b cos(ωt)d(ωt)−∫ 13π
6
11π6
a cos(ωt)d(ωt)
= − 1
nπ
(b− c)
[sen
(11nπ
6
)− sen
(5nπ
6
)]+ (a− b)
[sen
(3nπ
2
)− sen
(nπ2
)]
+csen
(13nπ
6
)− (a+ c) sen
(7nπ
6
)+ asen
(nπ6
)Para hallar el valor de a0
a0 = lımn→0
an =0
0Indeterminado
Aplicamos L’Hopital, para levantar la indeterminacion
a0 = lımn→0
−∂n
(b− c)[sen
(11nπ6
)− sen
(5nπ6
)]+ (a− b)
[sen
(3nπ2
)− sen
(nπ2
)]∂n nπ
+csen(13nπ6
)− (a+ c) sen
(7nπ6
)+ asen
(nπ6
)∂n nπ
a0 = 0
Determinamos el coeficiente a1 de la Serie
an = − 1
nπ
(b− c)
[sen
(11nπ
6
)− sen
(5nπ
6
)]+ (a− b)
[sen
(3nπ
2
)− sen
(nπ2
)]
+csen
(13nπ
6
)− (a+ c) sen
(7nπ
6
)+ asen
(nπ6
)Evaluamos para n = 1 la expresion anterior
a1 = − 1
π
(b− c)
[sen
(11π
6
)− sen
(5π
6
)]+ (a− b)
[sen
(3π
2
)− sen
(π2
)]
1.5 Serie de Fourier Inductivo 19
+csen
(13π
6
)− (a+ c) sen
(7π
6
)+ asen
(π6
)
a1 = −−a+ b+ 2c
π= −52,208
Hallamos los terminos de bn
bn =2
T
T∫0
IL(ωt)sen(ωt)d(ωt)
=2
2π
∫ π2
π6
asen(ωt)d(ωt) +
∫ 5π6
π2
bsen(ωt)d(ωt) +
∫ 7π6
5π6
csen(ωt)d(ωt)
−∫ 3π
2
7π6
asen(ωt)d(ωt)−∫ 11π
6
3π2
bsen(ωt)d(ωt)−∫ 13π
6
11π6
asen(ωt)d(ωt)
=1
nπ
(b− c)
[cos
(11nπ
6
)− cos
(5nπ
6
)]+ (a− b)
[cos
(3nπ
2
)− cos
(nπ2
)]
+c cos
(13nπ
6
)− (a+ c) cos
(7nπ
6
)+ a cos
(nπ6
)Para hallar el valor de b0
b0 = lımn→0
bn =0
0Indeterminado
Aplicamos L’Hopital, para levantar la indeterminacion
b0 = lımn→0
∣∣∣∣∣−∂n
(b− c)[cos(11nπ6
)− sen
(5nπ6
)]+ (a− b)
[sen
(3nπ2
)− sen
(nπ2
)]∂n nπ
+csen(13nπ6
)− (a+ c) sen
(7nπ6
)+ asen
(nπ6
)∂n nπ
b0 = 0
Determinamos el coeficiente b1 de la Serie
bn =1
nπ
(b− c)
[cos
(11nπ
6
)− cos
(5nπ
6
)]+ (a− b)
[cos
(3nπ
2
)− cos
(nπ2
)]
20 CAPITULO 1. CARGA INDUCTIVA
+c cos
(13nπ
6
)− (a+ c) cos
(7nπ
6
)+ a cos
(nπ6
)Evaluamos para n = 1 la expresion anterior
b1 =1
π
(b− c)
[cos
(11π
6
)− cos
(5π
6
)]+ (a− b)
[cos
(3π
2
)− cos
(π2
)]
+c cos
(13π
6
)− (a+ c) cos
(7π
6
)+ a cos
(π6
)
b1 =
√3(a+ b)
π= 47,0542
1.5.1. Analisis de La Componente Fundamental
f1 = a1cos(ωt) + b1sen(ωt) = −52,208cos(ωt) + 47,0542sen(ωt)
Definimos un angulo φnDonde f1 se puede representar como
f1 =
√a12 + b1
2∠tg−1(b1a1
)= 70,283∠− 47,972
Figura 1.13: Relacien Fasorial Tension Secundario, Primario y la Fundamental
El valor de φ viene dado por el angulo entre las componente fundamental dela corriente y la tension de entrada, por lo tanto
φ = 47,972 − 18 ∼= 30 (1.1)
1.5 Serie de Fourier Inductivo 21
Utilizando la herramienta MATLAB, se grafica la serie de Fourier para100.000 terminos, ademas de ello se grafica la primera armonica.
0 2 4 6 8 10 12 14-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
X: 2.618Y: 73.38
Corriente de Fase Primaria, Carga Altamente Inductiva
[A]
t
X: 0.5592Y: 16.07
X: 3.589Y: 57.26
X: 4.714Y: -73.18
X: 4.707Y: -16.1
X: 6.806Y: -57.39
Para n = 100000Primera Armónica
Figura 1.14: Corriente de Fase del Primario por serie de Fourier carga muyInductiva
22 CAPITULO 1. CARGA INDUCTIVA
Capıtulo 2
Carga Resistiva Pura
2.1. Especificaciones del Rectificador
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
D D
C C
B B
A A
V1 V2 V3
V1
V2
V3 0
0
Title
Size Document Number Rev
Date: Sheet of
<Doc> <RevCode>
<Title>
A
1 1Tuesday, June 25, 2013
Title
Size Document Number Rev
Date: Sheet of
<Doc> <RevCode>
<Title>
A
1 1Tuesday, June 25, 2013
Title
Size Document Number Rev
Date: Sheet of
<Doc> <RevCode>
<Title>
A
1 1Tuesday, June 25, 2013
R6
0.1
R6
0.1
V1
FREQ = 50VAMPL = 311.127VOFF = 0
AC = 0
V1
FREQ = 50VAMPL = 311.127VOFF = 0
AC = 0
LS3
272.066mH
LS3
272.066mH
LP2100HLP2100H
D4D4
D1D1
K K1
COUPLING = 1K_Linear
L1 = LP1
L2 = LS1
L3 = LS1_prima
K K1
COUPLING = 1K_Linear
L1 = LP1
L2 = LS1
L3 = LS1_prima
LS1_prima57.792mHLS1_prima57.792mH
LP3
100H
LP3
100H
V2
FREQ = 50VAMPL = 311.127VOFF = 0
AC = 0
V2
FREQ = 50VAMPL = 311.127VOFF = 0
AC = 0
D2D2
K K2
COUPLING = 1K_Linear
L1 = LP2
L2 = LS2
L3 = LS2_prima
K K2
COUPLING = 1K_Linear
L1 = LP2
L2 = LS2
L3 = LS2_prima
LS2
272.066mH
LS2
272.066mH D5D5
K K3
COUPLING = 1K_Linear
L1 = LP3
L2 = LS3
L3 = LS3_prima
K K3
COUPLING = 1K_Linear
L1 = LP3
L2 = LS3
L3 = LS3_prima
LS3_prima57.792mHLS3_prima57.792mH
V3
FREQ = 50VAMPL = 311.127VOFF = 0
AC = 0
V3
FREQ = 50VAMPL = 311.127VOFF = 0
AC = 0
LS1272.066mHLS1272.066mH
D3D3R4
0.1
R4
0.1
D6D6
LS2_prima57.792mHLS2_prima57.792mH
Rc0.11Rc0.11
R50.1R50.1
LP1
100H
LP1
100H
Figura 2.1: Circuito Rectificador en configuracion Zig Zag con Carga ResistivaPura
R = 0,11Ω L = 0 VCm = 60[V ]
24 CAPITULO 2. CARGA RESISTIVA PURA
2.2. Formas de Onda del RectificadorDate/Time run: 06/26/13 23:54:25** Profile: "SCHEMATIC1-simu1" [ C:\Users\Manuel\_UCA\10- Decimo Semestre\Electronica 3\Orcad_Simulated\Electro...
Figura 2.2: Tension Medio, Eficaz y Pico, Carga Resistiva Pura
Valor Pico
VCm =1
T
∫ T
0
v(ωt)d(ωt)
VCm =2π3
∫ π6
0
VC cos (ωt) d(ωt) =6
πVC (sen (ωt))|
π60 =
3
πVC
VC =π
3VCm = 20π ∼= 62,832 [V ]
Tension Eficaz
VCrms =
√2π3
∫ π6
0
V 2Ccos2 (ωt) d(ωt) =
√3
π[ωt+ sen (ωt) cos (ωt)]
∣∣∣∣π60
VC
VCrms = 20π
√2π + 3
√3
4π= 60,053 [V ]
2.3 Analisis del Rectificador 27
Figura 2.3: Corriente en la carga, Pico, Medio y Eficaz, Carga Resistiva Pura
2.3.2. Corriente en la Carga
Corriente Pico
IC =VCR
=20π
0,11∼= 571,2 [A]
Corriente Media
ICm =VCmR
=60
0,11∼= 545,45 [A]
Corriente Eficaz
ICrms =VCrmsR
=60,053
0,11∼= 545,94 [A]
2.3.3. Corriente en los Diodos
Corriente Pico
ID = IC ∼= 571,2 [A]
Corriente Media
IDm =1
T
∫ T
0
i(ωt)d(ωt) =4
2π
∫ π6
0
IDcos(ωt)d(ωt) =2
πID (sen (ωt))|
π60 =
IDπ
28 CAPITULO 2. CARGA RESISTIVA PURA
Figura 2.4: Corriente en los diodos, Media, Eficaz y Pico Carga Resistiva Pura
Pero el valor pico tiene relacion con la media, de la sgte. manera:
ID =π
3ICm
Finalmente se tiene que:
IDm =ICm
3∼= 181,817 [A]
Corriente Eficaz
IDrms =
√4
2π
∫ π6
0
I2Dcos2(ωt)d(ωt) =
√2
π
∫ π6
0
I2Ccos2(ωt)d(ωt) =
ICrms√3∼= 315,2 [A]
Factor de Forma
FFD =IDrmsIDm
=
ICrms√3
ICm3
∼=√
3
2.3.4. Tension Inversa del Diodo
VC =∣∣∣~Vz1 − ~Vz2
∣∣∣VRWD =
∣∣∣~Vz1 − ~Vz2
∣∣∣ = VC
VRWD = 62,832 [V ]
2.3 Analisis del Rectificador 29
Figura 2.5: Tension Inversa del Diodo Carga Resistiva Pura
2.3.5. Tension de Fase Zig Zag
Figura 2.6: Representacion Fasorial de Las Tensiones de Fase
Tension Pico
VC =∣∣∣~Vz1 − ~Vz2
∣∣∣~Vz1 = Vzay
~Vz2 = Vz [cos (30) ax − sen(30)ay] = Vz
[√3
2ax −
1
2ay
]
~Vz2 = Vz [cos (30) ax − sen(30)ay] = Vz
[√3
2ax −
1
2ay
]
30 CAPITULO 2. CARGA RESISTIVA PURA
VZ =VC√
3= 36,276 [V ]
Tension Eficaz
VZrms =
√1
2π
∫ 2π
0
VZ
2
sen2(ωt)d(ωt) =VZ√
2
Figura 2.7: Tension Pico y Eficaz de Fase Carga Resistiva Pura
2.3.6. Tension de Lınea del Zig Zag
VLZ =∣∣∣~Vz1 − ~Vz2
∣∣∣ = VC
VLZ = 62,832[V ]
2.3.7. Corriente Secundario
Corriente Pico
IS = IC = 571,2 [A]
Corriente Media
ISm = 0 [A]
2.3 Analisis del Rectificador 31
Figura 2.8: Corriente Secundario Carga Resistiva Pura
Corriente Eficaz
ISrms =
√8
2π
∫ π6
0
I2Scos2(ωt)d(ωt) =
√4
πI2S
(ωt+ sen(ωt) cos(ωt)
2
)∼= 466,376 [A]
2.3.8. Relacion de Transformacion
Figura 2.9: Diagrama Fasorial
α = 180 − 120 − 18 = 42
Por el teorema del seno:
VZ1
sen(120)=
VS1sen(42)
=VS2′
sen(18)
VS = VZ1sen(42)
sen(120)∼= 28,029 [V ]
32 CAPITULO 2. CARGA RESISTIVA PURA
VS′ = VZ1sen(18)
sen(120)∼= 12,95 [V ]
n1 =VSRMS
VPRMS=
VS√2
380= 0,05116
n2 =VS′RMS
VPRMS=
VS′√2
380= 0,02404
Como en el primario hay 10.000 vueltas, se tiene que:Numero de Vueltas en el bobinado 1 = n1 ∗ 10,000 = 522Numero de Vueltas en el bobinado 2 = n2 ∗ 10,000 = 241
Figura 2.10: Tension en los bobinados Carga Resistiva Pura
2.3 Analisis del Rectificador 33
2.3.9. Diseno del Transformador
V1 V2 V3
N
1 2 3
1' 2' 3'
VZ1 VZ2 VZ3
Figura 2.11: Diagrama de Conecciones del Transformador
Especificaciones de parametros de diseno del transformador
La tension de servicio es de 3x380/220Vrms 50Hz.
El primario del transformador debera estar conectado en 4.
El numero de espiras del primario es de 10.000 vueltas.
Numero de vueltas de la espiras secundarias son n1 ∗ 10,000 = 522, n2 ∗10,000 = 241.
Para hallar el enesimo an termino de la serie de Fourier se tiene:
an =2
2π
∫ π2
π6
a cos(ωt− π
3
)cos (nωt) d (ωt) +
∫ 5π6
π2
b cos
(ωt− 2π
3
)cos (nωt)d (ωt)
+
∫ 7π6
5π6
c cos (ωt− π) cos (nωt)d (ωt)−∫ 3π
2
7π6
a cos
(ωt− 4π
3
)cos (nωt)d (ωt)
−∫ 11π
6
3π2
b cos
(ωt− 5π
3
)cos (nωt)d (ωt)−
∫ 13π6
11π6
c cos (ωt− 2π) cos (nωt)d (ωt)
por la identidad trigonometrica
cos (α− β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β)
40 CAPITULO 2. CARGA RESISTIVA PURA
Resolviendo por partes
Termino A
A =
∫ π2
π6
a cos(ωt− π
3
)cos (nωt)d (ωt) = a
∫ π2
π6
[cos (ωt) cos
(π3
)+ sin (ωt) sin
(π3
)]cos (nωt)d (ωt)
=1
2a
∫ π2
π6
cos (ωt) cos (nωt)d (ωt) +
√3
2a
∫ π2
π6
sin (ωt) cos (nωt)d (ωt)
A =1
2a
sin [(1− n) ∗ (ωt)]
2 (1− n)+
sin [(1 + n) ∗ (ωt)]
2 (1 + n)
∣∣∣∣π2π6
+
√3
2a
−cos [(1− n) ∗ (ωt)]
2 (1− n)− cos [(1 + n) ∗ (ωt)]
2 (1 + n)
∣∣∣∣π2π6
A =1
2a
sin[(1− n) ∗ π2
]2 (1− n)
+sin[(1 + n) ∗ π2
]2 (1 + n)
−sin[(1− n) ∗ π6
]2 (1− n)
−sin[(1 + n) ∗ π6
]2 (1 + n)
−√
3
2a
cos[(1− n) ∗ π2
]2 (1− n)
+cos[(1 + n) ∗ π2
]2 (1 + n)
−cos[(1− n) ∗ π6
]2 (1− n)
−cos[(1 + n) ∗ π6
]2 (1 + n)
Termino B
B =
∫ 5π6
π2
b cos
(ωt− 2π
3
)cos (nωt)d (ωt)
= b
∫ 5π6
π2
[cos (ωt) cos
(2π
3
)+ sin (ωt) sin
(2π
3
)]cos (nωt)d (ωt)
B = −1
2b
∫ 5π6
π2
cos (ωt) cos (nωt)d (ωt) +
√3
2b
∫ 5π6
π2
sin (ωt) cos (nωt)d (ωt)
B = −1
2b
sin [(1− n) ∗ (ωt)]
2 (1− n)+
sin [(1 + n) ∗ (ωt)]
2 (1 + n)
∣∣∣∣ 5π6π2
∣∣∣∣∣+
√3
2b
−cos [(1− n) ∗ (ωt)]
2 (1− n)− cos [(1 + n) ∗ (ωt)]
2 (1 + n)
∣∣∣∣∣5π6
π2
B = −1
2b
sin[(1− n) ∗ 5π
6
]2 (1− n)
+sin[(1 + n) ∗ 5π
6
]2 (1 + n)
−sin[(1− n) ∗ π2
]2 (1− n)
−sin[(1 + n) ∗ π2
]2 (1 + n)
−√
3
2b
cos[(1− n) ∗ 5π
6
]2 (1− n)
+cos[(1 + n) ∗ 5π
6
]2 (1 + n)
−cos[(1− n) ∗ π2
]2 (1− n)
−cos[(1 + n) ∗ π2
]2 (1 + n)
2.5 Series de Fourier Resistivo 41
Termino C
C =
∫ 7π6
5π6
c cos (ωt− π) cos (nωt)d (ωt) = c
∫ 7π6
5π6
[cos (ωt) cos (π) + sin (ωt) sin (π)] cos (nωt)d (ωt)
= −c∫ 7π
6
5π6
cos (ωt) cos (nωt)d (ωt)
= −c
sin [(1− n) ∗ (ωt)]
2 (1− n)+
sin [(1 + n) ∗ (ωt)]
2 (1 + n)
∣∣∣∣ 7π65π6
C = −c
sin[(1− n) ∗ 7π
6
]2 (1− n)
+sin[(1 + n) ∗ 7π
6
]2 (1 + n)
−sin[(1− n) ∗ 5π
6
]2 (1− n)
−sin[(1 + n) ∗ 5π
6
]2 (1 + n)
Termino D
D = −∫ 3π
2
7π6
a cos
(ωt− 4π
3
)cos (nωt)d (ωt)
= −a∫ 3π
2
7π6
[cos (ωt) cos
(4π
3
)+ sin (ωt) sin
(4π
3
)]cos (nωt)d (ωt)
D = −1
2a
∫ 3π2
7π6
cos (ωt) cos (nωt)d (ωt)−√
3
2a
∫ 3π2
7π6
sin (ωt) cos (nωt)d (ωt)
D = −1
2a
sin [(1− n) ∗ (ωt)]
2 (1− n)+
sin [(1 + n) ∗ (ωt)]
2 (1 + n)
∣∣∣∣ 3π27π6
−√
3
2a
−cos [(1− n) ∗ (ωt)]
2 (1− n)− cos [(1 + n) ∗ (ωt)]
2 (1 + n)
∣∣∣∣ 3π27π6
D = −1
2a
sin[(1− n) ∗ 3π
2
]2 (1− n)
+sin[(1 + n) ∗ 3π
2
]2 (1 + n)
−sin[(1− n) ∗ 7π
6
]2 (1− n)
−sin[(1 + n) ∗ 7π
6
]2 (1 + n)
+
√3
2a
cos[(1− n) ∗ 3π
2
]2 (1− n)
+cos[(1 + n) ∗ 3π
2
]2 (1 + n)
−cos[(1− n) ∗ 7π
6
]2 (1− n)
−cos[(1 + n) ∗ 7π
6
]2 (1 + n)
Termino E
E = −∫ 11π
6
3π2
b cos
(ωt− 5π
3
)cos (nωt)d (ωt)
= −b∫ 11π
6
3π2
[cos (ωt) cos
(5π
3
)+ sin (ωt) sin
(5π
3
)]cos (nωt)d (ωt)
42 CAPITULO 2. CARGA RESISTIVA PURA
E =1
2b
∫ 11π6
3π2
cos (ωt) cos (nωt)d (ωt)−√
3
2b
∫ 11π6
3π2
sin (ωt) cos (nωt)d (ωt)
E =1
2b
sin [(1− n) ∗ (ωt)]
2 (1− n)+
sin [(1 + n) ∗ (ωt)]
2 (1 + n)
∣∣∣∣ 11π63π2
−√
3
2b
−cos [(1− n) ∗ (ωt)]
2 (1− n)− cos [(1 + n) ∗ (ωt)]
2 (1 + n)
∣∣∣∣ 11π63π2
E =1
2b
sin[(1− n) ∗ 11π
6
]2 (1− n)
+sin[(1 + n) ∗ 11π
6
]2 (1 + n)
−sin[(1− n) ∗ 3π
2
]2 (1− n)
−sin[(1 + n) ∗ 3π
2
]2 (1 + n)
+
√3
2a
cos[(1− n) ∗ 11π
6
]2 (1− n)
+cos[(1 + n) ∗ 11π
6
]2 (1 + n)
−cos[(1− n) ∗ 3π
2
]2 (1− n)
−cos[(1 + n) ∗ 3π
2
]2 (1 + n)
Termino F
F = −∫ 13π
6
11π6
c cos (ωt− 2π) cos (nωt)d (ωt)
= −c∫ 13π
6
11π6
[cos (ωt) cos (2π) + sin (ωt) sin (2π)] cos (nωt)d (ωt)
F = −c∫ 13π
6
11π6
cos (ωt) cos (nωt)d (ωt)
F = −c
sin [(1− n) ∗ (ωt)]
2 (1− n)+
sin [(1 + n) ∗ (ωt)]
2 (1 + n)
∣∣∣∣ 13π611π6
F = −c
sin[(1− n) ∗ 13π
6
]2 (1− n)
+sin[(1 + n) ∗ 13π
6
]2 (1 + n)
−sin[(1− n) ∗ 11π
6
]2 (1− n)
−sin[(1 + n) ∗ 11π
6
]2 (1 + n)
Por lo tanto, se tiene finalmente que
an = A+B + C +D + E + F
2.5 Series de Fourier Resistivo 43
Hallamos el termino b0
n = 0
Pero se tiene que sin (0) = 0
b0 = 0
Hallamos el termino b1
n = 1
b1 =2
2π
∫ π2
π6
a cos(ωt− π
3
)sen (ωt) d (ωt) +
∫ 5π6
π2
b cos
(ωt− 2π
3
)sen (ωt)d (ωt)
+
∫ 7π6
5π6
c cos (ωt− π) sen (ωt)d (ωt)−∫ 3π
2
7π6
a cos
(ωt− 4π
3
)sen (ωt)d (ωt)
−∫ 11π
6
3π2
b cos
(ωt− 5π
3
)sen (ωt)d (ωt)−
∫ 13π6
11π6
c cos (ωt− 2π) sen (ωt)d (ωt)
b1 =1
π
a
∫ π2
π6
[1
2cos (ωt) +
√3
2s en (ωt)
]sen (ωt) d (ωt) + b
∫ 5π6
π2
[−1
2cos (ωt) +
√3
2s en (ωt)
]sen (ωt)d (ωt)
−c∫ 7π
6
5π6
cos (ωt) sen (ωt)d (ωt)−a∫ 3π
2
7π6
[−1
2cos (ωt)−
√3
2s en (ωt)
]sen (ωt) d (ωt)
−b∫ 11π
6
3π2
[1
2cos (ωt)−
√3
2s en (ωt)
]sen (ωt) d (ωt)− c
∫ 13π6
11π6
cos (ωt)sen (ωt) d (ωt)
=1
π[0,82845a+ 0,82845b− 0c+ 0,82845a+ 0,82845b− 0c]
=1,6569
π(a+ b) =
1,6569
π(16,062 + 73,319)
b1 = 47,1402
44 CAPITULO 2. CARGA RESISTIVA PURA
Hallamos el termino enesimo bn
bn =2
2π
∫ π2
π6
a cos(ωt− π
3
)sen (nωt) d (ωt) +
∫ 5π6
π2
b cos
(ωt− 2π
3
)sen (nωt)d (ωt)
+
∫ 7π6
5π6
c cos (ωt− π) sen (nωt)d (ωt)−∫ 3π
2
7π6
a cos
(ωt− 4π
3
)sen (nωt)d (ωt)
−∫ 11π
6
3π2
b cos
(ωt− 5π
3
)sen (nωt)d (ωt)−
∫ 13π6
11π6
c cos (ωt− 2π) sen (nωt)d (ωt)
por la identidad trigonometrica
cos (α− β) = cos (α) cos (β) + s en (α) s en (β)
Resolviendo por partes, se tiene
Termino A
A =
∫ π2
π6
a cos(ωt− π
3
)sen (nωt)d (ωt) = a
∫ π2
π6
[cos (ωt) cos
(π3
)+ sin (ωt) sin
(π3
)]sen (nωt)d (ωt)
A =1
2a
∫ π2
π6
cos (ωt) sen (nωt)d (ωt) +
√3
2a
∫ π2
π6
s en (ωt) sen (nωt)d (ωt)
A = −1
2a
cos [(n− 1) (ωt)]
2 (n− 1)+
cos [(n+ 1) (ωt)]
2 (n+ 1)
∣∣∣∣π2π6
+
√3
2a
sen [(n− 1) (ωt)]
2 (n− 1)− sen [(n+ 1) (ωt)]
2 (n+ 1)
∣∣∣∣π2π6
A = −1
2a
cos[(n− 1) π2
]2 (n− 1)
+cos[(n+ 1) π2
]2 (n+ 1)
−cos[(n− 1) π6
]2 (n− 1)
−cos[(n+ 1) π6
]2 (n+ 1)
+
√3
2a
sen
[(n− 1) π2
]2 (n− 1)
−sen
[(n+ 1) π2
]2 (n+ 1)
−sen
[(n− 1) π6
]2 (n− 1)
+sen
[(n+ 1) π6
]2 (n+ 1)
2.5 Series de Fourier Resistivo 45
Termino B
B =
∫ 5π6
π2
b cos
(ωt− 2π
3
)sen (nωt)d (ωt)
= b
∫ 5π6
π2
[cos (ωt) cos
(2π
3
)+ s en (ωt) sin
(2π
3
)]sen (nωt)d (ωt)
B = −1
2b
∫ 5π6
π2
cos (ωt) sen (nωt)d (ωt) +
√3
2b
∫ 5π6
π2
s en (ωt) sen (nωt)d (ωt)
B =1
2b
cos [(n− 1) (ωt)]
2 (n− 1)+
cos [(n+ 1) (ωt)]
2 (n+ 1)
∣∣∣∣ 5π6π2
∣∣∣∣∣+
√3
2b
sen [(n− 1) (ωt)]
2 (n− 1)− sen [(n+ 1) (ωt)]
2 (n+ 1)
∣∣∣∣∣5π6
π2
B =1
2b
cos[(n− 1) 5π
6
]2 (n− 1)
+cos[(n+ 1) 5π
6
]2 (n+ 1)
−cos[(n− 1) π2
]2 (n− 1)
−cos[(n+ 1) π2
]2 (n+ 1)
+
√3
2b
sen
[(n− 1) 5π
6
]2 (n− 1)
−sen
[(n+ 1) 5π
6
]2 (n+ 1)
−sen
[(n− 1) π2
]2 (n− 1)
+sen
[(n+ 1) π2
]2 (n+ 1)
Termino C
C =
∫ 7π6
5π6
c cos (ωt− π) sen (nωt)d (ωt)
= c
∫ 7π6
5π6
[cos (ωt) cos (π) + s en (ωt) s en (π)] sen (nωt)d (ωt)
C = −c∫ 7π
6
5π6
cos (ωt) sen (nωt)d (ωt)
C = c
cos [(n− 1) (ωt)]
2 (n− 1)+
cos [(n+ 1) (ωt)]
2 (n+ 1)
∣∣∣∣ 7π65π6
C = c
cos[(n− 1) 7π
6
]2 (n− 1)
+cos[(n+ 1) 7π
6
]2 (n+ 1)
−cos[(n− 1) 5π
6
]2 (n− 1)
−cos[(n+ 1) 5π
6
]2 (n+ 1)
46 CAPITULO 2. CARGA RESISTIVA PURA
Termino D
D = −∫ 3π
2
7π6
a cos
(ωt− 4π
3
)sen (nωt)d (ωt)
= −a∫ 3π
2
7π6
[cos (ωt) cos
(4π
3
)+ s en (ωt) s en
(4π
3
)]sen (nωt)d (ωt)
D = −1
2a
∫ 3π2
7π6
cos (ωt) sen (nωt)d (ωt)−√
3
2a
∫ 3π2
7π6
s en (ωt) sen (nωt)d (ωt)
D =1
2a
cos [(n− 1) (ωt)]
2 (n− 1)+
cos [(n+ 1) (ωt)]
2 (n+ 1)
∣∣∣∣ 3π27π6
−√
3
2a
sen [(n− 1) (ωt)]
2 (n− 1)− sen [(n+ 1) (ωt)]
2 (n+ 1)
∣∣∣∣ 3π27π6
D =1
2a
cos[(n− 1) 3π
2
]2 (n− 1)
+cos[(n+ 1) 3π
2
]2 (n+ 1)
−cos[(n− 1) 7π
6
]2 (n− 1)
−cos[(n+ 1) 7π
6
]2 (n+ 1)
−√
3
2a
sen
[(n− 1) 3π
2
]2 (n− 1)
−sen
[(n+ 1) 3π
2
]2 (n+ 1)
−sen
[(n− 1) 7π
6
]2 (n− 1)
+sen
[(n+ 1) 7π
6
]2 (n+ 1)
Termino E
E = −∫ 11π
6
3π2
b cos
(ωt− 5π
3
)sen (nωt)d (ωt)
= −b∫ 11π
6
3π2
[cos (ωt) cos
(5π
3
)+ s en (ωt) s en
(5π
3
)]sen (nωt)d (ωt)
E =1
2b
∫ 11π6
3π2
cos (ωt) sen (nωt)d (ωt)−√
3
2b
∫ 11π6
3π2
s en (ωt) sen (nωt)d (ωt)
E = −1
2b
cos [(n− 1) (ωt)]
2 (n− 1)+
cos [(n+ 1) (ωt)]
2 (n+ 1)
∣∣∣∣ 11π63π2
−√
3
2b
sen [(n− 1) (ωt)]
2 (n− 1)− sen [(n+ 1) (ωt)]
2 (n+ 1)
∣∣∣∣ 11π63π2
E = −1
2b
cos[(n− 1) 11π
6
]2 (n− 1)
+cos[(n+ 1) 11π
6
]2 (n+ 1)
−cos[(n− 1) 3π
2
]2 (n− 1)
−cos[(n+ 1) 3π
2
]2 (n+ 1)
−√
3
2a
sen
[(n− 1) 11π
6
]2 (n− 1)
−sen
[(n+ 1) 11π
6
]2 (n+ 1)
−sen
[(n− 1) 3π
2
]2 (n− 1)
+sen
[(n+ 1) 3π
2
]2 (n+ 1)
2.5 Series de Fourier Resistivo 47
Termino F
F = −∫ 13π
6
11π6
c cos (ωt− 2π) sen (nωt)d (ωt)
= −c∫ 13π
6
11π6
[cos (ωt) cos (2π) + s en (ωt) s en (2π)] sen (nωt)d (ωt)
F = −c∫ 13π
6
11π6
cos (ωt) sen (nωt)d (ωt)
F = c
cos [(n− 1) (ωt)]
2 (n− 1)+
cos [(n+ 1) (ωt)]
2 (n+ 1)
∣∣∣∣ 13π611π6
F = c
cos[(n− 1) 13π
6
]2 (n− 1)
+cos[(n+ 1) 13π
6
]2 (n+ 1)
−cos[(n− 1) 11π
6
]2 (n− 1)
−cos[(n+ 1) 11π
6
]2 (n+ 1)
Por lo tanto, se tiene finalmente que
bn = A+B + C +D + E + F
48 CAPITULO 2. CARGA RESISTIVA PURA
2.5.1. Analisis de La Componente Fundamental
f1 = a1cos(ωt) + b1sen(ωt) = −52,304cos(ωt) + 47,1402sen(ωt)
Definimos un angulo φnDonde f1 se puede representar como
f1 =
√a12 + b1
2∠tg−1(b1a1
)= 70,412∠− 47,972
Figura 2.14: Relacien Fasorial Tension Secundario, Primario y la Fundamental
El valor de φ viene dado por el angulo entre las componente fundamental dela corriente y la tension de entrada, por lo tanto
Utilizando la Herramienta Matlab, se tiene que la grafica de la Serie deFourier para 25.000 terminos
φ = 47,972 − 18 ∼= 30 (2.1)
2.5 Series de Fourier Resistivo 49
0 2 4 6 8 10 12 14-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
X: 1.012Y: 16.05
Corriente de Fase Primaria, Carga Resistiva Pura
t
[A]
X: 2.094Y: 73.32
X: 4.205Y: -15.77
X: 3.138Y: 57.26
X: 5.236Y: -73.32
X: 6.342Y: -57.16
Para n = 25000Primera Armónica
Figura 2.15: Corriente de Fase Primaria por Serie de Fourier carga Resistivapura
50 CAPITULO 2. CARGA RESISTIVA PURA
Capıtulo 3
Seleccion de Componentes
3.1. Seleccion de los Diodos Rectificadores
Por una parte, tenemos que:
IDm = 181,817[A]
VDRWM = 62,832[V ]
A partir de estos datos, realizamos el analisis correspondiente para la selec-cion del diodo
IDsel = 1,2IDm ≈ 218,18[A]
Como la corriente es muy grande, decidimos colocar 3 diodos en paralelo, detal forma que:
IDsel =218,18
3= 72,72[A]
VRRM = 2,2VDRWM ≈ 139[V ]
Con estos datos, encontramos en el manual de diodos que el BYX32/600cumple con los requisitos ya que soporta una corriente max. de 150[A] y unvoltaje pico en reversa de 600[V ]
52 CAPITULO 3. SELECCION DE COMPONENTES
3.2. Diseno de la Proteccion contra Cortocir-cuito
Para el diseno de la proteccion es necesario cumplir con cuatro verificaciones,pero antes vamos a la seleccion del fusible
3.2.1. Seleccion del Fusible
IFrms =IDrms
3=
315,2
3= 105,066[A]
IFsel = 1,1IFrms ≈ 116[A]
Del manual de fusible, vemos que el fusible que satisface con estas condicioneses el SF13X100.
Luego procedemos a las verificaciones.
3.2.2. Primera Verificacion
La corriente IFrms debe ser menor que la corriente eficaz a temperatura deambiente (consideramos temp. de ambiente 50C).
Figura 3.1: Primera Verificacion
3.2 Diseno de la Proteccion contra Cortocircuito 53
De la figura 3.1, vemos que:
IFrms < IRMS
116[A] < 130[A]
Por lo cual se cumple la primera verificacion
3.2.3. Segunda Verificacion
La corriente IFSM del diodo debe ser mayor que la corriente en cortocircuitodel fusible ISC .
La corriente en cortocircuito del fusible es un valor estadıstico y se consideraigual a:
ISC = 20IFrms ≈ 2102
Figura 3.2: Segunda Verificacion
De la figura 3.2, vemos que para un ISC dado se tiene:
IF < IFRSM
54 CAPITULO 3. SELECCION DE COMPONENTES
1550[A] < 1600[A]
por lo que se cumple la segunda verificacion
3.2.4. Tercera Verificacion
Figura 3.3: Tercera Verificacion
Se cumple ya que V oltajedeArco < VRSM
3.2.5. Quarta Verificacion
Antes de analizar la grafica, volvemos al manual de diodo y vemos de lagrafica los valores correspondientes para los instantes 1,5[ms],2[ms] y 1,5[ms]
tenemos que:
I2t = 21002 · 1,5 · 10−3 = 6615[A2s]
I2t = 19002 · 2 · 10−3 = 7220[A2s]
I2t = 14002 · 5 · 10−3 = 9800[A2s]
3.2 Diseno de la Proteccion contra Cortocircuito 55
Al trazar la lınea que cruza por estos puntos vemos que el fusible proteje entodos estos instantes, ya que se encuentra por debajo de dicha lınea como seobserva en la grafica 3.4, verificando ası el ultimo paso.
Figura 3.4: Quarta Verificacion
56 CAPITULO 3. SELECCION DE COMPONENTES
3.3. Diseno de la Proteccion Termica
Para el diseno de proteccion terminca, tenemos los siguientes datos:
IDm = 181,817[A] IDrms = 315,2[A] FFD ≈√
3
Como utilizamos 3 diodos en paralelo
IFm =IDm
3= 60,605[A]
Observamos en la figura 3.3 que a 60,6[A], disipa 80[W ] y la resistencia entreel ambiente el montaje es:
RTHmb−a = 1,2C
RTHmb−h = 0,1C
Como:
RTHmb−a = RTHmb−h +RTHh−a
RTHh−a = 1,1C
3.3 Diseno de la Proteccion Termica 57
A partir de la figura, podemos obtener que el disipador debe medir aproxi-madamente 11cm.
58 CAPITULO 3. SELECCION DE COMPONENTES
Bibliografıa
[1] Electronica de Potencia Circuitos, Dispositivos y Aplicaciones, Ed. PrenticeHall, Rashid, Tercera Edicion 2004.
[2] Circuitos Electricos, Ed. Shaum, Joseph A. Edminister, Tercera Edicion.
[3] Semiconductor Fuse Product Datasheets, International Rectifier.