RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ESPECIALES MATERIA SEGÚN HORARIO DE CLASE 20/04/2020 De las funciones o razones trigonométricas se tiene su inverso. Del seno es cosecante (csc) Del coseno es secante (sec) De la tangente es cotangente (cot) ∝ = ℎ = ℎ ∝ = ℎ sec = ℎ ∝ = cot = RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS DE 30, 45 Y 60 GRADOS. Existen tres ángulos cuyas razones trigonométricas se pueden hallar a partir de construcciones geométricas. RAZONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO DE 60° y 30° 1) Si consideramos un triángulo equilátero donde los ángulos internos valen 60 grados cada uno, la medida de sus lados es 1. 2) Trazamos su altura que lo divide en dos triangulo rectángulos, de los cuales tomo uno de ellos y tenemos dos ángulos, uno de 30 y otro de 60 grados. Hallamos el cateto faltante, utilizando Teorema de Pitágoras. = √ ℎ 2 − 2 60° 60° 60° 1 1 1 30° 60° 60° 1 1 1 30° 60° 30° 1 1 2
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RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ......RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS DE 30, 45 Y 60 GRADOS. Existen tres ángulos cuyas razones trigonométricas se pueden hallar a partir
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RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ESPECIALES
MATERIA SEGÚN HORARIO DE CLASE 20/04/2020
De las funciones o razones trigonométricas se tiene su inverso.
Del seno es cosecante (csc)
Del coseno es secante (sec)
De la tangente es cotangente (cot)
𝑠𝑒𝑛 ∝ = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑜𝑠 ∝ = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 sec 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑡𝑎𝑛 ∝ = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 cot 𝛼 =
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS DE 30, 45 Y 60 GRADOS.
Existen tres ángulos cuyas razones trigonométricas se pueden hallar a partir de construcciones
geométricas.
RAZONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO DE 60° y 30°
1) Si consideramos un triángulo equilátero donde los ángulos internos valen 60 grados cada uno, la medida
de sus lados es 1.
2) Trazamos su altura que lo divide en dos triangulo rectángulos, de los cuales tomo uno de ellos y
tenemos dos ángulos, uno de 30 y otro de 60 grados.
Hallamos el cateto faltante, utilizando Teorema de Pitágoras.
𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2
60°
60° 60°
1
1
1
30°
60° 60°
1
1
1
30°
60°
30°
1
1
2
𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2 = √12 − (1
2)
2
= √1 −1
4= √
4 − 1
4= √
3
4=
√3
2
Hallamos las Razones trigonométricas del ángulo de 60°, 30°
𝑠𝑒𝑛 60° =
√321
=√3
2// cos 60° =
121
=1
2// tan 60° =
√3212
= √3 //
𝑠𝑒𝑛 30° =
121
=1
2 // cos 30° =
√321
=√3
2 // tan 30° =
12
√32
=1
√3=
√3
3 //
RAZONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO DE 45°
1) Si consideramos un cuadrado y la medida de sus lados es 1
2) Trazamos una diagonal, que dividirá al ángulo de 90° en dos de 45°.
60°
30°
1
1
2
√3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
45° 45°
45° 45°
Hallamos el valor de la hipotenusa mediante teorema de Pitágoras
ℎ = √𝑐2 + 𝑐2 = √12 + 12 = √2
Hallamos las razones trigonométricas del ángulo de 45°
𝑠𝑒𝑛 45° =1
√2=
√2
2// cos 45° =
1
√2=
√2
2// tan 45° =
1
1= 1 //
A continuación tenemos una tabla con las razones trigonométricas de otros ángulos que se utiliza.
Si se requiere hallar el valor de un ángulo, una vez hallada cualquier razón trigonométrica, aplicamos
“ArcSen” o Sen-1, “ArcCos” o Cos-1, “ArcTan” o Tan-1 que lo encontramos en la calculadora y se vio en noveno
año.
1
1
45°
45°
1
1
45°
45°
√2
Ejercicio:
Calcular la altura del triángulo de la figura, el valor de cada ángulo, si se sabe que uno de los ángulos
agudos mide el doble que el otro.
Solución:
Hallamos el valor de los ángulos
Se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.
α + 2α + 90° = 180°
3α = 180° - 90°
𝛼 = 90°
3 𝛼 = 30° //
2α = 2 . 30° 2α = 60° //
Para hallar el valor “h” altura usamos la razón trigonométrica.
𝑇𝑎𝑛 30° =ℎ
5,5
Despejamos la incógnita h
h = Tan 30° . 5,5 h = 3,17
Ejercicio:
Determine la medida de la altura del triangulo ABC de la Figura.
Solución:
Utilizamos la razón trigonométrica
α
2α
5,5
h
5,5
h
30°
60°
𝐶𝑜𝑠 60° =ℎ
18
Despejamos la incógnita “h”
De la tabla tenemos que Cos 60° = 1/2
h = 18 . Cos 60° ℎ = 18 .1
2 ℎ = 9 𝑐𝑚 //
Ejercicio:
Conteste las siguientes preguntas.
Si el 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = √3
2 , ¿cuál es la medida del ángulo α?
Solución:
De la tabla sabemos que
𝑆𝑒𝑛 √3
2 = 60°
α = 60° //
Ejercicio:
Conteste las siguientes preguntas.
Si el 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 1
2 , ¿cuál es la medida del ángulo α?
Solución:
De la tabla sabemos que
𝑆𝑒𝑛 1
2 = 30°
α = 30° //
NOTA:
Angulo de elevación-. Es aquel ángulo que se forma hacia arriba, tomando como base la línea horizontal
Angulo de depresión.- Es aquel ángulo que se forma hacia abajo, tomando como base la línea horizontal.
Ejercicio:
Un faro de 45 m de altura ilumina un barco con un rayo de luz que forma un ángulo de 30° con la
horizontal. a) ¿A qué distancia se encuentra el barco del faro? b) Hallar el valor del angulo “x”
Solución:
Se ha formado un triangulo rectángulo.
Cuando una línea corta a dos rectas paralelas, los ángulo internos alternos son iguales, por lo tanto el
ángulo x = 30° (Materia vista en 9no año).
Utilizamos la razón trigonométrica tan para determinar la distancia del barco al faro.
tan 30° = 45
𝑥 𝑥 =
45
tan 30° 𝑥 = 77,94 𝑚 //
El barco se encuentra a 77,94 m del faro.
Ejercicio:
Calcula la medida de los ángulos faltantes del triángulo de la figura.
45 m
30°
x
Solución:
Hallamos el valor del ángulo α
tan ∝ = 𝑚
𝑚= 1 𝑡𝑎𝑛−1(1) = 45° ∝ = 45° //
Hallamos el valor del ángulo β
tan 𝛽 = 𝑚
𝑚= 1 𝑡𝑎𝑛−1(1) = 45° 𝛽 = 45° //
Ejercicio:
Calcular la altura del triángulo de la figura, si se sabe que uno de los ángulos agudos mide el doble que el
otro, se procede como sigue.
90 + α + 2α=180
90 + 3α = 180 3α = 180 – 90 α=30°
tan 30° = ℎ
5,5 ℎ = tan 30° . 5,5 ℎ = 3,17 //
Ejercicio:
Hallar la siguiente operación.
Sen 30° + Cos 60° =
Según la tabla hallada de razones trigonométricas tenemos
𝑆𝑒𝑛 30° = 1
2 𝑦 𝐶𝑜𝑠 60° =
1
2
Sen 30° + Cos 60° =
Sen 30° + Cos 60° = 1
2+
1
2=
1+1
2= 1 //
α
2α
5,5
h
α β
Ejercicio:
Realice la siguiente operación.
Tan 30° . tan 60° . tan 45°=√3
3 . √3 . 1 =
√9
3 . 1 =
3
3 . 1 = 1 . 1 = 1
Solución:
Tan 30° . tan 60° . tan 45°= √3
3 . √3 . 1 =
√9
3 . 1 =
3
3 . 1 = 1 . 1 = 1 //
Ejercicio:
Realice la siguiente operación.
*Sen 45° + 1/2Cos 45°
Solución:
𝑠𝑒𝑛 45° + 1
2cos 45° =
√2
2+
1
2 .
√2
2 =
√2
2 +
√2
4 =
2√2 + √2
4=
3√2
4 //
Ejercicio:
Realice la siguiente operación:
*3Cos 60° - 2 Sen 30°
Solución:
3 𝐶𝑜𝑠 60° − 2 𝑠𝑒𝑛 30° = 3 .1
2− 2 .
1
2=
3
2−
2
2=
1
2 //
Ejercicio:
DETERMINAR:
𝑠𝑒𝑐245° − 𝑡𝑔 30°
√𝑐𝑡𝑔 53°
Solución:
𝑠𝑒𝑐245° − 𝑡𝑔 30°
√𝑐𝑜𝑡 53°=
(√2)2
−√33
√34
=2 −
√33
√32
=
6 − √33
√32
=2(6 − √3)
3√3
2(6 − √3)
3√3 .
√3
√3=
12√3 − 2√9
3.3=
12√3 − 6
9=
4√3 − 2
3 //
Ejercicio:
Calcula el valor de cada expresión sin utilizar calculadora pero si la tabla de ángulos.
a) Sen 45° + sen 60°
Solución:
√2
2+
√3
2=
√2 + √3
2
b) tan30° . tan 60° . tan 45° sin utilizar calculadora
√3
3 . √3 . 1 =
√32
3=
3
3= 1 //
𝑐) 𝑡𝑎𝑛30° + 𝑡𝑎𝑛60°
1 + 𝑡𝑎𝑛30°. 𝑡𝑎𝑛60°
Sin utilizar calculadora
√33
+ √3
1 +√33
. √3
=
√3 + 3√33
3 + √32
3
=
4√3363
=12√3
18=
4√3
6=
2√3
3
Ejercicio:
Hallar el valor del ángulo que se pide sin utilizar calculadora.
a) Si el sen α = √3
2, ¿ 𝐶𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ∝?
Solución:
sen α = √3
2 corresponde al angulo de 60° //
a) Si el sen α = 1
2, ¿ 𝐶𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ∝?
Solución:
sen α = 1
2 corresponde al angulo de 30° //
COLEGIO GONZALO CORDERO CRESPO
CIENCIAS EXACTAS “MATEMÁTICA”
EJERCICIOS RESUELTOS
TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES
Pasar o imprimir cuando le sea posible y pegar en el cuaderno de materia, son para autoestudio.