Raz. matematico

01 02

P = a% de N

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO3er Año Secundaria

REGLA DEL

TANTO POR CIENTO (%)

Es el número de centésimas partes de una cantidad.

Ejemplo:

De 100 personas que viajan en un ómnibus; 40 son blancos.

Luego :

40 por cada 100 personas son blancas40 por cada ciento de personas son blancas40 por ciento de personas son blancas40 % del N° de personas son blancas

(N° personas son blancas)

En general: 100 < > N a < > P

de donde: P =

P = El “a” por ciento de “N”

a% : tanto por cientoN : cantidadP : porcentaje

Ejemplos:

El 28% de 50 =

El 15% de 60 =

El 25% de 40 =

Gráficamente:

En general:

A) Conversión de tanto por ciento a fracción o decimal

1% =

2% =

15% =

40% =

60% =

80% =

120% =

200% =

0,6% =

EQUIVALENTES NOTABLES:

100% = 1 (total)

75% = (tres cuartas partes)

50% = (mitad)

25% = (cuarta parte)

20% = (quinta parte)

10% = (décima parte)

200% = 2 (doble)

Luego :

“Toda cantidad representa el 100% de sí misma”

B) Conversión de fracción o decimal a tanto por ciento

0,06 = 0,06 x 100% = 6%

5 = 5 x 100% = 500%

OPERACIONES CON PORCENTAJE:

20% a + 50% a = 70% a

80% b - 60% b = 20% b

a + 20% a = 120% a

b - 35% b = 65% b

3(20% a) = (3 x 20)% a = 60% a

20% (a + b) = 20% a + 20% b

80% b 20% b =

60% a 2 = (60 2)% a = 30% a

PROBLEMAS RESUELTOS

01. ¿Cuál es el 20% de 400?

Solución: (+) (-) 400 - 100 % x - 20 %

x =

S3RM31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...” S3RM31B “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

I BIMESTRE

R.T.D.

a % =

100 % a = a

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO3er Año Secundaria

A toda cantidad menor que la referencial le corresponde un porcentaje inferior al 100%.

02. Hallar el 10% de 240.

Solución:

Una cantidad cuando no sufre ninguna variación esta representada por su 100%, según el ejercicio.240 es el 100%, entonces formando una regla de tres:

100% ......... 240 10% ......... x

De donde:

x = (240 x 10)/100 = 24

03. Hallar el 12% de 50.

Solución:

50 .......... 100% x ........... 12%

De donde: x = ( 50 x 12)/100 = 6

04. Hallar el 16 2/3% de 42. Solución:

42 ........... 100% x ........... 16 2/3%

De donde:x = (42)(50/3)/100

x = ( 42 x 50/3)/100x = 7

05. Calcular el 25% del 4% de 300 veces 1,333...

Solución:

= x x 300 x

= x x 300 x

= x = 3 x = 4.

06. Calcular el % de los del triple

de 120Solución:

= x x 3 x 120 = = .

Hallar un número cuando se conoce un tanto por ciento de él.

07. De qué número es 40 el 25%?.

Solución:

Asumimos que el número es x, luego el 100% de ese número es x, y según la pregunta su 25% es 40. Entonces formamos la regla de tres:

25% ......... 40100% ......... x

x = (100% x 40)/25% = 160.

08. ¿De qué cantidad es 378 su 45%?

Solución:

378 ......... 45 % x ......... 100 %

x =

09. De que número es 75 el 20%?.

Solución:

20% ........ 75100% ........ x

x = (100% x 75)/20% = 375.

10. De que número es 200 el 12,5%?.

Solución:12,5% .......… 200100% ……... x

x = (100% x 200)/12,5% = 1600Dados dos números, averiguar que tanto por ciento es uno del otro.

11. Qué porcentaje es 75 de 1250?.

Solución:

Asumimos, que x es el porcentaje buscado. Luego: 1250 esta representado por el 100% y 75 por el x %.Formando la regla de tres

correspondiente:

1250 ...…… 100% 75 ……... x %

x = (75 x 100%)/1250 = 6%.

12. Qué porcentaje de 512 es 0,64?.

Solución;

512 ....…… 100% 0,64 ........... x %

x =

%

13. Qué porcentaje es la mitad de los tres cuartos de 800, de 2400?.

Solución:2400 .......… 100%

. . 800 .......… x %

x =

12,5%.14. ¿Qué porcentaje es 695 de 480?

Solución:

480 ........ 100 % 695 ........ x %

x =

Si la cantidad referencial se descompone en otras varias, entonces la suma de los porcentajes correspondientes a las partes deberá ser siempre 100%.

15. Un futbolista dispara 17 penales, acertando todos ellos. ¿Cuántos debe tirar luego, fallando, para tener una eficiencia del 85%?

Solución: 100 % = 85 % + 15 %

17 ......... 85 % x ......... 15 %

x = 3 tiros

Decir por ejemplo el 72% equivale a:



Recordar que, en los negocios:

Precio Venta (PV) = Precio de compra(PC) + Ganancia (G)

PV = PC + G

PRACTICA DE CLASE

Hallar :

01. El 33 1/3% de 100.

a) 32 b) 40% c) 25%d) 33 1/3 e) 35%

02. ¿El 10% de que número es 32?.

a) 320 b) 310 c) 420d) 240 e) 150


a) 1200 b) 1400 c) 1120d) 2470 e) 1536


a) 677 b) 108 c) 320d) 249 e) 600

05. ¿De qué número es 48 el 3 1/5%?.

a) 2200 b) 1040 c) 1200d) 1324 e) 1500


a) 1234 b) 1345 c) 1220d) 1600 e) 1500

07. ¿De qué número es 20 el 10% de 25%?.

a) 200 b) 810 c) 800

d) 624 e) 715

08. ¿De qué número es 70 el 3 ½%?

a) 2000 b) 1000 c) 2010d) 2400 e) 1500

09. ¿De qué número es 150 el 7 ½%?.

a) 2120 b) 1070 c) 2000d) 1240 e) 1450

10. ¿El 20% del 25% de 500 de qué número es 400?.

a) 12 b) 10 c) 20d) 24 e) 16

11. ¿De qué número es el 25% de 6000, el 10%?.

a) 15000 b) 10000 c) 20000d) 12400 e) 15890

12. ¿Qué porcentaje de 95 es 30,4?

a) 32% b) 10% c) 20%d) 24% e) 45%

13. ¿Qué porcentaje de 1320 es 3.3?

a) 2,5% b) 0,25% c) 2%d) 2,4% e) 25%

14. ¿Qué porcentaje de 1950 es 156?

a) 2% b) 1% c) 12%d) 8% e) 5%

15.¿La mitad de los 2/5 de 2400, qué porcentaje es de los ¾ de 3600?

a) 22% b) 17.78% c) 20%d) 14% e) 15%

16. ¿Los 3/5 de los 4/3 de 800,qué porcentaje es del 20% de la mitad de 100 000?

a) 2,8% b) 7,0% c) 6,4%d) 2,5% e) 6,5%


a) 0,2% b) 0,10% c) 2%d) 0,24% e) 0,25%

18. ¿Qué porcentaje de los ¾ del 60% de 400,es la mitad de 60?.

a) 21% b) 10,67% c) 16,67%d) 24% e) 15%

19. ¿La mitad de uno qué porcentaje es del doble de uno?.

a) 25% b) 10% c) 20%d) 24% e) 15%

20. ¿En una canasta tenia 240 manzanas he comido 60 manzanas, que porcentaje me sobra?

a) 52% b) 75% c) 12%d) 24% e) 65%

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01

Hallar :

01. El 20% de 900.

a) 210 b) 180 c) 200d) 240 e) 150

02. El 12,5% de 4000.

a) 280 b) 810 c) 200

d) 240 e) 500

03. El 15% de 4800.

a) 720 b) 810 c) 920d) 924 e) 715

04. El 12,5% del 10% de 2000.

a) 28 b) 50 c) 20d) 24 e) 25

05. El 40% de la mitad de 12000.

a) 2000 b) 1000 c) 2090d) 2400 e) 1500

06. 3/4 % de 200 000.

a) 1200 b) 1000 c) 1120d) 1500 e) 1235

07. El 33 1/3% de 200.

a) 33,3 b) 66,67 c) 27d) 55,6 e) 65,67


a) 200 b) 640 c) 620d) 624 e) 615


a) 2800 b) 1210 c) 1200d) 1240 e) 1500


a) 1200 b) 1000 c) 2000d) 1600 e) 1500



11. De qué número es 40 el 20% de 50%?.

a) 820 b) 710 c) 200d) 400 e) 150

12. ¿El 20% del 25% de 1 000 de qué número es 400?.

a) 8 b) 10 c) 20d) 24 e) 15

13. ¿De qué número es el 50% de 12000, el 10%?.

a) 60000 b) 10000 c) 20000d) 24000 e) 15000


a) 2% b) 1% c) 3%d) 4% e) 5%


a) 32% b) 23% c) 20%d) 24% e) 15%


a) 0,2% b) 0,10% c) 20%d) 0,24% e) 0,25%


a) 8% b) 10% c) 2%d) 4% e) 5%

18.¿La mitad de los 2/5 de 4800, qué porcentaje es de los ¾ de 7200?

a) 2,78% b) 10,78% c) 20%d) 24% e) 17,78%

19. ¿La mitad de uno qué porcentaje es del triple de uno?.

a) 20,67% b) 10,67% c) 20%d) 16,67% e) 15,67%

20. ¿En una canasta tenia 480 naranjas he comido 120 naranjas, que porcentaje me sobra?

a) 75% b) 70% c) 90%d) 74% e) 65%

TAREA DOMICILIARIA

01. El 25% de 450.

a) 72,5 b) 125,8 c) 112,5d) 52,8 e) N.a.

02. El 6,25% de 2000.

a) 172 b) 125 c) 168d) 148 e) N.a.

03. El 7,5% de 2400.

a) 180 b) 128 c) 186d) 370 e) N.a.

04. Hallar el 56% de 3000.

a) 72 b) 128 c) 1680d) 528 e) N.a.

05. En una reunión el 40% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de estos. ¿Cuál es el nuevo porcentaje de hombres?.

a) 20% b) 30% c) 25%d) 15% e) 10%

06. ¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo número?.

a) 2% b) 10% c) 20%d) 24% e) 15%

07. Si el 40% de los que votan a favor de una moción es el 60% de los que votan en contra. ¿Qué parte de los votantes aprueban la moción?.

a) 4/5 b) 3/5 c) 2/3d) 1/2 e) 1/10

08. Si gastara el 40% del dinero que tengo y ganara el 38% de lo que quedaría, perdería S/. 5160. ¿Cuánto tengo?.

a) 45000 b) 20000 c) 25000d) 30000 e) 35000

09. Una persona gasta el 20% de lo que tiene, luego el 30% de lo que le queda y por último gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con tan sólo 33600 unidades monetarias. ¿Cuánto tenía al principio?

a) 85 000 b) 87 000 c) 89 500d) 96 000 e) 100 000

10. ¿Qué porcentaje de 1/4 es 1/5 ?.

a) 60% b) 80% c) 40%d) 20% e) 125%

DESCUENTOS Y AUMENTOS

Idea de Incremento o Disminución porcentualEl incremento o disminución porcentual de una determinada cantidad, siempre se dará sobre el 100% de la misma.

Ejemplos:

1. X incrementado en su 20% es igual

a: 120% de X = . X

2. X incrementado en su 15% es igual

a: 115% de X = . X

3. M disminuido en su 20% es igual a:

80% de M = . M

4. M disminuido en su 15% es igual a:

85% de M = . M

5. La expresión 150%.Y representa un incremento de Y en su 50%.

6. La expresión 70%.K representa una disminución de K en su 30%.

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Calcular el porcentaje de descuento único, equivalente a dos descuentos sucesivos del 20% más 30%.

Solución:

Si asumimos que N es la cantidad (100% de N), sobre la cual se aplica el descuento del 20%; obtendremos:



80% de N = . N

Aplicando sobre la cantidad resultante, el descuento del 30% se obtendrá el 70% de la misma; así:

= 70% del 80% de N

= . . N

= . N

Observe que la cantidad resultante

. N también se puede

representar como 56%.N, que es una expresión que implica una disminución (descuento) del 44% de N.Por lo tanto:

Descuento único equivalente = 44%

Forma Práctica:

= (100 - 20)% . (100 - 30)% . N= 80% . 70% . N

= . . N

= .N

= 56% . N

Descuento único = (100 - 56)% . N = 44%. N

02. Calcular el porcentaje de descuento único, equivalente a dos descuentos sucesivos del 10% más 20%.

Solución:

Del enunciado del problema tenemos:

= (100 - 10)% . (100 - 20)% . N= 90% . 80% . N

= . . N

= . N

= 72% . N

Descuento único = (100 - 72)% . N = 28%. N

03. Calcular el porcentaje de incremento único, equivalente a dos aumentos sucesivos del 10% más 20%.

Solución:

Del enunciado del problema:=(100+10)% . (100+20)% . N= 110% . 120% . N

= . . N = . N

= 132% . N

Aumento único = (132-100)% . N = 32%. N

04. Calcular el porcentaje de incremento o descuento único, equivalente a un aumento del 10% seguido de un descuento del 20%.

Solución:

Del enunciado del problema:= (100+10)% . (100 - 20)% . N

= 110% . 80% . N

= . . N = . N

= 88% . N

Como la expresión resultante es menor del 100% se deduce, que N ha disminuido (Descuento).

Descuento único = (100-88)% . NDescuento único = 12%. N

05.Dos artefactos se han vendido en 297 cada uno. Si en el primero se ganó el 10% y en el segundo se perdió el 10%. ¿Se perdió o se ganó?

Solución:

En el primero En el segundo297 – 110% 297 – 90% x – 100% y – 100%

x = 270 y = 330

Costo total = x + y = 270 + 330 = 600

Venta total = (297) (2) = 594Ganancia = PV – PCGanancia = 594 – 600 = - 6

Luego pierde 6

06. Dos descuentos sucesivos de 40% y 20% equivale a un único descuento de:

Solución:

Sea 100 la cantidad de la que se descuenta el 40%Luego queda 60 de la cantidad

original.

60 – 100 % x – 20 %

x =

Luego queda 60 – 12 = 48

Si por 100 queda 48 lo descontado es de 100 – 48=52, por lo tanto el descuento es de 52%.

07. Si la longitud del radio de una circunferencia aumenta en 40%. ¿En qué porcentaje aumenta el área del círculo?

Solución:

Área original: A = r2

Nueva área: A = (r + 0.40r)2

A = (1.40r)2

A = (1.96)r2

Aumento del área: 1.96 r2 - r2 = 0.96 r2

el área aumenta en un 96%

08. Si las dimensiones de una caja rectangular son: largo = 3x, ancho= 2x y alto = x; ¿En qué porcentaje debe disminuir su alto para que el volumen no se altere, sabiendo que su largo aumenta en 550% y el ancho en 40%?.

Solución:

Para este tipo de problemas, tenemos que tener en cuenta que en un momento inicial cuando sus elementos no varían tampoco varía su volumen; es decir están representados por su 100%.

Entonces analizamos que:Su nuevo largo será el 150%.Su nuevo ancho será el 140%.Su volumen sigue siendo el 100%.

Recordando que el volumen se calcula así:



V = (largo)(ancho) (alto); reemplazando:

(100%) =(150%)(140%)(alto); reduciendo

100 % = (150/ 100) (140/100) ( alto)

100% = 2,1 (alto)47,6% = alto

Entonces el alto debe disminuir en:

100% - 47,6 % = 52,3%.

09. Un comerciante compra cierta mercadería y vende 1/3 ganando el 14%, la mitad ganando el 13% y para que la ganancia total sea el 14,5% vende el resto a S/. 2 800. ¿Cuánto le costó la mercadería?.

Solución:

Vende:

Cantidad Ganancia1/3 14% (PC /3)1/2 13% (PC /2)[1- (1/3+1/2)] X% (PC /6)

Sumando:

14%(PC/3)+13% (PC/2)+x%(PC/6)=14,5% PC

Entonces: x = 20.

Luego tenemos que:

120%( PC /6) = 2800

PC = S/. 14 000.

PRACTICA DE CLASE

01. Incrementar N en 30% y al resultado quitarle su 20%. Al final tendríamos:

a) 180%N b) 104%N c) 102%N

d) 100%N e) N. a.

02. Disminuir N en 20% y al resultado incrementarlo en su 20%. Al final tendríamos.

a) 100%.N b) 104%.N c) 102%.N

d) 96%.N e) No varia.

03. Dos descuentos sucesivos de 40% y 10% equivalen a un único del:

a) 154% b) 41%c)50%

d) 46% e) 48%

04. Dos descuentos sucesivos de 25% y 12% equivalen a un único del:

a) 47% b) 46% c) 45%d) 44% e) 43%

05. Tres descuentos sucesivos de 10%, 40% y 20% equivalen a un único del:

a) 70% b) 56,8% c) 60%d) 67% e) 65%

06. ¿A qué porcentaje único de aumento equivalen tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 25%?

a) 50% b) 55% c) 60%d) 65% e) 70%

07. ¿A qué porcentaje único de aumento equivalen tres

aumentos sucesivos del 10%, 10% y 30%?

a) 60% b) 55% c) 60%d) 157% e) 57,3%

08. Un incremento del 15%, seguido por un descuento del 15%. ¿A qué único descuento o incremento equivale?

a) No varía b) 97,5% c) 2,5%d) 30% e) N. a.

09. Un incremento del 25%, seguido por un descuento del 30%. ¿A qué único descuento o incremento equivale?

a) 55% b) 5% c) 87,5%d) 12,5% e) 43%

10. En una tienda se ofrecen 3 tipos de descuentos para escoger, uno del 30%, otro equivalente a dos descuentos sucesivos del 10% y 22% ó el equivalente a tres descuentos sucesivos del 5%, 20% y 10%. ¿Cuál es el más conveniente?

a) Son iguales b) el primero c) el segundo d) El tercero e) N. a.

11. Hallar el descuento único que reemplace a dos descuentos sucesivos de 15% y 20%?.

a) 30% b) 35% c) 32%d) 15% e) 10%

12. El largo de un rectángulo se disminuye en un 20%

de su longitud. ¿En cuánto tendrá que aumentarse el valor de la longitud del ancho, para que el área permanezca invariable?

a) 40% b) 50% c) 35%d) 30% e) 25%

13. El largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%, entonces el área del rectángulo varía en 160 m2. ¿Cuál era el área inicial?.

a) 200 m2 b) 4000 m2 c) 400 m2

d) 1600 m2 e) 2000 m2

14. Un círculo disminuye en 36% de su área. ¿En qué porcentaje habrá disminuido su radio?.

a) 60% b) 40% c) 20%d) 80% e) N.a.

15. Pinocho vendió 2 bicicletas en S/. 540, cada una. En la primera ganó el 20% y en la otra perdió el 20%. ¿Ganó o perdió y cuánto?.

a) No gana ni pierdeb) Ganó 90 c) Perdió 45d) Perdió 90 e) Ganó 45

16. Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20%. ¿Cuál debe ser el porcentaje de aumento para que reciba su salario?.

a) 20% b) 25% c) 30%d) 22% e) 27,5%

17. Tres descuentos sucesivos del 30%, 40% y 10% equivalen a un descuento único de:

a) 37,8% b) 42,6% c) 57,4%



d) 62,2% e) N.a.

18. ¿Cómo varía el área de un rectángulo, si su largo se aumenta en un 60% y el ancho disminuye en 40%?

a) Aumenta en 10% b) Disminuye en 4%c) Aumenta en 12% d) Disminuye en 8%e) N.a.

19. Dos aumentos sucesivos de 0,3% más 0,4% equivalen a uno solo de:

a) 0,7% b) 100,7012% c) 7,012 % d) 0,7012% e) 107,01 %

20. En una tienda se ofrecen 3 tipos de descuento: un descuento del 30%, dos descuentos sucesivos del 10 y 22%, ó 3 descuentos sucesivos del 5, 20 y 10%. ¿Cuál es el más conveniente?

a) El primero b) El segundo c) El tercero d) Los 3 son igualese)El primero y el tercero son

igualmente convenientes.


01. Hallar el descuento único equivalente a los descuentos sucesivos de 20%, 25%, 40% y 10%

a) 95% b) 75% c) 64,8%d) 67,6% e) N.a.

02. El precio de lista de un artefacto eléctrico es S/. 400000 si se le hace 3 descuentos sucesivos del 10%, 40% y 60% ¿Con qué precio sale a la venta?

a) S/. 240000 b) S/. 172800c) S/. 216000 d) S/. 172800e) N.a.

03. El precio de costo de un artículo es el 75% del precio de venta. ¿Qué porcentaje de la ganancia es el precio de venta?

a) 25% b) 75% c) 2005d) 400% e) 500%

04.Dos aumentos sucesivos de 0,3% más 0,4% equivalen a uno solo de:

a) 0,7 % b) 10,7012 %c) 7,012 % d) 0,7012 %e) 107,01 %

05. Hallar el descuento único que reemplace a dos descuentos sucesivos de 15% y 20%

a) 30 % b) 35 % c) 32 %d) 15 % e) 10 %

06.Tres descuentos sucesivos de 30%, 40% y 10% equivalen a un descuento único de:

a) 37,8% b) 42,6% c) 57,4%d) 62,2% e) N.a.

07. ¿Cuánto es el 20% más del 20% menos de 60?

a) 62 b) 64 c) 57,6d) 80 e) 2,4

08. Si el 125% de x es igual al 80% de (x+a)¿Qué porcentaje de x es a?

a) 11,25% b) 45% c) 22,5%d) 56,25% e) 67,5%

09. Una sortija se vende en 250 soles; ganando el 25% del costo.¿Cuál es el costo?

a) 200 b) 204 c) 207d) 205 e) 202

10. Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la nueva cantidad se le disminuye también su 20%. Se puede afirmar con respecto a la cantidad inicial que:

a) Aumenta 10% b) Disminuye 10%c) Disminuye 4% d) No varíae) Disminuye 8%

11. Si gasto el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería S/.156. ¿Qué cantidad de dinero tengo?

a) 3500 b) 2000 c) 1500d) 1560 e) 1800

12. Si el lado de un triángulo equilátero disminuye en un 50%. ¿En cuánto disminuye su área?

a) 25% b) 50% c) 75%d) 85% e) 65%

13. Si el radio de un círculo disminuye en su 10%. ¿En cuánto disminuye su área?

a) 81% b) 21% c) 29%d) 19% e) 39%

14. La base de un rectángulo disminuye en su 30% y la altura aumenta en su mitad. ¿Qué pasó con el área?

a) Aumenta 5% b) Disminuye 5%c) Aumenta 10% d) Disminuye 10%

e) Aumento 105%

15. Para fijar el precio de un artículo se aumento su costo en el 50% del 40% de dicho precio. Si al venderse se hizo una rebaja del 10% de este precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó?

a) 10% b) 12% c) 16%d) 8% e) 16%

16. Una persona gasta el 20% de lo que tiene, luego el 30% de lo que queda y por último gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con tan sólo 33 60 u.m. ¿Cuánto tenía al principio?

a) 85 00 b) 87 00 c) 89 50d) 96 00 e) 100 00

17. Un comerciante compra un artículo de 8 000 ¿Cuál debe ser el precio a qué debe fijarlo para qué rebajando el 20% de este precio aún gane el 30% del precio de costo?



a) S/. 11 100 b) S/. 12 250 c) S/. 13 000c) S/. 13 400d) S/. 13 350

18. Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la nueva cantidad se le disminuye también su 20% se puede afirmar con respecto a la cantidad inicial que:

a) Aumenta 10% b) Disminuye 10%

c) No varía d) Disminuye 4%e) Disminuye 8%

19. Si a una cantidad se le aumenta su 40% y a la nueva cantidad se le disminuye también su 40%. Se puede afirmar con respecto a la cantidad inicial que:

a) Aumenta 10% b)Disminuye 16%c) Disminuye 4% d) No varíae) Disminuye 8%

20. Si el largo y el ancho de un rectángulo aumenta en 20% y 25% respectivamente. Su área aumenta en 2400 m2. Hallar el área inicial del rectángulo.

a) 3600 m2 b) 4800 m2

c) 3200 m2 d) 4500 m2

e) 7200 m2

TAREA DOMICILIARIA

01. Al sueldo de un empleado se le hace un aumento del 20% al comenzar el año, y en el mes de Julio un aumento del 10% sobre el total. ¿Qué porcentaje de su sueldo del año anterior recibirá en agosto?.

a) 128% b) 130% c) 103%d) 125% e) 132%

02. Dos aumentos sucesivos del 20% y 20% respectivamente, equivalen a uno solo de:

a) 40% c) 20% c) 36%d) 38% e) N.a.

03. Dos Descuentos sucesivos del 20% y 80% respectivamente, equivale a uno solo de:

a) 100% c) 60% c) 40%d) 84% e) N.a.

04. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría perdería S/. 156. ¿Qué cantidad de dinero tengo?.

a) 3500 b) 2000 c) 1500d) 1560 e) 1800

05. Un objeto se ofrece con el 20% de recargo y luego se descuenta el 20% por factura. El descuento es:

a) 0% b) 5 c) 6d) 4 e) 10

06. Se estima que una mezcladora de concreto sufre una depreciación de 10% por cada año de uso, respecto al precio que tuvo al comenzar cada año. Si al cabo de 4 años su precio es de S/. 131 220, entonces el costo original de la mezcladora fue de:

a) S/. 200 000 b) S/. 150 000

c) S/. 250 000 d) S/. 300 000

e) S/. 170 000

07. Un comerciante vende dos artículos a S/. 480 cada uno. Si en uno de ellos ganó el 25% del costo y en el otro perdió el 20% de su costo. Al final, ¿el comerciante ganó o perdió y cuánto?.

a) Ganó S/. 24 b) Perdió S/. 24

c) Ganó S/. 36 d) Perdió S/. 36

e) No se gana ni se pierde.

08. Si una parte de una mercancía se vende con un 8% de pérdida y el resto se vende ganando un 7%. ¿Qué parte del total se vendió en la primera venta si el total se ganó 4%?

a) 2/5 b) 1/5 c) 1/4d) 2/3 e) 1/8

09. Rocío tiene un artículo que vale 1 000 soles y se lo vende a Liz con una ganancia de 10%. Liz revende el artículo a Rocío con una pérdida del 10% siendo así:

a) Rocío no gana nada.b) Rocío gana 110 soles.c) Rocío pierde 90 soles.d) Rocío gana 100 soles.e) Rocío pierde 100 soles

10. ¿Cuál es el porcentaje único de descuento que equivale a tres descuentos sucesivos de 10, 15 y 20%?

a) 36,6% b) 38,8 c) 42,2d) 45,5 e) 49,9

TEORÍA DE

La teoría de Exponentes se basa fundamentalmente en las propiedades de la Potenciación y de la Radiación, por lo tanto, para una mejor comprensión definiremos las operaciones de potenciación y luego explicaremos cada una de sus propiedades.

LA POTENCIACIÓN:

Es una operación que abrevia la multiplicación:

Donde : a es la base

n es el exponentean es la potencia o resultado.

Ejemplos:

a) 32 = 3 x 3 = 9

b)

c) ( 0,1 )3 = ( 0,1 ) ( 0,1 ) ( 0,1 ) = 0,001

LA RADICACIÓN:

Es una operación inversa a la potenciación:



Ejemplos :

a)

b) 51288512 33

c)

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y LA RADICACIÓN

1. Producto de bases igualesEs igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de sumar los exponentes iniciales. Su forma general es:

am . an = a m + n

Ejemplos:

a) 23 . 25 = 2 3+ 5 = 28

b) ( - 5 )2 ( - 5 )4 = ( - 5 ) 2+ 4 = 5 6

c)

2. Cociente de bases igualesEs igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de restar ambos exponentes. Su forma general es:

Ejemplos:

a)

b)

c)

3. Potencia de un productoEs igual al producto de sus factores, cada uno afectados con el mismo exponente. Su forma general es:

( a . b )n = an . bn

Ejemplos:

a) ( 5 x 3 )2 = 52 x 32 b) ( 7 . ) 3 = 73 ( ) 3

c)

d)

4. Potencia de un cociente Es igual al cociente de sus factores, cada uno afectados con el mismo exponente. Su forma general es:

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

5. Potencia de potenciasEs igual a una potencia de la misma base, cuyos exponentes se multiplican. Su forma general es:

( a m ) n = a m . n

Ejemplos:

a)

b)

c)

NOTA:Cuando se presentan varios exponentes, esta propiedad recibe el nombre de cadena de potencia, cuya forma general se representa así:

6. Potencia de exponentes:

Presenta la siguiente forma:

La solución de este caso especial, se efectúa en forma progresiva de arriba hacia abajo tal como indica la flecha.

Ejemplos:

c) Hallar "E":

, si aa = 2

Transformamos la expresión así:

7. Exponente nuloTodo término con exponente cero, es igual a la unidad, tal que la base sea diferente de cero. Su forma general es: a0 = 1

Ejemplos :

a) 70 = 1

b) ( 3 )0 = 1



c)

d) Comprobando esta propiedad se tiene:

1 = a0 a0 = 1

8. Exponente negativoToda base con exponente negativo es igual a su recíproco o inverso con exponente positivo. Su forma general es:

Ejemplos:

a)

b)

c)

Comprobando esta propiedad tenemos:

¯

9. Exponentes fraccionarios

Todo término con exponente fraccionario es equivalente a un radical de la siguiente forma:

Ejemplo :

a)

b)

c)

d)

sabemos que:

10. Raíz de un productoEs igual al producto de cada factor bajo el mismo radical siendo su forma general la siguiente:

Ejemplo :

a)

b)

c)

Comprobando esta propiedad, en su forma general tenemos:

Luego por potencia de un producto, se transforma en:

Finalmente por exponente fraccionario tenemos:

11. Raíz de un cociente

Es igual al cociente de cada término bajo el mismo radical cuya forma general es:

Ejemplos :

a)

b)

c)

d)

12. Raíz de Raíz Es igual al radicando cuyo índice del radical resultante es el producto de los índices dados. Su forma general es:

Ejemplos :

a)

b)

c)

13. Potencia de un radical Esta propiedad es una aplicación del exponente fraccionario cuya forma general es:

Ejemplos :

a)

b)

c)

Comprobando esta propiedad tenemos:

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Simplifica la siguiente expresión:

Solución Aplicando las propiedades tenemos por la raíz de un cociente.



Luego aplicamos la propiedad del exponente fraccionario:

Finalmente aplicamos la propiedad de Cociente de bases iguales.

M = 3

02. Halla el doble de E, si:

E = ( 2m + n )- 1 ( 2m + n – 1 )

Solución:

Aplicando la propiedad del exponente fraccionario al primer factor, se tiene:

Luego, por el cociente de bases iguales y simplificando los exponentes se obtiene:

E = 2m + n – 1 – m – n E = 2 -1

Por el exponente negativo resulta:E = 2 – 1 = 1/2

Finalmente, como se trata de obtener el doble de esta expresión:

03. Calcula el valor de M, si:

Solución:

Resolviendo el primer factor según la propiedad 11 (raíz de raíz) y 8 (exponente fraccionario) tenemos:

Luego por el producto de bases iguales, resulta:

04. Simplifica:

Solución:

Este ejercicio a diferencia del anterior empezaremos eliminando los radicales y agrupando bases iguales, tenemos:

Aplicando la potencia de potencia, resulta:

05. Halla la mitad de la expresión P, si:

Solución:

Resolviendo primeramente las operaciones que se encuentran en la base (corchete) tenemos:

Luego simplificamos el exponente:

Por lo tanto la expresión P queda reducida según( 1 ) y ( 2 ) a:

Finalmente, la mitad de P es:

06. Determinar el resultado de simplificar

R =

Solución:

Teniendo en cuenta que:

1)

2)

En el numerador efectuamos la potencia de potencia:

R =

Tenemos potencia de la misma base en el numerador y denominador.R =

R =

07. Determinar el resultado de simplificar:

S =

Solución:

Teniendo en cuenta que:

(1)

(2)

(3)



En primer lugar eliminamos los radicales

S =

Obsérvese que tenemos una división de dos potencias de la misma base.

S =

S =

S =

08. Calcular el resultado de simplificar:

P =

Solución:

Recordando que:

Vamos a introducir la “x” al siguiente radical.

P =

P =

Nuevamente repetimos la misma operación.

P =

P =

P =


Solución:

Recordando que

1)

2)

S =

Transformando lo que está con línea punteada:

S = 1

10. Calcular el resultado de simplificar, 31 a > 2b.

Solución:

Expresando , además teniendo en cuenta que tenemos a la vista la división de 2 radicales del mismo índice:

Efectuando las operaciones con las potencias de la misma base:

E=

E = 35

PRACTICA DE CLASE

Indicar el resultado de efectuar:

01. =

..................................

02.

= ..................................

03.

= ..................................

04. n2

n

9= ..................................

05.

= ..................................

06.

= ...................................

07.

= ..................................

08.

= ..................................

09.

= ..................................

10.

= ..................................

11. Cuál es el resultado de simplificar:

a) 21 b) 18 c)49d) 7 e) –1/14

12. Indicar el resultado de simplificar:

a) x+1 b) x c)

d) e)



13. Marcar el resultado de efectuar:

a) 1/4 b) c)

d) n e) 1

14. Calcular el resultado de simplificar:

a) 1 b) 1/2 c) 1/4d) 7/8 e) 1/8


a) b) c)

d) e)

16. Cual es el equivalente de la expresión

a) a b) c)

d) e) 1

17. Simplifica:

a) 3 b) 1/3 c) - 1/3d) - 3 e) N.a.

18. Halla el valor de E, si:

a) 3 b) - 2 c) 4d) 8 e) N.a.

19. Simplifica la expresión:

a) ab b) b4 c) b6

d) a3b6 e) N.a.

20. Calcular el valor de A:

a) n b) 2n c) n2

d) e) N.a.


01. Calcular el valor de “k”

a) 15 b) 21 c) 5/6 d) 18 e) N.a.

02. Simplificar:

a) a + b + c b) an + bn + cn c) 1 d) abce) N.a.

03. Indicar el valor que se obtiene al efectuar:

a) 10 b) 15a c) 20 d) 1 e) N.a.

04. Calcular el valor de “R”, si:

a) 2 b) 64 c) 5d) 125 e) N.a.

05. Calcular el valor de “S”:

S =

a) 8 b) 4 c) 4d) 2 e) N.a.

06. Efectuar:

a) 8 b) 4 c) d) 2 e) N.a.

07. Simplificar:

a) 0 b) 1 c) 2d) 5 e) 2/5

08. Calcular:

a) 1/9 b) 2 c) - 3d) 4 e) 1/3

09. Efectúa:

a) 4 b) 2 c) 1d) 1/2 e) 1/4

10. Reducir:

a) x5 b) x4 c) x3 d) x2 e) N.a.

11. Hallar:



a) 1/2 b) - 1/2 c) 2d) – 2 e) 1

12. Hallar el valor de E, si:

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) N.a.

13. Calcular la octava parte de la expresión P, si sabemos que:

a) 24 b) 16 c) 4d) 3 e) N.a.

14. Efectúa:

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) N.a.

15. Halla el valor de la expresión:

a) 2 b) 4 c) 6d) 12 e) N.a.

16. Si , calcula:

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) N.a.

17. Calcula el valor de :

a) 64 b) 32 c) 16d) 4 e) N.a.

18. Resuelve la expresión:

a) 1 b) 3 c) 6 d) 18 e) N.a.

19. Calcula el valor de M, si:

a) 32 b) 48 c) 60 d) 64 e) N.a.

20. ¿Cuánto se debe aumentar a la expresión:

para que el resultado sea

a) b) c)

d) 5 e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. Simplifica:

a) 729 b) 81 c) 9d) 3 e) 1/729

02. Efectúa:

a) x12 b) c)

d) e) N.a.

03. Reduce:

a) 1 b) 1/2 c) 1/3d) 1/4 e) N.a.

04. Calcular:

a) 2 b) 3 c) 1d) 5 e) 4

05. Efectuar:

a) 3 b) 5 c) 8d) 10 e) 12

06. Reducir:

a) 1 b) 3 c) 5d) 2 e) 7

07. Reducir:

a) x2 b) y c) xyd) y2 e) x

08. Reducir:

a) 3/2 b) 2/3 c) 4/9 d) 9/4 e) 27/8

09. Operar:

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 4 e) N.a.

10.Señalar el resultado que se obtiene

al simplificar

a) 2 b) 2/3 c) 2/5d) 4/5 e) N.a.



ECUACIONES

Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes.Se entiende por igualdad relativa a aquella que se verifica para algunos valores que se le asigne a sus incógnitas.

TÉCNICAS DE CONVERTIBILIDAD:Las ecuaciones exponenciales se convierten en ecuaciones algebraicas aplicando ciertas técnicas que enseguida se enuncian y describen.

1° Conseguir una ecuación donde queden igualadas dos potencias que tengan la misma base.

Ejemplo:Resolver:

Entonces: 2x – 4 = x +1 x = 5

2° En aquellos casos en conde existan términos de la forma kx, se hace un cambio de variable del tipo kx = y, para obtener una ecuación algebraica respecto a y.

Ejemplo:Resolver: 2

2x + 2 x.22 = 40 y + 4y = 40

y = 8

¯ 2x = 23

Entonces: x = 33° Existen casos en los que la ecuación

se consigue una igualdad en el exponente.

En este caso se admitirá x=0, cuando a b

Ejemplo:Resolver: (2n)x = (3 + n)x

Se deduce: 2n = 3 + n

Entonces: n = 3

IMPORTANTE:

Es necesario recordar estructuras que caracterizan a cierto tipo de ejercicios, donde se aplican criterios de la teoría exponencial y ecuaciones exponenciales.1° Si:

2° Reducir:

3° Reducir:

4° Reducir:

5° Reducir:

E = n + 1

PRACTICA DE CLASE

01.Efectuar:

a) 6 b) 5 c) 4d) 7 e) N.a.

02. Calcular el valor de “x”:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.a.

03. Hallar el valor de “x”:

a) 1 b) 4 c) 5d) 6 e) N.a.

04. Calcular el valor de “n”

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) N.a.

05. Calcular el valor de “x”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

06. Efectuar:

a) 3 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

07. Calcular el valor de “m”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

08. Efectuar:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 509. C alcular el valor de “x”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 2,5d) 3 e) 4

11. Determinar el valor de “n” en:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Calcular el valor de “a” en:

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

13. Calcular el valor de “b” en:

a) 2 b) 4 c) 6d) 1 e) 8

14. Efectuar:

a) 5 b) -5 c) 3d) –3 e) 8

15. Resolver:

a) 5 b) 3 c) 2



d) 8 e) 616. Hallar “x”:

5x+1 + 5 x+2 + 5x+3 + 5 x+4 = 780

a) 0 b) -1 c) 1d) -2 e) -3

17. Hallar “a”:

a) 4 b) 7 c) 6d) 8 e) 3

18. Hallar “x”:

a) 1 b) 3 c) 2d) 1/2 e) 1/3

19. Hallar “n”:

a) 1/2 b) 3/4 c) 5/2d) 2/3 e) 3/2

20. Hallar “x”:

a) 6 b) 4 c) -6d) 8 e) 5


01. Resolver:

a) 27 b) 9 c) 3d) 16 e) 1/3

02. Hallar “a”

a) 4 b) 2 c) 8d) e) 16

03. Hallar “x”:

a) 2 b) c)4

d) e) 1/2

04. Calcular “x”:

a) 3 b) c)

d) e) N.a.

05. Efectuar:

a) b) c)

d) e) N.a.

06. Efectuar:

a) 2 b) 1 c) -1d) - 2 e) 1/2

07. Calcular:

a) 1 b) 3 c) 6d) 9 e) N.a.

08. Efectuar:

a) 9 b) 6 c) 5d) 2 e) 12

09. Resolver:

a) 3 b) 2 c) 1/2d) 4 e) 8

10. Hallar el mayor valor de “a”:

a) 1 b) 6 c) 4d) 8 e) 5

11. Hallar “x”

a) 0,25 b) 0,20 c) 0,50d) 0,28 e) 0,35

12. Resolver:

a) 2 b) 3 c) – 1/2d) 1/2 e) -2

13. Hallar “x”:

a) 1 b) 3 c) 2d) 1/2 e) 2/3

14. Hallar “x”

a) 1,3 b) 2,5 c) 1,2d) 1,5 e) 2,7

15. Hallar “n”

a) 12 b) 8 c) 10d) 16 e) 9

TAREA DOMICILIARIA

01.Resolver:

a) 20 b) 25 c) 16d) 8 e) N.a.

02. Resolver:

a) 9 b) 8 c) 8/9d) 9/8 e) N.a.

03. Efectuar:

a) 2 b) 2 -4 c) 2 -16

d) 2 -8 e) N.a.

04. Calcular el valor de “n”:

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) N.a.

05. Efectuar:



a) 1 b) 2 c) 9d) 3 e) N.a.

SOLUCIONARIO

NºEjercicios Propuestos

01 02 03 04

01. B D C A

02. E C D A

03. A A C B

04. D D B C

05. D C B A

06. D D C E

07. B C E D

08. B D E A

09. A A E C

10. D C C C

11. D C A B

12. A C A A

13. A D A B

14. B A B D

15. A D B C

16. E E D --

17. A C A --

18. E D E --

19. D B C --

20. A B E --


Raz. matematico

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