RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika Sekolah” Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Oleh Siti Rohmawati (147785003) Kelas 2014D PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 2014 Universitas Negeri Surabaya
14
Embed
RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN … hubungan antara grafik fungsi satu-satu dan grafik fungsi inversnya ... 'tanda perubahan' atau 'sinus' ... Gambar. 11.1 menunjukkan grafik
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika Sekolah”
Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
Oleh
Siti Rohmawati (147785003)
Kelas 2014D
PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
2014
Universitas Negeri Surabaya
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL…………………..……………………………………………………. i
DAFTAR ISI ………………………..……………………………………………………… ii
BAB XI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS……..…………………………. 1
11.1 Notasi Fungsi …….………………………………………………… 1
11.2 Membentuk Fungsi Komposit …….………………………………… 3
11.3 Domain dan Range …………..……………………………………… 5
11.4 Urutan Sebagai Fungsi ……………………………………………… 7
11.5 Membalikkan Funggi …………..…………………………………… 8
11.6 Fungsi Satu-Satu…………..………………………………………… 9
11.7 Mencari Fungsi Invers….…………………………………………… 9
11.8 Menggambar Fungsi Invers……….………………………………… 11
DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………………………. 12
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 1
BAB XI
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
Bab ini merupakan penggembangan gagasan fungsi yang terdapat pada Bab 3.
Dalam bab ini diperkenalkan tentang macam fungsi aljabar dengan menunjukkan
bagaimana menemukan fungsi komposit. Setelah mempelajari bab ini,
diharapkan:
1. Dapat menggunakan bahasa dan notasi yang benar terkait dengan fungsi.
2. Tahu kapan fungsi-fungsi dapat dikombinasikan dengan operasi komposisi
dan dapat membentuk fungsi komposit.
3. Menghargai bahwa urutan dapat dianggap sebagai fungsi yang domainnya
adalah bilangan asli, atau himpunan bagian berturut-turut dari bilangan
asli.
4. Tahu kondisi ‘satu-satu' untuk fungsi yang memiliki invers, dan dapat
membentuk fungsi invers.
5. Mengetahui hubungan antara grafik fungsi satu-satu dan grafik fungsi
inversnya.
11.1 Notasi Fungsi
Dalam menggunakan kalkulator untuk menemukan nilai-nilai dari suatu fungsi,
terdapat tiga langkah yang terpisah:
Langkah 1 Masukkan bilangan ('input').
Langkah 2 Masukkan petunjuk fungsi.
Langkah 3 Baca bilangan di layar ('output').
Pada langkah kedua terkadang menggunakan satu kunci, ataupun lebih.
a. Menggunakan satu kunci
Seperti 'akar kuadrat', 'tanda perubahan' atau 'sinus'
Contoh:
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 2
Input Output
4 → √ → 2
3 → [+ ±⁄ ] → -3
2 → [푠푖푛] → 0.5
Dalam bab ini sin, cos dan tan mengarah pada fungsi-fungsi yang
dioperasikan oleh kalkulator dalam mode derajat.
Jika anda memasukkan bilangan x, maka output yang diperoleh adalah sin
x˚, cos x˚ atau tan x˚.
b. Menggunakan lebih dari satu kunci
Seperti 'kurangi 3',
7 → [−, 3, =] → 4
Pada prinsipnya hal yang terpenting adalah bahwa urutan tombol dalam tanda
kurung siku mewakili fungsi. Urutan ini sama apapun bilangan yang anda
masukkan sebagai input pada langkah 1.
Untuk input umum bilangan x, Anda dapat menulis
x → [+ ±⁄ ] → - x
x → [−, 3, =] → x – 3
Dan seterusnya. Dan untuk fungsi umum,
x → [푓] → 푓(푥)
Dimana f singkatan urutan tombol fungsi.
Ungkapan-ungkapan seperti 'fungsi x2', 'fungsi cos xo', atau 'fungsi f(x)' benar-
benar salah; x2, cos xo dan f(x) adalah simbol untuk output ketika diberikan input
x, bukan untuk fungsi itu sendiri. Jika yang dimaksudkan adalah menyebutkan
fungsi, maka bahasa yang tepat adalah 'fungsi pangkat', 'fungsi cos' atau 'fungsi f'.
Sayangnya hanya beberapa fungsi memiliki nama yang mudah seperti 'pangkat'
atau 'cos'. Tidak ada nama sederhana untuk fungsi output yang diberikan oleh
ekspresi seperti 푥 − 6푥 + 4.
푓: 푥 ⟼ 푥 − 6푥 + 4
Dibaca sebagai 'f adalah fungsi yang mengubah input bilangan x dalam domain ke
bilangan output x2-6x+4'
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 3
contoh 11.1.1
Jika 푓: 푥 ⟼ 푥(5 − 푥), berapakah 푓(3)?
Simbol f (3) singkatan output ketika input 3. Fungsi f mengubah input 3 ke output
3(5-3) = 6. Jadi f (3) = 6.
Penggunaan panah untuk menunjukkan hubungan antara input dan output dapat
dihubungkan dengan grafik sebuah fungsi. Gambar. 11.1 menunjukkan grafik y =
x (5-x), dengan bilangan input 3 pada sumbu x. Panah, yang naik dari titik input
dan membelok melalui sudut kanan ketika memotong grafik, menghasilkan
bilangan output 6 pada sumbu y.
11.2 Membentuk fungsi komposit
Jika Anda ingin menghitung nilai-nilai √푥 − 3, Anda mungkin akan
menggunakan tombol urutan [-, 3, =, √] dengan tidak bersamaan. Tetapi jika Anda
perhatikan dengan teliti, Anda akan melihat bahwa tiga angka muncul pada layar
selama proses tersebut.
Misalnya, jika Anda menggunakan input 7, layar akan menampilkan pada
bilangan masukan Anda 7, maka (setelah memasukkan [-, 3, =]) 4, dan akhirnya
(setelah memasukkan √ ) output 2.
Anda mengerjakan dua fungsi, 'kurangi 3' lalu 'akar kuadrat', berturut-turut. Anda
bisa mewakili seluruh perhitungan dengan:
7 → [−, 3, =] → 4 → → 2
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 4
Output dari fungsi pertama menjadi masukan kedua.
Contoh 11.2.1
Cari output ketika fungsi 'pangkat' dan 'sin' bertindak pada rentetan input dari (a) 30, (b) x
Perhatikan bahwa kebalikannya bisa juga ditulis sebagai 푓 :푦 ↦ 푦 − 2,푦 ∈ ℝ.
Anda kadang-kadang dapat memecah fungsi yang lebih rumit menjadi sebuah
mata rantai langkah sederhana.
Contoh 11.7.1
Cari invers dari f: x↦2x + 5, x∈R
Perhatikan dulu bahwa f adalah satu-satu, dan rangenya adalah R.
Metode 1 Anda dapat memecah fungsi sebagai
x → [ganda] → [tambahkan 5] → 2x + 5.
Untuk menemukan f-1, ke belakang melalui rantai (baca dari kanan ke kiri):
(푥 − 5) ← [푠푒푡푒푛푔푎ℎ] ← [푘푢푟푎푛푔푖5] ← 푥
Jadi 푓 = 푥 ↦ (푥 − 5),푥 ∈ ℝ.
Metode 2 Jika y = 2x + 5, 푦 − 5 = 2푥 yang memberikan 푥 = (푦 − 5).
Jadi fungsi invers 푓 = 푥 ↦ (푥 − 5),푥 ∈ ℝ Dua jawaban yang sama, meskipun menggunakan huruf yang berbeda.
Contoh 11.7.3
Tentukan invers dari fungsi 푓(푥) = , di mana x∈R dan x ≠ 2.
Hal ini tidak jelas bahwa fungsi ini salah-salah, atau apa yang rentang adalah.
Namun, dengan menggunakan metode kedua dan menulis 푓(푥) = ,
푦(푥 − 2) = 푥 + 2,
푦푥 − 2푦 = 푥 + 2,
푦푥 − 푥 = 2푦 + 2,
푥(푦 − 1) = 2(푦 + 1),
푥 = ( ).
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 11
Hal ini menunjukkan bahwa, kecuali y = 1, hanya ada satu nilai x untuk setiap nilai y. Jadi f harus menjadi salah satu-satu, sehingga fungsi invers ada, dan 푓 :푦 ↦ ( ), dimana 푦 ∈ ℝ dan 푦 ≠ −1
11.8 Menggambar fungsi invers.
Gambar. 11.8 menunjukkan grafik y = f (x), dimana f adalah fungsi satu satu
dengan domain D dan range R. Karena 푓 ada, dengan domain R dan range D,
Anda dapat juga menulis persamaan sebagai 푥 = 푓 (푦). Anda dapat
menganggap Gbr. 11.8 sebagai grafik kedua f dan 푓 .
Tapi kadang-kadang Anda ingin menarik grafik 푓 dalam bentuk yang lebih
konvensional, seperti y = 푓 (x) dengan domain sepanjang sumbu x. Untuk
melakukan ini, Anda harus menukar sumbu x dan y, yang Anda lakukan dengan
merefleksikan grafik pada Gambar. 11,8 di garis y = x. (Pastikan bahwa Anda
memiliki skala yang sama pada kedua sumbu!) maka sumbu x tercermin dalam
sumbu y dan sebaliknya, dan grafik dari x = 푓 (y) tercermin dalam grafik y =
푓 (x).
Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 11.9.
Jika f adalah satu-satu fungsi, grafik y = f (x) dan y = 푓 (x) adalah cerminan
dari satu sama lain dalam garis y = x.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 12
DAFTAR PUSTAKA
Neill, Hugh dan Douglas Quadling. 2002. Advance Level Mathematics: Pure Mathematics 1. Cambridge: Cambridge University Press.