Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf

8/18/2019 Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf

1/20

Bab 2. Fungsi dan Grafik Fungsi

Fungsi

Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat

aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.Contoh:

Definisi Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimanahimpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain) dan himpunansemua nilai y = f ( x) disebut daerah hasil (codomain) dari fungsi.

A B

f

Notasi f : A → B x y = f ( x)

Daerah asal Daerah hasil


2/20

Contoh: y=2x2+5

Fungsi y=f(x) adalah himpunan pasangan terurut ( x, y) sehingga x

dan y memenuhi:

x 0 1 -1 2 -2 … 10

y 5 7 7 13 13 205

Fungsi f memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7);(2,13);(-2,13);(10,205).

f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.


3/20

Catatan:

1. Himpunan A, B ϵ R

2. Fungsi: y = f ( x)

x

peubah bebas y

peubah tak bebas, bergantung pada x

3. Daerah asal fungsi: D f = A = { x | fungsi f terdefinisi}

4. Daerah hasil fungsi: R f = { y ϵ B | y = f ( x), x ϵ D f }

5. Grafik fungsi: {( x, y) | x ϵ D f , y = f ( x)) } y

y = f ( x)

y

R f

x x

D

f

Latihan 1:

Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukandaerah asal dan dan daerah hasilnya.

1. y = 2 x + 1 2. y = x2 – 1

Beberapa penyajian fungsi

a. Secara verbal : dengan uraian

b. Secara numerik : dengan tabel

c. Secara visual : dengan grafik

d. Secara aljabar : dengan rumusan eksplisit


4/20

Contoh:

1. Secara verbal

Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).

Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.

Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampaisatu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan

sampai 5 ons.

2. Secara numerik

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.

Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah)

0 < w ≤ 1 1.000

1< w ≤ 2 1.250

2 < w ≤ 3 1.500

3 < w ≤ 4 1.750

4 < w ≤ 5 2.000

3. Secara visual

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.

Rupiah B

R 2.000

p

i 1.500

h 1.000

w 0 1 2 3 4 5

Ons


5/20

4. Secara aljabar Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. 1.000, jika 0 w 1

1.250, jika 1 w 2

jika 2 w 3 w . , 1.750, jika 3 w 4

jika 4 w 5 2.000,

Jenis-jenis Fungsi

1. Fungsi linear

Bentuk umum: y = f ( x) = ax + b, a dan b konstanta

a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu- y

Daerah asal dan daerah hasil: D f = R , R f =R

Grafik: y

y = ax + b

b

x

2. Polinomial

Bentuk umum:

y = P ( x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0

dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta,

n = derajat polinom

Daerah asal: D = R


6/20

Grafik:

Polinom derajat 2:

y y = P ( x)

c x a < 0, D > 0

y = P ( x) = ax2 + bx + c, D = b

2 - 4ac,

Titik puncak (x p,y p)=(-b/2a,P(x p)).

R f : dari D dan titik puncak.

y y

x x

c y = P ( x) c y = P ( x)

a < 0, D = 0 a < 0, D < 0

y y y = P ( x)

y = P ( x) y = P ( x) c c

c

x x x

a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0

Latihan 2:

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.

1. y = x2 + 2 x - 1 2. y = -2 x2 + 2 x - 4

3. Fungsi pangkat

Bentuk umum: y = f ( x) = xn ,n є

Daerah asal: D = R Grafik:

y y = x y

= x2 y = x3

0 x x x

0


7/20

4. Fungsi akar

Bentuk Umum: y f ( x ) n

x , n 2,3, 4,... Daerah asal dan daerah hasil:

D f = R f = [0, ∞), jika n genap

D f = R f = R, jika n ganjil

Grafik: y y

y 2 x

y

3 x

0

x

0

x

Latihan 3 : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut

1. y x 1 2. y x 2 2 x 2

5. Fungsi kebalikan

Bentuk umum: y 1

, x 0 x Daerah asal dan daerah hasil: D = R \{ 0}, Rf = R\{0}

Grafik : y

y 1

x

0 x


8/20

6. Fungsi rasional

Bentuk umum: P ( x)

dimana: P , Q adalah polinom Q( x)

Daerah asal: D f = R \{ x | Q( x) = 0}

Latihan 4:

Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut

1. y x 1

2. y

x 2

x 1 x 1

7. Fungsi aljabar

Definisi:

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat

dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:

penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan

penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.

Contoh:

x 1 + ( x - 2) f ( x)

x 1 Catatan:

Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar,

fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar .


9/20

8. Fungsi trigonometri

8.1 Fungsi sinus Bentuk umum: y = f ( x) = sin x, x dalam radian

Daerah asal dan daerah hasil: D =R, R = [-1,1] Grafik: Y

1 y = sin x

-2π -π π 2π 0 -1

8.2 Fungsi cosinus

x

Bentuk umum:

Daerah asal dan

Grafik:

y = f ( x) = cos x, x dalam radian

daerah hasil: D f =R, R f = [-1,1]

Y

1 y = cos x

π -π

-2π 0 2π

-1

x

8.3 Fungsi tangen

Bentuk umum: y f ( x ) tan x, x dalam radian

Daerah asal : D f =R\{π/2 + nπ | n ϵ Z}Daerah hasil: R f =R


10/20

Grafik: y

y = tan x

1

x -2π -π 0 π 2π

-

8.4 Fungsi trigonometri lainnya

Bentuk umum: 1

a. y

f ( x )

sec x

, x dalam radian cos x

b. y f ( x ) cosec x 1 , x dalam radian sin x

c. y f ( x ) cot x 1 , x dalam radian tan x

Latihan (PR)

Gambarkan grafik fungsi sec x, cosec x, dan cot x.


11/20

8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri

a. -1≤ sin x ≤ 1

c. sin x = sin ( x + 2π)

e. tan x = tan ( x + π)

b. -1 ≤ cos x ≤ 1

d. cos x = cos ( x + 2π

)


12/20

9. Fungsi eksponensial

Bentuk umum: y = f ( x) = a x

, a > 0

Daerah asal dan daerah hasil: D =R, R =(0,∞)

Grafik: y y

y = a x

, a > 1 y = a x

, 0 0

Daerah asal dan daerah hasil: D f = (0, , R = R

Grafik: y

1 y = loga x

x 0 1


13/20

11. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong( piecewise function)

Definisi:

Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalahfungsi dengan aturan-aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.

Contoh: y

x 0 y = | x|

x 1. f ( x ) | x |

x x 0 1

x

- 1 0 1

2. Definisikan f(x)=bilangan bulat terbesar yang lebih kecil

atau sama dengan x. y 0 0 x 1 y = f ( x)

1

x

2 3

f ( x) = 2 x 3

2

1

3 3 x 4 0 1 2 3 4


14/20

Latihan 5:

x 0 x 1

x 1 x 2 f ( x ) 2

x ≥ 2 0

Tentukan:

1. Range f

2. Grafik fungsi f.


15/20

12. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi: [Fungsi genap]

Jika fungsi f memenuhi f (-x) = f ( x) untuk setiap x didalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. y

f ( x) y = f ( x)

x -x x\

Catatan:

Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu- y.


16/20

Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f (-x) = -f ( x) untuk setiap x di dalam

daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.

y

y = f ( x) f ( x)

-x x x

-f ( x)

Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.

Latihan 6:

Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau

fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya.

1. f ( x) = 1 - x4

2. f ( x) = x + sin x 3. f ( x) = x

2 + cos x 4. f ( x) = 2 x - x

2


17/20

13. Fungsi naik dan fungsi turun

Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika

( x1)


18/20

OPERASI FUNGSI ALJABAR

Definisi:

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan

D g . Fungsi f+g , f-g , fg dan f / g didefinisikan sebagai berikut

1. ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x)

2. ( f - g )( x) = f ( x) - g ( x)

3. ( fg )( x) = f ( x) g ( x)

4. ( f / g )( x) = f ( x)/ g ( x)

D f + g , D f - g , D fg = D f ∩ D g

/ = { D ∩ }\{ x | g(x)= 0}

Latihan 8: Tentukan f+g , f-g , fg dan f / g beserta daerah asalnya, jika

1. f ( x) x2

g ( x) x

2. f ( x) g ( x) 1 x 1 x


19/20

Fungsi invers

Definisi:Diberikan fungsi f: XY. Invers (kebalikan) fungsi fadalah relasi g dari Y ke X.

Note: Invers suatu fungsi belum tentu merupakan suatufungsi.

Jika f: XY merupakan korespondensi 1-1, maka inversf juga merupakan fungsi, dinotasikan dengan f -1.

Jadi, x = f -1(y) y = f(x)dengan Df

-1 = R f dan R f -1 = Df

Latihan 9:

Tentukan f -1 dari f(x)=1 – (x-1)/(3x+2)


20/20

Fungsi komposisi

Definisi:

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan

D g . Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:

( f o g )( x) = f ( g ( x))

dimana D f o g = { x ϵ D g | g(x) ϵ D f }

D g R D f R

a g (a)

x g ( x) f ( g ( x))

f ° g

Latihan 10:

Tentukan f o g , g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika

1. f ( x ) x 2

g ( x ) x

2. f ( x ) 1 g ( x ) x 1 x

Fungsi dan grafik fungsi Bab 2.pdf

Documents