Rangkuman MA2072: Matematika Teknik 1Kalkulus Diferensial
VektorAdvance Engineering Mathematics, ch. 9 Adji Gunhardi
13210015
Vektor dan Medan Skalar Operasi vektor standar Diberikan Vektor
Vektor Konstanta c Penjumlahan: Perkalian skalar: Panjang
vektor:
Dot Product Vektor
abp|p| = a b
adalah sudut antara vektor a dan vektor b Sehingga, Sifat
distributif: Sifat simetris: Arti fisis dot product:a b adalah
panjang vektor proyeksi vektor a pada vektor b.
Cross Product Vektor
Prinsip cross product (aturan tangan kanan)
Tidak bersifat simetris Arti fisis cross product:
adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor a pada vektor
b.
Triple skalar product
Vektor Kalkulus(dari rangkuman Kalkulus 2A bab 12) Jika , maka
Nilai Limit: Turunannya: Integralnya Tak Terbatas: Terbatas:
Persamaan Parameter Vektor(dari rangkuman Kalkulus 2A bab 12)
Jika diketahui garis yang melalui titik P(x0, y0, dan z0) mempunyai
vektor arah maka persamaan parameter dari garis tersebut
Dan persamaan simetriknya
Vektor Singgung Kurva
Jika diketahui kurva , maka garis singgung kurva tersebut
mempunyai vektor arah. Dalam vektor satuan, vektor singgung
satuan,
Aturan rantai (baca juga kalkulus 2A bab 12)
wuyxzv Jika kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama yang
kontunu dalam R3. Jika , , dan juga merupakan fungsi yang kontinu
dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu. Maka
Gradien dan operator nabla. Gradien : Operator nabla:
Representasi fisik gradien sebagai vektor normal pada permukaan
Hasil gradien adalah sebuah vektor.
Turunan Berarah.(dari rangkuman Kalkulus 2A bab 12) Jika f dapat
didiferensialkan di p, maka f mempunyai turunan berarah di p dengan
arah sesuai dengan vektor satuan : Hasil gradien adalah sebuah
skalar/bilangan. Warning: u harus berupa vektor satuan. Jika bukan
vektor satuan, maka harus dibuat menjadi vektor satuan dulu. . Arti
fisis: perubahan rata-rata nilai f pada arah tertentu Laju
Perubahan Maksimum Nilai f meningkat sangat cepat di p dengan arah
sama dengan arah gradien. Nilai f menurun sangat cepat di p dengan
arah berlawanan dengan arah gradien. Besar lajunya adalah
Panjang lintasan fungsi berparameter r(t)
Medan Vektor Divergensi Jika diberikan sebuah medan vektor
Hasil divergensi adalah sebuah fungsi skalar dalam x, y, z. Arti
fisis divergensi: Mengukur besar perubahan dari sebuah daerah
(kompresi dan ekspansi).Dalam bahasa Inggris: the divergences
measures outflow minus inflow.
Curl Jika diberikan sebuah medan vektor
Hasil divergensi adalah sebuah fungsi vektor
Hubungan gradien, divergensi, dan curl
Medan vektor F konservatif Medan vektor dikatakan konservatif
jika curl F = 0, sehingga ada sebuah fungsi medan skalar f
sedemikian sehingga . Warning: jangan dibalik, tidak berarti kalo
curl F = 0 maka medan vektor F konservatif.
Rangkuman MA2072: Matematika Teknik 1Kalkulus Integral
VektorAdvance Engineering Mathematics, ch. 10 Adji Gunhardi
13210015
Dimensi Dua Integral garis Jika , maka integral garis dari
sebuah fungsi vektor F
Sifat integral garis
Path Independence / bebas lintasan Nilai dari integral garis
pada kurva C tidak bergantung pada lintasan (hanya bergantung oleh
titik awal dan titik akhir) jika:
F = grad f sehingga , , dan Jika nilai integral tertutup pada
domain yang sama = 0. Curl F = 0.
Diketahui F adalah medan vektor dan f adalah medan skalar . Jika
curl F = 0 maka F = grad f, maka nilai integral garis dari F dari
titik A ke titik B adalah
Integral lipat dua.
Aplikasi integral lipat dua: mencari luas/volume.
Mengubah variabel pada integral lipat dua
Jacobian:
Pengubahan umum: koordinat Cartesian koordinat polar
R adalah daerah pada bidang xy dan R* adalah daerah pada bidang
r
Teorema green pada bidang
Jika R adalah sebuah daerah tertutup pada bidang xy yang
dibatasi oleh kurva tertutup C. Jika dan merupakan fungsi kontinu,
dan mempunyai turunan parsial yang kontinu pada daerah R, maka
Menghitung luas area dengan teorema Green Jika F1 = 0 dan F2 = x
maka
Jika F1 = -y dan F2 = 0 maka
Maka, luas daerah dapat dinyatakan:
Lebih lanjut lagi, dalam koordinat polar, luas daerah dapat
dinyatakan
Teorema divergensi Gauss untuk bidang
n adalah vektor normal satuan dari C . . T adalah vektor
singgung satuan. Arti fisis: fluks dari medan vektor F yang melalui
permukaan terbuka yang dilingkupi oleh kurva C, sama dengan
integral pada daerah R dari rata-rata div F.
Dimensi Tiga / Permukaan Permukaan
Direpresentasikan sebagai atau Dalam fungsi parameter:
Persamaan bidang Jika diketahui 3 titik tidak segaris maka
didapatkan sebuah persamaan bidang. Koefisien a, b, dan c
didapatkan dengan melakukan SPL pada 3 persamaan hasil subtitusi 3
titik tersebut.
Mencari bidang singung dan vektor normal satuan Jika diketahui:
persamaan permukaan S: titik singgung Maka mencari persamaan bidang
singgung: Cari fungsi/vektor parameter dari persamaan permukaan.
Bisa dengan memisalkan x = u dan v = y. Maka vektor parameter akan
menjadi . Cari nilai u dan v agar Cari fungsi vektor parameter
bidang singgung
Sehingga hasil menjadi dan dapat dicari fungsi parameternya : ,
, dan . Kemudian dapat dicari persamaan kartesiannya. Mencari
vektor normal
, dimana N adalah . Tambahan,
Pada gambar dan
Luas permukaan
Dengan D adalah daerah definisi dari r pada bidang uv.
Integral permukaan (contoh: Flux pada permukaan)
Dengan S adalah permukaan bidang xy dan R daerah pada bidang
uv.
Teorema divergensi Gauss untuk permukaan Jika T adalah sebuah
ruang (daerah di ruang) tertutup dengan batas permukaan S dan
merupakan fungsi/medan vektor berlaku hubungan
(integral permukaan integral lipat tiga) Arti fisis: fluks dari
medan vektor F yang melalui permukaan tertutup yang dilingkupi oleh
permukaan F, sama dengan integral pada daerah T dari div F.
Teorema Stokes Jika C merupakan lintasan penutup permukaan S dan
merupakan medan vektor yang bekerja maka