KALKULUS III - · PDF filepada bidang atau ruang dan diparameterisasi oleh ... Misalkan = + +𝑃 adalah bidang vektor yang ... dari persamaan dan samakan dengan bentuk

Teorema Integral

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 1

KALKULUS III

Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc


Integral Garis pada Fungsi Skalar

Definisi :

Jika 𝑓 didefinisikan pada kurva 𝐶 diberikan secara parametrik

dengan 𝒓 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝐢 + 𝑦 𝑡 𝐣 + 𝑧 𝑡 𝐤, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, maka

integral garis dari 𝑓 atas 𝐶 adalah

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠

𝐶

= lim𝑛→∞

𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘, 𝑧𝑘)

𝑛

𝑘=1

∆𝑠𝑘

terpenuhi jika limitnya ada.

INTEGRAL GARIS


How to evaluate a Line Integral?

Untuk mengintegralkan fungsi f(x,y,z) atas kurva C :

1. Temukan parametrisasi smooth dari C, 𝒓 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝐢 + 𝑦 𝑡 𝐣 + 𝑧 𝑡 𝐤.

2. Taksir integral nya yaitu

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑠

𝐶

= 𝑓(𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧(𝑡)) 𝑣(𝑡)

𝑏

𝑎

𝑑𝑡.

dimana,

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡=

𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

+𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

+𝑑𝑧

𝑑𝑡

2

INTEGRAL GARIS

Contoh :


Integralkan 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 − 3𝑦2 + 𝑧 atas kurva C dengan titik

asal (1,1,1).

Solusi :

Pilih parameterisasi paling sederhana, yaitu 𝒓 𝑡 = 𝑡𝐢 + 𝑡𝐣 + 𝑡𝐤, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.

Komponen tersebut memiliki turunan pertama yang kontinu

dan 𝑣(𝑡) = 𝐢 + 𝐣 + 𝐤 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 tidak

pernah bernilai nol, maka parameterisasinya smooth.

Contoh :


Integral dari 𝑓 atas 𝐶 adalah

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑟

𝐶

= 𝑓(𝑡, 𝑡, 𝑡)( 3)

1

0

𝑑𝑡 = (𝑡 − 3𝑡2 + 𝑡)( 3)

1

0

𝑑𝑡

= 3 (2𝑡 − 3𝑡2)

1

0

𝑑𝑡

= 3 𝑡2 − 𝑡310

= 0


Integral Garis pada Medan Vektor

Definisi :

Misalkan 𝑭 adalah medan vektor (vector field) dengan komponen

kontinu yang didefinisikan sepanjang kurva smooth 𝐶 yang

diparameterisasi oleh 𝒓 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. Maka integral garis 𝑭

sepanjang 𝐶 adalah

𝑭(𝒓) ∙ 𝑑𝒔

𝐶

= 𝑭 ∙𝑑𝒓

𝑑𝑠𝑑𝑠

𝐶

= 𝑭 ∙ 𝑑𝒓

𝐶

.

INTEGRAL GARIS


Menaksirkan Integral Garis dari 𝑭 = 𝑀𝐢 + 𝑁𝐣 + 𝑃𝐤 sepanjang 𝐶: 𝒓(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝐢 + 𝑦(𝑡)𝐣 + 𝑧(𝑡)𝐤

1. Ekspresikan vector field 𝐹 dalam bentuk kurva parameterisasi 𝐶 sebagai 𝑭(𝒓(𝑡)) dengan mensubstitusikan komponen x = 𝑥 𝑡 , y = 𝑦 𝑡 , z = 𝑧 𝑡 dari 𝒓 dalam komponen skalar 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) dari 𝑭.

2. Temukan turunan (kecepatan) vektor 𝑑𝒓 𝑑𝑡 .

3. Taksir integral garis yang bergantung pada parameter 𝑡, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, untuk mendapatkan

𝑭(𝒓) ∙ 𝑑𝒓

𝐶

= 𝑭 𝒓 𝑡 ∙ 𝒓′ 𝑡 𝑑𝑡

𝑏

𝑎

INTEGRAL GARIS


Taksirkan 𝑭(𝒓) ∙ 𝑑𝒓𝐶

dimana 𝑭 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧𝐢 + 𝑥𝑦𝐣 − 𝑦2𝐤

sepanjang kurva C yang diberikan oleh

𝒓 𝑡 = 𝑡2𝐢 + 𝑡𝐣 + 𝑡𝐤, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.

Solusi :

Diketahui

𝐅 𝒓 𝑡 = 𝑡𝐢 + 𝑡3𝐣 − 𝑡2𝐤

dan

𝑑𝒓

𝑑𝑡= 2𝑡𝐢 + 𝐣 +

1

2 𝑡𝐤.

Contoh :


Sehingga,


𝐶

= 𝑭 𝒓 𝑡 ∙ 𝒓′ 𝑡 𝑑𝑡

1

0

= 2𝑡3

2 + 𝑡3 −1

2𝑡3

2 𝑑𝑡

1

0

=3

2

2

5𝑡5

2 +1

4𝑡4

10

=17

20.

Contoh :

INTEGRAL GARIS


Integral garis pada bidang

Hitung nilai integral garis dari (1) saat

𝑭 𝒓 = −𝑦, −𝑥𝑦 = −𝑦𝐢 − 𝑥𝑦𝐣

dan C adalah lengkungan yang digambarkan sebagai berikut

INTEGRAL GARIS



Solusi :

𝐶 dapat kita nyatakan sebagai

𝑟 𝑡 = cos 𝑡, sin 𝑡 = cos 𝑡 𝒊 + sin 𝑡 𝒋,

dimana 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 2 . Maka 𝑥 𝑡 = cos 𝑡, 𝑦 𝑡 = sin 𝑡, dan

𝑭 𝒓(𝑡) = −𝑦 𝑡 𝐢 − 𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 𝐣 = − sin 𝑡 𝐢 − cos 𝑡 sin 𝑡 𝒋.

Dengan diferensial diperoleh

𝑟′ 𝑡 = −𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝒊 + cos 𝑡 𝒋,

INTEGRAL GARIS



Sehingga,


𝐶

= − sin 𝑡 , cos 𝑡 sin 𝑡 ∙ [−𝑠𝑖𝑛 𝑡, cos 𝑡]

𝜋 2

0

= sin2 𝑡 − cos2𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡

𝜋 2

0

= 1

21 − cos 2𝑡 𝑑𝑡

𝜋 2

0

− 𝑢2 −𝑑𝑢

0

1

=𝜋

4− 0 −

1

3

≈ 0.4521

Misal : cos 𝑡 = 𝑢

Ingat!


Aturan Trigonometri

INTEGRAL GARIS


Integral garis pada ruang

Perhitungan integral garis pada ruang pada dasarnya sama

dengan integral garis pada bidang.

Hitung nilai integral garis dari (1) saat

𝑭 𝒓 = 𝑧, 𝑥, 𝑦 = 𝑧𝐢 + 𝑥𝐣 + 𝑦𝐤

dan C adalah spiral yang

digambarkan sebagai berikut

𝑟 𝑡 = cos 𝑡, sin 𝑡 , 3𝑡

= cos 𝑡 𝒊 + sin 𝑡 𝒋 + 3𝑡 𝐤

dimana 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.

INTEGRAL GARIS



Solusi :

Dari persamaan (2) diperoleh

𝑥 𝑡 = cos 𝑡 , 𝑦 𝑡 = sin 𝑡 , 𝑧 𝑡 = 3𝑡

Maka

𝑭 𝒓 𝑡 ∙ 𝒓 𝑡= (3𝑡𝐢 + cos 𝑡 𝐣 + sin 𝑡 𝐤) ∙ (− sin 𝑡 𝐢 + cos 𝑡 𝒋 + 3𝒌)

Dengan perkalian product didapatkan

𝑭 𝒓 𝑡 ∙ 𝒓 𝑡 = −3𝑡 sin 𝑡 + cos2 𝑡 + 3 sin 𝑡

INTEGRAL GARIS



Maka diperoleh,

𝐹(𝑟)

𝐶

∙ 𝑑𝑟 = (−3𝑡 sin 𝑡 + cos2 𝑡 + 3 sin 𝑡

2𝜋

0

)𝑑𝑡

= 6𝜋 + 𝜋 + 0 = 7𝜋 ≈ 21,99

SIFAT-SIFAT INTEGRAL GARIS


Sifat integral garis sesuai dengan sifat integral tentu dalam

Kalkulus, yaitu :

1. 𝑘𝑭 ∙ 𝑑𝒓𝐶

= 𝑘 𝑭 ∙ 𝑑𝒓𝐶

(k konstanta)

2. (𝑭 + 𝑮) ∙ 𝑑𝒓𝐶

= 𝑭 ∙ 𝑑𝒓𝐶

+ 𝑮 ∙ 𝑑𝒓𝐶

3. 𝑭 ∙ 𝑑𝒓𝐶

= 𝑭 ∙ 𝑑𝒓𝐶1

+ 𝑭 ∙ 𝑑𝒓𝐶2

PATH INDEPENDENCE


TEOREMA 1

Path Independence

Suatu integral garis dengan fungsi kontinu 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3 pada

domain 𝐷 dalam ruang dimensi 3 adalah garis edar bebas (path

independence) di 𝐷 jika dan hanya jika 𝐅 = 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3 adalah

gradien dari beberapa fungsi 𝑓 di 𝐷,

𝑭 = grad 𝑓, sehingga 𝐹1 =𝜕𝑓

𝜕𝑥, 𝐹2 =

𝜕𝑓

𝜕𝑦, 𝐹3 =

𝜕𝑓

𝜕𝑧

Contoh :


Tunjukkan bahwa integral

𝐹 ∙ 𝑑𝑟𝐶

= (2𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 + 4𝑧 𝑑𝑧)𝐶

adalah path independent pada setiap domain di ruang dan hitung nilai integrasi dari 𝐴: 0,0,0 ke 𝐵: 2,2,2 .

Solusi :

𝐹 = 2𝑥, 2𝑦, 4𝑧 = grad 𝑓, dimana 𝑓 = 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑧2, karena 𝜕𝑓

𝜕𝑥= 2𝑥 = 𝐹1,

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 2𝑦 = 𝐹2,

𝜕𝑓

𝜕𝑧= 4𝑧 = 𝐹3.

Maka berdasarkan Teorema, integralnya adalah path independent.

Nilai integrasi 𝑓 𝐵 − 𝑓 𝐴 = 𝑓 2,2,2 − 𝑓 0,0,0 = 4 + 4 + 8 = 16


Integral Garis pada Bidang Konservatif

TEOREMA 1- Teorema Dasar Integral Garis

Misalkan C kurva smooth yang menggabungkan titik A ke titik B

pada bidang atau ruang dan diparameterisasi oleh 𝒓(𝑡).

Misalkan 𝑓 fungsi diferensiabel dengan vektor gradien kontinu

𝐹 = 𝛻𝑓 pada domain 𝐷 yang mengandung 𝐶. Maka

𝑭 ∙ 𝑑𝒓

𝐶

= 𝑓 𝐵 − 𝑓 𝐴 .

INTEGRAL GARIS

Contoh :


Suppose the force field 𝐹 = 𝛻𝑓 is the gradient of the function

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1

𝑥2+𝑦2+𝑧2 .

Find the work done by F in moving an object along a smooth curve C

joining (1,0,0) to (0,0,2) that does not pass through the origin.

Solusi :

Dengan Teorema 1 diperoleh

𝑭 ∙ 𝑑𝒓

𝐶

= 𝑓 0,0,2 − 𝑓 1,0,0 = −1

4− −1 =

3

4

Note :


Kecepatan gravitasi yang disebabkan oleh planet, dan kecepatan

listrik yang berhubungan dengan partikel yang bermuatan,

keduanya dapat dimodelkan dengan bidang 𝐹 yang diberikan

pada contoh 1 hingga konstanta yang bergantung pada unit

pengukuran.



TEOREMA 2- Bidang Konservatif adalah Bidang Gradien

Misalkan 𝑭 = 𝑀𝐢 + 𝑁𝐣 + 𝑃𝐤 adalah bidang vektor yang

komponennya kontinu diseluruh daerah terhubung sederhana 𝐷

pada ruang. Maka 𝐹 konservatif jika dan hanya jia 𝐹 bidang

gradien 𝛻𝑓 untuk fungsi diferensiabel 𝑓.

INTEGRAL GARIS

Contoh :


Find the work done by the concervative field

𝐹 = 𝑦𝑧𝑖 + 𝑥𝑧𝑗 + 𝑥𝑦𝑘 = 𝛻𝑓, dimana 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧,

Along any smooth curve C joining the point 𝐴(−1,3,9) to 𝐵 1,6,−4 .

Solusi :

Dengan 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧, kita punya

𝑭 ∙ 𝑑𝒓

𝐶

= 𝛻𝑓 ∙ 𝑑𝑟

𝐵

𝐴

= 𝑓 𝐵 − 𝑓 𝐴

= 𝑥𝑦𝑧 1,6,−4

− 𝑥𝑦𝑧 −1,3,9

= 1 6 −4 − −1 3 9

= −24 + 27 = −3



TEOREMA 3 – Sifat perputaran bidang konservatif

Pernyataan dibawah ini adalah ekuivalen.

1. 𝐹 ∙ 𝑑𝑟𝐶

= 0 disekitar putaran (yang merupakan kurva

tertutup 𝐶) di 𝐷.

2. Bidang 𝐹 konservatif di 𝐷

INTEGRAL GARIS


Menghitung potensial untuk Bidang Konservatif

Misalkan 𝐹 = 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑁 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 + 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤

adalah bidang pada daerah tertutup dan daerah tertutup

sederhana yang komponen fungsinya memiliki turunan parsial

yang kontinu. Maka F konservatif, jika dan hanya jika

𝜕𝑃

𝜕𝑦=

𝜕𝑁

𝜕𝑧,

𝜕𝑀

𝜕𝑧=

𝜕𝑃

𝜕𝑥 dan

𝜕𝑁

𝜕𝑋=

𝜕𝑀

𝜕𝑦

INTEGRAL GARIS

Contoh :


Tunjukkan bahwa 𝐹 = 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧 𝐢 + 𝑥𝑧 − 𝑒𝑥 cos 𝑦 𝐣 + xy + z 𝐤

atas domain bilangan asli dan hitung funsi potensialnya.

Solusi :

Dengan mengaplikasikan pernyataan pada slide sebelumnya 𝑀 = 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧, 𝑁 = 𝑥𝑧 − 𝑒𝑥 cos 𝑦 , 𝑃 = 𝑥𝑦 + 𝑧

Hitung, 𝜕𝑃

𝜕𝑦= 𝑥 =

𝜕𝑁

𝜕𝑧,𝜕𝑀

𝜕𝑧= 𝑦 =

𝜕𝑃

𝜕𝑥,𝜕𝑁

𝜕𝑥= −𝑒𝑥 sin 𝑦 + 𝑧 =

𝜕𝑀

𝜕𝑦


Turunan parsialnya kontinu, maka persamaan tersebut

menyatakan bahwa 𝐹 konservatif, maka terdapat fungsi 𝑓

dengan 𝛻𝑓 = F.

Kita dapat menemukan 𝑓 dengan mengintegrasikan persamaan

berikut :

𝜕𝑓

𝜕𝑥= 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑦𝑧,

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑥𝑧 − 𝑒𝑥 cos 𝑦 ,

𝜕𝑓

𝜕𝑧= 𝑥𝑦 + 𝑧. (3)

Integralkan persamaan pertama terhadap 𝑥, anggap 𝑦 dan 𝑧 tetap,

diperoleh

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑔 𝑦, 𝑧 .


Konstanta integrasi dituliskan fungsi terhadap 𝑦 dan 𝑧 karena

nilai tersebut dapat bergantung pada 𝑦 dan 𝑧, bukan pada 𝑥.

Lalu hitung 𝜕𝑓

𝜕𝑦 dari persamaan, lalu samakan dengan ekspresi

𝜕𝑓

𝜕𝑦 pada persamaan (3). Diperoleh,

−𝑒𝑥 sin 𝑦 + 𝑥𝑧 +𝜕𝑔

𝜕𝑦= 𝑥𝑧 − 𝑒𝑥 sin 𝑦

Maka, 𝜕𝑔

𝜕𝑦= 0. Sehingga, 𝑔 adalah fungsi dari 𝑧 sendiri, dan

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + ℎ 𝑧 .


Sekarang hitung 𝜕𝑓

𝜕𝑧 dari persamaan dan samakan dengan bentuk

𝜕𝑓

𝜕𝑧 dalam persamaan (3). Diperoleh,

𝑥𝑦 +𝑑ℎ

𝑑𝑧= 𝑥𝑦 + 𝑧, atau

𝑑ℎ

𝑑𝑧= 𝑧.

Maka,

ℎ 𝑧 =𝑧2

2+ 𝐶.

Jadi,

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 +𝑧2

2+ 𝐶.

Kita punya jumlah tak terbatas fungsi potensial F, salah satunya adalah C.

Soal


Tunjukkan apakah fungsi berikut konservatif !

1. 𝐹 = 𝑦𝑧𝐢 + 𝑥𝑧𝐣 + 𝑥𝑦𝐤

2. 𝐹 = 𝑦𝐢 + 𝑥 + 𝑧 𝐣 − 𝑦𝐤

3. 𝐹 = −𝑦𝐢 + 𝑥𝐣

4. 𝐹 = (𝑥 + 𝑦)𝐢 + 𝑧𝐣 + (𝑦 + 𝑥)𝐤

5. 𝐹 = 𝑦 sin 𝑧 𝐢 + 𝑥 sin 𝑧 𝐣 + 𝑥𝑦 cos 𝑧 𝐤

Cari fungsi potensialnya !

6. 𝐹 = 2𝑥𝐢 + 3𝑦𝐣 + 4𝑧𝐤

7. 𝐹 = 𝑦 + 𝑧 𝐢 + (𝑥 + 𝑧)𝐣 + (𝑥 + 𝑦)𝐤

8. 𝐹 = 𝑦 sin 𝑧 𝐢 + (𝑥 sin z) 𝒋 + (𝑥𝑦 cos 𝑧)𝐤


謝謝

THANK YOU

KALKULUS III - · PDF filepada bidang atau ruang dan diparameterisasi oleh ... Misalkan = + +𝑃 adalah bidang vektor yang ... dari persamaan dan samakan dengan bentuk

Documents