R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Lezione 3people.roma2.infn.it/.../2018/10/Lezione3_RelRistr-1.pdfR. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare

R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos

Lezione 3

R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 1 / 38

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Relativita speciale

Perche e necessaria la relativita speciale per descrivere le particelle elementari?

• Perche le particelle sono soggette a reazioni in cui vengono create o distrutte,pertanto la loro energia di massa fa parte del bilancio energetico globale (massa =forma di energia).

• Perche in genere le particelle, quando vengono accelerate dagli acceleratori, hannovelocita elevate, prossime a quelle della luce (v ∼ c).In tale situazione la meccanica classica non e piu applicabile.


Relativita speciale

Einstein (1905):

tutte le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali,cioe in moto relativo traslatorio uniforme;

la velocita della luce c e indipendente dal sistema di riferimento e vale:

c = 299792458m/s (' 3 · 108m/s)

da questo consegue che non soltanto le coordinate spaziali, ma anche il tempo t sitrasformano passando da un sistema all’altro.Infatti, per poter essere c = c′ in tutti i sistemi di riferimento deve essere t 6= t′.

l’energia totale, la quantita di moto totale e il momento angolare totale siconservano in un sistema isolato;


Relativita speciale (cenni)

Consideriamo due sistemi di riferimento S.R. e S.R.′ in moto relativo traslatorio e uniformelungo l’asse z con velocita relativa V e le cui origini O e O’ coincidono all’istante t0 = t′0 = 0(v. Fig. 1).Supponiamo che dal punto O≡O’ all’istante t0 = t′0 = 0 venga emesso un raggio di luce.Questo raggio raggiungera il punto P al tempo t nel sistema S.R. e al tempo t′ nel sistemaS.R.′ (N.B. nel caso delle trasformate di Galileo i due istanti coincidono). Il punto P avracoordinate spaziali P (x, y, z) nel sistema S.R. e P (x′, y′, z′) nel sistema S.R.′ (v. Fig. 2).

Le velocita del segnale nei due sistemi sono date dal rapporto tra lo spazio percorso e iltempo impiegato a percorrerlo e cioe:

S.R. : c =|~r |t

=

√x2 + y2 + z2

tS.R.′ : c′ =

|~r′ |t′

=

√x′2 + y′2 + z′2

t′

Se assumiamo che il segnale abbia la stessa velocita nei due sistemi e cioe c = c′, dato che~r 6= ~r ′ ⇒ t 6= t′.


Relativita speciale: Trasformazioni di Lorentz

Per la relativita speciale ciascun punto e caratterizzato dalle sue coordinate spaziali etemporale in un determinato sistema di riferimento. Siano:

(x0 = ct, x1, x2, x3) e (x′0 = ct′, x′1, x′2, x′3)le coordinate di uno stesso evento misurate da due sistemi inerziali S e S′. Se ilsistema di riferimento S.R.′ si muove parallelamente all’asse z di S.R. con velocitaV = βc, imponendo che la seguente espressione rimanga invariante:

(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 = (x′0)2 − (x′1)2 − (x′2)2 − (x′2)2 = invariante (1)

si ottengono le trasformazioni di Lorentz che legano le coordinate (x′0, x′1, x′2, x′3) diun punto P dello spazio-tempo nel sistema S.R.′ alle coordinate (x0, x1, x2, x3) cheesso ha nel sistema S.R.:

x′0 = γ

(x0 − βx3

)⇒ t′ = γ

(t− β

cx3)

x′1 = x1

x′2 = x2

x′3 = γ(−βx0 + x3

)= γ

(x3 − βct

)dove: γ = 1√

1−β2

β = Vc

(2)


Relativita speciale: Trasformazioni di Lorentz - Limite non relativistico

N.B. Nel caso particolare in cui la velocita tra i due sistemi e non relativistica e cioe:

V � c β � 1

avremo:

γ =1√

1− β2= (1− β2)−1/2 ' 1 +

1

2β2 (N.B.: (1 + x)α

x�1' 1 + αx)

Trascurando i termini di ordine β2, β3 e β/c (che sono tutti � 1), le trasformate diLorentz (2) si riducono alle trasformate di Galileo:

x′3 = γ(x3 − βct

)'(

1 +1

2β2

)(x3 − βct

)' x3 − βct (3)

t′ = γ

(t− β

cx3

)'(

1 +1

2β2

)(t− β

cx3

)' t (4)

Le trasformate di Galileo sono quindi un caso particolare di quelle di Lorentz,applicabili nel limite non relativistico della meccanica classica.


Relativita speciale: Trasformazioni di Lorentz delle velocita

Se differenziamo le coordinate spaziali del punto P (dx′1, dx′2 e dx′3) e ne facciamo i rapporticon il differenziale della coordinata temporale (dt′), troveremo come si trasformano lecomponenti (vx, vy , vz) della velocita del punto P passando dal sistema S.R. al sistema S.R.′:

dx′1 = dx1

dx′2 = dx2

dx′3 = γ(dx3 − βcdt

)dt′ = γ

(dt− β

cdx3)

v′x = dx′1

dt′ = dx1

γ(dt− β

cdx3

) =dx1/dt

γ(1− V

c2dx3

dt

) = vx

γ(1− V

c2vz

)

v′y = dx′2

dt′ = dx2

γ(dt− β

cdx3

) =dx2/dt

γ(1− V

c2dx3

dt

) =vy

γ(1− V

c2vz

)

v′z = dx′3

dt′ =γ(dx3−βcdt)γ(dt− β

cdx3

) =dt(dx3/dt−βc)dt

(1− β

cdx3/dt

) = vz−βc1− β

cvz

Riassumendo:

v′x = vx

γ(1− V

c2vz

)v′y =

vy

γ(1− V

c2vz

)v′z = vz−βc

1− βcvz


Relativita speciale: Trasformazioni di Lorentz delle velocita - Casiparticolari

Esaminiamo due casi particolari:1 Velocita del punto P lungo l’asse z e uguale alla velocita della luce.

Nel caso particolare:

vx = 0 ⇒ v′x = 0vy = 0 ⇒ v′y = 0

vz = c ⇒ v′z = vz−βc1− β

cvz

= c−βc1− β

cc

=c(1−β)

1−β = c

Le trasformazioni forniscono correttamente il risultato che la velocita della luce noncambia passando da un sistema di riferimento all’altro.

2 Velocita tra i sistemi di riferimento non relativistica.

Nel caso particolare:

V � c ⇒ β = V/c� 1 ⇒ β/c� 1 e γ ' 1 +1

2β2

ritroviamo la legge di composizione delle velocita delle trasformazioni di Galileo(trascurando il termine β/c� 1):

v′x = vx

v′y = vy

v′z = vz−βc1− β

cvz' vz − βc


Relativita speciale: Quadrivettori

Le coordinate spazio-temporali di un punto nello spazio a quattro dimensioni (spaziodi Minkowski) possono essere considerate come le quattro componenti di unquadri-vettore, detto controvariante:

xµ = (ct, x, y, z) = (ct;~r) µ = 0, 1, 2, 3

x0 = ct x1 = x x2 = y x3 = z

Come abbiamo visto, esse si trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimentoinerziale a un altro, secondo le trasformazioni di Lorentz.In generale, chiameremo quadrivettore controvariante un vettore di quattrocomponenti che, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale a un altro, sitrasforma secondo le trasformazioni di Lorentz.


Relativita speciale: Quadrivettori (continua)

Possiamo esprimere le trasformazioni di Lorentz in notazione matriciale.Scriviamo i vettori controvarianti xµ e x′µ delle coordinate spazio-temporali delpunto P nei sistemi di riferimento S.R. e S.R.′ come dei vettori colonna:

xµ =

ctxyz

(x′)µ =

ct′

x′

y′

z′

Il vettore colonna (x′)µ si otterra applicando al vettore colonna xµ la seguentematrice che definisce le trasformazioni di Lorentz:

Λµν =

γ 0 0 −βγ0 1 0 00 0 1 0−βγ 0 0 γ

ct′

x′

y′

z′

=

γ 0 0 −βγ0 1 0 00 0 1 0−βγ 0 0 γ

ctxyz

(5)



Possiamo esprimere sinteticamente le equazioni (4) con la seguente notazione:

(x′)µ =3∑ν=0

(Λµνxν) µ = 0, 1, 2, 3 (6)

cioe esplicitamente:

(x′)µ =3∑ν=0

(Λµνxν) = Λµ0x

0 + Λµ1x1 + Λµ2x

2 + Λµ3x3

µ = 0 : x′0 = Λ00 x0+ Λ0

1 x1+ Λ02 x2+ Λ0

3 x3

q q q q q q q q qct′ = γ ct+ 0· x+ 0· y −βγ· z

µ = 1 : x′1 = Λ10 x0+ Λ1

1 x1+ Λ12 x2+ Λ1

3 x3

q q q q q q q q qx′ = 0 ct+ 1· x+ 0· y+ 0· z

µ = 2 : x′2 = Λ20 x0+ Λ2

1 x1+ Λ22 x2+ Λ2

3 x3

q q q q q q q q qy′ = 0 ct+ 0· x+ 1· y+ 0· z

µ = 3 : x′1 = Λ30 x0+ Λ3

1 x1+ Λ32 x2+ Λ3

3 x3

q q q q q q q q qz′ = −βγ· ct+ 0· x+ 0· y+ γ· z



Il tensore metrico dello spazio-tempo e il tensore che consente di definire la distanza tra due(quadri-)punti nello spazio e il prodotto scalare tra due vettori. Esso e dato dalla seguentematrice:

gµν = gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

⇒ g00 = g00 = 1

g11 = g22 = g33 = g11 = g22 = g33 = −1gµν = gµν = 0 se µ 6= ν

(7)

Il cosiddetto quadri-vettore “covariante“ (con gli indici in basso) si ottiene applicando iltensore metrico gµν al rispettivo vettore controvariante:

xµ =3∑ν=0

gµνxν (= gµ0x

0 + gµ1x1 + gµ2x

2 + gµ3x3) (8)

Se svolgiamo esplicitamente le quattro equazioni (8) otteniamo che le quattro componentidel vettore controvariante sono:

xµ = (ct,−x,−y,−z)



Nelle equazioni (6), che esprimono le trasformazioni di Lorentz in forma matriciale:

(x′)µ =3∑ν=0

(Λµνxν) µ = 0, 1, 2, 3

si sottintende in generale il simbolo di sommatoria e si scrive:

(x′)µ = Λµνxν

Lo stesso si puo fare per le equazioni (8), che esprimono le trasformazioni per passare dalvettore controvariante a quello covariante:

xµ =3∑ν=0

gµνxν

scrivendo:xµ = gµνx

ν

Ogni volta dunque che vedete due indici ripetuti (l’indice ν in questo caso) e sottintesa unasomma su quegli indici, cioe si tratta di una notazione abbreviata. Ad esempio:

(x′)µ = Λµνxν = Λµ0x

0 + Λµ1x1 + Λµ2x

2 + Λµ3x3

xµ = gµνxν = gµ0x

0 + gµ1x1 + gµ2x

2 + gµ3x3

Si indice allora che gli indici ripetuti sono “contratti“ e cioe non figurano a sinistradell’uguale. Solo gli indici non ”contratti“ o liberi figurano anche a sinistra dell’uguale. Percontrarsi gli indici devono figurare uno in basso e uno in alto.


Relativita speciale: Prodotto scalare e Invarianti di Lorentz

Prodotto scalare tra due quadrivettoriIl prodotto scalare tra due quadrivettori:

Aµ =(A0, A1, A2, A3

)Bµ =

(B0, B1, B2, B3

)e definito come il prodotto del vettore covariante del primo per il vettore controvariante delsecondo. Ricordando che i rispettivi vettori covarianti sono:

Aµ =(A0,−A1,−A2,−A3

)Bµ =

(B0,−B1,−B2,−B3

)si ha:

A ·B = AµBµ =

3∑µ=0

AµBµ = A0B0 −A1B1 −A2B2 −A3B3 = A0B0 − ~A · ~B

Il quadrato di un quadri-vettore e definito come:

A2 = AµAµ = A0A0 −A1A1 −A2A2 −A3A3 = (A0)2 − ~A 2

Invariante di LorentzL’invariante di Lorentz e una quantita che rimane invariata per effetto di una trasformazionedi Lorentz. Si puo dimostrare che e un invariante di Lorentz il prodotto scalare tra duequalsiasi quadri-vettori:

A ·Be, come caso particolare, quindi anche il quadrato di qualsiasi quadri-vettore:

A2


Relativita speciale: Esempi di Quadrivettori e Invarianti di Lorentz

1) Quadrivettore spazio-tempo

xµ = (ct, x, y, z) = (ct; ~r ) Quadrivettore spazio-tempos2 = xµx

µ = (ct)2 − ~r 2 Quadrato del Quadrivettore

Il quadrato del quadrivettore spazio-tempo rappresenta la distanza al quadrato di unpunto di coordinate xµ dall’origine.Consideriamo i punti P=(ctP , xP ), Q=(ctQ, xQ), R=(ctR, xR) ed S=(ctS , xS) nelpiano (x, ct), come in figura (studiamo per semplicita la sola coordinata spaziale x).La retta delle ascisse (t = 0) rappresenta il presente. Le aree racchiuse tra le duebisettrici x = ±ct al di sotto e al di sopra della retta delle ascisse (punti S e P)rappresentano rispettivamente i punti dello spazio-tempo del passato e quelli delfuturo che sono accessibili a un osservatore che si trova in O al tempo t = 0. Le areeesterne a tali bisettrici (punto R) rappresentano i punti inaccessibili all’osservatore.



Vediamo perche.Per tutti i punti che giacciono lungo le rette bisettrici a ±45◦, come il punto Q, si hax = ±ct e quindi:

s2 = (ct)2 − x2 = (ct)2 − (±ct)2 = 0

Essi rappresentano l’insieme dei punti raggiungibili da un raggio che viaggia avelocita v = c, supponendo che esso si trovi in x = 0 al tempo t = 0.Per tutti i punti interni alle due rette (”cono di luce“), come il punto P, si ha ct > |x|e quindi:

s2 = (ct)2 − x2 > 0 perche ct > |x|

Essi rappresentano la zona di spazio-tempo nella quale un osservatore posto in O(t = 0, x = 0) puo trovarsi nel futuro (punto P) o dalla quale puo essere provenutodal passato (punto S) viaggiando a una velocita v < c.Per tutti i punti esterni al cono di luce, come il punto R, si ha ct > |x| e quindi:

s2 = (ct)2 − x2 < 0 perche ct > |x|

Essi sono punti dello spazio-tempo inaccessibili a un osservatore posto in O percheegli dovrebbe viaggiare a v > c per poterli raggiungere.



In generale, presi due punti P1 e P2, di coordinate spazio-temporali:

P1 = (ct1, ~r1) P2 = (ct2, ~r2)

la distanza tra di essi e definita come:

s212 = c2(t1 − t2)2 − (~r1 − ~r2)2

Se la distanza s12 tra di essi e tale che:

s212 ≥ 0

cio significa che i due punti possono essere collegati da un segnale che si propaga allavelocita della luce, o minore di essa, cioe tra di essi vi puo essere una relazione dicausa-effetto. In altre parole, un segnale che si trova nel punto dello spazio ~r1

all’istante t1 puo raggiungere il punto dello spazio ~r2 all’istante t2, se s212 ≥ 0.

Se invece la distanza tra i due punti e tale che:

s212 < 0

i due punti non possono essere collegati da un segnale, perche questo dovrebbepropagarsi a velocita superiore a quella della luce, quindi tra di essi non vi potra maiessere una relazione di causa-effetto.Essendo s12 un invariante relativistico, il segno di tale quantita sara lo stesso in tuttii sistemi di riferimento e pertanto se due eventi possono o non possono essere inrelazione di causa-effetto in un sistema essi lo saranno anche in tutti gli altri.



2) Quadrivettore velocita e tempo proprio

La grandezza dxµ

dtnon puo costituire un 4-vettore in quanto le differenze di coordinate

(dxµ) sono 4-vettori, cioe si trasformano come il 4-vettore posizione xµ, mentre ladifferenza di tempi (dt) si trasforma come la componente 0 di tale 4-vettore.Possiamo allora introdurre il concetto di tempo proprio τ di un corpo, definitocome il tempo misurato da un orologio in quiete rispetto al corpo stesso.Operativamente si puo pensare al tempo proprio tra due eventi come l’intervallo tradue eventi in quiete rispetto all’orologio, che si verificano cioe nello stesso punto. Intal caso l’invariante relativistico ds2 sara dato da:

(ds)2 = (cdτ)2 (9)

Essendo (ds)2 un invariante relativistico lo possiamo esprimere in un altro sistema diriferimento in moto con velocita V lungo l’asse x3 rispetto al precedente come:

(ds)2 = (cdt)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 = (cdt)2 − (d~r)2 (10)

Uguagliando la (9) e la (10), otteniamo che il tempo proprio sara dato dall’equazione:

dτ =

√(cdt)2 − (d~r)2

c(11)



Definiamo ora il quadrivettore velocita:

uµ =dxµ

dτ(12)

Siccome il tempo proprio, dτ , e un invariante allora uµ si trasforma come xµ.Analogamenente la quantita uµ si trasforma come xµ. Pertanto la quantita uµuµ einvariante.

Consideriamo un sistema inerziale S rispetto al quale la particella e vista muoversicon velocita ~v. Allora dalla (11) si avra:

dτ = dt

√1− 1

c2

(d~x

dt

)2

= dt√

1− β2 =dt

γ(13)

Pertanto la eq. (12) diventa

uµ = γdxµ

dt= γ(c, ~v) (14)

Ancora si avra:

uµ = γ(c,−~v)

uµuµ = γ2(c2 − ~v 2) = γ2c2(1− β2) = c2γ2 1γ2

= c2(15)



3) Quadrivettore energia-impulsoAnche l’energia e il 3-impulso di una particella costituiscono le componenti di un4-vettore impulso definito nel modo seguente:

pµ = muµ = (γmc, γm~v), (m = massa) (16)pµ = muµ = (γmc,−γm~v) (17)

per cui (mediante l’eq. (15))p2 = pµpµ = (mc)2. (18)

Definiamo l’energia:E = cp0 = γmc2 (19)

Per v = 0 → E = mc2 (energia a riposo della particella).Il 3-impulso e dato da:

~p = γm~v (20)

Pertanto il 4-impulso puo essere cosı espresso:

pµ =

(E

c, px, py, pz

)=

(E

c; ~p

)il cui quadrato e:

p2 =

(E

c

)2

− ~p 2 = (mc)2 (invariante) (21)



Da qui si ricava la relazione tra massa, 3-impulso ed energia totale di una particella:

E2 = (~pc)2 + (mc2)2 ⇒ E =√

(~pc)2 + (mc2)2 (22)

Inoltre possiamo definire l’energia cinetica

T = E −mc2 =√

(~pc)2 + (mc2)2 −mc2 (23)

Naturalmente nel limite classico ritroviamo la usuale definizione di energia cinetica:

β =v

c=γmv

γmc=γmv

E/c=|~p|mc

=|~pc|mc2

� 1

si ottiene K = ~p 2/2m. Infatti:

T = E −mc2 =√

(~pc)2 + (mc2)2 −mc2 = (mc2)

√1 +

(~pc)2

(mc2)2−mc2 ' (24)

' (mc2)

(1 +

1

2

(~pc)2

(mc2)2

)−mc2 =

~p 2

2m(25)



Il quadrivettore pµ si trasforma come il quadrivettore xµ tenendo conto delle analogie:

E

c2↔ t,

E′

c2↔ t′ e ~p↔ ~x, ~p ′ ↔ ~x ′ (26)

E′

c2= γ

(Ec2− β

cpz)

⇒ E′ = γ (E − β c pz)p′x = pxp′y = pyp′z = γ

(pz − βc Ec2

)⇒ p′z = γ

(pz − β Ec

)dove: γ = 1√

1−β2

β = Vc

(27)



Se il sistema di riferimento S.R. e quello in cui la particella e a riposo avremo:E = mc2

px = 0py = 0pz = 0

(28)

Prendiamo ora un sistema di riferimento S.R.′ che si muove con velocita -β lungol’asse z rispetto ad esso (cioe un sistema nel quale la particella viene vista muoversicon velocita β); in tale sistema essa avra quadri-impulso (sostituire le (28) nelletrasformazioni di Lorentz (27)):

E′ = γ( Exmc2y

− (−β)cpzx0y

) = γmc2

p′x = 0p′y = 0p′z = γ(pz

x0y− (−β)E/c

xmcy) = γβmc



4) Quadrivettore derivata spazio-temporaleLe derivate temporale e spaziali costituiscono le componenti di un quadrivettorecovariante cosi definito:

∂µ =∂

∂xµ=

(1

c

∂

∂t,∂

∂x1,∂

∂x2,∂

∂x3

)=

(1

c

∂

∂t,+~∇

)→ per c = 1 : ∂µ =

(∂

∂t; +~∇

)Il corrispondente vettore controvariante e:

∂µ =∂

∂xµ=

(1

c

∂

∂t,∂

∂x1,∂

∂x2,∂

∂x3

)=

(1

c

∂

∂t;−~∇

)→ per c = 1 : ∂µ =

(∂

∂t;−~∇

)

Quadrato dell’operatore quadri-gradiente (D’Alambertiano):

∂2 = � = ∂µ∂µ =

∂2

∂t2− ~∇2 (29)


Relativita speciale: Dilatazione dei tempi

Come conseguenza delle trasformate di Lorentz si ha il fatto che gli intervalli ditempo cambiano da un sistema di riferimento all’altro. Questo fatto eparticolarmente evidente nel caso del decadimento di una particella in volo. Se τ e lasua vita media quando essa e a riposo, quando si muove di velocita v essa decadrarispetto all’osservatore del laboratorio con una vita media τ ′:

τ ′ = γτ

Poiche γ > 1, cio significa che nel sistema in cui la particella si muove, essa verravista decadere dopo un tempo maggiore rispetto alla sua vita media (cioe al tempo didecadimento nel sistema in cui e a riposo). Consideriamo ad esempio il muone che haτ = 2.2µs. Se esso possiede un’energia di 50 GeV, la sua vita media misurata inlaboratorio sara (sapendo che m = 105MeV ):

τ ′ = γτ =E

mτ =

50 · 103MeV

105MeVτ ' 500τ = 1.1ms


Relativita speciale: Unita di misura dell’energia

Nella fisica classica l’energia si misura in Joule (J).

Una forma di energia e rappresentata dal lavoro eseguito da una forza ~F per eseguire unospostamento ∆~x inclinato di un angolo θ rispetto alla forza:

L = ~F ·∆~x = |~F | · |∆~x|cosθ ⇒ [L] = [F ][∆x] = 1J = 1N · 1m

In particolare nel caso della forza esercitata dal campo elettrico ~E su una carica q, la forza e:

~F = q · ~Ee lo spostamento della carica e parallelo alla forza che lo muove (cos θ=1), per cui il lavorocompiuto dal campo sara:

L = |~F |︸︷︷︸q·|~E|

·|∆~x| = q · | ~E||∆~x|︸︷︷︸∆V

= q∆V ⇒ [L] = J = [q][∆V ] = 1J = 1C · 1V

In fisica nucleare e delle particelle si adopera l’elettron-Volt (eV ) come unita di misuradell’energia: 1eV rappresenta l’energia guadagnata da un elettrone quando viene acceleratoda una differenza di potenziale di 1 Volt:

1eV = qe︸︷︷︸1.602·10−19C

×1V = 1.602 · 10−19 C · 1V︸︷︷︸J

= 1.602 · 10−19J (30)

1eV = 1.602 · 10−19J Relazione eV ↔ J

N.B. Oltre all’eV si usano frequentemente i suoi multipli:

1keV = 103eV 1MeV = 106eV 1GeV = 109eV


Relativita speciale: Unita di misura dell’impulso e della massa

Qualche precisazione sulle relazioni Energia-impulso-massa. Il vettore quadrimpulso e:

pµ = (E/c; ~p )

e la formula della relazione energia-impulso-massa e:

E2 = (~p c)2 + (mc2)2 o anche E =√

(~p c)2 + (mc2)2

cioe (|~p |c) e (mc2) hanno le dimensioni di un’energia:

[|~p |c] = eV ⇒ [|~p |] =eV

c(MeV

c,GeV

c)

[mc2] = eV ⇒ [m] =eV

c2(MeV

c2,GeV

c2)

Abitualmente si lavora nel sistema in cui c = 1. In tale sistema, il quadrimpulso si scrive:

pµ = (E; ~p ) c = 1

e la relazione energia-impulso diventa:

E2 = ~p 2 +m2 oppure E =

√~p 2 +m2

Pertanto, se gli impulsi vengono espressi in MeV/c e le masse in MeV/c2, per far tornare leunita di misura, nei calcoli occorre sostituire (~p c) ad ogni (~p ) e (mc2) ad ogni (m):

~p → ~p c m→ mc2

Es. β =|~p |E→ β =

|~p |cE


Relativita speciale: Relazione Kg ↔ MeV/c2

Abbiamo visto la relazione eV ↔ J (30):

1eV = 1.602 · 10−19J

Vediamo ora la relazione Kg ↔MeV/c2 (MeV/c2 e l’unita di misura della massa).Per fare questo vediamo prima la relazione Kg ↔ J :

1J = 1N︸︷︷︸1Kg×m

s2

×1m = 1Kg ×m

s2× 1m = 1Kg ×

m2

s2⇒ 1Kg = 1J ×

s2

m2

Relazione Kg ↔MeV/c2

1eV

c2=

1.602 · 10−19J

(3 · 108m/s)2=

1.602 · 10−19J

9. · 1016m2/s2= 1.7 · 10−36 J

s2

m2︸︷︷︸Kg

= 1.7 · 10−36Kg

1 eVc2

= 1.7 · 10−36Kg Relazione eV/c2 ↔ Kg


Relativita speciale: Esercizi

Qualche piccolo accorgimento per fare i calcoli:

Far apparire c vicino all’impulso e c2 vicino alla massa:

|~p | → |~p |c m→ mc2

h = 6.6 · 10−34J · s (costante di Planck)

c ' 300000Km/s = 3 · 108m/s

~c ' 200MeV · fm N.B. 1fm = 10−15m

~c = hc2π' 6.6·10−34J·s·3·108m/s

6.28' 3 · 10−26J ·m =

= 3 · 10−26 × 0.624 · 1019eV ·m = 1.9 · 10−7eV ·m == 1.9 · 10−7 · 10−6MeV · 1015fm ' 200MeV · fm

α = e2/(~c) = 1/137 (costante di struttura fine)

e2 = ~cα = 200MeV · fm · 1137

= 1.44MeV · fm


Relativita speciale: Cinematica

CONSERVAZIONE DEL QUADRIMPULSOLa conservazione dell’energia e del tri-impulso in un sistema chiuso possono essereriassunte nel principio di conservazione del quadri-impulso totale.Consideriamo un sistema di due particelle interagenti: le particelle prodotte nellostato finale devono avere un quadrimpulso totale uguale a quello iniziale.

p µ1 + p µ2 =n∑i=3

p µi µ = 0, 1, 2, 3

µ = 0 E1 +E2 = E3 +E4 + ... ⇒ Conservazione dell’energiaµ = 1 p1,x +p2,x = p3,x +p4,x + ...µ = 2 p1,y +p2,y = p3,y +p4,y + ... ⇒ Conservazione del tri-impulsoµ = 3 p1,z +p2,z = p3,z +p4,z + ...


Variabili di Mandelstam

Consideriamo una reazione nella quale due particelle iniziali di 4-impulso p1 e p2

interagiscono e producono due particelle finali di 4-impulso p3 e p4. Si definiscono variabilidi Mandelstam le seguenti tre quantita:

s = (p1 + p2)2 = (p3 + p4)2

t = (p1 − p3)2 = (p2 − p4)2

u = (p1 − p4)2 = (p2 − p3)2

Le uguaglianze tra stato iniziale e finale sono dovute alla conservazione dei 4-impulsi totali.Le variabili di Mandelstam sono degli invarianti relativistici (cioe sono uguali in ogni S.R.) inquanto sono il quadrato di 4-vettori e quindi possono essere calcolati nel S.R. nel quale ilcalcolo risulta piu semplice.Solo due delle variabili s, t, e u sono indipendenti. Infatti, le quantita non-triviali checaratterizzano il processo sono in totale sei: p1 · p2, p1 · p3, p1 · p4, p2 · p3, p2 · p4, p3 · p4 dallequali si devono sottrarre le quattro condizioni dovute alla conservazione “energia - impulso”:pµ1 + pµ2 = pµ3 + pµ4 con µ = 0, 1, 2, 3. Si puo facilmente dimostrare infatti che:

s+ t+ u = m21 +m2

2 +m23 +m2

4.


Cinematica relativistica: Sistema di riferimento del laboratorio (LAB)

Consideriamo un urto tra due particelle (1 e 2 nella figura). Con ”sistema diriferimento del laboratorio“ si intende di solito il sistema nel quale la particella”bersaglio“ e a riposo (ad esempio la particella 2) e solo la particella ”proiettile“ e inmoto:

{p1 = (E1; ~p1) dove: E1 =

√m2

1 + ~p 21

p2 = (m2;~0)

L’energia e l’impulso totali nel sistema del laboratorio saranno pertanto dati da:{ELABTOT = E1 +m2

~p LABTOT = ~p1

Se nello stato finale vengono prodotte solo due particelle (3 e 4 nella figura), laconservazione del quadrimpulso impone:{

E1 +m2 = E3 + E4

~p1 = ~p3 + ~p4


Cinematica relativistica: Sistema di rif. del centro di massa (C.M.)

Il ”sistema di riferimento del centro di massa“ e il sistema nel quale l’impulso totale e nullo epertanto le due particelle iniziali (1 e 2 nella figura) hanno tri-impulsi uguali in modulo edirezione ma opposti in verso:

p∗1 = (E∗1 ; ~p ∗) dove: E∗1 =√m2

1 + (~p ∗)2

p∗2 = (E∗2 ; −~p ∗) dove: E∗2 =√m2

2 + (~p ∗)2

Le energie totali sono diverse se le masse delle due particelle sono diverse.L’energia e l’impulso totali nel sistema del C.M. saranno pertanto dati da:{

E∗TOT = E∗1 + E∗2~p ∗TOT = ~0

Se nello stato finale vengono prodotte solo due particelle (3 e 4 nella figura), la conservazionedel quadrimpulso impone:{

E∗1 + E∗2 = E∗3 + E∗4~0 = ~p ∗3 + ~p ∗4 → ~p ∗3 = −~p ∗4 = ~p ′∗ back-to-back nel C.M.

N.B. Il sistema del laboratorio puo coincidere con il C.M. se i due fasci vengono fatti

collidere ”testa a testa“ con impulsi uguali e opposti.


Cinematica relativistica: Significato della variabile di Mandelstam s nelC.M.

Il significato della variabile di Mandelstam s e di facile interpretazione nel sistema diriferimento del C.M. Prese infatti due particelle 1 e 2, i loro tri-impulsi in talesistema sono uguali e opposti:

~p ∗1 = −~p ∗2 = ~p ∗

In tale sistema quindi avremo:

s = (E∗1 + E∗2 )2 − (~p ∗1 + ~p ∗2 )︸︷︷︸=~p ∗−~p ∗=~0

2 = (E∗1 + E∗2 )2 = (E∗TOT )2 (31)

⇒ ENERGIA TOTALE NEL C.M.La variabile di Mandelstam s rappresenta dunque il quadrato dell’energia totaledisponibile nel C.M.La variabile di Mandelstam s e il quadrato del quadrimpulso totale iniziale, ma anchedi quello finale (per la conservazione del quadrimpulso) ed inoltre e un invarianterelativistico: pertanto esso deve essere conservato tra stato iniziale e finale e deveavere lo stesso valore sia nel sistema del C.M. sia nel sistema del LAB.

sC.M./LABin = s

C.M./LABfin

Si fa spesso uso di questa relazione per risolvere i problemi di cinematica relativistica.R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 3 35 / 38

Cinematica relativistica: Decadimento di una particella in due particelle

Applichiamo i principi di conservazione al caso di una particella che decade in altredue particelle:

Mettiamoci nel sistema di riferimento del C.M. che e quello nel quale la particella chedecade e a riposo. In tale sistema avremo:

Stato iniziale

Part. 0: P = (M ;~0)

Stato finalePart. 1: p1 = (E1; ~p1)Part. 2: p2 = (E2; ~p2)

Applichiamo i principi di conservazione di energia e impulso:{M = E1 + E2 =

√m2

1 + ~p 2 +√m2

2 + ~p 2

~0 = ~p1 + ~p2 → ~p1 = −~p2 = ~p e |~p1| = |~p2| = |~p |(32)


Cinematica relativistica: Decadimento di una particella in due particelle(continua)

Alcune considerazioni:1) Elevando a quadrato entrambi i membri della prima delle due eq. (32) si ha:

M2 = m21 + ~p 2 +m2

2 + ~p 2 + 2√

(m21 + ~p 2)(m2

2 + ~p 2) =

= m21 +m2

2 + 2~p 2 + 2√

(m21 + ~p 2)(m2

2 + ~p 2)(33)

Il minimo valore possibile per M si ha per |~p | = 0 in corrispondenza del quale si ha:

M2 = m21 +m2

2 + 2m1m2 = (m1 +m2)2

Pertanto la massa della particella ”genitore“ deve essere sempre maggiore ouguale della somma delle masse delle particelle ”figlie“:

M ≥ m1 +m2

In particolare, se M = m1 +m2, le due particelle vengono emesse con impulso nullo, cioeferme.2) Le particelle prodotte escono ”back-to-back“ nel C.M. (v. seconda eq. (32)). Le direzionisono tutte possibili, il modulo invece e fissato e si puo ricavare dalla relazione (33).


Cinematica relativistica: Decadimento di una particella in due particelle(continua)

Dimostrate per esercizio che il modulo del vettore impulso delle due particelle efissato e vale:

|~p | = 1

2M

√M4 + (m2

1 −m22)2 − 2M2 (m2

1 +m22)

e che:

E1 =√m2

1 + ~p 2 =1

2M

(M2 +m2

1 −m22

)E2 =

√m2

2 + ~p 2 =1

2M

(M2 +m2

2 −m21

)⇒ E1 + E2 = M

Dal decadimento emergono quindi due particelle back-to-back che hanno energiadiversa (se m1 6= m2) ma fissa. Il decadimento a tre corpi, invece, non emonoenergetico (ad esempio e da questa considerazione che si e dedotto che neldecadimento β del neutrone (n→ p+ e− + νe) doveva essere emessa una terzaparticella, il neutrino (o meglio un anti-neutrino in questo caso), oltre alle due chevenivano rivelate, e cioe il protone e l’elettrone).


R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Lezione 3people.roma2.infn.it/.../2018/10/Lezione3_RelRistr-1.pdfR. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare

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