R I K LUM A N MATEMATIKA

1

MATEMATIKA

INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH

A. DEFINISI INTEGRAL TENTU

Bentuk integral f x dx f x c’( ) ( )= +∫ disebut sebagai integral tak tentu karena hasil dari pengintegralannya masih berupa fungsi. Integral tentu adalah bentuk pengintegralan di mana hasil integralnya berupa nilai tertentu. Bentuk umumnya adalah

f x dx f x fx a

x b

a

b

a

b

’( ) ’( )dx f(x) (b) f(a)= = ] = −=

=

∫ ∫

Di mana : x = a dinamakan batas bawah

x = b dinamakan batas atas

B. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TENTU

Apabila f(x), g(x) terde� nisi pada selang [a, b], maka:

1. f x dx f x xa

b

a

b

a

b

( ) g(x) ( )dx g( )dx±( ) = ±∫ ∫ ∫ 4. f x dx f x dx f x dxa

b

a

c

c

b

( ) ( ) ( ) = +∫ ∫ ∫

2. k f x dx k f xa

b

a

b

( ) ( )dx=∫ ∫ 5. f x dx f x dxb

a

a

b

( ) ( ) = −∫ ∫

3. f x dxc

c

( ) 0=∫

KE

LAS XII -

KURIKULUM GABUNG

ANSe

si

N

05

2

CONTOH SOAL

1. Nilai dari 2 50

2

x dx−( )∫ adalah ....

Jawab:

2 5 5

2 5 2 0 5 0

6

0

22

0

2

2 2

x dx x x−( ) = −( )= − ⋅( ) − − ⋅( )= −

∫

2. Nilai dari 3 51

4

x x x dx+( )∫ adalah ....

Jawab:

3 5 3 5

3 5

3

1

4 12

32

1

4

12

1

4 32

1

4

x x x dx x x dx

x dx x dx

x

+( ) = +

= +

=

∫ ∫

∫ ∫

112

1

4 32

1

4

32

1

452

1

4

5

323

525

dx x dx

x x

∫ ∫+

= ⋅

+ ⋅

== ( ) + ( )= −( ) + −( )= +=

2 2

16 2 64 2

14 6276

1

42

1

4

x x x x

3. sin2x cosx ⋅ =∫ dx0

6π

....

Jawab:

sin2x cosx

⋅ = +( )

= +

∫ ∫

∫

dx x x dx

x dx

0

6

0

6

0

6

12

3

12

312

π π

π

sin sin

sin siin

cos cos

cos

x dx

x x

0

6

0

6

0

612

13

312

16

9

π

π π

∫

= −

+ −( )

= −

00 012

30 0

16

12

12

3 1

23

14

3

°− °( ) − °− °( )

= − −

= −

cos cos cos

3

sin2x cosx

⋅ = +( )

= +

∫ ∫

∫

dx x x dx

x dx

0

6

0

6

0

6

12

3

12

312

π π

π

sin sin

sin siin

cos cos

cos

x dx

x x

0

6

0

6

0

612

13

312

16

9

π

π π

∫

= −

+ −( )

= −

00 012

30 0

16

12

12

3 1

23

14

3

°− °( ) − °− °( )

= − −

= −

cos cos cos

4. Diketahui f(x) dx

1

3

6∫ = dan g(x) dx3

1

4∫ = maka nilai 2f(x) 3g(x) −( )∫ dx1

3

adalah ....

Jawab:

2f(x) 3g(x)

−( ) = −

= −

∫ ∫ ∫

∫

dx f x dx g x dx

f x dx g

1

3

1

3

1

3

1

3

2 3

2 3

( ) ( )

( ) (( )

( ) ( )

x dx

f x dx g x dx

1

3

1

3

3

1

2 2 3

2 6 3 4

12 1

∫

∫ ∫= − −

= ⋅ − ⋅ −( )= +

2224=

5. Diketahui f(x) dx2

5

7∫ = dan 3f(x) dx1

2

9∫ = . Nilai dari 4f(x) dx1

5

∫ adalah ....

Jawab:

3f(x)

f(x)

f(x)

dx

dx

dx

1

2

1

2

1

2

9

3 9

3

∫

∫

∫

=

=

=

Maka

4f(x) f(x)

dx dx

f x dx x dx

1

5

1

5

1

2

2

5

4

4

4 3 7

∫ ∫

∫ ∫

=

= +

= +[

( ) f( )

]] = 40

4

6. Diketahui f xx x

x( )

,

,=

+ ≤

+ >

3 2 0

2 0

x maka nilai f(x) dx

−∫ =2

4

....

Jawab:

f(x)

dx f x dx x dx

x dx x

− −

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫

= +

= +( ) + +( )2

4

2

0

0

4

2

0

0

4

3 2 2

( ) f( )

ddx

x x x x= +

+ +

= −( ) + +

−

32

223

2

0 2163

8

2

2

0

0

4

x

−

= +

=

0

6163

343

7. Jika 2x+2 ( ) =∫ dxa

1

12 , maka nilai a yang memenuhi adalah ....

Jawab:

2x+2 ( ) =

+( ) =

+( ) − + ⋅( ) =+ − =

∫ dx

x

a a

a a

a

a

1

2

1

2 2

2

12

2 12

2 1 2 1 12

2 15 0

x

aa a+( ) −( ) =5 3 0

8. Hitunglah nilai x 2 − =∫ dx1

4

....

Jawab:

xx x

x xx

x xx x

− =− − ≥

− −( ) − <

⇒ − =

− ≥− <

22 2 0

2 2 02

2 22 2

,

,,,

maka

x 2 − = −( ) + −( )

= −( ) + −( )=

∫ ∫ ∫dx x dx x dx

x x x x

1

4

1

2

2

4

2

1

22

2

4

2 2

2 2

44 4 2 1 16 8 4 4

1 87

−( ) − −( ) + −( ) − −( ) = − +=

5

x 2 − = −( ) + −( )

= −( ) + −( )=

∫ ∫ ∫dx x dx x dx

x x x x

1

4

1

2

2

4

2

1

22

2

4

2 2

2 2

44 4 2 1 16 8 4 4

1 87

−( ) − −( ) + −( ) − −( ) = − +=

C. LUAS DAERAH

Salah satu aplikasi dari integral tertentu adalah menghitung luas daerah di bawah kurva atau di antara kurva. Suatu daerah di bawah kurva dapat dihitung menggunakan integral dengan mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Batas-batas daerah tersebut diketahui. Daerah yang dapat dihitung luasnya perlu diketahui:

a. Batas kiri dan kanannya,

b. Batas atas dan bawahnya.

Bentuk-bentuk batas daerah bisa berupa fungsi konstanta, fungsi linier atau nonlinier (kuadrat, pangkat 3, akar pangkat). Bila salah satu batas belum diketahui, maka perlu dicari terlebih dahulu sehingga luas daerah dapat dihitung.

2. Gambar daerah bila daerah tersebut masih dinyatakan dalam bentuk batas-batasnya. Kemampuan menggambar kurva atau garis sangat diperlukan agar dapat menghitung luas daerah.

3. Gunakan formula yang tepat untuk menghitung jenis-jenis daerah tertentu. Perhatikan gambar-gambar daerah dan rumus yang bersesuaian.

a. Bentuk Daerah Jenis 1

Bentuk yang pertama adalah:

y

a b

x = a x = b

y = f(x)

y = g(x)bawah

atas

kiri

kana

n

x

y

a b

y = f(x)

x

L f x g x dx

a

b

= −[ ]∫ ( ) ( )

L f x dxa

b

= ∫ ( )

6

CONTOH SOAL

1. Hitunglah luas daerah di bawah ini!

y

x1 4

y = x

Jawab:

L dx

L x x

L satuan luas

=

=

=

∫ x

1

4

1

423

143

2. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2, sumbu x, dan 1 < x < 3adalah ....

Jawab: Gambar daerah dengan teknik plot titik:

X Y

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Menghasilkan gambar

Batas atas: y = x2

Batas bawah: sumbu x

Batas kiri: x = 1

Batas kanan: x = 3

4

y9 y = x2

1

-2 -1 1 2 3

7

L x dx

L x

L satuan luas

=

=

=

∫ 2

1

3

3

1

313263

3. Hitunglah luas daerah berikut!

y

y6

6

2y = -x + 6

y x x= − +12

4 62

Jawab: Batas atas: y = -x + 6, Batas bawah: y x x= − +1

24 62 .

Batas kiri: x = 0, Batas kanan: x = 6.

L x x dx

L x x dx

L

= − +( ) − −

= −

=

∫

∫

612

312

0

6

0

6

2

2

4x+6

332

16

32

3616

216 0

18

2 3

0

6

x x

L

L satuan l

−

= ⋅ − ⋅

− ( )

= uuas

8

4. Luas daerah yang dibatasi oleh y x y x x= = =3 12

2, , dan adalah ....

Jawab:

Plot titik untuk y = x3 Plot titik untuk y x y x x= = =3 12

2, , dan

X Y X Y

-2 -8 0 0

-1 -1 2 1

0 0

1 1

2 8

Gambar kurva

-2 1 2

8

1

y

y = x3

x-1

-8

y x= 12

Batas atas y = x3, Batas bawah y x y x x= = =3 12

2, , dan .

Batas kiri x = 0, Batas kanan x = 2.

L x dx

x x

= −

= −

= ⋅ − ⋅

∫ 3

0

2

4 2

0

2

4 2

12

14

14

14

214

2

x

− ( )

=

0

3 satuan luas

9

5. Perhatikan gambar daerah berikut!

6 y = 6 – x

64

y = x

Luas daerah arsiran di atas adalah ....

Jawab: Batas atas: y x dan y x= − =6 , Batas bawah: sumbu x {y = 0}. Batas kiri: x = 0, Batas kanan: x = 6. Karena daerah memiliki 3 batas atas maka daerah harus dibagi menjadi 2, tepatnya oleh

x = 4.

Daerah 1

4

y = x

L x dx

x x

satuan luas

10

4

0

423163

=

=

=

∫

Daerah 2

y = 6 – x

4 6

L x dx

x x

s

24

6

2

4

6

6

612

36 18 24 8

18 162

= −( )

= −

= −( ) − −( )= −=

∫

aatuan luas

Luas total

L L L

satuan luas

= +

= +

=

1 2

163

2

223

10

6. Luas daerah yang dibatasi y = x2 + 1, y = 7 – x di kuadran 1 adalah ....

Jawab: Plot titik untuk y = x2 + 1 Plot titik untuk y = 7 – x

X Y X Y

-2 5 0 7

-1 2 1 6

0 1

1 2

2 5

Gambar kurva

A

1-1-2 2x

5

y

7

Titik A adalah titik potong fungsi y = x2 dan y = 7 – x. Koordinatnya bisa langsung didapatkan bila gambar gra� knya presisi. Bila khawatir dengan ketidakakuratan titik bisa didapatkan dengan substitusi

y y

x x

x x

x x

=+ = −

+ − =+( ) −( ) =

2

2

1 7

6 0

3 2 0

x = -3 x= 2

Maka Batas kiri x = 0, Batas kanan x = 2. Batas atas y = 7 – x, Batas bawah y = x2 + 1.

11

L x x dx

x x dx

x x x

= −( ) − +( )

= − −( )

= − −

∫

∫

7 1

6

612

13

2

0

2

2

0

2

2 3

= − −

− ( )

=

0

2

12 283

0

223

satuan luas

b. Bentuk Daerah Jenis 2

Bentuk daerah jenis kedua adalah

y

x

x = g(y)

y = b

y = a

x = f(y)

b

a

L f y g y dy f y g y dy

y a

y b

a

b

= −[ ] = −[ ]=

=

∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )

x

a

by x = f(y)

L f y dy f y dy

y a

y b

a

b

= ==

=

∫ ∫( ) ( )

12

CONTOH SOAL

1. Luas daerah gambar di bawah ini adalah ....

y

9

x

x y=

Jawab: Batas kanan: x y= , Batas kiri: sumbu y (x = 0). Batas atas: y = 9, Batas bawah: y = 0.

L y dy

dy

y

satuan luas

y

y

=

=

=

=

=

=

∫

∫

y

0

9

12

0

9

32

0

923

18

2. Luas daerah yang dibatasi oleh x = y + 6 dan x = y2 adalah .... Jawab: Plot titik untuk x = y2 Plot titik untuk x = y + 6

Y X Y X

-2 4 (4, -2) 0 6 (6, 0)

-1 1 (1, -1) 1 7 (7, 1)

0 0 (0, 0)

1 1 (1, 1)

2 4 (4, 2)

13

Gambar kurva

x = y2

y

x

B

A-2

2 x = y + 6

Dari gambar nampak jelas batasnya, yaitu: Batas kanan: x = y + 6, Batas kiri: x = y2. Batas atas: y = 3, Batas bawah: y = -2.

L y y dy

y y y

= +( ) −( )

= + −

= + −

− − +

−∫ 6

12

613

92

18 9 2 128

2

2

3

2 3

0

9

33

272

223

1256

= − −

= satuan luas

c. Rumus Cepat Mencari Luas

Rumus cepat dapat digunakan pada daerah-daerah yang memiliki kondisi sebagai berikut:

1. Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi kuadrat, atau

2. Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi linear.

Dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus:

L

D Da

=6 2

Dimana D = b2 – 4ac

14

Dimana a, b, dan c didapatkan dari proses sebagai berikut:

1. Bila fungsinya y = f(x) dan y = g(x), maka buat fungsi selisihnya y = f(x) – g(x).

Bila fungsinya x = f(y) dan x = g(y) , maka buat fungsi selisihnya x = f(y) – g(y).

2. Jangan sederhanakan fungsi selisihnya, kemudian tentukan a, b, dan c.

3. Tentukan D kemudian substitusikan ke formula luas: LD D

a=

6 2

CONTOH SOAL

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 – 3x – 10 dengan y = x + 2 ....

Jawab: Syarat dipenuhi, karena daerah dibatasi oleh 2 fungsi, yaitu satu fungsi kuadrat y = x2 – 3x

– 10 dan fungsi linier y = x + 2. Membentuk fungsi selisih

y x x x

y x x

= − −( ) − +( )= − −

2

2

3 10 2

4 12

a c

D b ac

D

D

= = − = −= −= − ⋅ ⋅ −( )=

1 4 12

4

16 4 1 12

64

2

, , b

Maka luas daerahnya

LD D

a

L

=

=⋅

=

664 64

6 1256

3

2

2 satuan luas

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh x = y2 + 2y – 1 dengan x = -y2 + 7y – 3.

Jawab: Memenuhi syarat. Daerah dibatasi oleh dua fungsi kuadrat. Membentuk fungsi selisih

x y y y y

x y y

= + −( ) − − + −( )= − +

2 2

2

2 1 7 3

2 5 2

15

a = 2, b = -5, c = 2 maka D = b2 – 4ac = 9

Maka luas daerahnya

L

D Da

= =⋅

=6

9 96 2

982 2 satuan luas

LATIHAN SOAL

1. x x dx+( ) −( ) =∫ 1 2 31

3

....

A. 263

B. 25

3

C. 233

D. 223

E. 213

2. 2 2

1

4 x x

xdx

+ =∫ ....

A. 44215

B. 44115

C. 43215

D. 41215

E. 40215

3. Bila f(x) 1

6

7∫ =dx dan 3f(x) 6

4

6∫ =dx maka 2f(x) 4

1

∫ =dx ....

16

A. -16 B. -18 C. -20 D. -22 E. -24

4. Diketahui 2f(x) 2

3

10∫ =dx , 12

22

3

g(x) ∫ =dx maka nilai dari f(x) g(x) −( )∫2

3

dx adalah ....

A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4

5. 4 5 52

x dxa

−( ) =∫ , maka nilai a adalah ....

A. 3B. 4C. 5D. 6E. 7

6. Perhatikan gambar berikut!

8x

yy

x= 2

Luas daerah arsiran diatas adalah .... satuan luas.

A. 603

B. 613

C. 623

D. 643

E. 703

17

7. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 + 2, sumbu x, dan 2 < x < 3 adalah ....

A. 303

satuan luas

B. 283

satuan luas

C. 273

satuan luas

D. 263

satuan luas

E. 253

satuan luas

8. Perhatikan gambar berikut!

y

x2

y = x

yx

= 12

Luas daerah arsiran di atas adalah .... satuan luas.A. 4B. 3

C. 52

D. 2E. 1

9. Luas daerah pada gambar di bawah adalah .... satuan luas.

2

2y = 2 – x

y = x2

18

A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5

10. Luas daerah yang dibatasi oleh y = 9 – x2 dengan y = 3x – 1 adalah .... satuan luas.

A. 3236

B. 3426

C. 3436

D. 3606

E. 3766

19

KUNCI JAWABAN LATIHAN SOAL

1. D 6. D

2. A 7. E

3. B 8. E

4. B 9. C

5. A 10. C