1 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII BAB 1 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Peta Konsep Kata Kunci : Grafik Fungsi Trigonometri, Definisi Limit Trigonometri, Metode Substitusi, Pemfaktoran dan Menyederhanakan Limit Fungsi Trigonometri Grafik fungsi trigonometri Pengertian Limit Melalui Pengamatan Grafik Fungsi Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri Rumus dasar Limit Fungsi Trigonometri Metode Menyederhanakan Pemahaman Secara Intuisi Limit Trigonometri Metode Substitusi Langsung Dan Pemfaktoran
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
BAB 1 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Kata Kunci :
Grafik Fungsi Trigonometri, Definisi Limit Trigonometri, Metode Substitusi, Pemfaktoran
dan Menyederhanakan
Limit
Fungsi Trigonometri
Grafik
fungsi trigonometri
Pengertian Limit Melalui
Pengamatan Grafik Fungsi
Menyelesaikan Limit Fungsi
Trigonometri
Rumus dasar Limit Fungsi
Trigonometri
Metode
Menyederhanakan
Pemahaman Secara Intuisi
Limit Trigonometri
Metode Substitusi Langsung
Dan Pemfaktoran
2 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
BAB 1
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Masih ingatkah anda definisi
yang telah dipelajari dalam
matematika wajib kelas X ?
Limit suatu fungsi aljabar.
Limit fungsi:
Suatu limit f(x) dikatakan
mendekati a {f(x), a} sebagai
suatu limit.
Bila x mendekati a {x → a},
Dinotasikan Lim F(x) = L
Limit fungsi bagian dari
pengantar kalkulus (hitungan
diferensial dan integral),
namun dasar kalkuls yang
disefinisikan Augustin-Louis
Cauchy 1789-1857)
berkebangsaan prancis
Ada dua macam cara untuk memahami pengertian limit fungsi di suatu titik, yaitu :
1) Pengamatan grafik di sekitar titik yang di tinjau. Dapat diseskripsikan menggunakan
alat peraga dua buah potongan kawat dan satu lembar film tipis. Film ini ditempatkan
vertikal/tegak lurus terhadap sumbu x dengan arah permukaaannya menghadap ke
kanan dan ke kiri.
2) Perhitungan nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Dapat dipahami dengan
cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau.
Pada pokok bahasan ini kita akan membicarakan cara Limit fungsi trigonometri terutama menjelaskan, menentukan dan menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Kami menganggap pembaca telah mengenal trigonometri dan akraf dengan definisi fungsi trigonometri yang berdasarkan sudut dan segitiga siku-siku.
Mengingat petingnya memahami limit trigonometri alangkah baiknya kita
dingingatkan kembali dengan sifat-sifat dasar sinus dan cosinus serta grafik fungsi
trigonometri berikut ini:
xx sin)2sin( , xx cos)2cos(
xx sin)sin( , xx cos)cos(
xx cos)2
sin(
, xx sin)2
cos(
Kompetensi Dasar Materi
Pembelajaran Kegiatan Pembelajaran
3.1 Menjelaskan dan menentukan limit fungsi trigonometri
4.1 Menyelesaikan
masalah berkaitan dengan limit fungsi trigonometri
Limit fungsi Trigonometri
Mencermati gambar yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri.
Menerapkan limit fungsi trigonometri dalam pemecahan masalah.
Mempresentasikan gambar yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri
Mempresentasikan pemecahan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri
Mempresentasikan penerapan limit fungsi trigonometridalam pemecahan masalah.
3 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
A. Grafik Fungsi Trigonometri
Sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x). Pasangan-pasangan (x, f(x)) merupakan koordinat
titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi f. Koordinat titik-titik yang diperoleh dihubungkan
sehingga terbentuk kurva mulus.
Berikut ini adalah grafik fungsi di bawah ini untuk syarat 0 ≤ x ≤ 360o!
a. y = sin x b. y = cos x c. y = tan x
Penyelesaian : a. y = sin x
Gambar 1.1
b. y = cos x
Gambar 1.2
c. y = tan x
Gambar 1.3
Bahkan dengan pengamatan sekilas saja kita dapat melihat empat hal tentang grafik-grafik ini:
1) Sin x dan cos x keduanya berkisar antara -1 dan 1
2) Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan sepanjang 2π.
3) Grafik y = sin x simetris terhadap titik asal, y = cos x simetris terhadap sumbu y
4) Grafik y = sin x sama seperti y = cos x, tetapi digeser 2
satuan ke kanan
4 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
B. Pengertian Limit Fungsi Melalui Pengamatan Grafik Fungsi
Percobaan sebuah film tipis ditempatkan tegak lurus (vertikal) terhadap sumbu x dengan
arah permukaan menghadap kekanan dan kekiri. Kawat 1 berada disebelah kiri film dan kawat 2
berada disebelah kanan film. Kedua kawat ini digerakan vertikal ke atas dan ke bawah atau
horizontal ke kanan dan ke kiri mendekati film, seperti gambar berikut ini:
a) 1)(lim Lxfax
, 2)(lim Lxfax
dan 21 LL b) 1)(lim Lxfax
, 2)(lim Lxfax
& 21 LL
Gambar 1.4
penjelasan point :
a. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ada dan nilai limit itu sama dengan L
b. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
1)(lim Lxfax
, tetapi )(lim xfax
tidak ada maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
Gambar 1.5
)(lim xfax
tidak ada, tetapi 2)(lim Lxfax
maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
Gambar 1.6
5 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
)(lim xf
ax tidak ada, tetapi )(lim xf
ax tidak ada maka limit f(x) untuk x mendekati a tidak ada
Gambar 1.7
Suatu seketika titik ujung kawat menyatukan film, sehingga dapat diperkirakan
berapa tinggi titik ujung kawat terhadap sumbu x. Untuk memperkirakan ketinggian itu,
bentuk kawat dapat dianggap sebagai grafik fungsi y = f (x) dalam daerah asal x < a, x >a
dan posisi film sebagai garis tegak dengan persamaan x = a.
Dalam matematika, perkiraan ketinggian ujung kawat terhadap sumbu x di
ucapkan sebagai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan maupun kiri
(tergantung titik ujung kawat yg digerakan dari arah mana). Misalkan bahwa ketinggian
yang diperkirakan itu adalah 1L dan 2L , maka notasi singkat limit dapat dirangkum dengan
daftar seperti diperlihatkan pada tabel 1.1 berikut ini:
Kegiatan 1.1
Menjelaskan dengan mencermati gambaran berkaitan dengan limit
Tabel 1.1 Hasil Pengamatan grafik diatas dapat dirangkum pada tabel 1.1 berikut :
No Gambar
Limit kiri )(lim xfax
Limit Kanan )(lim xfax
)(lim xfax
1.4 a Ada, nilai 1L Ada, nilai 2L Ada nilai L ,karena LLL 21
1.4 b Ada, nilai 1L Ada, nilai 2L ..............., 21 LL
1.5 a,b Ada, nilai 1L ............... ...............
1.6 a,b ............... Ada, nilai 2L ...............
Ternyata keadaan tidak semudah apa yang kelihatan. Kalkulator mungkin mengecoh kita,
demikian juga dengan intuisi kita. Perhatikan contoh berikut :
2) Cari ...000.10
coslim 2
0
xx
x
Penyelesaian :
Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel yang diperlihatkan pada tabel dibawah
ini. Kesimpulan yang disarankan adalah bahwa limit yang diinginkan adalah 0. Tetapi itu salah, Jika
kita ingat kembali grafik y = cos x, kita sadari bahwa cos x mendekati 1 untuk x mendekati 0. Jadi
nilai limit fungsi trigonometri dapat dilihat pada tabel 1.3 berikut ini:
x ±1 ±0,5 ±0,1 ±0,01 → 0
000.10
cos2 xx 0,99995 0,24991 0,009990 0,000000005 ... ?
Kesimpulan yang diperoleh bahwa :
........
....lim....lim
000.10
coslim
0
2
0
2
0
xxx
xx
Perhatikan contoh berikut ini yang mengetengahkan pertanyaan rumit tentang limit. Anda
di minta menentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri dengan menentukan nilai-nilai x yang
mendekati 0 (gunakan kalkulator.
3) Cari ...1
sinlim0
xx
Penyelesaian :
7 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel untuk menghitung nilai )1
sin(x
pada
semua nilai x pada tabel 1.4 yang diperlihatkanberikut ini:
X
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2 → 0
x
1sin 1 0 -1 0 ... ... ... ... ... ?
Berdasarkan tabel menunjukan bahwa nilai selalu berulang antara -1 dan 1 banyak sekali secara
tak berhingga. Jelas
x
1sin tidak berada dekat suatu bilangan unik L bilamana x mendekati 0.
Kesimpulannya
xx
1sinlim
0....
D. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri
Perhatikan contoh limit-linit fungsi yang telah dipelajari sebelumnya :
...sin
lim0
x
x
x ...
000.10
coslim 2
0
xx
x ...
1sinlim
0
xx
Limit diatas dapat ditulis sebagai )(lim xfax
dengan f(x) adalah fungsi-fungsi yang memuat
perbandingan trigonometri. Bentuk limit fungsi semacam itu disebut limit fungsi trigonometri.
Dalam beberapa kasus pada prinsipnya sama seperti cara menentukan limit fungsi aljabar.
Pertama anda menyelesaikan soal limit tersebut dengan cara substitusi langsung, jika hasil yang
diperoleh bukan bentuk tak tentu 0
0, hasil tersebut merupakan nilai limit yang dicari. Jika hasilnya
bentuk taktentu 0
0, anda dapat menggunakan rumus-rumus trigonometri yang telah anda kenal,
baik pada pembilang maupun penyebut untuk menyederhanakannya. Dengan demikia, pembilang
dan penyebut tersebut tidak lagi melibatkan Fungsi trigonometri yang menyebabkan bentuk 0
0.
1) Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri
Pada pembahasan limit fungsi trigonometri dapat diselesaikan menggunakan rumus dasar
limit fungsi trigonometri dibawah ini:
1sin
limsin
lim00
x
x
x
x
xx 1
tanlim
tanlim
00
x
x
x
x
xx
Berikut ini pembuktian rumus 1sin
limsin
lim00
x
x
x
x
xx
8 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Pada gambar 1.8 di perlihatkan lingkaran berpusat o dan jari-jari (r) = 1 satuan dengan besar sudut AOP = x radian. Jika besar sudut x mendekati nol, maka titik P (cos x, sin x) akan mendekati A (1,0). Dalam keadaan demikian diperoleh hubungan :
1coslim0
xx
dan 0sinlim0
xx
Perhatikan garis PB tegak lurus sumbu x dan menyinggung busur lingkaran kecil BC di titik B. Jadi jelas bahwa : Luas sektor OBC ≤ Luas Δ OBP ≤ Luas sektor OAP
Berdasarkan rumus luas :
Luas sektor OBC = ½. (OB)2. X = ½. Cos2x. x
Luas Δ OBP = ½. OB.PB = ½. Cosx. sin x
Luas sektor OAP = ½. (OA)2. X = ½. (1)2. X= ½ x
Dengan demikian diperoleh hubungan
½. Cos2x. x ≤ ½. Cosx. sin x ≤ ½ x (masing-masing dikalikan xx cos.
2) diperoleh
xcos ≤ x
xsin ≤
xcos
1 : untuk x mendekati nol, hubungan menjadi:
1sin
lim10
x
x
x atau 1
sinlim1
0
x
x
x
Pertidaksamaan terakhir ini menunjukan bahwa: 1sin
limsin
lim00
x
x
x
x
xx
Kegiatan 1.3
Menemukan rumus umum limit fungsi trigonometri dengan cara mandiri
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri diperlukan rumus-rumus sebagai berikut:
1tan
limtan
lim00
x
x
x
x
xx
Bukti:
...)(....)(......
sinlim
........
1lim
cos
sinlim
tanlim
0000
x
x
x
x
x
x
xxxx
b
a
bx
ax
bx
ax
xx
sinlim
sinlim
00 atau
b
a
bx
ax
bx
ax
xx
tanlim
tanlim
00
Bukti :
9 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
....
....lim
....
....lim
....
....lim
....
....
....
....
sinlim
sinlim
00000
xxxxxxxxx
bx
ax
bx
ax
...
.........
....sinlim
0
xx
bx
bx
x
Bukti :
....
....lim
....
....lim
....
....lim
....
....
....
....tanlim
tanlim
00000
xxxxxxxxx
bx
ax
bx
ax
...
.........
tanlim
0
xx
bx
ax
x
b
a
bx
ax
bx
ax
xx
sin
tanlim
tan
sinlim
00
Bukti :
....
....lim
....
....lim
....
....lim
....
....
....
....
tan
sinlim
tan
sinlim
00000
xxxxxxxxx
bx
ax
bx
ax
...
.........
tan
sinlim
0
xx
bx
ax
x
2) Metode substitusi langsung dan Pemfaktoran
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini:
1. 1(....)....cossinlim
xxx
2. .......
....
(....)2
....1
2cos2
cos1
cos2
2cos1lim
2
x
x
x
3. .......
....
........
...
0cos0sin
0sinlim
cossin
sinlim
00
xx xx
x
4. .......
....lim
......
...lim
)1...)((.........
)1sin(...)(.........lim
34
)1sin()32(lim
11121
xxxx x
x
xx
xx
5. ......
...lim
......))(........2(
...lim
44
)2cos(1lim
2222
xxx xxx
x
3) Metode Menyederhanakan
Kegiatan 1.4 Menentukan Limit trigonometri dengan cara Menyederhanakan Secara Mandiri
1)Tentukan Limit : 2
1
cos
sin1lim
2
2
x
x
x
Langkah 1 :
Substitusi 2
x , diperoleh
...
...
...)(cos
...1
...cos
...sin1lim
22
2
x
Karena hasil 0
0 (Bukan penyelesaian)
Langkah 2 :
Anda harus merubah penyebut x2cos
10 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Bentuk ........))(........sin1(cos2 xx dengan demikian :
.......))(........sin1(
...sin1lim
.cos
sin1lim
2
2
2x
x
x
x
xx
Langkah 3 :
Menyederhakan faktor penyebut 0 pada pembilang dan penyebut
...
...lim
.cos
sin1lim
2
2
2
xx x
x
Langkah 4 :
Mensubstitusi x = µ/2 ke fungsi yang tersisa
2
1
...
...
.cos
sin1lim
2
2
x
x
x
2) Tentukan Limit : ...3sin2
cos1lim
0
xx
x
x
Jika kita substitusikan x = 0 diperoleh bentuk 0/0. Maka perlu mengubahnya lewat identitas trigonometri.
...
2
1sin
2
1cos1
lim...
)2
1sin
2
1(cos1
lim3sin2
cos1lim
22
0
22
00
xxxx
xx
x
xxx
=...
...lim
...
2
1sin
2
1sin
lim0
22
0
xx
xx
=...
...lim
)3)(3).(sin2
1).(
2
1.(2
3).2
1).(sin
2
1)(
2
1).(sin
2
1.(2
lim00
xx
xxxxx
xxxxx
=...
...lim
)3)(3).(sin2
1).(
2
1.(2
3).2
1).(sin
2
1)(
2
1).(sin
2
1.(2
lim00
xx
xxxx
xxxx
= 12
1
6
1.1.1.1.
2
1
Untuk lebih memahami konsep menyederhanakan limit trigonometri perhatikan soal dibawah ini :
Contoh Metode Menyederhanakan
3
2
03030 16
)4sin2(2tanlim
16
....).....(.........2tanlim
16
2tan8cos2tanlim
x
xx
x
x
x
xxx
xxx
4)....
....)((...)(....)
8
...)(
2
...)(2(lim
20
xxx
11 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
4
1
cos4
1lim
............................
.................lim
)cossin2(
sinlim
...................
...................lim
)2sin21(1
)sin21(1lim
4cos1
2cos1lim
200
2
2
002
2
00
x
xx
x
x
x
x
x
xx
xxxx
1
)]2
([
)]2
(sin[
lim
2
)2
sin(
lim
2
coslim
222
x
x
x
x
x
x
xxx
4
1)1.(
22
1
2
)2sin(
2
1lim
)2sin(lim
222
x
x
xx
x
xx 2
2tan
1 tantan2
a
aa
Uji Kompetensi 1.1
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
1) x
x
x 2
6sinlim
0 8)
x
x
x 5
2tanlim
0
2) x
x
x 3
4tanlim
0 9)
x
x
x 5
2tanlim
0...
3) ...tan.
3tan.2tanlim
0
xx
xx
x 10) ...
3tan
2sinlim
2
2
0
x
x
x
4)
)
4(
)4
sin(
lim
4 x
x
x
... 11) ...32
)1sin().13(lim
21
xx
xx
x
5)
)
3(
)3
sin(
lim
3 x
x
x
... 12)
)3
cos(lim
2
xx
...
6)
)2sin(lim
2
xx
... 13)
)4
(sinlim 2
2
xx
7)
23
6sin)1(lim
3
2
0 xx
xx
x... 14)
)
3
3)3sin(lim
3 x
xx
x
Uji Kompetensi 1.2
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
1. )1...(
2tan2
1sin
lim0
xx
xx
x
2.
20
)12(coslim
x
x
x... sifat identitas [‒ 2 sin2a]
cos 2a = cos2a ‒ sin
2a
cos 2a = 2 cos2a ‒ 1
cos 2a = 1 ‒ 2 sin2a
Sudut rangkap
Kesamaan setengah sudut
2
cos1)
2sin(
xx
2
cos1)
2cos(
xx
Rnxn
nx ),2
(sin21cos 2
12 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
3. ..3sin2
cos1lim
0
xx
x
x xxx
2
1sin
2
1coscos 22
4. )8
1.......(
2tan
cos1lim
20
x
x
x 5. )4...(
2tan
14coslim
0
xx
x
x
TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 1.1
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
1.
20
)1(coslim
x
x
x... -(1/2)
Indentitas trigonometri
2. ...)5cos3(cos
lim20
x
xx
x (8)
Rumus Penjumlahan dan Selisih Sinus dan cosinus
3. 30
sin1tan1lim
x
xx
x
= .... (1/4) kalikan akar sekawan & menyederhanakan
4. )2...(2cos2sin
)cos3(coslim
2
xx
xx
x
5. ...2
2cos3sin3sinlim
30
x
xxx
x
TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 1.1
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
1. ...3coscos
4lim
2
0
xx
xx
x (1/2) (SBMPTN2013)
a. Selisih Sinus dan cosinus dan menyederhanakan
2.
)1(2
1cot).12(
)1(2sinlim
20
xxx
x
x (1) (SIMAK UI)
Rumus Penjumlahan dan Selisih Sin dan cos
13 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
BAB 2 LIMIT KETAKHINGGAAN
FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Kata Kunci :
Limit Fungsi Ketakhinggaan, Limit bentuk ∞/∞ , Limit ∞-∞ dan Aplikasi Limit ∞
Limit Ketakhinggaan Fungsi Aljabar &
Trigonometri
Bentuk
)(
)(lim
xg
xf
x
Bentuk
)()(lim xgxfx
Aplikas
Limit Fungsi
xlim Aljabar
xlim Trigonometri
Pengertian dan
Nilai Limit Ketakhinggaan
14 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
BAB 2
LIMIT KETAKHINGGAAN FUNGSI ALJABAR & TRIGONOMETRI
Tak hingga adalah
suatu nilai yang
demikian besar.
Saking besarnya nilai
tak hingga sehingga
bilangan apapun akan
dianggap kecil
dibandingkan dengan
nilai ∞. Untuk
memahami limit tak
hingga ini kita baca
dulu paradok filsuf
Zeno dan Elen tentang
perlombaan kelinci
dan kura-kura.
Seekor kelinci akan berlomba dengan seekor kura-kura dengan syarat pada detik pertama
jarak yang ditempuh 1/10 jarak sebelumnya. kelinci berlari dengan kelajuan 10m/s dan kura-kura
hanya 1 m/s. Oleh kura-kura lebih lambat diputuskan kura-kura start 10 m didepan anjing.
Pertanyaan yang muncul siapakah yang menjadi pemenang lomba tersebut?
Oleh karena kelinci berlari jauh lebih cepat daripada kura-kura, kelinci merasa akan dapat
menangkap kura-kura. Masalahnya, begitu kelinci telah menempuh jarak 10 m pertama dan tiba
ditempat kura-kura mula-mula berada, kura-kura telah maju 1 m, dan masih memimpin didepan
kelinci. Saat kelinci telah menempuh jarak 1 m, kura-kura telah maju lagi 0,1 m sehingga masih
tetap memimpin didepan.Demikian seterusnya, kelinci terus mendekat dan lebih mendekat dan
lebih mendekat ke kura-kura, tetapi tidak pernah berhasil menangkap kura-kura.
Kelinci kura-kura
kec 10 m/s kec 1 m/s
10 meter
Kita dapat menghitung total jarak yang ditempuh kelinci dari sebelah kiri dan kura-kura
dari sebelah kanan, dengan t menyatakan selang waktu (s) ketika kelinci berhasil menangkap kura-
kura sebagai berikut: (10 m/s) t = (1 m/s) t + 10 m
Penyelesaiannya adalah t = 9
11 m/s dimana kelinci telah berlari sejauh (10 m/s) )9
10( s = m
9
100
Teka-teki yang diajukan zeno cerita paradoksnya adalah bisa terjadi bahwa :
9
100...
100
1
10
1110 ................*)
Ruas kiri dari persamaan *) menyatkan penjumlahan bilangan-bilangan dengan karakteristik
tertentu tanpa batas, sedangkan ruas kanannya menyatakan hasil tertentu. Coba perhatikan ruas
kiri persamaan *) yaitu : ...100
1
10
1110 (deret geometri)
Kompetensi Dasar Materi
Pembelajaran Kegiatan Pembelajaran
3.2 Menjelaskan dan menentukan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
4.2 Menyelesaikan
masalah berkaitan dengan eksistensi limit di ketak-hinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Limit fungsi trigonometri
Mencermati pengertian yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri dan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit di ketakhinggaan fungsi trigonometri dan fungsi aljabar.
Menggunakan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri dalam pemecahan masalah
Menyajikan penyelesaian masalah berkaitan dengan eksistensi limit di ketak-hinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
15 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
U1 = 10 dan 10
1
1
2
U
Ur (banyak suku n tak hingga)
Sesuai dengan rumus deret geometri tak hingga :
...100
1
10
1110 =
10
11
)10
11(1
lim
n
n
U,
Sekarang bagaimana menghitung
...*)9
111
9
100
10
11
)10
11(1
lim
n
n
U
A. Limit Fungsi Berbentuk )(lim xfx
Kegiatan 2.1
Pengertian dan nilai limit fungsi ketakhinggaan
Pandanglah fungsi )1(
)(2x
xxf
digambarkan grafikya secara agak cermat pada gambar 2.1.
Kita mengajukan pertanyaan ini: apa yang terjadi pada f (x) bila x menjadi semakin lama semakin
besar? Dalam lambang kita menanyakan nilai )(lim xfx
Gambar 2.1
Bilamana kita menuliskan x →∞, kita tidak mengatakan bahwa pada suatu tempat jauh ke
arah kanan pada sumbu x, terdapat suatu bilangan lebih besar dari pada semua bilangan
lain yang didekati oleh x. Melainkan, kita menggunkan x →∞ sebagai cara singkat untuk
mengatakan bahwa x menjadi semakin besar tanpa batas.
Dalam tabel 2.1, kita telah mendaftarkan nilai-nilai )1(
)(2x
xxf
untuk beberapa nilai x.
Kelihatan bahwa f(x) menjadi semakin kecil bilamana x menjadi semakin besar. Kita tuliskan
....1
lim)(lim2
x
xxf
xx
Dari pengalaman dengan bilangan-bilangan negatif besar akan mengantarkan kita bahwa
....1
lim)(lim2
x
xxf
xx
Tabel 2.1
X )1(
)(2x
xxf
10 ...
100 ....
1000 .....
↓ ↓
∞ ....
16 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Definisi Cermat Limit x → ± ∞, Dalam analogi dengan definisi ε, σ kita untuk limit-limit biasa,
kita membuat definisi berikut :
Gambar 2.1
(Limit bila x →∞). Andai f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan
bahwa Lxfx
)(lim jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan
sedemikian sehingga: LxfMx )(
(Limit bila x →-∞). Andai f terdefinisi pada [-∞, c) untuk suatu bilangan c. Kita katakan
bahwa Lxfx
)(lim jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan
sedemikian sehingga: LxfMx )(
Jadi Jelas Jika k bilangan bulat positif, maka
01
lim)(lim kxx x
xf 01
lim)(lim kxx x
xf
B. Menyelesaikan Bentuk
)(
)(lim
xg
xf
x
Buktikan bahwa 01
lim2
x
x
x
Penyelesaian :
Di sini kita menggunakan trik baku yaitu dengan membagi pembilang dan penyebut dengan
pangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yakni x2
010
0
1lim1
lim
1lim
11
1
lim1
lim1
lim
222
2
2
2
xx
x
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Kegiatan 2.2
Memahami dan mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
Tentukan Limit : ...28
524lim
3
23
xx
xx
x
17 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Langkah 1 :
Tentukan pangkat tertinggi dari x yang terdapat pada fungsi pecahan polinomial tersebut.
Pangkat tertingginya adalah 3x
Langkah 2 :
Kalikan baik pembilang sama penyebut dengan kebalikan pangkat tertinggi yaitu 3
1
x
............
...
...
...
1..
54
lim..................................
..................................lim
...
...
1
...28
524lim
3
3
23
x
x
xx
xx
xxx
Langkah 3 :
Substitusikan nilai x , kemudian perhatikan bahwa setiap bentuk 01
lim nx x
untuk n
positif, sehingga akan diperoleh nilai limit yang dinyatakan :
2
1
...
...
0......
......4lim
x
Berdasarkan soal diatas Cari hubungan (kaitan) antara hasil limit yang diperoleh, yaitu 2
1
dengan suku-suku yang memiliki x dengan pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya.
...
...lim
)(
)(lim
m
m
n
n
xx xp
xa
xg
xf
Uji Kompetensi 2.1
Carilah Nilai limit berikut atau tunjukan bahwa limit tersebut tidak ada bahwa dalam pengertian tak-terhingga sekalipun.
1) ...52
643lim
2
2
xx
xx
x 7) ...
5
sinlim
2
2
2) ...14
2lim
3
2
x
xx
x 8) ...sinlim
x
x
3) ...123
64lim
2
23
xx
xx
x 9) ...
1sinlim
xx
4) ...2
23lim
3
23
xx
xx
x 10) ...
sinlim
x
x
x
5) ...12
lim4
3
x
xx
x 11) ...
1sinlim
xx
x
6) ...1
2lim
23
35
xx
xx
x 12) ...)
1sin(lim
xx
x
18 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Kegiatan 2.3
Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
Perhatikan Uji kompetensi 2.1 sebelumnya telah diperoleh penyelesaian masing-masing soal.
Daftarkan suku tertinggi pembilang f(x), suku tertinggi penyebutnya g(x), Untuk memahami dan
mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
Soal untuk
Suku tertinggi
)(
)(
xg
xf
Hasil
limit Pembila
ng f(x)
Penyeb
ut g(x)
1 x →∞ 23x 22x 2
2
2
3
x
x 2
3
2 x →-∞ ... ... ... ...
3 x →∞ ... ... ... ...
4 x →-∞ ... ... ... 0
5 x →∞ ... ... ... ...
6 x →-∞ ... 3x ...
-∞
Perhatikan kolom diatas, perhatikan eksponen tertinggi pembilang f(x) maupun penyebut g(x). Dari pengamatan tersebut bisakah anda menentukan cara singkat untuk menghitung:
...
...lim
)(
)(lim
1
1
rxqxp
cxbxa
xg
xfm
m
m
m
n
n
n
n
xx
Jika pangkat tertinggi n = m maka hasil limit =...
...
Jika pangkat tertinggi n > m maka hasil limit =...
...
Jika pangkat tertinggi n < m maka hasil limit =...
...
Apa yang bisa anda simpulkan dari hubungan ketiganya tersebut:
dan percepatan. Tentukan juga waktu tersingkat ketika nilai-nilai maksimum itu terjadi.
Penyelesaian :
Dik :
42cos6
ts
Perpindahan s maksimum = 6 ini tercapai ketika 14
2cos
t ,
0cos4
2cos
t ↔
2.04
2 nt
2t ..........
.... ↔ t ..
....
....n (*) dengan n = 0, 1, 2, 3, ...
Waktu tersingkat untuk perpindahan maksimum ditentukan dengan mensubstitusi n € A yang
memberikan t nilai positif terkecil
n = 0 → t
(...).8 ↔ t
....
.... (Tidak memenuhi)
n = 1 → t
(...).8 ↔ t
....
.... (Memenuhi)
Jadi, perpindahan s maks = 6 tercapai waktu tersingkat t 8
7
Kecepatan partikel v adalah
)
42cos(6)(
t
dt
d
dt
dsxv
6)( xv
)
42cos(
t ↔ 6)(' xv (...))
42((........)
t
)(' xv )...
.............(....12
Kec maks adalah .12maksv ini tercapai ketika 14
2sin
t ,
2sin
42sin
t ↔
2.nx atau 2.)1800 nx
2.
242 nt dan
2.
242 nt
2.
....
....
22 nt dan 2.
....
....
...
...2 nt
.
....
....nt dan .
....
....nt
41 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
n = 0 → t ...(...).8
... ↔ t
....
....
n = 1 → t ...
...(...).
8
... ↔ t
....
....
Jadi, Kec maks = 12 tercapai waktu tersingkat t 8
5
Percepatan partikel a adalah
)
42sin(12)(
t
dt
d
dt
dvxa
12)( xa
)
42sin(
t ↔ ......)( xa (...))
42((........)
t
)(' xv )...
.............(....24
Perc max adalah .24maksa ini tercapai ketika 14
2cos
t ,
cos4
2cos
t ↔ 2.nx atau 2.) nx
2.4
2 nt
dan
2.
42 nt
2.
....
....2 nt dan 2.
...
...2 nt
.
....
....nt dan .
....
....nt
n = 0 → t ...(...).8
... ↔ t
....
....
n = 1 → t ...
... ↔ t
...
...(...).
8
...
Jadi, perc maks = 24 tercapai waktu tersingkat t 8
3
4.3 Kecepatan Sudut Fungsi Trigonometri
1. Sebuah permainan anak berbentuk kincir raksasa yang memiliki diameter 10 m sedang
dimainkan di sebuah arena bermain. Kincir tersebut berputar dengan kec sudut
12
radian/det tepat diatas permukaan tanah, tentukan laju perubahan posisi kedudukan
terhadap arah vertikal pada kincir tersebut pada ketinggian 7,5 m dari permukaan tanah
42 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Hubungan ketinggian dari permukaan tanah h(t), radius R, dan sudut θ (t) seperti gambar diatas,
dapat dirumuskan sebagai berikut :
)(cos1))(cos()( tRtRRth : R = 5 m dan h = 7,5 m
cos1(......)(.......) ↔...
...)(.........cos →
3
2......... radian
Diketahui kec sudut 12
dt
drad/det, maka laju perubahan ketinggian dapat dirumuskan sebagai
berikut :
dt
d
d
dh
dt
dh
↔ )
...
...)(cos(
RR
d
d
dt
dh
...)(.........(...
d
dR
d
d
dt
dh .........)((.....)
...R
=
sin...
Rdt
dh ↔
3
2sin5
...
dt
dh= 3
...
...
Jadi, laju perubahan posisi kedudukan terhadap arahvertikal pada kincir tersebut pada ketinggian
7,5 m dari permukaan tanah ketika dudukan kincir tersebut bergerak naik adalah 324
5
TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 4.1
1. Tentukan turunan sebagai berikut ini (aturan rantai): ,2
4t an3
xy Jika x berkurang
pada laju 0,4 rad/s. Tentkan laju perubahan y terhadap waktu ketika 48
x
2. Sebuah partikel sedang bergerak dengan persamaan perpindahan )3
2cos(5
tx , dengan
x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan :
kecepatan maksimum partikel saat (0 ≤ t ≤ 2µ ) dan
percepatan maksimum partikel saat (0 ≤ t ≤ 2µ )
43 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
BAB 5 NILAI MAKSIMUM & MINIMUM, SELANG
KEMONOTONAN DAN KEMIRINGAN GARIS
SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Kata Kunci :
Nilai Maksium dan Minimum, Selang kemonotonan dan Kemiringan garis singgung
Nilai Maksimum & Nilai
Minimum, Kemonotonan,
Garis Singgung Fungsi
Trigonometri Fungsi
Trigonometri Maksimum
dan Minimum
Nilai
Maksimum dan Minimum
Menentukan Titik Stasioner,
Kemonotonann, Kemiringan
Bentuk
A cos x + B sin x =
k cos ( x- ᾱ )
Bentuk
A sin x+ B cos x
Titik Stasioner dan
Kemonotonann, Fungsi
Gradien dan
Garis singgung Kurva
Definisi & Teorema
Kemonotonan
44 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
BAB 5
NILAI MAKSIMUM, NILAI MINIMUM, SELANG KEMONOTONAN DAN KEMIRINGAN GARIS
SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI
A. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Gambar 5.1
Dalam kehidupan ini kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan cara terbaik
untuk melalukan sesuatu. Sebagi contoh, seorang petani ingin memiliki kombinasi tanaman yang
dapat menhasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih dosis terkecil obat yang
akan menyembuhkan penyakit tertentu. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin
biaya penyebaran barangnya. Kadang kala salah satu dari masalah diatas dapat dirumuskan
sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan yang
dirinci
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum relatif/minimum relatif pada suatu
interval pada x = Xo, apabila f(xo) adalah nilai terbesar/terkecil dari nilai pendahulu/penyerta dari
fungsi tersebut. Pada gambar 5.1 diatas titik A(a,f(a)) adalah titik maksimum relatif pada kurva
sebab f(a) > f(x) pada setiap sekitar (neighbourhood) sekecil apapun 0 < Ix – aI < θ. Dan dikatan
bahwa y = f(x) mempunyai maksimum relatif {f(x)=f(a)} jika x = a. Dan dengan jalan yang sama titik
C (c,f(c)) adalah minimum relatif dari kurva, dan dikatakan y = f(x) mempunyai nilai minimum
relatif {f(x)=f(c)} jika x = c.
3.5 Menjelaskan keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva fungsi trigonometri
4.5 Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva fungsi trigonometri
Nilai maksimum fungsi tigonometri
Nilai minimum fungsi trigonomerti
Selang kemonotonan fungsi trigonometri
Kemiringan garis singgung kurva fungsi trigonometri
Mencermati keterkaitan turunan fungsi trigonometri dengan nilai maksimum dan minimum.
Menentukan titik stationer,selang kemonotonan dan garis singgung kurva fungsi trigonometri.
Mempresentasikan cara mencari turunan fungsi trigonometri
Mempresentasikan pemecahan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri
45 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Definisi
Andai S[a,c], daerah asal f, memuat titik c.Kita katakan bahwa:
1) )(cf adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S
1) )(cf adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S
1) )(cf adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S
1) )(cf adalah nilai ekstrim f pada S jika nilai maksimum atau nilai munimum
Untuk titik A, f’(x) berubah tanda dari positif – nol – negatif, dikatakan f mempunyai nilai balik
maksimum f(a) pada x = a
Untuk titik B, f’(x) berubah tanda dari negatif – nol – negatif, dikatakan f mempunyai nilai belok
horizontal f(b) pada x = b
Untuk titik C, f’(x) berubah tanda dari negatif – nol – positif, dikatakan f mempunyai nilai balik
minimum f(c) pada x = c
B. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI
Kegiatan 5.1
Menemukan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri
1) Bentuk A cos x + B sin x = k cos ( x - ᾱ )
Bagaimana menentukan Nilai maksimum dan minimum dari fungsi: 3 cos x + 4 sin x
↔ (cos x cos a + k sin x sin a) = 3 cos x + 4 sin x
Diperoleh k cos a = 3 (KW I dan IV) dan sin a = 4 (KW I dan II),
01,53,....
....
a
btg (KW I), 2222 (....)(....) bak = ...........
Nilai Maksimum = +5 dan Nilai Minimum = -5 dan Grafiknya :
Gambar 5.2
46 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
2) Bentuk A Sin X + B Cos X
Bagaimana menentukan nilai maksimum dari fungsi:
10cos.sin24sin14cos4)( 22 xxxxxf
Kita bisa saja menyelesaikan soal ini dengan menggunakan syarat titik stasioner : 0)( xf ,
kemudian menentukan jenis stasioner mana yang termasuk nilai balik maksimum. Tetapi cara penyelesaian seperti ini memerlukan waktu hitung yang lebih lama dan cukup rumit.
Kita bisa mengerjakan soal seperti ini dengan lebih efisien dan sederhana jika kita bisa
menentukan rumus nilai ekstrim y = A sin x + B cos x yang sangat mudah diingat.
Syarat kurva y = A sin x + B cos x mencapai ekstrim adalah y’=0
Perhatikan 19 adalah bilangan tetap sehingga f(x) maksimum jika )2sin122cos5( xx juga
maksimum. Bentuk : )2sin122cos5( xx atau )2cos52sin12( xx sudah identik sama
A Sin nx + B Cos nx
Maka Nilai maksimum mumNilaiMaksixf 19)(
2222 .....)((.....)1919)( BAxf
32...........(.....)(.....).....)( xf
Uji Kompetensi 5.1
1. Nilai Maksimum dan minimum : xxxf cos3sin)(
2. Nilai Min dari fungsi :
2
2
sec2
tan1)(
w dan Cos 2θ + cos θ
3. Nilai Maks dari fungsi: 2sin9sin12 dan 64 cossin
TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 5.1
Nilai Maksimum dari k dimana k2sin
2cos5
dan 0 < θ < π Kunci k=3
Langkah penyeleaian :
Klu : k2sin
2cos5
(M) berarti
sin
2cos52
k (TM)
Gunakan sifat pembagian turunan
48 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
C. MENENTUKAN TITIK STASIONER, SELANG KEMONOTONAN, DAN KEMIRINGAN GARIS
SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI
1. Kemonotonan
Pada grafik berikuti
f (x)
Turun Naik
C
Gambar 5.3
Menyatakan bahwa f turun di kiri c dan naik di
kanan c.
Definisi ; Andai f terdefinisi pada selang I
(buka, tutup atau tak satupun) kita katakan:
i) f Naik pada I jika untuk setiap pasang
bil x1 dan x2 dalam I
x1 < x2 → f (x1) < f (x2)
ii) f turun pada I jika untuk setiap pasang
bil x1 dan x2 dalam I
x1 < x2 → f (x1) > f (x2)
iii) f minoton murni pada I jika ia naik
pada I atau turun pada I
Turunan Pertama da Kemonotonan
Ingat bahwa turunan pertama f’(x)
memberi kita kemiringan dari garis
singgung pada grafik f di titik x.
Kemudian,
Jika f’(x) > 0, maka garis singgung naik
kekanan (lihat gambar 5.4). Serupa
Jika f’(x) < 0, maka garis singgung
menurun kekanan (lihat gambar 5.4)
Pada grafik berikuti:
0
f’(x)>0 f’(x)<0
Gambar 5.4
Teorema Kemonotonan : Andai f kontinu pada
selang I terdiferensial pada setiap titik dalam I:
Jika f’>0 untuk semua x titik dalam I, maka f
Naik pada I dan f’<0 untuk semua x titik dalam
I, maka f turun pada I
2. Titik Stasioner dan Kemonotonan Suatu Fungsi
Gambar 5.5
Titik stasioner terjadi jika terpenuhi f’(x) = 0, yaitu titik dimana gradiennya kurva = nol Perhatikan Gambar 5.5 bahwa jika suatu titik bergerak sepanjang kurva dari a ke b, maka
nilai fungsi bertambah apabila absis bertambah. Dan juga jika titik bergerak sepanjang kurva dari
49 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
b ke c maka nilai fungsi berkurang apabila absis bertambah. Dikatakan bahwa f naik pada selang
tertutup [a,b] dan f turun pada selang tertutup [b,c]. Bila fungsi f naik atau turun ada suatu selang
maka f dikatakan monoton pada selang tersebut.
Gambar 5.6
Kurva grafik fungsi y = f(x) (gambar 5.6) terlihat bahwa untuk x < a, gradien garis singgung
g1 positif, yang berarti f’(x) > 0, dan f naik pada interval itu. Untuk x > 0, gradien garis singgung
selalu negatif sehingga f’(x) < 0, dan f turun pada interval tersebut.Sedang untuk x = a, gradien
garis singgung di titik tersebut = 0, garis singgung sejajar sumbu x, sehingga f’(x) = 0, dalam hal ini f
tidak naik dan tidak turun dan dikatakan f stasioner di x = a, Sehingga kurva y = f (x) akan: Naik
jika f’(x) > 0, Turun Jika f’(x) < 0, Stasioner Jika f’(x) = 0
Contoh soal :
1) Jika f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 7 tunjukan dimana f naik dan f turun
f”(x) = 2(-sinx)-2(2 cos 2x) = ........................
keempat absis disubstitusi ke persaman turunan kedua
3.)...
...(4)
...
...(2)
..
2cos(4)
..
1sin(.2)
...
1("
f
Karena Jika f”(c) < 0 → -3 < 0 (maksimum)
...)...
...(4)
...
...(2)
..
2cos(4)
..
1sin(.2)
...
1("
f
Karena Jika f”(c) > 0 → .... > 0 (minimum)
...)...
...(4)
...
...(2)
..
....cos(4)
..
...sin(.2)
...
...("
f
Karena Jika f”(c) < 0 → ... < 0 (...................)
58 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
...)...
...(4)
...
...(2)
..
6cos(4)
..
...sin(.2)
...
...("
f
Karena Jika f”(c) < 0 → ... > 0 (..................)
Jadi, ada dua absis minimum yaitu 2
1x dan
2
3x
Untuk menentukan nilai minimum mutlak, maka kita harus membandingkan kedua nilai minimum
dengan nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung selang (0 ≤ x ≤2 π) yaitu x = 0 dan x = 2π
Nilai minimum f(x) = 2 sin x + cos 2x, untuk kedua titik balik minimum.
2
1x → ...)1((...)2)
2
2cos()
..
...sin(.2)
...
...(
f
2
3x → 3)1((...)2)3cos()
..
...sin(.2)
...
...( f
Untuk kedua titik di ujung-ujung selang
0x → ...)1((...)2)0cos()0sin(.2)0( f
2x → ..)1((...)2)2cos()2sin(.2)2( f
Jadi Keempat nilai ini, nilai paling kecil adalah -3
Nilai minimum mutlak dari f(x) = 2 sin x + cos 2x adalah -3 yang terjadi ketika 2
3x
Uji Kompetensi 6.1
Jika nilai minimum dari fungsi
xxf 2
4cos21)(
dalam selang
20
x adalah 1,
tentukan nilai dari x
TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 6.1
Tentukan nilai x dalam selang 0 < x < 2π dimana x
xxf
sin2
cos3)(
adalah stasioner. Tentukan nilai
maksimum mutlak dan minimum mutlak dalam selang yang di berikan
59 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
BAB 7
STATISTIK INFERENSIAL
Peta Konsep
Kata Kunci :
Statistik Inferensial, Variabel acak, Fungsi Probabilitas, dan Distribusi Binomial
Statistik
Inferensial
Konsep
Variabel Acak
Fungsi
Probabilitas
Fungsi
Distribusi Binomial
60 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
BAB 7
STATISTIK INFERENSIAL
Statistik Inferensial adalah
staistik yang digunakan untuk
menganalisa data sampel dan
hasilnya akan
digeneralisasikan/diinferensial
kan kepada populasi dimana
sampel diambil.
Sering juga dikenal dengan
cakupan metode yang
berhubungan dengan
menganalisi sebuah
data/sampel untuk kemudian
sampai pada
peramalan/pendugaan/penarik
an kesimpulan mengenai
seluruh data induknya.
Statistik inferensial ada 2 macam yaitu : Statistik Parametrik, yaitu ilmu statistik yang mempertimbangnkan jenis sebaran atau
distribusi data, yaitu pakah data menyebar secara normal atau tidak. Dengan kata lain, data yang akan dianalisis menggunakan statistik parametrik harus memenuhi asumsi normalitas. Pada umumnya, jika data tidak menyebar normal, maka data seharusnya dikerjakan dengan metode statistik non-parametrik, atau setidak-tidaknya dilakukan tranformasi terlebih dahulu agar data mengikuti sebaran normal, sehingga bisa dikerjakan dengan statistik parametrik. Contoh metode statistik parametrik : uji-Z (1 atau 2 sampel), Uji-t (1 atau 2 sampel), Korelasi pearson, Perancangan percobaan (one or two way anova parametrik). Ciri statistik parametrik : Data dengan skala interval dan rasio, Data menyebar berrdistribusi normal.
Statistik Non-Parametrik, yaitu statistik bebas sebaran (tidak mensyaratkan bentuk sebaran parametrik populasi, baik normal atau tidak). Selain itu, statistik ini biasanya menggunakan skala sosial, yaitu nominal dan ordinal yang umumnya tidak berdistribusi normal. Contoh metode statistik Non-parametrik : uji tanda (sign test), Rank sum test (wilcoxon), Rank correlation test (spearman), Fisher probability exact test, chi-square test. Ciri-ciri statistik non parametrik : Data tidak berdistribusi normal, umumnya data nominal atau ordinal, penelitian sosial, umumnya jumlah sampel kecil.
Dalam statistik inferensial diadakan pendugaan parameter, mebuat hipotesis serta melakukan pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang berlaku umum. Metode seperti ini disebut juga sattistik induktif, karena kesimpulan yang diambil ditarik berdasarkan pada informasi dari sebagian data saja. Pengambilan kesimpuln dari statistik inferensial yang hanya didasarkan pada sebagian data saja yang menyebabkan sifat data tak pasti, memungkinkan terjadinya kesalahan dalam pengambilan keputusan, sehingga pengetahuan mengenai teori peluang mutlak diperlukan dalam melakukan metode –metode satistik inferensial.
3.7 Menjelaskan dan menentukan distribusi peluang binomial berkaitan dengan fungsi peluang binomial
4.7 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak) dan penarikan kesimpulannya
Statistik inferensial
Mencermati konsep variabel acak.
Mencermati konsep dan sifat fungsi distribusi binomial.
Melakukan penarikan kesimpulan melalui uji hipotesis dari suatu masalah nya yang terkait dengan distribusi peluang binomial
Menyelesaikan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak) dan penarikan kesimpulannya
Menyajikan penyelesaian masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak) dan penarikan kesimpulannya
61 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
A. KONSEP VARIABEL ACAK
Suatu kejadian disebu acak (random event), kalu kejadian tersebut tak dapat ditentukan dengan
pasti sebelumnya.
Kegiatan 7.1
Mencermati konsep variabel acak dan fungsi probabilitas
Perhatikan kegiatan berikut ini :
Percobaan Perkiraan mucul( sangat sukar
ditentukan terlebih dahulu muncul/keluar
Probabilitas/
Peluang
Mata uang logam Rp. 500 dilempar Gambar burung ...
Suatu dadu dilempar Mata dadu 5 ...
Satu kartu diambil dari satu set karu Bridge
Kartu AS ...
Probabilitas ialah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya kejadian acak. Kalau
A = suatu kejadian acak, maka P(A) = 0,90, berarti probabilitas bahwa A terjadi sebesar 0,90 atau
90%.
Perhatikan kegiatan berikut :
Pelembaran mata uang logam Rp. 500 dilempar 3 kali. Dimana B = muncul gambar burung, dan B’
= muncul Angka. Hasil pelemparan tersebut :
Pelemparan
Mungkin Probabilitas Hasil perlemparan
... ...
Ada .....kemungkinan,
masing-masing dengan probabilitas .....
Misal x = banyaknya B setiap pelemparan, maka nilai x = 0,1,2,3.
X disebut variabel acak diskrit yaitu hasil suatu ekperiment atau
variabel yang nilainya tak dapat ditentukan dengan pasti,
sebelum terjadi.
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
X = 0, berasal B’B’B ’→ P (X = 0) = 8
1
X = 1, berasal ......,.........,......... → P (X = 1) = ...
X = 2, berasal ......,.........,......... → P (X = ...) = ...
X = 3, berasal BBB → P (X = 3) = ...
62 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
B. FUNGSI PROBABILITAS
Fungsi probabilitas ialah fungsi acak yang dapat dipergunakan untuk menghitung probabilitas
suatu kejadian acak atau variabel acak. Dalam sub ini kiata hanya membahas fungsi probabilitas
diskrit.
p (x) = P (X = x), artinya probabilitas bahwa variabel X mengambil nilai x.
Dari pelemparan mata uang diatas fungsi probabilitas dapat :
p (0) = P (X = 0) = .... p (2) = P (X = 2) = ....
p (1) = .... p (3) = ....
Fungsi Probabilitas untuk variabel diskrit (tidak bisa mengambil nilai pecahan) antara lain
Binomial dan Poisson sedangkan yang kontinu (bisa mengambil nilai pecahan) atara lain normal,
fungsi t, F, X (chi kuadrat)
p (x) merupakan fungsi probabilitas diskrit kalau memenuhi dua syarat berikut :
Pertama : 0 ≤ p(x) ≤ 1, paling sedikit nol, tak pernah negatif dan paling besar 1
Kedua: x
xp )( = 1, untuk semua nilai x
Mari kita buktikan pelemparan mata uang Rp.500 diatas memenuhi sebagai fungsi probabilitas,
yang memebuhi syarat :
Pertama : 0 ≤ p(x) ≤ 1, paling sedikit nol, tak pernah negatif dan paling besar 1
Nilai p(x) tersebut adalah ....., ......., ......., dan .......
Jelas syarat pertama telah terpenuhi *)
Kedua: x
xp )( = 1, untuk semua nilai x
Maka
x
xp )( = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)
= .... + .... + .... + .... = 1
Jelas syarat kedua telah terpenuhi **)
Sedangkan kalau X variabel kontinu f(x) disebut fungsi kepadatan/densitas/desity function, f (x) ≥ 0
dan
1)( dxxf , yaitu integral untuk keseluruhan nilai sebesar 1 sampai ∞, sehingga dalam sub
ini hanya membahas fungsi binomial.
63 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
C. FUNGSI DISTRIBUSI BINOMIAL
Probabilitas P( X ≤ x ) dengan x adlah bil real (-∞ < x < ∞) Fungsi distribusi dapat diperoleh dari
fungsi probabilitas, yaitu
F(X) = P (X ≤ x) = xXxf )(
Dengan jumlah pada ruas kanan diambil pada semua nilai u dengan u ≤ x
Kegiatan 7.2
Melakukan penarikan Kesimpulan dengan Fungsi Binomial
Jika X diambil hanya pada suatu bilangan tertentu dari nilai-nilai nxxx ,...,, 21 maka fungsi
distribusi diberikan oleh :
0 -∞ < x < 0
)( 1xf = ... 0 ≤ x < 1
)(xF )()( 21 xfxf = ... +.... = ... 1 ≤ x < 2
...
... =
2 ≤ x < 3
)()()( 321 xfxfxf + ...
.... + .... + .... + .... = ...
3 ≤ x < ∞
D. FUNGSI BINOMIAL
xnx ppxnx
nxP
)1.(.
)!(!
!)( x = 0, 1, 2, ..., n
p (x) = (P (x) = x) = probabilitas bahwa variabel X mengambil nilai x
n = banyak elemen sampel atau banyak eksperiment
x = banyaknya sukses atau banyaknya elemen sampel dengan karakteristik yang sedang diamati
atau diperhatikan.
Perhatikan kegiatan berikut :
n = 3 banyak lemparan mata uang loga Rp. 500,
x = banyak gambar burung (=B) yang diperoleh: Nilai x = 0,atau 1, atau 2, atau 3,
p = probabilitas sukses, misalnya probabilitas untuk memperoleh gambar burung.
n = 3 , dan p = 2
1 , x = 0, 1, 2, 3
64 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Maka :
8
1)
8
1.(1.
123
123)
2
1.(
2
1.
!3
!3)
2
11.(
2
1.
)!03(!0
!3)0( 3
0
03
0
xx
xxp
...)2
11.(
2
1.
)!13(!1
!3)1( 13
1
p
..)2( p
=... =8
3
...)3( p
=... =...
..
Kegiatan 7.3
Menyelesaikan dan Menyajikan Masalah Fungsi Binomial
1) 10 % dari semacam benda tergolong ke dalam Kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah
diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan kategori A:
a. Semuanya d. Paling sedikit sebuah
b. Sebuah e. Paling banyak dua buah
c. Dua buah
Penyelesaian :
Kita artikan X = banyak kategori A, maka P = peluang benda ternasuk kategori A = 10 % = 0,10.
a. Semua tergolong kategori A berarti X = 30, n = 30
xnx ppxnx
nxP
)1.(.
)!(!
!)( x = 0, 1, 2, ..., n
303030 )10,01.(10,0.)!3030(!30
!30)30(
xP
30
...
030 10...
......)90,0.(10,0.
)!0(!30
!30)30(
xP
b. Sebuah kategori A berarti X = 1, n = 30
1301 )10,01.(10,0.)!130(!30
!30)1(
xP
=......................
=......................... 1409,0
65 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
c. Dua buah ketori A berarti X = ... , n =30
.......... )10,01.(10,0....)!(.......!
...!(...)
P
=...
=... 2270,0
d. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A,
berarti X =1, 2, 3...........30. jadi perlu dicari:
)30(....)2()1( xPxPxP , sehingga yang kita cari adalah )0(1 xP , sekarang
menjadi :
...)0( xP
= ...
=... = 0,0423
Peluang dalam sampel itu = 1 - 0,0423 = 0,9577
e. Paling banyak dua buah tergolong kategori A,
berarti X =1, 2. jadi perlu di cari: ...)2()1()0( xPxPxP
2) Sebuah dadu digelindingkan empat kali. Jika X ditetapkan sebagai variabel acak untuk
menampilkan banyak muncul sisi berangka 6, tentukanlah X :
Jika variabel acak X untuk menampilkan banyak munculnya mata dadu 6, maka untuk percobaan 4:
X = 0, menyatakan tidak muncul mata dadu 6
X = 1, menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak satu kali
X = ..., menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak ...... kali
X = ..., menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak ..... kali
X = ...., menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak empat kali
Peluang muncul mata dadu 6 = 6
1)6( P ,
Peluang muncul mata dadu bukan 6 = 6
5
6
111)6( pP c ,
Maka : xnx ppxnx
nxP
)1.(.
)!(!
!)(
Probabilitas muncul mata dadu tidak muncul angka 6, P(x=0, n=4)
66 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
......(....).........)!(.......!
...!)(
xP = ......(....).....
...!
...!
...)( xP
Probabilitas muncul mata dadu 6 sebanyak satu kali P(x=1, n =4)
......(....).........)!(.......!
...!)(
xP = ......(....).....
...!
...!
...)( xP
Probabilitas muncul mata dadu 6 sebanyak dua kali P(x=2, n =4)
......(....).........)!(.......!
...!)(
xP = ......(....).....
...!
...!
...)( xP
Probabilitas muncul mata dadu 6sebanyak tiga kali P(x=3, n =4)
......(....).........)!(.......!
...!)(
xP = ......(....).....
...!
...!
...)( xP
Probabilitas muncul mata dadu 6 sebanyak empat kali P(x=3, n =4)
......(....).........)!(.......!
...!)(
xP = ......(....).....
...!
...!
...)( xP
Uji Kompetensi 7.1 1) Menghitung fungsi Distribusi Binomial dua dadu digelindingkan 3 kali untuk mendapatkan
jumlah mata dadu 11.
2) Seorang siswa sedang menghadapi kuis matematika sehubungan dengan materi yang baru
diperlajari. Kuis terdiri dari 6 soal. Karena kuis mendadak maka seorang siswa yang tidak
belajar menjawab seluruh 6 soal itu dengan menebak. Berapa peluang siswa itu menjawab:
a. Benar tepat dua soal
b. Benar tepat tiga soal
c. Benar Paling banyak tiga soal
d. Benar dua sampai empat soal
67 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
BAB 8
DATA BERDISTRIBUSI NORMAL
Peta Konsep
Kata Kunci :
Fungsi Distribusi Normal, ara Menggunakan Tabel Normal , Menyelesaikan Berkaitan
Distribusi Normal
Data Berdistribusi Normal
Fungsi Distribusi Normal
Cara Menggunakan Tabel Normal
Menyelesaiakan Berkaitan Distribusi Binomial
68 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
BAB 8
DATA BERDISTRIBUSI NORMAL
Semua variabel acak bersifat diskrit
sebagaimanatelah kita bicarakan
pada pokok bahasan
sebelumnya(fungsi binomial).
Sekarang kita alihkan perhatian kita
kepada distribusi dengan variabel
acak kontinu. Distribusi dengan
variabel acak kontinu yang pertama
kali kita akan kita bicarakan di sini
hanyalah distribusi normal atau
sering juga disebut distribusi Gauss.
Distribusi ini merupakan salah satu
yang paling penting dan banyak
digunakan.
A. DISTRIBUSI FUNGSI NORMAL
Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan :
2)(2
1
2
1)(
x
exf
Dengan
π = nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal, π = 3,1416
e = bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183
µ = parameter, ternyata merupakan rata-rata distribusi
σ = parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi
dan nilai x mempunyai batas -∞ < x < ∞, maka dikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi normal. Sifat-sifat penting distribusi normal :
1) Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x
2) Bentuknya simetrik terhadap x = µ
3) Mempunyai satu modus, jika kurva uniimodal, tercapai pada x = µ sebesar
3989,0
4) Grafiknya mendekati (berasimtotkan) sumbu datar x dimulai dari x = µ + 3 σ ke kanan dan x = µ - 3 σ ke kiri
5) Luas daerah grafik selalu sama dengan satuan persegi.
Untuk tiap pasang µ dan σ, sifat-sifat di atas selalu di penuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang
berlainan. Jika σ makin besar, kurva makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurva
makin tinggi (leptokurtik)
3.8 Menjelaskan karakteristik data berdistribusi normal yang berkaitan dengan data berdistribusi normal
4.8 Menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan distribusi normal dan penarikan kesimpulannya
Data berdistribusi normal
Mencermati pemahaman kurva normal
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan distribusi normal dan penarikan kesimpulannya
Mempresentasikan penarikan kesimpulan melalui uji hipotesis untuk permasalahan yang berkaitan dengan distribusi normal
69 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Jika X sebuah variabel acak kontinu Karena ada hubungan dengan sifat fungsi probabilitas bilitas
1)( dxxf , maka berlaku juga untuk dxedxxf
x
2)(
2
1
2
1)(
, maka menentukan
peluang harga X antara a dan b, yakni P (a < X < b ) digunakan rumus
dxebXaP
b
a
x
2)(
2
1
2
1)(
Penggunaan praktis menggunakan rumus diatas tidak perlu dirisaukan lagi karena telah tersusun
daftar untuk keperluan di maksud. Daftar tersebut dapat dilihat di daftar distribusi normal standar
atau normal baku pada lampiran (Daftar F). Distribusi normal standar ialah distribusi normal
dengan rata-rata µ = 0 dan simpangan baku σ = 1. Fungsi densitasnya berbentuk :
2
2
1
2
1)(
Z
ezf
; z daerah -∞ < z < ∞
Mengubah dstribusi normal umum f(x) diatas menjadi distribusi normal baku f(z) diatas ditempuh
menggunakan transformasi :
XZ
Perubahan grafiknya dilihat gambar berikut:
70 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Fungsi normal, mempunyai bentuk kurva yang simetris terhadap rata-ratanya. Luas kurva
disebelah kiri sama dengan di sebelah kanan rata-ratanya yaitu 0,5 atau 50%. Apabila x mengikuti
fungsi normal , maka menurut teorema normal ada fenomena tersebut :
1) ±68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara
µ - σ dan µ + σ (observasi mempunyai nilai X berjarak 1σ dari rata-ratanya)
2) ±95,45% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara
µ - 2σ dan µ + 2σ (observasi mempunyai nilai X berjarak 2σ dari rata-ratanya)
3) ±99,37% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara
µ - 3σ dan µ + 3σ (observasi mempunyai nilai X berjarak 3σ dari rata-ratanya)
B. CARA MENGGUNAKAN TABEL NORMAL
Agar dapat menggunakan tabel normal, variabel X harus diubah terlebih dahulu menjadi
variabel Z. Untuk keperluan ini, lihat tabel F (tabel Normal pada lampiran)
Perhatikan, bahwa setiap nilai dalam tabel menunjukkan luas daerah di bawah kurva yang dibatasi
oleh nilai Z = 0 sampai dengan Z = tertentu (maksudnya jarak terhadap rata-rata) seperti contoh
dibawah ini.
Kalau nilai variabel yang diberikan belum berupa standar normal harus di standarkan
dahulu dengan rumus
XZ , ingat bahwa luas seluruh kurva = 1 artinya probabilitas Z
mengambil antara = -∞ s/d +Z sebesar 1 (luas seluruh kurva) yaitu Pr (-∞ < Z < ∞) = 1 dan
Pr (-∞ < Z < 0) = Pr (0 < Z < ∞) = 0,5 (karena simetris terhadap titik 0, tempat rata-rata Z)
Kegiatan 8.1
Mecermati dan Memahami Kurva Normal
Perhatikan Soal berikut ini :
Pr (0 ≤ X ≤ 1,24) = 0,3925 → Pr Z > 1,24 = 0,5 – 0,3925 = 0,1075
Oleh karena kurva normal simetris, maka
Pr (-1,24 ≤ Z ≤ 0) = 0,3925 dan Pr (Z < -1,24) = 0,50 – 0,3925 = 1,1075
Perhatikan : Nilai 0,3925 terletak merupakan perpotongan antara baris dengan angka 1,2 dengan kolom
dengan angka 0,04. Angka 1,2 setelah digabungkan dengan 0,04 diperoleh angka Z yaitu :
Z = 1,2 + 0,04 = 1,24 (lihat lampiran tabel Normal diperoleh 0,3925)
71 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Pr (-1,5 ≤ Z ≤ 0) = 0,4332 Pr (Z ≤ 2,15) = 0,50 + Pr (0 ≤ Z ≤ 2,15)
Pr Z (-1,5 ≤ Z ≤ 1,5) = 0,4332 + 0,4332 = 0,50 + ...... = 0,9842 = 0,8664
Pr (Z ≥ -1,45) Pr (0,73 ≤ Z ≤ 1,64) = Pr (-1,45 ≤ Z ≤ 0) + 0,50 = Pr (0 ≤ Z ≤ 1,64) - Pr (0 ≤ Z ≤ 0,73) = ...... + 0,5 = 0,9265 = . ........... + ............ = ...
Di dalam persoalan khusus d dalam pengujian hipotesis (testing hypotesis) dan teori
perkiraan interval (interval estimation theory) kita sering harus mencari berapa besarnya nilai Z apabila luas daerah dibawah kurva sudah diketahui.
Misal carilah besaran nilai Z sedemikian rupa sehingga daerah di sebelah kanannya = 10 %
Pr (0 ≤ Z ≤ ? ) = 0,50 - 0,100 = 0,400
Ternyata dari data tabel tidak ada angka 0,4000 tetapi angka yang dekat dengan angka itu yaitu 0,3997 dengan nilai Z sebesar 1,28.
Jadi Z = 1,28 sebesar Pr (0 ≤ Z ≤ 1,28) = 0,3997
Kegiatan 8.2
Meyelesaikan dan Mempresentasikan Berkaitan dengan Distribusi Normal
Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3,750 gr dengan simpangan baku 325 gr. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan :
a) Berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gr b) Berapa bayi yang beratnya antara 3.500 gr dan 4.500 gr , jika semuanya ada 10.000 bayi c) Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gr , jika semuanya ada
10.000 bayi d) Berapa bayi yang beratnya 4.250 gr jika semuanya ada 5.000 bayi.
Penyelesaian : X = berat bayi dalam gr, µ = 3.750 gr, σ = 325 gr ,maka :
a) Dengan tranformasi
XZ , untuk x = 4.500 gr
31,2gr 325
gr 3.750gr 4.500
Z (Lihat Daftar F)
Z {(2,3) vertikal, (1) horizontal} = 0, 4896
72 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Berat yang lebih dari 4.500 gr pada grafiknya ada disebelah kanan z = 2,31. Luas daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104.
Jadi ada 1,04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gr
Grafik Luas daerah
b) Dengan x = 3.500 dan x = 4.500 gr
77,0gr 325
gr 3.750gr ......1
Z dan ...
gr 325
gr ....gr ....2
Z
Daftar F diperoleh 0,2794 dan 0,4896, Luas daerah yang perlu = daerah yang diarsir = 0,2794 + 0,4896 = ...
Banyak bayi yang beratnya antara 3.500 gr dan 4.500 gr diperkirakan ada (0,7690) (10000) = ...
c) Dengan berat kecil atau sama dengan 4.000 g, maka beratnya harus lebih kecil dari
4.000,5
...gr 325
gr 3.750gr .....
Z (Lihat Daftar F)
Daftar F diperoleh 0,2794 Peluang berat bayi lebih kecil atau sama dengan 4.000 gr = 0,5 – ............ = ..............
Jadi banyak bayi = (..............)(.....................)= ........ Sketsa Grafiknya :
..............................................
d) Berat 4.250 gr berat antara 4.249,5 gr dan 4.250,5 gr, jadi : X = ..................... dan x = .........................
...gr 325
gr 3.750gr ......1
Z dan ...
gr 325
gr ....gr ....2
Z
Daftar F diperoleh ......... dan .............., Luas daerah yang perlu = daerah yang diarsir = 0,4382 - 0,4370 = ...
Banyak bayi yang beratnya antara 3.500 gr dan 4.500 gr diperkirakan ada (.............) (............) = ... Sketsa Grafiknya :
...........................................
0,4896
73 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
C. MENGUJI HIPOTESIS BERDISTRIBUSI NORMAL
Sebelum mempelajari cara menarik kesimpulan, kita telah mengenal istilah parameter.
Parameter dapat berupa taksiran dari populasi yang akan ditaksir dan diuraikan dalam bentuk rata-rata, simpangan baku dan persen. Taksiran atau penafsiran sebaiknya berupa interval atau selang taksiran yang akan dikenal sebagai arti sempit sebagai derajat kepercayaan/koefisien kepercayaan merupakan pernyataan dalam bentuk peluang. Berdasarkan penaksiran yang dilakukan, lalu kesimpulan dibuat bagaimana atau berapa besar harga parameter itu melalui pengujian hipotesis.
Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. Jika asumsi atau dugaan itu dihususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik. Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar dan karenanya pelu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Untuk pengujian hipotesis, peneitian dilakukan sampel acak diambil, nilai-nilai statistik yang perlu dihitung kemudian dibandingkan menggunakan kriteria tertentu dengan hipotesis.
Jika hasil yang dapat dari penelitian itu, dalam pengertian peluang, jauh berbeda dari hasil yang diharapkan terjadi berdasarkan hipotesis, maka hipotesis ditolak. Jika terjadi sebaliknya, hipotesis diterima. Perlu dijelaskan di sini bahwa meskipun berdasarkan penenlitian kita menerima atau menolak hipotesis, tidak berarti bahwa kita telah membuktikan atau tidak membuktikan kebenaran hipotesis. Yang kita perlihatkan hanyalah menerima atau menolak hipotesis saja.
Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama :
Kekeliruan tipe I : ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima
Kekeliruan tipe II : Ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak. Untuk mengingat hubungan antara hipotesis, kesimpulan dan tipe kekeliruan dapat dilihat dalam tabel dibawah ini.
Tabel 8. 1 Tipe Kekeliruan Membuat Kesimpulan Tentang Hipotesis
Kesimpulan Keadaan Sebenarnya
Hipotesis Benar Hipotesis Salah
Terima Hipotesis Benar Keliruan (Tipe II)
Tolak Hipotesis Keliruan (Tipe I) Benar
Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekeliruan itu kita nyatakan dalam
peluang. Menuat peluang tipe I bisa dinyatakan dengan kekeliruan α dan peluang tipe II dnyatakan dengan kekeliruan β. Dalam penggunaanya α disebut taraf signifikan atau taraf nyata/arti. Harga α yang biasa digunakan yaitu α = 0,01 atau α = 0,05. Dengan α = 0,05 arti taraf nyata 5 %, berarti kira-kira 5 dari 100 kesimpulan bahwa kita akan menoloka hipotesis yang seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95 % yakin bahwa kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demkian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf 0,05 yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05. Langkah-langkah Pengujian Hipotesis :
Untuk setiap pengujian dengan α yang ditentukan, besar β dapat dihitung. Harga (1 – β) dinamakan kuasa uji. Ternyata nilai β berbeda untuk harga parameter yang berlainan, Jadi β bergantung pada parameter, katakanlah θ, sehingga didapat β(θ) sebuah fungsi yang bergantung pada θ. Bentuk β(θ) dinamakan fungsi ciri operasi dan 1 – β(θ) disebut fungsi kuasa.
74 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Kalau yang sedang diuji itu parameter θ (dalam penggunaannya nanti θ bisa rata-rata μ, proporsi π, simpangan baku σ dan lain-lain) :
H0 : θ = θ o H1 : θ ≠ θ o Hipotesis yang perumusannya mengandung pengertian
sama atau tidak memiliki perbedaan, disebut hipotesis nol (Ho) melawan hipotesis tandingan (H1) yang mengandung
pengertian tidak sama., lebih besar atau lebih kecil.
H0 : θ = θ o H1 : θ > θ o
H0 : θ = θ o H1 : θ < θ o Langkah selanjutnya kita pilih bentuk statistik mana yang harus digunakan, apakah Uji Z, t,
X, F atau lainnya, Harga statistik yang dipilih dihitung dari data sampel yang dianalisis. Kemudian, berdasarkan pilihan taraf nyata α (ukuran daerah kritis), kriteria pengujian kita tentukan. Peran hipotesis tandingan (H1) dalam menentukan daerah kritis adalah sebagai berikut: 1) Jika tandingan H1 mempunyai perumusan tidak sama, Maka dalam distribusi statistik yang
digunakan normal untuk angka Z, didapat dua daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah ½α. Karena adanya dua darah penolakan ini , maka pengujian hipotesis dinamakan uji dua pihak
Gambar Uji dua pihak
Kriteria Ho diterima jika :
)1()1(2
12
1 ZZZ , dengan )1(2
1 Z didapat dari daftar normal baku.
2) Untuk tandingan H1 mempunyai perumusan lebih besar , maka dalam distribusi statistik yang
digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas daerah kritis penolakan ini sama dengan α.
Gambar Uji pihak kanan
Kriteria Ho ditolak jika :
)5,0( ZZ , dengan )5,0( Z didapat dari daftar normal baku.
Harga d didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang yang ditentukan oleh α, menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan (Ho). Kriteria yang dipakai adalah tolak
75 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Ho jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d. Dalam Hal lain diterima Ho. Pengujian ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan 3) Untuk tandingan H1 mempunyai perumusan lebih kecil, maka dalam distribusi statistik yang
digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kiri. Luas daerah kritis penolakan ini sama dengan α.
Harga d didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang yang ditentukan oleh α, menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan (Ho). Kriteria yang dipakai adalah terima Ho jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel lebih besar dari d. Dalam Hal lain Ho kita tolak. Pengujian ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kiri
Gambar Uji pihak kiri
Kegiatan 8.3
Menguji Hipotesis rata-rata μ, permasalahan berdistribusi Normal dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ
Uji Dua Pihak Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu itu telah berubah. Untuk menentukan hal ini, dilakukan penelitian dengan jalan menuji 50 lampu. Ternyata rata-ratanya 792 jam. Dari pengalaman, diketahui bahwa simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan taraf nyata 0,05 apakah kualitas lampu itu sudah berubah atau belum. Penyelesaian : Dengan memisalkan masa hidup lampu berdistribusi normal, maka kita akan menguji
H0 : μ = 800 jam → Berarti lampu itu masa pakainya sekitar 800 jam H1 : μ ≠ 800 jam → Berarti kualitas lampu telah berubah dan bukan 800 jam lagi
n
XZ
, untuk simpangan baku σ diketahui, ẋ =792, n = 50, σ = 60 jam, μo = 800 jam
94,0....
....
...
....
........
Z
Kriteria dipakai dari daftar normal baku untuk uji dua pihak dengan θ = 0,05 yang memberikan Z (0,475) = 1,96 adalah
76 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Gambar Uji dua pihak
Terima Ho jika z hitung terletak antar -1,96 dan 1,96. Dalam hal lain Ho ditolak. Dari penelitin sudah didapat z = -0,94 dan ini jelas terletak dalam daerah penerimaan Ho. Jadi Ho diterima Ini berarti dalam taraf nyata 0,05. Penelitian memperlihatkan bahwa memang masa pakai lampu masih sekitar 800 jam. Jadi belum berubah. Jika dari soal diatas simpangan baku populasi tidak diketahui, dari data sampel didapat s = 55 jam (s = simpangan baku yang dihitung dari sampel) dan n = 50, maka
n
s
Xt
, untuk simpangan baku σ tidak diketahui (Distribusi Student, dengan dk = n – 1)
029,1...
...
...
...
......
t (dengan dk = 49)
Gambar Uji dua pihak
Dari daftar distribusi student dengan α = 0,05 dengan dk = 49 untuk uji dua pihak didapat t = 2,01. Kriteria pengujian terima ho jika t hitung terletak antara -2,01 dan 2,01 Sedangkan dalam hal lainnya Ho ditolak. Penelitian menghasilkan t = -1,029 yang jelas terletak dalam daerah penerimaan Uji Satu Pihak Proses pembuatan barang rata-rata meghasilkan 15,7 unit perjam. Hasil produksi mempunyai varians = 2,3. Metode baru diusulkan untuk menganti yang lama jika rata-rata perjam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil resiko 5% untuk mengunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan lebih dari 16 buah. Apakah keputusan si pengusaha. Penyelesaian :
77 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
Dengan memisalkan masa hidup lampu berdistribusi normal, maka kita akan menguji
H0 : μ = 16 → Berarti rata-rata hasil metode baru paling tinggi 16. Jika ini terjadi, metode lama masih dipertahankan. H1 : μ > 16 → Berarti rata-rata hasil metode baru lebih dari 16.dan karenanya metode lama dapat diganti.
n
XZ
, ẋ =16,9, n = 20, σ =2,3, μo = 16 buah
65,2....
....
...
....
........
Z
Gambar Uji pihak kanan
Dari daftar normal standar dengan α = 0,05 diperoleh z = 1,64
Keiteria pengujian adalah tolak Ho Jika z hitung lebih kecil dari 1,64 maka Ho diterima.
Dari penelitian didapat z = 2,65 yang jelas jatuh pada daerah kritis. Jadi Ho ditolak. Ini menyimpulkan bahwa metode baru dapat menggantikan metode lama dengan mengambil risiko 5%. Peluang tersebut adalah
P (Z ≥ 2,65 ) = 0,5 – 0,4960 = ...
Ini berarti : Berdasarkan penelitian yang dilakukan. Kesempatan melakukan kekeliruan ketika memutuskan mengambil metode baru adalah 4 dari setiap 1000, Dalam hal ini biasanya dituliskan bahwa peluang P < 0,05 bahkan P < 0,01.
Uji Kompetensi 8.1 1) Dikatakan bahwa dengan menyuntikan semacam hormon tertentu kepada ayam akan
menambah serat telurnya rata-rata dengan 4,5 gram. Sampel acak terdiri atas 31 butir telur
dari ayam yang telah diberi suntikan hormon tersebut memberikan rata-rata 4,9 gram dan
simpangan baku s = 0,8 gram. Cukup beralasan untuk menerima penyataan bahwa
pertambahan rata-rata telur paling sedikit 4,5 gram.
2) Akhir-akhir ini masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan A dalam
kaleng tidak sesuai dengan yang tertulis pada etiketnya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini,
23 kaleng makanan A telah diteliti secara acak. Dari ke-23 isi kaleng tersebut, berat badan
rata-ratanya 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 0,05, tentukan apa yang
akan kita katakan tentang keluhan masyarakat tersebut.