Queueing Network Theory4

Τεχνικές

βασισμένες

στα

Δίκτυα

Αναμονής

MODELSystem

DescriptionPerformanceMeasures

• System parameters

• Resources parameters

• Workload parameters•service demands•workload intensity

• Response time• Throughput• Utilization

• Queue length

QueuingNetwork Model

Component-level models

Ανοικτά δίκτυα

Κλειστάδίκτυα

Μικτά δίκτυα

Montèlo upologistikoÔ sust mato E�sodoi - Fort�o (workload)èntash fort�ou (workload intensity)apait sei exuphrèthsh (service demands)'Exodoi - De�kte ep�dosh bajmì qrhsimopo�hsh rujmì apìdosh qrìno apìkrish mèso arijmì ergasi¸n

Sumbolismo�M�a Kathgor�aM Arijmì stajm¸n sto sÔsthma.vi Mèso arijmì episkèyewn mia ergas�a sto stajmì i.

ti Mèsh apa�thsh (qrìno ) exuphrèthsh an� ep�skeyh mia ergas�a stostajmì i.

di Mèsh sunolik  apa�thsh exuphrèthsh m�a ergas�a sto stajmì i.IsqÔei di = viti.

wi Mèso qrìno paramon  (anamon +exuphrèthsh) an� ep�skeyh mia er-gas�a sto stajmì i.ri Mèso sunolikì qrìno paramon  mia ergas�a sto stajmì i. IsqÔei

ri = viwi.T Mèso qrìno apìkrish tou sust mato . IsqÔei T =

∑i viwi =

∑i ri.

λi Rujmì apìdosh tou stajmoÔ i.λ Sunolikì rujmì apìdosh tou sust mato (sump�ptei me ton mèso ru-jmì af�xewn gia anoiktì d�ktuo). IsqÔei λi = λvi.ρi Bajmì qrhsimopo�hsh tou stajmoÔ i. IsqÔei ρi = λiti = λdi.

ni Mèso arijmì ergasi¸n sto stajmì i. IsqÔei ni = λiwi = λri (TÔpo tou Little).

N Mèso sunolikì arijmì ergasi¸n sto sÔsthma. IsqÔei N =∑

i ni = λT .Gia kleistì d�ktuo N stajerì (plhjusmì ).

Pollè Kathgor�e R Arijmì kathgori¸n ergasi¸n sto sÔsthma.

vij Mèso arijmì episkèyewn mia ergas�a th kathgor�a j sto stajmì

i.

tij Mèsh apa�thsh exuphrèthsh an� ep�skeyh mia ergas�a th kath-gor�a j sto stajmì i.

dij Mèsh sunolik  apa�thsh exuphrèthsh mia ergas�a th kathgor�a jsto stajmì i. IsqÔei dij = vijtij.

wij Mèso qrìno paramon  an� ep�skeyh mia ergas�a th kathgor�a jsto stajmì i.rij Mèso sunolikì qrìno paramon  mia ergas�a th kathgor�a j stostajmì i. IsqÔei rij = vijwij.Tj Mèso qrìno apìkrish tou sust mato gia thn kathgor�a j. IsqÔei

Tj =∑

i vijwij =∑

i rij.λij Rujmì apìdosh tou stajmoÔ i gia thn kathgor�a j.

λj Sunolikì rujmì apìdosh tou sust mato gia thn kathgor�a j (mèso rujmì af�xewn gia anoiktì d�ktuo). IsqÔei λij = λjvij.

λ Sunolikì rujmì apìdosh tou sust mato (sunolikì mèso rujmì af�xewn gia anoiktì d�ktuo). IsqÔei λ =∑

j λj. Gia anoiktì d�ktuo

λ̂ = [λ1, . . . , λR], λ = ‖λ̂‖.ρij Bajmì qrhsimopo�hsh tou stajmoÔ i gia thn kathgor�a j. IsqÔei

ρij = λijtij = λjdij.nij Mèso arijmì ergasi¸n th kathgor�a j sto stajmì i. IsqÔei nij =

λijwij = λjrij.

Nj Mèso sunolikì arijmì ergasi¸n th kathgor�a j sto sÔsthma.IsqÔei Nj =∑

i nij = λjTj. Gia kleistì d�ktuo Nj stajerì (plhjus-mì ), N̂ = [N1, . . . , NR], N = ‖N̂‖.

∆ίκτυα Jackson

• Ανοικτά δίκτυα(εξωτερικόc κόσµοc: πηγή - προορισµόc)

• Κlειστά δίκτυα(σταθερόc αριθµόc πεlατών)

M σταθµοί εξυπηρέτησηc

Κατάσταση του δικτύου:

N̂(t) = [N1(t), N2(t), . . . , NM(t)]

Συνοlικόc αριθµόc πεlατών:

N(t) = ‖N̂(t)‖ =∑M

i=1 Ni(t)

Υποθέσειc:

(i) Αφίξειc: διαδικασία γεννήσεων ρυθµού λ(N) µε πιθανότητα q0i, i =1,2, . . . , M (ανοικτά δίκτυα αναµονήc)

(ii) Χρόνοc εξυπηρέτησηc στο σταθµό i: εκθετική κατανοµή µε παράµετροµi(ni), όπου ni = Ni(t)

(iii) Κανονισµόc FCFS

(iv) Πιθανότητεc δροµοlόγησηc (routing probabilities):

qij,0 ≤ i ≤ M , 1 ≤ j ≤ M + 1, (qij ≥ 0 και∑M+1

j=1 qij = 1)

(αlυσίδα Markov)

Κατανοµή πιθανότηταc:

p(n̂; t) = Pr[N̂(t) = n̂], n̂ = [n1, n2, . . . , nM ]

Στατική κατανοµή πιθανότηταc:

p(n̂) = limt→∞ p(n̂; t)

Ανοικτά δίκτυα αναµονήc

λ(N) +M∑

i=1

µi(ni)(1− qii)

p(n̂) =

λ(N − 1)M∑

i=1

q0ip(n̂− 1̂i) +

M∑i=1

µi(ni + 1)qi,M+1p(n̂ + 1̂i) +

M∑j=1

M∑i=1i6=j

µi(ni + 1)qijp(n̂ + 1̂i − 1̂j)

λ(0)p(0̂) =M∑

i=1

µi(1)qi,M+1p(1̂i)

{ei}, i = 1,2, . . . , M : lύση του συστήµατοc

ei = q0i +M∑

j=1

ejqji, i = 1,2, . . . , M

ei: µέσοc αριθµόc επισκέψεων στο σταθµο i που πραγµατοποιεί έναc πεlάτηcκατά τη διάρκεια τηc παραµονήc του στο δίκτυο

Θεώρηµα (Jackson, 1963) Εάν το σύστηµα εξισώσεων έχει µία µοναδικήµη αρνητική lύση και G < ∞, τότε η στατική κατανοµή p(n̂) υπάρχει καιδίνεται από τη σχέση:

p(n̂) =1

GΛ(N)

M∏i=1

enii

Mi(ni)

όπου

Λ(N) =N∏

n=1

λ(n− 1)

Mi(ni) =ni∏

n=1

µi(n)

G =∑n̂

Λ(N)M∏

i=1

enii

Mi(ni)

• Εξισώσειc καθοlικήc ισορροπίαc (global balance)

• Εξισώσειc τοπικήc ισορροπίαc (local balance)

• Μορφή γινοµένου (product form)

Σταθερόc εξωτερικόc ρυθµόc αφίξεων

(λ(N) = λ για κάθε N):

Λ(N) = λN =M∏

i=1

λni

p(n̂) =M∏

i=1

pi(ni)

όπου:

pi(ni) =(λei)

ni

Mi(ni)pi(0)

pi(0) =

∞∑n=0

(λei)n

Mi(n)

−1

Σταθµοί µε σταθερό ρυθµό εξυπηρέτησηc:

Πιθανότητεc pi(ni) όπωc για τα απlά συστήµατα αναµονήcM/M/1 (ήM/M/c)(Πρώτο θεώρηµα Jackson, 1957)

Ουρά M/M/1

Παράµετροι: λ (ρυθµόc αφίξεων), µ (ρυθµόc εξυπηρέτησηc)

΄Ενταση κυκlοφορίαc: ρ = λ/µ < 1 (συνθήκη ισορροπίαc)

Κατανοµή του αριθµού εργασιών στο σύστηµα:

pn = (1− ρ)ρn, n = 0,1, . . .

Μέσοc αριθµόc εργασιών στο σύστηµα: E[n] = ρ/(1− ρ)

Μέσοc χρόνοc απόκρισηc: T = (1/µ)/(1− ρ)

Ουρά M/M/∞Παράµετροι: λ (ρυθµόc αφίξεων), µ (ρυθµόc εξυπηρέτησηc)

΄Ενταση κυκlοφορίαc: ρ = λ/µ

Κατανοµή του αριθµού εργασιών στο σύστηµα:

pn = ρn

n!e−ρ, n = 0,1, . . .

Μέσοc αριθµόc εργασιών στο σύστηµα: E[n] = ρ

Μέσοc χρόνοc απόκρισηc: T = 1/µ

Κlειστά δίκτυα αναµονήc

M∑i=1

µi(ni)(1− qii)p(n̂) =M∑

j=1

M∑i=1i6=j

µi(ni + 1)qijp(n̂ + 1̂i − 1̂j)

{ei}, i = 1,2, . . . , M : lύση του συστήµατοc

ei =M∑

j=1

ejqji, i = 1,2, . . . , M

(στατικέc πιθανότητεc τηc αlυσίδαc Markov)

Θεώρηµα (Gordon και Newell, 1967) Εστω {ei}, i = 1,2, . . . , M µία µη µηδενι-

κή lύση του συστήµατοc. Τότε η στατική κατανοµή p(n̂) µε ‖n̂‖ =∑M

i=1 ni =N , ni ≥ 0, υπάρχει και δίνεται από την σχέση:

p(n̂) =1

G(N, M)

M∏i=1

enii

Mi(ni)

όπου οι ποσότητεc Mi(ni) ορίζονται όπωc στα ανοικτά δίκτυα και

G(N, M) =∑n̂

‖n̂‖=N

M∏i=1

enii

Mi(ni)

G(N, M): σταθερά κανονικοποίησηc (normalization constant)

Ο αlγόριθµοc τηc συνέlιξηc (J.P. Buzen)

Υποlογισµόc τηc σταθεράc G(N, M):ο αριθµόc των δυνατών καταστάσεων n̂ (άρα ο αριθµόc των όρων στην

άθροιση) είναι ίσοc µε

(N + M − 1

M − 1

)

Γεννήτρια συνάρτηση τηc ακοlουθίαc {eni

Mi(n), n = 1,2, . . .}:

gi(z) =∞∑

n=0

(eiz)n

Mi(n), i = 1,2, . . . , M

Γινόµενο των γεννητριών συναρτήσεων:

g(z) =M∏

i=1

gi(z)

G(N, M): συντεlεστήc του όρου zNστην g(z)

Μερικά γινόµενα:

γ1(z) = g1(z)

γi(z) = γi−1(z)gi(z), i = 2,3, . . . , M

G(j, i): συντεlεστήc του όρου zjστο γινόµενο γi(z)

G(j, i) =j∑

k=0

G(k, i− 1)ej−ki

Mi(j − k)

Αναδροµικόc υποlογισµόc τηc σταθεράc G(N, M) µε χρήση των οριακώνσυνθηκών:

G(0, i) = 1, i = 1,2, . . . , M

G(j,1) =ej1

M1(j), j = 1,2, . . . , N

O(MN2) αριθµητικέc πράξειc

Σταθεροί ρυθµοί εξυπηρέτησηc

µi(ni) = µi για κάθε ni > 0:

τi = ei/µi, i = 1,2, . . . , M

G(j, i) =j∑

k=0

G(k, i− 1)τ j−ki

= G(j, i− 1) +j−1∑k=0

G(k, i− 1)τ j−ki

= G(j, i− 1) + τi

j−1∑k=0

G(k, i− 1)τ j−k−1i

G(j, i) = G(j, i− 1) + τiG(j − 1, i)

Αναδροµικόc υποlογισµόc τηc σταθεράc G(N, M) µε χρήση των οριακώνσυνθηκών:

G(0, i) = 1, i = 1,2, . . . , M

G(j,1) = τj1, j = 1,2, . . . , N

O(MN) αριθµητικέc πράξειc

1 2 · · · i · · · M0 1 1 · · · 1 · · · 11 τ12 τ2

1......

G(j − 1, i)↓ × τi

j τj1 G(j, i− 1) −→ G(j, i)

......

N τN1 G(N, M)

Υποlογισµόc δεικτών επίδοσηc του δικτύου

(Σταθµοί µε σταθερό ρυθµό εξυπηρέτησηc µi)

• Βαθµόc χρησιµοποίησηc του σταθµού

ρi = τiG(N − 1, M)

G(N, M)

• Ρυθµόc απόδοσηc του σταθµού

λi = eiG(N − 1, M)

G(N, M)

• Μέσοc αριθµόc πεlατών στο σταθµό

E[ni] =1

G(N, M)

N∑n=1

G(N − n, M)τni

• Μέσοc χρόνοc απόκρισηc του σταθµού (Τύποc του Little)

Ti =E[ni]

λi=

1

eiG(N − 1, M)

N∑n=1

G(N − n, M)τni

∆ίκτυα BCMP

F.Baskett, K.M.Chandy, R.R.Muntz, F.G.Palacios (1975)

• Γενικά δίκτυα µε lύση µορφήc γινοµένου

• ∆ιαχωρίσιµα (separable) δίκτυα

Χαρακτηριστικά

• R κατηγορίεc πεlατών: έναc πεlάτηc µπορεί να αllάξει κατηγορία κα-θώc κινείται από κόµβο σε κόµβο

(πιθανότητεc qir,js, q0,ir, qir,M+1)

• αlυσίδεc: δύο ζεύγη (i, r)ανήκουν στην ίδια αlυσίδα αν υπάρχει µη µη-δενική πιθανότητα έναc πεlάτηc να βρεθεί στιc δύο αντίστοιχεc κατα-

στάσειc (κlειστέc και ανοικτέc αlυσίδεc).

• Εξωτερικέc αφίξειc σύµφωνα µε διαδικασία γεννήσεων ρυθµού λ(N),όπου N ο συνοlικόc αριθµόc πεlατών στο δίκτυο.

Κατανοµή Cox

Κατανοµέc Cox: εκθετικά στάδια

Μετασχηµατισµόc Laplace:

Φ(s) = b0 +k∑

i=1

Aibi

i∏j=1

µj

µj + s

όπου Ai = a0 · · · ai−1 (i = 1, . . . , k) (πιθανότητα να φθάσει ο πεlάτηc στοστάδιο i)

Μέσοc χρόνοc εξυπηρέτησηc για την κατανοµή Cox: 1/µ =∑k

i=1 Ai/µi.

Κανονισµοί εξυπηρέτησηc:

• FIFO (First In First Out)

• PS (Processor Sharing)

• LCFSPR (Last Come First Served Preemptive Resume)

• IS (Infinite Servers)Server-per-job ή Delay

Τύποι κόµβων:

• Τύποc 1: µία µονάδα εξυπηρέτησηc, χρόνοc εξυπηρέτησηc εκθετικάκατανεµηµένοc µε παράµετρο µi(ni) για όlεc τιc κατηγορίεc πεlατών,όπου ni ο αριθµόc πεlατών στον κόµβο, κανονισµόc εξυπηρέτησηc FCFS.

• Τύποc 2: χρόνοι εξυπηρέτησηc µε κατανοµή Cox, η οποία µπορεί να εί-ναι διαφορετική για κάθε κατηγορία πεlατών, µία µονάδα εξυπηρέτησηc

µε κανονισµό εξυπηρέτησηc PS.

• Τύποc 3: κανονισµόc εξυπηρέτησηc IS και χρόνοι εξυπηρέτησηc όπωcγια τον τύπο 2.

• Τύποc 4: κανονισµόc εξυπηρέτησηc LCFSPR και χρόνοι εξυπηρέτησηc

όπωc για τουc τύπουc 2 και 3.

Τύποι σταθµών

Επίlυση του µοντέlου

eir = q0,ir +M∑

j=1

R∑s=1

ejsqjs,ir, 1 ≤ i, j ≤ M, 1 ≤ r, s ≤ R

eir: ανάlογο µε την συχνότητα επισκέψεων των πεlατών τηc κατηγορίαc rστον κόµβο i.

Κατάσταση του δικτύου:

n̂ = [n̂1, n̂2, . . . , n̂M ], n̂i = [ni1, ni2, . . . , niR]

ni = ‖n̂i‖ =∑R

r=1 nir, N =∑M

i=1 ni

µi(ni): ρυθµόc εξυπηρέτησηc του κόµβου i (ίδιοc για όlεc τιc κατηγορίεcπεlατών), για κόµβο τύπου 1

1/µir: µέσοc χρόνοc εξυπηρέτησηc πεlατών τηc κατηγορίαc r στον κόµβο i,

για κόµβουc τύπου 2,3 ή 4

Θεώρηµα Εστω {eir}, i = 1,2, . . . , M , r = 1,2, . . . , R, µία µη αρνητική lύσητου συστήµατοc. Η στατική κατανοµή p(n̂) υπάρχει εάν G < ∞ και έχει τη

µορφή:

p(n̂) =1

GΛ(N)

M∏i=1

gi(n̂i)

όπου

Λ(N) =

{ ∏Nn=1 λ(n− 1) για ανοικτό δίκτυο

1 για κlειστό δίκτυο

G =∑n̂

Λ(N)M∏

i=1

gi(n̂i)

gi(n̂i) =

ni!∏R

r=1

[enirir

nir!

]/∏ni

n=1 µi(n) Τύποc 1

ni!∏R

r=1

[1

nir!

(eir

µir

)nir]

Τύποc 2 ή 4

∏Rr=1

[1

nir!

(eir

µir

)nir]

Τύποc 3

∆ίκτυο χωρίc κlειστέc αlυσίδεc

- σταθερόc ρυθµόc εξωτερικών αφίξεων λ- σταθεροί ρυθµοί εξυπηρέτησηc µi (Τύποc 1)

n̂ = [n1, n2, . . . , nM ]: συνοlικόc αριθµόc πεlατών σε κάθε κόµβο (για όlεcτιc κατηγορίεc)

ρi =

{ ∑Rr=1(λeir/µi) Τύποc 1∑Rr=1(λeir/µir) Τύποc 2, 3 ή 4

p(n̂) = p1(n1)p2(n2) . . . pM(nM)

όπου

pi(ni) =

(1− ρi)ρ

nii Τύποc 1, 2 ή 4

e−ρiρnii

ni!Τύποc 3

(ρi < 1 για τουc τύπουc 1,2 και 4)

Επιµέρουc κατανοµέc όπωc για το σύστηµα M/M/1 (τύποι 1,2 και 4)ή το σύστηµα M/M/∞ (τύποc 3).

Κlειστά δίκτυα BCMP

• Υποlογισµόc τηc σταθεράc κανονικοποίησηc G

• Ανάlυση Μέσηc Τιµήc

Mean Value Analysis - MVA M. Reiser, 1980

Βασικέc αρχέc:

(i) Σε ένα κlειστό δίκτυο µε lύση µορφήc γινοµένου, η κατανοµή πιθανό-τηταc τηc κατάστασηc του δικτύου την οποία `βlέπει΄ έναc πεlάτηc που

φθάνει σε ένα σταθµό, είναι η ίδια µε την στατική κατανοµή του δικτύου

αν ο πεlάτηc αυτόc έlειπε από το δίκτυο.

Θεώρηµα των αφίξεων (arrival instant theorem) για κlειστά δίκτυα.

(ii) Ο τύποc του Little µπορεί να εφαρµοστεί σε οlόκlηρο το δίκτυο και σεκάθε σταθµό του δικτύου χωριστά.

MVA