Quelques r ´ esultats de contr ˆ ole sur l’ ´ equation de Korteweg-de Vries Emmanuelle Cr ´ epeau Universit ´ e de Versailles Saint Quentin en Yvelines, Paris-Saclay. En collaboration avec J.M. Coron (LJLL), E. Cerpa (Santiago), K. Ammari (Monastir). Groupe de Travail Contrˆ ole, Avril 2018 E. Cr ´ epeau (UVSQ) Quelques r ´ esultats de contr ˆ ole sur KdV Avril 2018 1 / 32
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Quelques résultats de contrôle sur l'équation de Korteweg-de ......L’equation de Korteweg-de Vries – Origine´ A la fin du 19eme si` ecle, Boussinesq puis Korteweg et de Vries
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Quelques resultats de controle sur l’equation de Korteweg-de Vries
Emmanuelle Crepeau
Universite de Versailles Saint Quentin en Yvelines, Paris-Saclay.
En collaboration avec J.M. Coron (LJLL), E. Cerpa (Santiago), K. Ammari (Monastir).
Groupe de Travail Controle, Avril 2018
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 1 / 32
Plan de l’expose
1 L’equation de Korteweg-de Vries, quel controle ?
2 Controle de KdV sur un segment
3 Controle de KdV avec coefficient non constant
4 Controle de KdV sur un reseau etoile
5 Stabilite de KdV sur un reseau
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 2 / 32
1 L’equation de Korteweg-de Vries, quel controle ?
2 Controle de KdV sur un segment
3 Controle de KdV avec coefficient non constant
4 Controle de KdV sur un reseau etoile
5 Stabilite de KdV sur un reseau
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 3 / 32
L’equation de Korteweg-de Vries – Origine
A la fin du 19eme siecle, Boussinesq puis Korteweg et de Vries ont derive l’equationsuivante,
yt + yxxx + 6yyx = 0, (1)
qui modelise un ecoulement d’ondes en faible profondeur, y(t, x) etant l’amplitude del’onde au temps t a la position x.Cette equation admet des solutions particulieres, “les solitons” qui se deplacent enconservant leur vitesse et leur forme.Pour l’etudier dans un repere fixe, Bona et Winther (83) ont montre qu’il fallait rajouter”yx”. L’equation est alors:
yt + yx + yxxx + yyx = 0. (2)
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L’equation de Korteweg-de Vries – Quel controle ?
On doit deja definir un cadre sur lequel l’equation est bien posee et voir ou appliquerle(s) controle(s).Conditions au bord sur : y(t, 0), y(t, L), yx(t, L)Il y a differentes possibilites avec un seul controle:
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 5 / 32
L’equation de Korteweg-de Vries – Quel controle ?
On doit deja definir un cadre sur lequel l’equation est bien posee et voir ou appliquerle(s) controle(s).Conditions au bord sur : y(t, 0), y(t, L), yx(t, L)Il y a differentes possibilites avec un seul controle:
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 5 / 32
L’equation de Korteweg-de Vries – Quel controle ?
On doit deja definir un cadre sur lequel l’equation est bien posee et voir ou appliquerle(s) controle(s).Conditions au bord sur : y(t, 0), y(t, L), yx(t, L)Il y a differentes possibilites avec un seul controle:
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 5 / 32
1 L’equation de Korteweg-de Vries, quel controle ?
2 Controle de KdV sur un segment
3 Controle de KdV avec coefficient non constant
4 Controle de KdV sur un reseau etoile
5 Stabilite de KdV sur un reseau
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 6 / 32
Les differentes etapes ”usuelles”
1 Lineariser le systeme autour d’une solution stationnaire (ici ”0”).2 Montrer la controlabilite du linearise (Par linearite du probleme on se ramene ay0 = 0.), via une inegalite d’observabilite sur le probleme adjoint.
3 Appliquer un theoreme de point fixe pour avoir la controlabilite du non lineaire(generalement locale autour de la solution stationnaire).
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qui est equivalent a chercher les fonctions propres de l’operateur associe,λψ + ψ′ + ψ′′′ = 0,ψ(0) = ψ(L) = 0,ψ′(0) = ψ′(L) = 0.
Lemme (Rosier 1997)
Il existe des solutions non triviales⇔ L ∈ N = {2π√
k2+kl+l2
3, k, l ∈ N∗}.
On sait decrire exactement les valeurs propres et les fonctions propres. On note Ml’espace des fonctions propres.
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 10 / 32
Theoreme (Rosier 1997)Soit T > 0, le systeme linearise est exactement controlable ssi
L /∈ N = {2π√k2 + kl + l2
3, k, l ∈ N∗}.
Si L ∈ N = {2π√
k2+kl+l2
3, k, l ∈ N∗} alors l’ensemble atteint est du type M⊥ ou M
est de dimension finie.
Remarque : il n’y a pas de contradiction avec la preuve via les multiplicateurs !Passage au NL : On applique un argument de point fixe et on obtient la controlabilite
pour des donnees proches de ”0” si L /∈ N .
Theoreme (Rosier 1997)
Soit T > 0, L /∈ N ,∃r > 0 tel que pour tout (y0, yT ) ∈ L2(0, L) tels que ‖y0‖L2(0,L) < r
et ‖yT ‖L2(0,L) < r, il existe u ∈ L2(0, T ) tel que la solution du probleme verifiey(0, .) = y0 et y(T, .) = yT .
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 11 / 32
Theoreme (Rosier 1997)Soit T > 0, le systeme linearise est exactement controlable ssi
L /∈ N = {2π√k2 + kl + l2
3, k, l ∈ N∗}.
Si L ∈ N = {2π√
k2+kl+l2
3, k, l ∈ N∗} alors l’ensemble atteint est du type M⊥ ou M
est de dimension finie.
Remarque : il n’y a pas de contradiction avec la preuve via les multiplicateurs !Passage au NL : On applique un argument de point fixe et on obtient la controlabilite
pour des donnees proches de ”0” si L /∈ N .
Theoreme (Rosier 1997)
Soit T > 0, L /∈ N ,∃r > 0 tel que pour tout (y0, yT ) ∈ L2(0, L) tels que ‖y0‖L2(0,L) < r
et ‖yT ‖L2(0,L) < r, il existe u ∈ L2(0, T ) tel que la solution du probleme verifiey(0, .) = y0 et y(T, .) = yT .
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 11 / 32
Cas critique ou L ∈ N : quelques idees
Si L ∈ N alors on applique les idees suivantes :1 On sait que l’espace atteint par le linearise est du type M⊥ ou M ⊂ L2(0, L).2 On developpe l’equation a l’ordre 2 voire 3, et on montre qu’on peut atteindre M
aux ordres suivants.3 On utilise un argument de point fixe double (Banach pour l’ordre 1, Brouwer pour
l’ordre suivant) et on obtient la controlabilite locale du systeme non lineaire autourde 0.
J.M.Coron, E. C. (2004) pour dim M = 1, controlabilite exacte locale autour de 0en tout temps.
E. Cerpa (2007) pour dim M = 2, controlabilite exacte locale autour de 0 entemps assez grand.
E. Cerpa-E. C. (2009) pour dim M > 2, controlabilite exacte locale autour de 0 entemps assez grand.
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 12 / 32
Cas critique ou L ∈ N : quelques idees
Si L ∈ N alors on applique les idees suivantes :1 On sait que l’espace atteint par le linearise est du type M⊥ ou M ⊂ L2(0, L).2 On developpe l’equation a l’ordre 2 voire 3, et on montre qu’on peut atteindre M
aux ordres suivants.3 On utilise un argument de point fixe double (Banach pour l’ordre 1, Brouwer pour
l’ordre suivant) et on obtient la controlabilite locale du systeme non lineaire autourde 0.
J.M.Coron, E. C. (2004) pour dim M = 1, controlabilite exacte locale autour de 0en tout temps.
E. Cerpa (2007) pour dim M = 2, controlabilite exacte locale autour de 0 entemps assez grand.
E. Cerpa-E. C. (2009) pour dim M > 2, controlabilite exacte locale autour de 0 entemps assez grand.
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 12 / 32
1 L’equation de Korteweg-de Vries, quel controle ?
2 Controle de KdV sur un segment
3 Controle de KdV avec coefficient non constant
4 Controle de KdV sur un reseau etoile
5 Stabilite de KdV sur un reseau
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 13 / 32
Controle de KdV avec un coefficient principal constant par morceaux
0 a1 a2 a3 L
p(x) = pi > 0 sur [ai, ai+1).
yt + yx + p(x)yxxx + yyx = 0, (t, x) ∈ (0, T )× (0, L),y(t, 0) = 0, y(t, L) = 0, t ∈ (0, T ),yx(t, L) = h(t), t ∈ (0, T ),y(t, a−i ) = y(t, a+i ), t ∈ (0, T ), i = 1, . . . , N − 1,√pi−1yx(t, a
−i ) =
√piyx(t, a
+i ), t ∈ (0, T ), i = 1, . . . , N − 1,
pi−1yxx(t, a−i ) = piyxx(t, a
+i ), t ∈ (0, T ), i = 1, . . . , N − 1,
y(0, x) = y0(x), x ∈ (0, L).
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 14 / 32
Well-posedness
A l’aide de la theorie des operateurs, on peut montrer que l’operateur lineaire associegenere un semi-groupe fortement continu de contractions et on a
Theoreme
Pour (y0, h) ∈ L2(0, L)× L2(0, T ), il existe une unique solutiony ∈ C([0, T ], L2(0, L)) ∩ L2(0, T,H1(0, L)).
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 15 / 32
Inegalite d’observabilite pour le linearise
‖φT ‖L2(0,L) ≤ C‖φx(., L)‖L2(0,T )
pour l’equation adjointe retrograde,
φt + φx + p(x)φxxx = 0, (t, x) ∈ (0, T )× (0, L),φ(t, 0) = 0, φx(t, 0) = 0, φ(t, L) = 0, t ∈ (0, T ),φ(t, ai−) = φ(t, ai+), t ∈ (0, T ), i = 1, . . . , N − 1,√pi−1φx(t, a
−i ) =
√piφx(t, a
+i ), t ∈ (0, T ), i = 1, . . . , N − 1,
pi−1φxx(t, a−i ) = piφxx(t, a
+i ), t ∈ (0, T ), i = 1, . . . , N − 1,
φ(T, x) = φT (x), x ∈ (0, L).
Idee: multiplicateurs avec des fonctions bien choisies qui font disparaıtre les termesaux interfaces
Theoreme (E.C. 2016)Soient T,L, p = (pi)i=0,...,N−1 > 0 tels que
L
min(√p)<√3π, et T >
NL3
3π2 min p− L2,
alors le systeme est exactement controlable.
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 16 / 32
Cas critiques ?
Si on controle avec 2 controles sur les conditions a droite, y(t, L) = h1(t) etyx(t, L) = h2(t) alors l’inegalite d’observabilite a montrer est
ObservabilitePeut-on trouver C > 0 tel que‖φT ‖L2(0,L) ≤ C
(‖φx(., L)‖L2(0,T ) + ‖φxx(., L)‖H−1(0,T )
)ou φ est la solution du
probleme adjoint retrograde ?
Revient a resoudre le probleme : Soit λ ∈ C, si w est solution de
alors w = 0.Preuve Comme sur (0, a1) EDO lineaire d’ordre 3 avec w(0) = wx(0) = wxx(0) = 0 ona w = 0 sur (0, a1) et on le deduit par recurrence sur chaque (ai, ai+1).
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 17 / 32
Resultat dans le cas general
TheoremeControlabilite exacte du probleme de marches lineaire et controlabilite exacte localedans le cas non lineaire pour tout temps et toute conditions initiales et finales dansL2(0, L) avec deux controles, h1 ∈ H1
0 (0, T ) et h2 ∈ L2(0, T )
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 18 / 32
1 L’equation de Korteweg-de Vries, quel controle ?
2 Controle de KdV sur un segment
3 Controle de KdV avec coefficient non constant
4 Controle de KdV sur un reseau etoile
5 Stabilite de KdV sur un reseau
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 19 / 32
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 22 / 32
Resultat de controle
Theoreme (K. Ammari, E.C. 2018)Soit T > 0 et (`i) tels que `2, . . . , `N /∈ N , alors le systeme linearise est controlableavec N − 1 controles de type Neumann aux noeuds exterieurs et un controle au noeudcentral.
et pour le non lineaire en appliquant un argument de point fixe :
Theoreme (K. Ammari, E.C. 2018)Soit T > 0 et (`i) tels que `2, . . . , `N /∈ N , alors le systeme non lineaire est localementcontrolable autour de 0 avec N − 1 controles de type Neumann aux noeuds exterieurset un controle au noeud central.
Remarque : Si un des `i pour i ≥ 2 est critique alors le systeme linearise n’est pluscontrolable.
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 23 / 32
Cas critique:
Si on considere N + 1 controles, N sur les noeuds exterieurs et le dernier sur le noeudcentral alors on a controlabilite pour des temps suffisamment grands du probleme
Idee: on utlise le resultat de controle de KdV non lineaire sur chaque branche (avec enplus uj(t, 0) = 0) et ensuite on prend comme g le controle central qui apparaıtnaturellement.
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 24 / 32
1 L’equation de Korteweg-de Vries, quel controle ?
2 Controle de KdV sur un segment
3 Controle de KdV avec coefficient non constant
4 Controle de KdV sur un reseau etoile
5 Stabilite de KdV sur un reseau
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 25 / 32
Resultat de stabilite (K. Ammari, E.C. 2018)
En utilisant le meme type d’inegalites d’observabilite on peut montrer que le systeme
(LKdV)
(∂tuj + ∂xuj + ∂3xuj)(t, x) = 0, ∀x ∈ (0, `j), t ∈ (0,∞), j = 1, ..., N,
uj(t, 0) = uk(t, 0), ∀ j, k = 1, ..., N, t > 0,N∑j=1
Soit (`i)i=1..N ∈ (0,+∞)N tel que #{`i ∈ N} ≤ 1, α > N/2 alors il existe C > 0 etµ > 0 tel que pour tout u0 ∈ L2(T ) la solution de (LKdV) verifie,
‖u(t, .)‖L2(T ) ≤ C ‖u0‖L2(T )e
−µt.
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 26 / 32
Ajout d’un damping en cas de longueur critiquesOn suppose que #{`i ∈ N} ≥ 2 alors on ajoute un damping sur les branches”critiques” excepte une au maximum.
On en deduit la stabilite pour des solutions de petite amplitude.
Stabilite du non lineaire
Soit (`i)i=1,...,N ∈ (0,+∞)N et a ∈ L∞(T ) comme dans le cas precedent. Alors ilexiste C, µ, r > 0 tels que pour tout u0 ∈ L2(T ) avec ‖u0‖L2(T ) ≤ r alors la solution ude (KdVdamped) verifie,
‖u(t, .)‖L2(T ) ≤ Ce−µt‖u0‖L2(T ), ∀t ≥ 0.
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 29 / 32
Resultat de stabilite semi-globale
Si on applique le damping sur toutes les branches alors on a
Stabilite semi-globale
Soit (`i)i=1,...,N ∈ (0,+∞)N , soit a ∈ L∞(T ) agissant sur des morceaux de toutes lesbranches et R > 0. Alors pour tout u0 ∈ L2(T ) avec ‖u0‖L2(T ) ≤ R il existeC = C(R) > 0 et µ = µ(R) > 0 tels que la solution u de (KdVdamped) verifie,
‖u(t, .)‖L2(T ) ≤ Ce−µt‖u0‖L2(T ), ∀t ≥ 0.
Idee : utiliser un raisonnement par l’absurde et une propriete de continuation unique,
Theoreme Saut, Sheurer (87)
Soit L > 0 et y ∈ L2(0, T,H3(0, L)) solution de
yt + yx + yxxx + yyx = 0,
tel que y(t, x) = 0, ∀t ∈ (t1, t2) et x ∈ ω ou ω est un ouvert non vide de (0, L). Alorsy(t, x) = 0, ∀t ∈ (t1, t2) et x ∈ (0, L).
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 30 / 32
Perspectives
1 Montrer que le non lineaire est controlable meme dans le cas ou on a deslongueurs critiques avec seulement N controles.
2 Regarder si on peut controler le probleme en enlevant le controle au noeud centralmais en controlant sur tous les noeuds exterieurs (travail en cours de C. Moreno).Pour l’instant elle a reussi a avoir un premier resultat positif mais pour deslongueurs petites en choisissant bien ses multiplicateurs.
Merci pour votre attention
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 31 / 32
Perspectives
1 Montrer que le non lineaire est controlable meme dans le cas ou on a deslongueurs critiques avec seulement N controles.
2 Regarder si on peut controler le probleme en enlevant le controle au noeud centralmais en controlant sur tous les noeuds exterieurs (travail en cours de C. Moreno).Pour l’instant elle a reussi a avoir un premier resultat positif mais pour deslongueurs petites en choisissant bien ses multiplicateurs.
Merci pour votre attention
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 31 / 32
Perspectives
1 Montrer que le non lineaire est controlable meme dans le cas ou on a deslongueurs critiques avec seulement N controles.
2 Regarder si on peut controler le probleme en enlevant le controle au noeud centralmais en controlant sur tous les noeuds exterieurs (travail en cours de C. Moreno).Pour l’instant elle a reussi a avoir un premier resultat positif mais pour deslongueurs petites en choisissant bien ses multiplicateurs.
Merci pour votre attention
E. Crepeau (UVSQ) Quelques resultats de controle sur KdV Avril 2018 31 / 32