PROGRESSÃO GEOMÉTRICA · Partindo da sua experiência em P.A., ... Em uma P.G.Como finita, o produto de dois termos ... possui 5 termos (número ímpar) ...

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Ano: 2015

PROGRESSÃO

GEOMÉTRICA Aulas 01 a 05

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Sumário PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) ............................... 1

PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 1

DEFINIÇÃO .................................................................... 1

A RAZÃO DE UMA P.G. ................................................. 1

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1

CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G. ...................................... 1

PRELIMINAR 2 ..................................................................................................................................................... 1

CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO ..................................... 1

Uma P.G. é dita crescente ................................................................................................................................... 1

Uma P.G. é dita decrescente ............................................................................................................................... 1

Uma P.G. é dita alternada (ou oscilante) ............................................................................................................ 1

Uma P.G. é dita constante .................................................................................................................................. 1

TERMO GERAL DA P.G. ................................................. 2


INTERPOLAÇÃO DE MEIOS GEOMÉTRICOS .................. 2



ALGUMAS PROPRIEDADES DOS TERMOS DE UMA P.G.3


REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS ....................................... 3

P.G. de três termos ............................................................................................................................................. 3


SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ............................................................. 4


PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 4

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA DE RAZÃO 𝒒, com −𝟏 < 𝒒 < 𝟎 ou 𝟎 < 𝒒 < 𝟏. .................... 4

QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 5

CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 5

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

AULA 01 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)

PRELIMINAR 1 Identifique, em cada uma das sequências a seguir, o

padrão de sua formação e escreva seus dois próximos

termos.

I. (1, 2, 4, 8, _____, _____, . . . )

II. (−12, −6, −3, _____, ____, . . . )

III. (81, 27, 9, _____, _____, . . . )

IV. (−4, −12, −36, _____, _____, . . . )

V. (−2, 4, −8, 16, _____, _____, . . . )

VI. (12, 12, 12, 12, _____, _____, … )

DEFINIÇÃO Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência

de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do

segundo, é igual ao produto do seu antecessor por

uma constante chamada de razão da P.G.: q.

A RAZÃO DE UMA P.G. Considere um termo qualquer 𝑎𝑛, 𝑛 ≥ 2, de uma P.G..

O termo que o antecede é chamado: 𝑎𝑛−1.

Assim,

a razão de uma P.G. é dada pela razão de um termo

qualquer, a partir do 2°, para seu antecessor.

Isto é,

𝑞 = 𝑎𝑛

𝑎𝑛−1 , para todo 𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑒 𝑛 ≥ 2.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.0. Para cada sequência da parte PRELIMINAR 1,

determine os valores de 𝑎1e de 𝑞.

1.1. Uma sequência (𝑎𝑛) é uma P.G. com

𝑎𝑛 = −3 ∙ 5𝑛−2, ∀ 𝑛 ∈ ℕ∗. Determine a razão

dessa P.G.

CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G.

PRELIMINAR 2 Partindo da sua experiência em P.A., classifique cada

sequência do tópico PRELIMINAR 1.

CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO Uma progressão geométrica é classificada de acordo

com o valor da sua razão q e do sinal de a1.

Uma P.G. é dita crescente se a1 > 0 e q > 1. Ex.: Sequência I ; ou

se a1 < 0 e 0 < q < 1. Ex.: Sequência II.

Uma P.G. é dita decrescente se a1 > 0 e 0 < q < 1. Ex.: Sequência III ; ou

se a1 < 0 e q > 1. Ex.: Sequência IV.

Uma P.G. é dita alternada (ou oscilante) se q < 0. Ex.: Sequência V.

Obs.1: Termos consecutivos possuem sinais contrários.

Uma P.G. é dita constante se q = 1. Ex.: Sequência VI.

Obs.2: Todos os termos são iguais e não-nulos.

TAREFA 1: Ler, nas PARTES 1 e 2, os exercícios

resolvidos: 1(a,b,d,f,g) e 4(a,c,e). Fazer os PROP.

6(a,c,e) e 7.

Como verificar se uma sequência (𝒂𝒏) é uma P.G.?

Se for apresentado um trecho da P.G., calcule a razão

de um termo, a partir do 2°, para seu antecessor. A

sequência só será uma P.G., se todas as razões forem

iguais.

Se for dada a lei de formação da P.G., calcule a razão

q (pela fórmula dada nesta aula). A sequência só será

uma P.G., se, após todas as simplificações, o resultado

obtido não depender de n.


TERMO GERAL DA P.G. Da definição de progressão geométrica, é razoável

escrevermos o seguinte:

𝑎1

𝑎2 = 𝑎1 ⋅ 𝑞

𝑎3 = 𝑎1 ⋅ 𝑞2

𝑎4 = 𝑎1 ⋅ 𝑞3

𝑎5 = 𝑎1 ⋅ 𝑞4...

Portanto, considerando 𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑒 𝑛 ≥ 2 , um termo

𝑎𝑛 pode ser dado por:

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 . 𝒒𝒏 – 𝟏

-- Termo Geral da P.G –

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.2. a) Seja (𝑎𝑛) = (3, 6, 12, . . . ) uma P.G..

Determine seu 9º termo.

b) Em uma P.G. crescente de razão 𝑞 = 2, tem-

se 𝑎11 = 3.072. Qual é o valor de 𝑎2?

1.3. Em uma P.G. de quatro termos, a razão é 5 e o

último termo é 375. O primeiro termo dessa P.G.

é A) 1 B) 2 C) 3 D) 4.

1.4. Em uma P.G., o 4° termo é igual a 32 e o 1° termo

é igual a 1

2. Qual é o valor do 8° termo?

1.5. Qual é o valor da razão da P.G. em que a soma do

3° termo com o 5° termo é 5

4 e a soma do 7° com o

9° termo é 20?

1.6. Em uma P.G. o terceiro termo é igual a 8 e o sexto

termo é 32. Determine o seu décimo termo.

Generalização do Termo Geral

𝒂𝒋 = 𝒂𝒊 . 𝒒𝒋 – 𝒊

AULA 02 INTERPOLAÇÃO DE MEIOS

GEOMÉTRICOS Interpolar k meios geométricos entre dois números, x

e y, é formar uma P.G. que comece em x, termine em y

e tenha k termos entre eles.

Obs. 1: Note que, nesse cenário, tem-se

𝒙 = 𝒂𝟏 e 𝒚 = 𝒂𝒌+𝟐.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Interpolando quatro meios geométricos entre 1 e

243, nessa ordem, obtém-se uma P.G. na qual a soma

desses quatro meios é

A) 100 B) 130 C) 220 D) 120 E) 150

TAREFA 2: Ler os exercícios resolvidos 2(a,b,d), 3, 5,

6 (+Obs.1) e 8. Fazer os PSA 2(b,d), 4, 8(a, b, d),11 e

19.

TAREFA 3: Ler, na PARTE 3, os ex. resolvidos 9 e 10;

Como entender o “funcionamento”

da versão generalizada do termo geral de uma PG?

DICA DO PROFESSOR – PRINCÍPIO DO ELEVADOR

Encare os termos da fórmula 𝒂𝒋 = 𝒂𝒊 . 𝒒𝒋 – 𝒊 como:

𝒂𝒊 : morador de um andar 𝒊 (inferior);

𝒂𝒋 : morador de um andar 𝒋 (superior).

Desse modo, o expoente (𝒋 – 𝒊) representa o número

de andares que o morador do andar 𝒊 precisa subir

para chegar ao andar 𝒋.


EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

AULA 03 ALGUMAS PROPRIEDADES DOS

TERMOS DE UMA P.G. P1) Considere três termos consecutivos de uma P.G..

O quadrado do termo do meio é o produto dos outros

dois.

Exemplo 3.1: Sejam a, b e c, três termos consecutivos

de uma Progressão Geométrica, então

𝑏2 = 𝑎. 𝑐

Exemplo 3.2: Na P.G. (2, 6, 18, 54, 162), tem-se que:

6² = 2 . 18 ou 18² = 6 . 54 ou 54² = 18 . 162

P2) Em uma P.G. finita, o produto de dois termos

equidistantes dos extremos é igual ao produto dos

extremos.

Exemplo 3.3: Na P.G. ( 3, 6, 12, 24, 48, 96), tem-se:

3 . 96 = 6 . 48 = 12 . 24 = 288

P3) Considere uma P.G. com um número ímpar de

termos. Nesse cenário, existe um termo central (termo

médio) tal que seu quadrado é igual ao produto dos

extremos.

Exemplo 3.4: A P.G. (56, 28, 14, 7,7

2) possui 5 termos

(número ímpar) e, portanto, possui termo médio, no

caso, o terceiro. Desse modo, tem-se que

14² = 56 .7

2= 196

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Qual é o valor de x que torna a sequência (𝑎𝑛) =

(7, 𝑥, 4𝑥) uma progressão geométrica?

3.2. Determine o quinto termo da P.G. em que 𝑎1 =

1 e 𝑎9 = 256.

REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS É importante saber representar progressões

geométricas, com poucos termos, utilizando um

número mínimo de incógnitas.

P.G. de três termos

(𝑥; 𝑥 ⋅ 𝑞; 𝑥 ⋅ 𝑞²) ou ( 𝒙

𝒒; 𝒙; 𝒙 ⋅ 𝒒 )

Obs.1: Ambas tem razão 𝑞.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.3. Determine uma P.G. crescente de três termos, tal

que o produto destes é 64 e a soma, 14.

TAREFA 5: Ler os exercícios resolvidos 12, 13 e 14;

Fazer os PSA. 23, 24, 25.

Desafio: PSA. 27

TAREFA 6: Lero ex. res. 16; e fazer o PSA 30.

TAREFA 4: Fazer os PSA 20, 15 e 17

Como “anotar”/ interpretar os dados de uma

situação-problema que envolve valor presente?

dessas fórmulas?

DICA DO PROFESSOR!

Alguns problemas apresentam, em seus dados,

valores referentes ao tempo presente: “hoje”,

“agora”, “neste ano”, ... ; e, também, ao valor em

um tempo futuro: “daqui a 𝑛 anos seu valor será...”

Existem duas maneiras corretas de interpretar esses

dados:

1) Valor de hoje: 𝒂𝟏

Valor daqui a 𝑛 “anos”: 𝒂𝒏+𝟏

Note que, dessa forma, 𝑎𝑛 representa o termo que

ocupa a posição 𝑛 da sequência, neste caso, ele é

o valor obtido 𝑛 − 1 “anos” após o início da

“experiência” (duração da mesma).

2) Valor de hoje: 𝒂𝟎

Valor daqui a 𝑛 “anos”: 𝒂𝒏

Note que, dessa forma, 𝑎𝑛 representa o termo que

ocupa a posição 𝑛 da sequência, neste caso, ele é

o valor obtido 𝑛 “anos” após o início da

“experiência” (duração da mesma).


AULA 04 SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE

UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Considere uma P.G. , (𝑎𝑛), com razão 𝒒 ≠ 𝟏:

(𝑎𝑛) = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , … , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 , … )

A soma dos seus 𝑛 primeiros termos, 𝑆𝑛 , é tal que

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 .

Essa soma pode ser obtida pelas fórmulas

equivalentes:

𝑺𝒏 = 𝒂𝟏( 𝒒𝒏−𝟏)

𝒒−𝟏 ou 𝑺𝒏 =

𝒂𝟏(𝟏− 𝒒𝒏)

𝟏−𝒒

Obs. 1: Sendo (𝑎𝑛) uma P.G. com razão 𝑞 = 1, tem-se

que, a soma de seus 𝑛 primeiros termos, 𝑆𝑛 , é dada

por:

𝑺𝒏 = 𝒏 . 𝒂𝟏

Afinal, nesse caso, todos os termos são iguais a 𝑎1.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G.

(−2, 4, −8, . . . ).

4.2. Considere a P.G. finita (2

9 ,

2

3 , … , 486). Determine

a soma de seus termos.

4.3. Quantos termos da P.G. (2, 6, 18, . . . ) devem ser

considerados a fim de que a sua soma seja

19.682?

AULA 05 PRELIMINAR 1 Os dois exemplos seguintes ilustram, em duas

progressões geométricas distintas, a soma de seus 𝑛

primeiros termos, para alguns valores de 𝑛.

1) Seja (𝒂𝒏) = (𝟏,𝟏

𝟐,

𝟏

𝟒,

𝟏

𝟖, … ) uma P.G..

Neste caso, para

𝑛 = 5 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆5 = 1,9375

𝑛 = 10 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆10 ≅ 1,998

𝑛 = 20 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆20 ≅ 1,999998

2) Seja (𝒂𝒏) = (𝟐, 𝟒, 𝟖, 𝟏𝟔, … ) uma P.G..

Neste caso, para

𝑛 = 5 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆5 = 62

𝑛 = 10 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆10 ≅ 2046

𝑛 = 20 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆20 ≅ 2 097 150

Note que, à medida que n aumenta, o valor de 𝑆𝑛 ,

no exemplo 1, fica cada vez mais próximo de 2.

Nesses casos, dizemos que a soma CONVERGE

para um número. No caso, 2.

no exemplo 2, fica cada vez maior.

Nesses casos, dizemos que a soma DIVERGE.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.

INFINITA DE RAZÃO 𝒒, com −𝟏 <

𝒒 < 𝟎 ou 𝟎 < 𝒒 < 𝟏. Considere uma progressão geométrica (𝑎𝑛) com

(𝑎𝑛) = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , … ) e com razão 𝑞 tal que

−𝟏 < 𝑞 < 0 ou 𝟎 < 𝑞 < 1 .

Essa P.G. é dita convergente e chamamos de Série

Geométrica Convergente a soma:

𝑺 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 + . ..

Nas séries geométricas convergentes, dizemos que

para 𝑛 muito grande o valor de 𝑞𝑛 tende a zero.

Assim, partindo da fórmula para 𝑆𝑛 , chegamos a:

𝑺 = 𝒂𝟏

𝟏 − 𝒒

TAREFA 7: Ler os ex. resolvidos 18, 19 e 20; e fazer os

PSA. 33(b), 35, 44, 45 e 48.

DICA DO PROFESSOR

Note que, para obter o valor de 𝑆𝑛, é necessário

conhecer os valores de 𝑎1 , 𝑞 e 𝑛.

Portanto, caso um desses três não seja fornecido

explicitamente no enunciado, procure calculá-lo

antes de tentar utilizar a fórmula de Sn.

TAREFA 8: Ler os ex. resolvidos 22(b) e 25; e fazer os

PSA. 49, 52, 55, 56 e 57.


EXTRA

QUESTÕES EXTRAS 1) Interpolando 5 meios geométricos positivos entre

4 e 2916, nesta ordem, obtém-se uma progressão

geométrica de razão

(A) −9.

(B) −3.

(C) 3.

(D) 6.

(E) 9.

2) Um automóvel foi financiado em um ano de tal

forma que os valores, em reais, das prestações

estão em progressão geométrica. O valor da

primeira prestação desse automóvel (referente a

janeiro) é R$ 10000,00 e o valor da última

prestação (referente a dezembro) é R$ 100,00.

Nesse caso, o produto dos valores das prestações

referentes a junho e julho é

(A) 103.

(B) 104.

(C) 106.

(D) 107.

(E) 108.

3) Somando um mesmo número aos números 5, 7 e

6, nesta ordem, obtém-se uma progressão

geométrica. O número somado é

(A) −11

3.

(B) −19

3.

(C) 14

3.

(D) 16

3.

(E) 17

3.

4) A sequência de figuras as seguir representa os

cinco primeiros passos da construção do fractal de

Sierpinski. Os vértices dos triângulos claros são os

pontos médios dos lados dos triângulos escuros

da figura anterior.

Denotando por 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4 e 𝐴5, respectivamente,

as áreas das regiões escuras da primeira, segunda,

terceira, quarta e quinta figuras da sequência acima, a

sequência (𝐴1; 𝐴2; 𝐴3; 𝐴4; 𝐴5) é uma progressão

geométrica de razão igual a

(A) 3

4.

(B) 1

2.

(C) 1

3.

(D) 1

4.

(E) 2

3.

5) A progressão geométrica (𝑎𝑛), tal que 𝑎𝑛 =

72𝑛−4, ∀𝑛 ∈ ℕ∗, tem razão igual a

(A) 49.

(B) 1.

(C) 7.

(D) 1

7.

(E) 1

49.

6) Considere uma progressão geométrica (𝑎𝑛), com

𝑛 ∈ ℕ∗, na qual 𝑎3 = 12 e 𝑎7 = 192. Determine

𝑎10.

7) Determine a razão da progressão geométrica

(2 + 𝑥; 𝑥 ; 8 + 𝑥; … ).

CAIU NO VEST 1) (PUC) Em uma progressão geométrica a diferença

entre o 2º e o 1º termos é 9 e a diferença entre o

5º e o 4º é 576. O primeiro termo da progressão

é:

(A) 3

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 9

2) (AFA) Uma bola é solta de uma altura de 128

metros em relação ao solo, e, ao atingir o mesmo,

ela sobe a metade da altura anterior. Esse

movimento se repete até atingir o solo pela

décima vez. Nesse momento, quanto a bola terá

percorrido, em metros?

(A) 255,5

(B) 383,00

(C) 383, 50

(D) 383,63

3) (MACK) Na sequência geométrica de termos

positivos, ilimitada e decrescente, o segundo

termo é igual à razão. Se a soma de todos os

termos tende a 2, então o quarto termo vale:


(A) 1

4.

(B) 1

8

(C) 1

6

(D) 1

16

(E) 1

32

4) (IME) Uma bola é lançada na vertical, de encontro

ao solo, de uma altura ℎ. Cada vez que bate no

solo, ela sobe até a metade da altura que caiu.

Calcule o comprimento total percorrido pela bola

em sua trajetória até atingir o repouso.

GABARITO:

FUNDAMENTAIS

1.1. 5

1.2. a) 768 b) 6

1.3. C

1.4. 8192

1.5. 2

1.6. 3128 4

2.1. D

3.1. 28

3.2. 16

3.3. 2, 4, 8

4.1. 42

4.2. 6560

9

4.3. 9

QUESTÕES EXTRAS

1) C

2) C

3) B

4) A

5) A

6) ±1536

7) −8

5

CAIU NO VEST

1) A

2) C

3) B

4) 3h

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA · Partindo da sua experiência em P.A., ... Em uma P.G.Como finita, o produto de dois termos ... possui 5 termos (número ímpar) ...

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