Progressão Aritmética e Geométrica - Progressão Aritmética... · A representação acima se refere a uma P.A. finita ... Neste caso todos os termos da P.A ... primeiramente precisamos

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Progressão Aritmética

e Geométrica

Progressão Aritmética

Uma sucessão de números na qual a diferença entre dois termos consecutivos é constante, é denominada progressão

aritmética, ou abreviadamente de P.A.

Representação de uma P.A.

Representando por a1 o primeiro elemento, por a2 o segundo elemento de uma P.A. e assim sucessivamente, até o último

elemento que é representado por an, temos a seguinte representação para uma progressão aritmética:

P.A. ( a1, a2, a3, a4, ..., an ).

A representação acima se refere a uma P.A. finita com n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte

representação:

P.A. ( a1, a2, a3, a4, ..., an, ... ).

Terminologia

P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 )

Acima temos a representação de uma progressão aritmética finita.

Um termo qualquer é identificado por an, onde n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo a4 se refere ao quarto

termo desta P.A., que no caso é igual a 11, já o primeiro termo, a1, nesta P.A. é igual a 5.

Como supracitado, a diferença entre dois termos consecutivos de uma P.A. é constante. Neste exemplo este valor é igual a

2, por exemplo, a diferença entre o primeiro e o segundo termo é igual a 2.

Este valor constante que é a diferença entre um termo e outro é denominado razão da progressão aritmética e é

representado pela letra r.

Se representamos um termo qualquer de uma P.A. por an, então podemos dizer que o seu antecedente é igual a an - 1 e que

o seu consequente é igual a an + 1.

Desta forma podemos dizer que r = an + 1 - an, ou ainda r = an - an - 1.

Veja os seguintes exemplos: r = a4 - a3 = 11 - 9 = 2 e ainda r = a3 - a2 = 9 - 7 = 2.

Além disto temos que um termo qualquer de uma P.A. é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente:

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética é constante quando a sua razão é igual a zero. Neste caso todos os termos da P.A. têm o mesmo

valor.

Exemplos:

P.A. ( 0, 0, 0, ... )

P.A. ( 3, 3, ..., 3 )

P.A. ( 7, 7, 7 )

Note que em todas as progressões acima r = 0.

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética é crescente quando a sua razão é maior que zero, ou seja, quando o consequente de um termo

qualquer é maior que este termo.

Exemplos:

P.A. ( 1, 2, 3, ... )

P.A. ( 15, 21, 27, ... )

P.A. ( -16, -12, -8 )

Note que a razão das progressões acima, respectivamente 1, 6 e 4 são todas maiores que zero.

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética é decrescente quando a sua razão é menor que zero, ou em outras palavras, quando o

consequente de um termo qualquer é menor que este termo.

Exemplos:

P.A. ( 31, 29, 27, ... )

P.A. ( 75, 68, 61, ... )

P.A. ( 9, 0, -9 )

Veja que a razão das progressões acima, respectivamente -2, -7 e -9 são todas menores que zero.

Fórmula do termo geral de uma P.A.

Como sabemos, o próximo termo de um termo de uma P.A. é igual ao referido termo mais a razão r. Para uma P.A. genérica

podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro termo, a1, mais a razão r:

O terceiro termo é resultado da soma do segundo termo com a razão:

Mas vimos que a2 = a1 + r, substituindo-o na expressão temos:

O quarto termo é resultado da soma do terceiro termo com a razão e como sabemos que a3 = a1 + 2r, temos:

Seguindo este raciocínio, o quinto termo será:

O sexto termo será:

Resumidamente temos:

Portanto, partindo-se do primeiro termo, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é:

Mas e se partirmos de outro termo que não o primeiro?

Vejamos:

Na fórmula do termo geral da P.A., subtraímos 1 de n quando partimos do termo a1, perceba que quando partimos do

termo a2, subtraímos 2 de n, assim como subtraímos 3 ao partirmos de a3 e 4 quando partirmos de a4. Partindo então de

um termo m, podemos reescrever a fórmula do termo geral da P.A. como:

Compreendendo a fórmula do termo geral da P.A. em função de

qualquer termo

Como é de costume vamos a um exemplo para que a explicação fique de mais fácil entendimento.

Através da fórmula acima, vamos expressar o termo a5 de uma P.A. genérica, em função do termo a3:

Temos então que o termo a5 pode ser expresso em função do termo a3 como:

Embora seja óbvio, se não formos alertados, talvez não percebamos o que de fato a fórmula faz. Vejamos:

Sabemos que o próximo termo após a3, é o termo a4, que equivale a a3 mais r, para chegarmos ao próximo termo, o a5,

somamos mais outra vez a razão r, ou seja, como nos deslocamos duas posições à direita, acrescentamos 2r ao termo a3

para chegarmos ao termo a5. Veja que foi exatamente este o resultado obtido em função da fórmula, ou seja, a5 = a3 + 2r.

Agora para que vejamos como este raciocínio é bem mais prático que recorrermos à formula, vamos voltar de a5 para a3:

Agora o termo procurado está à esquerda do termo atual, na verdade duas posições à sua esquerda, então vamos subtrair

de a5 duas vezes a razão, temos então que a3 = a5 - 2r.

Apenas para confirmação, vemos na sentença abaixo que através da fórmula chegamos ao mesmo resultado:

Em resumo, se partindo do termo atual iremos avançar n termos à direita, para chegarmos ao termo final, então temos que

somar n vezes a razão r ao termo inicial. Se nos deslocarmos à esquerda, o procedimento é semelhante, só que ao invés de

somarmos, iremos subtrair n vezes a razão r ao termo inicial.

Podemos afirmar, por exemplo, que a17 = a7 + 10r, pois avançamos 10 termos de a7 a a17, assim como a20 = a25 - 5r,

pois retrocedemos 5 termos de a25 para a20.

Soma dos termos de uma P.A.

Para expormos o raciocínio iremos utilizar a primeira P.A. utilizada como exemplo:

P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 )

Qual é a soma dos seus termos?

Primeiramente vamos escrevê-la em ordem contrária:

P.A. ( 15, 13, 11, 9, 7, 5 )

Agora vamos montar uma outra P.A. cujo termo an seja a soma do termo an desta duas progressões:

P.A. ( 20, 20, 20, 20, 20, 20 )

Repare as somas são todas iguais, isto ocorre porque a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é

igual à soma dos seus extremos. Como neste caso os extremos são 5 e 15, temos que a soma de dois termos quaisquer

equidistantes dos extremos será igual a 20.

Tendo em vista que temos seis termos nesta P.A, multiplicando 6 por 20, nos dará 120 que equivale a justamente o dobro

da soma dos termos da P.A.

A divisão de 120 por 2 nos dará a soma dos termos desta P.A. que é igual a 60.

Generalizando temos que a soma de todos os termos de uma progressão aritmética é igual ao produto do número de termos

pela metade da soma do primeiro com o n-ésimo termo. Em notação matemática temos:

Observe que esta fórmula nos permite calcular a soma de todos os termos de uma P.A., ou a soma de apenas os n primeiros

termos da mesma.

Se não dispusermos de an, desde que tenhamos a razão r, podemos utilizar esta outra fórmula abaixo, que foi deduzida

simplesmente se substituindo an por seu respectivo valor a1 + (n - 1)r:

Mas se ao invés de somarmos todos os elementos da P.A., quiséssemos somar apenas os termos do terceiro ao quinto por

exemplo?

Neste caso é como se tivéssemos a seguinte P.A.:

P.A. ( 9, 11, 13 )

Recorrendo à fórmula temos:

Mas veja que podemos expressar a fórmula da soma dos termos da seguinte maneira:

Note que declaramos como p e q a posição do primeiro e do último termo do intervalo respectivamente, declarando assim ap

como o primeiro termo do intervalo e aq como o último. Note também que o número de termos do intervalo considerado é

igual à diferença entre as posições do último e do primeiro termo considerado, mais um.

Aplicando esta nova fórmula temos:

Exemplos de problemas envolvendo Progressão Aritmética

Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?

Identificando as variáveis do problema temos:

Como conhecemos o primeiro termo e a razão da P.A., através da fórmula do termo geral iremos calcular o valor do

vigésimo termo:

Logo:

O vigésimo termo da referida P.A. é igual a 136.

Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 30?

Sabemos que a diferença entre um número ímpar e o seu antecedente igual a 2. Este é o valor da razão.

O primeiro número ímpar do intervalo informado é 11 é o último é 29, portanto temos as seguintes variáveis:

Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos identificar quantos termos são. Através da fórmula do

termo geral iremos obter o número de termos da sucessão:

Agora que sabemos que a sucessão possui 10 termos, podemos calcular a sua soma:

Portanto:

A soma dos números ímpares entre 10 e 30 é igual a 200.

Progressão Geométrica

Uma sucessão de números na qual o quociente entre dois termos consecutivos é constante, é denominada progressão

geométrica, ou abreviadamente de P.G.

Representação de uma P.G.

Representando por a1 o primeiro elemento, por a2 o segundo elemento de uma P.G. e assim sucessivamente, até o último

elemento que é representado por an, temos a seguinte representação para uma progressão geométrica:

P.G. ( a1, a2, a3, a4, ..., an ).

A representação acima se refere a uma P.G. finita com n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte

representação:

P.G. ( a1, a2, a3, a4, ..., an, ... ).

Terminologia

P.G. ( 3, 12, 48, 192, 768 )

Acima temos a representação de uma progressão geométrica finita.

Um termo qualquer é identificado por an, onde n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo a3 se refere ao terceiro

termo desta P.G., que no caso é igual a 48, já o primeiro termo, a1, nesta P.G. é igual a 3.

Como citado acima, o quociente entre dois termos consecutivos de uma P.G. é constante. Neste exemplo este valor é igual a

4, por exemplo, a divisão do segundo pelo primeiro termo é igual a 4.

Este valor constante que é o quociente entre um termo e outro é denominado razão da progressão geométrica e é

representado pela letra q.

Se representamos um termo qualquer de uma P.G. por an, então podemos dizer que o seu antecedente é igual a an - 1 e que

o seu consequente é igual a an + 1.

Desta forma podemos dizer que , ou ainda .

Veja estes exemplos: e também .

Além disto temos que um termo qualquer de uma P.G. é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente:

Progressão geométrica constante

Uma progressão geométrica é constante quando a sua razão é igual a 1, ou quando o primeiro termo é igual a zero. Neste

caso todos os termos da P.G. têm o mesmo valor.

Exemplos:

P.G. ( 0, 0, 0, 0, ... )

P.G. ( 5, 5, ..., 5 )

P.G. ( 9, 9, 9 )

No primeiro exemplo temos que a1 = 0 e nos outros dois q = 1.

Progressão geométrica crescente

Uma progressão geométrica é crescente quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo. Isto ocorre

quando q > 1 e a1 > 0, ou quando 0 < q < 1 e a1 < 0.

Exemplos:

P.G. ( 1, 2, 4, ... )

P.G. ( -480, -120, -30, ... )

Note que a razão das progressões acima é respectivamente 2 e 0,25. No primeiro caso, q > 1 e a1 > 0 e no segundo caso

temos que 0 < q < 1 e a1 < 0.

Progressão geométrica decrescente

Uma progressão geométrica é decrescente quando o consequente de um termo qualquer é menor que este termo. Isto

ocorre quando q > 1 e a1 < 0, ou quando 0 < q < 1 e a1 > 0.

Exemplos:

P.G. ( -35, -105, -315, ... )

P.G. ( 1400, 560, 224, ... )

Veja que a razão das progressões acima é respectivamente 3 e 0,4. No primeiro exemplo, q > 1 e a1 < 0 e no segundo

temos que 0 < q < 1 e a1 > 0.

Progressão geométrica alternante ou oscilante

Uma progressão geométrica cujos termos alternem ou oscilem de positivo para negativo e vice-versa, é denominada P.G.

oscilante ou P.G. alternante. Isto ocorre quando q < 0 e a1 ≠ 0.

Exemplos:

P.G. ( -3, 6, -12, ... )

P.G. ( 729, -218,7, 65,61, -19,683, ... )

Em ambos os casos a1 ≠ 0. No primeiro caso a razão é igual a -2, logo q < 0 e no segundo temos que a razão é igual a -

0,3, portanto também temos q < 0.

Fórmula do termo geral de uma P.G.

Sabemos que o termo seguinte a um termo de uma P.G. é igual ao referido termo multiplicado pela razão q. Para uma P.G.

genérica podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro termo, a1, vezes a razão q:

O terceiro termo é resultado da multiplicação do segundo termo pela razão:

No entanto como vimos que a2 = a1 . q, substituindo-o na expressão temos:

O quarto termo é resultado do produto do terceiro termo com a razão e como sabemos que a3 = a1 . q2, temos:

Pelo mesmo raciocínio, o quinto termo será:

O sexto termo será:

De forma resumida temos:

Portanto, partindo-se do primeiro termo, a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é:

Mas e se partirmos de outro termo que não o primeiro?

Vejamos:

Na fórmula do termo geral da P.G., subtraímos 1 de n quando partimos do termo a1, perceba que quando partimos do

termo a2, subtraímos 2 de n, assim como subtraímos 3 ao partirmos de a3 e 4 quando partirmos de a4. Partindo então de

um termo m, podemos reescrever a fórmula do termo geral da P.G. como:

Compreendendo a fórmula do termo geral da P.G. em função de

qualquer termo

Como já fizemos no caso da P.A., vamos a um exemplo para que a explicação fique de mais fácil entendimento.

Através da fórmula acima, vamos expressar o termo a7 de uma P.G. genérica, em função do termo a4:

Temos então que o termo a7 pode ser expresso em função do termo a4 como:

Agora preste bastante atenção ao seguinte:

Sabemos que o próximo termo após a4, é o termo a5, que equivale a a4 vezes q. Para chegarmos ao próximo termo, o a6,

multiplicamos mais uma vez pela razão q e para chegarmos finalmente ao termo a7, multiplicamos mais outra vez por q, ou

seja, como nos deslocamos três posições à direita, multiplicamos a4 por q3 para chegarmos ao termo a7. Veja que foi

exatamente este o resultado obtido em função da fórmula, ou seja, a7 = a4 . q3.

Vejamos que este raciocínio é bem mais prático que recorrermos à formula, para voltarmos de a7 para a4:

Agora o termo procurado está à esquerda do termo atual, na verdade três posições à sua esquerda, então vamos multiplicar

a7 por q-3, temos então que a4 = a7 . q-3, que equivale a dividirmos a7 por q três vezes.

Então vamos chegar ao mesmo resultado através da fórmula para confirmarmos esta explicação:

Resumindo, se partindo do termo atual iremos avançar n termos à direita, para chegarmos ao termo final, então temos que

multiplicar o termo inicial por n vezes a razão q, ou seja, multiplicá-lo por qn. Se nos deslocarmos à esquerda, o

procedimento é semelhante, só que ao invés de multiplicarmos, iremos dividir o termo inicial n vezes pela razão q, o que

equivale a multiplicá-lo por q-n.

Como exemplo temos que a15 = a11 . q4, pois avançamos 4 termos de a11 a a15, assim como a2 = a7 . q-5, pois

retrocedemos 5 termos de a7 para a2.

Soma dos termos de uma P.G.

Podemos expressar a soma dos n termos de uma P.G. finita como:

Multiplicando-a pela razão q temos:

Vamos analisar o segundo membro das duas expressões. Note que o segundo termo da primeira expressão é igual ao

primeiro termo da segunda expressão, a mesma coisa ocorre com o segundo, terceiro, quarto, até o último termo do

segundo membro da primeira expressão.

Ao subtrairmos a primeira expressão da segunda, estes termos que ocorrem em duplicidade são anulados e ficamos então

com a seguinte expressão:

Temos então:

Portanto podemos utilizar a fórmula abaixo para calcularmos a soma de todos os termos de uma P.G. finita e também dos n

primeiros termos de uma P.G. qualquer, desde que q ≠ 1:

Para q = 1 temos uma fórmula mais simples:

Produto dos termos de uma P.G.

Como feito no caso da soma, vamos agora deduzir a fórmula de cálculo do produto dos termos de uma progressão

geométrica. Vejamos:

Portanto a fórmula para o cálculo do produto dos termos de uma P.G. finita, ou do produto dos n primeiros termos de uma

P.G. é:

Exemplos de problemas envolvendo Progressão Geométrica

Formamos uma P.G. partindo do número 5 e o multiplicando sucessivamente por 3, até finalizarmos no número

17.433.922.005. Quantos termos há nesta progressão geométrica?

Identificando as variáveis do problema temos:

Através da aplicação da fórmula do termo geral iremos calcular o número de termos da progressão:

Portanto:

Nesta progressão geométrica há 21 termos.

Qual é a soma dos termos da P.G. ( 8, 56, 392, ..., 134456)?

A partir do enunciado podemos calcular a razão da progressão:

Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos saber quantos eles são. Os dados disponíveis que temos

para calcular esta quantidade são:

Calculando n temos:

Agora que sabemos quantos termos são, podemos calcular a soma dos mesmos:

Logo:

A soma dos termos da referida P.G. é igual a 156864.