Controlo por Computador 25 J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo Computer Control Parts 1, 2 J. Miranda Lemos Professor Catedrático do IST 2015
Controlo por Computador 25
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Computer Control
Parts 1, 2
J. Miranda Lemos
Professor Catedrático do IST
2015
Controlo por Computador 26
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Programa da disciplina:
1. Estrutura de um sistema de Controlo por Computador
2. Modelos em Controlo por Computador
3. Identificação de modelos
4. Projecto de controladores
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1. Estrutura de um Sistema de
Controlo por Computador
Objectivo: Dar uma perspectiva sobre os temas abordados na disciplina
e enquadrá-la no âmbito do controlo por computador.
3Franklin, Powell, Workman, Digital Control of Dynamic Systems, 3rd ed., cap
Controlo por Computador 28
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Seguimento de um objecto com o robot NXT da LEGO
r
d
Relação entrea velocidadee a posição(integral)
VelocidadeComandodo motor
Distância
Sensor dedistância
Distânciadesejada
r +
-
Erro
e uK=4
dvMotor ecaixa develocidade
PerurbaçãoSoftware
Sistemafísico
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Aumentando o ganho 𝐾 o excitação 𝑢 do motor aumenta e o robot responde mais rapidamente.
Relação entrea velocidadee a posição(integral)
VelocidadeComandodo motor
Distância
Sensor dedistância
Distânciadesejada
r +
-
Erro
e uK=4
dvMotor ecaixa develocidade
PerurbaçãoSoftware
Sistemafísico
Tempo
r
d
e
u=ke
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Exemplo simples: Modelo matemático do robot NXT
Objectivo: Modelar o NXT a deslocar-se ao longo de uma recta, para ir para
uma posição desejada num sistema de coordenadas fixado
𝑥 a posição do NXT
𝑅 a posição desejada
“Partimos o tempo às tiras” de duração ℎ
Observamos a posição nos instantes 0 (posição inicial), ℎ, 2ℎ, 3ℎ, ..., 𝑛ℎ, ...
𝑛ℎ representa um instante de tempo genérico em que observamos o NXT
Pretendemos relacionar as posições do NXT em instantes diferentes.
Controlo por Computador 31
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Gráfico da posição do NXT em função do tempo
Posição actual = Posição anterior + velocidade × intervalo de tempo
𝑥((𝑛 + 1)ℎ) = 𝑥(𝑛ℎ) + 𝛼𝑢(𝑛ℎ)ℎ
𝑢 é o comando do motor (0 a 100%); 𝛼𝑢 é a velocidade do carro
Tempo(n-1)h nh0 h 2h 3h 4h ... ...
x(0)
x(nh)x((n-1)h)
x
Controlo por Computador 32
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Qual o valor do parâmetro 𝜶?
Fazem-se ensaios com o NXT. Observa-se que
𝑢 = 100% corresponde a uma velocidade de 1 𝑚/𝑠
Logo
100 𝛼 = 1
Logo
𝛼 = 0,01
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Modelo do movimento do NXT:
𝑥((𝑛 + 1)ℎ) = 𝑥(𝑛ℎ) + 𝛼𝑢(𝑛ℎ)ℎ
Descrição do algoritmo de controlo
Erro de seguimento (diferença entre a posição desejada e a medida):
𝑒(𝑛ℎ) = 𝑅 − 𝑥(𝑛ℎ)
Comando do motor
𝑢(𝑛ℎ) = 𝐾𝑒(𝑛ℎ)
Modelo do sistema controlado (sistema em cadeia fechada)
𝑥((𝑛 + 1)ℎ) = 𝑥(𝑛ℎ) + 𝛼𝐾ℎ(𝑅 − 𝑥(𝑛ℎ))
Controlo por Computador 34
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Equações de diferenças
𝑥((𝑛 + 1)ℎ) = 𝑥(𝑛ℎ) + 𝛼𝐾ℎ(𝑅 − 𝑥(𝑛ℎ))
𝑥((𝑛 + 1)ℎ) = (1 − 𝛼𝐾ℎ)𝑥(𝑛ℎ) + 𝛼𝐾ℎ𝑅
Um caso concreto: 𝛼 = 0,01 ℎ = 1 𝐾 = 60 então 𝛼𝐾ℎ = 0,6 e 1 − 𝛼𝐾ℎ = 0,4
A equação de diferenças fica
𝑥(𝑛 + 1) = 0,4𝑥(𝑛) + 0,6𝑅
Se soubermos a posição inicial 𝑥(0) e o valor da posição desejada 𝑅,
podemos calcular sucessivamente 𝑥(1) a partir de 𝑥(0),
𝑥(2) a partir de 𝑥(1),
𝑥(3) a partir de 𝑥(2), ...
Controlo por Computador 35
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𝑥(𝑛 + 1) = 0,4𝑥(𝑛) + 0,6
𝑥(0) = 0
𝑥(1) = 0,4𝑥(0) + 0,6 = 0,4 × 0 + 0,6 = 0,6
𝑥(2) = 0,4𝑥(1) + 0,6 = 0,4 × 0,6 + 0,6 = 0,84
𝑥(3) = 0,4𝑥(2) + 0,6 = 0,4 × 0,84 + 0,6 = 0,936
𝑥(4) = 0,4𝑥(3) + 0,6 = 0,9744
𝑥(5) = 0,4𝑥(4) + 0,6 = 0,98976
O melhor é usar um computador e uma linguagem como o MATLAB.
Controlo por Computador 36
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Ponto de equilíbrio
Podemos calcular o valor de equilíbrio em que passou muito tempo e a
posição fica constante:
𝑥(𝑛 + 1) ≈ 𝑥(𝑛) = ��
Para a equação
𝑥(𝑛 + 1) = 0,4𝑥(𝑛) + 0,6𝑅
Este ponto satisfaz
�� = 0,4�� + 0,6𝑅
Ou seja
�� =0,6
1 − 0,4𝑅 = 𝑅
Controlo por Computador 37
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Estabilidade
Podemos mostrar que o erro tende para zero quando o tempo aumenta?
Vamos obter uma equação para o erro e resolvemo-la.
𝑥((𝑛 + 1)ℎ) = 𝑥(𝑛ℎ) + 𝛼𝐾ℎ(𝑅 − 𝑥(𝑛ℎ))
Multiplicamos ambos os membros desta equação por −1 e somamos 𝑅 a
ambos os membros:
𝑅 − 𝑥((𝑛 + 1)ℎ) = 𝑅 − 𝑥(𝑛ℎ) − 𝛼𝐾ℎ(𝑅 − 𝑥(𝑛ℎ))
Usamos a definição do erro
𝑒((𝑛 + 1)ℎ) = 𝑒(𝑛ℎ) − 𝛼𝐾ℎ𝑒(𝑛ℎ)
𝑒((𝑛 + 1)ℎ) = [1 − 𝐾ℎ𝛼]𝑒(𝑛ℎ)
Controlo por Computador 38
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Equação de erro
𝑒((𝑛 + 1)ℎ) = [1 − 𝐾ℎ𝛼]𝑒(𝑛ℎ)
Solução da equação de erro
𝑒(𝑛ℎ) = 𝑒(0)(1 − 𝐾ℎ𝛼)𝑛
Controlo por Computador 39
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Equação de erro
𝑒((𝑛 + 1)ℎ) = [1 − 𝐾ℎ𝛼]𝑒(𝑛ℎ)
Solução da equação de erro
𝑒(𝑛ℎ) = 𝑒(0)(1 − 𝐾ℎ𝛼)𝑛
Condição de estabilidade
|1 − 𝐾ℎ𝛼| < 1
0 < 𝐾 <2
ℎ𝛼
Condição para que não haja oscilações
0 < 𝐾 <1
ℎ𝛼
Controlo por Computador 40
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Controlo por Computador
u yD/A
A/D Sensor
Sistema a Controlar
Porto de Saída
Controlador
Porto de Entrada
Computador de Controlo
Sinal de
comando do
actuador
Variável
Física de
saída
Sinal
proporcional
à variável
Sinal de comando
Controlo por Computador 41
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Hardware de aquisição de dados (simplificado)
Relógio
Impulsos do relógioPorto deentrada
Micro-computador
INTCC
Sinal a
amostrar
b0
b7
b1Conversor A/D
Ao receber um impulso de relógio, o conversor
A/D retém uma amostra do sinal e inicia a sua
conversão para um número binário.
Quando os bits b0 a b7 atingem o valor correcto,
o sinal de conversão completa CC é activado e o
pino de nterrupção do microcomputador é
actuado.
Se as interrupções não estiverem inibidas, a
subrotina de interrupção começa a ser executada,
sendo efectuada a leitura do porto de entrada,
onde estão ligados os pinos do A/D.
Controlo por Computador 42
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Estrutura do software para Controlo Digital (1 cadeia de controlo)
->Inibe interrupções
->Lê y no porto de entrada, ligado ao A/D
->Cálcula o controlo u
->Escreve u no porto de saída ligado ao D/A
->Desinibe interrupções
->Retorna ao programa principal
Programaprincipal
Salta quando chegauma interrupção do
relógio
Controlo por Computador 43
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Diagrama temporal do controlo por computador
Sinal gerado pelo Relógio
Activa interrupções no flanco ascendente
Interrupção do
relógio
Intervalo de amostragem
Interrupção dorelógio
Lê y no
A/DCalculau(tn)
Escreve
u(tn) no D/A
Espera novainterrupção
tn tn+1
Atraso de cálculo
u(tn)
u(tn-1)
Variável Manipulada
O computador apenas
considera as variáveis nos
instantes de amostragem;
Há um atraso devido ao cálculo
e aos tempos de conversão
A/D e D/A
Controlo por Computador 44
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Repare-se que:
A variável manipulada u é constante por troços
Isto significa que entre dois instantes de amostragem o sistema está a trabalhar em
cadeia aberta, o que impõe um limite máximo ao intervalo de amostragem
Existe um atraso entre o instante tn em que chegou a interrupção, e o instante em
que se colocou o valor do controlo u no D/A. Este atraso é devido ao tempo de
cálculo de u.
O atraso de cálculo pode considerar-se desprezável se for muito pequeno
relativamente ao intervalo de amostragem.
Se o atraso de cálculo não for pequeno relativamente ao intervalo de amostragem,
então deve ser tido em conta no modelo do processo como um atraso adicional.
Controlo por Computador 45
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Objectivos de Controlo
u yD/A
A/D Sensor
Sistema a Controlar
Porto de Saída
Controlador
Porto de Entrada
Computador de Controlo
Sinal de
comando do
actuador Variável
Física a
controlar
Perturbações
Os objectivos de controlo
dizem respeito à capacidade
de efectuar as manobras
desejadas, tendo em conta a
dinâmica do processo e as
perturbações.
Sinal de
comando
Controlo por Computador 46
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Objectivos de controlo (exemplos)
Manter y no valor desejado, mesmo em presença de perturbações
(regulação);
Seguir referências para y, mesmo em presença de perturbações
(seguimento de trajectórias)
Estabilizar o sistema controlado;
Impôr uma dinâmica conveniente ao sistema controlado;
Optimizar o sistema (por exemplo minimizar o consumo de energia,
mantendo os objectivos - Controlo Óptimo!);
Manter um comportamento constante do sistema controlado, mesmo face a
variações da dinâmica (Controlo Adaptativo)
Controlo por Computador 47
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Exemplo: Controlador Digital com acção integral
Problema: Como actuar no comando do motor do avião para manter o
impulso constante?
Solução: Controlo proporcional
Será que, em regime estacionário, o impulso é igual ao impulso desejado?
Repare-se que não. Se assim for o erro e será nulo e o comando será zero,
ou seja o motor pára.
R yuK+
-
e
Controlo por Computador 48
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Solução para erro estático nulo: Efeito integral
Quando o erro é nulo, a saída do integrador fica constante mas não
necessariamente nula.
R yuK+
-
e
1
sTi
Integrador
Controlo por Computador 49
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A equação que descreve o controlador PI é:
e r y
u t K e tT
e di
t
( ) ( ( ) ( ) )1
0
Quando o erro é nulo o controlo vem dado pelo valor do integrador.
As constantes K e Ti são os ganhos do controlador, podendo ser escolhidas,
por exemplo, de acordo com as regras de Ziegler e Nichols, ou outras mais
adequadas.
Desafio: usando a transformada de Laplace, mostre que se o controlador tiver
um integrador (pólo na origem) o erro estático de seguimento é nulo.
Controlo por Computador 50
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Uma revisão breve: Controlo por realimentação
VKG
KGW
KG
GR
KG
KGYcL
111
𝐾𝐺 é o ganho de malha
R U
W
yK(s) G(s)
v
-
Controlo por Computador 51
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O controlador 𝐾(𝑠) é projectado por forma a “moldar” o ganho de malha:
VKG
KGW
KG
GR
KG
KGYcL
111
|K(jw)G(jw)|
Especificação devida
ao ruído: Atenuação
na alta frequência
Especificação
relativa ao
seguimento da
referência e
rejeição das
perturbações Para que o “quadro” seja completo temos
de considerar a estabilidade e a incerteza
no conhecimento do modelo.
Controlo por Computador 52
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Como implementar em computador as equações do controlador PI?
e r y
u t K e tT
e di
t
( ) ( ( ) ( )1
0
Considere-se a equação do integrador:
u tT
e di
i
t
( ) ( ) 1
0
Derivando ambos os membros da equação:
du
dt Te t
i
i
1
( )
du
dt
u nh u n h
h
i
( ) (( ) )1
Controlo por Computador 53
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Isto resulta nas seguintes equações de diferenças para o
Algoritmo PI digital:
𝑒(𝑛ℎ) = 𝑟 − 𝑦(𝑛ℎ)
u nh u n hh
Te nhi i
i
( ) (( ) ) ( ) 1
u nh K u nh e nhi( ) ( ( ) ( ))
𝑛 é o instante de amostragem (número inteiro)
ℎ é o interval de amostragem (normalmente é omitido)
Controlo por Computador 54
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Pseudocódigo para PI digital
No início de cada intervalo de amostragem, executar recursivamente:
1. Ler no porto de entrada ligado ao A/D a variável y
2.Calcular o erro e r y
3.Calcular a variável manipulada u por
u uh
Te
u K u e
i ianterior
i
i
( )
em que uianterior é a saída do integrador no instante de amostragem anterior
4. Escrever u no porto de saída ligado ao D/A
5. Fazer u uianterior i
6. Esperar nova interrupção
Controlo por Computador 55
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Motivação para o Controlo Adaptativo
Há situações em que a dinâmica do sistema a controlar varia ao longo do
tempo.
Isto pode ser devido, por exemplo, à existência de não linearidades nos
actuadores ou no próprio sistema. Neste caso, a dinâmica linearizada vai
variar com o ponto de trabalho (por exemplo com a velocidade de equilíbrio).
Pode ainda acontecer que a dinâmica varie devido a factores como o
envelhecimento ou alterações do ambiente ou outros factores.
Nesta situação, a afinação do controlador adequada a um ponto de trabalho
pode não o ser para outro.
Controlo por Computador 56
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Exemplo: Válvula não linear
f u u( ) 4 G s
s( )
( )
1
1 3 K 015. Ti 1
A resposta do sistema controlado depende do ponto de funcionamento.
Um controlador bem afinado para um ponto de funcionamento pode não estar
bem afinado para outro.
R yuK(1+ )+
-
e 1Ti s f(.) G(s)
Controlador PI Actuador Sistema
Controlo por Computador 57
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As figuras seguintes mostram a resposta a um escalão na referência de
amplitude 0.1, para duversos pontos de funcionamento, com um PI
sintonizado em torno de r=0.2.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002.9
2.95
3
3.05
3.1
3.15
3.2
3.25
3.3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1004.9
4.95
5
5.05
5.1
5.15
5.2
5.25
5.3
Controlo por Computador 58
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Exemplo de variação da dinâmica numa aeronave
Num avião a dinâmica linearizada altera-se com as condições de voo. A figura
mostra a dependência dos valores próprios do sistema com a velocidade de
equilíbrio
Extraída de Neves da Silva, R. (1994). Controlo de Aeronave não tripulada usando técnicas LQG/LTR de ganho variável Tese de Mestrado, IST -
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores.
Controlo por Computador 59
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Devido à variação da dinâmica com as condições de voo, utilizando um
controlador de ganhos fixos, pode ter-se um bom comportamento numa gama
de funcionamento e um mau funcionamento noutras zonas.
Exemplo do controlo do ângulo de pitch com um controlador fixo quando a
velocidade aumenta progressivamente:
.Extraído de Rato, L. M. (1994). Técnicas de Controlo Adaptativo aplicadas a uma aeronave não tripulada Tese de Mestrado, IST - Departamento de
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Controlo por Computador 60
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Uma possibilidade consiste em adaptar os ganhos para compensar alterações
da dinâmica devidas a variações da velocidade:
Adaptador
Controladoru
y
Ajuste dos
ganhos do controlador
Controlo por Computador 61
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O bloco Adaptador por ser obtido de vários modos:
Tabela que altera os ganhos do controlador de um modo fixo, para cada
valor de velocidade. Esta técnica denomina-se gain-schedulling.
Identificação da dinâmica com o método dos mínimos quadrados, refazendo-
se o cálculo dos ganhos repetidamente, em tempo real. Esta técnica
denomina-se Controlo Adaptativo.
Controlo por Computador 62
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"Gain-scheduling"
x
x
x
+
Controlador
V baixo
Controlador
V médio
Controlador
V alto
u
V
V
V
(V)
(V)
(V)
u
O valor da variável manipulada em
cada instante resulta resulta da
combinação linear das variáveis
calculadas pelos vários
controladores.
Por exemplo, a velocidades baixas, o
controlador respectivo é multiplicado
por um peso próximo de 1 enquanto
o controlador de velocidades altas é
multiplicado por zero.
Controlo por Computador 63
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Controlo Adaptativo vs. "Gain Scheduling"
A solução do controlo de sistemas variáveis no tempo por "gain scheduling" é
útil em muitas situações mas levanta problemas quando:
Não é possível conhecer a priori qual o controlador a utilizar numa dada
situação;
É necessário recorrer a um número muito elevado de controladores.
Uma outra possibilidade, que se estuda neste curso é o Controlo adaptativo.
Controlo por Computador 64
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Controlo Adaptativo
Numa das famílias de Controlo Adaptativo, o Adaptador é constituído por dois
blocos:
Identificador, que estima continuamente os parâmetros (e. g. a posição dos
pólos, dos zeros e o ganho) de um modelo, a partir dos dados de entrada e
saída medidos.
Projecto do Controlador, que recalcula continuamente os ganhos do
controlador tendo em conta as novas estimativas do modelo.
Deste modo, quando a dinâmica do sistema se altera, o identificador dá conta
desse facto e os ganhos do controlador são alterados para frazer face à nova
situação.
Controlo por Computador 65
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
No caso do exemplo do controlo do ângulo de pitch, é possível, recorrendo ao
Controlo Adaptativo, obter uma resposta com características razoavelmente
constantes quando a velocidade varia de 10 a 40 m/s:
Extraído de Rato, L. M. (1994). Técnicas de Controlo Adaptativo aplicadas a uma aeronave não tripulada Tese de Mestrado, IST - Departamento de
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Controlo por Computador 66
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Isto é possível graças ao ajuste dos ganhos do controlador efectuado pelo
adaptador:
Extraído de Rato, L. M. (1994). Técnicas de Controlo Adaptativo aplicadas a uma aeronave não tripulada Tese de Mestrado, IST - Departamento de
Engenharia Electrotécnica e de Computadores.
O adaptador actualiza constantemente o modelo melhor ajustado aos dados e
recalcula os ganhos do controlador de acordo com esta estimativa do modelo.
Controlo por Computador 67
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2 - Modelos para Controlo por Computador
Objectivo: Introduzir a classe de modelos digitais que
são empregues nesta disciplina para o projecto de controladores
Bibliografia: Astrom e Wittenmark, CCS, Cap. 3, em especial as secções 3.2, 3.4, 3.5, 3.6 e 3.7
Franklin, Powell, Workman, Digital Control of Dynamic Systems, 3rd ed., caps. 3 a 6.
Controlo por Computador 68
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SLITs em tempo discreto
SLITs - Sistemas Lineares e Invariantes no tempo (discreto)
Linearidade (vale o Princípio de Sobreposição):
u k y k
u k y k
au k bu k ay k by k
1 1
2 2
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
SLITu(k) y(k)
Controlo por Computador 69
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Invariância no tempo:
u k y k
u k k y k k
( ) ( )
( ) ( )
0 0
Controlo por Computador 70
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Descrição de SLITs por equações de diferenças
Equação de diferenças linear de coeficientes constantes:
y k n a y k n a y kn( ) ( ) ( ) 1 1
b u k m b u k m b u km0 1 1( ) ( ) ( )
Coeficientes
da
Equação
Ordem da
Equação
Controlo por Computador 71
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n Condições iniciais especificadas:
y n
y
( )
( )
1
0
Mostre que:
A equação de diferenças linear, de coeficientes constantes descreve um
sistema linear e invariante no tempo
A solução da equação de diferenças com n condições iniciais especificadas
existe e é única
Controlo por Computador 72
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Exemplo de equações de diferenças
𝑦(𝑘 + 1) = 0,5𝑦(𝑘) + 𝑢(𝑘), Condição inicial 𝑦(0) = 0
Resposta ao escalão
𝑘 𝑢(𝑘) 𝑦(𝑘)
0 1 0 (condição inicial)
1 1 1 + 0,5 × 0 = 1 2 1 1 + 0,5 × 1 = 1,5
3 1 1 + 0,5 × 1,5 = 1,75
4 1 1 + 0,5 × 1,75 = 1,875 5 1 1 + 0,5 × 1,875 = 1,9375
6 1 1 + 0,5 × 1,9375 = 1,96875
Qual o número de que a saída se aproxima (equilíbrio)?
Controlo por Computador 73
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Equilíbrio:
𝑦(𝑘 + 1) = 0,5𝑦(𝑘) + 𝑢(𝑘)
No equilíbrio, 𝑦 é constante, pelo que
�� = 0,5�� + 1
�� = 2
Fim do exemplo.
Controlo por Computador 74
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Descrição de SLITs por equações de diferenças
Equação de diferenças escrita com as amostras avançadas:
y k n a y k n a y kn( ) ( ) ( ) 1 1
b u k m b u k m b u km0 1 1( ) ( ) ( )
Equação de diferenças escrita com as amostras atrasadas:
y k a y k a y k nn( ) ( ) ( ) 1 1
b u k n m b u k n m b u k nm0 1 1( ( )) ( ( ) ) ( )
Passa-se de uma para outra atrasando ou adiantando o tempo n passos.
Controlo por Computador 75
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Exemplo
𝑦(𝑘 + 2) + 𝑎1𝑦(𝑘 + 1) + 𝑎2𝑦(𝑘) = 𝑢(𝑘 + 1)
Neste caso, 𝑛 = 2, 𝑚 = 1.
Atrasando o tempo de 2 passos:
𝑦(𝑘) + 𝑎1𝑦(𝑘 − 1) + 𝑎2𝑦(𝑘 − 2) = 𝑢(𝑘 − 1)
Controlo por Computador 76
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Causalidade do sistema
Um sistema diz-se causal se y(k) depende apenas das entradas e saídas até
ao instante k.
Sistema descrito por equação de diferenças linear:
y k n a y k n a y kn( ) ( ) ( ) 1 1
b u k m b u k m b u km0 1 1( ) ( ) ( )
Este sistema é causal se
n m
Controlo por Computador 77
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Atraso do Sistema
Equação de diferenças escrita com as amostras atrasadas:
y k a y k a y k nn( ) ( ) ( ) 1 1
b u k n m b u k n m b u k nm0 1 1( ( )) ( ( ) ) ( )
Uma entrada aplicada no instante k apenas influencia a saída a partir do
instante k+(n-m)
Atraso do sistema
Controlo por Computador 78
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De aqui em diante, consideram-se sempre sistemas causais.
Para estes o atraso do sistema, d, é positivo:
d n m 0
Em muitos casos, sem perda de generalidade (porquê?) admite-se
d 1
Controlo por Computador 79
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Um pequeno desvio: Transformada Z
Considere-se a sucessão:
,2,1,0),( kkf
Esta sucessão é mapeada pela Transformada Z na função de variável
complexa:
0
)()(k
kzkfzF
Controlo por Computador 80
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Exemplo
Determine a transformada Z da sucessão
1)( kf ,2,1,0k
Ajuda (definição da Transformada Z ):
0
)()(k
kzkfzF
Ajuda (Soma da série geométrica):
rr
i
i
1
1
0 para 1r
Controlo por Computador 81
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Solução
2
00
111)()(
zzzzkfzF
k
k
k
k
11
11
z
z
z
Controlo por Computador 82
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Exemplo
Determine a transformada Z da sucessão
ahkekf )( ,2,1,0k
Ajuda (definição da Transformada Z ):
0
)()(k
kzkfzF
Ajuda (Soma da série geométrica):
rr
i
i
1
1
0 para 1r
Controlo por Computador 83
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Solução
ahah
k
kah
k
kahk
ez
z
zezezezF
10
1
0 1
1)(
Controlo por Computador 84
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Tabela de transformadas Z e de Laplace (Tomar kht )
Controlo por Computador 85
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Propriedades da Transformada Z
1.Linearidade
)()()()( zGzFkgkfZ
2.Deslocamento no tempo
)()( zFzkfqZ nn
1
0
)()()(n
j
jnn zjfzFzkfqZ
Ex.: :1n )0()()( fzFzkqfZ
:2n 122 )1()0()()( zffzFzkfqZ
Controlo por Computador 86
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3.Teorema do valor final
)()1(lim)(lim 1
1zFzkf
zk
4.Convolução
A convolução entre duas sucessões )(kf e )(kg é definida por
k
j
jkgjfkgf0
)()()(
Tem-se:
)().( zGzFgfZ
Controlo por Computador 87
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Resolução de equações de diferenças
Pretende-se resolver a equação de diferenças
)()()1( kbukayky com 0)0( y
Segue-se a seguinte abordagem
Equação dediferenças
Equaçãoalgébrica
Solução daeq. algébrica
Solução daeq. diferenças
? Fácil
TransformadaZ inversa
TransformadaZ
Difícil
Controlo por Computador 88
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Exemplo: Solução de uma equação de diferenças com a transformada Z
)()()1( kbukayky
Tomando a transformada Z
)()()0()( zbUzaYzyzzY
)0()()( yaz
zzU
az
bzY
Com 0)0( y : )()( zU
az
bzY
Controlo por Computador 89
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Resposta ao escalão:
0,1)( kku 1)(
z
zzU
)1)(()()(
zaz
bzzU
az
bzY
Decompondo em fracções simples:
1
1
11)( 11
z
z
az
az
za
b
zazzY a
ba
ba
k
a
b aky
1)(1
Controlo por Computador 90
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Função de transferência discreta
Assume-se o sistema modelado pela equação de diferenças
y k n a y k n a y k b u k m b u k m b u kn m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 11 1
Tome-se transformada Z com condições iniciais nulas para obter a função de
transferência discreta:
G zY z
U z
b z b z b
z a z a z a
m m
m
n n n
n
( )( )
( )
0 1
1
1
1
2
2
SLITu(k) y(k)
Controlo por Computador 91
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Operador avanço
É possível uma descrição compacta e facilmente manipulável de SLIts
discretos usando o operador avanço
x k qx k( ) ( ) 1
Sucessão
Sucessão avançada
Operador avanço
Controlo por Computador 92
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Operador de transferência do sistema (avanço)
Equação de diferenças:
y k n a y k n a y kn( ) ( ) ( ) 1 1
b u k m b u k m b u km0 1 1( ) ( ) ( )
Substituindo y k n( ) por q y kn ( ), e assim sucessivamente:
q y k a q y k a y kn n
n( ) ( ) ( )
1
1 b u k m b u k m b u km0 1 1( ) ( ) ( )
Ponto y(k) e u(k) em evidência, obtem-se o seguinte operador que descreve o
sistema:
y kb q b q b q b
q a q a q au k
m m
m m
n n
n n
( ) ( )
0 1
1
1
1
1
1
Controlo por Computador 93
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y kb q b q b q b
q a q a q au k
m m
m m
n n
n n
( ) ( )
0 1
1
1
1
1
1
H qb q b q b q b
q a q a q a
B q
A q
m m
m m
n n
n n
( )( )
( )
0 1
1
1
1
1
1
Operador de transferência
do sistema (avanço)
B(q)
A(q)
Controlo por Computador 94
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Devido ao facto de o operador avanço transformar sequências limitadas
(majoradas e minoradas) em sequências limitadas, pode ser manipulado
algebricamente com grande liberdade.
Controlo por Computador 95
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Operador atraso
Analogamente, se pode usar o operador atraso:
x k q x k( ) ( ) 1 1
Sucessão atrasada Sucessão
Operador atraso
Controlo por Computador 96
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Operador de transferência do sistema (atraso)
Equação de diferenças:
y k a y k a y k nn( ) ( ) ( ) 1 1
b u k n m b u k n m b u k nm0 1 1( ( )) ( ( ) ) ( )
Substituindo y k n( ) por q y kn ( ), e assim sucessivamente:
y k a q y k a q y kn
n( ) ( ) ( )
1
1
b u k n m b u k n m b u k nm0 1 1( ( )) ( ( ) ) ( )
Pondo y(k) e u(k) em evidência, obtem-se o operador que descreve o sistema:
y k qb b q b q
a q a q a qu kd m
m
n
n( ) ( )
0 1
1
1
1
2
21
Controlo por Computador 97
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Polinómio recíproco
Define-se o polinómio recíproco do polinómio A q( ) como
A q q A qn*( ) ( ) 1
Atenção: Em geral, o recíproco do recíproco não é a identidade!
Operador de transferência do sistema em termos do operador atraso e do
polinómio recíproco
H q qb b q b q
a q a qq
B q
A q
d m
m
n
n
d*
*
*( )( )
( )
1 0 1
1
1
1
1
11
Controlo por Computador 98
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A representação no operador avanço é mais adequada para o estudo da
estabilidade;
A representação no operador atraso é mais adequada para a implementação
dos algoritmos;
Controlo por Computador 99
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Exercício
Considere os sistemas lineares e invariantes descritos pelas equações de
diferenças
)()(5.0)1( kukyky
)(4)1()(3)1(2)2( kukukykyky
Para cada uma delas:
a) Escreva a equação na forma em que a variável mais avançada é )(ky .
b) Determine a função de transferência, em potências de z e de 1z .
c) Diga qual o atraso puro do sistema.
Controlo por Computador 100
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Modelo de estado de sistemas discretos
Exemplo: Modelo de uma população
A população assume-se dividida em estratos etários, cada um correspondente
a um intervalo de tempo discreto.
)(kxi é o número de indivíduos no estrato i no tempo k
Assume-se:
Índice do estrato: ni ,,2,1,0
Tempo discreto: ,2,1,0k
Este modelo é conhecido em língua Inglesa como “Cohort population model”.
Controlo por Computador 101
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Se não houver mortos, todos os elementos da geração i no ano k estarão na
geração 1i no ano 1k :
)()1(1 kxkx ii 1,,2,1,0 ni
k=0
k=1
k=2
k=3
x0
x1 x2 x3 x4
k=0 k=1 k=2 k=3
x0
x1
k=0 k=1 k=2 k=3
Controlo por Computador 102
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Se existirem mortos à medida que o tempo passa, só uma parte da geração i
no ano k estará na geração 1i no ano 1k :
)()1(1 kxkx iii 10 i 1,,2,1,0 ni
Os membros da população no estrato 0 resultam da reprodução dos
elementos dos diversos estratos:
)()()()1( 11000 kxkxkxkx nn
Controlo por Computador 103
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)()1(1 kxkx iii 10 i 1,,2,1,0 ni
)()()()1( 11000 kxkxkxkx nn
Na forma matricial:
)(
)(
)(
)(
0000
00
000
000
)1(
)1(
)1(
)1(
2
1
0
1
1
0
210
2
1
0
kx
kx
kx
kx
kx
kx
kx
kx
nn
n
n
)()1( kAxkx
Controlo por Computador 104
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Capturas de arenque no Mar do Norte entre 1910 e 1914 (Hjort, 1926).
O desenvolvimento de modelos de populações é muito importante para a
gestão do “stock” de peixe, optimizando a pesca.
12
34
56
719101911
19121913
1914
0
20
40
60
80
Idade [ano]Ano
Ca
ptu
ras
Controlo por Computador 105
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Exemplo: Modelo de Estado do servidor Apache
J. Hellerstein, X. Diao, S. Parekh, D. Tilbury (2004). Feedback Control of Computing Systems. Wiley Interscience. pp. 229-234.
Entradas: MaxClients (MC), KeepAlive (KA)
Saídas: CPU, MEM
11)()()(1 kKAKAkKAku med 600)()()(2 kMCMCkMCku med
58.0)()()(1 kCPUCPUkCPUky med 55.0)()()(2 kMEMMEMkMEMky med
)(
)(
00028.000025.0
00044.00085.0
)(
)(
63.0026.0
11.054.0
)1(
)1(
2
1
2
1
2
1
ku
ku
kx
kx
kx
kx
)(
)(
10
01
)(
)(
2
1
2
1
kx
kx
ky
ky
Controlo por Computador 106
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Conclusão:
Modelo de estado de sistemas lineares
)()()1( kBukAxkx
)()()( kDukCxky
Modelo de estado de sistemas não lineares
)(),()1( kukxfkx
))(()( kxhky
Em ambos os casos, a equação de saída modela os sensores.
Controlo por Computador 107
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Conversão entre modelos lineares
Como obter a função de transferência a partir do modelo de estado?
Aplicar a transformada Z com condições iniciais nulas.
𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘)
𝑧𝑋(𝑧) = 𝐴𝑋(𝑧) + 𝐵𝑈(𝑧)
(𝑧𝐼 − 𝐴)𝑋(𝑧) = 𝐵𝑈(𝑧)
𝑋(𝑧) = (𝑧𝐼 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑧)
𝑌(𝑧) = 𝐶𝑋(𝑧) = 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑧)
Conclusão: A função de transferência discreta é
𝐺(𝑧) =𝑌(𝑧)
𝑈(𝑧)= 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐴)−1𝐵
Controlo por Computador 108
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Conversão entre modelos II
Obtenção de uma realização de estado para um dada função de transferência
Exemplo: Sistema sem zeros
Obter uma realização de estado para a função de transferência
𝐺(𝑧) =𝑏0
𝑧3 + 𝑎1𝑧2 + 𝑎2𝑧 + 𝑎3
Corresponde à equação de diferenças
𝑦(𝑘 + 3) = −𝑎1𝑦(𝑘 + 2) − 𝑎2𝑦(𝑘 + 1) − 𝑎3𝑦(𝑘) + 𝑏0𝑢(𝑘)
Controlo por Computador 109
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𝑦(𝑘 + 3) = −𝑎1𝑦(𝑘 + 2) − 𝑎2𝑦(𝑘 + 1) − 𝑎3𝑦(𝑘) + 𝑏0𝑢(𝑘)
Tomam-se como variáveis de estado a saída e os seus 𝑛 − 1 primeiros
avanços (𝑛é a ordem do sistema). Neste caso, 𝑛 = 3, pelo que o estado é 𝑥1(𝑘) = 𝑦(𝑘) 𝑥2(𝑘) = 𝑦(𝑘 + 1)
𝑥3(𝑘) = 𝑦(𝑘 + 2) Pela definição do estado:
𝑥1(𝑘 + 1) = 𝑦(𝑘 + 1) = 𝑥2(𝑘) 𝑥2(𝑘 + 1) = 𝑦(𝑘 + 2) = 𝑥3(𝑘)
𝑥3(𝑘 + 1) = 𝑦(𝑘 + 3) Pela equação de diferenças, vem
𝑥3(𝑘 + 1) = −𝑎3𝑥1(𝑘) − 𝑎2𝑥2(𝑘) − 𝑎1𝑥3(𝑘) + 𝑏0𝑢(𝑘)
Controlo por Computador 110
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𝑥1(𝑘 + 1) = 𝑥2(𝑘)
𝑥2(𝑘 + 1) = 𝑥3(𝑘)
𝑥3(𝑘 + 1) = −𝑎3𝑥1(𝑘) − 𝑎2𝑥2(𝑘) − 𝑎1𝑥3(𝑘) + 𝑏0𝑢(𝑘)
Modelo de estado na forma matricial:
[
𝑥1(𝑘 + 1)𝑥2(𝑘 + 1)𝑥3(𝑘 + 1)
] = [0 1 00 0 1
−𝑎3 −𝑎2 −𝑎1
] [
𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)𝑥3(𝑘)
] + [00𝑏0
] 𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘) = [1 0 0] [
𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)𝑥3(𝑘)
]
Controlo por Computador 111
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Sistemas com zeros
𝐺(𝑧) =𝑏0𝑧 + 𝑏1
𝑧3 + 𝑎1𝑧2 + 𝑎2𝑧 + 𝑎3
Para efeitos de cálculo, parte-se o sistema numa parte sem zeros e numa parte só com zeros e tomam-se como variáveis de estado a saída do primeiro
bloco e os seus 𝑛 − 1 primeiros avanços (tal como no exemplo anterior.
Apenas é afectada a equação de saída:
𝑦(𝑘) = 𝑏1𝑥1(𝑘) + 𝑏0𝑥2(𝑘)
u yx1b0z+b1
Sistema semzeros
Controlo por Computador 112
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Utilização do MATLAB na conversão de modelos lineares
O MATLAB (Control Systems Toolbox) pode ser usado para definir modelos
lineares e para converter umas representações noutras. Por exemplo:
ss2tf converte o modelo de estado para a função de transferência;
tf2tf converte a função de transferência para uma representação de
estado (note-se que esta representação de estado não é a que usamos)
tf permite definir um sistema pela função de transferência e depois
manipulá-lo.
series permite calcular a função de transferência em série de duas
funções de transferência em série. Faça help destas funções para
aprender como funcionam e conhecer mais funções
Controlo por Computador 113
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Modelo de um sistema amostrado
Qual a função de transferência discreta “vista” pelo computador?
Relógio
D/A A/DG(s)
Sistema
u(kh) y(kh)u(t) y(t)
Controlo por Computador 114
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Recorde-se que, para determinar a função de transferência, devemos:
Aplicar um sinal à entrada do sistema, com condições iniciais nulas
Observar a saída
Determinar as transformadas Z da entrada e da saída correspondente
Calcular a função de transferência como o quociente entre a transformada Z
da saída e a transformada Z da entrada
Que sinal de teste é mais conveniente aplicar?
Controlo por Computador 115
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Se aplicarmos um escalão discreto à entrada, à entrada do sistema contínuo
aparecerá também um escalão, o que facilita as contas
Relógio
D/A A/DG(s)
Sistema
u(kh) y(kh)u(t) y(t)
Controlo por Computador 116
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y t TLs
G s( ) ( )
1
1
y kh TL
sG s
t kh( ) ( )
11
A função de transferência discreta equivalente é
G zZ y kh
Z u khd ( )
( )
( )
Relógio
D/A A/DG(s)
Sistema
u(kh) y(kh)u(t) y(t)
Controlo por Computador 117
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Sendo u(kh) um escalão discreto, a sua transformada Z é:
Z u khz
( )
1
1 1
kht
d sGs
TLZzzG )(1
)1()( 11
Controlo por Computador 118
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Modelo de um SLIT amostrado com um ZOH (Conclusão)
Do ponto de vista do computador, I. e. entre a entrada e a saída discreta, este
sistema é equivalente a um SLIT discreto com função de transferência
kht
d sGs
TLZzzG )(1
)1()( 11
Relógio
D/A A/DG(s)
Sistema
u(kh) y(kh)u(t) y(t)
Controlo por Computador 119
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Funções MATLAB
Funções MATLAB para:
Calcular o equivalente discreto de um sistema amostrado: c2d
Operação inversa (pode não ter solução única): d2c
Controlo por Computador 120
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Modelo de sistema amostrado - Exemplo
Qual a função de transferência discreta (causal) que se obtém quando se
amostra o sistema contínuo com função de transferência
G sa
s a( )
?
Solução:
G z z Z TLa
s s ad t kh( ) ( )
( )
1 1 1
Controlo por Computador 121
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Decompondo em fracções simples
a
s s a s s a( )
1 1
11 0
sf t t ( )
f kh k
F zz
( )
( )
1 0
1
1 1
10
0
1
1 1
s af t e t
f kh e k
F ze z
at
ahk
ah
( )
( )
( )
Controlo por Computador 122
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G z zz e zd ah( ) ( )
11
1
1
1
1
1 1
G ze z
e zd
ah
ah( )( )
1
1
1
1
A região de convergência deve ser escolhida por forma a que o sistema seja
causal.
Controlo por Computador 123
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A resposta ao escalão do sistema contínuo coincide, nos instantes de
amostragem, com a resposta do sistema discretizado.
Isto não acontece para outro tipo de entradas, por exemplo uma sinusóide.
Este facto motiva que se designe este método de discretização por método do escalão invariante.
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Controlo por Computador 124
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Controlo por Computador 125
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Controlo por Computador 126
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Transformação dos pólos
Na discretização com retentor de amostras de ordem zero os pólos são
transformados de acordo com uma transformação exponencial.
Um pólo em si no contínuo é transformado num pólo zi no discreto, dado por
z ei
s hi h = intervalo de amostragem
Controlo por Computador 127
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Exemplo de transformação de pólos
Controlo por Computador 128
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Sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados
w
w w0
2
2
0 0
22s s
Os pólos são transformados nas
raízes do polinómio
z a z a2
1 2
a e hh
1
2
02 10 w wcos
a e h
2
2 0 w
Estas formulas são úteis para o estabelecimento de especificações.
Controlo por Computador 129
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Transformação dos zeros
A transformação dos zeros é muito mais complexa e não existe uma regra
geral simples como a transformação exponencial dos pólos.
Deve no entanto ser notado que um sistema contínuo de fase mínima pode
dar origem, por amostragem com ritmo elevado, a um sistema de fase não
mínima (i. e. em que há zeros fora do círculo unitário).
Este facto pode dar origem a problemas no controlo e sugere que nem
sempre é bom aumentar o ritmo de amostragem (ao contrário do que sugere a
nossa intuição e do que sucede em problemas de Processamento de Sinal).
Ver exemplos AW pp. 73-75
Controlo por Computador 130
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Modelo de estado discreto
Dado o modelo de estado em tempo contínuo:
)()(
)()()(
tCxty
tbutAxtx
qual o modelo “visto” em tempo discreto?
Controlo por Computador 131
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Obtenção do modelo de estado discreto
Definição dos instantes de amostragem ( h é o intervalo de amostragem):
htt kk 1
Tendo em conta a fórmula de variação das constantes1:
1
11 )()()()()(
1
k
k
kkk
t
t
stA
k
ttA
k dssbuetxetx
Sendo u constante em cada intervalo de amostragem:
)()()(1
1 )(
1 k
t
t
stA
k
Ah
k tbudsetxetxk
k
k
1 Ver Controlo em Espaço de Estados
Controlo por Computador 132
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)()()(1
1 )(
1 k
t
t
stA
k
Ah
k tbudsetxetxk
k
k
Para calcular o integral, faz-se a mudança de variável stk 1:
h
A
h
A
t
t
stAded
d
dsedse
k
k
k
0
0
(1
1 )
Assim:
)()()(0
1 k
h
A
k
Ah
k tbudetxetx
Controlo por Computador 133
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)()()(0
1 k
h
A
k
Ah
k tbudetxetx
Definindo
Ahe
h
A bde0
escreve-se o modelo de estado discreto
)()(
)()()1(
kCxky
kukxkx
Controlo por Computador 134
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Aproximação para amostragem rápida ( h pequeno):
AhIeAh bhbAIbde h
h
A
0
2
02
Isto corresponde a aproximar a derivada por diferenças finitas:
)()()()1(
kbukAxh
kxkx
Controlo por Computador 135
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Exemplo: Sistema de 1ª ordem
)()()( tutxtx R ,0
he
10
h
h
ede
)(1)()1( kuekxekx hh
Controlo por Computador 136
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Exemplo: Integrador duplo
uxdt
dx
1
0
00
10
xy 01
ht
Ah AsITLe
11
s
sAsI
0
1
2)det( sAsI (tal como esperado!)
Controlo por Computador 137
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s
s
s
sAsIadj
T
0
1
1
0)(
s
ss
AsI
AsIadjAsI
10
11
)det(
)( 21
10
111t
AsITL
Controlo por Computador 138
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10
1 heAh
h
hdd
hh
211
0
10
12
00
Fim do exemplo
Controlo por Computador 139
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3.Identificação paramétrica.
Estimação de parâmetros.
Métodos recursivos e não recursivos.
Mínimos Quadrados e Máxima Verosimilhança.
Referência: AW cap. 13, FP
Controlo por Computador 140
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Ajuste de uma recta a dados experimentais
Uma situação experimental:
Pretende-se relacionar a corrente I com a
tensão V no circuito da figura.
Para tal são aplicados diversos valores de
tensão à resistência e registados os dados
Tensão [volt] Corrente [mA]
V1=1 I1=2.1
V2=2 I2=3.9
V3=3 I3=6.2
V4=4 I4=7.9
+
-V g=?
I
Controlo por Computador 141
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Sob certas condições, a relação teórica (o modelo) existente entre a tensão V
aplicada à resistência e a corrente I é:
I gV
em que g é um parâmetro que se pretende estimar a partir dos dados.
Devido aos erros experimentais, os pontos
experimentais não se encontram exactamente
sobre a recta I gV mas têm desvios.
Como decidir qual a recta melhor ajustada?
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V [volt]
I [m
A]
Controlo por Computador 142
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De acordo com o Princípio dos Mínimos Quadrados é escolhida a recta que
minimiza a soma dos quadrados dos desvios.
De acordo com este princípio, a estimativa de g é tal que minimiza
J g g g g g( ) . . . . 21 1 39 2 6 2 3 7 9 42 2 2 2
O que esperamos que seja a
corrente quando a tensão é 2
(Depende da estimativa de g)
O que efectivamente
observamos
Controlo por Computador 143
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Custo J g( ) associado ao critério de mínimos quadrados
J(g)
g g^
Controlo por Computador 144
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Como J g( ) é uma função quadrática de g , a estimativa de mínimos
quadrados verifica a equação
1
20
dJ
dgg g
ou seja
1 21 1 2 39 2 3 62 3 4 7 9 4 0. . . . g g g g
Esta equação simplifica-se para 60 1201 0 .g sendo a estimativa de
mínimos quadrados dada por
.g 2 00
Controlo por Computador 145
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Ajuste de uma recta a dados experimentais (Caso geral)
Suponhamos que a relação teórica entre duas grandezas X e Y é do tipo
Y X
em que é um parâmetro desconhecido que se pretende estimar.
Repare-se que, conhecendo uma estimativa de podemos responder a
perguntas do tipo "Se X valer … quanto se espera que valha Y ? "
Controlo por Computador 146
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Suponhamos que são observados n pares X Y i ni i, , , , 1 correspondentes a
outros tantos ensaios experimentais. Dispõe-se da tabela
Y
X1 Y1
X2 Y2
X3 Y3
X4 Y4
X5 Y5
X
Controlo por Computador 147
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Pretende-se estimar a recta melhor ajustada aos dados experimentais, de
acordo com o critério de mínimos quadrados.
De acordo com esta critério, a estimativa é
tal que minimiza a soma dos quadrados dos
desvios:
J Y Xi i
i
n
( )
2
1
O que estamos à
espera que seja Yi
O que efectivamente
observamos
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V [volt]
I [m
A]
Desvio i
Xi
Yi
Controlo por Computador 148
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A estimativa de mínimos quadrados verifica a equação (eq. "normal"):
1
20
dJ
d
ou seja
X Y Xi i i
i
n
1
0
Esta equação tem por solução
X Y
X
i ii
n
ii
n
1
2
1
Controlo por Computador 149
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Mínimo ou não?
A condição 1
20
dJ
d
não garante necessariamente que J( ) seja mínimo
para . É necessário impor uma condição na segunda derivada:
d J
dX i
i
n2
2
2
1
0
Neste exemplo, esta condição é verificada se for feita pelo menos uma
medida com X 0 (o que tem uma interpretação geométrica imediata).
Veremos a seguir que se estimarmos mais do que um parâmetro a segunda
derivada deixa de ser um escalar. A condição de mínimo é então a de que os
dados sejam tais que a matriz de segundas derivadas seja definida positiva.
Controlo por Computador 150
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Bom, ou apenas óptimo?
A estimativa de mínimos quadrados é "óptima" no sentido em que minimiza
um funcional de custo. No entanto, o funcional de custo pode não ser o mais
adequado.
Como caricatura, pode dizer-se que os bons relógios são os que estão
parados pois dão horas absolutamente certas duas vezes por dia.
Um outro exemplo é o de um caçador que vê dois pombos. Se disparar para o
ponto que minimiza a distância média quadrática aos dois pombos…
Isto sugere que por vezes são necessários outros critérios.
Controlo por Computador 151
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Outros critérios de Estimação
Ops exemplos anterios sugerem a utilidade de utilizar critérios que
ultrapassem as limitações dos Mínimos Quadrados. Um dos mais utilizados
em Estimação é o critério de Máxima Verosimilhança.
No entanto, quando a motivação é o Controlo Adaptativo, os Mínimos
Quadrados gozam (quando integrados num sistema de controlo em cadeia
fechada) de propriedades que os tornam suficientes para muitas aplicações.
São além disso simples e de convergência robusta.
Controlo por Computador 152
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Carl Frederich Gauss (1777-1855) utilizou pela primeira vez
o critério de mínimos quadrados para a estimação de
parâmetros em equações.
Em 1801, o astronomo italiano Piazzi observou pela primeira
vez um pequeno planeta denominado Ceres. Infelizmente, a
duração das observações era muito curta devido a Ceres se
ser escondido atrás do Sol, pelo que estas eram insuficientes para estimar os
parâmetros da sua órbita pelos métodos tradicionais. Recorrendo ao critértio
dos mínimos quadrados, Gauss efectuou uma estimativa (bastante diferente
das obtidas pelos métodos clássicos) que foi brilhantemente confirmada pelas
observações experimentais.
Controlo por Computador 153
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Qual a estimativa de mínimos quadrados
da aceleração da gravidade g ?
Modelo: h gt
e 2
2
t [s] h [m]
1 8.49
2 20.05
3 50.65
4 72.19
5 129.85
6 171.56
h(t)
0
Controlo por Computador 154
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Estimação de parâmetros em equações de diferenças
Modelo:
y t a y t a y t n b u t b u t mn m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 01 1 1
Problema: A partir das amostras de u e y , estimar os parâmetros a bi j,
u y
ESTIMADOR
Sistema a
Identificar
Controlo por Computador 155
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Exemplo
Considere-se o sistema
)1()()()1( kekbukayky
Dados recolhidos
y kk
2
1
1000
30( )
u kk
2
1
1000
50( )
y k y kk
( ) ( )
1 11
1000
y k u kk
( ) ( )
1 361
1000
y k u kk
( ) ( )
201
1000
Determinar as estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros a e b
Escrever a funcional de mínimos quadrados
Calcular as derivadas parciais em ordem aos parâmetros e igualar a zero
Ruído branco de média nula.
Traduz erros no modelo
Controlo por Computador 156
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J y k ay k bu kk
N
1
21
2
1
( ) ( ) ( )
J
ay k y k ay k bu k
k
N
( ) ( ) ( ) ( )1 01
J
bu k y k ay k bu k
k
N
( ) ( ) ( ) ( )1 01
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a y k b y k u k y k y kk
N
k
N
k
N2
1 1 1
1
30 20 1 a b
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a u k y k b u k u k y kk
N
k
N
k
N
1
2
1 1
1 20 50 36 a b
. .a b 0 61 0 964
Controlo por Computador 157
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Notação matricial
Se quisermos resolver o problema de estimação para um número arbitrário de
parâmetros temos de usar a notação matricial.
y t a y t a y t n b u t b u t m e tn m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 01 1 1
Define-se o regressor , ,como
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t y t y t n u t u t m1 1 1 1
e o vector de parâmetros a estimar, ,como
a a b bn m1 1
O modelo escreve-se:
y t t e t( ) ( ) ( ) 1
Controlo por Computador 158
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Critério de Mínimos Quadrados
Dadas N observações, estimar o vector de parâmetros o por um vector
por forma a que o funcional seguinte seja mínimo:
JN
y t tt
N
( ) ( ) ( )
1
21
2
1
Controlo por Computador 159
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
y
y
y N N
e
e
e N
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
0
1
1
1
2
y
y
y N N
e
e
e N
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
0
1
1
1
2
Controlo por Computador 160
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
y
y
y N N
e
e
e N
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
0
1
1
1
2
O conjunto das N observações satisfaz:
y
y N 1
N np
np 1
N 1
Controlo por Computador 161
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Funcional de mínimos quadrados escrito matricialmente:
JN N
1
2
1
2
2
Como:
y
Vem:
JN
y y 1
2
JN
y y y 1
22
O funcional de
mínimos quadrados
é uma forma
quadrática em
Controlo por Computador 162
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A estimativa de mínimos quadrados satisfaz
J 0
Gradiente da forma quadrática
x x Ax x A2
Recordando:
JN
y y y 1
22
Vem então
JN
y1
22 2
Controlo por Computador 163
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
A estimativa de mínimos quadrados satisfaz pois a equação
JN
y1
22 2
ou seja
y
ou, transpondo
y
Controlo por Computador 164
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Equação Normal
Em conclusão, a estimativa de mínimos quadrados do vector de parâmetros
do modelo de regressão linear
y t t e t( ) ( ) ( ) 1
satisfaz a equação matricial (dita equação normal)
y
Se existir a inversa de a estimativa de mínimos quadrados existe e é
única, sendo dada por
1
y
Controlo por Computador 165
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Exemplo - Invertibilidade da matriz
Considere o sistema
y k b u k b u k e k( ) ( ) ( ) ( ) 0 11 2
a)Diga se é possível determinar estimativas dos parâmetros b0 e b1 quando a
entrada é sempre u k k( ) 1 ?
b)E se se souber que b1 0 ?
c) E se u( )0 0 e u k k( ) 1 1?
Sugestão: Escreva a matriz quando N=4 e depois considere o que
acontece para valores de N superiores.
Ruído de
média nula
Controlo por Computador 166
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Condições de Excitação Persistente
Para que a estimativa de mínimos quadrados exista e seja única é necessário
que a matriz seja definida positiva. Caso contrário o funcional de
mínimos quadrados não tem um mínimo.
A matriz é definida positiva se os dados forem suficientemenbte ricos, o
que depende da entrada do sistema.
As condições na entrada do sistema que levam a que 0 dizem-se
condições de excitação persistente.
Controlo por Computador 167
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Matriz de Covariância do Erro de Estimação e Matriz de Informação
Define-se a matriz de covariância do erro de estimação como
P E
No caso em que os resíduos formam uma sequência branca, tem-se:
i)A estimativa de mínimos quadrados é centrada (a média do erro é zero):
E 0
ii)Sendo a variância dos resíduos unitária:
P
1
Controlo por Computador 168
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Este último facto motiva que se denomine matriz de informação a matriz dada
por
P 1
Note-se que o facto de as estimativas de mínimos quadrados não serem
centradas quando o ruído é colorido não é necessariamente uma limitação em
Controlo Adaptativo (embora implique o recurso a outros métodos quando a
motivação é outra, por exemplo a identificação do modelo por si só).
Isto deve-se ao facto de o Controlo Adaptativo identificar o sistema em cadeia
fechada. Posteriormente voltaremos a este aspecto.
Controlo por Computador 169
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Estimador Recursivo
Objectivo: Obter a estimativa combinando uma estimativa anterior com novos
dados sem ter que reescrever a equação normal.
Em inglês: RLS = Recursive Least Squares
RLS
Novos dados
y t t( ), ( ) 1
Estimativa anterior ( )t 1 e
variáveis auxiliares P t( )1
Novas, estimativa ( )t e
variáveis auxiliares P t( )
Controlo por Computador 170
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Estimador não recursivo dadas t observações:
( ) t y
1
Pode ser escrita como (mostre!):
( ) ( ) ( ) ( ) t t y k kk
t
1
1
1
em que a matriz de informação é dada por
( ) ( ) ( )t k kk
t
1 11
Controlo por Computador 171
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Matriz de informação verifica
( ) ( ) ( ) ( )t t t t 1 1 1 (1)
Tem-se ainda
( ) ( ) ( ) ( ) t t y k kk
t
1
1
1 (2) e
( ) ( ) ( ) ( )t t y k kk
t
11
(3)
Pretende-se: Escreva ( ) t como função de ( ) t 1 , de ( )t , de y t( ) e de ( )t 1
Sugestão: Isole o último termo do somatório em (2).
Escreva (3) para t 1;
use (1);
Controlo por Computador 172
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
( ) ( ) ( ) ( ) t t y k kk
t
1
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t y k k y t tk
t
1
1
1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )t t y k kk
t
1 1 11
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t y t t 1 1 1 1
Controlo por Computador 173
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t y t t 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )t t t t 1 1 1
Assim:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t y t t 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t y t t t 1 1 1 11
Controlo por Computador 174
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
As equações do estimador recursivo são:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t y t t t 1 1 1 11
( ) ( ) ( ) ( )t t t t 1 1 1
Diferença entre o que esperamos que seja y(t)
dada a estimativa e o qure observamos
Nova
estimativa Estimativa
anterior Ganho
vectorial
É necessário inverter uma
matriz em cada iteração
Controlo por Computador 175
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Será que podemos alterar o algoritmo para evitar inversão de matrizes?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t y t t t 1 1 1 11
( ) ( ) ( ) ( )t t t t 1 1 1
Se trabalharmos com a matriz de covariância as equações ficam:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t P t t y t t t 1 1 1 1
P t t t t( ) ( ) ( ) ( )
1 1 11
Controlo por Computador 176
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
P t t t t( ) ( ) ( ) ( )
1 1 11
Lema de inversão de matrizes
A BCD A A B DA B C DA
1 1 1 1 1
11
Aplique-se este lema com
A t P t 1 1 1 1 ( ) ( ) , B t ( )1 , C 1 , D t ( )1
Obtém-se:
)1()1(1)1()1()1()1()1()1()(1
tPtttPtttPtPtP
Escalar
Controlo por Computador 177
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Algoritmo de Mínimos Quadrados Recursivo (RLS)
Modelo:
y t t e to( ) ( ) ( ) 1
Estimador:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t K t y t t t 1 1 1
K t P t t( ) ( ) ( ) 1 "Ganho de Kalman"
P t P tP t t t P t
t P t t( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 1 1 1
1 1 1 1
"Equação de Riccati"
Controlo por Computador 178
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Alternativamente, o ganho de Kalman e a equação de Riccati podem ser
escritos como (demonstre!):
K tP t t
t P t t( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1 1
P t I K t t P t( ) ( ) ( ) ( ) 1 1
Controlo por Computador 179
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Exemplo: Estimação recursiva de um parâmetro
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Ganho fixo=0.03
Ganho fixo=0.5
Ganho de Kalman
y t t e to
o
( ) ( ) ( )
1
2
Ganho do estimador:
Alto leva a convergência rápida mas a
grande variância das estimativas em
regime estacionário.
Baixo leva a convergência lenta.
O ganho de Kalman é alto no início e
baixo no fim, variando no tempo.
Controlo por Computador 180
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Programa MATLAB usado no exemplo
thrls=0;
thsm=0;
thbig=0;
p=10;
theta0=2;
tfinal=200;
for t=1:tfinal
pp(t)=p;
fi=1+0.1*rand;
y=theta0*fi+0.2*randn;
p=p-p*fi*fi*p/(1+fi*p*fi);
kalm=p*fi;
thrls=thrls+kalm*(y-thrls*fi);
thsm=thsm+0.03*(y-thsm*fi);
thbig=thbig+0.5*(y-thbig*fi);
sth(t,1)=thrls;
sth(t,2)=thsm;
sth(t,3)=thbig;
end;
axis([0 tfinal 0 5])
hold on
plot(sth)
hold off
Controlo por Computador 181
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Este exemplo ilustra a convergência dos mínimos quadrados recursivos.
Inicialmente, como a nossa incerteza sobre o valor verdadeiro do parâmetro a
estimar é grande, escolhemos um valor elevado para a covariância.
Neste caso, P 10 . O ganho de Kalman é elevado inicialmente pelo que a
convergência é rápida.
Há medida que o tempo passa e vamos
recebendo dados, P diminui e o
ganho de Kalman também. Isto leva à
convergência da estimativa pois o termo
de correcção fica progressivamentre menor.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20010
-3
10-2
10-1
100
101
Controlo por Computador 182
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
O estimador pode ser encarado
como um mecanismo que reduz
a nossa incerteza sobre o
valor verdadeiro do parâmetro
através das observações.
A incerteza é medida por uma
função densidade de probabilidade
do erro na estimativa. Neste
exemplo esta incerteza é gaussiana
e com variância proporcional a P .
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
1
2
3
4
5
6
Parameter probability density
given 200 observations
Initial parameter probability
density function
Controlo por Computador 183
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Um exemplo com parâmetros não identificáveis
Aumentando o número de observações, reduz-se a incerteza da soma mas
mantém-se a incerteza na direcção perpendicular (assume-se u constante).
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y k b u k b u k e k( ) ( ) ( ) ( ) 0 11 2
Apenas a soma pode ser estimada
Densidade de
probabilidade
dos parâmetros
Controlo por Computador 184
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Um exemplo de não identificabilidade de parâmetros em cadeia fechada
Modelo do processo:
y t ay t bu t e t( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 (*)
A este sistema está acoplado o controlador:
u t Ky t( ) ( )
Seja uma constante arbitrária. Da equação do controlador
u t Ky t( ) ( ) 0
Como a quantidade u t Ky t( ) ( ) 0 , podemos adicioná-la a (*) e obter:
y t a K y t b u t e t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1
Controlo por Computador 185
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Assim, o sistema, em conjunto com o controlador, é descrito pelo modelo
y t a K y t b u t e t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1
isto mostra que parâmetros tais que
a a K b b
conduzem à mesma relação entrada/saída. Eliminando , obtém-se a
seguinte relação entre as estimativas e os parâmetros a estimar
b bK
a a 1
Qualquer estimativa ( , )a b que verifique esta condição descreve igualmente
bem o comportamento entrada/saída.
Controlo por Computador 186
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
As estimativas pertencem à recta, mas não são necessariamente proxímas
dos valores verdadeiros. Para que o sejam, pode-se:
Fazer variar o ganho K
Adicionar um sinal externo ao controlo
a
b1/K
a
^
b
Controlo por Computador 187
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Adormecimento dos mínimos quadrados recursivos
Se os dados forem adequados, os elementos do ganho de Kalman diminuem
à medida que o tempo passa, tornando-se eventualmente muito reduzidos se
o ruído for baixo.
A partir daí, as estimativas tendem a tornar-se constantes. Se o sistema a
identificar sofrer alguma alteração, será necessário muito tempo para que as
estimativas convirjam para o novo valor.
Diz-se que o algoritmo adormeceu.
Controlo por Computador 188
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Esquecimento exponencial
O adormecimento dos mínimos quadrados recursivos acontece porque o
algoritmo pesa igualmente os dados recentes e os do passado remoto.
Para o evitar, pode modificar-se o funcional de custo por forma a pesar menos
os pontos do passado:
J y t kt k
k
t
1
21
2
1
( ) ( )
A dá-se o nome de factor de esquecimento. Tem-se 0 1
Peso exponencial, menor nos dados mais antigos
Controlo por Computador 189
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Memória assimptótica
A memória assimptótica N dá-nos uma ideia do número de dados que
influenciam a estimativa actual.
N
1
1
pequeno -> Poucos dados retidos; algoritmo "ágil" a seguir alterações
grande-> Muitos dados retidos; algoritmo lento a seguir alterações mas
mais preciso
N
1
0.99 100
0.98 50
0.95 20
Controlo por Computador 190
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
RLS com Esquecimento Exponencial
Minimiza o custo com esquecimento exponencial.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t K t y t t t 1 1 1
K tP t t
t P t t( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1
P t I K t t P t( ) ( ) ( ) ( ) / 1 1
Demonstre que estas equações minimizam o custo exponencial.
Observe que a matriz de informação é actualizada por
( ) ( ) ( ) ( )t t t t 1 1 1
Controlo por Computador 191
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Explosão da covariância (covariance windup)
Pretende-se estimar os parâmetros a e b no modelo:
y t ay t bu t e t( ) ( ) ( ) . ( ) 1 01 1
O valor verdadeiro dos parâmetros é
a 06. b 01.
(o valor verdadeiro não se sabe na prática; aqui é usado apenas para comparação!)
Usa-se RLS com factor de esquecimento exponencial e 095.
Consideram-se duas situações para a entrada:
Entrada constante
Entrada constante somada com ruído branco
Controlo por Computador 192
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Resultados com a entrada do sistema constante
O traço de P dimunui inicialmente e a estimativa aproxima-se do valor
verdadeiro a 06. . No entanto, devido a o sistema não ser excitado e a usar-
se o algoritmo de esquecimento, P aumenta o causa um aumento do ganho
de Kalman e leva a fortes variações da estimativa.
0 50 100 150 200 250 3000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 50 100 150 200 250 30010
-1
100
101
102
103
104
tr(P)
a
Controlo por Computador 193
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Resultados com a entrada do sistema variável
Quando a entrada é suficientemente excitante, o traço de P não volta a subir
devido ao esquecimento e a estimativa mantém-se próximo do valor
verdadeiro.
0 50 100 150 200 250 3000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 50 100 150 200 250 30010
-2
10-1
100
101
102
103
104
tr(P)
a
Controlo por Computador 194
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Sistemas variáveis no tempo
0 50 100 150 200 250 3000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Lbd=0.99
Lbd=0.95
O parâmetro a muda em t=100 de 0.6
para 0.8.
A figura mostra os resultados que se
obtêm com dois valores diferentes do
factor de esquecimento. Quando este é
mais baixo, a transição da estimativa
para o novo valor é mais rápida, mas em
regime estacionário as fluctuações são
maiores.
Controlo por Computador 195
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Outro tipo de algoritmos de esquecimento
Para evitar os problemas com o esquecimento exponencial utilizam-se outros
algoritmos. Dois exemplos importantes:
Esquecimento variável no tempo. O factor de esquecimento é 1 quando a
potência dos resíduos está abaixo de um dado limiar, sendo reduzido
quando a potência aumenta. Deste modo eliminam-se os problemas com a
explosão da covariância;
Esquecimento direccional. O factor de esquecimento é diferente em
diversas direcções do espaço de parâmetros, o que permite reduzir
problemas devidos à não identificabilidade.
Controlo por Computador 196
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Algoritmos numericamente robustos
As equações do algoritmo de RLS, tal como foram apresentadas, podem
apresentar problemas numéricos (embora não no MATLAB e em simulações
de pequena duração). Há várias formas de evitar estes problemas. Uma é o
chamado algoritmo UD (ou algoritmo de Bierman) em que se propaga não a
matriz P mas duas matrizes, U (triangular superior com 1's na diagonal) e D
(diagonal), tal que P UDU T .
Deste modo é possível trabalhar com uma gama de números menor e garantir
o carácter definido positivo de P.
No capítulo 13 de AW pode ser visto um procedimento em PASCAL para este
algoritmo.
Controlo por Computador 197
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Efeito do ruído colorido
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Ruído colorido
Ruído branco
Valor verdadeiro
Em presença de ruído branco a
estimativa de mínimos quadrados é
centrada, i. e., a média do erro é nula.
Isto deixa de ser verdade quando o ruído
é colorido. Na figura mostra-se a
estimativa do parâmetro a em
y t ay t bu t e t ce t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1
quando c 0 e quando c 095.
Controlo por Computador 198
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O facto de os mínimos quadrados fornecerem estimativas polarizadas em
presença de ruído colorido pode parecer à partida uma limitação importante.
Em classes importantes de controladores adaptativos de facto não o é.
Isto é devido a, em cadeia fechada e sob certas condições, sistemas com
ruído colorido admitirem um outro modelo com ruído branco. Como se verá,
esta é a base do controlo adaptativo auto-sintonizável (self-tuning)
descoberto no início dos anos 70 por Astrom e Wittenmark.
Controlo por Computador 199
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Comportamento Assimptótico dos Mínimos Quadrados
Questão: Será que a estimativa de mínimos quadrados “converge” para o
valor verdadeiro dos parâmetros?
Modelo “verdadeiro”:
)()()( 0 tvtty
A estimativa dos mínimos quadrados é
N
t
N
t
tytttN1
1
1
)()()(')()(ˆ
Controlo por Computador 200
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)()()( 0 tvtty
N
t
N
t
tytttN1
1
1
)()()(')()(ˆ
N
t
N
t
tvttttN1
0
1
1
)()(')()(')()(ˆ
ou seja
N
t
N
t
tvtN
ttN
N1
1
1
0 )()(1
)(')(1
)(ˆ
A estimativa é igual ao valor verdadeiro adicionado de uma “polarização”.
Em que condições é que a polarização é zero?
Controlo por Computador 201
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Para que a estimativa de mínimos quadrados seja centrada, isto é para que:
0)(ˆ ENE
tem de ser
0)()(1
N
t
tvtE
Em geral, isto acontece se )(tv fôr incorrelacionado com )(,),1( ntyty ,
ou seja:
)(tv tem de ser incorrelacionado com ),2(),1( tvtv
Para que a estimativa de mínimos quadrados seja centrada
o ruído tem de ser branco.
Controlo por Computador 202
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Exemplo
Considere o processo descrito pelo modelo ARMAX
)1()()1()1()( tcetetbutayty
em que u e e são sinais brancos e independentes, com média nula e
variância unitária.
Determine os valores explícitos das estimativas de mínimos quadrados a e b
em função de cba ,, .
Sugestão: )()()( 0 tvtty
N
t
N
t
tytN
ttN
N1
1
1
)()(1
)(')(1
)(ˆ
Controlo por Computador 203
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Sugestão (cont.):
Escreva 0 e neste caso particular.
Tenha em conta que, para N grande
)(')()(')(1
1
ttEttN
N
t
)()()()(
1
1
tytEtytN
N
t
Calcule estas médias considerando que u e e são sinais brancos e
independentes, com média nula e variância unitária.
Controlo por Computador 204
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
)1()()1()1()( tcetetbutayty
)1()()1(
)1()(
tcete
tu
tybaty
0' )(t
)(tv
Controlo por Computador 205
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Estimação em presença de Ruído colorido
Como se viu, em presença de ruído colorido, os mínimos quadrados fornecem
uma estimativa polarizada. Quer dizer, ao fazer muitas observações a
estimativa não se aproxima do valor verdadeiro dos parâmetros.
Métodos que permitem resolver este problema:
Variáveis instrumentais (Instrumental Variables)
Mínimos Quadrados Extendidos (Extended Least Squares)
Máxima Verosimilhança (Maximum Likelihood)
Destes a Máxima Versimilhança é o mais geral e poderoso, embora o que
seja computadcionalmente mais pesado.
Controlo por Computador 206
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Em presença de ruído colorido, usar os mínimos quadrados depende do
objectivo:
Se se pretende construir um modelo do sistema para estudar as suas
características e/ou projectar um controlador, devem estimar-se os
polinómios )(qA , )(qB e )(qC . Os mínimos quadrados não são adequados.
Se se pretende combinar a identificação com uma lei de controlo por forma
a obter uma lei de controlo adaptativa, os mínimos quadrados são os
adequados porque, com certas leis de controlo (variância mínima), há um
erro por se tomar 1)( 1* qC que compensa a polarização das estimativas. É
nisto que consiste a propriedade de auto-sintonização (self-tuning).
Controlo por Computador 207
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Mínimos Quadrados Estendidos
Generalização heurística dos Mínimos Quadrados para processos ARMAX:
)()(')( tvtty o )()1()()( 1 ntectectetv n )(te branco
Admita-se que, num dado instante t se conhecem estimativas
)(,),1( ntt de )(,),1( ntete
A estimativa )(t de )(te pode ser calculada a partir de
nc
cnttttyt
ˆ
ˆ
ˆ
)()1()(')()( 1
Controlo por Computador 208
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)()1()()(')( 1 ntectectetty no
Sejam
)()1()(':)(' nttttes nes cc ˆˆ'ˆ:'ˆ 1
As equações dos Mínimos Quadrados Estendidos são:
)(ˆ)(')()()()1(ˆ tttytKtt eseseseses
)(tKes é o ganho de Kalman correspondente ao regressor )(tes
)(ˆ)(')()( tttyt es
Controlo por Computador 209
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Método de Máxima Verosimilhança
Maximum Likelihood method
Seja y uma variável aleatória (v. a.) cuja densidade de probabilidade
),( yp depende de um parâmetro desconhecido
Pretende estimar-se o parâmetro em função de observações de y e
adimitindo conhecida a forma de ),( yp .
Repare-se que ),( yp fica uma função apenas de quando é feita uma
observação y .
Controlo por Computador 210
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Estimador de Máxima Verosimilhança
Dada uma observação de y escolher o valor de que maximiza a função
de verosimilhança (likelihood function)
),(:),( ypyL
ou, equivalentemente
,log yL
Assim:
,logmaxˆ yLML ou seja 0,log ˆ
ML
yL
Controlo por Computador 211
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Exemplo
)()( tety
é uma constante desconhecida, que se pretende estimar por observações
de y (que são corrompidas pelo ruído )(te ).
Para cada instante de tempo t a f.d.p. de e é
2
)(2
1exp
2
1)( eep te
)(),( 2121tetett v.a. independentes (“ruído Branco”)
Pretende-se estimar pelo método de Máxima Verosimilhança, em função
de ')()1( tyyY .
Controlo por Computador 212
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Sugestão
Se 1x e 2x são v. a. independentes
)()(),(2121 xxxx ppp
Tendo em conta este facto e a forma da f.d.p. de cada )(ty , calcule a
densidade de probabilidade do conjunto das observações Yp (que depende
de ).
Calcule o logaritmo e iguale a derivada a zero.
Controlo por Computador 213
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Para cada uma das observações feita num instante genérico t , tendo em
conta o modelo das observações:
2
)( ))((2
1exp
2
1)),((
tytyp ty
Dado que os )(te são independentes
t
i
iyY iypYp1
)( )),((),(
Assim,
t
itY iyYp
1
2
2/))((
2
1exp
2
1),(
Controlo por Computador 214
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t
itY iyYp
1
2
2/))((
2
1exp
2
1),(
t
i
Y iyt
Yp1
2)(
2
12log
2,(log
A estimativa de máxima verosimilhança satisfaz
0ˆ,(log
MLY Yp
ou seja
0ˆ)(1
t
i
MLiy sendo a estimativa
t
i
ML iyt 1
)(1
Controlo por Computador 215
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Caso particular: Observações idependentes, gaussianas, com variância
conhecida (relação com os mínimos quadrados)
As observações consistem em N amostras independentes
Nyy ,,1
de uma v. a. gaussiana y com f. d. p.
2
2))((
2
1exp
2
1),(
myypy
Admite-se conhecido.
A média )(mm depende do vector de parâmetros a estimar .
Controlo por Computador 216
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Sendo as observações independentes, a sua densidade conjunta é o produto
das densidades de probabilidade das observações individuais:
),(),();,,( 11 NN ypypyyL
Tendo em conta que y é gaussiana:
N
i
iNN myyyL1
2
212
1exp
2
1);,,(
Controlo por Computador 217
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
N
i
iNN myyyL1
2
212
1exp
2
1);,,(
Definindo
myii : ,
o simétrico do logaritmo da função de verosimilhança escreve-se
)2log(2
log2
1log
1
2
2
NNL
N
i
i
Controlo por Computador 218
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)2log(2
log2
1log
1
2
2
NNL
N
i
i
Maximizar L Minimizar Llog
Se é conhecido, maximizar L é equivalente a minimizar o critério de
Mínimos Quadrados
N
i
iV1
2)(
Controlo por Computador 219
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Assim, para observações independentes, gaussianas e com variância
conhecida, o critério de máxima verosimilhança é equiivalente ao critério de
mínimos quadrados.
Noutras situações não é assim.
Controlo por Computador 220
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Propriedades do Estimador de Máxima Verosimilhança
Consistência
Para observações independentes o estimador ML é consistente.
-20 -10 0 10 20 30 400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
N muito grande
N grande
N pequeno
o
p(
ML)
ML
Controlo por Computador 221
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
A estimativa é uma função das observações que são v. a., pelo que também é
uma variável aleatória e, como tal, tem uma fdp.
De um modo grosseiro, a consistência significa que a fdp da estimativa se vai
“apertando” cada vez mais quando o número de observações aumenta.
Controlo por Computador 222
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Desigualdade de Cramer-Rao
A precisão de um estimador centrado é limitada pela desigualdade de
Cramer-Rao:
1 JP
em que:
T
ooEP )ˆ)(ˆ( é a matriz de covariância do erro de estimação
LEJ log
2
2
é a matriz de informação de Fischer
Controlo por Computador 223
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Propriedades do Estimador de Máxima Verosimilhança – Eficiência
O estimador de Máxima verosimilhança é assimptoticamente eficiente.
Quer dizer que, quando o número de observações independentes tende para
, a covariância do erro tende para o limite de Cramér-Rao.
Controlo por Computador 224
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Determinação Numérica do Estimador de Máxima Verosimilhança
O método de Máxima Verosimilhança determina o valor de que maximixa
),(log yL
Isto é equivalente a minimizar
),(log)( yLJ
Para tal, é necessário recorrer, nos casos de interesse, a um algoritmo
numérico iterativo.
Controlo por Computador 225
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Minimização de funções pelo método de Newton
Seja )(J uma função escalar de variável vectorial a minimizar.
Um algoritmo actualiza uma estimativa )1(ˆ k do mínimo, para construir uma
nova estimativa )(ˆ k . De acordo com o método de Newton:
)1(ˆ)1(ˆ
1
2
2
.)1(ˆ)(ˆ
k
T
k
JJkk
Controlo por Computador 226
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Exemplo de aplicação do Método de Newton
Pretende-se minimizar a função quadrática
TT bAJ )( 0 TAA
Tem-se
TT bAJ
AJ
2
2
)1(ˆ)1(ˆ
1
2
2
.)1(ˆ)(ˆ
k
T
k
JJkk
bAbkAAkk 11 )1(.)1()(
Atinje o mínimo num único passo, partindo de qualquer ponto!
Controlo por Computador 227
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Estimação de Máxima Verosimilhança de um modelo ARMAX
Modelo Armax:
)()()()()()( teqCtuqBtyqA
nmn ccbbaa 101
Polinómios cujos parãmetros se pretendem estimar
Controlo por Computador 228
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Preditor 1 passo à frente:
)1()(ˆ)()(ˆ)(ˆ)1(ˆ)(ˆ tuqBtyqAqCtyqC
Erro de predição:
)(ˆ)()( tytyt
Aproximação do gradiente e da matriz hessiana:
TntetemtutuntytyqC
t )()1()()()()1()(ˆ
1)(
)()( ttJ T
)()(2
2
ttJ T
Controlo por Computador 229
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Estimação com o MATLAB
z=[y u];
na=4;
nb=1;
nc=4;
nk=1;
nn=[na nb nc nk];
th=armax(z,nn);
yh=idsim(u,th);
plot(t,[y yh]);
[Phi,Gamma,C,D,K,X0]=th2ss(th);
T=0.05;
[A,B]=d2c(Phi,Gamma,T);
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D);
A estimação em presença de ruído colorido faz-se com a função armax
A estimação de Mínimos Quadrados faz-se com a função arx
Controlo por Computador 230
J. Miranda Lemos IST-DEEC, Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
Um exemplo simples (dados simulados)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
-1
0
1
2Mínimos Quadrados
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
-1
0
1
2Máxima Versomilhança
Dado que o ruído é colorido, a
estimativa de mínimos
quadrados é polarizada, o que
leva a um modelo que tem
uma resposta diferente do
“sistema real”.
A utilização de um método
capaz de lidar com o ruído
colorido evita este problema.
Controlo por Computador 231
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Exemplo: Identificação da dinâmica de uma barra flexível
Pretende-se identificar um modelo a partir de dados experimentais.
M otor
B raçoflexível
V eiodo m otor
D/A
A m pl i ficadorde potência
S ensor A /D
u
y
Medida do ângulo doveio do motorC
Controlador doângulo doveio do motor
Dinâmica domotor controlado
Dinâmica da barraflexível
Comandodo motor
Posição doveio do motor
Posição daponta da barra
Diagrama de blocos simplificado:
os movimentos flexíveis da barra
afectam o movimento do motor.
Controlo por Computador 232
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Dinâmica da cadeia aberta (resposta ao escalão)
2490 2500 2510 2520 2530 2540 2550 2560 2570 2580 2590 2600
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Tempo [número da amostra]
y
Output data
O que podemos concluir da
observação desta resposta,
que seja útil para construir
um modelo?
Controlo por Computador 233
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Características da resposta
Reposta oscilatória com pouco amortecimento. (pólos complexos
conjugados)
Observa-se um modo oscilatório numa frequência dominante, mas
também um modo oscilatório de mais alta frequência, com menor
amplitude. (adicionar pólos complexos conjugados na alta frequência)
Há um efeito de resposta inversa, que vai originar um zero fora do círculo
unitário (zero de fase não mínima). Este efeito é devido à reacção da
barra sobre o veio do motor (o modelo em cascata não prevê este efeito!).
(zeros)
Controlo por Computador 234
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Qual a ordem a escolher para o modelo?
Começar com uma ordem baixa que capte a dinâmica do modelo.
Ir aumento progressivamente a ordem até atingir bons resultados.
Pólo real Sistema de 2ª ordem
Vamos começar com n=1+2=3 e m=2 (3 pólos e 2 zeros).
Admitimos um atraso puro de 1.
Dinâmica domotor controlado
Dinâmica da barraflexível
Comandodo motor
Posição doveio do motor
Posição daponta da barra
Controlo por Computador 235
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Mínimos quadrados, arx(3,2)
2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Tempo [número da amostra]
y
O resultado é um desastre!
A resposta do modelo
estimado não é oscilatória.
Nem sequer o ganho estático
tem o sinal certo (isto é
possivelmente devido ao
efeito de resposta inversa).
Controlo por Computador 236
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Mínimos quadrados, arx(4,4)
4500 4550 4600 4650 4700 4750 4800
-4
-2
0
2
4
6
8
Tempo [amostras]
ARX(4,4) Aumentando a ordem a
resposta do modelo melhora
(é replicado o efeito de fase
não mínima, o modelo tem
uma resposta oscilatória),
mas o amortecimento é ainda
muito grande.
Controlo por Computador 237
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Interpretação em termos da dinâmica não modelada
A resposta em frequência inclui vários modos de oscilação a frequências
sucessivamente mais altas.
Estes modos correspondem a picos na resposta em frequência.
Com os instrumentos de que dispomos, apenas podemos ver os 2 primeiros
modos de oscilação, mas o modelo matemático da barra prevê mesmo a
existência de um número infinito de modos, com amplitudes cada vez mais
baixas.
w
1º modo de oscilação
2º modo de oscilação
Controlo por Computador 238
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Na ausência de ruído, o movimento da ponta da barra satisfaz o modelo
𝐴(𝑞)𝑦(𝑡) = 𝐵(𝑞)𝑢(𝑡)
Dado que impomos uma ordem aos polinómios 𝐴 e 𝐵, o algoritmo de
identificação estima um polinómio correspondente a essa ordem (𝐴𝑛, 𝐵𝑛), que
difere do polinómio verdadeiro por um termo de erro (∆𝐴, ∆𝐵):
(𝐴𝑛 + ∆𝐴)𝑦 = (𝐵𝑛 + ∆)𝑢
ou seja
𝐴𝑛𝑦 = 𝐵𝑛𝑢 + 𝑣 em que 𝑣 = −𝐴𝑛𝑦 + 𝐵𝑛𝑢
Devido aos modos de ressonância de alta frequência, o termo 𝑣 é visto pelo
algoritmo como um “ruído” fortemente correlacionado (ruído colorido).
Temos de usar um método que resista ao ruído colorido!
Controlo por Computador 239
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Estimação do modelo ARMAX (3,2,3)
4490 4500 4510 4520 4530 4540 4550 4560
-4
-2
0
2
4
6
8
Tempo [amostras]
ARMAX(3,2,3) Com a estimação de máxima
verosimilhança, o modelo
estimado consegue já seguir
razoavelmente o modo de
oscilação fundamental.
Dependendo do desempenho
requerido, este modelo pode já
ser suficiente para o projecto
do controlador.
Controlo por Computador 240
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Estimação do modelo ARMAX(8,8,8)
4490 4500 4510 4520 4530 4540 4550 4560
-4
-2
0
2
4
6
8
Tempo [amostras]
ARMAX(8,8,8)
Aumentando (bastante!) a
ordem do modelo consegue
capturar-se também o 2º
modo.
Controlo por Computador 241
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Fim do Exemplo da identificação da barra flexível.
Controlo por Computador 242
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Selecção sistemática da Estrutura do Modelo
A estrutura do modelo é dada pelos valores de m e n
)()()()()()( teqCtuqBtyqA
nmn ccbbaa 101
O uso de modelos permite aproximar a densidade de probabilidade dos dados
observados )( Nyp pela sua estimativa de Máxima Verosimilhança,
)ˆ|( Nyp .
Controlo por Computador 243
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Se existirem vários modelos em competição, devemos escolher o que conduz a uma densidade de probabilidade mais próxima da verdadeira.
É pois necessário introduzir uma distância entre densidades de probabilidade.
Akaike (1974) sugeriu a chamada divergência de Kullback:
)ˆ|(
)(log:ˆ|();(
N
NNN
yp
ypEypypD
A média é tomada relativamente a )( Nyp .
Escolhe-se o modelo com D mínimo.
Controlo por Computador 244
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Isto conduz ao critério de informação de Akaike (AIC). De acordo com este critério, é escolhido o modelo que minimiza:
pLAIC 2log
O critério AIC pode conduzir a valores de p excessivamente elevados.
Um critério mais rigoroso é o “Minimum Description Length” (MDL).
Função de verosimilhança
Número de parâmetros
do modelo
Controlo por Computador 245
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Cálculo do MDL para modelos ARMAX
),(ˆ)(),( tytyt
N
t
N tN 1
2 )ˆ,(1ˆ
NNpNMDL )log2(
As técnicas baseadas no MDL são extremamente poderosas e têm uma aplicabilidade que ultrapassa a identificação de sistemas para controlo.
Controlo por Computador 246
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Aspectos prácticos importantes da identificação
É essencial ter bons dados. Atenção às condições experimentais:
o Sinal de entrada (não muito rápido e não muito lento, na banda em que
o sistema responde
o não muito fraco para não ser “limpo” pelas bandas mortas, e não muito
forte para não excitar não linearidades)
Filtrar o ruído de alta frequência;
Trabalhar com sinais de média nula. Remover as tendências com a função
detrend