PROGRESIONES ARITMÉTICAS 1. Para alquilar una casa, una familia realiza un contrato de alquiler, acordando pagar S/. 800,00 al mes durante el primer año, y cada año se aumentará en alquiler en S/. 60,00 mensuales. ¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 10 años? a 1 a 2 a 3 a 10 80 0 ; 86 0 ; 92 0 ; … ; 140 0 DATOS: a n = Último término S/. 1400,00. a 1 = Primer término S/. 800,00. d = Diferencia S/. 60,00. a n = a 1 + (n- 1) d
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PROGRESIONES ARITMÉTICAS
1. Para alquilar una casa, una familia realiza un contrato de alquiler,
acordando pagar S/. 800,00 al mes durante el primer año, y cada año se
aumentará en alquiler en S/. 60,00 mensuales. ¿Cuánto se pagará
mensualmente al cabo de 10 años?
a1 a2 a3 a10
80
0
; 860 ; 920 ; … ; 1400
DATOS:
an = Último término S/. 1400,00.
a1 = Primer término S/. 800,00.
d = Diferencia S/. 60,00.
n = Número de término 10.
DESARROLLO:
a10 = 800 + (10 – 1) 60
a10 = 800 + (9) 60
a10 = 800 + 540
a10 = 1340
SOLUCIÓN:
Después de 10 años la mensualidad será de S/. 1340,00.
an = a1 + (n-1) d
2. Halla el 61º término de 1, 5, 9, …
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
an = ?
a1 = 3
d = 4
n = 61
an = a1 + (n – 1) d
a61 = 1 + (61– 1) 4
a61 = 1 + (60) 4
a61 = 1 + 240
a61 = 241
El término 61º de la P.A. es 241.
3. Hallar el término 31º de: 3, -1, -5, …, a31
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
an = a31
a1 = 3
d = -4
n = 31
an = a1 + (n – 1) d
a31 = 1 + (61 – 1)
a31 = 3 + 30 (- 4)
a31 = 3 + 120
a31 = - 117
El término 31º de la P.A. es 117.
4. Hallar el término 60º de la P.A.: 36, 32, 28, 24…………a60
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
an = a60
a1 = 36
d = 4
n = 60
an = a1 + (n – 1) d
a60 = 36 + (60 – 1) 4
a60 = 36 + (59) - 4
a60 = 36 - 236
A60 = - 200
El término 60º de la P.A. es 200.
5. Halla el número de términos (n) de la P.A.
÷ 5, 8, 11, 14, …, 122.
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a1 = 5
d = 3
an = 122
an = a1 + (n – 1) d
122 = 5 + (n – 1) 3
122 – 5 = (n – 1) 3
117 = (n – 1) 3
117 ÷ 3 = (n – 1)
39 = n – 1
39 + 1 = n
40 = n
La P.A. tiene 40 términos.
6. Hallar “n” de la P.A.:
÷ 24, 18, 12, 6, …, - 156.
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a1 = 24
d = - 6
an = - 156
an = a1 + (n - 1) d
- 156 = 24 + (n - 1) (-
6)
- 156 - 24 = (n - 1) (- 6)
- 180 = (n - 1) (- 6)
- 180 ÷ - 6 = (n - 1)
30 = n - 1
30 + 1 = n
31 = n
La P.A. tiene 31 términos.
7. El término 14 de una P.A. es 70, si la diferencia es 5. Halla el primer
término.
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
an = 70
d = 5
a1 = ?
n = 14
an = a1 + (n - 1) d
70 = a1 + (14 - 1) 5
70 = a1 + (13) 5
70 = a1 + 65
70 - 65 = a1
5 = a1
El primer término de la P.A. es 5.
8. El primer término de una P.A. es 5 y el octavo es 40. Hallar la diferencia.
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a1 = 5
a8 = 40
d = ?
n = 8
an = a1 + (n - 1) d
40 = 5 + (8 - 1) d
40 = 5 + (7) d
40 - 5 = (7) d
35 = (7) d
35 ÷ 7 = d
5 = d
La diferencia de la P.A. es 5.
SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
1. Hallar la suma de los términos de la P.A. si n = 14.
4; 6; …; 30.
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a1 = 4
an = 30
n = 14
Sn=(a1+an )n2
Sn= (4+30 )142
Sn= (34 ) 142
Sn=(34 )7
Sn=238
La suma de términos de la P.A. es 238.
2. Hallar la suma de los 100 primeros números de la P.A.:
÷ 36; 40; …; 432.
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a1 = 36
an = 432
n = 100
Sn=(a1+an )n2
Sn= (36+432 )1002
Sn= (468 )142
Sn=( 468 )50
Sn=2340
La suma de términos de la P.A. es 2340.
Sn=(a1+an )n2
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
1. Un comerciante gana el primer mes S/. 85 y cada mes gana el doble de
lo que ganó el mes anterior ¿Cuánto ganó en el décimo mes?
a1 a2 a3 an
85 ; 17
0
; 340 ; … ; a10
DATOS:
a1 = Primer término 85
n = Número de término 10
r = Razón 340 ÷ 170 = 2
an = Último término a10
DESARROLLO:
a10 = 85 . 210-1
a10 = 85 . 29
a10 = 85 . 512
a10 = 43520
SOLUCIÓN:
En el décimo mes, el comerciante ganó S/. 43520,00.
an=a1 . rn−1
2. Si el primer término de una P.G. es 4 y la razón 2. Hallar a11.
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a1 = 4
r = 2
n = 11
a11 = ?
an=a1 . rn−1
a11=4 .211−1
a11=4 .210
a11=4 .1024
a11=4096
El término a11 de la P.G. es 4096.
3. Si an =320, a1 = 9, r = 3. ¿Cuántos términos tiene la P.G.?
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
an = 320
a1 = 9
r = 3
n = ?
an=a1 . rn−1
320=9 .3n−1
320=32 .3n−1
320
32=3n−1
318=3n−1
18=n−1
18+1=n
19=n
La P.G. tiene 19 términos.
4. El último término de una P.G. es 640, el primer término - 5 y la razón es -
2. ¿Cuál es el número de términos?
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
an = 640
a1 = - 5
r = - 2
n = ?
an=a1 . rn−1
640=−5 .−2n−1
640−5
=−2n−1
−128=2n−1
−27=2n−1
7=n−1
7+1=n
8=n
La P.G. tiene 8 términos.
5. El quinto término de una P.G. es 96 y la razón es 2. Halla el primer
término.
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a5 = 96
a1 = ?
r = 2
n = 5
an=a1 . rn−1
96=a1 .25−1
96=a1.24
96=a1.16
9616
=a1
6=a1
El primer término de la P.G. es 6.
6. El octavo término de una P.G. es 1 y la razón ½. Halla a1.
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a8 = 1
n = 8
r = ½
a1 = ?
an=a1 . rn−1
1=a1 .12
8−1
1=a1 .12
7
1=a1.1128
1281.1=a1
128=a1
El primer término de la P.G. es 128.
7. El primer término de una P.A. es 4 y el quinto 64. Hallar la razón.
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a1 = 4
a5 = 64
n = 5
r = ?
an=a1 . rn−1
64=4 . r5−1
64=4 . r4
644
=r 4
16=r4
4√16=r
2=r
La razón de la P.G. es 2.
8. El primer término de una P.A. es ⅓ y el séptimo 243 ¿Cuál es la razón?
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a1 = ⅓
a7 = 243
n = 7
r = ?
an=a1 . rn−1
243=13. r7−1
243=13. r6
243 . 31=r6
729=r6
6√729=r
3=r
La razón de la P.G. es 3.
SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1. Hallar la suma de los 7 primeros términos de la P.G. ÷ 3, 9, 27, …
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a1 = 3
r = 3
n = 7
Sn=a1(r
n−1)r−1
Sn= 3(37−1)3−1
Sn=3(2187−1)2
Sn=3(2186)2
Sn= 65582
Sn=3279
La suma de los 7 primeros términos de la
P.G. es 3279.
2. Hallar la suma de los 12 primeros términos de la P.G. ¼, ½, 1, 2, 4, …
DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:
a1 = ¼
r = 4 ÷ 2 =
2
n = 12
Sn=a1(r
n−1)r−1
Sn=
14(212−1)
2−1
Sn=
14(4096−1)
1
La suma de los 12 primeros términos de
la P.G. es 1023,75.
Sn=a1(r
n−1)r−1
Sn=
14(4095)
1
Sn=40954
Sn=1023,75
PROBLEMAS
María pide un préstamo de 2400 a una tasa de interés de 20% anual para
pagarla en 2 años ¿Cuál es el interés que pagará María?